Kira modulus hasil tambah geometri bagi vektor. vektor

Banyak kuantiti fizik ditentukan sepenuhnya oleh penetapan beberapa nombor. Ini adalah, sebagai contoh, isipadu, jisim, ketumpatan, suhu badan, dll. Kuantiti sedemikian dipanggil skalar. Atas sebab ini, nombor kadangkala dipanggil skalar. Tetapi terdapat juga kuantiti sedemikian yang ditentukan dengan menetapkan bukan sahaja nombor, tetapi juga arah tertentu. Sebagai contoh, apabila badan bergerak, seseorang harus menunjukkan bukan sahaja kelajuan badan bergerak, tetapi juga arah pergerakan. Dengan cara yang sama, apabila mengkaji tindakan mana-mana daya, adalah perlu untuk menunjukkan bukan sahaja nilai daya ini, tetapi juga arah tindakannya. Kuantiti sedemikian dipanggil vektor. Untuk menerangkannya, konsep vektor telah diperkenalkan, yang ternyata berguna untuk matematik.

Definisi vektor

Mana-mana pasangan tertib titik A hingga B dalam ruang mentakrifkan segmen yang diarahkan, iaitu segmen bersama-sama dengan arah yang diberikan padanya. Jika titik A adalah yang pertama, maka ia dipanggil permulaan segmen yang diarahkan, dan titik B dipanggil penghujungnya. Arah segmen ialah arah dari awal hingga akhir.

Definisi
Segmen terarah dipanggil vektor.

Kami akan menandakan vektor dengan simbol \(\overrightarrow(AB) \), di mana huruf pertama bermaksud permulaan vektor, dan yang kedua - penghujungnya.

Vektor yang permulaan dan penghujungnya sama dipanggil sifar dan dilambangkan dengan \(\vec(0) \) atau hanya 0.

Jarak antara permulaan dan penghujung vektor dipanggil nya panjang dan dilambangkan dengan \(|\overrightarrow(AB)| \) atau \(|\vec(a)| \).

Vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) dipanggil kolinear jika mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari. Vektor kolinear boleh diarahkan sama atau bertentangan.

Sekarang kita boleh merumuskan konsep penting kesamaan dua vektor.

Definisi
Vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) dipanggil sama (\(\vec(a) = \vec(b) \)) jika ia adalah kolinear, mempunyai arah yang sama, dan panjangnya adalah sama.

Pada rajah. 1, vektor tidak sama ditunjukkan di sebelah kiri, dan vektor sama \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) ditunjukkan di sebelah kanan. Ia mengikuti dari definisi kesamaan vektor bahawa jika vektor yang diberikan digerakkan selari dengan dirinya sendiri, maka vektor yang sama dengan yang diberikan akan diperoleh. Dalam hal ini, vektor dalam geometri analitik dipanggil percuma.

Unjuran vektor pada paksi

Biarkan paksi \(u\) dan beberapa vektor \(\overrightarrow(AB)\) diberikan dalam ruang. Mari kita lukis melalui titik A dan B dalam satah berserenjang dengan paksi \ (u \). Mari kita nyatakan dengan A "dan B" titik persilangan satah ini dengan paksi (lihat Rajah 2).

Unjuran vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada paksi \(u\) ialah nilai A"B" bagi segmen terarah A"B" pada paksi \(u\). Ingat itu
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , jika arah \(\overrightarrow(A"B") \) adalah sama dengan arah paksi \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) jika arah \(\overrightarrow(A"B") \) adalah bertentangan dengan arah paksi \(u \),
Unjuran vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada paksi \(u \) dilambangkan seperti berikut: \(Pr_u \overrightarrow(AB) \).

Teorem
Unjuran vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada paksi \(u \) adalah sama dengan panjang vektor \(\overrightarrow(AB) \) darab kosinus sudut antara vektor \( \overrightarrow(AB) \) dan paksi \( u \) , i.e.

\(P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) dengan \(\varphi \) ialah sudut antara vektor \(\overrightarrow(AB) \) dan paksi \(u \).

Komen
Biarkan \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) dan beberapa paksi \(u \) diberikan. Menggunakan formula teorem untuk setiap vektor ini, kami memperoleh

\(Ex_u \overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) \) i.e. vektor yang sama mempunyai unjuran yang sama pada paksi yang sama.

Unjuran vektor pada paksi koordinat

Biarkan sistem koordinat segi empat tepat Oxyz dan vektor arbitrari \(\overrightarrow(AB) \) diberikan dalam ruang. Biarkan, selanjutnya, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Unjuran X, Y, Z bagi vektor \(\overrightarrow(AB) \) pada paksi koordinat memanggilnya koordinat. Pada masa yang sama mereka menulis
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

Teorem
Walau apa pun dua titik A(x 1 ; y 1 ; z 1) dan B(x 2 ; y 2 ​​​​; z 2) adalah, koordinat vektor \(\overrightarrow(AB) \) ditakrifkan oleh formula berikut :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z \u003d z 2 -z 1

Komen
Jika vektor \(\overrightarrow(AB) \) meninggalkan asal, i.e. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, maka koordinat X, Y, Z bagi vektor \(\overrightarrow(AB) \) adalah sama dengan koordinat hujungnya:
X=x, Y=y, Z=z.

Kosinus arah vektor

Biarkan vektor arbitrari \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); kami menganggap bahawa \(\vec(a) \) meninggalkan asalan dan tidak terletak pada sebarang satah koordinat. Mari kita lukis melalui satah titik A berserenjang dengan paksi. Bersama-sama dengan satah koordinat, mereka membentuk selari segi empat tepat, pepenjurunya ialah segmen OA (lihat rajah).

Dari geometri asas diketahui bahawa kuasa dua panjang pepenjuru segi empat selari adalah sama dengan jumlah kuasa dua panjang tiga dimensinya. Akibatnya,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Tetapi \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); dengan itu kita dapat
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
atau
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Formula ini menyatakan panjang vektor arbitrari dari segi koordinatnya.

Nyatakan dengan \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) sudut antara vektor \(\vec(a) \) dan paksi koordinat. Daripada formula untuk unjuran vektor ke paksi dan panjang vektor, kita perolehi
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) dipanggil kosinus arah bagi vektor \(\vec(a) \).

Mengkuadratkan sisi kiri dan kanan setiap kesamaan sebelumnya dan merumuskan keputusan, kita ada
\(\cos^2 \alfa + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
mereka. jumlah kosinus arah kuasa dua mana-mana vektor adalah sama dengan satu.

Operasi linear pada vektor dan sifat utamanya

Operasi linear pada vektor ialah operasi menambah dan menolak vektor dan mendarab vektor dengan nombor.

Penambahan dua vektor

Biarkan dua vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) diberi. Jumlah \(\vec(a) + \vec(b) \) ialah vektor yang pergi dari permulaan vektor \(\vec(a) \) ke penghujung vektor \(\vec(b) \) dengan syarat bahawa vektor \(\vec(b) \) dilampirkan pada hujung vektor \(\vec(a) \) (lihat rajah).

Komen
Tindakan menolak vektor adalah bertentangan dengan tindakan penambahan, i.e. perbezaan \(\vec(b) - \vec(a) \) bagi vektor \(\vec(b) \) dan \(\vec(a) \) ialah vektor yang, bersama-sama dengan vektor \( \vec(a) ) \) memberikan vektor \(\vec(b) \) (lihat rajah).

Komen
Setelah menentukan jumlah dua vektor, seseorang boleh mencari jumlah sebarang bilangan vektor yang diberikan. Mari, sebagai contoh, diberi tiga vektor \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Menambah \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \), kita mendapat vektor \(\vec(a) + \vec(b) \). Sekarang menambah vektor \(\vec(c) \) kepadanya, kita mendapat vektor \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Hasil darab vektor dengan nombor

Biarkan vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) dan nombor \(\lambda \neq 0 \) diberi. Hasil darab \(\lambda \vec(a) \) ialah vektor yang sejajar dengan vektor \(\vec(a) \), mempunyai panjang yang sama dengan \(|\lambda| |\vec(a)| \), dan arah yang sama dengan vektor \(\vec(a) \) jika \(\lambda > 0 \), dan sebaliknya jika \(\lambda (0) \) dengan nombor \(\lambda \neq 0 \) boleh dinyatakan seperti berikut: jika \(|\lambda| >1 \), maka apabila mendarab vektor \(\vec(a) \) dengan nombor \( \lambda \) vektor \( \vec(a) \) "diregangkan" sebanyak \(\lambda \) kali, dan jika \(|\lambda| 1 \).

Jika \(\lambda =0 \) atau \(\vec(a) = \vec(0) \), maka hasil darab \(\lambda \vec(a) \) diandaikan sama dengan vektor sifar.

Komen
Menggunakan takrifan pendaraban vektor dengan nombor, adalah mudah untuk membuktikan bahawa jika vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) adalah kolinear dan \(\vec(a) \neq \vec(0) \), maka wujud (dan hanya satu) nombor \(\lambda \) supaya \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Sifat asas operasi linear

1. Sifat komutatif penambahan
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Sifat bersekutu penambahan
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Sifat bersekutu darab
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Harta pengagihan berkenaan dengan jumlah nombor
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Harta pengagihan berkenaan dengan jumlah vektor
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Komen
Sifat-sifat operasi linear ini mempunyai kepentingan asas, kerana ia membolehkan untuk melaksanakan operasi algebra biasa pada vektor. Sebagai contoh, disebabkan oleh sifat 4 dan 5, adalah mungkin untuk melakukan pendaraban polinomial skalar dengan polinomial vektor "istilah dengan sebutan".

Teorem unjuran vektor

Teorem
Unjuran hasil tambah dua vektor pada paksi adalah sama dengan jumlah unjuran mereka pada paksi ini, i.e.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Teorem boleh digeneralisasikan kepada kes sebarang bilangan istilah.

Teorem
Apabila mendarabkan vektor \(\vec(a) \) dengan nombor \(\lambda \), unjurannya pada paksi juga didarab dengan nombor ini, i.e. \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)

Akibat
Jika \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) dan \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), maka
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Akibat
Jika \(\vec(a) = (x;y;z) \), maka \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) untuk sebarang nombor \(\lambda \)

Dari sini mudah disimpulkan keadaan kolineariti dua vektor dalam koordinat.
Sesungguhnya, kesamaan \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) adalah bersamaan dengan kesamaan \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) atau
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) i.e. vektor \(\vec(a) \) dan \(\vec(b) \) adalah kolinear jika dan hanya jika koordinatnya berkadar.

Penguraian vektor dari segi asas

Biarkan vektor \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) ialah vektor unit bagi paksi koordinat, i.e. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), dan setiap satu daripadanya diarahkan sama dengan paksi koordinat yang sepadan (lihat rajah). Tiga kali ganda vektor \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) dipanggil asas.
Teorem berikut berlaku.

Teorem
Mana-mana vektor \(\vec(a) \) boleh dikembangkan secara unik dalam asas \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), i.e. dibentangkan dalam borang
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
dengan \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) ialah beberapa nombor.

Jumlah vektor. Panjang vektor. Rakan-rakan yang dihormati, terdapat sekumpulan tugas dengan vektor dalam jenis peperiksaan belakang. Tugas dengan julat yang agak luas (penting untuk mengetahui asas teori). Kebanyakannya diselesaikan secara lisan. Soalan berkaitan dengan mencari panjang vektor, jumlah (perbezaan) vektor, hasil skalar. Terdapat juga banyak tugas, dalam penyelesaian yang perlu untuk menjalankan tindakan dengan koordinat vektor.

Teori di sebalik vektor adalah mudah dan harus difahami dengan baik. Dalam artikel ini, kami akan menganalisis tugas yang berkaitan dengan mencari panjang vektor, serta jumlah (perbezaan) vektor. Beberapa perkara teori:

Konsep vektor

Vektor ialah segmen garis terarah.

Semua vektor yang mempunyai arah yang sama dan panjang yang sama adalah sama.

*Keempat-empat vektor di atas adalah sama!

Iaitu, jika kita menggunakan terjemahan selari untuk memindahkan vektor yang diberikan kepada kita, kita akan sentiasa mendapat vektor yang sama dengan yang asal. Oleh itu, boleh terdapat bilangan vektor yang sama yang tidak terhingga.

Notasi vektor

Vektor boleh dilambangkan dengan huruf besar Latin, sebagai contoh:

Dengan bentuk tatatanda ini, huruf yang menunjukkan permulaan vektor terlebih dahulu ditulis, kemudian huruf yang menandakan akhir vektor.

Vektor lain dilambangkan dengan satu huruf abjad Latin (kapital):

Penamaan tanpa anak panah juga mungkin:

Hasil tambah dua vektor AB dan BC akan menjadi vektor AC.

Ia ditulis sebagai AB + BC \u003d AC.

Peraturan ini dipanggil - peraturan segi tiga.

Iaitu, jika kita mempunyai dua vektor - mari kita panggil mereka secara bersyarat (1) dan (2), dan penghujung vektor (1) bertepatan dengan permulaan vektor (2), maka jumlah vektor ini akan menjadi vektor yang permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor (1) , dan penghujungnya bertepatan dengan penghujung vektor (2).

Kesimpulan: jika kita mempunyai dua vektor pada pesawat, kita sentiasa boleh mencari jumlahnya. Menggunakan terjemahan selari, anda boleh mengalihkan mana-mana vektor ini dan menyambungkan permulaannya ke penghujung yang lain. Sebagai contoh:

Mari kita alihkan vektor b, atau dengan cara lain - kami akan membina sama dengannya:

Bagaimanakah jumlah beberapa vektor ditemui? Dengan prinsip yang sama:

* * *

peraturan selari

Peraturan ini adalah akibat daripada perkara di atas.

Untuk vektor dengan asalan yang sama, jumlahnya diwakili oleh pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor ini.

Mari kita bina vektor yang sama dengan vektor b supaya permulaannya bertepatan dengan penghujung vektor a, dan kita boleh membina vektor yang akan menjadi jumlahnya:

Beberapa maklumat yang lebih penting diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

Vektor yang sama panjang dengan yang asal, tetapi berlawanan arah, juga dilambangkan tetapi mempunyai tanda yang bertentangan:

Maklumat ini amat berguna untuk menyelesaikan masalah di mana terdapat persoalan mencari perbezaan vektor. Seperti yang anda lihat, perbezaan vektor adalah jumlah yang sama dalam bentuk yang diubah suai.

Biarkan dua vektor diberikan, cari perbezaannya:

Kami membina vektor bertentangan dengan vektor b, dan mendapati perbezaannya.

Koordinat vektor

Untuk mencari koordinat vektor, anda perlu menolak koordinat permulaan yang sepadan daripada koordinat akhir:

Iaitu, koordinat vektor ialah sepasang nombor.

Sekiranya

Dan koordinat vektor kelihatan seperti:

Kemudian c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

Sekiranya

Kemudian c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

Modulus vektor

Modul vektor ialah panjangnya, ditentukan oleh formula:

Formula untuk menentukan panjang vektor jika koordinat permulaan dan penghujungnya diketahui:

Pertimbangkan tugas:

Kedua-dua sisi segi empat tepat ABCD ialah 6 dan 8. pepenjuru bersilang pada titik O. Cari panjang beza antara vektor AO dan BO.

Mari cari vektor yang akan menjadi hasil AO - VO:

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

Iaitu, perbezaan antara vektor AO dan VO akan menjadi vektor AB. Dan panjangnya ialah lapan.

pepenjuru belah ketupat ABCD ialah 12 dan 16. Cari panjang vektor AB +AD.

Mari kita cari vektor yang akan menjadi jumlah vektor AD dan AB BC adalah sama dengan vektor AD . Jadi AB+AD=AB+BC=AC

AC ialah panjang pepenjuru rombus AC, ia bersamaan dengan 16.

Diagonal bagi rombus ABCD bersilang pada satu titik O dan bersamaan dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor AO + BO.

Mari kita cari vektor yang akan menjadi jumlah vektor AO dan BO BO adalah sama dengan vektor OD,

AD ialah panjang sisi rombus. Masalahnya dikurangkan kepada mencari hipotenus dalam segi tiga tepat AOD. Mari kita mengira kaki:

Mengikut teorem Pythagoras:

Diagonal bagi rombus ABCD bersilang pada titik O dan bersamaan dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor AO –BO.

Mari cari vektor yang akan menjadi hasil AO - VO:

AB ialah panjang sisi rombus. Masalahnya dikurangkan kepada mencari hipotenus AB dalam segi tiga tegak AOB. hitung kaki:

Mengikut teorem Pythagoras:

Sisi segitiga sekata ABC ialah 3.

Cari panjang vektor AB -AC.

Mari kita cari hasil perbezaan vektor:

CB adalah sama dengan tiga, kerana keadaan mengatakan bahawa segi tiga adalah sama sisi dan sisinya adalah sama dengan 3.

27663. Cari panjang vektor a (6; 8).

27664. Cari segi empat sama panjang vektor AB.

Dalam matematik dan fizik, pelajar dan pelajar sekolah sering menjumpai tugasan untuk kuantiti vektor dan untuk melaksanakan pelbagai operasi ke atasnya. Apakah perbezaan antara kuantiti vektor dan kuantiti skalar yang biasa kepada kita, satu-satunya ciri yang merupakan nilai berangka? Kerana mereka mempunyai hala tuju.

Penggunaan kuantiti vektor paling jelas dijelaskan dalam fizik. Contoh paling mudah ialah daya (daya geseran, daya kenyal, berat), halaju dan pecutan, kerana selain nilai berangka mereka juga mempunyai arah tindakan. Sebagai perbandingan, mari kita ambil contoh skalar: ini boleh menjadi jarak antara dua titik atau jisim badan. Mengapakah perlu melakukan operasi pada kuantiti vektor seperti penambahan atau penolakan? Ini adalah perlu untuk dapat menentukan hasil tindakan sistem vektor yang terdiri daripada 2 atau lebih elemen.

Definisi matematik vektor

Mari kita perkenalkan definisi utama yang digunakan semasa menjalankan operasi linear.

1. Vektor ialah segmen terarah (mempunyai titik mula dan titik akhir).
2. Panjang (modulus) ialah panjang segmen yang diarahkan.
3. Vektor kolinear ialah dua vektor yang sama ada selari dengan garis yang sama atau terletak serentak di atasnya.
4. Vektor berarah bertentangan dipanggil kolinear dan pada masa yang sama diarahkan ke arah yang berbeza. Jika hala tuju mereka bertepatan, maka mereka adalah arah bersama.
5. Vektor adalah sama apabila ia adalah kodirectional dan mempunyai nilai mutlak yang sama.
6. Hasil tambah dua vektor a dan b adalah vektor sedemikian c, permulaannya bertepatan dengan permulaan yang pertama, dan penghujungnya - dengan penghujung yang kedua, dengan syarat b bermula pada titik yang sama ia berakhir a.
7. Perbezaan vektor a dan b panggil jumlah a dan ( - b ), di mana ( - b ) - bertentangan dengan vektor b. Juga, takrif perbezaan dua vektor boleh diberikan seperti berikut: dengan perbezaan c vektor pasangan a dan b panggil ini c, yang, apabila ditambahkan pada subtrahend b membentuk berkurangan a.

Kaedah analisis

Kaedah analisis melibatkan mendapatkan koordinat perbezaan mengikut formula tanpa pembinaan. Adalah mungkin untuk melakukan pengiraan untuk ruang rata (dua dimensi), isipadu (tiga dimensi) atau n-dimensi.

Untuk ruang dua dimensi dan kuantiti vektor a {a₁;a₂) dan b {b₁;b₂} pengiraan akan kelihatan seperti ini: c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

Dalam kes menambah koordinat ketiga, pengiraan akan dijalankan dengan cara yang sama, dan untuk a {a₁;a₂; a₃) dan b {b₁;b₂; b₃) koordinat perbezaan juga akan diperoleh dengan penolakan berpasangan: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b₃}.

Mengira perbezaan secara grafik

Untuk memplot perbezaan secara grafik, anda harus menggunakan peraturan segitiga. Untuk melakukan ini, anda mesti melakukan urutan tindakan berikut:

1. Untuk koordinat yang diberikan, bina vektor yang anda perlukan untuk mencari perbezaannya.
2. Gabungkan hujungnya (iaitu, bina dua segmen terarah sama dengan yang diberikan, yang akan berakhir pada titik yang sama).
3. Sambungkan permulaan kedua-dua segmen yang diarahkan dan nyatakan arah; yang terhasil akan bermula pada titik yang sama di mana vektor yang menjadi minuend bermula dan berakhir pada titik permulaan vektor yang ditolak.

Keputusan operasi tolak ditunjukkan dalam rajah di bawah..

Terdapat juga kaedah untuk membina perbezaan, sedikit berbeza daripada yang sebelumnya. Intipatinya terletak pada penggunaan teorem pada perbezaan vektor, yang dirumuskan seperti berikut: untuk mencari perbezaan sepasang segmen terarah, cukup untuk mencari jumlah yang pertama dengan segmen yang bertentangan. kepada yang kedua. Algoritma pembinaan akan kelihatan seperti ini:

1. Bina segmen terarah awal.
2. Yang subtrahend mesti dicerminkan, iaitu, membina segmen yang berlawanan arah dan sama; kemudian gabungkan permulaannya dengan yang dikurangkan.
3. Bina jumlah: sambungkan permulaan segmen pertama dengan penghujung segmen kedua.

Keputusan keputusan ini ditunjukkan dalam rajah:

Penyelesaian masalah

Untuk menyatukan kemahiran, kami akan menganalisis beberapa tugas di mana ia diperlukan untuk mengira perbezaan secara analitik atau grafik.

Tugasan 1. Terdapat 4 mata pada satah: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Tentukan koordinat bagi vektor q = AB - CD, dan juga hitung panjangnya.

Penyelesaian. Mula-mula anda perlu mencari koordinat AB dan CD. Untuk melakukan ini, tolak koordinat titik awal daripada koordinat titik akhir. Untuk AB permulaannya ialah A(1; -3), dan penghujungnya - B(0; 4). Kira koordinat segmen yang diarahkan:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Pengiraan yang serupa dilakukan untuk CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Sekarang, mengetahui koordinat, anda boleh mencari perbezaan vektor. Formula untuk penyelesaian analisis masalah pesawat telah dipertimbangkan lebih awal: untuk c = a- b koordinat kelihatan seperti ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Untuk kes tertentu, anda boleh menulis:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Untuk mencari panjangnya q, kami menggunakan formula | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9.06.

Tugasan 2. Rajah menunjukkan vektor m, n dan p.

Adalah perlu untuk membina perbezaan untuk mereka: p- n; m- n; m-n- hlm. Ketahui yang mana satu mempunyai modulus terkecil.

Penyelesaian. Tugas itu memerlukan tiga pembinaan. Mari kita lihat setiap bahagian tugas dengan lebih terperinci.

Bahagian 1. Untuk menggambarkan hlm-n, Mari kita gunakan peraturan segitiga. Untuk melakukan ini, menggunakan terjemahan selari, kami menyambungkan segmen supaya titik akhirnya bertepatan. Sekarang mari kita sambungkan titik permulaan dan tentukan arahnya. Dalam kes kami, vektor perbezaan bermula di tempat yang sama dengan yang ditolak. n.

Bahagian 2. Mari kita gambarkan m-n. Sekarang untuk penyelesaian kita menggunakan teorem pada perbezaan vektor. Untuk melakukan ini, bina vektor bertentangan n, dan kemudian cari jumlahnya dengan m. Hasilnya akan kelihatan seperti ini:

Bahagian 3 Untuk mencari perbezaan m-n-p, bahagikan ungkapan kepada dua langkah. Memandangkan undang-undang yang serupa dengan undang-undang aritmetik digunakan dalam algebra vektor, pilihan berikut adalah mungkin:

• m-(n+p): dalam kes ini, jumlah itu dibina terlebih dahulu n+p, yang kemudiannya ditolak daripada m;
• (m-n)-p: di sini dahulu anda perlu mencari m-n, dan kemudian tolak daripada perbezaan ini hlm;
• (m-p)-n: tindakan pertama ditentukan m-p, selepas itu daripada hasilnya anda perlu tolak n.

Oleh kerana dalam bahagian sebelumnya masalah kami telah menemui perbezaannya m-n, kita hanya boleh menolaknya hlm. Mari kita bina beza dua vektor yang diberi menggunakan teorem beza. Jawapannya ditunjukkan dalam imej di bawah (merah menunjukkan hasil perantaraan, dan hijau menunjukkan keputusan akhir).

Ia kekal untuk menentukan segmen mana yang mempunyai modulus terkecil. Ingat bahawa konsep panjang dan modulus dalam matematik vektor adalah sama. Anggarkan secara visual panjangnya hlm- n, m-n dan m-n-hlm. Jelas sekali, jawapan di bahagian terakhir masalah adalah yang terpendek dan mempunyai modulus terkecil, iaitu m-n-hlm.

Kuantiti matematik atau fizik boleh diwakili sama ada kuantiti skalar (nilai berangka) atau kuantiti vektor (magnitud dan arah dalam ruang).

Vektor ialah segmen garis terarah, yang mana ia ditunjukkan titik sempadannya yang mana merupakan permulaan dan yang mana penghujung. Oleh itu, terdapat dua komponen dalam vektor - ini adalah panjang dan arahnya.

Imej vektor pada lukisan.

Apabila bekerja dengan vektor, sistem koordinat Cartesan tertentu sering diperkenalkan di mana koordinat vektor ditentukan dengan menguraikannya menjadi vektor asas:

Untuk vektor yang terletak dalam ruang koordinat (x,y,z) dan meninggalkan asalan

Jarak antara permulaan dan penghujung vektor dipanggil panjangnya, dan simbol modulus digunakan untuk menandakan panjang vektor (nilai mutlaknya).

Vektor yang terletak sama ada pada garis yang sama atau pada garis selari dipanggil kolinear. Vektor nol dianggap kolinear kepada mana-mana vektor. Antara vektor kolinear, vektor yang sama terarah (diarah bersama) dan berlawanan dibezakan. Vektor dipanggil coplanar jika ia terletak sama ada pada satah yang sama atau pada garis lurus selari dengan satah yang sama.

1. Panjang vektor (modulus vektor)

Panjang vektor menentukan nilai skalarnya dan bergantung pada koordinatnya, tetapi tidak bergantung pada arahnya. Panjang vektor (atau modulus vektor) dikira menggunakan punca kuasa dua aritmetik hasil tambah kuasa dua koordinat (komponen) vektor (peraturan untuk mengira hipotenus dalam segi tiga tepat digunakan, di mana vektor itu sendiri menjadi hipotenus).

Melalui koordinat, modul vektor dikira seperti berikut:

Untuk vektor yang terletak dalam ruang koordinat (x,y) dan keluar dari asalan

Untuk vektor yang terletak dalam ruang koordinat (x,y,z) dan keluar dari asalan, formula akan serupa dengan formula pepenjuru segi empat selari, kerana vektor dalam ruang mengambil kedudukan yang sama berbanding dengan koordinat. paksi.

2. Sudut antara vektor

Sudut antara dua vektor yang diplot dari satu titik ialah sudut terpendek di mana salah satu vektor mesti diputar di sekeliling asalnya ke kedudukan vektor kedua. Sudut antara vektor ditentukan menggunakan ungkapan untuk menentukan hasil darab skalar bagi vektor

Oleh itu, kosinus sudut antara vektor adalah sama dengan nisbah hasil skalar kepada hasil darab panjang atau modul vektor. Formula ini boleh digunakan jika panjang vektor dan hasil darab skalarnya diketahui, atau vektor diberikan oleh koordinat dalam sistem koordinat segi empat tepat pada satah atau dalam ruang dalam bentuk: dan .

Jika vektor A dan B diberikan dalam ruang tiga dimensi dan koordinat setiap daripadanya diberikan dalam bentuk: dan , maka sudut antara vektor ditentukan oleh ungkapan berikut:

Perlu diingat bahawa sudut antara vektor dan juga boleh ditentukan dengan menggunakan teorem kosinus untuk segi tiga: kuasa dua mana-mana sisi segi tiga adalah sama dengan jumlah kuasa dua dua sisi yang lain tolak dua kali hasil darab sisi ini dengan kosinus sudut antara mereka.

di mana AB, OA, OB ialah sisi yang sepadan bagi segi tiga itu.

Teorem kosinus bagi segi tiga

Berkenaan dengan kalkulus vektor, formula ini akan ditulis semula seperti berikut:

Oleh itu, sudut antara vektor dan ditentukan oleh ungkapan berikut:

di mana dan ialah modul (panjang) vektor, dan modul (panjang) vektor, yang ditentukan daripada perbezaan dua vektor. Yang tidak diketahui memasuki persamaan ditentukan oleh koordinat vektor dan .

3. Penambahan vektor

Penambahan dua vektor dan (jumlah dua vektor) ialah operasi pengiraan vektor , semua elemen adalah sama dengan hasil tambah berpasangan bagi elemen yang sepadan bagi vektor dan . Jika vektor diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat jumlah vektor

Secara grafik, dengan kedudukan dua vektor bebas boleh dijalankan kedua-duanya mengikut peraturan segi tiga, dan mengikut peraturan segi empat selari.

Penambahan dua vektor

Penambahan dua vektor gelongsor ditakrifkan hanya dalam kes apabila garisan di mana ia terletak bersilang. Penambahan dua vektor tetap ditakrifkan hanya jika ia mempunyai asalan yang sama.

peraturan segi tiga.

Untuk menambah dua vektor dan mengikut peraturan segitiga, kedua-dua vektor ini dipindahkan selari dengan diri mereka sendiri supaya permulaan salah satu daripadanya bertepatan dengan penghujung yang lain. Kemudian jumlah vektor diberikan oleh sisi ketiga segitiga yang terbentuk, dan permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor pertama, dan penghujungnya dengan penghujung vektor kedua.

di manakah sudut antara vektor apabila permulaan satu bertepatan dengan penghujung yang lain.

peraturan selari.

Untuk menambah dua vektor dan mengikut peraturan selari, kedua-dua vektor ini dipindahkan selari dengan diri mereka sendiri supaya permulaannya bertepatan. Kemudian vektor jumlah diberikan oleh pepenjuru segi empat selari yang dibina pada mereka, datang dari asal sepunya mereka.

Modul (panjang) vektor jumlah ditentukan oleh teorem kosinus:

di manakah sudut antara vektor yang keluar dari titik yang sama.

Catatan:

Seperti yang anda lihat, bergantung pada sudut mana yang dipilih, tanda di hadapan kosinus sudut berubah dalam formula untuk menentukan modul (panjang) vektor jumlah.

4. Perbezaan vektor

Perbezaan vektor dan (tolak vektor) ialah operasi pengiraan vektor , semua elemen adalah sama dengan perbezaan berpasangan elemen sepadan vektor dan . Jika vektor diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat perbezaan vektor dan boleh didapati menggunakan formula berikut:

Dalam bentuk grafik, perbezaan vektor dan merupakan hasil tambah bagi vektor dan vektor yang bertentangan dengan vektor, i.e.

Perbezaan dua vektor percuma

Perbezaan dua vektor bebas dalam bentuk grafik boleh ditentukan oleh peraturan segi tiga dan oleh peraturan selari. Modulus (panjang) vektor beza ditentukan oleh teorem kosinus. Bergantung pada sudut yang digunakan dalam formula, tanda di hadapan kosinus berubah (dibincangkan sebelum ini).

5. Hasil darab titik bagi vektor

Hasil darab skalar bagi dua vektor ialah nombor nyata yang sama dengan hasil darab panjang vektor yang didarab dan kosinus sudut di antara keduanya. Hasil darab skalar vektor dan dilambangkan dengan salah satu tatatanda berikut atau atau dan ditentukan oleh formula:

di manakah panjang vektor dan, masing-masing, dan ialah kosinus sudut antara vektor.

Hasil darab titik dua vektor

Hasil kali skalar juga boleh dikira melalui koordinat vektor dalam sistem koordinat segi empat tepat dalam satah atau dalam ruang.

Hasil darab skalar bagi dua vektor pada satah atau dalam ruang tiga dimensi dalam sistem koordinat segi empat tepat ialah hasil tambah hasil darab koordinat yang sepadan bagi vektor dan .

Oleh itu, untuk vektor dan pada satah dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat, formula untuk mengira hasil berskala adalah seperti berikut:

Untuk ruang tiga dimensi, formula untuk mengira hasil skalar vektor dan mempunyai bentuk berikut:

Sifat produk skalar.

1. Sifat komutatif bagi hasil skalar

2. Sifat pengagihan hasil skalar

3. Sifat bersekutu hasil skalar (asositiviti)

di mana nombor nyata arbitrari.

Perlu diingatkan bahawa dalam kes:

Jika hasil darab titik adalah positif, maka sudut antara vektor adalah akut (kurang daripada 90 darjah);

Jika hasil darab titik adalah negatif, maka sudut antara vektor adalah tumpul (lebih daripada 90 darjah);

Jika hasil darab titik ialah 0, maka vektor adalah ortogon (yang terletak berserenjang antara satu sama lain);

Jika hasil darab skalar adalah sama dengan hasil darab panjang vektor, maka vektor ini adalah segaris antara satu sama lain (selari).

6. Hasil darab vektor bagi vektor

Hasil darab vektor bagi dua vektor ialah vektor yang memenuhi syarat berikut:

1. vektor adalah ortogon (berserenjang) dengan satah vektor dan ;