Lemma Chebyshev. Jika pembolehubah rawak X, yang mana terdapat jangkaan matematik M[x], boleh mengambil hanya nilai bukan negatif, maka untuk sebarang nombor positif a kita mempunyai ketaksamaan

Ketaksamaan Chebyshev. Jika X ialah pembolehubah rawak dengan jangkaan matematik M[x] dan penyebaran D[x], maka bagi mana-mana e positif kita mempunyai ketaksamaan

. (2)

Teorem Chebyshev.(undang-undang nombor besar). biarlah X 1 , X 2 , …, x n,… - urutan pembolehubah rawak bebas dengan jangkaan matematik yang sama m dan varians dihadkan oleh pemalar yang sama Dengan

. (3)

Bukti teorem adalah berdasarkan ketaksamaan

, (4)

berikutan daripada ketidaksamaan Chebyshev. Daripada teorem Chebyshev, sebagai akibat, seseorang boleh memperoleh

Teorem Bernoulli. Biar terhasil n eksperimen bebas, yang setiap satunya mempunyai kebarangkalian R beberapa peristiwa mungkin berlaku A, lepaskan v n ialah pembolehubah rawak sama dengan bilangan kejadian peristiwa A dalam ini n eksperimen. Kemudian untuk mana-mana e > 0 kita mempunyai kesamaan had

. (5)

Perhatikan bahawa ketaksamaan (4) seperti yang digunakan pada syarat teorem Bernoulli memberikan:

. (6)

Teorem Chebyshev boleh dirumuskan dalam bentuk yang agak umum:

Teorem umum Chebyshev. biarlah x 1, x 2, …, x n,… - jujukan pembolehubah rawak bebas dengan jangkaan matematik M[x 1 ] = m 1 , M[x2] = m 2,… dan serakan dihadkan oleh pemalar yang sama Dengan. Kemudian untuk sebarang nombor positif e kita mempunyai kesamaan had

. (7)

Biarkan x ialah bilangan kejadian 6 mata dalam 3600 balingan dadu. Kemudian M[ x] = 3600 = 600. Mari kita gunakan ketaksamaan (1) untuk a = 900: .

Kami menggunakan ketaksamaan (6) untuk n = 10000, p = , q = . Kemudian

Contoh.

Kebarangkalian berlakunya peristiwa A dalam setiap 1000 eksperimen bebas ialah 0.8. Cari kebarangkalian bahawa bilangan kejadian A dalam 1000 eksperimen ini menyimpang daripadanya sendiri. jangkaan matematik Oleh nilai mutlak kurang daripada 50.

Biarkan x ialah bilangan kejadian peristiwa A dalam 1000 eksperimen yang ditentukan. Kemudian M[ x] = 1000 × 0.8 = 800 dan D[ x] = 1000 × 0.8 × 0.2 = 160. Sekarang ketaksamaan (2) memberikan:

Contoh.

Varians bagi setiap 1000 pembolehubah rawak bebas x k (k = 1, 2,..., 1000) ialah 4. Anggarkan kebarangkalian bahawa sisihan min aritmetik bagi pembolehubah ini daripada min aritmetik jangkaan matematiknya dalam nilai mutlak tidak akan melebihi 0.1.

Mengikut ketaksamaan (4), untuk c = 4 dan e = 0.1, kita ada

Pelan:

1. Konsep teorem had pusat (teorem Lyapunov)

2. Hukum nombor besar, kebarangkalian dan kekerapan (teorem Chebyshev dan Bernoulli)

1. Konsep teorem had pusat.

Taburan kebarangkalian normal mempunyai dalam teori kebarangkalian sangat penting. Undang-undang biasa mematuhi kebarangkalian apabila menembak pada sasaran, dalam ukuran, dsb. Secara khususnya, ternyata bahawa undang-undang taburan untuk jumlah bilangan pembolehubah rawak bebas yang cukup besar dengan undang-undang taburan arbitrari adalah hampir dengan taburan normal. Fakta ini dipanggil teorem had pusat atau teorem Lyapunov.

Adalah diketahui bahawa pembolehubah rawak taburan normal digunakan secara meluas dalam amalan. Apa yang menjelaskan perkara ini? Soalan ini telah dijawab

Teorem had pusat. Jika pembolehubah rawak X mewakili, ialah hasil tambah bagi sangat sebilangan besar pembolehubah rawak saling bebas, pengaruh setiap satunya pada jumlah keseluruhan adalah diabaikan, maka X mempunyai taburan yang hampir dengan taburan normal.

Contoh. Biarkan beberapa kuantiti fizik diukur. Sebarang ukuran hanya memberikan nilai anggaran kuantiti yang diukur, kerana banyak faktor rawak bebas (suhu, turun naik instrumen, kelembapan, dll.) mempengaruhi hasil pengukuran. Setiap faktor ini menghasilkan "ralat separa" yang boleh diabaikan. Walau bagaimanapun, oleh kerana bilangan faktor ini sangat besar, kesan kumulatifnya menghasilkan "ralat keseluruhan" yang sudah ketara.

Dengan mengambil kira jumlah ralat sebagai jumlah ralat separa yang saling bebas yang sangat besar, kita boleh membuat kesimpulan bahawa jumlah ralat mempunyai taburan yang hampir dengan taburan normal. Pengalaman mengesahkan kesahihan kesimpulan ini.

Pertimbangkan syarat di mana "teorem had pusat" dipenuhi

x1,X2, ..., Xn ialah urutan pembolehubah rawak bebas,

M(X1),M(X2), ...,M(Xn) ialah jangkaan matematik akhir bagi kuantiti ini, masing-masing sama dengan M(Xk)= ak

D (X1),D(X2), ...,D(Xn) - varians akhir mereka, masing-masing sama dengan D(X k)= bk2

Kami memperkenalkan tatatanda: S= X1+X2 + ...+Xn;

A k= X1+X2 + ...+Xn=; B2=D (X1)+D(X2)+ ...+D(Xn) =

Kami menulis fungsi taburan bagi jumlah ternormal:

Mereka berkata kepada urutan x1,X2, ..., Xn teorem had pusat adalah terpakai jika, untuk mana-mana x fungsi taburan jumlah ternormal seperti n ® ¥ cenderung fungsi normal pengedaran:

Kanan "style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Pertimbangkan diskret pembolehubah rawak X, diberikan oleh jadual pengedaran:

Marilah kita menetapkan sendiri tugas menganggarkan kebarangkalian bahawa sisihan pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya tidak melebihi nilai mutlak nombor positif. ε

Jika ε cukup kecil, maka kami akan menganggarkan kebarangkalian itu X akan mengambil nilai yang cukup dekat dengan jangkaan matematiknya. membuktikan ketidaksamaan yang membolehkan kami memberikan anggaran faedah kepada kami.

Lemma Chebyshev. Diberi pembolehubah rawak X yang hanya mengambil nilai bukan negatif dengan jangkaan M(X). Untuk sebarang nombor α>0, ungkapan berlaku:

Ketaksamaan Chebyshev. Kebarangkalian bahawa sisihan pembolehubah rawak X daripada jangkaan matematiknya dalam nilai mutlak adalah kurang daripada nombor positif ε , tidak kurang daripada 1 – D(X) / ε 2:

P(|X-M(X)|< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.

Komen. Ketaksamaan Chebyshev mempunyai nilai praktikal yang terhad, kerana ia sering memberikan anggaran yang kasar dan kadangkala remeh (tanpa kepentingan).

Kepentingan teori ketidaksamaan Chebyshev adalah sangat besar. Di bawah ini kita akan menggunakan ketaksamaan ini untuk memperoleh teorem Chebyshev.

2.2. Teorem Chebyshev

Jika X1, X2, ..., Xn.. ialah pembolehubah rawak bebas berpasangan, dan variansnya terhad secara seragam (tidak melebihi nombor tetap C), maka, tidak kira betapa kecilnya nombor positif ε , kebarangkalian ketidaksamaan

÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε

akan sewenang-wenangnya hampir kepada perpaduan jika bilangan pembolehubah rawak cukup besar.

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε )=1.

Teorem Chebyshev menyatakan:

1. Kami menganggap bilangan pembolehubah rawak bebas yang cukup besar dengan varians terhad,

Apabila merumuskan teorem Chebyshev, kami mengandaikan bahawa pembolehubah rawak mempunyai jangkaan matematik yang berbeza. Dalam amalan, ia sering berlaku bahawa pembolehubah rawak mempunyai jangkaan matematik yang sama. Jelas sekali, jika kita sekali lagi menganggap bahawa serakan kuantiti ini adalah terhad, maka teorem Chebyshev akan terpakai kepada mereka.

Mari kita nyatakan jangkaan matematik bagi setiap pembolehubah rawak melalui A;

Dalam kes yang sedang dipertimbangkan, min aritmetik jangkaan matematik, kerana ia mudah dilihat, juga sama dengan A.

Seseorang boleh merumuskan teorem Chebyshev untuk kes tertentu yang sedang dipertimbangkan.

"Jika X1, X2, ..., Xn.. ialah pembolehubah rawak bebas berpasangan yang mempunyai jangkaan matematik yang sama a, dan jika serakan pembolehubah ini terhad secara seragam, maka, tidak kira betapa kecilnya bilangan ε > Oh, kebarangkalian ketidaksamaan

÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - a | < ε

akan sewenang-wenangnya hampir kepada perpaduan jika bilangan pembolehubah rawak cukup besar" .

Dalam erti kata lain, di bawah syarat teorem

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - a |< ε ) = 1.

2.3. Intipati teorem Chebyshev

Walaupun pembolehubah rawak bebas individu mungkin mengambil nilai yang jauh daripada jangkaan matematiknya, min aritmetik bagi bilangan pembolehubah rawak yang cukup besar mengambil nilai yang hampir kepada nilai tertentu dengan kebarangkalian yang tinggi. nombor tetap, iaitu kepada nombor

(M(Xj) + M (X2)+... + M (Xn))/n atau kepada nombor dan dalam kes tertentu.

Dalam erti kata lain, pembolehubah rawak individu boleh mempunyai sebaran yang ketara, dan min aritmetiknya bertaburan kecil.

Oleh itu, seseorang tidak boleh dengan yakin meramalkan kemungkinan nilai yang akan diambil oleh setiap pembolehubah rawak, tetapi seseorang boleh meramalkan nilai yang akan diambil oleh aritmetik mereka.

Jadi, min aritmetik bagi bilangan pembolehubah rawak bebas yang cukup besar (varian yang terhad secara seragam) kehilangan watak pembolehubah rawak.

Ini dijelaskan oleh fakta bahawa sisihan setiap kuantiti daripada jangkaan matematik mereka boleh menjadi positif dan negatif, dan dalam aritmetik bermakna mereka membatalkan satu sama lain.

Teorem Chebyshev adalah sah bukan sahaja untuk diskret, tetapi juga untuk pembolehubah rawak berterusan; ia adalah contoh yang mengesahkan kesahihan doktrin kaitan antara peluang dan keperluan.

2.4. Kepentingan teorem Chebyshev untuk amalan

Mari kita berikan contoh aplikasi teorem Chebyshev untuk penyelesaian masalah praktikal.

Biasanya, untuk mengukur kuantiti fizik tertentu, beberapa ukuran dibuat dan min aritmetiknya diambil sebagai saiz yang dikehendaki. Dalam keadaan apakah kaedah pengukuran ini boleh dianggap betul? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem Chebyshev (kes khasnya).

Sesungguhnya, pertimbangkan keputusan setiap pengukuran sebagai pembolehubah rawak

X1, X2, ..., Xn

Untuk kuantiti ini, teorem Chebyshev boleh digunakan jika:

1) Mereka bebas berpasangan.

2) mempunyai jangkaan matematik yang sama,

3) penyebaran mereka adalah terhad secara seragam.

Keperluan pertama dipenuhi jika keputusan setiap ukuran tidak bergantung pada keputusan yang lain.

Keperluan kedua dipenuhi jika ukuran dibuat tanpa ralat sistematik (satu tanda). Dalam kes ini, jangkaan matematik semua pembolehubah rawak adalah sama dan sama dengan saiz sebenar A.

Keperluan ketiga dipenuhi jika peranti memberikan ketepatan pengukuran tertentu. Walaupun keputusan pengukuran individu adalah berbeza, penyebarannya adalah terhad.

Jika semua keperluan ini dipenuhi, kami mempunyai hak untuk menggunakan teorem Chebyshev pada hasil pengukuran: untuk ukuran yang cukup besar. P kebarangkalian ketidaksamaan

| (X1 + Xa+...+Xn)/n - a |< ε sewenang-wenangnya rapat dengan perpaduan.

Dalam erti kata lain, dengan bilangan ukuran yang cukup besar, hampir pasti bahawa min aritmetik mereka berbeza dengan sewenang-wenangnya sedikit daripada nilai sebenar kuantiti yang diukur.

Teorem Chebyshev menunjukkan keadaan di mana kaedah pengukuran yang diterangkan boleh digunakan. Walau bagaimanapun, adalah satu kesilapan untuk berfikir bahawa, dengan menambah bilangan ukuran, seseorang boleh mencapai ketepatan yang tinggi secara sewenang-wenangnya. Hakikatnya ialah peranti itu sendiri memberikan bacaan hanya dengan ketepatan ± α, oleh itu, setiap hasil pengukuran, dan oleh itu min aritmetik mereka, akan diperoleh hanya dengan ketepatan tidak melebihi ketepatan peranti.

Yang digunakan secara meluas dalam statistik adalah berdasarkan teorem Chebyshev kaedah persampelan, intipatinya ialah untuk yang agak kecil sampel rawak menilai keseluruhannya penduduk) daripada objek yang dikaji.

Sebagai contoh, kualiti bale kapas dinilai oleh satu berkas kecil yang terdiri daripada gentian yang dipilih secara rawak daripada bahagian berlainan bale. Walaupun bilangan gentian dalam satu ikatan adalah lebih sedikit daripada satu ikatan, ikatan itu sendiri mengandungi bilangan gentian yang agak besar, berjumlah beratus-ratus.

Sebagai contoh lain, seseorang boleh menunjukkan penentuan kualiti bijirin daripada sampel kecil. Dan dalam kes ini, bilangan bijirin yang dipilih secara rawak adalah kecil berbanding dengan keseluruhan jisim bijirin, tetapi dengan sendirinya ia agak besar.

Daripada contoh yang disebutkan, seseorang boleh membuat kesimpulan bahawa untuk amalan teorem Chebyshev adalah kepentingan yang tidak dapat dikira.

2.5. TeoremBernoulli

Dihasilkan Pujian bebas(bukan peristiwa, tetapi ujian). Dalam setiap daripadanya, kebarangkalian berlakunya sesuatu peristiwa A adalah sama dengan R.

Timbul persoalan, apakah kekerapan relatif kejadian itu? Soalan ini dijawab oleh teorem yang dibuktikan oleh Bernoulli, yang dipanggil "hukum nombor besar" dan meletakkan asas untuk teori kebarangkalian sebagai sains.

Teorem Bernoulli. Jika dalam setiap P kebarangkalian ujian bebas R berlakunya sesuatu peristiwa A adalah malar, maka kebarangkalian bahawa sisihan frekuensi relatif daripada kebarangkalian R akan menjadi kecil secara sewenang-wenangnya dalam nilai mutlak jika bilangan percubaan cukup besar.

Dalam erti kata lain, jika ε >0 ialah nombor kecil yang sewenang-wenangnya, maka di bawah syarat teorem kita mempunyai kesamaan

P(|m / n - p|< ε)= 1

Komen. Adalah salah, berdasarkan teorem Bernoulli, untuk menyimpulkan bahawa dengan peningkatan dalam bilangan percubaan, frekuensi relatif cenderung kepada kebarangkalian. R; dengan kata lain, teorem Bernoulli tidak membayangkan kesamaan (t/n) = p,

DALAM Teorem ini hanya memperkatakan kebarangkalian bahawa, dengan bilangan percubaan yang cukup besar, kekerapan relatif akan berbeza dengan sewenang-wenangnya sedikit daripada kebarangkalian berterusan berlakunya peristiwa dalam setiap percubaan.

Tugasan 7-1.

1. Anggarkan kebarangkalian bahawa selepas 3600 balingan dadu, bilangan kejadian 6 akan menjadi sekurang-kurangnya 900.

Penyelesaian. Biarkan x ialah bilangan kejadian 6 mata dalam 3600 lambungan syiling. Kebarangkalian mendapat 6 mata dalam satu lambungan ialah p=1/6, maka M(x)=3600 1/6=600. Kami menggunakan ketaksamaan Chebyshev (lemma) untuk α = 900 tertentu

= P(x³ 900) £ 600 / 900 =2 / 3

Jawab 2 / 3.

2. 1000 ujian bebas telah dijalankan, p=0.8. Cari kebarangkalian bilangan kejadian A dalam ujian ini menyimpang daripada modulo jangkaan matematiknya kurang daripada 50.

Penyelesaian. x ialah bilangan kejadian peristiwa A dalam n - 1000 percubaan.

M (X) \u003d 1000 0.8 \u003d 800. D(x)=100 0.8 0.2=160

Kami menggunakan ketaksamaan Chebyshev untuk ε = 50 yang diberikan

P(|x-M(x)|< ε) ³ 1 - D (x) / ε 2

R(|x-800|< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

Jawab. 0,936

3. Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, anggarkan kebarangkalian itu |X - M(X)|< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

4. Diberi: P(|X- M(X)\< ε) ³ 0.9; D (X)= 0.004. Menggunakan ketaksamaan Chebyshev, cari ε . Jawab. 0,2.

Kawal soalan dan tugasan

1. Tujuan teorem had pusat

2. Syarat untuk kebolehgunaan teorem Lyapunov.

3. Perbezaan antara lemma dan teorem Chebyshev.

4. Syarat untuk kebolehgunaan teorem Chebyshev.

5. Syarat untuk kebolehgunaan teorem Bernoulli (hukum nombor besar)

Keperluan untuk pengetahuan dan kemahiran

Pelajar mesti mengetahui rumusan semantik am teorem had pusat. Dapat merumus teorem separa untuk pembolehubah rawak teragih identik bebas. Fahami ketaksamaan Chebyshev dan hukum bilangan besar dalam bentuk Chebyshev. Mempunyai idea tentang kekerapan sesuatu peristiwa, hubungan antara konsep "kebarangkalian" dan "kekerapan". Mempunyai pemahaman tentang hukum bilangan besar dalam bentuk Bernoulli.

(1857-1918), ahli matematik Rusia yang cemerlang

Pada permulaan kursus, kami sudah bercakap tentang hakikat itu undang-undang matematik teori kebarangkalian diperoleh dengan mengabstrakkan ketetapan statistik sebenar yang wujud dalam fenomena rawak jisim. Kehadiran corak ini dikaitkan dengan tepat dengan sifat jisim fenomena, iaitu, dengan sejumlah besar eksperimen homogen yang dilakukan atau dengan sejumlah besar kesan rawak yang menghasilkan dalam keseluruhannya pembolehubah rawak tertakluk kepada undang-undang yang jelas. Sifat kestabilan fenomena rawak jisim telah diketahui oleh manusia sejak zaman purba. Di mana-mana kawasan ia memanifestasikan dirinya, intipatinya berpunca kepada perkara berikut: ciri khusus setiap fenomena rawak individu hampir tidak mempunyai kesan ke atas hasil purata jisim dan fenomena sedemikian; sisihan rawak daripada min, tidak dapat dielakkan dalam setiap fenomena berasingan, dalam jisim saling dibatalkan, diratakan, diselaraskan. Kestabilan purata inilah yang merupakan kandungan fizikal "undang-undang nombor besar", difahami dalam erti kata yang luas: dengan bilangan fenomena rawak yang sangat besar, hasil purata mereka secara praktikal tidak lagi rawak dan boleh diramalkan. dengan tahap kepastian yang tinggi.

Dalam erti kata yang sempit, "hukum nombor besar" dalam teori kebarangkalian difahami sebagai beberapa teorem matematik, di mana setiap satunya, untuk keadaan tertentu, fakta penghampiran ciri purata sebilangan besar eksperimen. kepada beberapa pemalar tertentu ditubuhkan.

Dalam 2.3 kita telah merumuskan teorem yang paling mudah ini, teorem J. Bernoulli. Dia mendakwa bahawa dengan sejumlah besar eksperimen, kekerapan sesuatu peristiwa menghampiri (lebih tepat, menumpu dalam kebarangkalian) kepada kebarangkalian peristiwa ini. Dengan orang lain, lebih bentuk am Hukum bilangan besar akan diperkenalkan dalam bab ini. Kesemuanya mewujudkan fakta dan syarat untuk penumpuan dalam kebarangkalian pembolehubah rawak tertentu kepada pembolehubah malar, bukan rawak.

Hukum bilangan besar memainkan peranan penting dalam aplikasi praktikal teori kebarangkalian. Sifat pembolehubah rawak di bawah keadaan tertentu untuk berkelakuan secara praktikal sebagai bukan rawak membolehkan kita beroperasi dengan yakin dengan kuantiti ini, untuk meramalkan keputusan fenomena rawak jisim dengan kepastian yang hampir lengkap.

Kemungkinan ramalan sedemikian dalam bidang fenomena rawak jisim diperluaskan lagi dengan kehadiran kumpulan lain teorem had, yang tidak lagi menyangkut nilai had pembolehubah rawak, tetapi mengehadkan undang-undang pengedaran. Ia mengenai pada kumpulan teorem yang dikenali sebagai "teorem had pusat". Kami telah mengatakan bahawa apabila menjumlahkan bilangan pembolehubah rawak yang cukup besar, hukum taburan jumlah itu menghampiri yang normal selama-lamanya, dengan syarat syarat tertentu dipenuhi. Syarat-syarat ini, yang boleh dirumuskan secara matematik dalam pelbagai cara - dalam bentuk yang lebih kurang umum - pada dasarnya bermuara kepada keperluan bahawa pengaruh ke atas jumlah istilah individu adalah kecil secara seragam, iaitu, jumlah itu tidak harus termasuk istilah yang jelas. mengatasi set selebihnya dengan pengaruh mereka ke atas penyebaran jumlah. Pelbagai bentuk teorem had pusat berbeza antara satu sama lain dalam keadaan yang sifat had jumlah pembolehubah rawak ini ditubuhkan.

Pelbagai bentuk hukum bilangan besar beserta pelbagai bentuk teorem had pusat membentuk satu set teorem had yang dipanggil teori kebarangkalian. Hadkan teorem memungkinkan bukan sahaja untuk membuat ramalan saintifik dalam bidang fenomena rawak, tetapi juga untuk menilai ketepatan ramalan ini.

Dalam bab ini, kami akan mempertimbangkan hanya sebahagian daripada yang paling bentuk yang ringkas had teorem. Pertama, teorem yang berkaitan dengan kumpulan "hukum nombor besar" akan dipertimbangkan, kemudian - teorem yang berkaitan dengan kumpulan "teorem had pusat".

1. /PB-MS-theory/Lectures-1(4с.).doc 2. /PB-MS-theory/Lectures-2(4с.).doc 3. /PB-MS-theory/Lectures-3(4с.).doc 4. /PB-MS-teori/Kuliah-4(4s.).doc 5. /PB-MS-theory/Contents.doc

Kuliah 1 Kuliah 19. Ujian statistik hipotesis statistik. Prinsip umum untuk menguji hipotesis. Konsep hipotesis statistik (mudah dan kompleks), hipotesis nol dan bersaing, Hukum bilangan besar. Ketaksamaan Chebyshev. Teorem Chebyshev dan Bernoulli Kuliah Ciri-ciri asas berangka pembolehubah rawak diskret dan selanjar: jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai. Sifat dan contoh mereka Kuliah Subjek teori kebarangkalian. Acara rawak. Algebra peristiwa. Kekerapan relatif dan kebarangkalian kejadian rawak. Kumpulan acara lengkap. Takrif klasik kebarangkalian. Sifat asas kebarangkalian. Formula asas kombinatorik

Kuliah 13

Hukum bilangan besar. Ketaksamaan Chebyshev. Teorem Chebyshev dan Bernoulli.
Kajian pola statistik memungkinkan untuk menetapkan bahawa, dalam keadaan tertentu, jumlah tingkah laku sebilangan besar hampir kehilangan pembolehubah rawak watak rawak dan menjadi tetap (dengan kata lain, sisihan rawak daripada beberapa tingkah laku purata membatalkan satu sama lain). Khususnya, jika pengaruh ke atas jumlah sebutan individu adalah kecil secara seragam, hukum pengagihan jumlah itu menghampiri normal. Rumusan matematik pernyataan ini diberikan dalam kumpulan teorem yang dipanggil hukum bilangan besar.

Ketaksamaan Chebyshev.
Ketaksamaan Chebyshev, yang digunakan untuk membuktikan teorem selanjutnya, adalah sah untuk kedua-dua pembolehubah rawak berterusan dan diskret. Mari kita buktikan untuk pembolehubah rawak diskret.
Teorem 13.1 (ketaksamaan Chebyshev). hlm( | X – M(X)| D( X) / ε². (13.1)

Bukti. biarlah X diberikan oleh nombor pengedaran

X	X 1	X 2	…	X P
R	R 1	R 2	…	R P

Sejak peristiwa | X – M(X)| X – M(X)| ≥ ε adalah bertentangan, maka R (|X – M(X)| p(| X – M(X)| ≥ ε) = 1, oleh itu, R (|X – M(X)| p(| X – M(X)| ≥ ε). Jom cari R (|X – M(X)| ≥ ε).

D(X) = (x 1 – M(X))² hlm 1 + (x 2 – M(X))² hlm 2 + … + (x n – M(X))² hlm n . Kami mengecualikan daripada jumlah ini syarat-syarat yang | X – M(X)| k syarat. Kemudian

D(X) ≥ (x k + 1 – M(X))² hlm k + 1 + (x k + 2 – M(X))² hlm k +2 + … + (x n – M(X))² hlm n ≥ ε² ( hlm k + 1 + hlm k + 2 + … + hlm n).

Perhatikan bahawa hlm k + 1 + hlm k + 2 + … + hlm n ada kemungkinan bahawa | X – M(X)| ≥ ε, kerana ini ialah jumlah kebarangkalian semua nilai yang mungkin X yang mana ketidaksamaan ini adalah benar. Oleh itu, D(X) ≥ ε² R(|X – M(X)| ≥ ε), atau R (|X – M(X)| ≥ ε) ≤ D(X) / ε². Kemudian kebarangkalian peristiwa bertentangan hlm( | X – M(X)| D( X) / ε², yang perlu dibuktikan.
Teorem Chebyshev dan Bernoulli.

Teorem 13.2 (Teorem Chebyshev). Jika X 1 , X 2 ,…, X P adalah pembolehubah rawak bebas berpasangan yang variansnya dibatasi seragam ( D(X i) ≤ C), maka untuk nombor yang sewenang-wenangnya kecil ε kebarangkalian ketaksamaan itu

akan sewenang-wenangnya menghampiri 1 jika bilangan pembolehubah rawak cukup besar.

Komen. Dengan kata lain, jika syarat ini dipenuhi

Bukti. Pertimbangkan pembolehubah rawak baharu
dan cari jangkaan matematiknya. Dengan menggunakan sifat jangkaan matematik, kita mendapat bahawa . Berkenaan dengan Ketaksamaan Chebyshev: Oleh kerana pembolehubah rawak yang dipertimbangkan adalah bebas, maka, dengan mengambil kira keadaan teorem, kita mempunyai: Menggunakan keputusan ini, kita mewakili ketaksamaan sebelumnya dalam bentuk:

Marilah kita melepasi had di
: Oleh kerana kebarangkalian tidak boleh lebih daripada 1, ia boleh dikatakan bahawa

Teorem telah terbukti.
Akibat.

Jika X 1 , X 2 , …, X P- pembolehubah rawak bebas berpasangan dengan varians terhad seragam, mempunyai jangkaan matematik yang sama sama dengan A, maka untuk sebarang ε > 0 yang sewenang-wenangnya kecil kebarangkalian ketaksamaan itu
akan sewenang-wenangnya menghampiri 1 jika bilangan pembolehubah rawak cukup besar. Dalam kata lain,
.

Kesimpulan: min aritmetik bagi bilangan pembolehubah rawak yang cukup besar mengambil nilai yang hampir dengan jumlah jangkaan matematiknya, iaitu, ia kehilangan watak pembolehubah rawak. Sebagai contoh, jika satu siri pengukuran sebarang kuantiti fizik dijalankan, dan: a) keputusan setiap ukuran tidak bergantung pada keputusan yang lain, iaitu, semua keputusan adalah pembolehubah rawak bebas berpasangan; b) pengukuran dibuat tanpa ralat sistematik (jangkaan matematik mereka adalah sama antara satu sama lain dan sama dengan nilai sebenar A nilai yang diukur); c) ketepatan pengukuran tertentu dipastikan, oleh itu, serakan pembolehubah rawak yang dipertimbangkan adalah terhad secara seragam; maka untuk bilangan ukuran yang cukup besar, min aritmetiknya akan sewenang-wenangnya mendekati nilai sebenar kuantiti yang diukur.
Teorem Bernoulli.
Teorem 13.3 (Teorem Bernoulli). Jika dalam setiap P kebarangkalian pengalaman bebas R berlakunya sesuatu peristiwa A adalah malar, maka dengan bilangan ujian yang cukup besar, kebarangkalian bahawa modulus sisihan kekerapan relatif kejadian A V P pengalaman daripada R akan sewenang-wenangnya kecil, sewenang-wenangnya hampir kepada 1:

(13.2)

Bukti. Kami memperkenalkan pembolehubah rawak X 1 , X 2 , …, X P, Di mana X i – bilangan penampilan A V i-m pengalaman. Di mana X i boleh mengambil hanya dua nilai: 1 (dengan kebarangkalian R) dan 0 (dengan kebarangkalian q = 1 – hlm). Di samping itu, pembolehubah rawak yang dipertimbangkan adalah bebas berpasangan dan variansnya adalah terhad secara seragam (sejak D(X i) = pq, hlm + q = 1, dari mana pq ≤ ¼). Oleh itu, teorem Chebyshev boleh digunakan untuk mereka M i = hlm:

.

Tetapi
, kerana X i mengambil nilai 1 apabila A V pengalaman ini, dan nilai 0 jika A tidak berlaku. Oleh itu,

Q.E.D.
Komen. Daripada teorem Bernoulli jangan lakukannya, Apa
Ia hanya tentang kebarangkalian bahawa perbezaan antara frekuensi relatif dan modulo kebarangkalian boleh menjadi kecil sewenang-wenangnya. Perbezaannya adalah seperti berikut: di bawah penumpuan biasa yang dipertimbangkan dalam analisis matematik, untuk semua P, bermula dari beberapa nilai, ketidaksamaan
sentiasa dilaksanakan; dalam kes kami, mungkin terdapat nilai sedemikian P yang mana ketidaksamaan ini adalah palsu. Penumpuan semacam ini dipanggil penumpuan dalam kebarangkalian.

Kuliah 14

Teorem had pusat Lyapunov. Teorem had Moivre-Laplace.
Hukum nombor besar tidak menyiasat bentuk hukum taburan had bagi jumlah pembolehubah rawak. Soalan ini dipertimbangkan dalam kumpulan teorem yang dipanggil teorem had pusat. Mereka berpendapat bahawa hukum taburan jumlah pembolehubah rawak, setiap satunya mungkin mempunyai taburan yang berbeza, mendekati normal dengan bilangan sebutan yang cukup besar. Ini menerangkan kepentingan undang-undang biasa untuk aplikasi praktikal.
Fungsi ciri.

Kaedah fungsi ciri digunakan untuk membuktikan teorem had pusat.
Definisi 14.1.fungsi ciri pembolehubah rawak X dipanggil fungsi

g(t) = M (e itX ) (14.1)

Oleh itu, g (t) ialah jangkaan matematik bagi beberapa pembolehubah rawak kompleks U = e itX dikaitkan dengan nilai X. Khususnya, jika X ialah pembolehubah rawak diskret yang diberikan oleh siri taburan, maka

. (14.2)

Untuk pembolehubah rawak berterusan dengan ketumpatan taburan f(x)

(14.3)

Contoh 1. Biar X- bilangan jatuh 6 mata dalam satu lontaran dadu. Kemudian dengan formula (14.2) g(t) =

Contoh 2 Cari ciri fungsi untuk pembolehubah rawak selanjar ternormal yang diedarkan undang-undang biasa
. Mengikut formula (14.3) (kami menggunakan formula
dan apa i² = -1).

Sifat fungsi ciri.
1. Fungsi f(x) boleh didapati oleh fungsi yang diketahui g(t) mengikut formula

(14.4)

(transformasi (14.3) dipanggil Transformasi Fourier, dan penjelmaan (14.4) ialah penjelmaan songsang Fourier).

2. Jika pembolehubah rawak X Dan Y berkaitan dengan nisbah Y = aX, maka fungsi ciri mereka dikaitkan dengan hubungan

g y (t) = g x (di). (14.5)

3. Fungsi ciri jumlah pembolehubah rawak bebas adalah sama dengan hasil darab fungsi ciri istilah: untuk

(14.6)
Teorem 14.1 (teorem had pusat untuk istilah taburan yang sama). Jika X 1 , X 2 ,…, X P,… - pembolehubah rawak bebas dengan hukum taburan yang sama, jangkaan matematik T dan penyebaran σ 2 , kemudian dengan peningkatan tanpa had P undang-undang pengagihan jumlah
menghampiri normal selama-lamanya.

Bukti.

Mari kita buktikan teorem bagi pembolehubah rawak selanjar X 1 , X 2 ,…, X P(bukti untuk kuantiti diskret serupa). Mengikut keadaan teorem, fungsi ciri istilah adalah sama:
Kemudian, dengan sifat 3, fungsi ciri jumlah Y n kehendak
Kembangkan fungsi g x (t) dalam siri Maclaurin:

, Di mana
di
.

Jika kita mengandaikan bahawa T= 0 (iaitu, pindahkan asal ke titik T), Itu
.

(kerana T= 0). Menggantikan keputusan yang diperolehi ke dalam formula Maclaurin, kami mendapati bahawa

.

Pertimbangkan pembolehubah rawak baharu
, Berlainan daripada Y n hakikat bahawa penyebaran untuk mana-mana P sama dengan 0. Sejak Y n Dan Z n bersambung pergantungan linear, sudah memadai untuk membuktikannya Z n diedarkan mengikut hukum biasa, atau, apa yang sama, bahawa fungsi cirinya menghampiri fungsi ciri hukum biasa (lihat contoh 2). Dengan sifat fungsi ciri

Kami mengambil logaritma ungkapan yang terhasil:

di mana

Jom reput
berturut-turut di P→ ∞, menghadkan diri kita kepada dua istilah pengembangan, kemudian ln(1 - k) ≈ - k. Dari sini

Di mana had terakhir ialah 0, kerana pada . Oleh itu,
, itu dia
- fungsi ciri taburan normal. Jadi, dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan istilah, fungsi ciri kuantiti Z n mendekati fungsi ciri hukum biasa selama-lamanya; oleh itu, undang-undang pengagihan Z n (Dan Y n) menghampiri nilai normal selama-lamanya. Teorem telah terbukti.

A.M. Lyapunov membuktikan teorem had pusat untuk keadaan lebih daripada Pandangan umum:
Teorem 14.2 (teorem Lyapunov). Jika pembolehubah rawak X ialah jumlah bilangan pembolehubah rawak saling bebas yang sangat besar yang syarat berikut dipenuhi:

, (14.7)

di mana b k ialah momen pusat mutlak ketiga kuantiti X Kepada, A D k adalah variansnya, maka X mempunyai taburan yang hampir dengan normal (keadaan Lyapunov bermakna pengaruh setiap istilah pada jumlah itu boleh diabaikan).
Dalam amalan, adalah mungkin untuk menggunakan teorem had pusat dengan bilangan sebutan yang cukup kecil, kerana pengiraan kebarangkalian memerlukan ketepatan yang agak rendah. Pengalaman menunjukkan bahawa untuk jumlah sepuluh atau kurang istilah, hukum taburannya boleh digantikan dengan yang biasa.

Kes khas teorem had pusat untuk pembolehubah rawak diskret ialah teorem de Moivre-Laplace.

Teorem 14.3 (Teorem Moivre-Laplace). Jika dihasilkan P eksperimen bebas, dalam setiap satu peristiwa A muncul dengan kebarangkalian R, maka hubungannya adalah sah:

(14.8)

di mana Y – bilangan kejadian peristiwa A V P eksperimen, q = 1 – hlm.

Bukti.

Kami akan menganggap itu
, Di mana X i– bilangan kejadian peristiwa A V i-m pengalaman. Kemudian pembolehubah rawak
(lihat Teorem 14.1) boleh diandaikan sebagai diedarkan mengikut hukum biasa dan dinormalkan, oleh itu, kebarangkalian ia jatuh ke dalam selang (α, β) boleh didapati dengan formula

Kerana ia Y mempunyai taburan binomial, . Kemudian
. Menggantikan ungkapan ini ke dalam formula sebelumnya, kita memperoleh kesamaan (14.8).

Akibat.

Di bawah syarat teorem Moivre-Laplace, kebarangkalian
bahawa peristiwa itu A akan muncul dalam P eksperimen dengan tepat k kali, dengan sejumlah besar eksperimen boleh didapati dengan formula:

(14.9)

di mana
, A
(nilai fungsi ini diberikan dalam jadual khas).

Contoh 3. Cari kebarangkalian bahawa selepas 100 lambungan syiling, bilangan jata akan jatuh dalam julat dari 40 hingga 60.

Kami menggunakan formula (14.8), dengan mengambil kira itu P= 0.5. Kemudian dan lain-lain= 100 0.5 = 50, Kemudian jika
Oleh itu,

Contoh 4. Di bawah syarat-syarat contoh sebelumnya, cari kebarangkalian bahawa 45 lapisan senjata akan gugur.

Jom cari
, Kemudian

Kuliah 15

Konsep asas statistik matematik. Populasi umum dan sampel. Siri variasi, siri statistik. Pemilihan berkumpulan. Siri statistik berkumpulan. Poligon kekerapan. Fungsi pengedaran sampel dan histogram.
Statistik matematik memperkatakan penubuhan keteraturan yang mana fenomena rawak jisim tertakluk, berdasarkan pemprosesan data statistik yang diperoleh hasil daripada pemerhatian. Dua tugas utama statistik matematik ialah:

Tentukan cara statistik ini dikumpul dan dikumpulkan;

Pembangunan kaedah untuk menganalisis data yang diperoleh, bergantung kepada objektif kajian, yang merangkumi:

a) anggaran kebarangkalian kejadian yang tidak diketahui; anggaran fungsi pengedaran yang tidak diketahui; anggaran parameter pengedaran, yang bentuknya diketahui; penilaian pergantungan pada pembolehubah rawak lain, dsb.;

b) pengesahan hipotesis statistik tentang bentuk taburan yang tidak diketahui atau tentang nilai-nilai parameter taburan yang diketahui.

Untuk menyelesaikan masalah ini, adalah perlu untuk memilih daripada penduduk yang ramai objek homogen, bilangan objek yang terhad, berdasarkan hasil kajian yang mungkin untuk membuat ramalan mengenai ciri yang dikaji objek ini.

Mari kita takrifkan konsep asas statistik matematik.

Penduduk - semua set objek yang tersedia.

Sampel- satu set objek yang dipilih secara rawak daripada populasi umum.

Saiz populasi umumN dan saiz sampeln - bilangan objek dalam set yang dipertimbangkan.

Jenis sampel:

Diulang- setiap objek yang dipilih dikembalikan kepada populasi umum sebelum memilih yang seterusnya;

Tidak berulang- objek yang dipilih tidak dikembalikan kepada populasi umum.
Komen. Agar kajian sampel dapat membuat kesimpulan tentang tingkah laku ciri populasi umum yang menarik minat kita, sampel perlu mewakili perkadaran populasi umum dengan betul, iaitu, wakil(wakil). Dengan mengambil kira hukum nombor besar, boleh dikatakan bahawa syarat ini dipenuhi jika setiap objek dipilih secara rawak, dan untuk mana-mana objek kebarangkalian untuk dimasukkan ke dalam sampel adalah sama.
Pemprosesan utama hasil.

Biarkan pembolehubah rawak yang kita minati X mengambil nilai dalam sampel X 1 P 1 kali, X 2 – P 2 kali, …, X Kepada - P Kepada kali, dan
di mana P ialah saiz sampel. Kemudian nilai yang diperhatikan pembolehubah rawak X 1 , X 2 ,…, X Kepada dipanggil pilihan, A P 1 , P 2 ,…, P Kepada – frekuensi. Jika kita membahagikan setiap kekerapan dengan saiz sampel, kita dapat frekuensi relatif
Urutan pilihan yang ditulis dalam tertib menaik dipanggil variasi sebelah menyebelah, dan senarai pilihan dan frekuensi yang sepadan atau frekuensi relatif - siri statistik:

x i	x 1	x 2	…	x k
n i	n 1	n 2	…	n k
w i	w 1	w 2	…	w k

Apabila menjalankan 20 siri 10 pusingan dadu, bilangan enam mata yang tercicir ialah 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2 ,3 ,4,1. Karang siri variasi: 0,1,2,3,4,5. Siri Perangkaan untuk frekuensi mutlak dan relatif mempunyai bentuk:

x i	0	1	2	3	4	5
n i	3	6	5	3	2	1
w i	0,15	0,3	0,25	0,15	0,1	0,05

Jika beberapa ciri berterusan sedang disiasat, maka siri variasi mungkin terdiri daripada bilangan nombor yang sangat besar. Dalam kes ini ia lebih mudah digunakan sampel berkumpulan. Untuk mendapatkannya, selang, yang mengandungi semua nilai yang diperhatikan bagi ciri, dibahagikan kepada beberapa selang separa panjang yang sama. h, dan kemudian cari untuk setiap selang separa n i ialah jumlah frekuensi bagi varian yang jatuh ke dalam i-selang ke-. Jadual yang terhasil dipanggil berkumpulan siri statistik :

Poligon kekerapan. Fungsi pengedaran sampel dan histogram.
Untuk persembahan visual tentang kelakuan pembolehubah rawak yang dikaji dalam sampel, anda boleh membina pelbagai graf. Salah seorang daripada mereka - poligon kekerapan: garis poli yang segmennya menghubungkan titik dengan koordinat ( x 1 , n 1), (x 2 , n 2),…, (x k , n k), Di mana x i diplot pada paksi-x, dan n i - pada paksi-y. Jika pada paksi-y kita memplot bukan mutlak ( n i), dan relatif ( w i) kekerapan, maka kita dapat poligon frekuensi relatif(Rajah 1) . nasi. 1.

Dengan analogi dengan fungsi pengedaran pembolehubah rawak, anda boleh menetapkan fungsi tertentu, kekerapan relatif peristiwa X x.

Definisi 15.1.Fungsi pengedaran sampel (empirikal). panggil fungsi F* (x), yang menentukan bagi setiap nilai X kekerapan relatif acara itu X x. Oleh itu,

, (15.1)

di mana P X– bilangan pilihan, lebih kecil X, P ialah saiz sampel.
Komen. Berbeza dengan fungsi taburan empirikal yang ditemui secara empirik, fungsi taburan F(x) daripada populasi umum dipanggil fungsi taburan teori. F(x) menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa X x, A F* (x) ialah kekerapan relatifnya. Untuk cukup besar P, seperti berikut dari teorem Bernoulli, F* (x) cenderung dalam kebarangkalian kepada F(x).

Daripada definisi fungsi taburan empirikal, dapat dilihat sifatnya bertepatan dengan sifat F(x), iaitu:

1. 
   0 ≤F* (x) ≤ 1.
2. 
   F* (x) ialah fungsi tidak menurun.
3. 
   Jika X 1 ialah pilihan terkecil, maka F* (x) = 0 untuk X≤ X 1 ; Jika X Kepada adalah pilihan terbesar, maka F* (x) = 1 untuk X> X Kepada .

Untuk ciri berterusan, ilustrasi grafik adalah carta bar, iaitu, rajah bertingkat yang terdiri daripada segi empat tepat yang tapaknya adalah selang separa panjang h, dan ketinggian – segmen panjang n i / h(histogram frekuensi) atau w i / h (histogram frekuensi relatif). Dalam kes pertama, luas histogram adalah sama dengan saiz sampel, dalam kes kedua ia sama dengan satu (Rajah 2). Rajah.2.

Kuliah 16

Ciri berangka taburan statistik: min sampel, anggaran varians, mod dan anggaran median, anggaran momen awal dan pusat. Perihalan statistik dan pengiraan anggaran untuk parameter vektor rawak dua dimensi.
Salah satu tugas statistik matematik adalah untuk menganggar nilai ciri berangka pembolehubah rawak yang dikaji berdasarkan sampel sedia ada.

Definisi 16.1.min sampel dipanggil min nilai aritmetik pembolehubah rawak yang diambil dalam sampel:

, (16.1)

di mana x i- pilihan, n i- frekuensi.

Komen. Min sampel digunakan untuk menganggar jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak yang dikaji. Persoalan sejauh mana ketepatan anggaran tersebut akan dibincangkan kemudian.

Definisi 16.2.Varians sampel dipanggil

, (16.2)

A sisihan piawai sampel–

(16.3)

Sama seperti dalam teori pembolehubah rawak, seseorang boleh membuktikan bahawa formula berikut adalah sah untuk mengira varians sampel:

. (16.4)

Contoh 1. Cari ciri berangka sampel yang diberikan oleh siri statistik

x i	2	5	7	8
n i	3	8	7	2

Ciri-ciri lain siri variasi ialah:

- fesyenM 0 - pilihan yang mempunyai kekerapan tertinggi(dalam contoh sebelumnya M 0 = 5).

- medianT e - varian yang membahagikan siri variasi kepada dua bahagian yang sama bilangannya dengan varian. Jika pilihan nombor adalah ganjil ( n = 2k+ 1), kemudian m e = x k + 1 , dan untuk genap n = 2k
. Khususnya, dalam contoh 1

Anggaran momen awal dan pusat (yang dipanggil momen empirikal) ditakrifkan sama dengan momen teori yang sepadan:

- momen empirikal awal susunank dipanggil

. (16.5)

khususnya,
, iaitu, momen empirikal awal bagi susunan pertama adalah sama dengan min sampel.

- momen empirikal tertib pusatk dipanggil

. (16.6)

khususnya,
, iaitu momen empirikal pusat tertib kedua adalah sama dengan varians sampel.
Perihalan statistik dan pengiraan ciri

vektor rawak dua dimensi.
Pada kajian statistik pembolehubah rawak dua dimensi tugas utama biasanya untuk mengenal pasti hubungan antara komponen.

Sampel dua dimensi ialah satu set nilai vektor rawak: ( X 1 , di 1), (X 2 , di 2), …, (X P , y P). Untuk itu, anda boleh menentukan purata sampel komponen:

dan varians sampel yang sepadan dan sisihan piawai. Di samping itu, seseorang boleh mengira purata bersyarat: - min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan Y sepadan X = x, Dan - nilai min bagi nilai yang diperhatikan X sepadan Y = y.

Jika terdapat hubungan antara komponen pembolehubah rawak dua dimensi, ia mungkin mempunyai jenis yang berbeza: kebergantungan fungsi jika setiap nilai yang mungkin X sepadan dengan satu nilai Y, dan statistik, di mana perubahan dalam satu kuantiti membawa kepada perubahan dalam pengagihan yang lain. Jika pada masa yang sama, akibat daripada perubahan dalam satu kuantiti, nilai purata bagi yang lain berubah, maka pergantungan statistik antara mereka dipanggil korelasi.

Kuliah 17

Sifat asas ciri statistik parameter pengedaran: tidak berat sebelah, konsistensi, kecekapan. Ketidakberatan dan ketekalan min sampel sebagai anggaran jangkaan matematik. Sampel varians bias. Contoh anggaran varians tidak berat sebelah. Anggaran tidak berat sebelah tanpa gejala. Kaedah untuk membina anggaran: kaedah kemungkinan maksimum, kaedah momen, kaedah kuantil, kaedah petak terkecil, pendekatan Bayesian untuk mendapatkan anggaran.
Setelah menerima anggaran statistik bagi parameter pengedaran (min sampel, varians sampel, dll.), anda perlu memastikan bahawa ia cukup berfungsi sebagai anggaran ciri-ciri yang sepadan bagi populasi umum. Kami menentukan keperluan yang mesti dipenuhi dalam kes ini.

Biarkan Θ* - penilaian statistik parameter Θ yang tidak diketahui bagi taburan teori. Kami mengekstrak daripada populasi umum beberapa sampel dengan saiz yang sama P dan hitung bagi setiap daripada mereka anggaran parameter Θ:
Kemudian anggaran Θ* boleh dianggap sebagai pembolehubah rawak yang mengambil nilai yang mungkin Jika jangkaan matematik Θ* tidak sama dengan parameter anggaran, kami akan memperoleh kesilapan sistematik satu tanda (lebih daripada jika M(Θ*) >Θ, dan dengan kelemahan jika M(Θ*) M (Θ*) = Θ.
Definisi 17.2. Anggaran statistik Θ* dipanggil tidak berat sebelah, jika jangkaan matematiknya adalah sama dengan parameter anggaran Θ untuk sebarang saiz sampel:

M(Θ*) = Θ. (17.1)

Terpindah dipanggil anggaran, jangkaan matematik yang tidak sama dengan parameter anggaran.

Walau bagaimanapun, tidak berat sebelah keadaan yang mencukupi penghampiran yang baik kepada nilai sebenar parameter anggaran. Jika, dalam kes ini, kemungkinan nilai Θ* mungkin menyimpang dengan ketara daripada nilai purata, iaitu varians Θ* adalah besar, maka nilai yang didapati daripada data satu sampel mungkin berbeza dengan ketara daripada parameter anggaran. . Oleh itu, adalah perlu untuk mengenakan sekatan ke atas varians.
Definisi 17.2. Penilaian statistik dipanggil berkesan jika ia adalah untuk saiz sampel yang diberikan P mempunyai varians terkecil yang mungkin.
Apabila mempertimbangkan sampel dengan volum yang besar, anggaran statistik juga tertakluk kepada keperluan ketekalan.
Definisi 17.3.Kaya dipanggil anggaran statistik, yang P→∞ cenderung dalam kebarangkalian kepada parameter anggaran (jika anggaran ini tidak berat sebelah, maka ia akan konsisten jika, untuk P→∞ variansnya cenderung kepada 0).
Mari kita pastikan itu adalah anggaran yang tidak berat sebelah terhadap jangkaan M(X).

Kami akan menganggapnya sebagai pembolehubah rawak, dan X 1 , X 2 ,…, X P, iaitu nilai pembolehubah rawak yang dikaji yang membentuk sampel, – sebagai pembolehubah rawak bebas, teragih sama X 1 , X 2 ,…, X P, mempunyai jangkaan matematik A. Ia berikutan daripada sifat jangkaan matematik yang

Tetapi, kerana setiap kuantiti X 1 , X 2 ,…, X P mempunyai taburan yang sama dengan populasi umum, A = M(X), itu dia M(
) = M(X), yang perlu dibuktikan. Min sampel bukan sahaja tidak berat sebelah, tetapi juga anggaran konsisten jangkaan matematik. Jika kita mengandaikan bahawa X 1 , X 2 ,…, X P mempunyai varians terhad, maka ia mengikuti dari teorem Chebyshev bahawa min aritmetik mereka, iaitu, dengan peningkatan P cenderung dalam kebarangkalian kepada jangkaan matematik A setiap nilai mereka, iaitu kepada M(X). Oleh itu, min sampel adalah anggaran konsisten jangkaan matematik.

Berbeza dengan min sampel, varians sampel adalah anggaran berat sebelah bagi varians populasi. Ia boleh dibuktikan bahawa

, (17.2)

di mana D G – nilai sebenar varians populasi. Kami boleh menawarkan satu lagi anggaran varians - varians diperbetulkans ² , dikira dengan formula

. (17.3)

Anggaran sedemikian tidak akan berat sebelah. Ia sepadan dengan min diperbetulkan sisihan piawai

. (17.4)

Definisi 17.4. Anggaran beberapa ciri dipanggil asymptotically tidak berat sebelah, jika untuk sampel X 1 , X 2 , …, X P

, (17.5)

di mana X ialah nilai sebenar kuantiti yang disiasat.
Kaedah untuk membina anggaran.
1. Kaedah kemungkinan maksimum.
biarlah X ialah pembolehubah rawak diskret, yang sebagai hasilnya P ujian mengambil nilai X 1 , X 2 , …, X P. Mari kita anggap bahawa kita tahu hukum taburan kuantiti ini, ditentukan oleh parameter Θ, tetapi nilai berangka parameter ini tidak diketahui. Mari kita cari anggaran titiknya.

biarlah R(X i, Θ) ialah kebarangkalian bahawa, hasil daripada ujian, nilai X akan mengambil makna X i. Jom telefon fungsi kemungkinan pembolehubah rawak diskret X fungsi hujah Θ, ditentukan oleh formula:

L (X 1 , X 2 , …, X P ; Θ) = hlm(x 1 ,Θ) hlm(x 2 ,Θ)… hlm(x n ,Θ).

Kemudian, sebagai anggaran titik parameter Θ, nilainya Θ* = Θ( X 1 , X 2 , …, X P) di mana fungsi kemungkinan mencapai maksimumnya. Anggaran Θ* dipanggil anggaran kemungkinan maksimum.

Sejak fungsi L dan ln L mencapai maksimum pada nilai yang sama Θ, adalah lebih mudah untuk mencari ln maksimum L – fungsi logaritma kredibiliti. Untuk ini anda perlukan:


Kelebihan kaedah kemungkinan maksimum: anggaran yang diperoleh adalah konsisten (walaupun ia boleh berat sebelah), diedarkan secara normal secara asimtotik untuk nilai yang besar P dan mempunyai varians terkecil berbanding dengan yang lain secara asimptotik gred biasa; jika bagi parameter anggaran Θ terdapat anggaran berkesan Θ*, maka persamaan kemungkinan mempunyai penyelesaian unik Θ*; kaedah ini menggunakan data sampel yang paling lengkap dan oleh itu amat berguna dalam kes sampel kecil.

Kelemahan kaedah kemungkinan maksimum: kerumitan pengiraan.
Untuk pembolehubah rawak berterusan dengan ketumpatan taburan yang diketahui f(x) dan parameter yang tidak diketahui Θ, fungsi kemungkinan mempunyai bentuk:

L (X 1 , X 2 , …, X P ; Θ) = f(x 1 ,Θ) f(x 2 ,Θ)… f(x n ,Θ).

Anggaran kebarangkalian maksimum bagi parameter yang tidak diketahui dijalankan dengan cara yang sama seperti pembolehubah rawak diskret.
2. Kaedah detik.
Kaedah momen adalah berdasarkan fakta bahawa momen empirikal awal dan pusat adalah anggaran konsisten momen teori awal dan pusat, jadi kita boleh menyamakan detik-detik teori momen empirikal yang sepadan dengan susunan yang sama.

Jika jenis ketumpatan taburan diberikan f(x, Θ) ditentukan oleh satu parameter yang tidak diketahui Θ, maka untuk menganggarkan parameter ini adalah mencukupi untuk mempunyai satu persamaan. Sebagai contoh, seseorang boleh menyamakan detik-detik awal Susunan pertama:

,

dengan itu memperoleh persamaan untuk menentukan Θ. Penyelesaiannya Θ* akan menjadi anggaran titik parameter, yang merupakan fungsi purata sampel dan oleh itu sampel:

Θ = ψ ( X 1 , X 2 , …, X P).

Jika spesies yang diketahui ketumpatan pengedaran f(x, Θ 1 , Θ 2) ditentukan oleh dua parameter yang tidak diketahui Θ 1 dan Θ 2 , maka dua persamaan diperlukan, contohnya

v 1 = M 1 , μ 2 = T 2 .

Dari sini
- sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui Θ 1 dan Θ 2 . Penyelesaiannya ialah anggaran titik Θ 1 * dan Θ 2 * - fungsi pilihan pensampelan:

Θ 1 = ψ 1 ( X 1 , X 2 , …, X P),

Θ 2 = ψ 2 ( X 1 , X 2 , …, X P).
3. Kaedah kuasa dua terkecil.

Sekiranya diperlukan untuk menilai pergantungan kuantiti di Dan X, dan bentuk fungsi yang menghubungkannya diketahui, tetapi nilai pekali yang termasuk di dalamnya tidak diketahui, nilainya boleh dianggarkan daripada sampel yang tersedia menggunakan kaedah kuasa dua terkecil. Untuk fungsi ini di = φ ( X) dipilih supaya jumlah sisihan kuasa dua bagi nilai yang diperhatikan di 1 , di 2 ,…, di P daripada φ( X i) adalah minimum:

Dalam berbuat demikian, ia dikehendaki mencari titik pegun fungsi φ( x; a, b, c… ), iaitu, selesaikan sistem:

(penyelesaian, sudah tentu, hanya mungkin dalam kes apabila bentuk khusus fungsi φ diketahui).

Pertimbangkan, sebagai contoh, pemilihan parameter fungsi linear dengan kaedah kuasa dua terkecil.

Untuk menilai parameter A Dan b dalam fungsi y = kapak + b, cari
Kemudian
. Dari sini
. Membahagi kedua-dua persamaan yang terhasil dengan P dan mengingati takrifan detik empirikal, seseorang boleh mendapatkan ungkapan untuk A Dan b sebagai:

. Oleh itu, hubungan antara X Dan di boleh ditetapkan dalam bentuk:

4. Pendekatan Bayesian untuk mendapatkan anggaran.
biarkan ( Y, X) ialah vektor rawak yang ketumpatannya diketahui R(di|x) pengagihan bersyarat Y untuk setiap nilai X = x. Jika hasil daripada eksperimen hanya nilai Y, dan nilai yang sepadan X tidak diketahui, kemudian untuk menganggarkan beberapa fungsi yang diberikan φ( X) sebagai nilai anggarannya, adalah dicadangkan untuk mencari jangkaan matematik bersyarat M (φ‌‌( X)‌‌‌‌‌‌|Y) dikira dengan formula:

, Di mana , R(X X, q(y) ialah ketumpatan taburan tanpa syarat Y. Masalah boleh diselesaikan hanya apabila ia diketahui R(X). Kadangkala, bagaimanapun, adalah mungkin untuk membina anggaran yang konsisten untuk q(y), yang bergantung hanya pada nilai yang diperoleh dalam sampel Y.

Kuliah 18

Anggaran selang parameter yang tidak diketahui. Ketepatan anggaran, tahap keyakinan(kebolehpercayaan), selang keyakinan. Pembinaan selang keyakinan untuk menganggar jangkaan matematik bagi taburan normal dengan varians yang diketahui dan tidak diketahui. Selang keyakinan untuk menganggar sisihan piawai bagi taburan normal.
Apabila mengambil sampel sejumlah kecil anggaran mata mungkin berbeza dengan ketara daripada parameter anggaran, yang membawa kepada kesilapan. Oleh itu, dalam kes ini lebih baik digunakan anggaran selang , iaitu, menunjukkan selang di mana nilai sebenar parameter anggaran jatuh dengan kebarangkalian tertentu. Sudah tentu, lebih pendek panjang selang ini, lebih tepat anggaran parameter. Oleh itu, jika anggaran Θ* beberapa parameter Θ memenuhi ketaksamaan | Θ* - Θ | 0 mencirikan ketepatan anggaran(lebih kecil δ, lebih tepat anggarannya). Tetapi kaedah statistik benarkan kami hanya mengatakan bahawa ketidaksamaan ini berpuas hati dengan beberapa kebarangkalian.

Definisi 18.1.Kebolehpercayaan (kebarangkalian keyakinan) anggaran Θ* parameter Θ ialah kebarangkalian γ bahawa ketaksamaan | Θ* - Θ |
hlm (Θ* - δ
Oleh itu, γ ialah kebarangkalian bahawa Θ jatuh dalam selang (Θ* - δ, Θ* + δ).

Definisi 18.2.Dipercayai ialah selang di mana parameter yang tidak diketahui jatuh dengan kebolehpercayaan yang diberikan γ.
Pembinaan selang keyakinan.
1. Selang keyakinan untuk menganggar jangkaan matematik bagi taburan normal dengan varians yang diketahui.

Biarkan pembolehubah rawak yang dikaji X diedarkan mengikut hukum biasa dengan min kuasa dua σ yang diketahui, dan ia diperlukan untuk menganggar jangkaan matematiknya dengan nilai min sampel A. Kami akan menganggap min sampel sebagai pembolehubah rawak dan nilai varian sampel X 1 , X 2 ,…, X P sebagai pembolehubah rawak bebas teragih sama X 1 , X 2 ,…, X P, setiap satunya mempunyai jangkaan matematik A dan sisihan piawai σ. Di mana M() = A,
(kami menggunakan sifat jangkaan matematik dan varians jumlah pembolehubah rawak bebas). Mari kita anggarkan kebarangkalian pemenuhan ketidaksamaan
. Kami menggunakan formula untuk kebarangkalian pembolehubah rawak teragih normal jatuh ke dalam selang tertentu:

R (
) = 2Ф
. Kemudian, mengambil kira hakikat bahawa R() = 2Ф
=

2Ф( t), Di mana
. Dari sini
, dan kesamaan sebelumnya boleh ditulis semula sebagai:

. (18.1)

Jadi, nilai jangkaan matematik A dengan kebarangkalian (kebolehpercayaan) γ jatuh ke dalam selang
, di mana nilai t ditentukan daripada jadual untuk fungsi Laplace supaya kesamaan 2Ф( t) = γ.
Contoh. Cari selang keyakinan untuk jangkaan matematik bagi pembolehubah rawak taburan normal jika saiz sampel P = 49,
σ = 1.4, dan tahap keyakinan γ = 0.9.

Mari kita tentukan t, di mana F( t) = 0,9:2 = 0,45: t= 1.645. Kemudian

, atau 2.471 a a dengan kebolehpercayaan 0.9.
2. Selang keyakinan untuk menganggar jangkaan matematik bagi taburan normal dengan varians yang tidak diketahui.

Jika diketahui bahawa pembolehubah rawak yang dikaji X diedarkan mengikut undang-undang biasa dengan sisihan piawai yang tidak diketahui, kemudian untuk carian selang keyakinan untuk jangkaan matematiknya, kami membina pembolehubah rawak baharu

, (18.2)

di mana - min sampel, s ialah varians yang diperbetulkan, P ialah saiz sampel. Pembolehubah rawak ini, nilai yang mungkin akan dilambangkan t, mempunyai pengedaran Pelajar (lihat Kuliah 12) dengan k = n– 1 darjah kebebasan.

Sejak kepadatan taburan Pelajar
, Di mana
, tidak bergantung secara eksplisit pada A dan σ, anda boleh menetapkan kebarangkalian ia jatuh ke dalam selang waktu tertentu (- t γ , t γ ), dengan mengambil kira kesamaan ketumpatan pengedaran, seperti berikut:
. Dari sini kita dapat:

(18.3)

Oleh itu, selang keyakinan untuk A, Di mana t γ boleh didapati dalam jadual yang sepadan untuk diberikan P dan g.

Contoh. Biarkan saiz sampel P = 25, = 3, s= 1.5. Cari selang keyakinan untuk A pada γ = 0.99. Dari jadual kita dapati bahawa t γ (P= 25, γ = 0.99) = 2.797. Kemudian
, atau 2.161a dengan kebarangkalian 0.99.
3. Selang keyakinan untuk menganggar sisihan piawai taburan normal.

Untuk sisihan piawai pembolehubah rawak taburan normal, kita akan mencari selang keyakinan bagi bentuk ( s – δ, s +δ ), Di mana s ialah sisihan piawai sampel yang diperbetulkan, dan untuk δ keadaan berikut dipenuhi: hlm (|σ – s|
Kami menulis ketidaksamaan ini dalam bentuk:
atau, menandakan
,

Pertimbangkan pembolehubah rawak χ yang ditakrifkan oleh formula

,

yang diagihkan mengikut hukum khi kuasa dua dengan P-1 darjah kebebasan (lihat kuliah 12). Ketumpatan taburannya

tidak bergantung pada anggaran parameter σ, tetapi hanya bergantung pada saiz sampel P. Mari kita ubah ketaksamaan (18.4) supaya ia mengambil bentuk χ 1 Kita andaikan bahawa q

,

atau, selepas darab dengan
,
. Oleh itu,
. Kemudian
Terdapat jadual untuk taburan khi kuasa dua yang boleh didapati q mengikut yang diberikan P dan γ tanpa menyelesaikan persamaan ini. Oleh itu, setelah mengira daripada sampel nilainya s dan menentukan daripada jadual nilai q, seseorang boleh mencari selang keyakinan (18.4) di mana nilai σ jatuh dengan kebarangkalian γ yang diberikan.
Komen. Jika q> 1, maka, dengan mengambil kira keadaan σ > 0, selang keyakinan untuk σ akan mempunyai sempadan

. (18.5)

biarlah P = 20, s= 1.3. Mari kita cari selang keyakinan untuk σ untuk kebolehpercayaan yang diberi γ = 0.95. Daripada jadual yang sepadan kita dapati q (n= 20, γ = 0.95) = 0.37. Oleh itu, sempadan selang keyakinan: 1.3(1-0.37) = 0.819 dan 1.3(1+0.37) = 1.781. Jadi 0.819

Kami melaksanakan bukti ini dalam dua peringkat. Mari kita mula-mula andaikan bahawa ada, dan ambil perhatian bahawa dalam kes ini D(Sn) dengan teorem serakan hasil tambah. Mengikut ketaksamaan Chebyshev, untuk sebarang t > 0

Untuk t > n, bahagian kiri adalah kurang daripada, dan nilai kedua cenderung kepada sifar. Ini melengkapkan bahagian pertama bukti.

Kami kini membuang syarat sekatan untuk kewujudan D(). Kes ini dikurangkan kepada yang sebelumnya dengan pemotongan.

Kami mentakrifkan dua set pembolehubah rawak baharu bergantung kepada seperti berikut:

U k =, V k =0, jika (2.2)

U k =0, V k = jika

Di sini k=1,… , n dan adalah tetap. Kemudian

untuk semua k.

Biarkan (f(j)) ialah taburan kebarangkalian pembolehubah rawak (sama untuk semua j). Kami telah mengandaikan bahawa = M() wujud, jadi jumlahnya

terhingga. Kemudian wujud

di mana penjumlahan dilakukan ke atas semua j yang mana. Ambil perhatian bahawa walaupun ia bergantung pada n, ia adalah sama untuk

U 1 , U 2, ..., U n . Selain itu, untuk dan, oleh itu, untuk sewenang-wenangnya > 0 dan semua n cukup besar

U k adalah saling bebas, dan dengan jumlah mereka U 1 +U 2 +…+U n anda boleh melakukan sama seperti dengan X k dalam kes varians terhingga, menggunakan ketaksamaan Chebyshev, kita mendapat sama dengan (2.1)

Oleh kerana (2.6), ini membayangkan bahawa

Oleh kerana siri (2.4) menumpu, jumlah terakhir cenderung kepada sifar apabila n bertambah. Oleh itu, untuk n yang cukup besar

dan oleh itu

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

Tetapi, dan daripada (2.9) dan (2.12) kita perolehi

Memandangkan mereka sewenang-wenangnya bahagian kanan boleh dibuat sewenang-wenangnya kecil, yang melengkapkan bukti.

Teori permainan "tidak berbahaya".

Dalam analisis lanjut tentang intipati undang-undang bilangan besar, kami akan menggunakan istilah tradisional pemain, walaupun pertimbangan kami membenarkan sama-sama dan aplikasi yang lebih serius, dan dua andaian asas kami adalah lebih nyata dalam statistik dan fizik berbanding dalam perjudian. Pertama, andaikan pemain mempunyai modal tanpa had, jadi tiada kerugian boleh menyebabkan permainan berakhir. (Meninggalkan andaian ini membawa kepada masalah kehancuran pemain, yang sentiasa menarik minat pelajar tentang kebarangkalian.) Kedua, anggap bahawa pemain tidak mempunyai hak untuk mengganggu permainan mengikut kehendaknya: bilangan n percubaan mesti ditetapkan terlebih dahulu dan tidak boleh bergantung pada permainan bergerak. Jika tidak, pemain, gembira dengan modal tanpa had, akan menunggu beberapa siri kejayaan dan akan menghentikan permainan pada masa yang tepat. Pemain sedemikian tidak berminat dengan turun naik yang berkemungkinan pada masa tertentu, tetapi dalam turun naik maksimum dalam siri permainan yang panjang, yang lebih diterangkan oleh undang-undang logaritma berulang daripada oleh undang-undang nombor besar.

Kami memperkenalkan pembolehubah rawak k sebagai ganjaran (positif atau negatif) untuk ulangan ke-k permainan. Kemudian jumlah S n = 1 +…+ k ialah jumlah bayaran untuk n ulangan permainan. Jika sebelum setiap ulangan pemain membayar yuran (tidak semestinya positif) untuk hak untuk mengambil bahagian dalam permainan, maka n ialah jumlah yuran yang dibayar olehnya, dan S n ialah n jumlah kemenangan bersih. Hukum nombor besar terpakai jika p=M(k) wujud. Secara kasarnya, untuk n besar adalah agak munasabah bahawa perbezaan S n -- akan kelihatan kecil berbanding n. Oleh itu, jika kurang daripada p, maka untuk n besar pemain mungkin akan mempunyai susunan magnitud bayaran. Atas sebab yang sama, sumbangan hampir pasti mengakibatkan kerugian. Pendek kata, peluang adalah baik untuk pemain dan peluang adalah buruk.

Harap maklum bahawa kami belum memberitahu apa-apa tentang kes itu. Dalam kes ini, satu-satunya kesimpulan yang mungkin ialah, untuk cukup besar, jumlah keuntungan atau kerugian S n -- n berkemungkinan besar kecil berbanding n. Tetapi tidak diketahui sama ada S n -- n adalah positif atau negatif , iaitu, sama ada permainan itu akan menguntungkan atau merosakkan. Ini belum diambil kira teori klasik, yang memanggil harga tidak berbahaya, dan permainan dengan "tidak berbahaya". Anda perlu memahami bahawa permainan "tidak berbahaya" sebenarnya boleh menguntungkan dan merosakkan.

Jelas bahawa dalam kes biasa» wujud bukan sahaja M(k), tetapi juga D(k). Dalam kes ini, undang-undang nombor besar ditambah dengan teorem had pusat, dan yang terakhir mengatakan, agak munasabah, bahawa dalam permainan "tidak berbahaya", hasil bersih hasil daripada permainan panjang S n -- n akan daripada susunan n 1/2 dan yang cukup besar n bayaran ini akan menjadi positif atau negatif dengan peluang yang lebih kurang sama. Oleh itu, jika teorem had pusat boleh digunakan, maka istilah permainan "tidak berbahaya" ternyata dibenarkan, walaupun dalam kes ini kita berhadapan dengan teorem had, yang ditekankan oleh kata-kata "sebagai hasil daripada permainan yang panjang. ." Analisis yang teliti menunjukkan bahawa penumpuan dalam (1.3) bertambah buruk apabila varians meningkat. Jika besar, maka anggaran biasa akan berkesan hanya untuk n yang sangat besar.

Untuk kepastian, mari kita bayangkan mesin di mana, dengan menurunkan ruble, pemain boleh memenangi (10 - 1) rubel dengan kebarangkalian 10, dan dalam kes lain dia kehilangan ruble yang diturunkan. Di sini kami mempunyai percubaan Bernoulli dan permainan ini "tidak berbahaya". Setelah melakukan satu juta ujian, pemain akan membayar satu juta rubel untuknya. Pada masa ini, dia boleh menang 0, 1,2,... kali. Mengikut anggaran Poisson untuk taburan binomial, sehingga beberapa tempat perpuluhan, kebarangkalian menang tepat k kali adalah sama dengan e -1 /k!. Oleh itu, dengan kebarangkalian 0.368 . . . pemain akan kehilangan satu juta, dan dengan kebarangkalian yang sama dia hanya akan membayar balik perbelanjaannya; dia mempunyai kebarangkalian 0.184... untuk memperoleh tepat satu juta, dan seterusnya. Di sini, 10 6 percubaan adalah bersamaan dengan satu percubaan dalam permainan bayaran Poisson.

Jelas sekali, adalah sia-sia untuk menggunakan undang-undang bilangan besar dalam situasi sedemikian. Skim ini termasuk insurans terhadap kebakaran, kemalangan kereta, dll. Sejumlah besar berisiko, tetapi kebarangkalian yang sepadan adalah sangat kecil. Walau bagaimanapun, biasanya terdapat hanya satu percubaan setiap tahun, supaya bilangan n percubaan tidak pernah menjadi besar. Bagi yang diinsuranskan, permainan ini tidak semestinya "tidak berbahaya", walaupun ia mungkin agak menguntungkan dari segi ekonomi. Hukum bilangan besar tiada kaitan dengannya. Bagi syarikat insurans, ia berurusan dengan sejumlah besar permainan, tetapi disebabkan oleh varians yang besar, turun naik rawak masih muncul. Premium insurans harus ditetapkan untuk mengelakkan kerugian besar dalam tahun individu, dan oleh itu syarikat berminat lebih kepada tugas tentang kehancuran daripada hukum bilangan besar.

Apabila varians adalah tidak terhingga, istilah permainan "tidak berbahaya" menjadi tidak bermakna; tiada sebab untuk mempercayai bahawa jumlah keuntungan bersih S n -- n turun naik sekitar sifar. sungguh. terdapat contoh permainan "tidak berbahaya" di mana kebarangkalian bahawa pemain akan mengalami kerugian bersih akibatnya cenderung kepada satu. Undang-undang nombor besar hanya menyatakan bahawa kerugian ini akan lebih kecil daripada magnitud n. Walau bagaimanapun, tiada apa lagi yang boleh dikatakan. Jika a n membentuk urutan arbitrari, dan a n / n0 maka anda boleh mengatur permainan "tidak berbahaya" di mana kebarangkalian bahawa jumlah kerugian bersih akibat daripada n ulangan permainan melebihi a n cenderung kepada satu.