mana-mana litar berayun mengeluarkan tenaga. Medan elektrik yang berubah merangsang medan magnet berselang-seli di ruang sekeliling, dan sebaliknya. Persamaan matematik, menerangkan hubungan antara medan magnet dan elektrik, diperolehi oleh Maxwell dan membawa namanya. Mari kita tulis persamaan Maxwell dalam bentuk pembezaan untuk kes apabila tiada caj elektrik () dan arus ( j= 0 ):

Kuantiti dan ialah pemalar elektrik dan magnet, masing-masing, yang berkaitan dengan kelajuan cahaya dalam vakum oleh hubungan

Malar dan mencirikan elektrik dan sifat magnetik persekitaran, yang akan kita anggap homogen dan isotropik.

Dengan ketiadaan cas dan arus, kewujudan medan elektrik dan magnet statik adalah mustahil. Walau bagaimanapun, medan elektrik berselang-seli merangsang medan magnet, dan sebaliknya, medan magnet berselang-seli mencipta medan elektrik. Oleh itu, terdapat penyelesaian kepada persamaan Maxwell dalam vakum, jika tiada cas dan arus, di mana medan elektrik dan magnet tidak boleh dipisahkan. kawan terikat dengan kawan. Teori Maxwell adalah yang pertama menggabungkan dua interaksi asas, yang sebelum ini dianggap bebas. Oleh itu kita sekarang bercakap tentang medan elektromagnet.

Proses berayun dalam litar disertai dengan perubahan dalam medan yang mengelilinginya. Perubahan yang berlaku dalam ruang sekeliling merambat dari satu titik ke satu titik pada kelajuan tertentu, iaitu litar berayun memancarkan tenaga elektrik ke dalam ruang sekelilingnya. medan magnet.

Apabila vektor dan betul-betul harmonik dalam masa, gelombang elektromagnet dipanggil monokromatik.

Mari kita dapatkan daripada persamaan Maxwell persamaan gelombang untuk vektor dan .

Persamaan gelombang untuk gelombang elektromagnet

Seperti yang dinyatakan dalam bahagian sebelumnya kursus, rotor (reput) dan perbezaan (div)- ini adalah beberapa operasi pembezaan yang dilakukan mengikut peraturan tertentu pada vektor. Di bawah ini kita akan melihat mereka dengan lebih dekat.

Mari kita ambil pemutar dari kedua-dua belah persamaan

Dalam kes ini, kami akan menggunakan formula yang terbukti dalam kursus matematik:

di manakah Laplacian yang diperkenalkan di atas. Sebutan pertama di sebelah kanan adalah sifar disebabkan oleh persamaan Maxwell yang lain:

Hasilnya kami mendapat:

Jom luahkan reput B melalui medan elektrik menggunakan persamaan Maxwell:

dan gunakan ungkapan ini di sebelah kanan (2.93). Akibatnya, kita sampai pada persamaan:

Memandangkan sambungan

dan masuk indeks biasan persekitaran

mari kita tulis persamaan untuk vektor tegangan medan elektrik dalam bentuk:

Berbanding dengan (2.69), kami yakin bahawa kami telah memperoleh persamaan gelombang, di mana v- kelajuan fasa cahaya di persekitaran:

Mengambil pemutar dari kedua-dua belah persamaan Maxwell

dan bertindak dengan cara yang sama, kita sampai pada persamaan gelombang untuk medan magnet:

Persamaan gelombang yang terhasil untuk dan bermakna bahawa medan elektromagnet boleh wujud dalam bentuk gelombang elektromagnet, halaju fasa yang sama dengan

Dengan ketiadaan medium (at ), kelajuan gelombang elektromagnet bertepatan dengan kelajuan cahaya dalam vakum.

Sifat asas gelombang elektromagnet

Mari kita pertimbangkan satah gelombang elektromagnet monokromatik yang merambat sepanjang paksi X:

Kemungkinan kewujudan penyelesaian sedemikian berikutan daripada persamaan gelombang yang diperolehi. Walau bagaimanapun, kekuatan medan elektrik dan magnet tidak bebas antara satu sama lain. Hubungan antara mereka boleh diwujudkan dengan menggantikan penyelesaian (2.99) ke dalam persamaan Maxwell. Operasi pembezaan reput, digunakan untuk beberapa medan vektor A boleh ditulis secara simbolik sebagai penentu:

Menggantikan di sini ungkapan (2.99), yang hanya bergantung pada koordinat x, kami dapati:

Membezakan gelombang satah berkenaan dengan masa memberikan:

Kemudian dari persamaan Maxwell ia berikut:

Ia berikutan, pertama, bahawa medan elektrik dan magnet berayun mengikut fasa:

Dalam erti kata lain, dan dalam persekitaran isotropik,

Kemudian anda boleh memilih paksi koordinat supaya vektor diarahkan sepanjang paksi di(Gamb. 2.27) :

nasi. 2.27. Ayunan medan elektrik dan magnet dalam gelombang elektromagnet satah

Dalam kes ini, persamaan (2.103) mengambil bentuk:

Ia berikutan bahawa vektor diarahkan sepanjang paksi z:

Dalam erti kata lain, vektor medan elektrik dan magnet adalah ortogon antara satu sama lain dan kedua-duanya adalah ortogon dengan arah perambatan gelombang. Dengan mengambil kira fakta ini, persamaan (2.104) dipermudahkan lagi:

Ini membawa kepada hubungan biasa antara vektor gelombang, kekerapan dan kelajuan:

serta hubungan antara amplitud ayunan medan:

Ambil perhatian bahawa sambungan (2.107) bukan sahaja untuk nilai maksimum(amplitud) magnitud vektor kekuatan medan elektrik dan magnet gelombang, tetapi juga untuk yang semasa - pada bila-bila masa.

Jadi, daripada persamaan Maxwell ia mengikuti bahawa gelombang elektromagnet merambat dalam vakum pada kelajuan cahaya. Pada masa itu, kesimpulan ini memberi kesan yang besar. Ia menjadi jelas bahawa bukan sahaja elektrik dan kemagnetan pelbagai manifestasi interaksi yang sama. Semua fenomena cahaya, optik, juga menjadi subjek teori elektromagnetisme. Perbezaan dalam persepsi manusia terhadap gelombang elektromagnet adalah berkaitan dengan frekuensi atau panjang gelombangnya.

Skala gelombang elektromagnet ialah urutan frekuensi berterusan (dan panjang gelombang) sinaran elektromagnet. Teori gelombang elektromagnet Maxwell membolehkan kita menetapkan bahawa dalam alam semula jadi terdapat gelombang elektromagnet pelbagai panjang, dibentuk oleh pelbagai penggetar (sumber). Bergantung kepada bagaimana gelombang elektromagnet dihasilkan, ia dibahagikan kepada beberapa julat frekuensi (atau panjang gelombang).

Dalam Rajah. Rajah 2.28 menunjukkan skala gelombang elektromagnet.

nasi. 2.28. Skala gelombang elektromagnet

Ia boleh dilihat bahawa julat gelombang pelbagai jenis bertindih antara satu sama lain. Oleh itu, gelombang dengan panjang sedemikian boleh diperolehi dalam pelbagai cara. Tiada perbezaan asas di antara mereka, kerana semuanya adalah gelombang elektromagnet yang dihasilkan oleh zarah bercas berayun.

Persamaan Maxwell juga membawa kepada kesimpulan bahawa transversality gelombang elektromagnet dalam vakum (dan dalam medium isotropik): vektor kekuatan medan elektrik dan magnet adalah ortogon antara satu sama lain dan dengan arah perambatan gelombang.

Maklumat tambahan

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html – Persamaan gelombang. Bahan daripada Ensiklopedia Fizikal.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html – Persamaan Maxwell. Video kuliah.

http://elementy.ru/trefil/24 – Persamaan Maxwell. Bahan daripada "Unsur".

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm – Secara ringkas tentang persamaan Maxwell.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 – Persamaan Maxwell dan makna fizikalnya.

http://principact.ru/content/view/188/115/ – Secara ringkas tentang persamaan Maxwell untuk medan elektromagnet.

Kesan Doppler untuk gelombang elektromagnet

Biarkan dalam beberapa sistem inersia kira detik KEPADA Gelombang elektromagnet satah merambat. Fasa gelombang mempunyai bentuk:

Pemerhati dalam bingkai inersia lain KEPADA", bergerak relatif kepada yang pertama dengan laju V sepanjang paksi x, juga memerhati gelombang ini, tetapi menggunakan koordinat dan masa yang berbeza: t",r". Hubungan antara sistem rujukan diberikan oleh transformasi Lorentz:

Mari kita gantikan ungkapan ini ke dalam ungkapan untuk fasa, untuk mendapatkan fasa gelombang dalam bingkai rujukan bergerak:

Ungkapan ini boleh ditulis sebagai

di mana dan - frekuensi kitaran dan vektor gelombang berbanding dengan bingkai rujukan bergerak. Membandingkan dengan (2.110), kita dapati transformasi Lorentz untuk frekuensi dan vektor gelombang:

Untuk gelombang elektromagnet dalam vakum

Biarkan arah perambatan gelombang membuat sudut dengan paksi dalam sistem rujukan pertama X:

Kemudian ungkapan untuk kekerapan gelombang dalam bingkai rujukan bergerak mengambil bentuk:

Ini dia Formula Doppler untuk gelombang elektromagnet.

Jika , maka pemerhati bergerak menjauhi sumber sinaran dan frekuensi gelombang yang dirasakan olehnya berkurangan:

Jika , maka pemerhati menghampiri sumber dan frekuensi sinaran untuknya meningkat:

Pada kelajuan V<< с kita boleh mengabaikan sisihan punca kuasa dua dalam penyebut daripada kesatuan, dan kita sampai pada formula yang serupa dengan formula (2.85) untuk kesan Doppler dalam gelombang bunyi.

Mari kita perhatikan ciri penting kesan Doppler untuk gelombang elektromagnet. Kelajuan bingkai rujukan bergerak memainkan peranan di sini sebagai kelajuan relatif pemerhati dan sumber. Formula yang terhasil secara automatik memenuhi prinsip relativiti Einstein, dan dengan bantuan eksperimen adalah mustahil untuk menentukan apa sebenarnya yang bergerak - sumber atau pemerhati. Ini disebabkan oleh fakta bahawa untuk gelombang elektromagnet tidak ada medium (eter) yang akan memainkan peranan yang sama seperti udara untuk gelombang bunyi.

Perhatikan juga bahawa untuk gelombang elektromagnet yang kita ada kesan Doppler melintang. Apabila frekuensi sinaran berubah:

manakala bagi gelombang bunyi, pergerakan dalam arah ortogonal kepada perambatan gelombang tidak membawa kepada anjakan frekuensi. Kesan ini secara langsung berkaitan dengan pelebaran masa relativistik dalam kerangka rujukan yang bergerak: pemerhati pada roket melihat peningkatan dalam kekerapan radiasi atau, secara amnya, pecutan semua proses yang berlaku di Bumi.

Mari kita cari halaju fasa gelombang

dalam bingkai rujukan yang bergerak. Daripada transformasi Lorentz untuk vektor gelombang kita ada:

Mari kita gantikan nisbah di sini:

Kami mendapat:

Dari sini kita dapati kelajuan gelombang dalam kerangka rujukan bergerak:

Kami mendapati bahawa kelajuan gelombang dalam bingkai rujukan bergerak tidak berubah dan masih sama dengan kelajuan cahaya Dengan. Walau bagaimanapun, mari kita ambil perhatian bahawa, dengan pengiraan yang betul, ini tidak boleh gagal, kerana invarian kelajuan cahaya (gelombang elektromagnet) dalam vakum adalah postulat utama teori relativiti yang telah "digabungkan" ke dalam transformasi Lorentz. kami gunakan untuk koordinat dan masa (3.109).

Contoh 1. Roket foton bergerak dengan laju V = 0.9 s, menuju ke bintang yang diperhatikan dari Bumi dalam julat optik (panjang gelombang µm). Mari cari panjang gelombang sinaran yang akan diperhatikan oleh angkasawan.

Panjang gelombang adalah berkadar songsang dengan frekuensi getaran. Daripada formula (2.115) untuk kesan Doppler dalam kes menghampiri sumber cahaya dan pemerhati, kita dapati hukum penukaran panjang gelombang:

dari mana hasilnya berikut:

Menurut Rajah. 2.28 kami menentukan bahawa untuk angkasawan sinaran bintang telah beralih kepada julat ultraungu.

Tenaga dan momentum medan elektromagnet

Ketumpatan tenaga isipadu w gelombang elektromagnet terdiri daripada ketumpatan isipadu elektrik dan medan magnet.

Persamaan Maxwell dan persamaan gelombang

Gelombang elektromagnet

Semasa perambatan gelombang mekanikal dalam medium elastik, zarah medium terlibat dalam gerakan berayun. Sebab proses ini adalah kehadiran interaksi antara molekul.

Selain gelombang elastik, terdapat proses gelombang yang berbeza sifatnya. Kita bercakap tentang gelombang elektromagnet, yang merupakan proses penyebaran ayunan medan elektromagnet. Pada asasnya kita hidup dalam dunia gelombang elektromagnet. Julatnya sangat luas - ini adalah gelombang radio, sinaran inframerah, ultraviolet, sinar-x, sinar γ. Tempat istimewa dalam kepelbagaian ini diduduki oleh bahagian julat yang boleh dilihat - cahaya. Dengan bantuan gelombang inilah kita menerima sejumlah besar maklumat tentang dunia di sekeliling kita.

Apakah gelombang elektromagnet? Apakah sifatnya, mekanisme pengedaran, sifatnya? Adakah terdapat corak umum yang menjadi ciri kedua-dua gelombang elastik dan elektromagnet?

Persamaan Maxwell dan persamaan gelombang

Gelombang elektromagnet menarik kerana ia pada asalnya "ditemui" oleh Maxwell di atas kertas. Berdasarkan sistem persamaan yang dicadangkannya, Maxwell menunjukkan bahawa medan elektrik dan magnet boleh wujud tanpa ketiadaan cas dan arus, merambat dalam bentuk gelombang dengan kelajuan 3∙10 8 m/s. Hampir 40 tahun kemudian, objek material yang diramalkan oleh Maxwell—EMW—ditemui secara eksperimen oleh Hertz.

Persamaan Maxwell ialah postulat elektrodinamik, dirumus berdasarkan analisis fakta eksperimen. Persamaan mewujudkan hubungan antara cas, arus dan medan - elektrik dan magnet. Mari kita lihat dua persamaan.

1. Peredaran vektor kekuatan medan elektrik sepanjang gelung tertutup sewenang-wenangnya l adalah berkadar dengan kadar perubahan fluks magnet melalui permukaan yang diregangkan di atas kontur (ini ialah hukum aruhan elektromagnet Faraday):

(1)

Maksud fizikal persamaan ini ialah medan magnet yang berubah-ubah menghasilkan medan elektrik.

2. Peredaran vektor kekuatan medan magnet sepanjang gelung tertutup sewenang-wenangnya l adalah berkadar dengan kadar perubahan dalam aliran vektor aruhan elektrik melalui permukaan yang diregangkan di atas kontur:

Maksud fizikal persamaan ini ialah medan magnet dijana oleh arus dan medan elektrik yang berubah.

Walaupun tanpa sebarang transformasi matematik persamaan ini, adalah jelas: jika medan elektrik berubah pada satu ketika, maka mengikut (2) medan magnet muncul. Medan magnet ini, berubah, menjana medan elektrik mengikut (1). Medan saling mendorong antara satu sama lain, ia tidak lagi dikaitkan dengan caj dan arus!

Selain itu, proses aruhan bersama medan akan merambat di angkasa pada kelajuan terhingga, iaitu, gelombang elektromagnet muncul. Untuk membuktikan kewujudan proses gelombang dalam sistem, di mana nilai S turun naik, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan gelombang

Mari kita pertimbangkan dielektrik homogen dengan pemalar dielektrik ε dan kebolehtelapan magnet μ. Biar ada medan magnet dalam medium ini. Untuk kesederhanaan, kami akan menganggap bahawa vektor kekuatan medan magnet terletak di sepanjang paksi OY dan hanya bergantung pada koordinat z dan masa t: .

Kami menulis persamaan (1) dan (2) dengan mengambil kira hubungan antara ciri-ciri medan dalam medium isotropik homogen: dan :

Mari kita cari aliran vektor melalui kawasan segi empat tepat KLMN dan peredaran vektor sepanjang kontur segi empat tepat KLPQ (KL = dz, LP= KQ = b, LM = KN = a)

Adalah jelas bahawa fluks vektor melalui tapak KLMN dan peredaran di sepanjang litar KLPQ adalah berbeza daripada sifar. Kemudian peredaran vektor di sepanjang kontur KLMN dan fluks vektor melalui permukaan KLPQ juga bukan sifar. Ini hanya boleh dilakukan di bawah keadaan apabila medan magnet berubah, medan elektrik muncul di sepanjang paksi OX.

Kesimpulan 1: Apabila medan magnet berubah, medan elektrik timbul, kekuatannya berserenjang dengan aruhan medan magnet.

Dengan mengambil kira perkara di atas, sistem persamaan akan ditulis semula

Selepas transformasi kita dapat:

Persamaan Maxwell mengandungi persamaan kesinambungan yang menyatakan hukum pemuliharaan cas. 3. Persamaan Maxwell dipenuhi dalam semua sistem inersia laporan. 4. Persamaan Maxwell adalah simetri.

6.3.4. Gelombang elektromagnet

Daripada persamaan Maxwell, ia menunjukkan bahawa medan elektromagnet mampu wujud secara bebas, tanpa cas dan arus elektrik. Medan elektromagnet yang berubah mempunyai watak gelombang dan merambat dalam vakum dalam bentuk gelombang elektromagnet pada kelajuan cahaya.

Kewujudan gelombang elektromagnet berikutan daripada persamaan Maxwell, yang diterangkan oleh persamaan gelombang untuk vektor dan masing-masing:

, (5.18)

, (5.19)

Perubahan masa medan magnet merangsang medan elektrik berselang-seli dan, sebaliknya, perubahan masa medan elektrik mengujakan medan magnet berselang-seli. Medan elektrik pusaran teraruh oleh medan magnet berselang-seli , membentuk dengan vektor sistem tangan kiri (Rajah 7.2), dan medan magnet pusaran yang disebabkan oleh medan elektrik , membentuk dengan vektor sistem skru tangan kanan (Gamb. 5.2).

Penukaran berterusan mereka berlaku, yang memungkinkannya

wujud dan tersebar dalam ruang dan masa tanpa adanya cas dan arus.

Oleh itu, teori Maxwell bukan sahaja meramalkan kewujudan gelombang elektromagnet, tetapi juga menubuhkan sifat terpentingnya:

Kelajuan perambatan gelombang elektromagnet dalam medium bukan konduktor dan bukan feromagnetik neutral

(5.20)

di mana c ialah kelajuan cahaya dalam vakum.

nasi. 5.3 Rajah. 5.4

3. Dalam gelombang elektromagnet, vektor Dan sentiasa berayun dalam fasa yang sama (Rajah 5.4), dan antara nilai serta-merta E dan B pada mana-mana titik dalam ruang

terdapat sambungan iaitu: E = vB atau
. (5.21)

Kewujudan gelombang elektromagnet membolehkan Maxwell menerangkan sifat gelombang cahaya. Cahaya ialah gelombang elektromagnet.

6.3.5. Aliran tenaga medan elektromagnet

Apabila gelombang elektromagnet merambat melalui ruang dan masa, ia membawa tenaga bersamanya. Ia terkandung dalam medan elektrik dan magnet yang saling bertukar.

Ketumpatan tenaga medan elektrik isipadu

, (5.22)

di mana E ialah kekuatan medan elektrik.

Ketumpatan tenaga medan magnet isipadu

, (5.23)

di mana B ialah aruhan medan magnet.

Akibatnya, ketumpatan tenaga isipadu medan elektromagnet di kawasan ruang di mana gelombang elektromagnet terletak pada masa yang sewenang-wenangnya,

W= w e + w m =
. (5.24)

Atau mengambil kira hakikat bahawa E = cB dan
, kita ada

w =  o E 2 , (5.25)

atau
. (5.26)

Tenaga yang dipindahkan oleh gelombang elektromagnet per unit masa melalui kawasan unit dipanggil ketumpatan fluks tenaga elektromagnet. Vektor ketumpatan fluks tenaga elektromagnet dipanggil vektor Poynting.

Menunjuk arah vektor bertepatan dengan arah perambatan gelombang elektromagnet, iaitu dengan arah pemindahan tenaga. Kelajuan pemindahan tenaga adalah sama dengan kelajuan fasa gelombang ini.

Jika gelombang elektromagnet, apabila merambat, melalui kawasan tertentu S, berserenjang dengan arah perambatannya, contohnya, di sepanjang paksi X, maka dalam tempoh masa tertentu dt gelombang akan bergerak pada jarak dx = cdt, di mana c ialah kelajuan perambatan gelombang.

Oleh kerana ketumpatan tenaga isipadu gelombang elektromagnet

maka jumlah tenaga dW gelombang elektromagnet yang terkandung dalam isipadu

dW = wdV =  o E 2 cdtS.

(5.27)

. (5.28)

Akibatnya, ketumpatan fluks tenaga elektromagnet yang melalui kawasan S pada masa dt Vektor menunjuk bertepatan dengan arah dengan kelajuan perambatan gelombang elektromagnet, yang berserenjang Dan

. (5.29)

, iaitu

Sekumpulan persamaan pembezaan. Persamaan pembezaan yang mesti dipenuhi oleh setiap vektor medan secara berasingan boleh diperolehi dengan menghapuskan vektor yang tinggal. Untuk kawasan medan yang tidak mengandungi caj dan arus percuma ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$), persamaan untuk vektor $\overrightarrow(B)$ dan $\overrightarrow(E)$ mempunyai borang:

Persamaan (1) dan (2) ialah persamaan biasa bagi gerakan gelombang, yang menunjukkan bahawa gelombang cahaya merambat dalam medium dengan kelajuan ($v$) sama dengan:

Nota 1

Perlu diingatkan bahawa konsep kelajuan gelombang elektromagnet mempunyai makna tertentu hanya berkaitan dengan gelombang jenis mudah, contohnya, satah. Kelajuan $v$ bukanlah kelajuan perambatan gelombang dalam kes penyelesaian arbitrari kepada persamaan (1) dan (2), kerana persamaan ini menerima penyelesaian dalam bentuk gelombang berdiri.

Untuk bahan lutsinar, pemalar dielektrik $\varepsilon $ biasanya lebih besar daripada kesatuan, kebolehtelapan magnet medium $\mu $ hampir sama dengan kesatuan, ternyata, mengikut persamaan (3), kelajuan $v $ adalah kurang daripada kelajuan cahaya dalam vakum. Apa yang ditunjukkan secara eksperimen buat kali pertama untuk kes perambatan cahaya dalam air oleh saintis Foucault Dan Fizeau.

Biasanya bukan nilai halaju itu sendiri yang ditentukan ($v$), tetapi nisbah $\frac(v)(c)$, yang mereka gunakan hukum pembiasan . Selaras dengan undang-undang ini, apabila gelombang elektromagnet satah bersinggungan pada sempadan rata yang memisahkan dua media homogen, nisbah sinus sudut $(\theta )_1$ tuju kepada sinus sudut biasan $( \theta )_2$ (Rajah 1) adalah malar dan sama dengan nisbah halaju perambatan gelombang dalam dua media ($v_1\ dan (\v)_2$):

Nilai nisbah malar bagi ungkapan (4) biasanya dilambangkan sebagai $n_(12)$. Mereka mengatakan bahawa $n_(12)$ ialah indeks biasan relatif bahan kedua berhubung dengan yang pertama, yang dialami oleh hadapan gelombang (gelombang) apabila melalui medium pertama ke medium kedua.

Rajah 1.

Definisi 1

Indeks biasan mutlak(sekadar indeks biasan) bagi medium $n$ ialah indeks biasan bahan berbanding vakum:

Bahan dengan indeks biasan yang lebih tinggi secara optikal lebih tumpat. Indeks biasan relatif dua bahan ($n_(12)$) berkaitan dengan indeks mutlaknya ($n_1,n_2$) sebagai:

Formula Maxwell

Definisi 2

Maxwell mendapati bahawa indeks biasan medium bergantung kepada sifat dielektrik dan magnetnya. Jika kita menggantikan ungkapan untuk kelajuan perambatan cahaya daripada persamaan (3) kepada formula (5), kita dapat:

\ \

Ungkapan (7) dipanggil Formula Maxwell. Bagi kebanyakan bahan lutsinar bukan magnetik yang dipertimbangkan dalam optik, kebolehtelapan magnet bahan boleh kira-kira sama dengan kesatuan, oleh itu kesamaan (7) sering digunakan dalam bentuk:

Selalunya diandaikan bahawa $\varepsilon$ adalah malar. Walau bagaimanapun, kita amat mengetahui eksperimen Newton dengan prisma pada penguraian cahaya sebagai hasil daripada eksperimen ini, ia menjadi jelas bahawa indeks biasan bergantung pada kekerapan cahaya. Akibatnya, jika kita menganggap bahawa formula Maxwell adalah sah, maka kita harus menyedari bahawa pemalar dielektrik sesuatu bahan bergantung pada frekuensi medan. Hubungan antara $\varepsilon $ dan frekuensi medan hanya boleh dijelaskan jika kita mengambil kira struktur atom bahan tersebut.

Walau bagaimanapun, mesti dikatakan bahawa formula Maxwell dengan pemalar dielektrik malar bagi sesuatu bahan boleh dalam beberapa kes digunakan sebagai penghampiran yang baik. Contohnya ialah gas dengan struktur kimia yang mudah, di mana tidak terdapat penyebaran cahaya yang ketara, yang bermaksud bahawa sifat optik bergantung pada warna dengan lemah. Formula (8) juga berfungsi dengan baik untuk hidrokarbon cecair. Sebaliknya, kebanyakan pepejal, contohnya gelas, dan kebanyakan cecair menunjukkan sisihan yang kuat daripada formula (8), jika kita menganggap pemalar $\varepsilon$.

Contoh 1

Senaman: Berapakah kepekatan elektron bebas dalam ionosfera jika diketahui bahawa bagi gelombang radio dengan frekuensi $\nu$ indeks biasannya adalah bersamaan dengan $n$.

Penyelesaian:

Mari kita ambil formula Maxwell sebagai asas untuk menyelesaikan masalah:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\kiri(1.2\kanan),\]

di mana $\varkappa$ ialah kerentanan dielektrik, P ialah nilai polarisasi serta-merta. Daripada (1.1) dan (1.2) ia berikutan bahawa:

Jika kepekatan atom dalam ionosfera ialah $n_0,$ maka nilai polarisasi serta-merta adalah sama dengan:

Daripada ungkapan (1.3) dan (1.4) kita ada:

di mana $\omega $ ialah kekerapan kitaran. Persamaan ayunan paksa elektron tanpa mengambil kira daya rintangan boleh ditulis sebagai:

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\kiri(1.7\kanan),\]

di mana $m_e$ ialah jisim elektron, $q_e$ ialah cas elektron. Penyelesaian kepada persamaan (1.7) ialah ungkapan:

\ \

Kita tahu kekerapan gelombang radio, oleh itu kita boleh mencari frekuensi kitaran:

\[\omega =2\pi \nu \kiri(1.10\kanan).\]

Mari kita gantikan sebelah kanan ungkapan (1.9) kepada (1.5) dan bukannya $x_(max)$ dan gunakan (1.10), kita memperoleh:

Jawapan:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\kiri(1-n^2\kanan).$

Contoh 2

Senaman: Terangkan mengapa formula Maxwell bercanggah dengan beberapa data eksperimen.

Penyelesaian:

Daripada teori elektromagnet klasik Maxwell, indeks biasan suatu medium boleh dinyatakan sebagai:

di mana dalam kawasan optik spektrum bagi kebanyakan bahan kita boleh mengandaikan bahawa $\mu \lebih kurang 1$. Ternyata indeks biasan untuk bahan mestilah nilai tetap, kerana $\varepsilon $ - pemalar dielektrik medium adalah malar. Manakala eksperimen menunjukkan bahawa indeks biasan bergantung kepada kekerapan. Kesukaran yang dihadapi oleh teori Maxwell dalam perkara ini dihapuskan oleh teori elektronik Lorentz. Lorentz menganggap penyebaran cahaya sebagai hasil daripada interaksi gelombang elektromagnet dengan zarah bercas yang merupakan sebahagian daripada bahan dan melakukan ayunan paksa dalam medan elektromagnet berselang-seli gelombang cahaya. Menggunakan hipotesisnya, Lorentz memperoleh formula yang mengaitkan indeks biasan dengan frekuensi gelombang elektromagnet (lihat contoh 1).

Jawapan: Masalah dengan teori Maxwell ialah ia adalah makroskopik dan tidak mengambil kira struktur jirim.

Dalam teknologi gelombang mikro, minat adalah terutamanya dalam bidang yang berbeza mengikut masa mengikut undang-undang harmonik (iaitu, ia bersifat sinusoidal).

Menggunakan kaedah yang kompleks, kami menulis vektor medan elektrik dan magnet:

,
, (33)

di mana – kekerapan sudut
.

Mari kita gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan I dan II – Maxwell

,
.

Selepas pembezaan kita ada:

, (34)

. (35)

Persamaan (34) boleh diubah kepada bentuk:

,

di mana
– pemalar dielektrik relatif kompleks dengan mengambil kira kerugian dalam medium.

Nisbah bahagian khayalan pemalar dielektrik relatif kompleks kepada bahagian nyata mewakili tangen kehilangan dielektrik
. Oleh itu, persamaan Maxwell untuk getaran harmonik jika tiada caj percuma
mempunyai borang:

,(36)

, (37)

, (38)

. (39)

Dalam bentuk ini, persamaan Maxwell menyusahkan dan mesti diubah.

Persamaan Maxwell mudah dikurangkan kepada persamaan gelombang, yang merangkumi hanya satu daripada vektor medan. Menentukan
daripada (37) dan menggantikannya kepada (36), kita memperoleh:

Mari kembangkan bahagian kiri menggunakan formula III:

Mari kita perkenalkan notasi
, kemudian mengambil kira
, kita dapat:

. (40)

Persamaan yang sama boleh diperolehi untuk

. (41)

Persamaan (40) – (41) dipanggil persamaan Helmholtz. Mereka menerangkan perambatan gelombang di angkasa dan merupakan bukti bahawa perubahan masa medan elektrik dan magnet membawa kepada perambatan gelombang elektromagnet di angkasa.

Persamaan ini sah untuk mana-mana sistem koordinat. Apabila menggunakan sistem koordinat segi empat tepat kita akan mempunyai:

, (42)

, (43)

di mana
– vektor unit

Jika kita menggantikan hubungan (42) dan (43) ke dalam persamaan (40) dan (41), maka yang terakhir dipecahkan kepada enam persamaan bebas:

,
,

, (44)
, (45)

,
,

di mana
.

Dalam kes umum, dalam sistem koordinat segi empat tepat, untuk mencari komponen medan, adalah perlu untuk menyelesaikan satu persamaan pembezaan linear tertib kedua.

,

di mana – salah satu komponen bidang, i.e.
. Penyelesaian umum bagi persamaan ini ialah

, (46)

di mana
– fungsi pengagihan medan dalam satah hadapan gelombang, bebas daripada .

Hubungan tenaga dalam medan elektromagnet. Teorem Umov-Poynting

Salah satu ciri terpenting medan elektromagnet ialah tenaganya. Buat pertama kalinya, persoalan tenaga medan elektromagnet dipertimbangkan oleh Maxwell, yang menunjukkan bahawa jumlah tenaga medan yang terkandung di dalam isipadu , terdiri daripada tenaga medan elektrik:

, (47)

dan tenaga medan magnet:

. (48)

Oleh itu, jumlah tenaga medan elektromagnet adalah sama dengan:

. (49)

Pada tahun 1874 prof. N.A. Umov memperkenalkan konsep aliran tenaga, dan pada tahun 1880. konsep ini diaplikasikan oleh Poynting kepada kajian gelombang elektromagnet. Proses sinaran dalam elektrodinamik biasanya dicirikan dengan menentukan vektor Umov-Poynting pada setiap titik dalam ruang.

Keputusan yang betul secara fizikal, selaras dengan kedua-dua undang-undang pemuliharaan tenaga dan persamaan Maxwell, diperoleh jika kita menyatakan vektor Umov-Poynting dari segi nilai serta-merta
Dan
seperti berikut:

.

Mari kita ambil persamaan pertama dan kedua Maxwell dan darab yang pertama dengan , dan yang kedua pada
dan tambah:

,

di mana .

Oleh itu, persamaan (50) boleh ditulis sebagai

,

mengintegrasikan lebih kelantangan dan tanda-tanda yang berubah, kami mempunyai:

Marilah kita beralih daripada kamiran atas isipadu kepada kamiran di atas permukaan

,

atau mengambil kira
kita dapat:

, Itu
,
,

. (51)

Persamaan yang terhasil menyatakan hukum pemuliharaan tenaga dalam medan elektromagnet (teorem Umov-Poynting). Bahagian kiri persamaan mewakili kadar perubahan sepanjang masa bagi jumlah rizab tenaga medan elektromagnet dalam isipadu yang dipertimbangkan
. Sebutan pertama di sebelah kanan ialah jumlah haba , dilepaskan dalam bahagian pengalir isipadu setiap unit masa. Sebutan kedua mewakili aliran vektor Umov-Poynting melalui permukaan yang mengikat isipadu .vektor
ialah ketumpatan fluks tenaga bagi medan elektromagnet. Kerana
, kemudian arah vektor
boleh ditentukan oleh peraturan produk vektor /peraturan gimlet/ (Rajah 9). Dalam sistem SI vektor
mempunyai dimensi
.

Rajah 9 – Ke arah takrifan vektor Umov-Poynting