Kira jarak d antara garis selari. Mencari jarak antara garisan lintasan - teori, contoh, penyelesaian

Bersama dengan titik dan satah. Ini adalah angka tak terhingga yang boleh menghubungkan mana-mana dua titik di angkasa. Garisan sentiasa dimiliki oleh beberapa satah. Berdasarkan lokasi dua garis lurus, kaedah yang berbeza harus digunakan untuk mencari jarak antara mereka.

Terdapat tiga pilihan untuk lokasi dua garisan dalam ruang relatif antara satu sama lain: ia selari, bersilang atau. Pilihan kedua adalah mungkin hanya jika mereka berada dalam satah yang sama, tidak mengecualikan kepunyaan dua satah selari. Situasi ketiga mengatakan bahawa garisan terletak pada satah selari yang berbeza.

Untuk mencari jarak antara dua garis selari, anda perlu menentukan panjang segmen serenjang yang menghubungkannya pada mana-mana dua titik. Memandangkan garis mempunyai dua koordinat yang sama, yang mengikuti dari definisi keselariannya, persamaan garis dalam ruang koordinat dua dimensi boleh ditulis seperti berikut:
L1: a x + b y + c = 0;
L2: a x + b y + d = 0.
Kemudian anda boleh mencari panjang segmen menggunakan formula:
s = |c - d|/√(a² + b²), dan mudah dilihat pada C = D, i.e. kebetulan garis lurus, jarak akan sama dengan sifar.

Jelas bahawa jarak antara garis bersilang dalam koordinat dua dimensi tidak masuk akal. Tetapi apabila ia terletak dalam satah yang berbeza, ia boleh didapati sebagai panjang segmen yang terletak dalam satah berserenjang dengan kedua-duanya. Hujung segmen ini akan menjadi titik yang merupakan unjuran mana-mana dua titik garis pada satah ini. Dengan kata lain, panjangnya adalah sama dengan jarak antara satah selari yang mengandungi garis-garis ini. Oleh itu, jika satah diberikan oleh persamaan am:
α: A1 x + B1 y + C1 z + E = 0,
β: A2 x + B2 y + C2 z + F = 0,
jarak antara garis boleh diberikan dengan formula:
s = |E – F|/√(|А1 А2| + В1 В2 + С1 С2).

catatan

Garis lurus secara umum dan garis bersilang khususnya menarik minat bukan sahaja ahli matematik. Ciri-ciri mereka berguna dalam banyak bidang lain: dalam pembinaan dan seni bina, dalam bidang perubatan dan dalam alam semula jadi itu sendiri.

Petua 2: Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari

Menentukan jarak antara dua objek dalam satu atau lebih satah adalah salah satu tugas yang paling biasa dalam geometri. Dibimbing kaedah konvensional, anda boleh mencari jarak antara dua garis selari.

Arahan

Garis selari ialah garis lurus yang terletak pada satah yang sama dan sama ada tidak bersilang atau bertepatan. Untuk mencari jarak antara garis selari, seseorang harus memilih titik sewenang-wenangnya pada salah satu daripadanya, dan kemudian menurunkan serenjang dengan garis kedua. Kini ia kekal hanya untuk mengukur panjang segmen yang terhasil. Panjang serenjang yang menghubungkan dua garis lurus selari akan menjadi jarak antara mereka.

Beri perhatian kepada susunan serenjang dilukis dari satu garis selari ke yang lain, kerana ketepatan jarak yang dikira bergantung pada ini. Untuk melakukan ini, gunakan alat lukisan "segitiga" dengan sudut tepat. Pilih satu titik pada salah satu garisan, pasangkan padanya salah satu sisi segitiga yang bersebelahan dengannya sudut tepat(kaki), dan selaraskan sisi yang satu lagi dengan garis lurus yang lain. Dengan pensel yang diasah, lukis garisan di sepanjang kaki pertama supaya ia mencapai garis lurus bertentangan.

Dalam bahan artikel ini, kami akan menganalisis persoalan mencari jarak antara dua garis selari, khususnya, menggunakan kaedah koordinat. Analisis contoh tipikal akan membantu untuk menyatukan pengetahuan teori yang diperolehi.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisi 1

Jarak antara dua garis selari ialah jarak dari beberapa titik sewenang-wenang pada salah satu garis selari ke garis lain.

Berikut adalah ilustrasi untuk kejelasan:

Lukisan menunjukkan dua garisan selari. a dan b. Titik M 1 tergolong dalam garis a, serenjang dengan garis digugurkan daripadanya b. Segmen M 1 H 1 yang terhasil ialah jarak antara dua garis selari a dan b.

Takrifan yang ditentukan bagi jarak antara dua garis selari adalah sah pada satah dan untuk garisan masuk ruang tiga dimensi. selain itu, takrifan ini berkaitan dengan teorem berikut.

Teorem

Apabila dua garis selari, semua titik salah satu daripadanya adalah sama jarak dari garis yang satu lagi.

Bukti

Marilah kita diberikan dua garis selari a dan b. Tetapkan pada garis lurus a titik M 1 dan M 2, kita lepaskan serenjang dari mereka ke garisan b, menandakan tapaknya, masing-masing, sebagai H 1 dan H 2. M 1 H 1 ialah jarak antara dua garis selari mengikut takrifan, dan kita perlu membuktikan bahawa | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | .

Biarkan juga terdapat beberapa sekan yang memotong dua garis selari yang diberikan. Keadaan garis selari, yang dipertimbangkan dalam artikel yang sepadan, memberi kita hak untuk menegaskan bahawa dalam kes ini sudut letak silang dalam yang terbentuk pada persilangan sekan garis yang diberi adalah sama: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Garis M 2 H 2 berserenjang dengan garis b dengan pembinaan, dan, tentu saja, berserenjang dengan garis a. Segitiga M 1 H 1 H 2 dan M 2 M 1 H 2 yang terhasil adalah segi empat tepat dan sama antara satu sama lain di sepanjang hipotenus dan sudut tajam: M 1 H 2 - hipotenus sepunya, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1. Berdasarkan kesamaan segi tiga, kita boleh bercakap tentang kesamaan sisinya, iaitu: | M 1 H 1 | = | M 2 H 2 | . Teorem telah terbukti.

Perhatikan bahawa jarak antara dua garis selari adalah jarak terkecil dari titik pada satu garis ke titik yang lain.

Mencari jarak antara garis selari

Kami telah mengetahui bahawa, sebenarnya, untuk mencari jarak antara dua garis selari, adalah perlu untuk menentukan panjang serenjang yang dijatuhkan dari titik tertentu pada satu baris ke garis lain. Terdapat beberapa cara untuk melakukan ini. Dalam beberapa masalah adalah mudah untuk menggunakan teorem Pythagoras; yang lain melibatkan penggunaan tanda kesamaan atau persamaan segi tiga, dsb. Dalam kes di mana garis diberikan dalam sistem koordinat segi empat tepat, adalah mungkin untuk mengira jarak antara dua garis selari menggunakan kaedah koordinat. Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci.

Mari kita tetapkan syarat. Katakan tetap sistem segi empat tepat koordinat, di mana dua garis selari a dan b diberikan. Ia adalah perlu untuk menentukan jarak antara garisan yang diberikan.

Kami akan membina penyelesaian masalah untuk menentukan jarak antara garis selari: untuk mencari jarak antara dua garis selari yang diberikan, adalah perlu:

Cari koordinat beberapa titik M 1 kepunyaan salah satu garis yang diberikan;

Hitung jarak dari titik M 1 ke garis lurus tertentu yang mana titik ini bukan miliknya.

Berdasarkan kemahiran bekerja dengan persamaan garis lurus dalam satah atau dalam ruang, adalah mudah untuk menentukan koordinat titik M 1. Apabila mencari jarak dari titik M 1 ke garis lurus, bahan artikel mencari jarak dari titik ke garis lurus adalah berguna.

Mari kita kembali kepada contoh. Biarkan garis a diterangkan oleh persamaan am A x + B y + C 1 = 0 , dan garis b diterangkan oleh persamaan A x + B y + C 2 = 0 . Kemudian jarak antara dua garis selari yang diberikan boleh dikira menggunakan formula:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

Mari kita dapatkan formula ini.

Kami menggunakan beberapa titik М 1 (x 1 , y 1) kepunyaan garis a . Dalam kes ini, koordinat titik M 1 akan memenuhi persamaan A x 1 + B y 1 + C 1 = 0. Oleh itu, kesamaan adalah adil: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0; daripadanya kita dapat: A x 1 + B y 1 = - C 1 .

Apabila C 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

Dengan C 2 ≥ 0, persamaan normal garis lurus b akan kelihatan seperti ini:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

Dan kemudian untuk kes apabila C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

Dan untuk C 2 ≥ 0, jarak yang dikehendaki ditentukan oleh formula M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Oleh itu, untuk sebarang nilai nombor C 2, panjang segmen | M 1 H 1 | (dari titik M 1 hingga garis b) dikira dengan formula: M 1 H 1 \u003d A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Di atas kita dapat: A x 1 + B y 1 \u003d - C 1, maka kita boleh mengubah formula: M 1 H 1 \u003d - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 \u003d C 2 - C 1 A 2 +B2. Jadi kami, sebenarnya, menerima formula yang dinyatakan dalam algoritma kaedah koordinat.

Mari analisa teori dengan contoh.

Contoh 1

Diberi dua garis selari y = 2 3 x - 1 dan x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . Ia adalah perlu untuk menentukan jarak antara mereka.

Penyelesaian

Persamaan parametrik awal memungkinkan untuk menetapkan koordinat titik yang melaluinya garis lurus, yang diterangkan oleh persamaan parametrik. Oleh itu, kita mendapat titik M 1 (4, - 5) . Jarak yang diperlukan ialah jarak antara titik M 1 (4, - 5) ke garis lurus y = 2 3 x - 1, mari kita hitungkannya.

Persamaan yang diberi bagi garis lurus dengan kecerunan y = 2 3 x - 1 ditukarkan kepada persamaan normal bagi garis lurus. Untuk tujuan ini, kita mula-mula membuat peralihan kepada persamaan umum garis lurus:

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

Mari kita hitung faktor penormalan: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . Kita darabkan kedua-dua bahagian persamaan terakhir dengannya dan, akhirnya, kita mendapat peluang untuk menulis persamaan normal garis lurus: 1 13 2 x - 3 y - 3 = 1 13 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.

Untuk x = 4, dan y = - 5, kita mengira jarak yang dikehendaki sebagai modulus nilai kesamaan melampau:

2 13 4 - 3 13 - 5 - 3 13 = 20 13

Jawapan: 20 13 .

Contoh 2

Dalam sistem koordinat segi empat tepat tetap O x y, dua garis selari diberikan, ditakrifkan oleh persamaan x - 3 = 0 dan x + 5 0 = y - 1 1 . Ia adalah perlu untuk mencari jarak antara garis selari yang diberikan.

Penyelesaian

Keadaan masalah mentakrifkan satu persamaan am, diberikan oleh salah satu garis asal: x-3=0. Jom ubah yang asal persamaan kanonik secara umum: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . Untuk pembolehubah x, pekali dalam kedua-dua persamaan adalah sama (juga sama untuk y - sifar), dan oleh itu kita mempunyai peluang untuk menggunakan formula untuk mencari jarak antara garis selari:

M 1 H 1 \u003d C 2 - C 1 A 2 + B 2 \u003d 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 \u003d 8

Jawab: 8 .

Akhir sekali, pertimbangkan masalah mencari jarak antara dua garis selari dalam ruang tiga dimensi.

Contoh 3

Dalam sistem koordinat segi empat tepat O x y z, dua garis selari diberikan, diterangkan oleh persamaan kanonik garis lurus dalam ruang: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 dan x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . Cari jarak antara garisan ini.

Penyelesaian

Daripada persamaan x - 3 1 \u003d y - 1 \u003d z + 2 4, koordinat titik yang dilalui garis lurus, yang diterangkan oleh persamaan ini, boleh ditentukan dengan mudah: M 1 (3, 0, - 2 ). Jom kira jarak | M 1 H 1 | dari titik M 1 ke garis x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 .

Garis lurus x + 5 1 \u003d y - 1 - 1 \u003d z - 2 4 melalui titik M 2 (- 5, 1, 2). Kami menulis vektor arah garis lurus x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 sebagai b → dengan koordinat (1 , - 1 , 4) . Mari kita tentukan koordinat bagi vektor M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

Mari kita hitung hasil silang vektor:

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 i → + 36 j → + 7 k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8, 36 , 7)

Mari gunakan formula untuk mengira jarak dari titik ke garis lurus dalam ruang:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

Jawapan: 1409 3 2 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Oh-oh-oh-oh-oh ... baik, ia adalah tinny, seolah-olah anda membaca ayat untuk diri sendiri =) Namun, kemudian kelonggaran akan membantu, terutamanya kerana saya membeli aksesori yang sesuai hari ini. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya harap, pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Susunan bersama dua garis lurus

Kes apabila dewan menyanyi bersama dalam korus. Dua baris boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : tolong ingat tanda matematik persimpangan, ia akan berlaku sangat kerap. Entri bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik.

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali masing-masing adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" sedemikian sehingga kesamaan

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan karang tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan -1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan kurangkan sebanyak 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekalinya pada pembolehubah adalah berkadar: , tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, jelas bahawa .

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIDAK ada nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan menyusun sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , oleh itu, sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pada pembolehubah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, skema penyelesaian yang baru dipertimbangkan boleh digunakan. Ngomong-ngomong, ia sangat serupa dengan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran. Konsep pergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor. Tetapi ada pakej yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Untuk mengetahui susunan bersama langsung:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, jadi vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan penunjuk di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti, terus ke Kashchei the Deathless =)

b) Cari vektor arah garis:

Garis mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau sama. Di sini penentu tidak diperlukan.

Jelas sekali, pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, manakala .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Dengan cara ini,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu, yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Faktor perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memuaskan persamaan ini(ia sesuai dengan mana-mana nombor secara umum).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau sudah pun belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dipertimbangkan secara lisan secara literal dalam masa beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak nampak sebab untuk menawarkan apa-apa keputusan bebas, adalah lebih baik untuk meletakkan satu lagi bata penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk melukis garis selari dengan yang diberikan?

Atas kejahilan ini tugas paling mudah menghukum berat Nightingale si Perompak.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan syarat mengenainya? Garisan melalui titik. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor pengarah garisan "ce" juga sesuai untuk membina garisan "te".

Kami mengeluarkan vektor arah dari persamaan:

Jawab:

Geometri contoh kelihatan mudah:

Pengesahan analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Pengesahan analitik dalam kebanyakan kes mudah dilakukan secara lisan. Lihat dua persamaan dan ramai di antara anda akan dengan cepat mengetahui bagaimana garisan selari tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk menyelesaikan diri hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta semua jenis teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Terdapat cara yang rasional dan tidak terlalu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami melakukan sedikit kerja dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garisan bertepatan adalah kurang menarik minat, jadi pertimbangkan masalah yang anda ketahui kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Ini untuk anda makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui ialah dua garis lurus yang bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Cara grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis lurus, ia harus sesuai di sana dan di sana. Dalam erti kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian sistem. Malah, kami mempertimbangkan cara grafik untuk menyelesaikannya sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk membuat lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa baris tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persilangan itu sendiri boleh berada di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan dengan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan bagi persamaan telah digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang berkaitan, lawati pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Pengesahan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh buat sendiri. Tugas itu boleh dibahagikan dengan mudah kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tulis persamaan garis lurus.
2) Tulis persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal bagi kebanyakan orang masalah geometri, dan saya akan memberi tumpuan kepada perkara ini berulang kali.

Penyelesaian Lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran:

Sepasang kasut belum lagi haus, kerana kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari satu titik ke garis.
Sudut antara garisan

Mari kita mulakan dengan tipikal dan sangat tugas penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang diberikan, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk melukis garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis serenjang yang melalui titik.

Penyelesaian: Adalah diketahui dengan andaian bahawa . Adalah baik untuk mencari vektor arah garis lurus. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Kami menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kita buka lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pengesahan analisis penyelesaian:

1) Ekstrak vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab titik bagi vektor kita menyimpulkan bahawa garisan itu sememangnya berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Pengesahan, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang, jika persamaannya diketahui dan titik.

Ini adalah contoh buat sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam tugas itu, jadi mudah untuk mengatur penyelesaian titik demi titik.

kami perjalanan yang lucu berterusan:

Jarak dari titik ke garisan

Di hadapan kita adalah jalur lurus sungai dan tugas kita adalah untuk mencapainya dengan cara yang paling singkat. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah pergerakan sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani "ro", sebagai contoh: - jarak dari titik "em" ke garis lurus "de".

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: semua yang anda perlukan adalah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan melakukan pengiraan:

Jawab:

Mari kita laksanakan lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda membuat lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. \u003d 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Pertimbangkan tugas lain mengikut lukisan yang sama:

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik , yang simetri kepada titik berkenaan dengan garis . Saya bercadang untuk melakukan tindakan sendiri, bagaimanapun, saya akan menetapkan algoritma penyelesaian dengan keputusan pertengahan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua langkah dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat tengah segmen cari .

Ia tidak akan berlebihan untuk memeriksa bahawa jarak juga sama dengan 2.2 unit.

Kesukaran di sini mungkin timbul dalam pengiraan, tetapi di menara kalkulator mikro banyak membantu, membolehkan anda mengira pecahan sepunya. Telah menasihati banyak kali dan akan mengesyorkan lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk penyelesaian bebas. Sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk diselesaikan. Taklimat di akhir pelajaran, tetapi lebih baik cuba teka sendiri, saya rasa anda berjaya menyuraikan kepintaran anda dengan baik.

Sudut antara dua garis

Walau apa pun sudutnya, maka tiangnya:

Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut lembayung.

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah "menatal" sudut pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, sebagai contoh, jika .

Mengapa saya berkata ini? Nampaknya anda boleh bertahan dengan konsep sudut biasa. Hakikatnya ialah dalam formula yang mana kita akan mencari sudut, ia boleh dengan mudah berubah hasil negatif dan ia tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Pada lukisan untuk sudut negatif pastikan anda menunjukkan orientasinya (mengikut arah jam) dengan anak panah.

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian dan Kaedah satu

Pertimbangkan dua baris diberikan oleh persamaan dalam Pandangan umum:

Jika lurus tidak berserenjang, kemudian berorientasikan sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

Paling perhatian rapat beralih kepada penyebut - ini betul-betul produk skalar vektor arah garis lurus:

Jika , maka penyebut formula itu hilang, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketakserenjangan garisan dalam rumusan.

Berdasarkan perkara di atas, penyelesaiannya diformalkan dengan mudah dalam dua langkah:

1) Kira produk skalar vektor arah garis lurus:
jadi garisan tidak berserenjang.

2) Kami mencari sudut antara garis dengan formula:

Dengan menggunakan fungsi songsang mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan tangen arka (lihat Rajah. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapannya, kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam darjah dan dalam radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, jadi tolak, tidak mengapa. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam keadaan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "berpusing" sudut itu bermula dengan tepat daripadanya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garis lurus, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama . Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .

Tidak sampai seminit, saya mencipta fail Verdov baharu dan meneruskan topik yang begitu menarik. Anda perlu menangkap detik-detik mood bekerja, jadi tidak akan ada pengenalan lirik. Akan ada pukulan yang membosankan =)

Dua ruang lurus boleh:

1) kacukan;

2) bersilang pada titik;

3) selari;

4) perlawanan.

Kes #1 pada asasnya berbeza daripada kes lain. Dua garis bersilang jika mereka tidak terletak dalam satah yang sama.. Angkat satu lengan ke atas dan regangkan lengan yang satu lagi ke hadapan - berikut ialah contoh garis bersilang. Dalam mata 2-4, garisan semestinya terletak dalam satu kapal terbang.

Bagaimana untuk mengetahui kedudukan relatif garisan di angkasa?

Pertimbangkan dua ruang lurus:

- lurus, titik dan vektor arah ;
ialah garis lurus yang ditakrifkan oleh titik dan vektor arah .

Untuk pemahaman yang lebih baik Mari buat lukisan skematik:

Lukisan menunjukkan garis senget sebagai contoh.

Bagaimana untuk menangani garisan ini?

Memandangkan titik diketahui, mudah untuk mencari vektor.

Jika lurus kacukan, kemudian vektor bukan coplanar(lihat pelajaran Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor), yang bermaksud bahawa penentu yang terdiri daripada koordinatnya ialah bukan sifar. Atau, yang sebenarnya sama, akan berbeza daripada sifar: .

Dalam kes No. 2-4, pembinaan kami "jatuh" ke dalam satu satah, manakala vektor coplanar, dan hasil campuran adalah linear vektor bergantung sama dengan sifar: .

Kami mengembangkan lagi algoritma. Mari kita berpura-pura itu , oleh itu, garis sama ada bersilang, atau selari, atau bertepatan.

Jika vektor arah kolinear, maka garisan itu sama ada selari atau bertepatan. Sebagai paku terakhir, saya mencadangkan teknik berikut: kita mengambil mana-mana titik satu garis lurus dan menggantikan koordinatnya ke dalam persamaan garis lurus kedua; jika koordinat "mendekati", maka garisan bertepatan, jika mereka "tidak menghampiri", maka garis itu selari.

Kursus algoritma adalah mudah, tetapi contoh praktikal masih tidak akan menyakitkan:

Contoh 11

Cari kedudukan relatif dua garis

Penyelesaian: seperti dalam banyak masalah geometri, adalah mudah untuk mengatur penyelesaian titik demi titik:

1) Kami mengekstrak titik dan vektor arah daripada persamaan:

2) Cari vektor:

Oleh itu, vektor adalah koplanar, yang bermaksud bahawa garisan terletak pada satah yang sama dan boleh bersilang, selari atau bertepatan.

4) Semak vektor arah untuk keselarasan.

Mari kita susun sistem daripada koordinat yang sepadan bagi vektor ini:

daripada semua orang Persamaan membayangkan bahawa, oleh itu, sistem adalah konsisten, koordinat vektor yang sepadan adalah berkadar, dan vektor adalah kolinear.

Kesimpulan: garisan selari atau bertepatan.

5) Ketahui sama ada garisan mempunyai titik sepunya. Mari kita ambil satu titik kepunyaan garis lurus pertama dan gantikan koordinatnya ke dalam persamaan garis lurus:

Dengan cara ini, perkara biasa garis lurus tidak, dan mereka tidak mempunyai pilihan selain selari.

Jawab:

Contoh yang menarik untuk penyelesaian bebas:

Contoh 12

Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut

Ini adalah contoh buat sendiri. Ambil perhatian bahawa baris kedua mempunyai huruf sebagai parameter. Secara logiknya. AT kes am- ini adalah dua baris yang berbeza, jadi setiap baris mempunyai parameternya sendiri.

Dan sekali lagi saya menggesa anda untuk tidak melangkau contoh, saya akan mengecam tugas yang saya cadangkan adalah jauh dari rawak ;-)

Masalah dengan garis lurus di angkasa

Pada bahagian akhir pelajaran, saya akan cuba pertimbangkan jumlah maksimum pelbagai masalah dengan garis spatial. Dalam kes ini, urutan permulaan cerita akan dihormati: pertama kita akan mempertimbangkan masalah dengan garis bersilang, kemudian dengan garis bersilang, dan pada akhirnya kita akan bercakap tentang garis selari di ruang angkasa. Walau bagaimanapun, saya mesti mengatakan bahawa beberapa tugas pelajaran ini boleh dirumuskan untuk beberapa kes garis lurus sekaligus, dan dalam hal ini, pembahagian bahagian ke dalam perenggan adalah sewenang-wenangnya. Terdapat banyak lagi contoh mudah, terdapat banyak lagi contoh yang kompleks dan mudah-mudahan semua orang akan menemui apa yang mereka perlukan.

Garis bersilang

Saya mengingatkan anda bahawa garis bersilang jika tiada satah di mana kedua-duanya terletak. Apabila saya memikirkan tentang latihan itu, tugas raksasa muncul di fikiran, dan kini saya gembira untuk mempersembahkan kepada perhatian anda seekor naga dengan empat kepala:

Contoh 13

Diberi ialah garis lurus. Diperlukan:

a) membuktikan bahawa garisan bersilang;

b) cari persamaan garis yang melalui titik yang berserenjang dengan garis yang diberi;

c) menyusun persamaan garis lurus yang mengandungi serenjang sepunya garis bersilang;

d) cari jarak antara garisan.

Penyelesaian: Jalan akan dikuasai oleh yang berjalan:

a) Mari kita buktikan bahawa garis bersilang. Mari cari titik dan vektor arah bagi garis lurus ini:

Mari cari vektor:

Pengiraan hasil campuran vektor:

Jadi vektor bukan coplanar, yang bermaksud bahawa garis bersilang, yang perlu dibuktikan.

Mungkin, semua orang telah lama menyedari bahawa untuk garis condong, algoritma pengesahan ternyata yang paling singkat.

b) Mari kita cari persamaan garis yang melalui titik dan berserenjang dengan garis. Mari buat lukisan skematik:

Untuk variasi, saya menyiarkan secara langsung PER garis lurus, lihat bagaimana ia dipadamkan sedikit di titik persimpangan. Kacukan? Ya, dalam kes umum, garis "de" akan bersilang dengan garis asal. Walaupun masa ini kami belum berminat, cuma perlu membina garis serenjang dan itu sahaja.

Apa yang diketahui tentang "de" langsung? Perkara kepunyaan itu diketahui. Vektor arah tiada.

Mengikut keadaan, garis mesti berserenjang dengan garis, yang bermaksud bahawa vektor arahnya akan ortogon dengan vektor arah. Motif yang sudah biasa dari Contoh No. 9, mari cari produk vektor:

Mari kita susun persamaan garis lurus "de" dengan titik dan vektor pengarah:

sedia. Pada dasarnya, seseorang boleh menukar tanda-tanda dalam penyebut dan menulis jawapan dalam bentuk , tetapi tidak perlu untuk ini.

Untuk menyemak, adalah perlu untuk menggantikan koordinat titik ke dalam persamaan garis lurus yang diperoleh, kemudian menggunakan hasil darab titik bagi vektor pastikan bahawa vektor benar-benar ortogon kepada vektor arah "pe satu" dan "pe dua".

Bagaimana untuk mencari persamaan garis yang mengandungi serenjang sepunya?

c) Masalah ini lebih sukar. Dummies mengesyorkan untuk melangkau barang ini, saya tidak mahu menyejukkan simpati ikhlas anda untuk geometri analitik =) By the way, mungkin lebih baik untuk pembaca yang lebih bersedia untuk menunggu juga, hakikatnya contoh itu harus diletakkan terakhir dalam artikel dari segi kerumitan, tetapi mengikut logik pembentangan, ia sepatutnya terletak di sini.

Jadi, perlu mencari persamaan garis lurus, yang mengandungi serenjang sepunya bagi garis condong.

ialah segmen garisan yang menghubungkan garisan yang diberikan dan berserenjang dengan garisan yang diberikan:

Berikut adalah lelaki kacak kami: - serenjang biasa garis bersilang. Dia seorang sahaja. Tidak ada yang lain seperti itu. Kita juga perlu menyusun persamaan garis lurus yang mengandungi segmen tertentu.

Apa yang diketahui tentang "uh" langsung? Vektor arahnya diketahui, terdapat dalam perenggan sebelumnya. Tetapi, malangnya, kita tidak tahu satu titik pun milik garis lurus "em", kita tidak tahu hujung serenjang - mata. Di manakah garis serenjang ini bersilang dengan dua garis asal? Afrika, Antartika? Dari semakan awal dan analisis keadaan, sama sekali tidak jelas bagaimana untuk menyelesaikan masalah .... Tetapi ada helah untuk digunakan persamaan parametrik lurus.

Mari kita buat keputusan titik demi titik:

1) Mari kita tulis semula persamaan garis lurus pertama dalam bentuk parametrik:

Mari kita pertimbangkan satu perkara. Kami tidak tahu koordinat. TAPI. Jika titik kepunyaan garis tertentu, maka koordinatnya sepadan dengan , tandakannya dengan . Kemudian koordinat titik akan ditulis sebagai:

Kehidupan semakin baik, satu tidak diketahui - lagipun, bukan tiga perkara yang tidak diketahui.

2) Kemarahan yang sama mesti dilakukan pada titik kedua. Mari kita tulis semula persamaan garis lurus kedua dalam bentuk parametrik:

Jika titik kepunyaan garis tertentu, maka dengan maksud yang sangat spesifik koordinatnya mesti memenuhi persamaan parametrik:

Atau:

3) Vektor , seperti vektor yang ditemui sebelum ini, akan menjadi vektor arah garis . Cara mengarang vektor dari dua titik telah dipertimbangkan sejak dahulu lagi dalam pelajaran Vektor untuk boneka. Sekarang perbezaannya ialah koordinat vektor ditulis dengan nilai yang tidak diketahui parameter. Jadi apa? Tiada siapa yang melarang menolak koordinat yang sepadan bagi permulaan vektor daripada koordinat penghujung vektor.

Terdapat dua titik: .

Mencari vektor:

4) Oleh kerana vektor arah adalah kolinear, maka satu vektor dinyatakan secara linear melalui yang lain dengan beberapa pekali perkadaran "lambda":

Atau selaras:

Ternyata yang paling biasa sistem persamaan linear dengan tiga tidak diketahui , yang boleh diselesaikan standard, sebagai contoh, kaedah Cramer. Tetapi di sini ada peluang untuk keluar dengan sedikit darah, dari persamaan ketiga kita akan menyatakan "lambda" dan menggantikannya ke dalam persamaan pertama dan kedua:

Dengan cara ini: , dan "lambda" kita tidak perlukan. Hakikat bahawa nilai parameter ternyata sama adalah peluang murni.

5) Langit cerah sepenuhnya, gantikan nilai yang ditemui ke lokasi kami:

Vektor arah tidak diperlukan terutamanya, kerana rakan sejawatannya telah ditemui.

Selepas jalan jauh Ia sentiasa menyeronokkan untuk menyemak.

:

Persamaan yang betul diperolehi.

Gantikan koordinat titik ke dalam persamaan :

Persamaan yang betul diperolehi.

6) Kord akhir: kami akan menyusun persamaan garis lurus untuk satu titik (anda boleh ambil) dan vektor pengarah:

Pada dasarnya, anda boleh mengambil titik "baik" dengan koordinat integer, tetapi ini adalah kosmetik.

Bagaimana untuk mencari jarak antara garis bersilang?

d) Kami memotong kepala keempat naga.

Kaedah satu. Bukan cara pun, tapi yang kecil kes istimewa. Jarak antara garis bersilang adalah sama dengan panjang serenjang sepunya mereka: .

titik melampau serenjang sepunya terdapat dalam perenggan sebelumnya, dan tugasnya adalah asas:

Kaedah kedua. Dalam amalan, selalunya hujung serenjang biasa tidak diketahui, jadi pendekatan yang berbeza digunakan. Melalui dua garisan bersilang, seseorang boleh melukis satah selari, dan jarak antara satah yang diberikan adalah sama dengan jarak antara garisan yang diberikan. Khususnya, satu serenjang biasa menonjol di antara satah ini.

Dalam perjalanan geometri analitik, daripada pertimbangan di atas, formula telah diperoleh untuk mencari jarak antara garis condong:
(daripada mata kita "em satu, dua" kita boleh mengambil titik garisan sewenang-wenangnya).

Hasil campuran vektor sudah ditemui dalam perenggan "a": .

Hasil silang vektor terdapat dalam perenggan "be": , hitung panjangnya:

Dengan cara ini:

Dengan bangganya, letakkan trofi dalam satu baris:

Jawab:
a) , oleh itu, garisan bersilang, yang diperlukan untuk dibuktikan;
b) ;
dalam) ;
G)

Apa lagi yang boleh dikatakan tentang garis bersilang? Sudut ditentukan di antara mereka. Tetapi pertimbangkan formula sudut universal dalam perenggan seterusnya:

Garis lurus yang bersilang semestinya terletak pada satah yang sama:

Pemikiran pertama adalah bersandar pada titik persimpangan dengan sekuat tenaga. Dan segera saya berfikir, mengapa menafikan diri sendiri keinginan yang betul?! Mari kita melompat ke atasnya sekarang!

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis ruang?

Contoh 14

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Mari kita tulis semula persamaan garis dalam bentuk parametrik:

tugasan ini dibincangkan secara terperinci dalam Contoh No. 7 pelajaran ini (lihat. Persamaan garis lurus dalam ruang). Dan garis lurus itu sendiri, dengan cara itu, saya ambil dari Contoh No. 12. Saya tidak akan berbohong, saya terlalu malas untuk mencipta yang baru.

Penyelesaiannya adalah piawai dan telah ditemui semasa kita membuat persamaan bagi garis serenjang sepunya.

Titik persilangan garis tergolong dalam garis, oleh itu koordinatnya memenuhi persamaan parametrik garis ini, dan ia sepadan dengan nilai parameter yang sangat spesifik:

Tetapi titik yang sama tergolong dalam baris kedua, oleh itu:

Samakan persamaan yang sepadan dan buat penyederhanaan:

Menerima sistem tiga persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui. Jika garis bersilang (seperti yang dibuktikan dalam Contoh 12), maka sistem itu semestinya konsisten dan mempunyai penyelesaian yang unik. Ia boleh diselesaikan Kaedah Gauss, tetapi kita tidak akan berdosa dengan fetishisme tadika seperti itu, mari kita lakukan dengan lebih mudah: dari persamaan pertama kita menyatakan "te sifar" dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

Dua persamaan terakhir ternyata pada asasnya sama, dan ia mengikuti daripada mereka bahawa . Kemudian:

Mari kita gantikan nilai parameter yang ditemui ke dalam persamaan:

Jawab:

Untuk menyemak, kami menggantikan nilai parameter yang ditemui ke dalam persamaan:
Koordinat yang sama diperolehi seperti yang diperlukan untuk diperiksa. Pembaca yang teliti boleh menggantikan koordinat titik dalam persamaan kanonik asal bagi garisan.

Dengan cara ini, adalah mungkin untuk melakukan sebaliknya: cari titik melalui "es zero", dan semaknya melalui "te zero".

Tanda matematik yang terkenal berkata: di mana persilangan garis lurus dibincangkan, sentiasa ada bau serenjang.

Bagaimana untuk membina garisan ruang berserenjang dengan yang diberikan?

(garisan bersilang)

Contoh 15

a) Susun persamaan garis yang melalui titik yang berserenjang dengan garis tersebut (garisan bersilang).

b) Cari jarak dari titik ke garis.

Catatan : klausa "garis bersilang" - penting. Melalui titik
adalah mungkin untuk melukis bilangan garis serenjang yang tidak terhingga yang akan bersilang dengan garis "el". Satu-satunya penyelesaian adalah dalam kes apabila titik yang diberikan dilukis lurus, berserenjang dua garis lurus yang diberikan (lihat Contoh No. 13, perenggan "b").

a) Penyelesaian: Nyatakan baris yang tidak diketahui dengan . Mari buat lukisan skematik:

Apa yang diketahui tentang garisan? Dengan syarat, satu mata diberikan. Untuk menyusun persamaan garis lurus, adalah perlu untuk mencari vektor arah. Sebagai vektor sedemikian, vektor itu agak sesuai, dan kami akan menanganinya. Lebih tepat lagi, mari kita ambil hujung vektor yang tidak diketahui dengan teliti.

1) Kami akan mengekstrak vektor pengarahnya daripada persamaan garis lurus "el", dan kami akan menulis semula persamaan itu sendiri dalam bentuk parametrik:

Ramai yang meneka bahawa sekarang untuk kali ketiga semasa pelajaran ahli silap mata akan dapat angsa putih daripada topi. Pertimbangkan satu titik dengan koordinat yang tidak diketahui. Oleh kerana titik , maka koordinatnya memenuhi persamaan parametrik garis lurus "el" dan ia sepadan dengan nilai parameter tertentu:

Atau dalam satu baris:

2) Mengikut keadaan, garisan mestilah berserenjang, oleh itu, vektor arahnya adalah ortogon. Dan jika vektor adalah ortogonal, maka mereka produk skalar sama dengan sifar:

Apa yang berlaku? Persamaan linear termudah dengan satu yang tidak diketahui:

3) Nilai parameter diketahui, mari cari titik:

Dan vektor arah:
.

4) Kami akan menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah :

Penyebut bagi perkadaran itu ternyata pecahan, dan ini betul-betul berlaku apabila ia sesuai untuk menyingkirkan pecahan. Saya hanya akan mendarabkannya dengan -2:

Jawab:

Catatan : pengakhiran penyelesaian yang lebih ketat dibuat seperti berikut: kita menyusun persamaan garis lurus dengan titik dan vektor arah . Sesungguhnya, jika vektor ialah vektor arah garis lurus, maka vektor kolinear kepadanya secara semula jadi juga akan menjadi vektor arah garis lurus ini.

Pengesahan terdiri daripada dua peringkat:

1) semak vektor arah garis untuk keortogonan;

2) kita menggantikan koordinat titik ke dalam persamaan setiap garis lurus, mereka harus "sesuai" di sini dan di sana.

Terdapat banyak perbincangan mengenai tindakan biasa, jadi saya membuat semakan pada draf.

By the way, saya terlupa trend lain - untuk membina titik "sue" simetri kepada titik "en" berkenaan dengan garis lurus "el". Walau bagaimanapun, terdapat "analog rata" yang baik, yang boleh didapati dalam artikel itu Masalah paling mudah dengan garis lurus pada satah. Di sini, semua perbezaan akan berada dalam koordinat "Z" tambahan.

Bagaimana untuk mencari jarak dari titik ke garisan dalam ruang?

b) Penyelesaian: Cari jarak dari titik ke garis.

Kaedah satu. Diberi jarak betul-betul sama dengan panjang serenjang: . Penyelesaiannya adalah jelas: jika mata diketahui , maka:

Kaedah kedua. Dalam masalah praktikal, asas serenjang sering menjadi misteri, jadi lebih rasional untuk menggunakan formula siap sedia.

Jarak dari titik ke garis dinyatakan dengan formula:
, di manakah vektor arah bagi garis lurus "el", dan - sewenang-wenangnya titik pada garis tertentu.

1) Daripada persamaan garis lurus kita mendapat vektor arah dan titik yang paling mudah diakses.

2) Titik diketahui dari keadaan, tajamkan vektor:

3) Jom cari produk vektor dan hitung panjangnya:

4) Kira panjang vektor arah:

5) Oleh itu, jarak dari titik ke garis:

Bukti.

Mari kita ambil satu perkara , yang terletak pada talian a, kemudian koordinat titik M1 memenuhi persamaan, iaitu kesaksamaan, dari mana kita ada .

Sekiranya font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> b mempunyai bentukfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> dan jika, maka persamaan normal garis itu b mempunyai bentukfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Kemudian pada font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">jarak dari titikkepada lurus b dikira dengan formula, dan pada - mengikut formula

Iaitu, untuk sebarang nilai C2 jarak dari titik kepada lurus b boleh dikira menggunakan formula. Dan diberi persamaan, yang diperoleh di atas, maka formula terakhir akan mengambil bentukfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Teorem dibuktikan.

2. Menyelesaikan masalah mencari jarak antara garis selari

Contoh #1.

Cari jarak antara garis selari dan Penyelesaian.

Kami memperoleh persamaan am bagi garis selari yang diberikan.

Untuk lurus saiz fon: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">sepadan dengan persamaan umum garis. Mari kita lulus dari persamaan parametrik bentuk langsungfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">kepada persamaan umum baris ini:

saiz fon: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">Pekali Pembolehubah x dan y dalam diterima persamaan am garis selari adalah sama, jadi kita boleh segera menggunakan formula untuk mengira jarak antara garis selari pada satah:.

Jawapan: saiz fon: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">Contoh #2.

Sistem koordinat segi empat tepat diperkenalkan pada satah Oxy dan diberi persamaan dua garis selari dan . Cari jarak antara garis selari yang diberi.

Penyelesaian:

Penyelesaian pertama.

Persamaan kanonik bagi garis lurus pada satah bentuksaiz fon: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana"> membolehkan anda merekodkan koordinat titik dengan segera M1 berbohong pada baris ini:saiz fon: 12.0pt line-height:115%;font-family:Verdana">. Jarak dari titik ini ke garisansama dengan jarak yang dikehendaki antara garis selari. Persamaanialah persamaan biasa garis lurus, oleh itu, kita boleh segera mengira jarak dari titik itu kepada lurus font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Penyelesaian kedua.

Persamaan umum salah satu garis selari yang diberikan telah diberikan kepada kitafont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Berikut ialah persamaan kanonik gariskepada persamaan am garis lurus:. Pekali boleh ubah x dalam persamaan umum, garis selari yang diberikan adalah sama (dengan pembolehubah y pekali juga sama - ia sama dengan sifar), jadi anda boleh menggunakan formula yang membolehkan anda mengira jarak antara garis selari yang diberikan:.

Jawapan: 8

3. Kerja rumah

Tugasan untuk ujian kendiri

1. Cari jarak antara dua garis selari

4. KESIMPULAN

Semua matlamat dan objektif yang ditetapkan telah tercapai sepenuhnya. Dua pelajaran telah dibangunkan dari bahagian "Susunan bersama objek pada satah" mengenai topik "Jarak dari titik ke garis. Jarak antara garis selari” menggunakan kaedah koordinat. Bahan dipilih pada tahap yang boleh diakses untuk pelajar, yang akan membolehkan menyelesaikan masalah dalam geometri dengan kaedah yang lebih mudah dan lebih cantik.

5. SENARAI LITERATUR

1) , Yudina. Darjah 7 - 9: buku teks untuk institusi pendidikan.

2) , Poznyak. Buku teks untuk 10-11 darjah sekolah menengah.

3) , Matematik Nikolsky. Jilid Satu: Elemen Algebra Linear dan Geometri Analitik.

4) , geometri Poznyak.

6.APLIKASI

Bahan rujukan

Persamaan am garis lurus:

Ah + Wu + C = 0 ,

di mana TAPI dan AT tidak sama dengan sifar pada masa yang sama.

Kemungkinan TAPI dan AT ialah koordinat vektor biasa garis lurus (iaitu, vektor yang berserenjang dengan garis lurus). Pada A = 0 garis lurus selari dengan paksi OH, pada B = 0 garis lurus selari dengan paksi O Y .

Pada AT0 dapat persamaan cerun :