X 3 3x 2 10x 24

x 32 x 2

24 10 x

x2 x12

ax 2 bx c , di mana a , b dan c diberi nombor, dan a 0 .

Mari kita ubah sumbu trinomial kuadratik 2 bx c seperti berikut.

x2:

pekali

x ): a x

yang merupakan kuasa dua bagi suatu nombor

Hasilnya kami mendapat:

Perasan sekarang

Kami dapat

4a 2

Contoh. Pilih segi empat sama yang lengkap.

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

a r 1a r 2a r 1r 2,

3. a r 1r 2 a r 1r 2,

4. abr 1 ar 1 br 1,

a r 1

ar 1

br 1

1. Darab 8

x 3 12x 7.

24 x 23.

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. Memfaktorkan

a 2x 3

3 y 3 ;

4 3 85

16 6

2 520 9 519

16 0,25

16 0,25

Kalkulator dalam talian.
Menempatkan binomial dan memfaktorkannya trinomial kuadratik.

Itu. masalah bermuara kepada mencari nombor \(p, q\) dan \(n, m\)

Program ini bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, tetapi juga memaparkan proses penyelesaian.

Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah

dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci. Dengan cara ini anda boleh melaksanakan latihan sendiri dan/atau melatih mereka adik-adik lelaki

atau saudara perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat.

Jika anda tidak biasa dengan peraturan untuk memasukkan trinomial kuadratik, kami mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengannya.

Peraturan untuk memasukkan polinomial kuadratik
Mana-mana huruf Latin boleh bertindak sebagai pembolehubah.

Contohnya: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), dsb.
Nombor boleh dimasukkan sebagai nombor bulat atau pecahan. Lebih-lebih lagi, nombor pecahan

boleh dimasukkan bukan sahaja sebagai perpuluhan, tetapi juga sebagai pecahan biasa.
Peraturan untuk memasukkan pecahan perpuluhan.
Dalam pecahan perpuluhan, bahagian pecahan boleh dipisahkan daripada keseluruhan bahagian sama ada dengan noktah atau koma. Sebagai contoh, anda boleh masuk perpuluhan

seperti ini: 2.5x - 3.5x^2
Peraturan untuk memasukkan pecahan biasa.

Hanya nombor bulat boleh bertindak sebagai pengangka, penyebut dan bahagian integer pecahan.

Penyebut tidak boleh negatif. Apabila masuk pecahan berangka /
Pengangka dipisahkan dari penyebut dengan tanda bahagi: Seluruh bahagian &
dipisahkan daripada pecahan dengan ampersand:
Input: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Keputusan: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Apabila memasukkan ungkapan anda boleh menggunakan kurungan
. Dalam kes ini, apabila menyelesaikan, ungkapan yang diperkenalkan pertama kali dipermudahkan.

Contohnya: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2) Contoh

penyelesaian terperinci Mengasingkan kuasa dua binomial. $$ ax^2+bx+c \anak panah kanan a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \kanan)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\kiri(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Jawapan: $$2x^2+2x-4 = 2\kiri(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$ Pemfaktoran.
$$ 2\kiri(x^2+x-2 \kanan) = $$
$$ 2 \kiri(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \kanan) = $$ $$ 2 \kiri(x \kiri(x +2 \kanan) -1 \kiri(x +2 \kanan ) \kanan) = $$ $$ 2 \kiri(x -1 \kanan) \kiri(x +2 \kanan) $$ $$ ax^2+bx+c \anak panah kanan a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \kanan)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\kiri(x+\frac(1)(2) \kanan)^2-\frac(9)(2) $$$$2x^2+2x-4 = 2 \kiri(x -1 \kanan) \kiri(x +2 \kanan) $$

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

jika anda perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Mengasingkan kuasa dua binomial daripada trinomial segi empat sama

Jika kapak trinomial segi empat sama 2 +bx+c diwakili sebagai a(x+p) 2 +q, di mana p dan q ialah nombor nyata, kemudian mereka mengatakan bahawa dari segi empat sama trinomial, segi empat sama binomial diserlahkan.

Daripada trinomial 2x 2 +12x+14 kami mengekstrak kuasa dua binomial itu.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Untuk melakukan ini, bayangkan 6x sebagai hasil darab 2*3*x, dan kemudian tambah dan tolak 3 2. Kami mendapat:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Itu. Kami ekstrak binomial segi empat sama daripada trinomial segi empat sama, dan menunjukkan bahawa:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Memfaktorkan trinomial kuadratik

Jika kapak trinomial segi empat sama 2 +bx+c diwakili dalam bentuk a(x+n)(x+m), dengan n dan m ialah nombor nyata, maka operasi itu dikatakan telah dilakukan. pemfaktoran trinomial kuadratik.

Mari kita tunjukkan dengan contoh bagaimana transformasi ini dilakukan.

Mari kita faktorkan trinomial kuadratik 2x 2 +4x-6.

Mari kita keluarkan pekali a daripada kurungan, i.e. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Mari kita ubah ungkapan dalam kurungan.
Untuk melakukan ini, bayangkan 2x sebagai perbezaan 3x-1x, dan -3 sebagai -1*3. Kami mendapat:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Itu. Kami memfaktorkan trinomial kuadratik, dan menunjukkan bahawa:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Ambil perhatian bahawa pemfaktoran trinomial kuadratik hanya boleh dilakukan apabila, persamaan kuadratik, sepadan dengan trinomial ini mempunyai akar.
Itu. dalam kes kami, adalah mungkin untuk memfaktorkan trinomial 2x 2 +4x-6 jika persamaan kuadratik 2x 2 +4x-6 =0 mempunyai punca. Dalam proses pemfaktoran, kami menetapkan bahawa persamaan 2x 2 + 4x-6 = 0 mempunyai dua punca 1 dan -3, kerana dengan nilai ini, persamaan 2(x-1)(x+3)=0 bertukar menjadi kesamaan sebenar.

hidup pelajaran ini kami akan mengingati semua kaedah pemfaktoran polinomial yang telah dikaji sebelumnya dan mempertimbangkan contoh aplikasinya, sebagai tambahan, kami akan mengkaji kaedah baru- kaedah mengenal pasti segi empat sama lengkap dan mempelajari cara mengaplikasikannya dalam menyelesaikan pelbagai masalah.

Subjek:Pemfaktoran polinomial

Pelajaran:Pemfaktoran polinomial. Kaedah untuk memilih petak lengkap. Gabungan kaedah

Mari kita ingat kaedah asas pemfaktoran polinomial yang telah dikaji sebelum ini:

Kaedah meletakkan faktor sepunya daripada kurungan, iaitu faktor yang hadir dalam semua sebutan polinomial. Mari lihat contoh:

Ingat bahawa monomial ialah hasil darab kuasa dan nombor. Dalam contoh kami, kedua-dua istilah mempunyai beberapa unsur yang sama dan serupa.

Jadi, mari kita keluarkan faktor sepunya daripada kurungan:

;

Biar kami mengingatkan anda bahawa dengan mendarabkan faktor yang dikeluarkan dengan kurungan, anda boleh menyemak ketepatan faktor yang dikeluarkan.

Kaedah pengelompokan. Ia tidak selalu mungkin untuk mengekstrak faktor sepunya dalam polinomial. Dalam kes ini, anda perlu membahagikan ahlinya kepada kumpulan sedemikian rupa sehingga dalam setiap kumpulan anda boleh mengambil faktor yang sama dan cuba memecahkannya supaya selepas mengambil faktor dalam kumpulan, faktor yang sama muncul dalam keseluruhan ungkapan, dan anda boleh meneruskan penguraian. Mari lihat contoh:

Mari kumpulkan penggal pertama dengan yang keempat, yang kedua dengan yang kelima, dan yang ketiga dengan yang keenam:

Mari kita ambil faktor biasa dalam kumpulan:

Ungkapan itu kini mempunyai faktor yang sama. Mari keluarkan:

Aplikasi rumus pendaraban yang disingkatkan. Mari lihat contoh:

;

Mari tulis ungkapan secara terperinci:

Jelas sekali, kita mempunyai formula untuk perbezaan kuasa dua, kerana ia adalah hasil tambah kuasa dua dua ungkapan dan hasil darab duanya ditolak daripadanya. Mari kita gunakan formula:

Hari ini kita akan mempelajari kaedah lain - kaedah memilih persegi lengkap. Ia berdasarkan formula kuasa dua jumlah dan kuasa dua perbezaan. Mari kita ingatkan mereka:

Formula untuk kuasa dua jumlah (perbezaan);

Keistimewaan formula ini ialah ia mengandungi petak dua ungkapan dan hasil gandaannya. Mari lihat contoh:

Mari kita tulis ungkapan:

Jadi, ungkapan pertama ialah , dan yang kedua ialah .

Untuk mencipta formula bagi kuasa dua jumlah atau perbezaan, hasil darab ungkapan tidak mencukupi. Ia perlu ditambah dan ditolak:

Mari kita lengkapkan kuasa dua jumlah itu:

Mari kita ubah ungkapan yang terhasil:

Mari kita gunakan formula untuk perbezaan kuasa dua, ingat bahawa perbezaan kuasa dua dua ungkapan ialah hasil darab dan hasil tambah perbezaannya:

Jadi, kaedah ini terdiri, pertama sekali, dalam fakta bahawa adalah perlu untuk mengenal pasti ungkapan a dan b yang berada dalam petak, iaitu, untuk menentukan petak ungkapan mana yang berada dalam dalam contoh ini. Selepas ini, anda perlu menyemak kehadiran produk berganda dan jika ia tidak ada, kemudian tambah dan tolak, ini tidak akan mengubah maksud contoh, tetapi polinomial boleh difaktorkan menggunakan formula untuk kuasa dua jumlah atau perbezaan dan perbezaan kuasa dua, jika boleh.

Mari kita beralih kepada penyelesaian contoh.

Contoh 1 - pemfaktoran:

Mari cari ungkapan yang kuasa dua:

Mari kita tuliskan apakah produk berganda mereka:

Mari tambah dan tolak dua kali ganda hasil darab:

Mari kita lengkapkan kuasa dua jumlah dan berikan yang serupa:

Mari kita tulis menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

Contoh 2 - selesaikan persamaan:

;

Di sebelah kiri persamaan ialah trinomial. Anda perlu memasukkannya ke dalam faktor. Kami menggunakan formula perbezaan kuasa dua:

Kami mempunyai kuasa dua ungkapan pertama dan hasil gandaan, kuasa dua ungkapan kedua tiada, mari tambah dan tolaknya:

Mari kita lipat segi empat sama lengkap dan berikan istilah yang serupa:

Mari gunakan formula perbezaan kuasa dua:

Jadi kita mempunyai persamaan

Kita tahu bahawa produk adalah sama dengan sifar hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Mari kita buat persamaan berikut berdasarkan ini:

Mari kita selesaikan persamaan pertama:

Mari kita selesaikan persamaan kedua:

Jawapan: atau

;

Kami meneruskan sama seperti contoh sebelumnya - pilih kuasa dua perbezaan.

Definisi

Ungkapan bentuk 2 x 2 + 3 x + 5 dipanggil trinomial kuadratik. DALAM kes am trinomial segi empat sama ialah ungkapan bentuk a x 2 + b x + c, dengan a, b, c a, b, c ialah nombor arbitrari, dan a ≠ 0.

Pertimbangkan trinomial kuadratik x 2 - 4 x + 5. Mari kita tulis dalam bentuk ini: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Mari tambahkan 2 2 pada ungkapan ini dan tolak 2 2, kita dapatkan: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Ambil perhatian bahawa x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, jadi x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Transformasi yang kami lakukan dipanggil “mengasingkan segi empat tepat daripada trinomial kuadratik”.

Tentukan kuasa dua sempurna daripada trinomial kuadratik 9 x 2 + 3 x + 1.

Ambil perhatian bahawa 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Kemudian `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Tambah dan tolak `(1/2)^2` kepada ungkapan yang terhasil, kita dapat

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Kami akan menunjukkan bagaimana kaedah mengasingkan kuasa dua sempurna daripada trinomial kuadratik digunakan untuk memfaktorkan trinomial segi empat sama.

Faktorkan trinomial kuadratik 4 x 2 - 12 x + 5.

Kami memilih petak sempurna daripada trinomial kuadratik: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Sekarang kita gunakan formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , kita dapat: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .

Faktorkan trinomial kuadratik - 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Sekarang kita perhatikan bahawa 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Kami menambahkan istilah 2 2 pada ungkapan 9 x 2 - 12 x, kami dapat:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Kami menggunakan formula untuk perbezaan segi empat sama, kami mempunyai:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Faktorkan trinomial kuadratik 3 x 2 - 14 x - 5 .

Kami tidak boleh mewakili ungkapan 3 x 2 sebagai kuasa dua bagi beberapa ungkapan, kerana kami belum mempelajarinya di sekolah. Anda akan melalui ini kemudian, dan dalam Tugasan No. 4 kita akan mengkaji punca kuasa dua. Mari tunjukkan cara anda boleh memfaktorkan trinomial kuadratik tertentu:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Kami akan menunjukkan kepada anda cara menggunakan kaedah kuasa dua sempurna untuk mencari nilai terbesar atau terkecil bagi trinomial kuadratik.
Pertimbangkan trinomial kuadratik x 2 - x + 3. Pilih segi empat sama lengkap:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Ambil perhatian bahawa apabila `x=1/2` nilai trinomial kuadratik ialah `11/4`, dan apabila `x!=1/2` nilai `11/4` ditambah nombor positif, jadi kita mendapat nombor yang lebih besar daripada `11/4`. Oleh itu, nilai terkecil trinomial kuadratik ialah `11/4` dan ia diperoleh apabila `x=1/2`.

Cari nilai terbesar bagi trinomial kuadratik - 16 2 + 8 x + 6.

Kami memilih petak sempurna daripada trinomial kuadratik: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Apabila `x=1/4` nilai trinomial kuadratik ialah 7, dan apabila `x!=1/4` nombor positif ditolak daripada nombor 7, iaitu, kita mendapat nombor kurang daripada 7. Jadi nombor 7 adalah nilai tertinggi trinomial kuadratik, dan ia diperoleh apabila `x=1/4`.

Faktorkan pengangka dan penyebut bagi pecahan `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` dan kurangkan pecahan itu.

Perhatikan bahawa penyebut pecahan x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Mari kita memfaktorkan pengangka bagi pecahan menggunakan kaedah mengasingkan segi empat sama lengkap daripada trinomial segi empat sama. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

pecahan ini membawa kepada bentuk `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` selepas pengurangan sebanyak (x - 3) kita dapat `(x+5)/(x-3)`.

Faktorkan polinomial x 4 - 13 x 2 + 36.

Mari kita gunakan kaedah mengasingkan segi empat sama lengkap kepada polinomial ini. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

Seperti yang telah saya nyatakan, dalam kalkulus kamiran tiada formula mudah untuk menyepadukan pecahan. Oleh itu, terdapat trend yang menyedihkan: semakin canggih pecahan, semakin sukar untuk mencari kamirannya. Dalam hal ini, anda perlu menggunakan pelbagai helah, yang kini saya akan beritahu anda. Pembaca yang bersedia boleh segera memanfaatkannya jadual kandungan:

• Kaedah memasukkan tanda pembezaan bagi pecahan mudah

Kaedah penukaran pengangka tiruan

Contoh 1

Dengan cara ini, kamiran yang dianggap juga boleh diselesaikan dengan perubahan kaedah pembolehubah, menandakan , tetapi menulis penyelesaian akan lebih lama.

Contoh 2

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas. Perlu diingatkan bahawa kaedah penggantian pembolehubah tidak lagi berfungsi di sini.

Perhatian, penting! Contoh No. 1, 2 adalah tipikal dan kerap berlaku. Khususnya, kamiran sedemikian sering timbul semasa penyelesaian kamiran lain, khususnya, apabila menyepadukan fungsi tidak rasional (akar).

Teknik yang dipertimbangkan juga berfungsi dalam kes itu jika darjah tertinggi pengangka lebih besar daripada darjah tertinggi penyebut.

Contoh 3

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Kami mula memilih pengangka.

Algoritma untuk memilih pengangka adalah seperti ini:

1) Dalam pengangka saya perlu mengatur , tetapi ada . Apa yang perlu dilakukan? Saya masukkan dalam kurungan dan darab dengan: .

2) Sekarang saya cuba membuka kurungan ini, apa yang berlaku? . Hmm... itu lebih baik, tetapi pada mulanya tiada dua dalam pengangka. Apa yang perlu dilakukan? Anda perlu mendarab dengan:

3) Saya buka kurungan semula: . Dan inilah kejayaan pertama! Ternyata betul! Tetapi masalahnya ialah istilah tambahan telah muncul. Apa yang perlu dilakukan? Untuk mengelakkan ungkapan daripada berubah, saya mesti menambah yang sama pada pembinaan saya:
. Kehidupan menjadi lebih mudah. Adakah mungkin untuk menyusun semula dalam pengangka?

4) Boleh. Jom cuba: . Buka kurungan penggal kedua:
. Maaf, tetapi dalam langkah sebelumnya saya sebenarnya telah , tidak . Apa yang perlu dilakukan? Anda perlu mendarab sebutan kedua dengan:

5) Sekali lagi, untuk menyemak, saya membuka kurungan dalam penggal kedua:
. Kini ia adalah perkara biasa: diperoleh daripada pembinaan akhir titik 3! Tetapi sekali lagi terdapat "tetapi", istilah tambahan telah muncul, yang bermaksud saya mesti menambah ungkapan saya:

Jika semuanya dilakukan dengan betul, maka apabila kita membuka semua kurungan kita harus mendapatkan pengangka asal bagi integrand. Kami menyemak:
Tudung.

Oleh itu:

sedia. Dalam istilah terakhir, saya menggunakan kaedah memasukkan fungsi di bawah pembezaan.

Jika kita mencari terbitan jawapan dan mengurangkan ungkapan kepada penyebut biasa, maka kita mendapat betul-betul fungsi integrand asal. Kaedah penguraian yang dipertimbangkan kepada jumlah adalah tidak lebih daripada tindakan terbalik untuk membawa ungkapan kepada penyebut biasa.

Algoritma untuk memilih pengangka dalam contoh yang serupa Lebih baik melakukannya dalam bentuk draf. Dengan beberapa kemahiran ia juga akan berfungsi secara mental. Saya masih ingat kes pemecahan rekod semasa saya melakukan pemilihan untuk kuasa ke-11, dan pengembangan pengangka mengambil hampir dua baris Verd.

Contoh 4

Cari kamiran tak tentu. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri.

Kaedah memasukkan tanda pembezaan bagi pecahan mudah

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan jenis pecahan seterusnya.
, , , (pekali dan tidak sama dengan sifar).

Malah, beberapa kes dengan arcsine dan arctangent telah disebutkan dalam pelajaran Kaedah perubahan pembolehubah dalam kamiran tak tentu. Contoh sedemikian diselesaikan dengan memasukkan fungsi di bawah tanda pembezaan dan menyepadukan lagi menggunakan jadual. Berikut adalah contoh yang lebih tipikal dengan logaritma panjang dan tinggi:

Contoh 5

Contoh 6

Di sini adalah dinasihatkan untuk mengambil jadual kamiran dan melihat formula dan Bagaimana transformasi berlaku. Sila ambil perhatian bagaimana dan mengapa Petak dalam contoh ini diserlahkan. Khususnya, dalam Contoh 6 kita perlu mewakili penyebut terlebih dahulu dalam bentuk , kemudian bawanya di bawah tanda pembezaan. Dan semua ini perlu dilakukan untuk menggunakan formula jadual standard .

Mengapa lihat, cuba selesaikan sendiri contoh No. 7 dan 8, terutamanya kerana ia agak pendek:

Contoh 7

Contoh 8

Cari kamiran tak tentu:

Jika anda juga berjaya menyemak contoh ini, maka sangat dihormati - kemahiran pembezaan anda sangat baik.

Kaedah pemilihan persegi penuh

Kamiran bentuk, (pekali dan tidak sama dengan sifar) diselesaikan kaedah pengekstrakan persegi lengkap, yang telah muncul dalam pelajaran Transformasi geometri graf.

Malah, kamiran sedemikian berkurangan kepada salah satu daripada empat kamiran jadual yang baru kita lihat. Dan ini dicapai menggunakan formula pendaraban singkatan biasa:

Formula digunakan dengan tepat ke arah ini, iaitu, idea kaedah ini adalah untuk menyusun ungkapan secara buatan sama ada dalam penyebut, dan kemudian menukarnya dengan sewajarnya kepada salah satu.

Contoh 9

Cari kamiran tak tentu

ini contoh paling mudah, di mana dengan istilah – pekali unit(dan bukan beberapa nombor atau tolak).

Mari kita lihat penyebutnya, di sini semuanya jelas berpunca daripada kebetulan. Mari mulakan menukar penyebut:

Jelas sekali, anda perlu menambah 4. Dan, supaya ungkapan itu tidak berubah, tolak empat yang sama:

Sekarang anda boleh menggunakan formula:

Selepas penukaran selesai SENTIASA adalah dinasihatkan untuk melaksanakan lejang terbalik: , semuanya baik-baik saja, tiada kesilapan.

Reka bentuk akhir contoh yang dipersoalkan sepatutnya kelihatan seperti ini:

sedia. Meringkaskan "freebie" fungsi kompleks di bawah tanda pembezaan: , pada dasarnya, boleh diabaikan

Contoh 10

Cari kamiran tak tentu:

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, jawapannya ada di akhir pelajaran

Contoh 11

Cari kamiran tak tentu:

Apa yang perlu dilakukan apabila terdapat tolak di hadapan? Dalam kes ini, kita perlu mengeluarkan tolak daripada kurungan dan menyusun terma dalam susunan yang kita perlukan: . berterusan(“dua” dalam dalam kes ini) jangan sentuh!

Sekarang kita tambah satu dalam kurungan. Menganalisis ungkapan itu, kami sampai pada kesimpulan bahawa kami perlu menambah satu di luar kurungan:

Di sini kita mendapat formula, gunakan:

SENTIASA Kami menyemak draf:
, iaitu perkara yang perlu disemak.

Contoh bersih kelihatan seperti ini:

Menjadikan tugas lebih sukar

Contoh 12

Cari kamiran tak tentu:

Di sini istilah itu bukan lagi pekali unit, tetapi "lima".

(1) Jika terdapat pemalar pada, maka kami segera mengeluarkannya daripada kurungan.

(2) Secara umum, adalah lebih baik untuk mengalihkan pemalar ini ke luar kamiran supaya ia tidak menghalangnya.

(3) Jelas sekali, semuanya akan datang kepada formula. Kita perlu memahami istilah itu, iaitu, dapatkan "dua"

(4) Ya, . Ini bermakna kita menambah pada ungkapan dan menolak pecahan yang sama.

(5) Sekarang pilih petak lengkap. Dalam kes umum, kita juga perlu mengira , tetapi di sini kita mempunyai formula logaritma panjang , dan tiada gunanya melakukan tindakan itu;

(6) Sebenarnya, kita boleh menggunakan formula tersebut , hanya bukannya "X" yang kita ada , yang tidak menafikan kesahihan kamiran jadual. Tegasnya, satu langkah terlepas - sebelum penyepaduan, fungsi itu sepatutnya dimasukkan di bawah tanda pembezaan: , tetapi, seperti yang telah saya nyatakan berulang kali, ini sering diabaikan.

(7) Dalam jawapan di bawah akar, adalah dinasihatkan untuk mengembangkan semua kurungan kembali:

Sukar? Ini bukan bahagian yang paling sukar dalam kalkulus kamiran. Walaupun, contoh yang sedang dipertimbangkan tidak begitu rumit kerana ia memerlukan teknik pengkomputeran yang baik.

Contoh 13

Cari kamiran tak tentu:

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Jawapannya ada di akhir pelajaran.

Terdapat kamiran dengan akar dalam penyebut, yang, menggunakan penggantian, dikurangkan kepada kamiran daripada jenis yang anda boleh baca tentang mereka dalam artikel Kamiran kompleks, tetapi ia direka untuk pelajar yang sangat bersedia.

Menyertakan pengangka di bawah tanda pembezaan

Ini adalah bahagian akhir pelajaran, bagaimanapun, kamiran jenis ini agak biasa! Jika anda penat, mungkin lebih baik membaca esok? ;)

Kamiran yang akan kita pertimbangkan adalah serupa dengan kamiran perenggan sebelumnya, mereka mempunyai bentuk: atau (pekali , dan tidak sama dengan sifar).

Iaitu, dalam pengangka yang kita ada fungsi linear. Bagaimana untuk menyelesaikan kamiran tersebut?

Tidak menemui jawapan kepada soalan anda? Tengok sini

Hubungan antara manusia dan alam Hubungan antara manusia dan alam

Kata majmuk dengan vokal penghubung

Asid urik dalam darah: norma dan penyelewengan, mengapa ia meningkat, diet untuk mengurangkannya Hasil akhir metabolisme nitrogen adalah