Dalam ruang dua dimensi, dua garis bersilang hanya pada satu titik, diberikan oleh koordinat (x, y). Oleh kerana kedua-dua garisan melalui titik persilangannya, koordinat (x, y) mesti memenuhi kedua-dua persamaan yang menerangkan garisan ini. Dengan beberapa kemahiran lanjutan, anda boleh mencari titik persilangan parabola dan lengkung kuadratik yang lain.

Langkah-langkah

Titik persilangan dua garis

Tuliskan persamaan setiap baris, mengasingkan pembolehubah "y" di sebelah kiri persamaan. Sebutan lain bagi persamaan hendaklah diletakkan di sebelah kanan persamaan. Mungkin persamaan yang diberikan kepada anda dan bukannya "y" akan mengandungi pembolehubah f (x) atau g (x); dalam kes ini asingkan pembolehubah sedemikian. Untuk mengasingkan pembolehubah, lakukan operasi matematik yang sesuai pada kedua-dua belah persamaan.

• Jika persamaan garis tidak diberikan kepada anda, berdasarkan maklumat yang anda ketahui.
• Contoh. Diberi garis lurus yang diterangkan oleh persamaan dan y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Untuk mengasingkan "y" dalam persamaan kedua, tambahkan nombor 12 pada kedua-dua belah persamaan:

1. Anda sedang mencari titik persilangan kedua-dua garis, iaitu titik yang (x, y) koordinatnya memenuhi kedua-dua persamaan. Oleh kerana pembolehubah "y" berada di sebelah kiri setiap persamaan, ungkapan di sebelah kanan setiap persamaan boleh disamakan. Tuliskan persamaan baharu.

   • Contoh. Kerana y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) dan y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x), maka kita boleh menulis kesamaan berikut: .

2. Cari nilai pembolehubah "x". Persamaan baru mengandungi hanya satu pembolehubah "x". Untuk mencari "x", asingkan pembolehubah ini di sebelah kiri persamaan dengan melakukan matematik yang sesuai pada kedua-dua belah persamaan. Anda sepatutnya mempunyai persamaan seperti x = __ (jika anda tidak boleh melakukannya, lihat bahagian ini).

   • Contoh. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Tambah 2x (\displaystyle 2x) pada setiap sisi persamaan:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Kurangkan 3 dari setiap ruas persamaan:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Bahagikan setiap sisi persamaan dengan 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Gunakan nilai yang ditemui bagi pembolehubah "x" untuk mengira nilai pembolehubah "y". Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang ditemui "x" dalam persamaan (mana-mana) garis lurus.

   • Contoh. x = 3 (\displaystyle x=3) dan y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Semak jawapan. Untuk melakukan ini, gantikan nilai "x" dalam persamaan garis lurus yang lain dan cari nilai "y". Jika anda mendapat nilai "y" yang berbeza, pastikan pengiraan anda betul.

   • Contoh: x = 3 (\displaystyle x=3) dan y = 12 − 2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Anda mendapat nilai "y" yang sama, jadi tiada ralat dalam pengiraan anda.

5. Tuliskan koordinat (x, y). Dengan mengira nilai "x" dan "y", anda telah menemui koordinat titik persilangan dua garis. Tuliskan koordinat titik persilangan dalam bentuk (x, y).

   • Contoh. x = 3 (\displaystyle x=3) dan y=6 (\displaystyle y=6)
   • Oleh itu, dua garis bersilang pada satu titik dengan koordinat (3,6).

6. Pengiraan dalam kes khas. Dalam sesetengah kes, nilai pembolehubah "x" tidak dapat ditemui. Tetapi itu tidak bermakna anda melakukan kesilapan. Kes khas berlaku apabila salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

   • Jika dua garis selari, ia tidak bersilang. Dalam kes ini, pembolehubah "x" hanya akan dikurangkan, dan persamaan anda akan bertukar menjadi kesamaan yang tidak bermakna (contohnya, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Dalam kes ini, tulis dalam jawapan anda bahawa garisan tidak bersilang atau tiada penyelesaian.
   • Jika kedua-dua persamaan menerangkan satu garis lurus, maka akan terdapat bilangan titik persilangan yang tidak terhingga. Dalam kes ini, pembolehubah "x" hanya akan dikurangkan, dan persamaan anda akan bertukar menjadi kesamaan yang ketat (contohnya, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Dalam kes ini, tulis dalam jawapan anda bahawa dua baris bertepatan.

   Masalah dengan fungsi kuadratik

   1. Definisi fungsi kuadratik. Dalam fungsi kuadratik, satu atau lebih pembolehubah mempunyai darjah kedua (tetapi tidak lebih tinggi), contohnya, x 2 (\displaystyle x^(2)) atau y 2 (\displaystyle y^(2)). Graf fungsi kuadratik ialah lengkung yang mungkin tidak bersilang atau bersilang pada satu atau dua titik. Dalam bahagian ini, kami akan memberitahu anda cara mencari titik atau titik persilangan lengkung kuadratik.

   2. Tulis semula setiap persamaan dengan mengasingkan pembolehubah "y" di sebelah kiri persamaan. Sebutan lain bagi persamaan hendaklah diletakkan di sebelah kanan persamaan.

      • Contoh. Cari titik persilangan graf x 2 + 2 x − y = − 1 (\gaya paparan x^(2)+2x-y=-1) dan
      • Asingkan pembolehubah "y" di sebelah kiri persamaan:
      • dan y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Dalam contoh ini, anda diberikan satu fungsi kuadratik dan satu fungsi linear. Ingat bahawa jika anda diberi dua fungsi kuadratik, pengiraan adalah sama seperti langkah di bawah.

   3. Samakan ungkapan di sebelah kanan setiap persamaan. Oleh kerana pembolehubah "y" berada di sebelah kiri setiap persamaan, ungkapan di sebelah kanan setiap persamaan boleh disamakan.

      • Contoh. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) dan y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Pindahkan semua sebutan persamaan yang terhasil ke sebelah kirinya, dan tulis 0 di sebelah kanan. Untuk melakukan ini, lakukan operasi matematik asas. Ini akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan yang terhasil.

      • Contoh. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Kurangkan "x" daripada kedua-dua belah persamaan:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Kurangkan 7 daripada kedua-dua belah persamaan:

   5. Selesaikan persamaan kuadratik. Dengan memindahkan semua sebutan persamaan ke sebelah kirinya, anda mendapat persamaan kuadratik. Ia boleh diselesaikan dalam tiga cara: menggunakan formula khas, dan.

      • Contoh. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Apabila memfaktorkan persamaan, anda mendapat dua binomial, yang, apabila didarab, memberikan persamaan asal. Dalam contoh kita, ahli pertama x 2 (\displaystyle x^(2)) boleh diuraikan menjadi x*x. Buat entri berikut: (x)(x) = 0
      • Dalam contoh kami, pintasan -6 boleh difaktorkan seperti berikut: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • Dalam contoh kami, sebutan kedua ialah x (atau 1x). Tambahkan setiap pasangan faktor pintasan (dalam contoh kami -6) sehingga anda mendapat 1. Dalam contoh kami, pasangan faktor pintasan yang betul ialah -2 dan 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), kerana − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Isi ruang kosong dengan pasangan nombor yang ditemui: .

   6. Jangan lupa tentang titik persilangan kedua dua graf. Jika anda menyelesaikan masalah dengan cepat dan tidak berhati-hati, anda boleh melupakan titik persimpangan kedua. Berikut ialah cara untuk mencari koordinat "x" bagi dua titik persilangan:

      • Contoh (pemfaktoran). Jika dalam persamaan (x − 2) (x + 3) = 0 (\gaya paparan (x-2)(x+3)=0) salah satu ungkapan dalam kurungan akan sama dengan 0, maka keseluruhan persamaan akan sama dengan 0. Oleh itu, kita boleh menulisnya seperti ini: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) dan x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (iaitu, anda menemui dua punca persamaan).
      • Contoh (gunakan formula atau petak lengkap). Apabila menggunakan salah satu kaedah ini, punca kuasa dua akan muncul dalam proses penyelesaian. Sebagai contoh, persamaan daripada contoh kami akan mengambil bentuk x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Ingat bahawa apabila mengambil punca kuasa dua, anda akan mendapat dua penyelesaian. Dalam kes kami: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25))=5*5), dan 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Jadi tulis dua persamaan dan cari dua nilai x.

   7. Graf bersilang pada satu titik atau tidak bersilang sama sekali. Situasi sedemikian berlaku apabila syarat berikut dipenuhi:

      • Jika graf bersilang pada satu titik, maka persamaan kuadratik diuraikan kepada faktor yang sama, contohnya, (x-1) (x-1) = 0, dan punca kuasa dua 0 muncul dalam formula ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Dalam kes ini, persamaan hanya mempunyai satu penyelesaian.
      • Jika graf tidak bersilang sama sekali, maka persamaan tidak memfaktorkan, dan punca kuasa dua nombor negatif muncul dalam formula (contohnya, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Dalam kes ini, tulis dalam jawapan bahawa tiada penyelesaian.

Apabila menyelesaikan beberapa masalah geometri menggunakan kaedah koordinat, adalah perlu untuk mencari koordinat titik persilangan garis. Selalunya, seseorang perlu mencari koordinat titik persilangan dua garisan pada satah, tetapi kadangkala ia menjadi perlu untuk menentukan koordinat titik persilangan dua garisan di angkasa. Dalam artikel ini, kita akan berurusan dengan mencari koordinat titik di mana dua garis bersilang.

Navigasi halaman.

Titik persilangan dua garis adalah definisi.

Mari kita tentukan titik persilangan dua garis terlebih dahulu.

Oleh itu, untuk mencari koordinat titik persilangan dua garis yang ditakrifkan pada satah dengan persamaan am, adalah perlu untuk menyelesaikan sistem yang terdiri daripada persamaan garis yang diberikan.

Mari kita pertimbangkan contoh penyelesaian.

Contoh.

Cari titik persilangan dua garis yang ditakrifkan dalam sistem koordinat segi empat tepat dalam satah dengan persamaan x-9y+14=0 dan 5x-2y-16=0 .

Penyelesaian.

Kami diberi dua persamaan umum garis, kami akan menyusun sistem daripadanya: . Penyelesaian sistem persamaan yang terhasil mudah didapati jika persamaan pertamanya diselesaikan berkenaan dengan pembolehubah x dan ungkapan ini digantikan ke dalam persamaan kedua:

Penyelesaian sistem persamaan yang ditemui memberi kita koordinat yang dikehendaki bagi titik persilangan dua garis.

Jawapan:

M 0 (4, 2) x-9y+14=0 dan 5x-2y-16=0 .

Jadi, mencari koordinat titik persilangan dua garis, yang ditakrifkan oleh persamaan am pada satah, dikurangkan kepada menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua pembolehubah yang tidak diketahui. Tetapi bagaimana jika garis lurus pada satah diberikan bukan oleh persamaan umum, tetapi oleh persamaan jenis yang berbeza (lihat jenis persamaan garis lurus pada satah)? Dalam kes ini, anda boleh mula-mula membawa persamaan garis ke bentuk umum, dan hanya selepas itu mencari koordinat titik persilangan.

Contoh.

dan .

Penyelesaian.

Sebelum mencari koordinat titik persilangan garis yang diberikan, kami membawa persamaannya ke bentuk umum. Peralihan daripada persamaan parametrik kepada garis lurus kepada persamaan am garis lurus ini adalah seperti berikut:

Sekarang kita akan menjalankan tindakan yang diperlukan dengan persamaan kanonik garis:

Oleh itu, koordinat yang dikehendaki bagi titik persilangan garis adalah penyelesaian sistem persamaan bentuk . Kami gunakan untuk menyelesaikannya:

Jawapan:

M 0 (-5, 1)

Terdapat satu lagi cara untuk mencari koordinat titik persilangan dua garisan dalam satah. Ia adalah mudah untuk menggunakannya apabila salah satu garis diberikan oleh persamaan parametrik bentuk , dan satu lagi - persamaan garis lurus dalam bentuk yang berbeza. Dalam kes ini, dalam persamaan lain, bukannya pembolehubah x dan y, anda boleh menggantikan ungkapan dan , dari mana ia akan menjadi mungkin untuk mendapatkan nilai yang sepadan dengan titik persilangan garis yang diberikan. Dalam kes ini, titik persilangan garis mempunyai koordinat .

Mari cari koordinat titik persilangan garis dari contoh sebelumnya dengan cara ini.

Contoh.

Tentukan koordinat titik persilangan garis dan .

Penyelesaian.

Gantikan dalam persamaan ungkapan langsung:

Menyelesaikan persamaan yang terhasil, kita dapat . Nilai ini sepadan dengan titik sepunya garis dan . Kami mengira koordinat titik persilangan dengan menggantikan garis lurus ke dalam persamaan parametrik:
.

Jawapan:

M 0 (-5, 1) .

Untuk melengkapkan gambar, satu lagi perkara perlu dibincangkan.

Sebelum mencari koordinat titik persilangan dua garisan dalam satah, adalah berguna untuk memastikan bahawa garisan yang diberikan benar-benar bersilang. Jika ternyata garis asal bertepatan atau selari, maka tidak ada persoalan untuk mencari koordinat titik persilangan garis tersebut.

Anda boleh, tentu saja, melakukan tanpa pemeriksaan sedemikian, dan segera menyusun sistem persamaan bentuk dan menyelesaikannya. Jika sistem persamaan mempunyai penyelesaian yang unik, maka ia memberikan koordinat titik di mana garis asal bersilang. Jika sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian, maka kita boleh membuat kesimpulan bahawa garis asal adalah selari (kerana tidak ada pasangan nombor nyata x dan y yang akan secara serentak memenuhi kedua-dua persamaan garisan yang diberikan). Daripada kehadiran set penyelesaian tak terhingga kepada sistem persamaan, maka garis asal mempunyai banyak titik persamaan yang tak terhingga, iaitu, ia bertepatan.

Mari lihat contoh yang sesuai dengan situasi ini.

Contoh.

Ketahui jika garis dan bersilang, dan jika ia bersilang, kemudian cari koordinat titik persilangan.

Penyelesaian.

Persamaan garis yang diberikan sepadan dengan persamaan dan . Mari kita selesaikan sistem yang terdiri daripada persamaan ini .

Adalah jelas bahawa persamaan sistem dinyatakan secara linear melalui satu sama lain (persamaan kedua sistem diperoleh daripada yang pertama dengan mendarab kedua-dua bahagiannya dengan 4), oleh itu, sistem persamaan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Oleh itu, persamaan dan mentakrifkan garis yang sama, dan kita tidak boleh bercakap tentang mencari koordinat titik persilangan garis-garis ini.

Jawapan:

Persamaan dan tentukan garis lurus yang sama dalam sistem koordinat segi empat tepat Oxy, jadi kita tidak boleh bercakap tentang mencari koordinat titik persilangan.

Contoh.

Cari koordinat titik persilangan garis dan , kalau boleh.

Penyelesaian.

Keadaan masalah mengakui bahawa garisan mungkin tidak bersilang. Mari kita susun sistem persamaan ini. Berkenaan untuk penyelesaiannya, kerana ia membolehkan anda mewujudkan keserasian atau ketidakkonsistenan sistem persamaan, dan jika ia serasi, cari penyelesaian:

Persamaan terakhir sistem selepas laluan langsung kaedah Gauss bertukar menjadi kesamaan yang tidak betul, oleh itu, sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian. Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa garis asal adalah selari, dan kita tidak boleh bercakap tentang mencari koordinat titik persilangan garis-garis ini.

Penyelesaian kedua.

Mari kita ketahui sama ada garisan yang diberikan bersilang.

- vektor garis biasa , dan vektor ialah vektor biasa bagi garisan . Mari kita semak pelaksanaan dan : kesaksamaan adalah benar, kerana , oleh itu, vektor normal bagi garisan yang diberi adalah kolinear. Kemudian, garisan ini selari atau bertepatan. Oleh itu, kita tidak dapat mencari koordinat titik persilangan garis asal.

Jawapan:

Adalah mustahil untuk mencari koordinat titik persilangan garis yang diberikan, kerana garis ini selari.

Contoh.

Cari koordinat titik persilangan garis 2x-1=0 dan jika ia bersilang.

Penyelesaian.

Kami menyusun sistem persamaan yang merupakan persamaan umum bagi garisan yang diberikan: . Penentu matriks utama sistem persamaan ini adalah berbeza daripada sifar , jadi sistem persamaan mempunyai penyelesaian unik, yang menunjukkan persilangan garis yang diberikan.

Untuk mencari koordinat titik persilangan garis, kita perlu menyelesaikan sistem:

Penyelesaian yang terhasil memberi kita koordinat titik persilangan garis, iaitu, 2x-1=0 dan .

Jawapan:

Mencari koordinat titik persilangan dua garis dalam ruang.

Koordinat titik persilangan dua garisan dalam ruang tiga dimensi didapati sama.

Mari kita pertimbangkan contoh.

Contoh.

Cari koordinat titik persilangan dua garis yang diberi dalam ruang oleh persamaan dan .

Penyelesaian.

Kami menyusun sistem persamaan daripada persamaan garis yang diberikan: . Penyelesaian sistem ini akan memberi kita koordinat yang dikehendaki bagi titik persilangan garisan dalam ruang. Mari kita cari penyelesaian sistem persamaan bertulis.

Matriks utama sistem mempunyai bentuk , dan yang dilanjutkan .

Mari kita tentukan A dan pangkat matriks T . Kami guna

Persilangan pada paksi-x mesti menyelesaikan persamaan y₁=y₂, iaitu k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Ubah ketaksamaan ini untuk mendapatkan k₁x-k₂x=b₂-b₁. Sekarang ungkapkan x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂). Dengan cara ini anda akan menemui titik persilangan graf, yang terletak di sepanjang paksi OX. Cari titik persilangan pada paksi-y. Hanya gantikan dalam mana-mana fungsi nilai x yang anda temui sebelum ini.

Pilihan sebelumnya sesuai untuk carta. Jika fungsinya ialah , gunakan arahan berikut. Dengan cara yang sama seperti fungsi linear, cari nilai x. Untuk melakukan ini, selesaikan persamaan kuadratik. Dalam persamaan 2x² + 2x - 4=0 cari (persamaan diberikan sebagai contoh). Untuk melakukan ini, gunakan formula: D= b² - 4ac, dengan b ialah nilai sebelum X dan c ialah nilai berangka.

Menggantikan nilai berangka, anda akan mendapat ungkapan seperti D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Persamaan bergantung pada nilai diskriminasi. Sekarang tambah atau tolak (secara bergilir) punca daripada diskriminasi yang terhasil kepada nilai pembolehubah b dengan tanda “-”, dan bahagikan dengan dua kali hasil darab pekali a. Oleh itu, anda akan menemui punca-punca persamaan, iaitu koordinat titik persilangan.

Graf fungsi mempunyai ciri: paksi OX akan bersilang dua kali, iaitu, anda akan menemui dua koordinat paksi-x. Jika anda mendapat nilai X lawan Y berkala, maka ketahui bahawa graf bersilang pada bilangan titik yang tidak terhingga dengan paksi-x. Semak sama ada anda telah menemui titik persimpangan. Untuk melakukan ini, gantikan nilai X ke dalam persamaan f(x)=0.

Sumber:

• Mencari titik persilangan garis

Jika anda mengetahui nilai a, maka anda boleh mengatakan bahawa anda telah menyelesaikan persamaan kuadratik, kerana puncanya akan ditemui dengan mudah.

Anda perlu

• -rumus pendiskriminasi persamaan kuadratik;
• -Pengetahuan tentang jadual pendaraban

Arahan

Video-video yang berkaitan

Nasihat yang berguna

Diskriminasi persamaan kuadratik boleh positif, negatif, atau sama dengan 0.

Sumber:

• Menyelesaikan persamaan kuadratik
• diskriminasi adalah sama rata

Petua 3: Bagaimana untuk mencari koordinat titik persilangan graf fungsi

Graf fungsi y \u003d f (x) ialah set semua titik dalam satah, koordinat x, yang mana ia memenuhi hubungan y \u003d f (x). Graf fungsi secara visual menggambarkan tingkah laku dan sifat sesuatu fungsi. Untuk membina graf, beberapa nilai argumen x biasanya dipilih dan nilai yang sepadan bagi fungsi y=f(x) dikira untuknya. Untuk pembinaan graf yang lebih tepat dan visual, adalah berguna untuk mencari titik persilangannya dengan paksi koordinat.

Arahan

Apabila melintasi paksi-x (paksi-X), nilai fungsi ialah 0, i.e. y=f(x)=0. Untuk mengira x, anda perlu menyelesaikan persamaan f(x)=0. Dalam kes fungsi, kita mendapat persamaan ax+b=0, dan kita dapati x=-b/a.

Oleh itu, paksi-X bersilang pada titik (-b/a,0).

Dalam kes yang lebih kompleks, sebagai contoh, dalam kes pergantungan kuadratik y pada x, persamaan f (x) \u003d 0 mempunyai dua punca, oleh itu, paksi-x bersilang dua kali. Dalam kes pergantungan y pada x, contohnya y=sin(x), mempunyai bilangan titik persilangan yang tidak terhingga dengan paksi-x.

Untuk menyemak ketepatan mencari koordinat titik persilangan graf fungsi dengan paksi X, adalah perlu untuk menggantikan nilai yang ditemui bagi x f (x). Nilai ungkapan untuk mana-mana x yang dikira mestilah sama dengan 0.

Arahan

Pertama, adalah perlu untuk membincangkan pilihan sistem koordinat yang sesuai untuk menyelesaikan masalah. Biasanya, dalam masalah seperti ini, salah satu segitiga diletakkan pada paksi 0X supaya satu titik bertepatan dengan asal. Oleh itu, anda tidak seharusnya menyimpang daripada kanun keputusan yang diterima umum dan melakukan perkara yang sama (lihat Rajah 1). Kaedah menentukan segi tiga itu sendiri tidak memainkan peranan asas, kerana anda sentiasa boleh pergi dari salah satu daripadanya ke (yang anda boleh lihat kemudian).

Biarkan segitiga yang dikehendaki diberikan oleh dua vektor sisinya AC dan AB a(x1, y1) dan b(x2, y2), masing-masing. Selain itu, dengan pembinaan y1=0. Bahagian ketiga BC sepadan dengan c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), mengikut ilustrasi ini. Titik A diletakkan pada asal koordinat, iaitu koordinat A(0, 0). Ia juga mudah untuk melihatnya koordinat B (x2, y2), C (x1, 0). Daripada ini kita boleh menyimpulkan bahawa takrif segitiga oleh dua vektor secara automatik bertepatan dengan takrifannya dengan tiga titik.

Seterusnya, anda perlu melengkapkan segi tiga yang dikehendaki kepada segi empat selari ABDC yang sepadan dengan saiznya. Lebih-lebih lagi, pada titik itu persimpangan pepenjuru segi empat selari, mereka dibahagikan, supaya AQ ialah median bagi segi tiga ABC, menurun dari A ke sisi BC. Vektor pepenjuru s mengandungi yang ini dan, mengikut peraturan selari, jumlah geometri a dan b. Kemudian s = a + b, dan yang koordinat s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Sama koordinat juga akan berada di titik D(x1+x2, y2).

Sekarang anda boleh meneruskan untuk menyusun persamaan garis lurus yang mengandungi s, median AQ dan, yang paling penting, titik yang dikehendaki persimpangan median H. Memandangkan vektor s itu sendiri adalah panduan untuk garis ini, dan titik A (0, 0) kepunyaannya juga diketahui, perkara yang paling mudah ialah menggunakan persamaan garis satah dalam bentuk kanonik: (x -x0) / m =(y-y0)/n. Di sini (x0, y0) koordinat titik arbitrari garis lurus (titik А(0, 0)), dan (m, n) – koordinat s (vektor (x1+x2, y2). Maka, baris l1 yang diingini akan kelihatan seperti: x/(x1+x2)=y/ y2.

Cara untuk mencarinya ialah di persimpangan. Oleh itu, satu lagi garis lurus harus dijumpai mengandungi apa yang dipanggil.Untuk ini, dalam rajah. 1 binaan segi empat selari АPBC, yang pepenjuru g=a+c =g(2x1-x2, -y2) mengandungi median kedua CW, diturunkan dari C ke sisi AB. Diagonal ini mengandungi titik C(x1, 0), koordinat yang akan memainkan peranan (x0, y0), dan vektor arah di sini ialah g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Dari sini l2 diberikan oleh persamaan: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

1. Untuk mencari koordinat titik persilangan graf fungsi, anda perlu menyamakan kedua-dua fungsi antara satu sama lain, gerakkan semua istilah yang mengandungi $ x $ ke sebelah kiri, dan selebihnya ke sebelah kanan dan cari punca yang terhasil. persamaan.
2. Cara kedua ialah menyusun sistem persamaan dan menyelesaikannya dengan menggantikan satu fungsi kepada fungsi yang lain
3. Kaedah ketiga melibatkan pembinaan grafik fungsi dan definisi visual titik persilangan.

Kes dua fungsi linear

Pertimbangkan dua fungsi linear $ f(x) = k_1 x+m_1 $ dan $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Fungsi ini dipanggil langsung. Membinanya cukup mudah, anda hanya perlu mengambil mana-mana dua nilai $x_1$ dan $x_2$ dan cari $f(x_1)$ dan $(x_2)$. Kemudian ulangi perkara yang sama dengan fungsi $ g(x) $. Seterusnya, cari secara visual koordinat titik persilangan graf fungsi.

Anda harus tahu bahawa fungsi linear hanya mempunyai satu titik persilangan dan hanya apabila $ k_1 \neq k_2 $. Jika tidak, dalam kes $ k_1=k_2 $, fungsi adalah selari antara satu sama lain, kerana $ k $ ialah faktor cerun. Jika $ k_1 \neq k_2 $, tetapi $ m_1=m_2 $, maka titik persilangan akan menjadi $ M(0;m) $. Adalah wajar untuk mengingati peraturan ini untuk penyelesaian masalah yang dipercepatkan.

Contoh 1

Biarkan $ f(x) = 2x-5 $ dan $ g(x)=x+3 $ diberikan. Cari koordinat titik persilangan graf fungsi.

Penyelesaian

Bagaimana hendak melakukannya? Oleh kerana dua fungsi linear dibentangkan, perkara pertama yang kita lihat ialah pekali cerun kedua-dua fungsi $ k_1 = 2 $ dan $ k_2 = 1 $. Ambil perhatian bahawa $ k_1 \neq k_2 $, jadi terdapat satu titik persilangan. Mari cari menggunakan persamaan $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Kami memindahkan istilah dari $ x $ ke sebelah kiri, dan selebihnya ke kanan: $$ 2x - x = 3+5 $$ Kami mendapat $ x=8 $ absis titik persilangan graf, dan sekarang mari kita cari ordinat. Untuk melakukan ini, kita menggantikan $ x = 8 $ ke dalam mana-mana persamaan sama ada dalam $ f(x) $ atau dalam $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Jadi, $ M (8;11) $ - ialah titik persilangan graf dua fungsi linear. Jika anda tidak dapat menyelesaikan masalah anda, hantarkan kepada kami. Kami akan memberikan penyelesaian terperinci. Anda akan dapat membiasakan diri dengan kemajuan pengiraan dan mengumpul maklumat. Ini akan membantu anda mendapatkan kredit daripada guru tepat pada masanya!

Jawab

$$ M (8;11) $$

Kes dua fungsi bukan linear

Contoh 3

Cari koordinat titik persilangan graf fungsi: $ f(x)=x^2-2x+1 $ dan $ g(x)=x^2+1 $

Penyelesaian

Bagaimana pula dengan dua fungsi bukan linear? Algoritmanya mudah: kita menyamakan persamaan antara satu sama lain dan mencari puncanya: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Kami menyebarkan istilah dengan $ x $ dan tanpanya pada sisi persamaan yang berbeza: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Abscissa titik yang dikehendaki ditemui, tetapi ia tidak mencukupi. Ordinasi $ y $ masih tiada. Gantikan $ x = 0 $ ke dalam mana-mana dua persamaan penyataan masalah. Sebagai contoh: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - titik persilangan graf fungsi

Jawab

$$ M (0;1) $$

Pelajaran dari siri "Algoritma Geometrik"

Hello pembaca yang dikasihi!

Kami terus berkenalan dengan algoritma geometri. Dalam pelajaran lepas, kami mendapati persamaan garis lurus dalam koordinat dua titik. Kami mempunyai persamaan bentuk:

Hari ini kita akan menulis fungsi yang, menggunakan persamaan dua garis lurus, akan mencari koordinat titik persilangan mereka (jika ada). Untuk menyemak kesamaan nombor nyata, kami akan menggunakan fungsi khas RealEq().

Titik pada satah diterangkan oleh sepasang nombor nyata. Apabila menggunakan jenis sebenar, adalah lebih baik untuk mengatur operasi perbandingan dengan fungsi khas.

Sebabnya diketahui: tidak ada hubungan pesanan pada jenis Nyata dalam sistem pengaturcaraan Pascal, jadi lebih baik tidak menggunakan rekod bentuk a = b, di mana a dan b adalah nombor nyata.
Hari ini kami akan memperkenalkan fungsi RealEq() untuk melaksanakan operasi “=” (sangat sama):

Fungsi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sangat sama) mula RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Satu tugas. Persamaan dua garis lurus diberikan: dan . Cari titik persimpangan mereka.

Penyelesaian. Penyelesaian yang jelas adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan garis: Mari kita tulis semula sistem ini sedikit berbeza:
(1)

Kami memperkenalkan notasi: , , . Di sini D ialah penentu sistem, dan merupakan penentu yang diperoleh dengan menggantikan lajur pekali untuk yang tidak diketahui sepadan dengan lajur sebutan bebas. Jika , maka sistem (1) adalah pasti, iaitu, ia mempunyai penyelesaian yang unik. Penyelesaian ini boleh didapati dengan formula berikut: , , yang dipanggil Formula Cramer. Biar saya ingatkan anda bagaimana penentu tertib kedua dikira. Penentu membezakan antara dua pepenjuru: utama dan sekunder. Diagonal utama terdiri daripada elemen yang diambil dalam arah dari sudut kiri atas penentu ke sudut kanan bawah. Diagonal sisi - dari kanan atas ke kiri bawah. Penentu tertib kedua adalah sama dengan hasil darab unsur pepenjuru utama tolak hasil darab unsur pepenjuru sekunder.

Kod menggunakan fungsi RealEq() untuk menyemak kesamaan. Pengiraan ke atas nombor nyata dibuat dengan ketepatan sehingga _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(ketepatan pengiraan) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Fungsi RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (sangat sama) mula RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Kami telah menyusun atur cara yang anda boleh, mengetahui persamaan garis, mencari koordinat titik persilangannya.