Kira luas segi tiga dalam talian. Bagaimana untuk mengira luas segi tiga

Arahan

1. Untuk dua kaki S = a * b/2, a, b – kaki,

Pilihan kedua untuk mengira luas menggunakan sinus sudut yang diketahui dan bukannya kotangen. Dalam versi ini segi empat sama adalah sama dengan segi empat sama panjang sisi yang diketahui, didarab dengan sinus setiap sudut dan dibahagikan dengan sinus berganda bagi sudut ini: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *sin(α + β)). Sebagai contoh, untuk segi tiga yang sama dengan sisi yang diketahui 15 cm, dan bersebelahan dengannya sudut pada 40° dan 60°, pengiraan luas akan kelihatan seperti ini: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621) /( 2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 sentimeter persegi.

Versi pengiraan luas segi tiga melibatkan sudut. Luasnya akan sama dengan segi empat sama panjang sisi yang diketahui, didarab dengan tangen setiap sudut dan dibahagikan dengan dua kali ganda hasil tambah tangen bagi sudut ini: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Sebagai contoh, untuk segi tiga yang digunakan dalam langkah sebelumnya dengan sisi 15 cm dan bersebelahan sudut pada 40° dan 60°, pengiraan luas akan kelihatan seperti ini: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1.11721493 )*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 sentimeter persegi.

Segitiga ialah poligon termudah yang mempunyai tiga bucu dan tiga sisi. Segitiga, salah satu sudutnya tegak, dipanggil segitiga tegak. Untuk segi tiga tegak, semua formula untuk segi tiga am boleh digunakan. Walau bagaimanapun, ia boleh diubah suai, dengan mengambil kira sifat sudut tepat.

Arahan

Asas untuk mencari kawasan segi tiga melalui tapak seperti berikut: S = 1/2 * b * h, dengan b ialah sisi segi tiga, dan h – segi tiga. Ketinggian segi tiga ialah serenjang yang dilukis dari bucu segi tiga kepada baris yang mengandungi sebaliknya. Untuk segi empat tepat segi tiga ketinggian k b bertepatan dengan kaki a. Dengan cara ini anda akan mendapat formula untuk mengira kawasan segi tiga dengan sudut: S = 1/2 * a * b.

Pertimbangkan. Biarkan dalam segi empat tepat a = 3, b = 4. Kemudian S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Kira segi empat sama yang sama segi tiga, tetapi sekarang biar satu sisi sahaja yang diketahui, b = 4. Dan sudut α, tan α = 3/4 juga diketahui. Kemudian, daripada ungkapan untuk fungsi trigonometri tangen α, ungkapkan kaki a: tg α = a/b => a = b * tan α. Gantikan nilai ini ke dalam formula untuk mengira luas segi empat tepat segi tiga dan kita dapat: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 ​​​​= 6.

Pertimbangkan sebagai kes khas pengiraan luas segi empat sama kaki segi tiga. Segitiga sama kaki ialah segi tiga di mana dua sisi adalah sama antara satu sama lain. Dalam kes segi empat tepat segi tiga ternyata a = b. Tulis teorem Pythagoras untuk kes ini: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Seterusnya, gantikan nilai ini ke dalam formula untuk mengira luas seperti berikut: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .

Jika jejari bulatan bertulis r dan bulatan R diketahui, maka segi empat sama segi empat tepat segi tiga dikira dengan formula S = r^2 + 2 * r * R. Biarkan jejari bulatan tersurat dalam segi tiga itu ialah r = 1, jejari bulatan berhad. segi tiga bulatan R = 5/2. Kemudian S = 1 + 2 * 1 * 5/2 = 6.

Video mengenai topik

Nasihat yang berguna

Jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segi tiga tegak adalah sama dengan separuh hipotenus: R = c / 2. Jejari bulatan yang tertera dalam segi tiga tegak ditemui dengan formula r = (a + b – c) / 2.

Ini adalah salah satu angka geometri yang paling mudah, di mana tiga segmen yang menghubungkan tiga titik secara berpasangan mengehadkan sebahagian daripada satah. Pengetahuan tentang beberapa parameter segitiga (panjang sisi, sudut, jejari bulatan bertulis atau berbatas, ketinggian, dll.) Dalam pelbagai kombinasi membolehkan seseorang mengira luas bahagian terhad pesawat ini.

Arahan

Jika panjang dua sisi segitiga (A dan B) dan magnitud sudutnya (γ) diketahui, maka luas (S) segitiga itu akan sama dengan separuh hasil darab panjang sisi dan sinus bagi sudut yang diketahui: S=A∗B∗sin(γ)/2.

Jika panjang ketiga-tiga sisi (A, B dan C) dalam segi tiga sewenang-wenangnya diketahui, maka untuk mengira luasnya (S) adalah lebih mudah untuk memperkenalkan pembolehubah tambahan - separuh perimeter (p). Pembolehubah ini dikira dalam separuh jumlah panjang semua sisi: p=(A+B+C)/2. Menggunakan pembolehubah ini boleh ditakrifkan sebagai punca kuasa dua hasil darab separuh perimeter pada pembolehubah ini dan panjang sisi: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).

Jika, sebagai tambahan kepada panjang semua sisi (A, B dan C), panjang jejari (R) bulatan yang dihadkan berhampiran segitiga sewenang-wenang juga diketahui, maka anda boleh melakukannya tanpa separuh perimeter - kawasan (S) akan sama dengan nisbah hasil darab panjang semua sisi kepada jejari empat kali ganda bulatan: S=A ∗B∗C/(4∗R).

Jika nilai semua sudut segitiga (α, β dan γ) dan panjang salah satu sisinya (A) diketahui, maka luas (S) akan sama dengan nisbah hasil darab segi empat sama panjang sisi yang diketahui oleh sinus dua sudut yang bersebelahan dengannya dengan sinus berganda dari satu sudut bertentangan: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).

Jika nilai semua sudut bagi segi tiga arbitrari (α, β dan γ) dan jejari (R) bulatan berhad diketahui, maka luas (S) akan sama dengan dua kali ganda kuasa dua jejari dan sinus semua sudut: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).

Video mengenai topik

Mencari isipadu segi tiga adalah benar-benar tugas yang tidak remeh. Hakikatnya ialah segitiga ialah angka dua dimensi, i.e. ia terletak sepenuhnya dalam satu satah, yang bermaksud bahawa ia tidak mempunyai isipadu. Sudah tentu, anda tidak dapat mencari sesuatu yang tidak wujud. Tetapi jangan kita berputus asa! Kita boleh menerima andaian berikut: isipadu rajah dua dimensi ialah luasnya. Kami akan mencari kawasan segitiga.

Anda akan perlukan

• helaian kertas, pensel, pembaris, kalkulator

Arahan

Lukis pada sekeping kertas menggunakan pembaris dan pensel. Dengan teliti memeriksa segi tiga, anda boleh memastikan bahawa ia benar-benar tidak mempunyai segitiga, kerana ia dilukis pada satah. Labelkan sisi segitiga: biarkan satu sisi menjadi sisi "a", sisi lain "b", dan sisi ketiga "c". Labelkan bucu segitiga dengan huruf "A", "B" dan "C".

Ukur mana-mana sisi segi tiga dengan pembaris dan tuliskan hasilnya. Selepas ini, pulihkan serenjang ke sisi yang diukur dari bucu yang bertentangan dengannya, serenjang sedemikian akan menjadi ketinggian segi tiga. Dalam kes yang ditunjukkan dalam rajah, "h" berserenjang dipulihkan ke sisi "c" dari bucu "A". Ukur ketinggian yang terhasil dengan pembaris dan tuliskan hasil pengukuran.

Mungkin sukar untuk anda memulihkan serenjang yang tepat. Dalam kes ini, anda harus menggunakan formula yang berbeza. Ukur semua sisi segi tiga dengan pembaris. Selepas ini, hitung separuh perimeter segi tiga "p" dengan menambah panjang sisi yang terhasil dan membahagikan jumlahnya kepada separuh. Mempunyai nilai separuh perimeter yang anda boleh gunakan, anda boleh menggunakan formula Heron. Untuk melakukan ini, anda perlu mengambil punca kuasa dua berikut: p(p-a)(p-b)(p-c).

Anda telah memperoleh luas segi tiga yang diperlukan. Masalah mencari isipadu segi tiga belum selesai, tetapi seperti yang dinyatakan di atas, isipadunya tidak. Anda boleh menemui volum yang pada asasnya adalah segi tiga dalam dunia tiga dimensi. Jika kita membayangkan bahawa segi tiga asal kita telah menjadi piramid tiga dimensi, maka isipadu piramid tersebut akan menjadi hasil darab panjang tapaknya dan luas segi tiga yang kita perolehi.

Sila ambil perhatian

Lebih teliti anda mengukur, lebih tepat pengiraan anda.

Sumber:

• Kalkulator "Semuanya untuk segala-galanya" - portal untuk nilai rujukan
• isipadu segi tiga

Anda boleh menemui lebih daripada 10 formula untuk mengira luas segi tiga di Internet Banyak daripadanya digunakan dalam masalah dengan sisi dan sudut segitiga yang diketahui. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa contoh yang kompleks di mana, mengikut syarat tugasan, hanya satu sisi dan sudut segitiga diketahui, atau jejari bulatan berhad atau bersurat dan satu lagi ciri. Dalam kes sedemikian, formula mudah tidak boleh digunakan.

Formula di bawah akan menyelesaikan 95 peratus masalah di mana anda perlu mencari luas segi tiga.
Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan formula kawasan sepunya.
Pertimbangkan segi tiga yang ditunjukkan dalam rajah di bawah

Dalam rajah dan di bawah dalam formula, sebutan klasik semua cirinya diperkenalkan.
a,b,c – sisi segi tiga,
R - jejari bulatan yang dihadkan,
r - jejari bulatan bertulis,
h[b],h[a],h[c] – ketinggian yang dilukis mengikut sisi a,b,c.
alfa, beta, hamma – sudut berhampiran bucu.

Formula asas untuk luas segi tiga

1. Luasnya adalah sama dengan separuh hasil darab sisi segi tiga dan tingginya diturunkan ke sisi ini. Dalam bahasa rumus, definisi ini boleh ditulis seperti berikut

Oleh itu, jika sisi dan ketinggian diketahui, maka setiap pelajar akan mencari luasnya.
Dengan cara ini, dari formula ini seseorang boleh memperoleh satu hubungan yang berguna antara ketinggian

2. Jika kita mengambil kira bahawa ketinggian segi tiga melalui sisi bersebelahan dinyatakan oleh pergantungan

Kemudian formula kawasan pertama diikuti oleh formula kedua daripada jenis yang sama

Lihat dengan teliti pada formula - ia mudah diingat, kerana kerja itu melibatkan dua sisi dan sudut di antara mereka. Jika kita menetapkan sisi dan sudut segitiga dengan betul (seperti dalam rajah di atas), kita akan mendapat dua sisi a, b dan sudut disambungkan kepada yang ketiga Dengan (hamma).

3. Bagi sudut segitiga, hubungannya adalah benar

Pergantungan membolehkan anda menggunakan formula berikut untuk luas segi tiga dalam pengiraan:

Contoh pergantungan ini sangat jarang berlaku, tetapi anda mesti ingat bahawa terdapat formula sedemikian.

4. Jika sisi dan dua sudut yang bersebelahan diketahui, maka luasnya ditemui oleh rumus

5. Formula bagi luas dari segi sisi dan kotangen sudut bersebelahan adalah seperti berikut

Dengan menyusun semula indeks anda boleh mendapatkan kebergantungan untuk pihak lain.

6. Rumus luas di bawah digunakan dalam masalah apabila bucu segitiga ditentukan pada satah mengikut koordinat. Dalam kes ini, kawasan adalah sama dengan separuh penentu yang diambil modulo.

7. Formula Heron digunakan dalam contoh dengan sisi segitiga yang diketahui.
Mula-mula cari separuh perimeter segi tiga itu

Dan kemudian tentukan kawasan menggunakan formula

atau

Ia agak kerap digunakan dalam kod program kalkulator.

8. Jika semua ketinggian segi tiga diketahui, maka luasnya ditentukan oleh formula

Sukar untuk mengira pada kalkulator, tetapi dalam pakej MathCad, Mathematica, Maple kawasannya ialah "masa dua".

9. Formula berikut menggunakan jejari yang diketahui bagi bulatan bersurat dan berhad.

Khususnya, jika jejari dan sisi segi tiga, atau perimeternya, diketahui, maka luasnya dikira mengikut formula

10. Dalam contoh di mana sisi dan jejari atau diameter bulatan berbatas diberi, luas didapati menggunakan formula

11. Formula berikut menentukan luas segi tiga dari segi sisi dan sudut segi tiga.

Dan akhirnya - kes khas:
Luas segi tiga tepat dengan kaki a dan b sama dengan separuh hasil darabnya

Formula untuk luas segi tiga sama sisi (sekata).=

= satu perempat hasil darab segi empat sama sisi dan punca tiga.

Segitiga ialah rajah geometri yang terdiri daripada tiga garis lurus yang menghubungkan pada titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Titik penghubung garis adalah bucu segitiga, yang ditetapkan oleh huruf Latin (contohnya, A, B, C). Garis lurus penghubung segitiga dipanggil segmen, yang juga biasanya dilambangkan dengan huruf Latin. Jenis segitiga berikut dibezakan:

• segi empat tepat.
• Bodoh.
• Sudut akut.
• serba boleh.
• sama sisi.
• Sama kaki.

Formula am untuk mengira luas segi tiga

Formula untuk luas segi tiga berdasarkan panjang dan tinggi

S= a*h/2,
di mana a ialah panjang sisi segi tiga yang luasnya perlu dicari, h ialah panjang ketinggian yang dilukis ke tapak.

Formula Heron

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
dengan √ ialah punca kuasa dua, p ialah separuh perimeter bagi segi tiga itu, a,b,c ialah panjang setiap sisi segi tiga itu. Separuh perimeter segitiga boleh dikira menggunakan formula p=(a+b+c)/2.

Formula untuk luas segi tiga berdasarkan sudut dan panjang segmen

S = (a*b*sin(α))/2,
dengan b,c ialah panjang sisi segi tiga, sin(α) ialah sinus sudut antara kedua-dua belah.

Formula untuk luas segi tiga diberi jejari bulatan bertulis dan tiga sisi

S=p*r,
di mana p ialah separuh perimeter segi tiga yang luasnya perlu dicari, r ialah jejari bulatan yang tertulis dalam segi tiga ini.

Formula untuk luas segi tiga berdasarkan tiga sisi dan jejari bulatan yang dihadkan di sekelilingnya

S= (a*b*c)/4*R,
di mana a,b,c ialah panjang setiap sisi segi tiga, R ialah jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segi tiga itu.

Formula untuk luas segi tiga menggunakan koordinat titik Cartesian

Koordinat Cartesan titik ialah koordinat dalam sistem xOy, di mana x ialah absis, y ialah ordinat. Sistem koordinat Cartesian xOy pada satah ialah paksi berangka yang saling berserenjang Ox dan Oy dengan asalan sepunya di titik O. Jika koordinat titik pada satah ini diberikan dalam bentuk A(x1, y1), B(x2, y2). ) dan C(x3, y3 ), maka anda boleh mengira luas segi tiga menggunakan formula berikut, yang diperoleh daripada hasil vektor dua vektor.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
di mana || bermaksud modul.

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga tepat

Segitiga tegak ialah segi tiga dengan satu sudut berukuran 90 darjah. Segitiga hanya boleh mempunyai satu sudut sedemikian.

Formula untuk luas segi tiga tepat pada dua sisi

S= a*b/2,
di mana a,b ialah panjang kaki. Kaki ialah sisi yang bersebelahan dengan sudut tepat.

Formula untuk luas segi tiga tepat berdasarkan hipotenus dan sudut akut

S = a*b*sin(α)/ 2,
dengan a, b ialah kaki segi tiga, dan sin(α) ialah sinus bagi sudut di mana garis a, b bersilang.

Formula untuk luas segi tiga tepat berdasarkan sisi dan sudut bertentangan

S = a*b/2*tg(β),
dengan a, b ialah kaki segi tiga, tan(β) ialah tangen bagi sudut di mana kaki a, b disambungkan.

Bagaimana untuk mengira luas segi tiga sama kaki

Segitiga sama kaki ialah satu yang mempunyai dua sisi yang sama. Sisi ini dipanggil sisi, dan sisi yang lain adalah pangkalan. Untuk mengira luas segi tiga sama kaki, anda boleh menggunakan salah satu daripada formula berikut.

Formula asas untuk mengira luas segi tiga sama kaki

S=h*c/2,
di mana c ialah tapak segi tiga, h ialah ketinggian segi tiga diturunkan ke tapak.

Formula segi tiga sama kaki berdasarkan sisi dan tapak

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
di mana c ialah tapak segi tiga, a ialah saiz salah satu sisi segi tiga sama kaki.

Bagaimana untuk mencari luas segi tiga sama sisi

Segitiga sama sisi ialah segi tiga di mana semua sisi adalah sama. Untuk mengira luas segi tiga sama sisi, anda boleh menggunakan formula berikut:
S = (√3*a*a)/4,
dengan a ialah panjang sisi segi tiga sama sisi.

Formula di atas akan membolehkan anda mengira kawasan segitiga yang diperlukan. Adalah penting untuk diingat bahawa untuk mengira luas segi tiga, anda perlu mempertimbangkan jenis segi tiga dan data yang tersedia yang boleh digunakan untuk pengiraan.

Seperti yang anda ingat dari kurikulum geometri sekolah anda, segitiga ialah angka yang terbentuk daripada tiga segmen yang disambungkan oleh tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama. Segitiga membentuk tiga sudut, maka nama rajah itu. Definisi mungkin berbeza. Segitiga juga boleh dipanggil poligon dengan tiga sudut, jawapannya juga betul. Segi tiga dibahagikan mengikut bilangan sisi yang sama dan saiz sudut dalam rajah. Oleh itu, segi tiga dibezakan sebagai isosceles, equilateral and scalene, serta segi empat tepat, akut dan tumpul, masing-masing.

Terdapat banyak formula untuk mengira luas segi tiga. Pilih cara mencari luas segi tiga, i.e. Formula mana yang hendak digunakan terpulang kepada anda. Tetapi perlu diperhatikan hanya beberapa notasi yang digunakan dalam banyak formula untuk mengira luas segi tiga. Jadi, ingat:

S ialah luas segi tiga,

a, b, c ialah sisi segi tiga,

h ialah ketinggian segi tiga,

R ialah jejari bulatan yang dihadkan,

p ialah separuh perimeter.

Berikut ialah notasi asas yang mungkin berguna kepada anda jika anda benar-benar terlupa kursus geometri anda. Di bawah adalah pilihan yang paling mudah difahami dan tidak rumit untuk mengira kawasan segitiga yang tidak diketahui dan misteri. Ia tidak sukar dan akan berguna untuk keperluan rumah anda dan untuk membantu anak-anak anda. Mari kita ingat cara mengira luas segi tiga semudah mungkin:

Dalam kes kami, luas segi tiga ialah: S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 cm persegi. Ingat bahawa kawasan diukur dalam sentimeter persegi (sqcm).

Segitiga tegak dan luasnya.

Segitiga tegak ialah segi tiga di mana satu sudut adalah sama dengan 90 darjah (oleh itu dipanggil kanan). Sudut tegak dibentuk oleh dua garis serenjang (dalam kes segitiga, dua segmen berserenjang). Dalam segi tiga tegak hanya boleh ada satu sudut tegak, kerana... jumlah semua sudut mana-mana satu segi tiga adalah sama dengan 180 darjah. Ternyata 2 sudut lain harus membahagikan baki 90 darjah, contohnya 70 dan 20, 45 dan 45, dsb. Jadi, anda masih ingat perkara utama, yang tinggal hanyalah untuk mengetahui cara mencari luas segi tiga tepat. Mari kita bayangkan bahawa kita mempunyai segi tiga tepat di hadapan kita, dan kita perlu mencari kawasannya S.

1. Cara paling mudah untuk menentukan luas segi tiga tepat dikira menggunakan formula berikut:

Dalam kes kami, luas segi tiga tepat ialah: S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 cm persegi.

Pada dasarnya, tidak ada lagi keperluan untuk mengesahkan kawasan segitiga dengan cara lain, kerana Hanya yang ini akan berguna dan akan membantu dalam kehidupan seharian. Tetapi terdapat juga pilihan untuk mengukur luas segi tiga melalui sudut akut.

2. Untuk kaedah pengiraan lain, anda mesti mempunyai jadual kosinus, sinus dan tangen. Nilailah sendiri, berikut adalah beberapa pilihan untuk mengira luas segi tiga tepat yang masih boleh digunakan:

Kami memutuskan untuk menggunakan formula pertama dan dengan beberapa tompok kecil (kami melukisnya dalam buku nota dan menggunakan pembaris dan protraktor lama), tetapi kami mendapat pengiraan yang betul:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). Kami mendapat keputusan berikut: 3.6=3.7, tetapi dengan mengambil kira peralihan sel, kami boleh memaafkan nuansa ini.

Segitiga sama kaki dan luasnya.

Sekiranya anda berhadapan dengan tugas mengira formula untuk segi tiga sama kaki, maka cara paling mudah ialah menggunakan yang utama dan apa yang dianggap sebagai formula klasik untuk luas segi tiga.

Tetapi pertama, sebelum mencari luas segi tiga sama kaki, mari kita ketahui jenis angka itu. Segitiga sama kaki ialah segi tiga di mana dua sisi mempunyai panjang yang sama. Kedua-dua sisi ini dipanggil sisi, sisi ketiga dipanggil pangkalan. Jangan mengelirukan segitiga sama kaki dengan segitiga sama sisi, i.e. segi tiga sekata dengan ketiga-tiga sisinya sama. Dalam segi tiga sedemikian tidak ada kecenderungan khas kepada sudut, atau lebih tepatnya kepada saiznya. Walau bagaimanapun, sudut pada tapak dalam segi tiga sama kaki adalah sama, tetapi berbeza daripada sudut antara sisi yang sama. Jadi, anda sudah mengetahui formula pertama dan utama; ia masih perlu mengetahui formula lain untuk menentukan luas segi tiga sama kaki yang diketahui.

Segitiga adalah angka yang biasa kepada semua orang. Dan ini walaupun pelbagai jenis bentuknya. Segi empat tepat, sama sisi, akut, sama kaki, tumpul. Setiap daripada mereka berbeza dalam beberapa cara. Tetapi bagi sesiapa sahaja anda perlu mengetahui luas segi tiga.

Formula biasa untuk semua segi tiga yang menggunakan panjang sisi atau ketinggian

Penamaan yang diterima pakai di dalamnya: sisi - a, b, c; ketinggian pada sisi yang sepadan pada a, n dalam, n dengan.

1. Luas segi tiga dikira sebagai hasil darab ½, sisi dan ketinggian ditolak daripadanya. S = ½ * a * n a. Formula untuk dua sisi yang lain harus ditulis dengan cara yang sama.

2. Formula Heron, di mana separuh perimeter muncul (ia biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p, berbeza dengan perimeter penuh). Separuh perimeter mesti dikira seperti berikut: tambah semua sisi dan bahagikannya dengan 2. Formula bagi separa perimeter ialah: p = (a+b+c) / 2. Kemudian kesamaan bagi luas ​rajahnya kelihatan seperti ini: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Jika anda tidak mahu menggunakan separuh perimeter, maka formula yang mengandungi hanya panjang sisi akan berguna: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Ia lebih panjang sedikit daripada yang sebelumnya, tetapi ia akan membantu jika anda terlupa cara mencari separuh perimeter.

Formula am yang melibatkan sudut segitiga

Notasi yang diperlukan untuk membaca formula: α, β, γ - sudut. Mereka terletak bertentangan dengan sisi a, b, c, masing-masing.

1. Menurutnya, separuh hasil darab dua sisi dan sinus sudut di antara mereka adalah sama dengan luas segi tiga. Iaitu: S = ½ a * b * sin γ. Formula untuk dua kes yang lain hendaklah ditulis dengan cara yang sama.

2. Luas segi tiga boleh dikira dari satu sisi dan tiga sudut yang diketahui. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Terdapat juga formula dengan satu sisi yang diketahui dan dua sudut bersebelahan. Ia kelihatan seperti ini: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Dua formula terakhir bukanlah yang paling mudah. Agak sukar untuk mengingati mereka.

Formula am untuk situasi di mana jejari bulatan bersurat atau berhad diketahui

Penamaan tambahan: r, R - jejari. Yang pertama digunakan untuk jejari bulatan bertulis. Yang kedua adalah untuk yang diterangkan.

1. Formula pertama di mana luas segi tiga dikira adalah berkaitan dengan separuh perimeter. S = r * r. Cara lain untuk menulisnya ialah: S = ½ r * (a + b + c).

2. Dalam kes kedua, anda perlu mendarab semua sisi segi tiga dan membahagikannya dengan empat kali ganda jejari bulatan yang dihadkan. Dalam ungkapan literal ia kelihatan seperti ini: S = (a * b * c) / (4R).

3. Situasi ketiga membolehkan anda melakukan tanpa mengetahui sisi, tetapi anda memerlukan nilai ketiga-tiga sudut. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Kes khas: segi tiga tepat

Ini adalah keadaan paling mudah, kerana hanya panjang kedua-dua kaki diperlukan. Mereka ditetapkan oleh huruf Latin a dan b. Luas segi tiga tepat adalah sama dengan separuh luas segi empat tepat yang ditambah kepadanya.

Secara matematik ia kelihatan seperti ini: S = ½ a * b. Ia adalah yang paling mudah untuk diingati. Kerana ia kelihatan seperti formula untuk luas segi empat tepat, hanya pecahan yang muncul, menunjukkan separuh.

Kes khas: segi tiga sama kaki

Memandangkan ia mempunyai dua sisi yang sama, beberapa formula untuk kawasannya kelihatan agak mudah. Sebagai contoh, formula Heron, yang mengira luas segi tiga sama kaki, mengambil bentuk berikut:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Jika anda mengubahnya, ia akan menjadi lebih pendek. Dalam kes ini, formula Heron untuk segi tiga sama kaki ditulis seperti berikut:

S = ¼ dalam √(4 * a 2 - b 2).

Formula kawasan kelihatan agak mudah daripada segi tiga sewenang-wenangnya jika sisi dan sudut di antara mereka diketahui. S = ½ a 2 * sin β.

Kes khas: segi tiga sama sisi

Biasanya dalam masalah, sisi mengenainya diketahui atau ia boleh diketahui dalam beberapa cara. Kemudian formula untuk mencari luas segi tiga tersebut adalah seperti berikut:

S = (a 2 √3) / 4.

Masalah untuk mencari kawasan jika segitiga digambarkan pada kertas berkotak-kotak

Situasi paling mudah ialah apabila segi tiga tepat dilukis supaya kakinya bertepatan dengan garisan kertas. Kemudian anda hanya perlu mengira bilangan sel yang sesuai dengan kaki. Kemudian darab dan bahagikan dengan dua.

Apabila segi tiga itu akut atau tumpul, ia perlu dilukis kepada segi empat tepat. Kemudian angka yang terhasil akan mempunyai 3 segi tiga. Satu adalah yang diberikan dalam masalah. Dan dua lagi adalah tambahan dan segi empat tepat. Bidang dua yang terakhir perlu ditentukan menggunakan kaedah yang diterangkan di atas. Kemudian hitung luas segi empat tepat dan tolak daripadanya yang dikira untuk yang tambahan. Luas segi tiga ditentukan.

Keadaan di mana tiada satu pun sisi segitiga bertepatan dengan garisan kertas ternyata menjadi lebih rumit. Kemudian ia perlu ditulis dalam segi empat tepat supaya bucu angka asal terletak di sisinya. Dalam kes ini, akan ada tiga segi tiga tegak tambahan.

Contoh masalah menggunakan formula Heron

keadaan. Beberapa segi tiga mempunyai sisi yang diketahui. Mereka adalah sama dengan 3, 5 dan 6 cm Anda perlu mengetahui luasnya.

Sekarang anda boleh mengira luas segi tiga menggunakan formula di atas. Di bawah punca kuasa dua ialah hasil darab empat nombor: 7, 4, 2 dan 1. Iaitu, luasnya ialah √(4 * 14) = 2 √(14).

Jika ketepatan yang lebih besar tidak diperlukan, maka anda boleh mengambil punca kuasa dua 14. Ia bersamaan dengan 3.74. Maka luasnya ialah 7.48.

Jawab. S = 2 √14 cm 2 atau 7.48 cm 2.

Contoh masalah dengan segi tiga tepat

keadaan. Satu kaki segi tiga tepat adalah 31 cm lebih besar daripada yang kedua Anda perlu mengetahui panjangnya jika luas segi tiga itu ialah 180 cm 2.
Penyelesaian. Kita perlu menyelesaikan satu sistem dua persamaan. Yang pertama berkaitan dengan kawasan. Yang kedua adalah dengan nisbah kaki, yang diberikan dalam masalah.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Pertama, nilai "a" mesti digantikan ke dalam persamaan pertama. Ternyata: 180 = ½ (dalam + 31) * dalam. Ia hanya mempunyai satu kuantiti yang tidak diketahui, jadi ia mudah untuk diselesaikan. Selepas membuka kurungan, persamaan kuadratik diperoleh: 2 + 31 360 = 0. Ini memberikan dua nilai untuk "dalam": 9 dan - 40. Nombor kedua tidak sesuai sebagai jawapan, kerana panjang sisi bagi segi tiga tidak boleh menjadi nilai negatif.

Ia kekal untuk mengira bahagian kedua: tambah 31 kepada nombor yang terhasil Ternyata 40. Ini adalah kuantiti yang dicari dalam masalah.

Jawab. Kaki segi tiga itu ialah 9 dan 40 cm.

Masalah mencari sisi melalui luas, sisi dan sudut segitiga

keadaan. Luas segitiga tertentu ialah 60 cm 2. Adalah perlu untuk mengira satu sisinya jika sisi kedua ialah 15 cm dan sudut di antara mereka ialah 30º.

Penyelesaian. Berdasarkan tatatanda yang diterima, sisi yang dikehendaki ialah "a", sisi yang diketahui ialah "b", sudut yang diberikan ialah "γ". Kemudian formula kawasan boleh ditulis semula seperti berikut:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Di sini sinus 30 darjah ialah 0.5.

Selepas transformasi, "a" ternyata sama dengan 60 / (0.5 * 0.5 * 15). Iaitu 16.

Jawab. Sisi yang diperlukan ialah 16 cm.

Masalah tentang segi empat sama yang ditulis dalam segi tiga tegak

keadaan. Puncak segi empat sama dengan sisi 24 cm bertepatan dengan sudut tegak segi tiga itu. Dua lagi berbaring di sisi. Yang ketiga tergolong dalam hipotenus. Panjang salah satu kaki ialah 42 cm Berapakah luas segi tiga tepat itu?

Penyelesaian. Pertimbangkan dua segi tiga tepat. Yang pertama adalah yang dinyatakan dalam tugas. Yang kedua adalah berdasarkan kaki segitiga asal yang diketahui. Mereka serupa kerana mereka mempunyai sudut sepunya dan dibentuk oleh garis selari.

Kemudian nisbah kaki mereka adalah sama. Kaki segi tiga yang lebih kecil adalah sama dengan 24 cm (sisi segi empat sama) dan 18 cm (diberi kaki 42 cm tolak sisi segi empat sama 24 cm). Kaki yang sepadan bagi segitiga besar ialah 42 cm dan x cm Ini adalah "x" yang diperlukan untuk mengira luas segi tiga.

18/42 = 24/x, iaitu x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Maka luasnya adalah sama dengan hasil darab 56 dan 42 dibahagikan dengan dua, iaitu 1176 cm 2.

Jawab. Luas yang diperlukan ialah 1176 cm 2.