Kami mengira jumlah sudut dan luas segi empat selari: sifat dan ciri. Bagaimana untuk mencari luas segi empat selari, segi tiga, trapezoid Bagaimana untuk mencari luas segi empat selari menggunakan sinus

Tugasan 4.

Salah satu pepenjuru segi empat selari dengan panjang 4√6 membuat sudut 60° dengan tapak, dan pepenjuru kedua membuat sudut 45° dengan tapak yang sama. Cari pepenjuru kedua.

Penyelesaian.

1. AO = 2√6.

2. Kami menggunakan teorem sinus kepada segi tiga AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Jawapan: 12.

Tugasan 5.

Untuk segi empat selari dengan sisi 5√2 dan 7√2, sudut yang lebih kecil di antara pepenjuru adalah sama dengan sudut yang lebih kecil bagi segi empat selari. Cari hasil tambah panjang pepenjuru itu.

Penyelesaian.

Biarkan d 1, d 2 ialah pepenjuru bagi segi empat selari, dan sudut antara pepenjuru dan sudut yang lebih kecil selari adalah sama dengan φ.

1. Mari kita mengira dua yang berbeza
cara kawasannya.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Kami memperoleh kesamaan 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f atau

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Menggunakan hubungan antara sisi dan pepenjuru segiempat selari, kami menulis kesamaan

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Mari buat sistem:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Mari kita darabkan persamaan kedua sistem dengan 2 dan tambahkannya kepada yang pertama.

Kita dapat (d 1 + d 2) 2 = 576. Oleh itu Id 1 + d 2 I = 24.

Oleh kerana d 1, d 2 ialah panjang pepenjuru segiempat selari, maka d 1 + d 2 = 24.

Jawapan: 24.

Tugasan 6.

Sisi segiempat selari ialah 4 dan 6. Sudut lancip antara pepenjuru ialah 45 darjah. Cari luas segi empat selari.

Penyelesaian.

1. Dari segi tiga AOB, menggunakan teorem kosinus, kita menulis hubungan antara sisi segiempat selari dan pepenjuru.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. Begitu juga, kita menulis hubungan bagi segi tiga AOD.

Mari kita ambil kira itu<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Kami mendapat persamaan d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Kami mempunyai sistem
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Menolak yang pertama daripada persamaan kedua, kita mendapat 2d 1 · d 2 √2 = 80 atau

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Nota: Dalam masalah ini dan sebelumnya tidak perlu menyelesaikan sistem sepenuhnya, menjangkakan bahawa dalam masalah ini kita memerlukan hasil pepenjuru untuk mengira kawasan.

Jawapan: 10.

Tugasan 7.

Luas segiempat selari ialah 96 dan sisinya ialah 8 dan 15. Cari segi empat sama pepenjuru yang lebih kecil.

Penyelesaian.

1. S ABCD = AB · AD · dosa ВAD. Mari kita buat penggantian dalam formula.

Kami mendapat 96 = 8 · 15 · dosa ВAD. Oleh itu dosa ВAD = 4/5.

2. Jom cari cos VAD. dosa 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

Mengikut keadaan masalah, kita dapati panjang pepenjuru yang lebih kecil. ВD pepenjuru akan menjadi lebih kecil jika sudut ВAD adalah akut. Maka cos VAD = 3 / 5.

3. Daripada segi tiga ABD, menggunakan teorem kosinus, kita dapati kuasa dua pepenjuru BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Jawapan: 145.

Masih ada soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan masalah geometri?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber diperlukan.

Sama seperti dalam geometri Euclidean, titik dan garis lurus adalah unsur utama teori satah, maka segi empat selari ialah salah satu angka penting bagi segi empat cembung. Daripadanya, seperti benang dari bola, mengalirkan konsep "segi empat tepat", "persegi", "rombus" dan kuantiti geometri yang lain.

Definisi segi empat selari

segi empat cembung, terdiri daripada segmen, setiap pasangan yang selari, dikenali dalam geometri sebagai segi empat selari.

Rupa bentuk selari klasik digambarkan oleh segi empat ABCD. Sisinya dipanggil tapak (AB, BC, CD dan AD), serenjang yang dilukis dari mana-mana bucu ke sisi yang bertentangan dengan bucu ini dipanggil ketinggian (BE dan BF), garis AC dan BD dipanggil pepenjuru.

Perhatian! Segi empat sama, rombus dan segi empat tepat ialah kes khas segiempat selari.

Sisi dan sudut: ciri perhubungan

Sifat utama, pada umumnya, ditentukan terlebih dahulu oleh sebutan itu sendiri, mereka dibuktikan dengan teorem. Ciri-ciri ini adalah seperti berikut:

1. Sisi yang bertentangan adalah sama secara berpasangan.
2. Sudut yang bertentangan antara satu sama lain adalah sama berpasangan.

Bukti: Pertimbangkan ∆ABC dan ∆ADC, yang diperoleh dengan membahagikan segi empat ABCD dengan garis lurus AC. ∠BCA=∠CAD dan ∠BAC=∠ACD, kerana AC adalah biasa bagi mereka (sudut menegak untuk BC||AD dan AB||CD, masing-masing). Ia berikutan daripada ini: ∆ABC = ∆ADC (tanda kedua kesamaan segi tiga).

Segmen AB dan BC dalam ∆ABC sepadan secara berpasangan dengan garis CD dan AD dalam ∆ADC, yang bermaksud bahawa ia adalah sama: AB = CD, BC = AD. Oleh itu, ∠B sepadan dengan ∠D dan mereka adalah sama. Oleh kerana ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, yang juga sama berpasangan, maka ∠A = ∠C. Harta tersebut telah terbukti.

Ciri-ciri pepenjuru rajah

Ciri utama daripada garis selari ini: titik persilangan membahagikannya kepada separuh.

Bukti: Biarkan iaitu titik persilangan pepenjuru AC dan BD rajah ABCD. Mereka membentuk dua segi tiga sepadan - ∆ABE dan ∆CDE.

AB=CD kerana ia bertentangan. Mengikut garisan dan sekan, ∠ABE = ∠CDE dan ∠BAE = ∠DCE.

Mengikut kriteria kesamaan kedua, ∆ABE = ∆CDE. Ini bermakna unsur ∆ABE dan ∆CDE: AE = CE, BE = DE dan pada masa yang sama ia adalah bahagian berkadar AC dan BD. Harta tersebut telah terbukti.

Ciri-ciri sudut bersebelahan

Sisi bersebelahan mempunyai jumlah sudut yang sama dengan 180°, kerana ia terletak pada sisi yang sama garis selari dan melintang. Untuk ABCD segiempat:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Sifat pembahagi dua bahagian:

1. , diturunkan ke satu sisi, berserenjang;
2. bucu bertentangan mempunyai pembahagi dua bahagian yang selari;
3. segi tiga yang diperolehi dengan melukis pembahagi dua adalah sama kaki.

Penentuan ciri ciri segi empat selari menggunakan teorem

Ciri-ciri rajah ini mengikut teorem utamanya, yang menyatakan perkara berikut: segi empat dianggap selari sekiranya pepenjurunya bersilang, dan titik ini membahagikannya kepada segmen yang sama.

Bukti: biarkan garis AC dan BD bagi segi empat ABCD bersilang dalam i.e. Oleh kerana ∠AED = ∠BEC, dan AE+CE=AC BE+DE=BD, maka ∆AED = ∆BEC (mengikut kriteria pertama untuk kesamaan segi tiga). Iaitu, ∠EAD = ∠ECB. Ia juga merupakan sudut silang dalaman AC sekan untuk garis AD dan BC. Oleh itu, mengikut takrifan selari - AD || B.C. Sifat serupa bagi baris BC dan CD juga diperoleh. Teorem terbukti.

Mengira luas rajah

Kawasan angka ini didapati melalui beberapa kaedah salah satu yang paling mudah: mendarab ketinggian dan tapak yang dilukis.

Bukti: lukiskan serenjang BE dan CF daripada bucu B dan C. ∆ABE dan ∆DCF adalah sama, kerana AB = CD dan BE = CF. Saiz ABCD adalah sama dengan segi empat tepat EBCF, kerana ia terdiri daripada angka yang sepadan: S ABE dan S EBCD, serta S DCF dan S EBCD. Ia berikutan daripada ini bahawa luas rajah geometri ini adalah sama dengan segi empat tepat:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Untuk menentukan formula umum bagi luas segi empat selari, mari kita nyatakan ketinggian sebagai hb, dan sebelah - b. Masing-masing:

Cara lain untuk mencari kawasan

Pengiraan kawasan melalui sisi segi empat selari dan sudut, yang mereka bentuk, adalah kaedah kedua yang diketahui.

,

Spr-ma - kawasan;

a dan b ialah sisinya

α ialah sudut antara segmen a dan b.

Kaedah ini praktikal berdasarkan yang pertama, tetapi sekiranya ia tidak diketahui. sentiasa memotong segi tiga tepat yang parameternya ditemui oleh identiti trigonometri, iaitu. Mengubah hubungan, kita dapat . Dalam persamaan kaedah pertama, kami menggantikan ketinggian dengan produk ini dan mendapatkan bukti kesahihan formula ini.

Melalui pepenjuru segi empat selari dan sudut, yang mereka cipta apabila mereka bersilang, anda juga boleh mencari kawasan itu.

Bukti: AC dan BD bersilang untuk membentuk empat segi tiga: ABE, BEC, CDE dan AED. Jumlah mereka adalah sama dengan luas segi empat ini.

Luas setiap ∆ ini boleh didapati dengan ungkapan , di mana a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Oleh kerana , pengiraan menggunakan nilai sinus tunggal. iaitu . Oleh kerana AE+CE=AC= d 1 dan BE+DE=BD= d 2, formula luas berkurangan kepada:

.

Aplikasi dalam algebra vektor

Ciri-ciri bahagian juzuk segi empat ini telah menemui aplikasi dalam algebra vektor, iaitu penambahan dua vektor. Peraturan selari menyatakan bahawa jika diberi vektorDantidakadalah kolinear, maka jumlahnya akan sama dengan pepenjuru angka ini, yang tapaknya sepadan dengan vektor ini.

Bukti: dari permulaan yang dipilih sewenang-wenangnya - i.e. - membina vektor dan . Seterusnya, kami membina segi empat selari OASV, di mana segmen OA dan OB adalah sisi. Oleh itu, OS terletak pada vektor atau jumlah.

Formula untuk mengira parameter segi empat selari

Identiti diberikan di bawah syarat berikut:

1. a dan b, α - sisi dan sudut di antara mereka;
2. d 1 dan d 2, γ - pepenjuru dan pada titik persilangan mereka;
3. h a dan h b - ketinggian diturunkan ke sisi a dan b;

Parameter	Formula
Mencari sisi
sepanjang pepenjuru dan kosinus sudut di antara mereka
sepanjang pepenjuru dan sisi
melalui ketinggian dan bucu bertentangan
Mencari panjang pepenjuru
di sisi dan saiz puncak di antara mereka
sepanjang sisi dan salah satu pepenjuru	 Kesimpulan Paralelogram, sebagai salah satu angka utama geometri, digunakan dalam kehidupan, sebagai contoh, dalam pembinaan apabila mengira luas tapak atau ukuran lain. Oleh itu, pengetahuan tentang ciri dan kaedah tersendiri untuk mengira pelbagai parameternya boleh berguna pada bila-bila masa dalam kehidupan.

Definisi segi empat selari

segi empat selari ialah segiempat di mana sisi bertentangan adalah sama dan selari.

Kalkulator dalam talian

Paralelogram mempunyai beberapa sifat berguna yang memudahkan untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan rajah ini. Sebagai contoh, salah satu sifat ialah sudut bertentangan bagi segi empat selari adalah sama.

Mari kita pertimbangkan beberapa kaedah dan formula diikuti dengan menyelesaikan contoh mudah.

Formula untuk luas segi empat selari berdasarkan tapak dan ketinggiannya

Kaedah mencari kawasan ini mungkin salah satu yang paling asas dan mudah, kerana ia hampir sama dengan formula untuk mencari luas segi tiga dengan beberapa pengecualian. Pertama, mari kita lihat kes umum tanpa menggunakan nombor.

Biarkan segi empat selari sewenang-wenangnya dengan tapak diberikan a a, sebelah b b b dan ketinggian h h h, dibawa ke pangkalan kami. Maka rumus untuk luas segi empat selari ini ialah:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=a ⋅h

A a a- asas;
h h h- ketinggian.

Mari kita lihat satu masalah mudah untuk berlatih menyelesaikan masalah biasa.

Cari luas segi empat selari yang tapaknya diketahui 10 (cm) dan tingginya ialah 5 (cm).

Penyelesaian

A = 10 a=10 a =1 0
h = 5 h=5 h =5

Kami menggantikannya ke dalam formula kami. Kami mendapat:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (lihat persegi)

Jawapan: 50 (lihat petak)

Formula untuk luas segi empat selari berdasarkan dua sisi dan sudut di antara mereka

Dalam kes ini, nilai yang diperlukan didapati seperti berikut:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=a ⋅b ⋅dosa(α)

A, b a, b a, b- sisi segi empat selari;
α\alfa α - sudut antara sisi a a Dan b b b.

Sekarang mari kita selesaikan contoh lain dan gunakan formula yang diterangkan di atas.

Cari luas segi empat selari jika sisinya diketahui a a, iaitu tapak dan mempunyai panjang 20 (cm) dan perimeter p p hlm, secara berangka sama dengan 100 (cm), sudut antara sisi bersebelahan ( a a Dan b b b) adalah sama dengan 30 darjah.

Penyelesaian

A = 20 a=20 a =2 0
p = 100 p=100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alfa=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Untuk mencari jawapan, kita hanya tahu sisi kedua segi empat ini. Jom cari dia. Perimeter segi empat selari diberikan oleh formula:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a+a+b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2b 60=2b 6 0 = 2 b
b = 30 b=30 b =3 0

Bahagian yang paling sukar telah berakhir, yang tinggal hanyalah menggantikan nilai kami dengan sisi dan sudut di antara mereka:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ dosa (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (lihat persegi)

Jawapan: 300 (lihat persegi)

Formula untuk luas segi empat selari berdasarkan pepenjuru dan sudut di antara mereka

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D⋅d⋅dosa(α)

D D D- pepenjuru besar;
d d d- pepenjuru kecil;
α\alfa α - sudut akut antara pepenjuru.

Diberi adalah pepenjuru bagi segi empat selari bersamaan dengan 10 (cm) dan 5 (cm). Sudut di antara mereka ialah 30 darjah. Kira luasnya.

Penyelesaian

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d=5 d =5
α = 3 0 ∘ \alfa=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12.5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12.5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ dosa (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (lihat persegi)

Luas rajah geometri- ciri berangka bagi rajah geometri yang menunjukkan saiz rajah ini (sebahagian daripada permukaan yang dihadkan oleh kontur tertutup rajah ini). Saiz kawasan dinyatakan dengan bilangan unit persegi yang terkandung di dalamnya.

Rumus luas segi tiga

1. Formula untuk luas segi tiga dengan sisi dan ketinggian
   Luas segi tiga sama dengan separuh hasil darab panjang sisi segi tiga dan panjang altitud yang dilukis ke sisi ini
   
2. Formula untuk luas segi tiga berdasarkan tiga sisi dan jejari bulatan
   
3. Formula untuk luas segi tiga berdasarkan tiga sisi dan jejari bulatan bertulis
   Luas segi tiga adalah sama dengan hasil darab separuh perimeter segi tiga dan jejari bulatan tersurat.
   
di mana S ialah luas segi tiga,
- panjang sisi segi tiga,
- ketinggian segi tiga,
- sudut antara sisi dan,
- jejari bulatan bertulis,
R - jejari bulatan terhad,

Formula luas segi empat sama

1. Formula untuk luas segi empat sama dengan panjang sisi
   Kawasan persegi sama dengan segi empat sama panjang sisinya.
2. Formula untuk luas segi empat sama sepanjang pepenjuru
   Kawasan persegi sama dengan separuh segi empat sama panjang pepenjurunya.
   

   S=	1	2
   	2

di mana S ialah luas segi empat sama,
- panjang sisi segi empat sama,
- panjang pepenjuru segi empat sama.

Formula luas segi empat tepat

Luas segi empat tepat sama dengan hasil darab panjang dua sisinya yang bersebelahan

di mana S ialah luas segi empat tepat,
- panjang sisi segi empat tepat.

Rumus luas segi empat selari

1. Formula untuk luas segi empat selari berdasarkan panjang sisi dan ketinggian
   Luas segi empat selari
2. Formula untuk luas segi empat selari berdasarkan dua sisi dan sudut di antara mereka
   Luas segi empat selari adalah sama dengan hasil darab panjang sisinya dengan sinus sudut di antaranya.
   

   a b dosa α

di mana S ialah luas segi empat selari,
- panjang sisi segi empat selari,
- panjang ketinggian segi empat selari,
- sudut antara sisi segi empat selari.

Formula untuk kawasan rombus

1. Formula untuk luas rombus berdasarkan panjang sisi dan ketinggian
   Kawasan belah ketupat sama dengan hasil darab panjang sisinya dan panjang ketinggian yang diturunkan ke sisi ini.
2. Formula untuk luas rombus berdasarkan panjang sisi dan sudut
   Kawasan belah ketupat adalah sama dengan hasil darab segi empat sama panjang sisinya dan sinus sudut antara sisi rombus.
3. Formula untuk luas rombus berdasarkan panjang pepenjurunya
   Kawasan belah ketupat sama dengan separuh hasil darab panjang pepenjurunya.
di mana S ialah luas rombus,
- panjang sisi rombus,
- panjang ketinggian rombus,
- sudut antara sisi rombus,
1, 2 - panjang pepenjuru.

Rumus luas trapezoid

1. Formula Heron untuk trapezoid

   Di mana S ialah luas trapezoid,
   - panjang tapak trapezoid,
   - panjang sisi trapezoid,