Hukum nombor besar dan teorem had. Hukum Nombor Besar

Jika fenomena kelestarian sederhana berlaku dalam realiti, maka model matematik, dengan bantuan yang mana kita mengkaji fenomena rawak, mesti ada teorem yang mencerminkan fakta ini.
Di bawah syarat teorem ini, kami memperkenalkan sekatan ke atas pembolehubah rawak X 1 , X 2 , …, X n:

a) setiap pembolehubah rawak Х i mempunyai jangkaan matematik

M(Х i) = a;

b) varians bagi setiap pembolehubah rawak adalah terhingga, atau kita boleh mengatakan bahawa varians disempadani dari atas dengan nombor yang sama, contohnya DARI, iaitu

D(Х i) < C, i = 1, 2, …, n;

c) pembolehubah rawak adalah bebas berpasangan, iaitu mana-mana dua X i dan Xj di i¹ j bebas.

Kemudian jelas

D(X 1 + X 2 + … + X n)=D(X 1) + D(X 2) + ... + D(X n).

Mari kita rumuskan undang-undang nombor besar dalam bentuk Chebyshev.

Teorem Chebyshev: dengan peningkatan yang tidak terhad dalam bilangan n ujian bebas" min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak menumpu dalam kebarangkalian kepada jangkaan matematiknya ”, iaitu untuk sebarang positif ε

R(| –a| < ε ) = 1. (4.1.1)

Maksud ungkapan "min aritmetik = menumpu dalam kebarangkalian kepada a" adakah itu kebarangkalian itu akan berbeza sewenang-wenangnya sedikit daripada a, menghampiri 1 selama-lamanya sebagai nombor n.

Bukti. Untuk nombor terhingga n ujian bebas, kami menggunakan ketaksamaan Chebyshev untuk pembolehubah rawak = :

R(|–M()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

Dengan mengambil kira sekatan a - b, kami mengira M( ) dan D( ):

M( ) = = = = = = a;

D( ) = = = = = = .

Menggantikan M( ) dan D( ) ke dalam ketaksamaan (4.1.2), kita perolehi

R(| –a| < ε )≥1 – .

Jika dalam ketaksamaan (4.1.2) kita ambil sewenang-wenangnya kecil ε >0dan n® ¥, maka kita dapat

= 1,

yang membuktikan teorem Chebyshev.

Kesimpulan praktikal penting berikut dari teorem yang dipertimbangkan: nilai yang tidak diketahui jangkaan matematik pembolehubah rawak kita mempunyai hak untuk menggantikan purata nilai aritmetik diperoleh daripada bilangan eksperimen yang cukup besar. Dalam kes ini, lebih banyak percubaan untuk dikira, lebih besar kemungkinan (boleh dipercayai) boleh dijangka bahawa ralat yang dikaitkan dengan penggantian ini ( - a) tidak akan melebihi nilai yang diberikan ε .

Di samping itu, masalah praktikal lain boleh diselesaikan. Contohnya, mengikut nilai kebarangkalian (kebolehpercayaan) R=R(| – a|< ε ) dan ralat maksimum yang dibenarkan ε tentukan bilangan eksperimen yang diperlukan n; pada R dan P tentukan ε; pada ε dan P menentukan kebarangkalian sesuatu kejadian | – a |< ε.

kes istimewa. Biar pada n percubaan diperhatikan n nilai pembolehubah rawak x, mempunyai jangkaan matematik M(X) dan serakan D(X). Nilai yang diperoleh boleh dianggap sebagai pembolehubah rawak X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,X n,. Ia harus difahami seperti berikut: satu siri P ujian dijalankan berulang kali, jadi sebagai hasilnya i ujian ke, i= l, 2, 3, ..., P, dalam setiap siri ujian satu atau satu lagi nilai pembolehubah rawak akan muncul X, tidak diketahui terlebih dahulu. Akibatnya, i-e nilai x i pembolehubah rawak diperoleh dalam i ujian ke-, berubah secara rawak jika anda berpindah dari satu siri ujian ke yang lain. Jadi setiap nilai x i boleh dianggap rawak X i .

Andaikan bahawa ujian memenuhi keperluan berikut:

1. Ujian adalah bebas. Ini bermakna bahawa keputusan X 1 , X 2 ,
X 3 , ..., X n ujian adalah pembolehubah rawak bebas.

2. Ujian dijalankan di bawah keadaan yang sama - ini bermakna, dari sudut pandangan teori kebarangkalian, bahawa setiap pembolehubah rawak X 1 ,X 2 ,X 3 , ... ,X n mempunyai hukum pengagihan yang sama dengan nilai asal X, sebab tu M(X i) = M(X)dan D(X i) = D(X), i = 1, 2, .... P.

Memandangkan syarat di atas, kita dapat

R(| –a| < ε )≥1 – . (4.1.3)

Contoh 4.1.1. X adalah sama dengan 4. Berapakah bilangan eksperimen bebas yang diperlukan supaya dengan kebarangkalian sekurang-kurangnya 0.9 boleh dijangkakan bahawa min aritmetik pembolehubah rawak ini akan berbeza daripada jangkaan matematik kurang daripada 0.5?

Penyelesaian.Mengikut keadaan masalah ε = 0,5; R(| – a|< 0,5) ≥ 0.9. Menggunakan formula (4.1.3) untuk pembolehubah rawak X, kita mendapatkan

P(|–M(X)| < ε ) ≥ 1 – .

Daripada perhubungan

1 – = 0,9

tentukan

P= = = 160.

Jawab: diperlukan untuk membuat 160 eksperimen bebas.

Dengan mengandaikan bahawa aritmetik min diedarkan secara normal, kita dapat:

R(| – a|< ε )= 2Φ () ≥ 0,9.

Dari mana, menggunakan jadual fungsi Laplace, kita dapat ≥
≥ 1.645, atau ≥ 6.58 i.e. n ≥49.

Contoh 4.1.2. Varians pembolehubah rawak X adalah sama dengan D( X) = 5. 100 eksperimen bebas telah dijalankan, mengikut mana . Daripada nilai jangkaan matematik yang tidak diketahui a diterima pakai . Tentukan jumlah maksimum ralat yang dibenarkan dalam kes ini dengan kebarangkalian sekurang-kurangnya 0.8.

Penyelesaian. Mengikut tugasan n= 100, R(| –a|< ε ) ≥0.8. Kami menggunakan formula (4.1.3)

R(| –a|< ε ) ≥1 – .

Daripada perhubungan

1 – = 0,8

tentukan ε :

ε 2 = = = 0,25.

Akibatnya, ε = 0,5.

Jawab: nilai ralat maksimum ε = 0,5.

4.2. Hukum nombor besar dalam bentuk Bernoulli

Walaupun konsep kebarangkalian adalah asas bagi sebarang inferens statistik, kita hanya boleh dalam beberapa kes menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa secara langsung. Kadangkala kebarangkalian ini boleh diwujudkan daripada pertimbangan simetri, peluang sama rata, dsb., tetapi tidak ada kaedah universal yang membenarkan seseorang menunjukkan kebarangkaliannya untuk peristiwa sewenang-wenangnya. Teorem Bernoulli memungkinkan untuk menganggarkan kebarangkalian jika untuk peristiwa yang menarik minat kita TAPI ujian bebas berulang boleh dijalankan. Biar dihasilkan P ujian bebas, di mana setiap satu kebarangkalian berlakunya sesuatu peristiwa TAPI tetap dan sama R.

Teorem Bernoulli. Dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan percubaan bebas P kekerapan relatif kejadian sesuatu peristiwa TAPI menumpu dalam kebarangkalian kepada kebarangkalian hlm berlakunya sesuatu peristiwa TAPI,t. e.

P(½ - hlm½≤ ε) = 1, (4.2.1)

di mana ε ialah nombor positif yang kecil sewenang-wenangnya.

Untuk perlawanan akhir n dengan syarat itu , ketaksamaan Chebyshev untuk pembolehubah rawak akan mempunyai bentuk:

P(| –p|< ε ) ≥ 1 – .(4.2.2)

Bukti. Kami menggunakan teorem Chebyshev. biarlah X i– bilangan kejadian peristiwa TAPI dalam i ujian ke, i= 1, 2, . . . , n. Setiap kuantiti X i hanya boleh mengambil dua nilai:

X i= 1 (peristiwa TAPI berlaku) dengan kebarangkalian hlm,

X i= 0 (acara TAPI tidak berlaku) dengan kebarangkalian q= 1–hlm.

biarlah Y n= . Jumlah X 1 + X 2 + … + X n adalah sama dengan nombor m kejadian kejadian TAPI dalam n ujian (0 m n), yang bermaksud Y n= – kekerapan relatif kejadian kejadian TAPI dalam n ujian. Jangkaan dan varians matematik X i adalah sama masing-masing:

M( ) = 1∙hlm + 0∙q = hlm,

Teori kebarangkalian mengkaji keteraturan yang wujud dalam fenomena rawak jisim. Seperti mana-mana sains lain, teori kebarangkalian direka untuk meramalkan setepat mungkin hasil daripada fenomena atau eksperimen tertentu. Jika fenomena itu bersifat tunggal, maka teori kebarangkalian hanya mampu meramalkan kebarangkalian hasil dalam julat yang sangat luas. Corak muncul hanya apabila bilangan yang besar fenomena rawak yang berlaku dalam keadaan homogen.

Kumpulan teorem yang mewujudkan korespondensi antara ciri teori dan eksperimen pembolehubah rawak dan peristiwa rawak dengan sejumlah besar ujian ke atasnya, serta mengenai undang-undang pengedaran had, digabungkan di bawah nama umum had teorem teori kebarangkalian.

Terdapat dua jenis teorem had: hukum nombor besar dan teorem had pusat.

Hukum Nombor Besar, yang menduduki tempat penting dalam teori kebarangkalian, adalah perkaitan antara teori kebarangkalian sebagai sains matematik dan undang-undang fenomena rawak semasa pemerhatian jisim terhadapnya.

Undang-undang memainkan peranan yang sangat penting dalam aplikasi praktikal teori kebarangkalian kepada fenomena semula jadi dan proses teknikal yang berkaitan dengan pengeluaran besar-besaran.

Undang-undang pengedaran had adalah subjek kumpulan teorem - bentuk kuantitatif hukum nombor besar. Itu. undang-undang nombor besar adalah satu siri teorem, yang masing-masing menetapkan fakta bahawa ciri-ciri purata sebilangan besar percubaan menghampiri pemalar tertentu, i.e. mewujudkan fakta penumpuan dalam kebarangkalian beberapa pembolehubah rawak kepada pemalar. Ini adalah teorem Bernoulli, Poisson, Lyapunov, Markov, Chebyshev.

1. a) Teorem Bernoulli - hukum nombor besar ( telah dirumuskan dan dibuktikan lebih awal dalam bahagian 3 § 6 apabila mempertimbangkan teorem kamiran had bagi Moivre-Laplace.)

Dengan pertambahan tanpa had dalam bilangan eksperimen bebas homogen, kekerapan sesuatu peristiwa akan sewenang-wenangnya berbeza sedikit daripada kebarangkalian kejadian dalam eksperimen berasingan. Jika tidak, kebarangkalian bahawa sisihan dalam kekerapan relatif peristiwa TAPI daripada kebarangkalian yang berterusan R perkembangan TAPI sangat sedikit kerana cenderung kepada 1 untuk mana-mana: .

b) Teorem Chebyshev.

Dengan peningkatan yang tidak terhad dalam bilangan percubaan bebas, min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan bagi pembolehubah rawak dengan varians terhingga menumpu dalam kebarangkalian kepada jangkaan matematiknya; sebaliknya, jika pembolehubah rawak teragih identik bebas dengan jangkaan matematik dan varians terhad , maka untuk mana-mana ia adalah benar: .

Teorem Chebyshev (umum). Jika pembolehubah rawak dalam jujukan adalah bebas berpasangan dan variansnya memenuhi syarat , maka bagi mana-mana positif ε > 0 pernyataan itu adalah benar:

atau apa yang sama .

c) Teorem Markov. (hukum nombor besar dalam rumusan umum)

Jika varians pembolehubah rawak arbitrari dalam jujukan memenuhi syarat: , maka untuk sebarang ε > 0 positif pernyataan teorem Chebyshev memegang: .

d) Teorem Poisson.

Dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan eksperimen bebas dalam keadaan berubah-ubah kekerapan acara TAPI menumpu dalam kebarangkalian kepada min aritmetik bagi kebarangkaliannya di bawah ujian ini.

Komen. Dalam mana-mana bentuk undang-undang nombor besar kita tidak berurusan dengan undang-undang taburan pembolehubah rawak. Soalan yang berkaitan dengan mencari hukum pengagihan had bagi jumlah apabila bilangan sebutan bertambah tanpa had dipertimbangkan oleh teorem had pusat. diagihkan sama rata, kemudian kami tiba di teorem kamiran Moivre-Laplace (klausa 3 § 6), iaitu yang paling mudah kes istimewa teorem had pusat.

Pada permulaan kursus, kami sudah bercakap tentang hakikat itu undang-undang matematik teori kebarangkalian diperoleh dengan mengabstrakkan ketetapan statistik sebenar yang wujud dalam fenomena rawak jisim. Kehadiran corak ini dikaitkan dengan tepat dengan sifat jisim fenomena, iaitu, dengan sejumlah besar eksperimen homogen yang dilakukan atau dengan sejumlah besar kesan rawak yang menghasilkan dalam keseluruhannya pembolehubah rawak tertakluk kepada undang-undang yang jelas. Sifat kestabilan fenomena rawak jisim telah diketahui oleh manusia sejak zaman purba. Di mana-mana kawasan ia memanifestasikan dirinya, intipatinya berpunca kepada perkara berikut: ciri khusus setiap fenomena rawak individu hampir tidak mempunyai kesan ke atas hasil purata jisim dan fenomena sedemikian; sisihan rawak daripada min, tidak dapat dielakkan dalam setiap fenomena berasingan, dalam jisim saling dibatalkan, diratakan, diselaraskan. Kestabilan purata inilah yang merupakan kandungan fizikal "undang-undang nombor besar", difahami dalam erti kata yang luas: dengan bilangan fenomena rawak yang sangat besar, hasil purata mereka secara praktikal tidak lagi rawak dan boleh diramalkan. dengan tahap kepastian yang tinggi.

Dalam erti kata yang sempit, "hukum nombor besar" dalam teori kebarangkalian difahami sebagai beberapa teorem matematik, di mana setiap satunya, untuk keadaan tertentu, fakta penghampiran ciri purata sebilangan besar eksperimen. kepada beberapa pemalar tertentu ditubuhkan.

Dalam 2.3 kita telah merumuskan teorem yang paling mudah ini, teorem J. Bernoulli. Dia mendakwa bahawa dengan sejumlah besar eksperimen, kekerapan sesuatu peristiwa menghampiri (lebih tepat, menumpu dalam kebarangkalian) kepada kebarangkalian peristiwa ini. Dengan orang lain, lebih bentuk am Hukum bilangan besar akan diperkenalkan dalam bab ini. Kesemuanya mewujudkan fakta dan syarat untuk penumpuan dalam kebarangkalian pembolehubah rawak tertentu kepada pembolehubah malar, bukan rawak.

Hukum nombor besar memainkan peranan penting dalam aplikasi praktikal teori kebarangkalian. Sifat pembolehubah rawak di bawah keadaan tertentu untuk berkelakuan secara praktikal sebagai bukan rawak membolehkan kita beroperasi dengan yakin dengan kuantiti ini, untuk meramalkan keputusan fenomena rawak jisim dengan kepastian yang hampir lengkap.

Kemungkinan ramalan sedemikian dalam bidang fenomena rawak jisim diperluaskan lagi dengan kehadiran kumpulan lain teorem had, yang tidak lagi menyangkut nilai had pembolehubah rawak, tetapi mengehadkan undang-undang pengedaran. Ia mengenai pada kumpulan teorem yang dikenali sebagai "teorem had pusat". Kami telah mengatakan bahawa apabila menjumlahkan bilangan pembolehubah rawak yang cukup besar, hukum taburan jumlah itu menghampiri yang normal selama-lamanya, dengan syarat syarat tertentu dipenuhi. Syarat-syarat ini, yang boleh dirumuskan secara matematik dalam pelbagai cara - dalam bentuk yang lebih kurang umum - pada dasarnya bermuara kepada keperluan bahawa pengaruh ke atas jumlah istilah individu adalah kecil secara seragam, iaitu, jumlah itu tidak harus termasuk istilah yang jelas. mengatasi set selebihnya dengan pengaruh mereka ke atas penyebaran jumlah. Pelbagai bentuk teorem had pusat berbeza antara satu sama lain dalam keadaan yang sifat had jumlah pembolehubah rawak ini ditubuhkan.

Pelbagai bentuk hukum bilangan besar beserta pelbagai bentuk teorem had pusat membentuk satu set teorem had yang dipanggil teori kebarangkalian. Teorem had membolehkan bukan sahaja membuat ramalan saintifik dalam bidang fenomena rawak, tetapi juga untuk menilai ketepatan ramalan ini.

Dalam bab ini, kami akan mempertimbangkan hanya sebahagian daripada yang paling bentuk yang ringkas had teorem. Pertama, teorem yang berkaitan dengan kumpulan "hukum nombor besar" akan dipertimbangkan, kemudian - teorem yang berkaitan dengan kumpulan "teorem had pusat".

Adalah wajar untuk perlu mengukur pernyataan bahawa dalam siri ujian "besar" kekerapan kejadian sesuatu peristiwa adalah "hampir" dengan kebarangkaliannya. Kehalusan tertentu tugas ini mesti difahami dengan jelas. Dalam kes yang paling tipikal untuk teori kebarangkalian, keadaan adalah sedemikian rupa sehingga dalam siri ujian yang panjang sewenang-wenangnya, kedua-duanya kekal secara teorinya mungkin. nilai yang melampau frekuensi

\frac(\mu)(n)=\frac(n)(n)=1 dan \frac(\mu)(n)=\frac(0)(n)=0

Oleh itu, walau apa pun bilangan percubaan n, adalah mustahil untuk menegaskan dengan pasti sepenuhnya bahawa, katakan, ketidaksamaan

<\frac{1}{10}

Sebagai contoh, jika acara A terdiri daripada membaling enam apabila membaling dadu, maka selepas n membaling dengan kebarangkalian (\kiri(\frac(1)(6)\kanan)\^n>0 !} kita akan sentiasa mendapat enam sahaja, iaitu dengan kebarangkalian (\kiri(\frac(1)(6)\kanan)\^n !} kita mendapat kekerapan penampilan enam, sama dengan satu, dan dengan kebarangkalian (\kiri(1-\frac(1)(6)\kanan)\^n>0 !} enam tidak jatuh walaupun sekali, iaitu kekerapan penampilan enam akan sama dengan sifar.

Dalam semua masalah sedemikian, sebarang anggaran bukan remeh tentang kedekatan antara kekerapan dan kebarangkalian tidak beroperasi dengan pasti sepenuhnya, tetapi hanya dengan beberapa kebarangkalian kurang daripada perpaduan. Ia boleh dibuktikan, sebagai contoh, dalam kes percubaan bebas dengan kebarangkalian malar p kejadian sesuatu kejadian, ketaksamaan

\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02

untuk frekuensi \frac(\mu)(n) akan dilaksanakan pada n=10\,000 (dan sebarang p ) dengan kebarangkalian

P>0,\!9999.

Di sini, pertama sekali kami ingin menekankan bahawa dalam rumusan di atas, anggaran kuantitatif kehampiran frekuensi \frac(\mu)(n) dengan kebarangkalian p dikaitkan dengan pengenalan kebarangkalian baru P .

Maksud sebenar anggaran (8) adalah seperti berikut: jika kita membuat N siri n ujian dan mengira bilangan M siri di mana ketaksamaan (7) dipenuhi, maka untuk N yang cukup besar, lebih kurang

\frac(M)(N)\lebih kurang P>0,\!9999.

Tetapi jika kita ingin memperhalusi hubungan (9) kedua-duanya dari segi darjah kedekatan \frac(M)(N) dengan kebarangkalian P , dan dari segi kebolehpercayaan yang boleh dihujahkan bahawa kedekatan sedemikian akan berlaku, maka kita perlu beralih kepada pertimbangan topik yang serupa, yang telah kami gunakan pada kehampiran \frac(\mu)(n) dan p . Jika dikehendaki, penaakulan sedemikian boleh diulang tanpa had kali, tetapi agak jelas bahawa ini tidak akan membenarkan kita sepenuhnya membebaskan diri kita daripada keperluan untuk beralih pada peringkat terakhir kepada kebarangkalian dalam pengertian kasar primitif istilah ini.

Ia tidak boleh dianggap bahawa kesukaran tersebut adalah beberapa ciri teori kebarangkalian. Dalam kajian matematik fenomena sebenar, kami sentiasa menskemakannya. Penyimpangan perjalanan fenomena sebenar daripada skema teori boleh, seterusnya, tertakluk kepada kajian matematik. Tetapi untuk ini, penyelewengan ini sendiri mesti dimasukkan ke dalam beberapa skema dan yang terakhir ini harus digunakan tanpa formal analisis matematik penyelewengan daripadanya.

Perhatikan, bagaimanapun, bahawa apabila aplikasi sebenar anggaran

P\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02\right\}>0,\!9999.

untuk satu siri n ujian, kami juga bergantung pada beberapa pertimbangan simetri: ketaksamaan (10) menunjukkan bahawa untuk bilangan N siri yang sangat besar, hubungan (7) akan dipenuhi dalam sekurang-kurangnya 99.99% kes; adalah wajar untuk mengharapkan dengan pasti bahawa, khususnya, ketidaksamaan (7) akan direalisasikan dalam siri n percubaan tertentu yang menarik minat kita, jika kita mempunyai sebab untuk mempercayai bahawa siri ini menduduki kedudukan biasa, tidak bertanda dalam sesuatu nombor. daripada siri lain.

Kebarangkalian yang biasanya diabaikan dalam pelbagai peruntukan praktikal, adalah berbeza. Telah dinyatakan di atas bahawa dalam pengiraan tentatif penggunaan cengkerang, yang menjamin pemenuhan tugas, mereka berpuas hati dengan kadar penggunaan cengkerang, di mana tugas itu diselesaikan dengan kebarangkalian 0.95, iaitu, mereka abaikan kebarangkalian yang tidak melebihi 0.05. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa peralihan kepada pengiraan meneruskan daripada mengabaikan, katakan, hanya kebarangkalian kurang daripada 0.01, akan membawa kepada peningkatan besar dalam kadar penggunaan peluru, iaitu, dalam hampir banyak kes, kepada kesimpulan bahawa ia adalah mustahil untuk menyelesaikan tugasan yang ditetapkan dalam tempoh singkat yang tersedia untuk ini, atau dengan bekalan sebenar cengkerang yang boleh digunakan.

Kadang-kadang, walaupun dalam penyelidikan saintifik, mereka terhad kepada kaedah statistik yang dikira berdasarkan kebarangkalian mengabaikan 0.05. Tetapi ini harus dilakukan hanya dalam kes di mana mengumpul bahan yang lebih luas adalah sangat sukar. Pertimbangkan masalah berikut sebagai contoh kaedah sedemikian. Mari kita anggap bahawa dalam keadaan tertentu, ubat yang biasa digunakan untuk rawatan penyakit memberikan hasil positif dalam 50%, iaitu dengan kebarangkalian 0.5. Satu ubat baru dicadangkan dan, untuk menguji kelebihannya berbanding ubat lama, ia dirancang untuk menggunakannya dalam sepuluh kes, dipilih secara saksama daripada kalangan pesakit dalam kedudukan yang sama dengan mereka yang ubat lama didapati berkesan 50%. Pada masa yang sama, didapati bahawa kelebihan ubat baru akan dianggap terbukti jika ia memberikan keputusan positif dalam sekurang-kurangnya lapan daripada sepuluh kes. Adalah mudah untuk mengira bahawa keputusan sedemikian dikaitkan dengan mengabaikan kebarangkalian mendapat kesimpulan yang salah (iaitu, kesimpulan bahawa faedah ubat baru terbukti, sementara ia setara atau lebih teruk daripada ubat lama) hanya pesanan 0.05. Sesungguhnya, jika dalam setiap sepuluh percubaan kebarangkalian hasil positif adalah sama dengan p, maka kebarangkalian untuk mendapat 10.9 atau 8 hasil positif dalam sepuluh percubaan adalah sama, masing-masing.

P_(10)=p^(10),\qquad P_9=10p^9(1-p),\qquad P_8=45p^8(1-p)^2.

Kesimpulannya, untuk kes p=\frac(1)(2) kita dapat P=P_(10)+P_9+P_8=\frac(56)(1024)\approx0,\!05.

Oleh itu, dengan mengandaikan bahawa ubat baru itu sebenarnya betul-betul setara dengan ubat lama, kami berisiko tersilap membuat kesimpulan bahawa ubat baru itu lebih baik daripada ubat lama dengan kebarangkalian kira-kira 0.05. Untuk mengurangkan kebarangkalian ini kepada kira-kira 0.01, tanpa menambah bilangan percubaan n=10, seseorang perlu memastikan bahawa manfaat ubat baru akan dianggap terbukti hanya jika penggunaannya memberikan hasil yang positif dalam sekurang-kurangnya sembilan daripada sepuluh kes. . Jika keperluan ini kelihatan terlalu keras untuk penyokong ubat baharu itu, maka bilangan percubaan n perlu ditetapkan menjadi lebih besar daripada 10. Jika, sebagai contoh, pada n=100, didapati bahawa manfaat ubat baru dadah akan dianggap terbukti apabila \mu>65 , maka kebarangkalian ralat hanya akan P\approx0,\!0015 .

Jika norma adalah 0.05 untuk serius kajian saintifik jelas tidak mencukupi, maka kebarangkalian ralat 0.001 atau 0.003 sebahagian besarnya diabaikan walaupun dalam kajian akademik dan terperinci seperti pemprosesan pemerhatian astronomi. Walau bagaimanapun, kadangkala kesimpulan saintifik berdasarkan penggunaan undang-undang kebarangkalian juga mempunyai kebolehpercayaan yang lebih besar (iaitu, ia dibina atas pengabaian kebarangkalian yang jauh lebih rendah). Lebih banyak akan diberitahu tentang perkara ini kemudian.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, kami telah berulang kali menggunakan kes khas formula binomial (6)

P_m=C_n^mp^m(1-p)^(n-m)

untuk kebarangkalian P_m mendapat tepat m hasil positif bagi n ujian bebas, di mana setiap hasil positif mempunyai kebarangkalian p. Marilah kita menggunakan formula ini untuk mempertimbangkan soalan yang dikemukakan pada permulaan bahagian ini tentang kebarangkalian

<\varepsilon\right\},

dengan \mu ialah bilangan sebenar hasil positif. Jelas sekali, kebarangkalian ini boleh ditulis sebagai jumlah P_m yang m memenuhi ketaksamaan

\vline\,\frac(m)(n)-p\,\vline\,<\varepsilon,

iaitu dalam bentuk

P=\sum_(m=m_1)^(m_2)P_m,

di mana m_1 ialah nilai m terkecil yang memuaskan ketaksamaan (12), dan m_2 ialah yang terbesar daripada m tersebut.

Formula (13) untuk mana-mana n besar tidak banyak digunakan untuk pengiraan langsung. Oleh itu, penemuan oleh Moivre untuk kes p=\frac(1)(2) dan oleh Laplace, untuk sebarang p, formula asimptotik, yang menjadikannya sangat mudah untuk mencari dan mengkaji kelakuan kebarangkalian P_m untuk n besar , adalah sangat penting. Formula ini kelihatan seperti

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi np(1-p)))\exp\!\left[-\frac((m-np)^2)(2np(1-p)) \kanan].

Jika p tidak terlalu hampir dengan sifar atau satu, maka ia sudah cukup tepat untuk n daripada susunan 100. Jika kita meletakkan

T=\frac(m-np)(\sqrt(np(1-p))),

Kemudian formula (14) akan mengambil borang

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi np(1-p)))\,e^(-t^2/2).

Daripada (13) dan (16) kita boleh memperoleh perwakilan anggaran kebarangkalian (11)

P\sim\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(-T)^(T)e^(-t^2/2)\,dt=F(T),

di mana

T=\varepsilon\sqrt(\frac(n)(p(1-p)))

Perbezaan antara bahagian kiri dan kanan dalam (17) pada malar dan berbeza daripada sifar dan kesatuan cenderung kepada sifar pada n\to\infty secara seragam berkenaan dengan \varepsilon. Jadual terperinci telah disusun untuk fungsi F(T). Berikut adalah petikan ringkas daripada mereka

\begin(array)(c|c|c|c|c)T&1&2&3&4\\\hline F&0,\!68269&0,\!95450&0,\!99730&0,\!99993\end(array)

Pada T\to\infty nilai fungsi F(T) cenderung kepada kesatuan.

Mari kita gunakan formula (17) untuk menganggarkan kebarangkalian

P=\mathbf(P)\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,<0,\!02\right\}\approx F\!\left(\frac{2}{\sqrt{p(1-p)}}\right) di n=10\,000,~\varepsilon=0,\!02, kerana T=\frac(2)(\sqrt(p(1-p))).

Memandangkan fungsi F(T) meningkat secara monoton dengan peningkatan T , untuk anggaran tak bersandar p bagi P dari bawah, seseorang mesti mengambil nilai terkecil yang mungkin (untuk p berbeza ) bagi T . Nilai terkecil ini akan diperolehi dengan p=\frac(1)(2) , dan ia akan bersamaan dengan 4. Oleh itu, lebih kurang

P\geqslant F(4)=0,\!99993.

Ketaksamaan (19) tidak mengambil kira ralat disebabkan oleh sifat anggaran formula (17). Dengan menganggarkan ralat yang berkaitan dengan keadaan ini, seseorang boleh dalam apa jua keadaan menentukan bahawa P>0,\!9999 .

Sehubungan dengan contoh penggunaan formula (17) yang dipertimbangkan, perlu diperhatikan bahawa anggaran baki istilah formula (17), yang diberikan dalam kerja-kerja teori tentang teori kebarangkalian, kekal sedikit memuaskan untuk masa yang lama. Oleh itu, penggunaan formula (17) dan formula yang serupa untuk pengiraan untuk n yang tidak terlalu besar atau untuk kebarangkalian p yang sangat hampir dengan 0 atau 1 (dan kebarangkalian sedemikian dalam banyak kes adalah sangat penting) selalunya hanya berdasarkan pengalaman menyemak keputusan sedemikian. untuk bilangan contoh yang terhad, bukannya pada anggaran yang mantap kemungkinan ralat. Kajian yang lebih terperinci, lebih-lebih lagi, menunjukkan bahawa dalam banyak kes yang boleh dikatakan penting, formula asimptotik di atas bukan sahaja memerlukan anggaran baki istilah, tetapi juga penghalusan (kerana tanpa penghalusan sedemikian istilah baki terlalu besar). Dalam kedua-dua arah, keputusan yang paling lengkap adalah disebabkan oleh S. N. Bernshtein.

Hubungan (11), (17), dan (18) boleh ditulis semula sebagai

\mathbf(P)\!\left\(\,\vline\,\frac(\mu)(n)-p\,\vline\,

Untuk t yang cukup besar, bahagian kanan formula (20), yang tidak mengandungi n, adalah sewenang-wenangnya hampir kepada perpaduan, iaitu, kepada nilai kebarangkalian yang sepadan dengan kepastian penuh. Oleh itu, kita melihat bahawa sebagai peraturan, sisihan frekuensi \frac(\mu)(n) daripada kebarangkalian p adalah tertib \frac(1)(\sqrt(n)). Perkadaran seperti itu bagi ketepatan tindakan keteraturan kebarangkalian kepada punca kuasa dua bilangan cerapan adalah tipikal untuk banyak soalan lain juga. Kadang-kadang mereka juga bercakap, mengikut urutan popularisasi yang agak dipermudahkan, tentang "hukum punca kuasa dua n" sebagai undang-undang asas teori kebarangkalian. Idea ini mendapat kejelasan penuh terima kasih kepada pengenalan oleh ahli matematik Rusia yang hebat P. L. Chebyshev ke dalam penggunaan sistematik kaedah mengurangkan pelbagai masalah kebarangkalian kepada pengiraan "jangkaan matematik" dan "varians" untuk jumlah dan cara aritmetik "pembolehubah rawak".

Pembolehubah rawak ialah kuantiti yang dalam keadaan tertentu S boleh mengambil nilai yang berbeza dengan kebarangkalian tertentu. Memadai untuk kita mempertimbangkan pembolehubah rawak yang boleh mengambil hanya bilangan terhingga nilai berbeza. Untuk menunjukkan bagaimana mereka berkata taburan kebarangkalian pembolehubah rawak seperti \xi , ia memadai untuk menunjukkan nilai yang mungkin x_1,x_2,\ldots,x_r dan kebarangkalian

P_r=\mathbf(P)\(\xi=x_r\).

Ringkasnya, kebarangkalian ini ke atas semua nilai yang mungkin berbeza \xi sentiasa sama dengan satu:

\sum_(r=1)^(s)P_r=1.

Contoh pembolehubah rawak ialah bilangan \mu hasil positif yang dikaji di atas dalam n percubaan.

jangkaan matematik nilai \xi dipanggil ungkapan

M(\xi)=\sum_(r=1)^(s)P_rx_r,

a penyebaran kuantiti \xi merujuk kepada min sisihan kuasa dua \xi-M(\xi) , iaitu ungkapan

D(\xi)=\sum_(r=1)^(s)P_r(x_r-M(\xi))^2.

Punca kuasa dua varians

\sigma_(\xi)=\sqrt(D(\xi))=\sqrt(\sum_(r=1)^(s)P_r(x_r-M(\xi))^2)

dipanggil sisihan piawai(nilai daripada jangkaan matematiknya M(\xi) ).

Aplikasi paling mudah bagi varians dan sisihan piawai adalah berdasarkan yang terkenal Ketaksamaan Chebyshev

\mathbf(P)\(|\xi-M(\xi)|\leqslant t_(\sigma_(\xi))\)\geqslant1-\frac(1)(t^2),

Ia menunjukkan bahawa sisihan pembolehubah rawak \xi daripada jangkaan matematiknya M(\xi) , yang ketara melebihi sisihan piawai \sigma_(\xi) , adalah jarang berlaku.

Dalam pembentukan jumlah pembolehubah rawak \xi=\xi^((1))+ \xi^((2))+\cdots+\xi^((n)) untuk jangkaan matematik mereka, kesaksamaan sentiasa berlaku

M(\xi)=M(\xi^((1)))+M(\xi^((2)))+\cdots+M(\xi^((n))).

Kesamaan yang serupa untuk varians

D(\xi)=D(\xi^((1)))+D(\xi^((2)))+\cdots+D(\xi^((n))).

benar hanya di bawah sekatan tertentu. Untuk kesamaan (23) menjadi sah, adalah memadai, sebagai contoh, bahawa kuantiti \xi^((i)) dan \xi^((j)) dengan nombor yang berbeza tidak, seperti yang mereka katakan, "berkorelasi" dengan satu sama lain, iaitu, bahawa pada i\ne j

M\Bigl\((\xi^((i))-M(\xi^((i))))(\xi^((j))-M(\xi^((j))))\ Besar\)=0

Pekali korelasi antara pembolehubah rawak \xi^((i)) dan \xi^((j)) ialah ungkapan

R=\frac(M\Bigl\(\Bigl(\xi^((i))-M(\xi^((i)))\Bigl)\Bigl(\xi^((j))-M( \xi^((j)))\Bigl)\Bigl\))(\sigma_(\xi^((i)))\,\sigma_(\xi^((j)))).

Sekiranya \sigma_(\xi^((i)))>0 dalam \sigma_(\xi^((j)))>0, maka keadaan (24) adalah bersamaan dengan R=0 .

Pekali korelasi R mencirikan tahap pergantungan antara pembolehubah rawak. Sentiasa |R|\leqslant1 , dan R=\pm1 hanya jika terdapat sambungan linear

\eta=a\xi+b\quad(a\ne0).

Untuk nilai bebas R=0 .

Khususnya, kesamaan (24) berpuas hati jika kuantiti \xi^((i)) dan \xi^((j)) adalah bebas antara satu sama lain. Oleh itu, kesaksamaan (23) sentiasa digunakan untuk istilah yang saling bebas. Untuk purata aritmetik

\zeta=\frac(1)(n)\Bigl(\xi^((1))+\xi^((2))+\cdots+\xi^((n))\Bigl) daripada (23) berikut

D(\zeta_=\frac(1)(n^2)\Bigl(D(\xi^((1)))+ D(\xi^((2)))+\cdots+ D(\xi^( (n)))\Bigl).

Sekarang mari kita anggap bahawa untuk semua istilah varians tidak melebihi beberapa pemalar

D(\xi^((i)))\leqslant C^2. Kemudian pada (25) D(\zeta)\leqslant\frac(C^2)(n),

dan disebabkan ketidaksamaan Chebyshev untuk sebarang t

\mathbf(P)\!\left\(|\zeta-M(\zeta)|\leqslant\frac(tC)(\sqrt(n))\kanan\)\geqslant1-\frac(1)(t^ 2)

Ketaksamaan (26) mengandungi apa yang dipanggil hukum nombor besar dalam bentuk yang ditetapkan oleh Chebyshev: jika kuantiti \xi^((i)) adalah saling bebas dan mempunyai varians terhad, maka apabila n bertambah, purata aritmetiknya \zeta , semakin kurang ketara menyimpang daripada jangkaan matematik mereka M(\zeta) .

Lebih tepat lagi, mereka berkata begitu urutan pembolehubah rawak

\xi^((1)),\,\xi^((2)),\,\ldots\,\xi^((n)),\,\ldots

mematuhi hukum nombor besar jika untuk purata aritmetik yang sepadan \zeta dan untuk sebarang pemalar \varepsilon>0

\mathbf(P)\(|\zeta-M(\zeta)|\leqslant \varepsilon\)\to1\quad (n\to\infty).

Untuk mendapatkan perhubungan had (27) daripada ketaksamaan (26), ia sudah memadai untuk ditetapkan

T=\varepsilon\cdot\frac(\sqrt(n))(C).

Sebilangan besar kajian oleh A.A. Markova, S.N. Bernstein, A.Ya. Khinchin dan lain-lain menumpukan kepada persoalan tentang kemungkinan pelebaran syarat-syarat untuk kebolehgunaan hubungan had (27), iaitu syarat-syarat untuk kebolehgunaan undang-undang bilangan besar. Kajian-kajian ini mempunyai kepentingan asas. Walau bagaimanapun, yang lebih penting ialah kajian tepat tentang taburan kebarangkalian sisihan \zeta-M(\zeta) .

Merit besar orang Rusia sekolah klasik dalam teori kebarangkalian adalah penubuhan fakta bahawa, dalam keadaan yang sangat luas, kesaksamaan

\mathbf(P)\!\left\(t_1\sigma_(\zeta)<\zeta-M(\zeta)

Chebyshev memberikan bukti hampir lengkap formula ini untuk kes istilah bebas dan terikat. Markov mengisi pautan yang hilang dalam alasan Chebyshev dan memperluaskan syarat untuk kebolehgunaan formula (28). Malah lebih banyak syarat umum diberikan oleh Lyapunov. Persoalan melanjutkan formula (28) kepada jumlah istilah bersandar dikaji dengan kesempurnaan khas oleh S. N. Bernshtein.

Formula (28) merangkumi sebilangan besar masalah tertentu sehingga untuk masa yang lama ia dipanggil teorem had pusat teori kebarangkalian. Walaupun, dengan perkembangan terkini teori kebarangkalian, ia ternyata termasuk dalam beberapa undang-undang yang lebih umum, kepentingannya tidak boleh dipandang terlalu tinggi walaupun pada hari ini.

Masa.

Jika istilah adalah bebas dan variansnya adalah sama dan sama: D(\xi^((i)))=\sigma^2, maka ia adalah mudah untuk formula (28), dengan mengambil kira hubungan (25), untuk memberikan borang

\mathbf(P)\!\left\(\frac(t_1\sigma)(\sqrt(n))<\zeta-M(\zeta)<\frac{t_2\sigma}{\sqrt{n}}\right\}\sim\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{t_1}^{t_2}e^{-t^2/2}\,dt\,.

Mari kita tunjukkan bahawa hubungan (29) mengandungi penyelesaian kepada masalah sisihan frekuensi \frac(\mu)(n) daripada kebarangkalian p , yang kita uruskan sebelum ini. Untuk melakukan ini, kami memperkenalkan pembolehubah rawak \xi^((i)) mentakrifkannya dengan syarat berikut:

\xi^((i))=0 jika percubaan ke-i mempunyai hasil negatif,

\xi^((i))=1 jika percubaan ke-i mempunyai hasil yang positif.

Ia adalah mudah untuk menyemak itu kemudian

dan formula (29) memberi

\mathbf(P)\!\left\(t_1\sqrt(\frac(p(1-p))(n))<\frac{\mu}{n}-p
yang bagi t_1=-t,~t_2=t sekali lagi membawa kepada formula (20).
Lihat juga had teorem dalam teori kebarangkalian Javascript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Kawalan ActiveX mesti didayakan untuk membuat pengiraan!

Lemma Chebyshev. Jika pembolehubah rawak X, yang mana terdapat jangkaan matematik M[x], boleh mengambil hanya nilai bukan negatif, maka untuk sebarang nombor positif a kita mempunyai ketaksamaan

Ketaksamaan Chebyshev. Sekiranya X ialah pembolehubah rawak dengan jangkaan matematik M[x] dan penyebaran D[x], maka bagi mana-mana e positif kita mempunyai ketaksamaan

. (2)

Teorem Chebyshev.(hukum nombor besar). biarlah X 1 , X 2 , …, x n,… - urutan pembolehubah rawak bebas dengan jangkaan matematik yang sama m dan varians dihadkan oleh pemalar yang sama Dengan

. (3)

Bukti teorem adalah berdasarkan ketaksamaan

, (4)

berikutan daripada ketidaksamaan Chebyshev. Daripada teorem Chebyshev, sebagai akibat, seseorang boleh memperoleh

Teorem Bernoulli. Biar terhasil n eksperimen bebas, yang setiap satunya mempunyai kebarangkalian R beberapa peristiwa mungkin berlaku TAPI, lepaskan v n ialah pembolehubah rawak sama dengan bilangan kejadian peristiwa TAPI dalam ini n eksperimen. Kemudian untuk mana-mana e > 0 kita mempunyai kesamaan had

. (5)

Perhatikan bahawa ketaksamaan (4) seperti yang digunakan pada syarat teorem Bernoulli memberikan:

. (6)

Teorem Chebyshev boleh dirumuskan dalam bentuk yang agak umum:

Teorem umum Chebyshev. biarlah x 1, x 2, …, x n,… - jujukan pembolehubah rawak bebas dengan jangkaan matematik M[x 1 ] = m 1 , M[x2] = m 2,… dan serakan dihadkan oleh pemalar yang sama Dengan. Kemudian untuk sebarang nombor positif e kita mempunyai kesamaan had

. (7)

Biarkan x ialah bilangan kejadian 6 mata dalam 3600 balingan dadu. Kemudian M[ x] = 3600 = 600. Mari kita gunakan ketaksamaan (1) untuk a = 900: .

Kami menggunakan ketaksamaan (6) untuk n = 10000, p = , q = . Kemudian

Contoh.

Kebarangkalian kejadian A dalam setiap 1000 eksperimen bebas ialah 0.8. Cari kebarangkalian bahawa bilangan kejadian A dalam 1000 eksperimen ini akan menyimpang daripada jangkaan matematiknya dalam nilai mutlak kurang daripada 50.

Biarkan x ialah bilangan kejadian peristiwa A dalam 1000 eksperimen yang ditentukan. Kemudian M[ x] = 1000 × 0.8 = 800 dan D[ x] = 1000 × 0.8 × 0.2 = 160. Sekarang ketaksamaan (2) memberikan:

Contoh.

Varians bagi setiap 1000 pembolehubah rawak bebas x k (k = 1, 2,..., 1000) ialah 4. Anggarkan kebarangkalian bahawa sisihan min aritmetik bagi pembolehubah ini daripada min aritmetik jangkaan matematiknya dalam nilai mutlak tidak akan melebihi 0.1.

Mengikut ketaksamaan (4), untuk c = 4 dan e = 0.1, kita ada