Adakah urutan menurun secara monoton? Urutan nombor

Kemonotonan urutan itu

Urutan monotonic- urutan yang memenuhi salah satu syarat berikut:

Antara jujukan monotonik, yang berikut menonjol: benar-benar monoton urutan yang memenuhi salah satu syarat berikut:

Kadangkala varian terminologi digunakan di mana istilah "jujukan meningkat" dianggap sebagai sinonim untuk istilah "jujukan tidak menurun", dan istilah "jujukan menurun" dianggap sebagai sinonim untuk istilah "jujukan tidak bertambah." ". Dalam kes sedemikian, urutan meningkat dan menurun daripada definisi di atas dipanggil "meningkat dengan ketat" dan "menurun dengan ketat", masing-masing.

Beberapa generalisasi

Ia mungkin ternyata bahawa syarat di atas tidak dipenuhi untuk semua nombor, tetapi hanya untuk nombor dari julat tertentu

(di sini ia dibenarkan untuk membalikkan sempadan kanan N+ hingga infiniti). Dalam kes ini urutan dipanggil monotonik pada selang waktu saya , dan julat itu sendiri saya dipanggil selang monotoni urutan.

Contoh

Lihat juga

Yayasan Wikimedia.

2010.

Lihat apa "Kemonotonan jujukan" dalam kamus lain: Satu cabang matematik yang mengkaji sifat pelbagai fungsi. Teori fungsi terbahagi kepada dua bidang: teori fungsi pembolehubah nyata dan teori fungsi pembolehubah kompleks, perbezaan antara yang sangat besar sehingga... ...

Ensiklopedia Collier

Pengujian jujukan pseudo-rawak ialah satu set kaedah untuk menentukan tahap kehampiran jujukan pseudo-rawak yang diberikan kepada satu rawak. Ukuran sedemikian biasanya kehadiran pengedaran seragam, besar... ... Wikipedia Istilah ini mempunyai makna lain, lihat Ukur. Ukuran set ialah kuantiti bukan negatif, secara intuitif ditafsirkan sebagai saiz (isipadu) set. Sebenarnya, ini adalah beberapa ukuran fungsi angka

, meletakkan setiap satu dalam surat-menyurat... ... Wikipedia Penulis terkenal. Genus. di Orel pada tahun 1871; bapanya seorang juruukur tanah. Dia belajar di gimnasium Oryol dan di universiti St. Petersburg dan Moscow, menurut Fakulti Undang-undang . Pelajar itu sangat memerlukan. Ketika itulah dia menulis cerita pertamanya "tentang... ...

Kaedah berangka untuk menyelesaikan kaedah yang menggantikan penyelesaian masalah nilai sempadan dengan penyelesaian masalah diskret(lihat masalah nilai sempadan linear; kaedah penyelesaian berangka dan persamaan bukan linear; kaedah penyelesaian berangka). Dalam banyak kes, terutamanya apabila mempertimbangkan... ... Ensiklopedia Matematik

Manuskrip Voynich ditulis menggunakan sistem yang tidak diketahui huruf Voynich Manuscript (eng. Voyni ... Wikipedia

Ditulis menggunakan sistem tulisan yang tidak diketahui Manuskrip Voynich ialah sebuah buku misteri yang ditulis kira-kira 500 tahun dahulu oleh pengarang yang tidak dikenali, dalam bahasa yang tidak diketahui, menggunakan abjad yang tidak diketahui. Manuskrip Voynich... ...Wikipedia

Sigismondo d'India (Bahasa Itali: Sigismondo d India, c. 1582, Palermo? hingga 19 April 1629, Modena) komposer Itali. Isi 1 Biografi 2 Kreativiti ... Wikipedia

Pemodenan- (Pemodenan) Pemodenan ialah proses mengubah sesuatu mengikut kehendak kemodenan, peralihan kepada keadaan yang lebih maju, melalui pengenalan pelbagai kemas kini baru, jenis pemodenan, organik... ... Ensiklopedia Pelabur

Salah satu yang utama konsep matematik, yang maknanya telah tertakluk kepada beberapa generalisasi dengan perkembangan matematik. I. Malah dalam "Unsur" Euclid (abad ke-3 SM), sifat-sifat V., yang kini dipanggil, telah dirumus dengan jelas untuk membezakannya daripada... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat

Tujuan: Untuk memberikan konsep, definisi jujukan, terhingga, tidak terhingga, pelbagai cara mentakrif jujukan, perbezaannya, mengajar cara menggunakannya semasa menyelesaikan contoh.

Peralatan: Meja.

Kemajuan pelajaran

I. Detik organisasi.

II. Semakan depan kerja rumah:

1) pelajar di papan tugas No. 2.636 (dari bahagian II "Koleksi tugas untuk peperiksaan bertulis dalam gred 9)

2) pelajar. Bina graf

3) secara hadapan dengan keseluruhan kelas No. 2.334 (a).

III. Penjelasan bahan baru.

Syarahan sekolah adalah satu bentuk penganjuran proses pendidikan yang mengorientasikan pelajar apabila mempelajari topik tertentu kepada perkara utama dan melibatkan demonstrasi luas sikap peribadi guru dan pelajar terhadap bahan pendidikan. Kerana Kuliah pelajaran menyediakan penyampaian bahan secara besar-besaran oleh guru, maka komunikasi lisan antara guru dan pelajar adalah perkara utama dalam teknologinya. Perkataan guru mempunyai kesan emosi, estetik dan mewujudkan sikap tertentu terhadap subjek. Dengan bantuan syarahan, pelbagai jenis aktiviti pelajar di dalam bilik darjah dibimbing, dan melalui pengetahuan, kemahiran dan kebolehan, kognisi dibentuk sebagai asas aktiviti pendidikan.

I. Tulis nombor dua digit yang berakhir dengan 3 dalam tertib menaik.

13; 23; 33;………….93.

Kepada semua orang nombor siri Dari 1 hingga 9, padankan nombor dua digit tertentu:

1->13; 2->23;………9->93.

Surat-menyurat telah diwujudkan antara set sembilan nombor asli pertama dan set nombor dua digit yang berakhir dengan 3. Surat-menyurat ini adalah fungsi.

Domain takrifan ialah (1; 2; 3;……..9)

Banyak nilai (13; 23; 33;…….93).

Jika surat-menyurat itu dilambangkan dengan f, maka

Urutan ini boleh ditentukan menggunakan par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Jadual No. 1

A)

b)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;…..)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

Fungsi yang ditakrifkan pada set nombor asli dipanggil jujukan tak terhingga.

c) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- ahli urutan.

Nota: adalah perlu untuk membezakan antara konsep set dan konsep urutan.

a) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

Set yang sama.

b) walau bagaimanapun, urutan 10; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Pelbagai:

III. Pertimbangkan urutan:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> tidak terhingga, meningkat

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> muktamad, menurun.

A)

Urutan dipanggil meningkat jika setiap ahli, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya.

b)

Takrifan urutan menurun diberikan.

Bertambah atau menurun jujukan dipanggil monotonik.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - turun naik;

5; 5; 5; 5; ….. - malar.

IV. Jujukan boleh digambarkan secara geometri. Kerana jujukan ialah fungsi yang domain definisinya ialah set N, maka graf, nampaknya, ialah set titik satah (x; y).

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Contoh: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

Mari kita plot urutan ini

Rajah 1.

99; 74; 49; 24; -1;……………

Contoh: Buktikan bahawa urutan yang diberikan dalam borang ini

semakin berkurangan.

V. Kaedah untuk menentukan urutan.

Kerana Urutan ialah fungsi yang ditakrifkan pada set N, maka terdapat lima cara untuk menentukan jujukan:

I. Jadual

II. Kaedah penerangan

III. Analitikal

IV. Grafik

V. Berulang

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169

I. Tabular - sangat menyusahkan. Kami merangka jadual dan menggunakannya untuk menentukan ahli yang mana? dia ambil tempat mana……..

II. Kaedah penerangan.

Contoh: Urutan adalah sedemikian sehingga setiap ahli ditulis menggunakan nombor 4, dan bilangan digit adalah sama dengan nombor nombor urutan.

III. Kaedah analisis (menggunakan formula).

Formula yang menyatakan setiap ahli jujukan dalam sebutan nombor nnya dipanggil formula n ahli jujukan itu.

dan pelajar membentuk urutan ini, dan sebaliknya: pilih formula untuk sebutan jujukan:

a) 1; ;
Urutan dipanggil meningkat jika setiap ahli, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya. ...
;…………..
V)
G)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Kaedah grafik

- juga tidak begitu mudah, mereka biasanya tidak menggunakannya. Teorem had Weierstrass

jujukan monotonik Sebarang jujukan sempadan monotonik(xn) mempunyai had akhir , sama dengan sempadan atas yang tepat, sup(xn) untuk sempadan bawah yang tidak menurun dan tepat, inf(xn)
untuk urutan yang tidak meningkat.

Sebarang jujukan tanpa sempadan monoton mempunyai had tak terhingga, bersamaan dengan campur tak terhingga untuk jujukan tidak menurun dan tolak tak terhingga untuk jujukan tidak bertambah.

1) Bukti.

(1.1) .

urutan sempadan tidak menurun
.
Oleh kerana jujukan adalah terikat, ia mempunyai batas atas yang ketat

• Ini bermakna bahawa:
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
untuk semua n,
Di sini kami juga menggunakan (1.3). Menggabungkan dengan (1.2), kita dapati:
di .
,
Sejak itu
Di sini kami juga menggunakan (1.3). Menggabungkan dengan (1.2), kita dapati:
atau

2) Bahagian pertama teorem telah dibuktikan. Biarkan sekarang urutannya:
(2.1) jujukan sempadan tidak meningkat

untuk semua n.
.
Oleh kerana jujukan terikat, ia mempunyai batas bawah yang ketat

• Ini bermakna yang berikut:
  (2.2) ;
• untuk semua n ketidaksamaan berikut dipegang: untuk sesiapa sahaja nombor positif
  (2.3) .

.
, terdapat nombor, bergantung pada ε, yang mana
Di sini kami juga menggunakan (1.3). Menggabungkan dengan (1.2), kita dapati:
di .
,
Sejak itu
Di sini kami juga menggunakan (1.3). Menggabungkan dengan (1.2), kita dapati:
Di sini kami juga menggunakan (2.3). Dengan mengambil kira (2.2), kita dapati:
Ini bermakna bahawa nombor adalah had jujukan.

Bahagian kedua teorem terbukti.
3) Sekarang pertimbangkan urutan tidak terhad. Biarlah urutannya.

urutan tidak menurun tanpa had
(3.1) .

Oleh kerana jujukan tidak berkurangan, ketaksamaan berikut berlaku untuk semua n:
(3.2) .

Oleh kerana jujukan tidak berkurangan dan tidak terhad, ia tidak terikat di sebelah kanan. Kemudian untuk sebarang nombor M terdapat nombor, bergantung kepada M, yang mana
.
Oleh kerana jujukan tidak berkurangan, maka apabila kita mempunyai:

.
Di sini kami juga menggunakan (3.2).
.
Ini bermakna had jujukan ialah campur infiniti:

4) Bahagian ketiga teorem terbukti. Akhir sekali, pertimbangkan kes apabila.

urutan tidak meningkat tanpa had
(4.1) jujukan sempadan tidak meningkat

Sama seperti yang sebelumnya, kerana urutannya tidak bertambah, maka
(4.2) .

Oleh kerana jujukan tidak bertambah dan tidak terhad, ia tidak terhad di sebelah kiri. Kemudian untuk sebarang nombor M terdapat nombor, bergantung kepada M, yang mana
.

Jadi, untuk sebarang nombor M terdapat nombor asli bergantung kepada M, supaya untuk semua nombor ketaksamaan berikut berlaku:
.
Ini bermakna had jujukan ialah tolak infiniti:
.
Teorem terbukti.

Contoh penyelesaian masalah

Dengan menggunakan teorem Weierstrass, buktikan penumpuan jujukan:
, , . . . , , . . .
Kemudian cari hadnya.

Mari kita wakili urutan dalam bentuk formula berulang:
,
.

Mari kita buktikan urutan yang diberikan terhad di atas oleh nilai
(P1) .
Pembuktian dijalankan menggunakan kaedah aruhan matematik.
.
biarlah .
.
Kemudian

Ketaksamaan (A1) terbukti.
;
Mari kita buktikan bahawa urutan meningkat secara monoton. .
(P2)
.
Oleh kerana , maka penyebut pecahan dan faktor pertama dalam pengangka adalah positif. Disebabkan oleh had terma jujukan oleh ketaksamaan (A1), faktor kedua juga positif. sebab tu

Iaitu, urutannya semakin meningkat.

Oleh kerana jujukan semakin meningkat dan bersempadan di atas, ia adalah jujukan bersempadan. Oleh itu, mengikut teorem Weierstrass, ia mempunyai had.
.
Mari cari had ini. Mari kita nyatakan dengan:
.
Mari kita gunakan fakta itu
.
Mari kita gunakan ini kepada (A2), menggunakan sifat aritmetik had jujukan menumpu:

Syaratnya dipenuhi oleh akar. Jika semua orang nombor asli n ditugaskan kepada beberapa orang nombor sebenar x n , kemudian mereka mengatakan bahawa ia diberikan

urutan nombor 1 , x 2 , … x , …

x n urutan nombor Nombor 1 dipanggil ahli jujukan dengan nombor 1 atau sebutan pertama bagi urutan itu urutan nombor, nombor 2 - ahli urutan dengan nombor 2 atau ahli kedua urutan, dsb. Nombor x n dipanggil ahli urutan dengan nombor

n. Terdapat dua cara untuk menentukan urutan nombor - dengan dan dengan.

formula berulang Urutan menggunakan rumus bagi istilah am bagi suatu jujukan

urutan nombor 1 , x 2 , … x , …

– ini adalah tugas urutan

menggunakan formula yang menyatakan pergantungan sebutan x n pada nombor nnya.

1, 4, 9, … Contoh 1. Urutan nombor 2 , …

n

x = Contoh 1. Urutan nombor 2 , Contoh 1. Urutan nombor = 1, 2, 3, …

diberikan menggunakan rumus istilah biasa Terdapat dua cara untuk menentukan urutan nombor - dengan dan dengan.

urutan nombor 1 , x 2 , … x , …

Menentukan jujukan menggunakan formula menyatakan anggota jujukan x n melalui anggota jujukan dengan nombor sebelumnya dipanggil menentukan jujukan menggunakan dipanggil dalam urutan yang semakin meningkat, lebih

ahli terdahulu. Contoh 1. Urutan nombor

urutan nombor Contoh 1. Urutan nombor + 1 >x Contoh 1. Urutan nombor

Dalam erti kata lain, untuk semua orang

1, 2, 3, … Contoh 1. Urutan nombor, …

Contoh 3. Urutan nombor asli ialah.

urutan menaik

urutan nombor 1 , x 2 , … x , …

Menentukan jujukan menggunakan formula menyatakan anggota jujukan x n melalui anggota jujukan dengan nombor sebelumnya dipanggil menentukan jujukan menggunakan Definisi 2. Urutan nombor jika setiap ahli urutan ini kurang lebih

ahli terdahulu. Contoh 1. Urutan nombor= 1, 2, 3, … ketaksamaan dipenuhi

urutan nombor Contoh 1. Urutan nombor + 1 < x Contoh 1. Urutan nombor

Contoh 4. Susulan

diberikan oleh formula

Contoh 3. Urutan nombor asli turutan menurun.

Contoh 5. Urutan nombor

1, - 1, 1, - 1, …

diberikan oleh formula

x = (- 1) Contoh 1. Urutan nombor , Contoh 1. Urutan nombor = 1, 2, 3, …

bukan tidak bertambah mahupun berkurang urutan.

Definisi 3. Urutan nombor bertambah dan berkurang dipanggil urutan monotonik.

Urutan Terbatas dan Tidak Terbatas

Definisi 4. Urutan nombor

urutan nombor 1 , x 2 , … x , …

Menentukan jujukan menggunakan formula menyatakan anggota jujukan x n melalui anggota jujukan dengan nombor sebelumnya dipanggil menentukan jujukan menggunakan terhad dari atas, jika terdapat nombor M supaya setiap ahli turutan ini kurang nombor M.

ahli terdahulu. Contoh 1. Urutan nombor= 1, 2, 3, … ketaksamaan dipenuhi

Definisi 5. Urutan nombor

urutan nombor 1 , x 2 , … x , …

Menentukan jujukan menggunakan formula menyatakan anggota jujukan x n melalui anggota jujukan dengan nombor sebelumnya dipanggil menentukan jujukan menggunakan bersempadan di bawah, jika terdapat nombor m supaya setiap ahli urutan ini dalam urutan yang semakin meningkat, nombor m.

ahli terdahulu. Contoh 1. Urutan nombor= 1, 2, 3, … ketaksamaan dipenuhi

Definisi 6. Urutan nombor

urutan nombor 1 , x 2 , … x , …

dipanggil terhad jika ia terhad di atas dan di bawah.

Dalam erti kata lain, terdapat nombor M dan m supaya untuk semua Contoh 1. Urutan nombor= 1, 2, 3, … ketaksamaan dipenuhi

m< x n < M

Definisi 7. Urutan nombor, yang tidak terhad, dipanggil urutan tanpa had.

Contoh 6. Urutan nombor

1, 4, 9, … Contoh 1. Urutan nombor 2 , …

diberikan oleh formula

x = Contoh 1. Urutan nombor 2 , Contoh 1. Urutan nombor = 1, 2, 3, … ,

bersempadan di bawah, sebagai contoh, nombor 0. Walau bagaimanapun, urutan ini tidak terhad dari atas.

Contoh 7. Susulan

diberikan oleh formula

Contoh 3. Urutan nombor asli urutan terhad, kerana untuk semua orang Contoh 1. Urutan nombor= 1, 2, 3, … ketaksamaan dipenuhi

Di laman web kami, anda juga boleh membiasakan diri dengan bahan pendidikan yang dibangunkan oleh guru-guru pusat latihan Resolventa untuk persediaan menghadapi Peperiksaan Negeri Bersatu dan Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik.

Untuk pelajar sekolah yang ingin membuat persediaan yang baik dan lulus Peperiksaan Negeri Bersatu dalam matematik atau bahasa Rusia pada markah tinggi, pusat latihan"Resolventa" menjalankan

kursus persediaan untuk murid sekolah dalam darjah 10 dan 11