Penerbitan ini membentangkan logik perbezaan dalam ungkapan algebra untuk pelajar pendidikan umum umum dan menengah (lengkap) asas sebagai peringkat peralihan dalam pembentukan logik perbezaan dalam ungkapan matematik yang digunakan dalam fizik, dsb. untuk pembentukan konsep pada masa hadapan tentang fenomena, tugas, klasifikasi dan metodologi pendekatan kepada penyelesaiannya.

Muat turun:

Pratonton:

Ungkapan algebra dan ciri-cirinya

© Skarzhinsky Ya.Kh.

Algebra, sebagai sains, mengkaji corak tindakan pada set, dilambangkan dengan huruf.Operasi algebra termasuk penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian, eksponen dan pengekstrakan akar.Hasil daripada tindakan ini, ungkapan algebra telah terbentuk.Ungkapan algebra - ungkapan yang terdiri daripada nombor dan huruf yang menunjukkan set, dengan mana operasi algebra dilakukan.Tindakan ini dihantar ke algebra daripada aritmetik. Dalam algebra, seseorang menganggapmenyamakan satu ungkapan algebra dengan yang lain, iaitu kesamaan yang sama. Contoh ungkapan algebra diberikan dalam §1.Kaedah penjelmaan dan perhubungan ungkapan juga dipinjam daripada aritmetik. Pengetahuan tentang pola aritmetik tindakan pada ungkapan aritmetik membolehkan anda melakukan transformasi pada ungkapan algebra yang serupa, mengubahnya, memudahkan, membandingkan, menganalisis.Algebra adalah sains keteraturan transformasi ungkapan, yang terdiri daripada set yang dibentangkan dalam bentuk sebutan huruf, saling berkaitan dengan tanda-tanda pelbagai tindakan.Terdapat juga ungkapan algebra yang lebih kompleks yang dipelajari di institusi pendidikan tinggi. Walaupun mereka boleh dibahagikan kepada jenis, yang paling biasa digunakan dalam kursus sekolah.

1 Jenis-jenis ungkapan algebra

perkara 1 Ungkapan mudah: 4a; (a+b); (a + b)3c; ; .

perkara 2 Kesamaan identiti:(a + b)c = ac + bc; ;

perkara 3 Ketaksamaan: sebagai ; a + c .

hlm.4 Formula: x=2a+5; y=3b; y \u003d 0.5d 2 +2;

hlm.5 Perkadaran:

Tahap pertama kesukaran

Tahap kedua kesukaran

Tahap ketiga kesukarandari segi mencari nilai untuk set

a, b, c, m, k, d:

Tahap keempat kesukarandari sudut pandangan mencari nilai untuk set a, y:

hlm.6 Persamaan:

ax + c \u003d -5bx; 4x 2 + 2x = 42;

Dan lain-lain.

perkara 7 Kebergantungan fungsi: y=3x; y=ax 2 +4b; y \u003d 0.5x 2 +2;

Dan lain-lain.

2 Pertimbangkan ungkapan algebra

2.1 Bahagian 1 membentangkan ungkapan algebra mudah. Terdapat pemandangan dan

lebih sukar, contohnya:

Sebagai peraturan, ungkapan sedemikian tidak mempunyai tanda "=". Tugas apabila mempertimbangkan ungkapan tersebut adalah untuk mengubahnya dan mendapatkannya dalam bentuk yang dipermudahkan. Apabila menukar ungkapan algebra yang berkaitan dengan tuntutan 1, ungkapan algebra baharu diperolehi, yang setara dalam makna dengan yang sebelumnya. Ungkapan sedemikian dikatakan setara. Itu. ungkapan algebra di sebelah kiri tanda sama adalah setara maknanya dengan ungkapan algebra di sebelah kanan. Dalam kes ini, ungkapan algebra jenis baharu diperoleh, dipanggil kesamaan yang sama (lihat item 2).

2.2 Bahagian 2 membentangkan kesamaan identiti algebra, yang dibentuk dengan kaedah transformasi algebra, ungkapan algebra dipertimbangkan, yang paling kerap digunakan sebagai kaedah dalam menyelesaikan masalah dalam fizik. Contoh kesamaan yang sama bagi transformasi algebra yang sering digunakan dalam matematik dan fizik:

Hukum komutatif penambahan: a + b = b + a.

Undang-undang penambahan bersekutu:(a + b) + c = a + (b + c).

Hukum pendaraban komutatif: ab=ba.

Hukum pendaraban bersekutu:(ab)c = a(bc).

Hukum taburan pendaraban berkenaan dengan penambahan:

(a + b)c = ac + bc.

Hukum taburan pendaraban berkenaan dengan penolakan:

(a - b)c \u003d ac - bc.

Kesamaan identitiungkapan algebra pecahan(diandaikan bahawa penyebut pecahan adalah bukan sifar):

Kesamaan identitiungkapan algebra dengan kuasa:

a),

di mana (n kali, ) - darjah dengan eksponen integer

b) (a + b) 2 =a 2 +2ab+b 2 .

Kesamaan identitiungkapan algebra dengan punca ijazah ke-:

Ungkapan - punca aritmetik n ijazah ke- dari kalangan khususnya, - segi empat sama aritmetik.

Darjah dengan eksponen pecahan (rasional). akar:

Ungkapan setara yang diberikan di atas digunakan untuk mengubah ungkapan algebra yang lebih kompleks yang tidak mengandungi tanda “=”.

Mari kita pertimbangkan contoh di mana, untuk transformasi ungkapan algebra yang lebih kompleks, pengetahuan yang diperoleh semasa transformasi ungkapan algebra yang lebih mudah dalam bentuk kesamaan yang sama digunakan.

2.3 Bahagian 3 membentangkan algebra kesaksamaan, yang mana ungkapan algebra bahagian kiri tidak sama dengan bahagian kanan, i.e. tidak sama. Dalam kes ini, mereka adalah ketidaksamaan. Sebagai peraturan, apabila menyelesaikan beberapa masalah dalam fizik, sifat-sifat ketaksamaan adalah penting:

1) Jika a , kemudian untuk sebarang c : a + c .

2) Jika a dan c > 0, kemudian sebagai .

3) Jika a dan c , kemudian ac > bc .

4) Jika a , a dan b satu tanda, kemudian 1/a > 1/b .

5) Jika a dan c , kemudian a + с , a - d .

6) Jika a , c , a > 0 , b > 0 , c > 0 , d > 0 , kemudian ac .

7) Jika a , a > 0 , b > 0 , kemudian

8) Jika , maka

2.4 Bahagian 4 membentangkan formula algebramereka. ungkapan algebra yang mempunyai huruf di sebelah kiri tanda sama, menandakan set yang nilainya tidak diketahui dan mesti ditentukan. Dan di sebelah kanan tanda sama terdapat set yang nilainya diketahui. Dalam kes ini, ungkapan algebra ini dipanggil formula algebra.

Formula algebra ialah ungkapan algebra yang mengandungi tanda sama, di sebelah kirinya terdapat set yang nilainya tidak diketahui, dan di sebelah kanan terdapat set dengan nilai yang diketahui, berdasarkan keadaan masalah.Untuk menentukan nilai yang tidak diketahui bagi set di sebelah kiri tanda "sama", nilai yang diketahui bagi kuantiti di sebelah kanan tanda "sama" digantikan dan operasi pengiraan aritmetik ditunjukkan dalam ungkapan algebra dalam ini sebahagian dilakukan.

Contoh 1:

Diberi: Penyelesaian:

a=25 Biarkan ungkapan algebra diberikan:

x=? x=2a+5.

Ungkapan algebra ini ialah formula algebra sejak di sebelah kiri tanda sama ialah set yang nilainya ditemui, dan di sebelah kanan ialah set dengan nilai yang diketahui.

Oleh itu, adalah mungkin untuk melakukan penggantian nilai yang diketahui untuk set "a", untuk menentukan nilai yang tidak diketahui bagi set "x":

x=2 25+5=55. Jawapan: x=55.

Contoh 2:

Diberi: Penyelesaian:

a=25 Ungkapan algebraadalah formula.

b=4 Oleh itu, adalah mungkin untuk melakukan penggantian yang diketahui

c=8 nilai untuk set di sebelah kanan tanda sama,

d=3 untuk menentukan nilai yang tidak diketahui bagi set "k",

m=20 berdiri di sebelah kiri:

n=6 Jawapan: k=3.2.

SOALAN

1 Apakah ungkapan algebra?

2 Apakah jenis ungkapan algebra yang anda tahu?

3 Apakah ungkapan algebra yang dipanggil kesamaan seiras?

4 Mengapakah perlu mengetahui corak kesamaan yang sama?

5 Apakah ungkapan algebra yang dipanggil formula?

6 Apakah ungkapan algebra yang dipanggil persamaan?

7 Apakah ungkapan algebra yang dipanggil kebergantungan fungsi?

Pelajaran algebra memperkenalkan kita kepada pelbagai jenis ungkapan. Apabila bahan baharu tiba, ungkapan menjadi lebih kompleks. Apabila anda berkenalan dengan kuasa, mereka secara beransur-ansur ditambahkan pada ungkapan, merumitkannya. Ia juga berlaku dengan pecahan dan ungkapan lain.

Untuk menjadikan kajian bahan semudah mungkin, ini dilakukan dengan nama-nama tertentu agar dapat menyerlahkannya. Artikel ini akan memberikan gambaran keseluruhan lengkap tentang semua ungkapan algebra sekolah asas.

Monomial dan polinomial

Ungkapan monomial dan polinomial dipelajari dalam kurikulum sekolah, bermula dari gred ke-7. Buku teks telah memberikan definisi seperti ini.

Definisi 1

monomials- ini adalah nombor, pembolehubah, darjah mereka dengan penunjuk semula jadi, apa-apa kerja yang dibuat dengan bantuan mereka.

Definisi 2

polinomial dipanggil jumlah monomial.

Jika kita ambil, sebagai contoh, nombor 5, pembolehubah x, darjah z 7, maka hasil darab bentuk 5 x dan 7 x 2 7 z 7 dianggap ahli bujang. Apabila jumlah monomial bentuk diambil 5+x atau z 7 + 7 + 7 x 2 7 z 7, maka kita mendapat polinomial.

Untuk membezakan monomial daripada polinomial, perhatikan darjah dan takrifannya. Konsep pekali adalah penting. Apabila mengurangkan sebutan yang serupa, ia dibahagikan kepada sebutan bebas polinomial atau pekali pendahulu.

Selalunya, beberapa tindakan dilakukan pada monomial dan polinomial, selepas itu ungkapan dikurangkan untuk melihat monomial. Penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian dilakukan, bergantung pada algoritma untuk melaksanakan operasi pada polinomial.

Apabila terdapat satu pembolehubah, adalah mungkin untuk membahagikan polinomial kepada polinomial, yang diwakili sebagai hasil darab. Tindakan ini dipanggil pemfaktoran polinomial.

Pecahan rasional (algebra).

Konsep pecahan rasional dipelajari dalam darjah 8 sekolah menengah. Sesetengah pengarang memanggilnya pecahan algebra.

Definisi 3

Pecahan algebra rasional Mereka memanggil pecahan di mana polinomial atau monomial, nombor, mengambil tempat pengangka dan penyebut.

Pertimbangkan contoh penulisan pecahan rasional jenis 3 x + 2, 2 a + 3 b 4, x 2 + 1 x 2 - 2 dan 2 2 x + - 5 1 5 y 3 x x 2 + 4. Berdasarkan definisi, kita boleh mengatakan bahawa setiap pecahan dianggap sebagai pecahan rasional.

Pecahan algebra boleh ditambah, ditolak, didarab, dibahagikan, dinaikkan kepada kuasa. Ini dibincangkan dengan lebih terperinci dalam bahagian operasi dengan pecahan algebra. Jika perlu untuk menukar pecahan, mereka sering menggunakan sifat pengurangan dan pengurangan kepada penyebut biasa.

Ungkapan Rasional

Dalam kursus sekolah, konsep pecahan tidak rasional dipelajari, kerana perlu bekerja dengan ungkapan rasional.

Definisi 4

Ungkapan Rasional dianggap sebagai ungkapan berangka dan abjad, di mana nombor rasional dan huruf digunakan dengan penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian, peningkatan kepada kuasa integer.

Ungkapan rasional mungkin tidak mempunyai tanda kepunyaan fungsi yang membawa kepada ketidakrasionalan. Ungkapan rasional tidak mengandungi punca, eksponen dengan eksponen tak rasional pecahan, eksponen dengan pembolehubah dalam eksponen, ungkapan logaritma, fungsi trigonometri, dan sebagainya.

Berdasarkan peraturan di atas, kami akan memberikan contoh ungkapan rasional. Daripada definisi di atas, kita mempunyai kedua-dua ungkapan berangka dalam bentuk 1 2 + 3 4, dan 5, 2 + (- 0, 1) 2 2 - 3 5 - 4 3 4 + 2: 12 7 - 1 + 7 - 2 2 3 3 - 2 1 + 0 , 3 dianggap rasional. Ungkapan yang mengandungi huruf juga dirujuk sebagai rasional a 2 + b 2 3 a - 0, 5 b , dengan pembolehubah bentuk a x 2 + b x + c dan x 2 + x y - y 2 1 2 x - 1 .

Semua ungkapan rasional dibahagikan kepada integer dan pecahan.

Ungkapan rasional integer

Definisi 5

Ungkapan rasional integer adalah ungkapan sedemikian yang tidak mengandungi pembahagian kepada ungkapan dengan pembolehubah darjah negatif.

Daripada takrifan, kita mempunyai ungkapan rasional integer juga merupakan ungkapan yang mengandungi huruf, contohnya, a + 1 , ungkapan yang mengandungi beberapa pembolehubah, contohnya, x 2 y 3 − z + 3 2 dan a + b 3 .

Ungkapan seperti x: (y − 1) dan 2 x + 1 x 2 - 2 x + 7 - 4 tidak boleh menjadi integer rasional, kerana mereka mempunyai pembahagian dengan ungkapan dengan pembolehubah.

Ungkapan rasional pecahan

Definisi 6

Ungkapan rasional pecahan ialah ungkapan yang mengandungi pembahagian dengan ungkapan dengan pembolehubah darjah negatif.

Ia berikutan daripada takrifan bahawa ungkapan rasional pecahan boleh menjadi 1: x, 5 x 3 - y 3 + x + x 2 dan 3 5 7 - a - 1 + a 2 - (a + 1) (a - 2) 2 .

Jika kita menganggap ungkapan jenis ini (2 x - x 2): 4 dan a 2 2 - b 3 3 + c 4 + 1 4, 2, maka ia tidak dianggap rasional pecahan, kerana ia tidak mempunyai ungkapan dengan pembolehubah dalam penyebutnya.

Ungkapan dengan kuasa

Definisi 7

Ungkapan yang mengandungi kuasa dalam mana-mana bahagian tatatanda dipanggil ungkapan kuasa atau ungkapan kuasa.

Untuk konsep, kami memberikan contoh ungkapan sedemikian. Ia mungkin tidak mengandungi pembolehubah, contohnya, 2 3 , 32 - 1 5 + 1 . 5 3 . 5 · 5 - 2 5 - 1. 5 . Ungkapan kuasa dalam bentuk 3 · x 3 · x - 1 + 3 x , x · y 2 1 3 juga tipikal. Untuk menyelesaikannya, perlu melakukan beberapa transformasi.

Ungkapan tidak rasional, ungkapan dengan akar

Akar, yang mempunyai tempat dalam ungkapan, memberikannya nama yang berbeza. Mereka dipanggil tidak rasional.

Definisi 8

Ungkapan yang tidak rasional ungkapan nama yang mempunyai tanda akar dalam rekod.

Dapat dilihat daripada definisi bahawa ini adalah ungkapan dalam bentuk 64 , x - 1 4 3 + 3 3 , 2 + 1 2 - 1 - 2 + 3 2 , a + 1 a 1 2 + 2 , x y , 3 x + 1 + 6 x 2 + 5 x dan x + 6 + x - 2 3 + 1 4 x 2 3 + 3 - 1 1 3 . Setiap daripada mereka mempunyai sekurang-kurangnya satu ikon akar. Akar dan darjah disambungkan, jadi anda boleh melihat ungkapan seperti x 7 3 - 2 5, n 4 8 · m 3 5: 4 · m 2 n + 3.

Ungkapan trigonometri

Definisi 9

ungkapan trigonometri ialah ungkapan yang mengandungi sin , cos , tg dan ctg serta songsangannya - arcsin , arccos , arctg dan arcctg .

Contoh fungsi trigonometri adalah jelas: sin π 4 cos π 6 cos 6 x - 1 dan 2 sin x t g 2 x + 3 , 4 3 t g π - arcsin - 3 5 .

Untuk bekerja dengan fungsi sedemikian, perlu menggunakan sifat, formula asas fungsi langsung dan songsang. Transformasi artikel fungsi trigonometri akan mendedahkan isu ini dengan lebih terperinci.

Ungkapan Logaritma

Selepas membiasakan diri dengan logaritma, kita boleh bercakap tentang ungkapan logaritma kompleks.

Definisi 10

Ungkapan yang mempunyai logaritma dipanggil logaritma.

Contoh fungsi sedemikian ialah log 3 9 + ln e , log 2 (4 a b) , log 7 2 (x 7 3) log 3 2 x - 3 5 + log x 2 + 1 (x 4 + 2) .

Anda boleh menemui ungkapan sedemikian di mana terdapat darjah dan logaritma. Ini boleh difahami, kerana dari definisi logaritma ia mengikuti bahawa ini adalah eksponen. Kemudian kita mendapat ungkapan seperti x l g x - 10 , log 3 3 x 2 + 2 x - 3 , log x + 1 (x 2 + 2 x + 1) 5 x - 2 .

Untuk mendalami kajian bahan, anda harus merujuk kepada bahan tentang transformasi ungkapan logaritma.

Pecahan

Terdapat ungkapan jenis khas, yang dipanggil pecahan. Oleh kerana mereka mempunyai pengangka dan penyebut, mereka boleh mengandungi bukan sahaja nilai angka, tetapi juga ungkapan apa-apa jenis. Pertimbangkan definisi pecahan.

Definisi 11

ditembak mereka memanggil ungkapan sedemikian yang mempunyai pengangka dan penyebut, di mana terdapat sebutan atau ungkapan berangka dan abjad.

Contoh pecahan yang mempunyai nombor dalam pengangka dan penyebut kelihatan seperti ini 1 4 , 2 , 2 - 6 2 7 , π 2 , - e π , (− 15) (− 2) . Pengangka dan penyebut boleh mengandungi kedua-dua ungkapan berangka dan abjad dalam bentuk (a + 1) 3 , (a + b + c) (a 2 + b 2) , 1 3 + 1 - 1 3 - 1 1 1 + 1 1 + 1 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 + 3 t g α , 2 + ln 5 ln x .

Walaupun ungkapan seperti 2 5 − 3 7 , x x 2 + 1: 5 bukan pecahan, namun, ia mempunyai pecahan dalam tatatandanya.

Ungkapan umum

Kelas senior mempertimbangkan tugasan yang mengalami peningkatan kesukaran, yang mengandungi semua tugasan gabungan kumpulan C dalam USE. Ungkapan ini sangat kompleks dan mempunyai pelbagai kombinasi akar, logaritma, kuasa, dan fungsi trigonometri. Ini adalah pekerjaan seperti x 2 - 1 sin x + π 3 atau sin a r c t g x - a x 1 + x 2 .

Penampilan mereka menunjukkan bahawa ia boleh dikaitkan dengan mana-mana spesies di atas. Selalunya ia tidak dikelaskan sebagai mana-mana, kerana ia mempunyai penyelesaian gabungan khusus. Ia dianggap sebagai ungkapan dalam bentuk umum, dan tiada penjelasan atau ungkapan tambahan digunakan untuk penerangan.

Apabila menyelesaikan ungkapan algebra sedemikian, ia sentiasa perlu untuk memberi perhatian kepada tatatandanya, kehadiran pecahan, kuasa, atau ungkapan tambahan. Ini adalah perlu untuk menentukan dengan tepat cara untuk menyelesaikannya. Sekiranya tidak ada kepastian dalam namanya, maka disyorkan untuk memanggilnya sebagai ungkapan jenis umum dan menyelesaikannya mengikut algoritma yang ditulis di atas.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

(1) a m ⋅ a n = a m + n

Contoh:

$$(a^2) \cdot (a^5) = (a^7)$$ (2) a m a n = a m − n

Contoh:

$$\frac(((a^4)))(((a^3))) = (a^(4 – 3)) = (a^1) = a$$ (3) (a ⋅ b) n = a n ⋅ b n

Contoh:

$$((a \cdot b)^3) = (a^3) \cdot (b^3)$$ (4) (a b) n = a n b n

Contoh:

$$(\kiri((\frac(a)(b)) \kanan)^8) = \frac(((a^8)))(((b^8)))$$ (5) (a m ) n = a m ⋅ n

Contoh:

$$(((a^2))^5) = (a^(2 \cdot 5)) = (a^(10))$$ (6) a − n = 1 a n

Contoh:

$$(a^( – 2)) = \frac(1)(((a^2)));\;\;\;\;(a^( – 1)) = \frac(1)(( (a^1))) = \frac(1)(a).$$

Sifat akar kuasa dua:

(1) a b = a ⋅ b , untuk a ≥ 0 , b ≥ 0

Contoh:

18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2

(2) a b = a b , untuk a ≥ 0 , b > 0

Contoh:

4 81 = 4 81 = 2 9

(3) (a) 2 = a , untuk ≥ 0

Contoh:

(4) a 2 = | a | untuk mana-mana a

Contoh:

(− 3) 2 = | − 3 | = 3 , 4 2 = | 4 | = 4 .

Nombor rasional dan tidak rasional

Nombor rasional ialah nombor yang boleh diwakili sebagai pecahan sepunya m n dengan m ialah integer (ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 …), n ialah nombor asli (ℕ = 1,   2,   3,   4 …).

Contoh nombor rasional:

1 2 ;   − 9 4 ;   0,3333 … = 1 3 ;   8 ;   − 1236.

Nombor tidak rasional - nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan biasa m n, ini ialah pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga.

Contoh nombor tak rasional:

e = 2.71828182845…

π = 3.1415926…

2 = 1,414213562…

3 = 1,7320508075…

Ringkasnya, nombor tak rasional ialah nombor yang mengandungi tanda punca kuasa dua dalam tatatandanya. Tetapi tidak semuanya begitu mudah. Beberapa nombor rasional menyamar sebagai nombor tidak rasional, sebagai contoh, nombor 4 mengandungi tanda punca kuasa dua dalam tatatandanya, tetapi kami sedar bahawa kami boleh memudahkan tatatanda 4 = 2. Ini bermakna nombor 4 adalah nombor rasional.

Begitu juga, nombor 4 81 = 4 81 = 2 9 ialah nombor rasional.

Sesetengah masalah memerlukan anda untuk menentukan nombor mana yang rasional dan mana yang tidak rasional. Tugasnya adalah untuk memahami nombor mana yang tidak rasional dan mana yang menyamar sebagai nombor tersebut. Untuk melakukan ini, anda perlu dapat melakukan operasi mengeluarkan faktor dari bawah tanda punca kuasa dua dan memperkenalkan faktor di bawah tanda akar.

Sisipan dan penyingkiran faktor untuk tanda punca kuasa dua

Dengan mengambil faktor daripada tanda punca kuasa dua, anda boleh memudahkan beberapa ungkapan matematik dengan ketara.

Contoh:

Permudahkan ungkapan 2 8 2 .

1 cara (mengambil pengganda dari bawah tanda akar): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4

Kaedah 2 (memperkenalkan pengganda di bawah tanda akar): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4

Formula pendaraban singkatan (FSU)

jumlah kuasa dua

(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Contoh:

(3 x + 4 y) 2 = (3 x) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + (4 y) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2

Kuasa dua perbezaan

(2) (a − b) 2 = a 2 − 2 a b + b 2

Contoh:

(5 x − 2 y) 2 = (5 x) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + (2 y) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2

Jumlah kuasa dua tidak menjadi faktor

Perbezaan segi empat sama

(3) a 2 − b 2 = (a − b) (a + b)

Contoh:

25 x 2 - 4 y 2 = (5 x) 2 - (2 y) 2 = (5 x - 2 y) (5 x + 2 y)

jumlah kubus

(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Contoh:

(x + 3 y) 3 = (x) 3 + 3 ⋅ (x) 2 ⋅ (3 y) + 3 ⋅ (x) ⋅ (3 y) 2 + (3 y) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3

kiub perbezaan

(5) (a − b) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3

Contoh:

(x 2 − 2 y) 3 = (x 2) 3 − 3 ⋅ (x 2) 2 ⋅ (2 y) + 3 ⋅ (x 2) ⋅ (2 y) 2 − (2 y) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3

Jumlah kubus

(6) a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − a b + b 2)

Contoh:

8 + x 3 = 2 3 + x 3 = (2 + x) (2 2 − 2 ⋅ x + x 2) = (x + 2) (4 − 2 x + x 2)

Perbezaan kubus

(7) a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2)

Contoh:

x 6 - 27 y 3 = (x 2) 3 - (3 y) 3 = (x 2 - 3 y) ((x 2) 2 + (x 2) (3 y) + (3 y) 2) = ( x 2 − 3 y) (x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2)

Bentuk nombor piawai

Untuk memahami cara membawa nombor rasional arbitrari ke bentuk piawai, anda perlu tahu apakah digit bererti pertama nombor itu.

Digit bererti pertama bagi suatu nombor panggil ia digit bukan sifar pertama di sebelah kiri.

Contoh:
2 5 ; 3, 05; 0 , 143 ; 0 , 00 1 2 . Digit bererti pertama diserlahkan dengan warna merah.

Untuk menukar nombor kepada bentuk standard:

1. Alihkan koma supaya ia sejurus selepas digit bererti pertama.
2. Darabkan nombor yang terhasil dengan 10 n, dengan n ialah nombor, yang ditakrifkan seperti berikut:
3. n > 0 jika koma dialihkan ke kiri (darab dengan 10 n menunjukkan bahawa koma itu sepatutnya berada di sebelah kanan);
4. n< 0 , если запятая сдвигалась вправо (умножение на 10 n , указывает, что на самом деле запятая должна стоять левее);
5. nilai mutlak nombor n adalah sama dengan bilangan digit yang mana koma dialihkan.

Contoh:

25 = 2 , 5 ← ​ , = 2,5 ⋅ 10 1

Koma telah dialihkan ke kiri sebanyak 1 digit. Oleh kerana titik perpuluhan dianjak ke kiri, eksponen adalah positif.

Sudah dibawa ke borang standard, anda tidak perlu berbuat apa-apa dengannya. Ia boleh ditulis sebagai 3.05 ⋅ 10 0 , tetapi sejak 10 0 = 1, kita meninggalkan nombor itu dalam bentuk asalnya.

0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1

Koma telah dialihkan ke kanan sebanyak 1 digit. Oleh kerana titik perpuluhan dianjak ke kanan, eksponen adalah negatif.

− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3

Koma telah mengalihkan tiga tempat ke kanan. Oleh kerana titik perpuluhan dianjak ke kanan, eksponen adalah negatif.

Ungkapan algebra terdiri daripada nombor dan pembolehubah menggunakan tanda tambah, tolak, darab, bahagi, naikkan kepada kuasa rasional dan mengeluarkan punca, dan menggunakan kurungan.

Pertimbangkan beberapa contoh ungkapan algebra:

2a 2 b – 3ab 2 (a + b)

(1/a + 1/b – c/3) 3 .

Terdapat beberapa jenis ungkapan algebra.

Integer ialah ungkapan algebra yang tidak mengandungi pembahagian kepada pembolehubah dan pengekstrakan punca daripada pembolehubah (termasuk eksponen dengan eksponen pecahan).

2a 2 b – 3ab 2 (a + b) ialah ungkapan algebra integer.

(1/a + 1/b – c/3) 3 bukan ungkapan algebra integer, kerana mengandungi pembahagian mengikut pembolehubah.

Ungkapan pecahan ialah ungkapan algebra yang terdiri daripada nombor dan pembolehubah menggunakan operasi tambah, tolak, darab, eksponen dengan eksponen asli dan bahagi.

(1/a + 1/b – c/3) 3 ialah ungkapan algebra pecahan.

Ungkapan algebra rasional ialah ungkapan integer dan pecahan.

Oleh itu, kedua-dua 2a 2 b – 3ab 2 (a + b) dan (1/a + 1/b – c/3) 3 ialah ungkapan algebra rasional.

Ungkapan algebra tidak rasional ialah ungkapan algebra yang menggunakan pengambilan punca pembolehubah (atau menaikkan pembolehubah kepada kuasa pecahan).

a 2/3 – b 2/3 ialah ungkapan algebra yang tidak rasional.

Dengan kata lain, semua ungkapan algebra dibahagikan kepada dua kumpulan besar: ungkapan algebra rasional dan tidak rasional. Ungkapan rasional pula dibahagikan kepada integer dan pecahan.

Nilai pembolehubah yang boleh diterima ialah nilai pembolehubah yang mana ungkapan algebra masuk akal. Set semua kemungkinan nilai pembolehubah ialah domain ungkapan algebra.

Ungkapan integer masuk akal untuk sebarang nilai pembolehubahnya. Contohnya, 2a 2 b – 3ab 2 (a + b) masuk akal untuk kedua-dua a = 0, b = 1, dan untuk a = 3, b = 6, dsb.

Andaikan bahawa a = 0, b = 1, dan cuba cari penyelesaian kepada ungkapan itu

2a 2 b – 3ab 2 (a + b).

Jika a = 0, b = 1, maka 2 ∙ 0 2 ∙ 1 – 3 ∙ 0 ∙ 1 2 ∙ (0 + 1) = 0 ∙ 0 = 0.

Oleh itu, untuk a = 0, b = 1, ungkapan adalah sama dengan 0.

Ungkapan pecahan hanya masuk akal jika nilai tidak menetapkan pembolehubah kepada sifar: ingat "peraturan emas" kami - anda tidak boleh bahagi dengan sifar.

Ungkapan (1/a + 1/b – c/3) 3 masuk akal apabila a dan b tidak sama dengan sifar (a ≠ 0, b ≠ 0). Jika tidak, kita akan mendapat pembahagian dengan sifar.

Ungkapan tidak rasional tidak akan masuk akal untuk nilai pembolehubah yang bertukar menjadi nombor negatif ungkapan yang terkandung di bawah tanda punca darjah genap atau di bawah tanda peningkatan kepada kuasa pecahan.

Ungkapan a 2/3 - b 2/3 masuk akal apabila a ≥ 0 dan b ≥ 0. Jika tidak, kita akan berhadapan dengan menaikkan nombor negatif kepada kuasa pecahan.

Nilai ungkapan algebra ialah ungkapan angka yang terhasil daripada fakta bahawa pembolehubah diberi nilai yang sah.

Mari kita cari nilai ungkapan algebra

a + b + c/5 untuk a = 6, b = 3, c = 5.

1. Ungkapan a + b + c/5 ialah ungkapan algebra integer → semua nilai adalah sah.

2. Gantikan nilai berangka pembolehubah dan dapatkan:

6 + 3 + 5/5 = 9 + 1 = 10.

Maka jawapannya ialah: 10.

Identiti ialah kesamaan yang benar untuk semua nilai yang boleh diterima bagi pembolehubah konstituennya.

Ungkapan dikatakan sama sama jika nilai sepadannya bertepatan untuk semua nilai pembolehubah yang boleh diterima. Jadi, ungkapan x 5 dan x 2 ∙ x 3, a + b + c dan b + c + a adalah sama sama antara satu sama lain.

Konsep ungkapan yang sama sama membawa kita kepada satu lagi konsep penting - transformasi identiti ekspresi.

Transformasi identiti ungkapan ialah penggantian satu ungkapan dengan ungkapan yang lain, sama dengannya.

Ini bermakna ungkapan x 5 boleh ditukar secara identik kepada ungkapan x 2 ∙ x 3 .

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Ungkapan algebra

ungkapan yang terdiri daripada huruf dan nombor yang dihubungkan dengan tanda-tanda operasi tambah, tolak, darab, bahagi, naikkan kepada kuasa integer dan mengekstrak punca (eksponen dan punca mestilah nombor tetap). A. dalam. dipanggil rasional berkenaan dengan beberapa huruf yang termasuk di dalamnya jika ia tidak mengandunginya di bawah tanda pengekstrakan akar, contohnya

rasional berkenaan dengan a, b dan c. A. dalam. dipanggil integer berkenaan dengan beberapa huruf jika ia tidak mengandungi pembahagian dengan ungkapan yang mengandungi huruf ini, contohnya 3a / c + bc 2 - 3ac / 4 ialah integer berkenaan dengan a dan b. Jika beberapa huruf (atau semua) dianggap pembolehubah, maka A. c. ialah fungsi algebra.

Ensiklopedia Soviet yang Hebat. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa "Ungkapan Algebra" dalam kamus lain:

Ungkapan yang terdiri daripada huruf dan nombor yang dihubungkan dengan tanda-tanda operasi algebra: penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian, peningkatan kepada kuasa, mengekstrak punca ... Kamus Ensiklopedia Besar

ungkapan algebra- - Topik industri minyak dan gas EN ungkapan algebra ... Buku Panduan Penterjemah Teknikal

Ungkapan algebra ialah satu atau lebih kuantiti algebra (nombor dan huruf) yang saling berkaitan dengan tanda-tanda operasi algebra: penambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian, serta mengekstrak punca dan menaikkan kepada integer ... ... Wikipedia

Ungkapan yang terdiri daripada huruf dan nombor yang dihubungkan dengan tanda-tanda operasi algebra: penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian, peningkatan kepada kuasa, mengeluarkan punca. * * * EKSPRESI ALGEBRAIK EKSPRESI ALGEBRAIK, ungkapan, ... ... Kamus ensiklopedia

ungkapan algebra- algebrinė išraiška statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ungkapan algebra vok. algebraischer Ausdruck, m rus. ungkapan algebra, n pranc. ungkapan algebrik, f … Fizikos terminų žodynas

Ungkapan yang terdiri daripada huruf dan nombor yang dihubungkan dengan tanda algebra. tindakan: tambah, tolak, darab, bahagi, eksponen, pengekstrakan akar ... Sains semula jadi. Kamus ensiklopedia

Ungkapan algebra berkenaan dengan pembolehubah tertentu, berbeza dengan satu transendental, ialah ungkapan yang tidak mengandungi fungsi lain bagi kuantiti tertentu, kecuali jumlah, hasil atau kuasa kuantiti ini, lebih-lebih lagi, istilah ... Kamus Ensiklopedia F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

EKSPRESI, ungkapan, rujuk. 1. Tindakan mengikut Ch. ekspres ekspres. Saya tidak dapat mencari kata-kata untuk menyatakan rasa terima kasih saya. 2. lebih kerap daripada tidak Penjelmaan idea dalam bentuk beberapa jenis seni (falsafah). Hanya artis yang hebat mampu mencipta ekspresi seperti itu, ... ... Kamus Penerangan Ushakov

Persamaan yang diperoleh dengan menyamakan dua ungkapan algebra (Lihat Ungkapan Algebra). A. y. dengan satu yang tidak diketahui dipanggil pecahan jika yang tidak diketahui termasuk dalam penyebut, dan tidak rasional jika yang tidak diketahui dimasukkan di bawah ... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

EKSPRESI- konsep matematik utama, yang bermaksud rekod huruf dan nombor yang disambungkan dengan tanda operasi aritmetik, manakala kurungan, simbol fungsi, dsb. boleh digunakan; selalunya B ialah bahagian formula juta daripadanya. Bezakan Dalam (1) ... ... Ensiklopedia Politeknik Hebat