Hukum taburan pembolehubah rawak diskret. Contoh penyelesaian masalah

Pembolehubah rawak dipanggil pembolehubah yang boleh mengambil nilai tertentu bergantung pada pelbagai keadaan, dan seterusnya, pembolehubah rawak dipanggil diskret jika set nilainya adalah terhingga atau boleh dikira.

Selain pembolehubah rawak diskret, terdapat juga pembolehubah rawak berterusan.

Mari kita pertimbangkan dengan lebih terperinci konsep pembolehubah rawak. Dalam amalan, selalunya terdapat kuantiti yang boleh mengambil nilai tertentu, tetapi adalah mustahil untuk meramalkan dengan pasti nilai yang akan diambil oleh setiap daripada mereka dalam eksperimen, fenomena, pemerhatian yang sedang dipertimbangkan. Sebagai contoh, bilangan lelaki yang akan dilahirkan di Moscow pada hari berikutnya mungkin berbeza. Ia boleh sama dengan sifar (tiada seorang lelaki yang akan dilahirkan: semua kanak-kanak perempuan akan dilahirkan atau tidak akan ada bayi yang baru lahir sama sekali), satu, dua, dan seterusnya sehingga beberapa nombor terhingga n. Nilai tersebut termasuk: jisim akar bit gula di tapak, jarak penerbangan peluru artileri, bilangan bahagian yang rosak dalam satu kelompok, dan sebagainya. Nilai sedemikian akan dipanggil rawak. Mereka mencirikan semua kemungkinan keputusan eksperimen atau pemerhatian dari sudut pandangan kuantitatif.

Contoh pembolehubah rawak diskret dengan bilangan nilai yang terhad, bilangan kanak-kanak yang dilahirkan pada siang hari di penempatan, bilangan penumpang bas, bilangan penumpang yang diangkut oleh metro Moscow setiap hari, dan lain-lain boleh berkhidmat.

Bilangan nilai pembolehubah rawak diskret boleh menjadi tidak terhingga, tetapi ia adalah set boleh dikira. Tetapi dalam apa jua keadaan, mereka boleh dinomborkan dalam beberapa susunan, atau, lebih tepat lagi, surat-menyurat satu dengan satu boleh diwujudkan antara nilai pembolehubah rawak dan nombor asli 1, 2, 3, ..., n.

Perhatian: konsep baru yang sangat penting bagi teori kebarangkalian - undang-undang pengedaran . biarlah X boleh ambil n nilai: . Kami akan menganggap bahawa mereka semua berbeza (jika tidak sama mesti digabungkan) dan disusun dalam tertib menaik. Untuk pencirian lengkap pembolehubah rawak diskret mesti diberikan bukan sahaja semua nilainya, tetapi juga kebarangkalian , yang mana pembolehubah rawak mengambil setiap nilai, i.e. .

Hukum taburan pembolehubah rawak diskret sebarang peraturan (fungsi, jadual) dipanggil hlm(x), yang membolehkan anda mencari kebarangkalian semua jenis peristiwa yang dikaitkan dengan pembolehubah rawak (contohnya, kebarangkalian bahawa ia adalah contoh beberapa nilai atau jatuh ke dalam beberapa selang).

Hukum taburan yang paling mudah dan mudah untuk pembolehubah rawak diskret diberikan dalam bentuk jadual berikut:

Maknanya			...
Kebarangkalian			...

Jadual sedemikian dipanggil berhampiran taburan pembolehubah rawak diskret. Baris atas siri pengedaran menyenaraikan dalam tertib menaik semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak diskret (x), dan garis bawah menyenaraikan kebarangkalian nilai ini ( hlm).

Perkembangan adalah tidak serasi dan satu-satunya yang mungkin: mereka membentuk sistem peristiwa yang lengkap. Oleh itu, jumlah kebarangkalian mereka adalah sama dengan satu:

Contoh 1 Loteri telah dianjurkan dalam kumpulan pelajar. Dua perkara bernilai 1000 rubel dimainkan. dan satu berharga 3000 rubel. Buat undang-undang pengagihan jumlah kemenangan bersih untuk pelajar yang membeli satu tiket untuk 100 rubel. Sebanyak 50 tiket telah dijual.

Penyelesaian. Pembolehubah rawak yang kita minati X boleh mengambil tiga nilai: - 100 rubel. (jika pelajar tidak menang, tetapi sebenarnya kehilangan 100 rubel yang dia bayar untuk tiket), 900 rubel. dan 2900 rubel. (kemenangan sebenar dikurangkan sebanyak 100 rubel - kos tiket). Keputusan pertama digemari oleh 47 daripada 50 kes, yang kedua dengan 2, dan yang ketiga dengan satu. Jadi kebarangkalian mereka adalah: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .

Hukum taburan pembolehubah rawak diskret X mempunyai bentuk

Jumlah kemenangan	-100	900	2900
Kebarangkalian	0,94	0,04	0,02

Fungsi taburan pembolehubah rawak diskret: pembinaan

Siri taburan hanya boleh dibina untuk pembolehubah rawak diskret (untuk pembolehubah bukan diskret, ia tidak boleh dibina, jika hanya kerana set nilai kemungkinan pembolehubah rawak sedemikian tidak boleh dikira, mereka tidak boleh disenaraikan di bahagian atas barisan meja).

Bentuk undang-undang taburan yang paling umum, sesuai untuk semua pembolehubah rawak (kedua-dua diskret dan bukan diskret), ialah fungsi taburan.

Fungsi taburan pembolehubah rawak diskret atau fungsi integral dipanggil fungsi , yang menentukan kebarangkalian bahawa nilai pembolehubah rawak X kurang daripada atau sama dengan nilai had X.

Fungsi taburan sebarang pembolehubah rawak diskret ialah fungsi langkah terputus yang lompatannya berlaku pada titik yang sepadan dengan nilai kemungkinan pembolehubah rawak dan sama dengan kebarangkalian nilai ini.

Contoh 2 Pembolehubah rawak diskret X ialah bilangan mata yang diperoleh dengan membaling dadu. Bina fungsi pengedarannya.

Penyelesaian. Siri taburan pembolehubah rawak diskret X kelihatan seperti:

Maknanya	1	2	3	4	5	6
Kebarangkalian	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

fungsi pengagihan F(x) mempunyai 6 lompatan yang sama dengan magnitud 1/6 (dalam rajah di bawah).

Contoh 3 Sebuah urn mengandungi 6 bola putih dan 4 bola hitam. 3 biji bola diambil dari urn. Bilangan bola putih di antara bola yang ditarik ialah pembolehubah rawak diskret X. Karang undang-undang pengedaran yang sepadan dengannya.

X boleh mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Kebarangkalian yang sepadan dengannya boleh dikira dengan paling mudah daripada peraturan pendaraban kebarangkalian. Kami memperoleh undang-undang taburan berikut untuk pembolehubah rawak diskret:

Maknanya	0	1	2	3
Kebarangkalian	1/30	3/10	1/2	1/6

Contoh 4 Karang undang-undang taburan untuk pembolehubah rawak diskret - bilangan pukulan pada sasaran dengan empat pukulan, jika kebarangkalian untuk memukul dengan satu pukulan ialah 0.1.

Penyelesaian. Pembolehubah rawak diskret X boleh mengambil lima nilai yang berbeza: 1, 2, 3, 4, 5. Kami mencari kebarangkalian yang sepadan daripada Formula Bernoulli . Pada

n = 4 ,

hlm = 1,1 ,

q = 1 - hlm = 0,9 ,

m = 0, 1, 2, 3, 4

kita mendapatkan

Oleh itu, hukum taburan pembolehubah rawak diskret X mempunyai bentuk

Jika kebarangkalian nilai pembolehubah rawak diskret boleh ditentukan oleh formula Bernoulli, maka pembolehubah rawak mempunyai taburan binomial .

Sekiranya bilangan percubaan adalah cukup besar, maka kebarangkalian bahawa dalam percubaan ini peristiwa yang menarik akan berlaku dengan tepat m masa, patuhi undang-undang Pengagihan Poisson .

Fungsi taburan pembolehubah rawak diskret: pengiraan

Untuk mengira fungsi taburan pembolehubah rawak diskret F(X), ia diperlukan untuk menambah kebarangkalian semua nilai yang kurang daripada atau sama dengan nilai sempadan X.

Contoh 5 Jadual mengandungi data tentang kebergantungan bilangan perkahwinan yang dibubarkan sepanjang tahun pada tempoh perkahwinan. Cari kebarangkalian bahawa perkahwinan bercerai seterusnya bertahan kurang daripada atau sama dengan 5 tahun.

Tempoh perkahwinan (tahun)	Nombor	Kebarangkalian	F(x)
0	10	0,002	0,002
1	80	0,013	0,015
2	177	0,029	0,044
3	209	0,035	0,079
4	307	0,051	0,130
5	335	0,056	0,186
6	358	0,060	0,246
7	413	0,069	0,314
8	432	0,072	0,386
9	402	0,067	0,453
10 atau lebih	3287	0,547	1,000
Jumlah	6010	1

Penyelesaian. Kebarangkalian dikira dengan membahagikan bilangan perkahwinan bercerai yang berkaitan dengan jumlah bilangan 6010. Kebarangkalian bahawa perkahwinan bercerai seterusnya bertahan 5 tahun ialah 0.056. Kebarangkalian bahawa tempoh perkahwinan bercerai seterusnya adalah kurang daripada atau sama dengan 5 tahun adalah bersamaan dengan 0.186. Kami mendapatnya dengan menambah nilai F(x) untuk perkahwinan dengan tempoh 4 tahun, termasuk, kebarangkalian untuk perkahwinan dengan tempoh 5 tahun.

Hubungan antara hukum taburan pembolehubah rawak diskret dan jangkaan dan varians matematik

Selalunya tidak semua nilai pembolehubah rawak diskret diketahui, tetapi beberapa nilai atau kebarangkalian daripada siri itu diketahui, dan juga jangkaan matematik dan (atau) varians pembolehubah rawak yang mana pelajaran yang berasingan ditujukan.

Berikut ialah beberapa formula daripada pelajaran ini yang boleh membantu semasa merangka hukum taburan pembolehubah rawak diskret dan menganalisis contoh penyelesaian masalah tersebut.

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret ialah jumlah hasil darab semua nilai yang mungkin dan kebarangkalian nilai ini:

(1)

Formula untuk penyebaran pembolehubah rawak diskret mengikut definisi ialah:

Selalunya formula varians berikut adalah lebih mudah untuk pengiraan:

, (2)

di mana .

Contoh 6 Pembolehubah rawak diskret X hanya boleh mengambil dua nilai. Ia mengambil nilai yang lebih kecil dengan kebarangkalian hlm= 0.6. Cari hukum taburan pembolehubah rawak diskret X, jika diketahui bahawa jangkaan dan varians matematiknya ialah .

Penyelesaian. Kebarangkalian pembolehubah rawak akan mengambil nilai yang lebih besar x2 , adalah sama dengan 1 − 0.6 = 4 . Menggunakan formula (1) jangkaan matematik, kami akan menyusun persamaan di mana yang tidak diketahui adalah nilai pembolehubah rawak diskret kami:

Dengan menggunakan formula (2) penyebaran, kami menyusun persamaan lain di mana yang tidak diketahui juga merupakan nilai pembolehubah rawak diskret:

Sistem dua persamaan yang diperolehi

selesaikan dengan kaedah penggantian. Daripada persamaan pertama kita dapat

Menggantikan ungkapan ini ke dalam persamaan kedua, selepas transformasi mudah, kita perolehi persamaan kuadratik

yang mempunyai dua punca: 7/5 dan −1 . Akar pertama tidak memenuhi syarat masalah, kerana x2 < x 1 . Oleh itu, nilai yang boleh diambil oleh pembolehubah rawak diskret X mengikut syarat contoh kita, adalah sama x1 = −1 dan x2 = 2 .

Satu siri taburan pembolehubah rawak diskret diberikan. Cari kebarangkalian yang hilang dan plotkan fungsi taburan. Kira jangkaan matematik dan varians nilai ini.

Pembolehubah rawak X hanya mengambil empat nilai: -4, -3, 1 dan 2. Ia mengambil setiap nilai ini dengan kebarangkalian tertentu. Oleh kerana jumlah semua kebarangkalian mestilah sama dengan 1, kebarangkalian yang hilang adalah sama dengan:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Susun fungsi taburan pembolehubah rawak X. Diketahui bahawa fungsi taburan , maka:

Akibatnya,

Mari kita plot fungsi F(x) .

Jangkaan matematik pembolehubah rawak diskret adalah sama dengan jumlah hasil darab nilai pembolehubah rawak dan kebarangkalian sepadan, i.e.

Varians pembolehubah rawak diskret didapati dengan formula:

LAMPIRAN

Unsur kombinatorik

Di sini: - pemfaktoran nombor

Tindakan pada peristiwa

Peristiwa ialah sebarang fakta yang mungkin atau mungkin tidak berlaku akibat daripada pengalaman.

Percantuman acara TAPI dan AT- acara ini DARI, yang terdiri daripada penampilan atau peristiwa TAPI, atau peristiwa AT, atau kedua-dua acara pada masa yang sama.

Jawatan:
;

Persimpangan peristiwa TAPI dan AT- acara ini DARI, yang terdiri daripada kejadian serentak kedua-dua peristiwa.

Jawatan:
;

Takrif klasik kebarangkalian

Kebarangkalian Peristiwa TAPI ialah nisbah bilangan eksperimen
, sesuai untuk berlakunya acara tersebut TAPI, kepada jumlah bilangan percubaan
:

Formula Pendaraban Kebarangkalian

Kebarangkalian Peristiwa
boleh didapati menggunakan formula:

- kebarangkalian peristiwa TAPI,

- kebarangkalian peristiwa AT,

- kebarangkalian peristiwa AT dengan syarat bahawa acara itu TAPI sudah berlaku.

Jika peristiwa A dan B adalah bebas (kejadian satu tidak menjejaskan kejadian yang lain), maka kebarangkalian peristiwa itu ialah:

Formula penambahan kebarangkalian

Kebarangkalian Peristiwa
boleh didapati menggunakan formula:

Kebarangkalian Peristiwa TAPI,

Kebarangkalian Peristiwa AT,

- kebarangkalian kejadian bersama TAPI dan AT.

Jika peristiwa A dan B tidak serasi (ia tidak boleh berlaku pada masa yang sama), maka kebarangkalian peristiwa itu ialah:

Formula Kebarangkalian Jumlah

Biarkan acara itu TAPI boleh berlaku serentak dengan salah satu peristiwa
,
, …,
Mari kita panggil mereka hipotesis. Juga dikenali
- kebarangkalian pemenuhan i-hipotesis ke- dan
- kebarangkalian berlakunya peristiwa A semasa pelaksanaan i hipotesis ke. Kemudian kebarangkalian kejadian itu TAPI boleh didapati menggunakan formula:

Skim Bernoulli

Biarkan n ujian bebas dijalankan. Kebarangkalian berlakunya (kejayaan) sesuatu peristiwa TAPI dalam setiap daripada mereka adalah tetap dan sama hlm, kebarangkalian kegagalan (iaitu, bukan kejadian kejadian TAPI) q = 1 - hlm. Kemudian kebarangkalian berlaku k kejayaan dalam n ujian boleh didapati dengan formula Bernoulli:

Kemungkinan besar bilangan kejayaan dalam skema Bernoulli, ini ialah bilangan kejadian beberapa peristiwa, yang sepadan dengan kebarangkalian tertinggi. Boleh didapati menggunakan formula:

pembolehubah rawak

berterusan diskret

(cth, bilangan kanak-kanak perempuan dalam keluarga dengan 5 orang anak) (cth, masa pakai cerek)

Ciri berangka pembolehubah rawak diskret

Biarkan nilai diskret diberikan oleh siri pengedaran:

X
R

, , …, - nilai pembolehubah rawak X;

, , …, ialah kebarangkalian yang sepadan.

fungsi pengagihan

Fungsi taburan pembolehubah rawak X dipanggil fungsi yang diberikan pada keseluruhan garis nombor dan sama dengan kebarangkalian bahawa X akan kurang X:

Soalan untuk peperiksaan

Peristiwa. Operasi pada peristiwa rawak.

Konsep kebarangkalian sesuatu peristiwa.

Peraturan penambahan dan pendaraban kebarangkalian. Kebarangkalian bersyarat.

Jumlah Formula Kebarangkalian. Formula Bayes.

Skim Bernoulli.

Pembolehubah rawak, fungsi pengedarannya dan siri pengedaran.

Sifat asas fungsi pengedaran.

Nilai yang dijangkakan. Sifat jangkaan matematik.

Penyerakan. Sifat serakan.

Ketumpatan taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak satu dimensi.

Jenis taburan: taburan seragam, eksponen, normal, binomial dan Poisson.

Teorem tempatan dan integral bagi Moivre-Laplace.

Hukum dan fungsi taburan sistem dua pembolehubah rawak.

Ketumpatan taburan sistem dua pembolehubah rawak.

Undang-undang pengedaran bersyarat, jangkaan matematik bersyarat.

Pembolehubah rawak bersandar dan bebas. Pekali korelasi.

Sampel. Pemprosesan sampel. Poligon dan histogram frekuensi. Fungsi pengedaran empirikal.

Konsep menganggar parameter taburan. Keperluan penilaian. Selang keyakinan. Membina selang untuk menganggar jangkaan matematik dan sisihan piawai.

hipotesis statistik. Kriteria Persetujuan.

Contoh penyelesaian masalah pada topik "Pembolehubah rawak".

Satu tugas 1 . Terdapat 100 tiket yang dikeluarkan dalam loteri. Satu kemenangan sebanyak 50 USD telah dimainkan. dan sepuluh kemenangan $10 setiap satu. Cari hukum pengagihan nilai X - kos keuntungan yang mungkin.

Penyelesaian. Kemungkinan nilai X: x 1 = 0; x 2 = 10 dan x 3 = 50. Oleh kerana terdapat 89 tiket “kosong”, maka p 1 = 0.89, kebarangkalian menang ialah 10 c.u. (10 tiket) – hlm 2 = 0.10 dan untuk kemenangan 50 c.u. –hlm 3 = 0.01. Dengan cara ini:


	0,89	0,10	0,01

Mudah dikawal: .

Satu tugas 2. Kebarangkalian bahawa pembeli telah membiasakan dirinya dengan pengiklanan produk terlebih dahulu ialah 0.6 (p = 0.6). Kawalan kualiti selektif pengiklanan dijalankan oleh pembeli pengundian sebelum pembeli pertama yang telah mengkaji iklan terlebih dahulu. Buat satu siri pengedaran bilangan pembeli yang ditemu bual.

Penyelesaian. Mengikut keadaan masalah p = 0.6. Daripada: q=1 -p = 0.4. Menggantikan nilai ini, kita mendapat: dan bina siri pengedaran:


pi		0,24

Satu tugas 3. Komputer terdiri daripada tiga elemen operasi bebas: unit sistem, monitor dan papan kekunci. Dengan satu peningkatan mendadak dalam voltan, kebarangkalian kegagalan setiap elemen ialah 0.1. Berdasarkan taburan Bernoulli, lukiskan undang-undang pengedaran untuk bilangan elemen yang gagal semasa lonjakan kuasa dalam rangkaian.

Penyelesaian. Pertimbangkan Pengagihan Bernoulli(atau binomial): kebarangkalian bahawa dalam n ujian, peristiwa A akan muncul tepat k sekali: , atau:


	q n					hlm n

AT mari kita kembali kepada tugas.

Kemungkinan nilai X (bilangan kegagalan):

x 0 =0 - tiada unsur yang gagal;

x 1 =1 - kegagalan satu elemen;

x 2 =2 - kegagalan dua elemen;

x 3 =3 - kegagalan semua elemen.

Oleh kerana, mengikut keadaan, p = 0.1, maka q = 1 – p = 0.9. Menggunakan formula Bernoulli, kita dapat

, ,

, .

Kawalan: .

Oleh itu, undang-undang pengedaran yang dikehendaki:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Tugasan 4. Menghasilkan 5000 pusingan. Kebarangkalian bahawa satu kartrij rosak . Apakah kebarangkalian terdapat tepat 3 kartrij rosak dalam keseluruhan kumpulan?

Penyelesaian. Berkenaan Pengagihan Poisson: taburan ini digunakan untuk menentukan kebarangkalian bahawa, diberi yang sangat besar

bilangan percubaan (ujian jisim), di mana setiap satu kebarangkalian kejadian A adalah sangat kecil, peristiwa A akan berlaku k kali: , dimana .

Di sini n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. Kami dapati , maka kebarangkalian yang diingini: .

Tugasan 5. Apabila menembak sebelum pukulan pertama dengan kebarangkalian terkena p = 0.6 untuk pukulan, anda perlu mencari kebarangkalian pukulan akan berlaku pada pukulan ketiga.

Penyelesaian. Mari kita gunakan taburan geometri: biarkan percubaan bebas dilakukan, di mana setiap peristiwa A mempunyai kebarangkalian kejadian p (dan bukan kejadian q = 1 - p). Percubaan berakhir sebaik sahaja peristiwa A berlaku.

Di bawah keadaan sedemikian, kebarangkalian peristiwa A akan berlaku pada ujian kth ditentukan oleh formula: . Di sini p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3. Oleh itu, .

Tugasan 6. Biarkan hukum taburan pembolehubah rawak X diberikan:

Cari jangkaan matematik.

Penyelesaian. .

Ambil perhatian bahawa makna kebarangkalian jangkaan matematik ialah nilai purata pembolehubah rawak.

Tugasan 7. Cari varians pembolehubah rawak X dengan hukum taburan berikut:

Penyelesaian. Di sini .

Hukum taburan kuasa dua X 2 :

X 2

Varians yang diperlukan: .

Serakan mencirikan tahap sisihan (serakan) pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya.

Tugasan 8. Biarkan pembolehubah rawak diberikan oleh taburan:

			10m

Cari ciri berangkanya.

Penyelesaian: m, m 2 ,

M 2 , m.

Mengenai pembolehubah rawak X, seseorang boleh mengatakan sama ada - jangkaan matematiknya ialah 6.4 m dengan varians 13.04 m 2 , atau - jangkaan matematiknya ialah 6.4 m dengan sisihan m. Rumusan kedua jelas lebih jelas.

Satu tugas 9. Nilai rawak X diberikan oleh fungsi pengedaran:
.

Cari kebarangkalian bahawa, hasil daripada ujian, nilai X akan mengambil nilai yang terkandung dalam selang itu .

Penyelesaian. Kebarangkalian bahawa X akan mengambil nilai daripada selang tertentu adalah sama dengan kenaikan fungsi kamiran dalam selang ini, i.e. . Dalam kes kami dan , oleh itu

Satu tugas 10. Pembolehubah rawak diskret X diberikan oleh undang-undang pengedaran:

Cari fungsi pengedaran F(x ) dan bina grafnya.

Penyelesaian. Sejak fungsi pengedaran

untuk , kemudian

pada ;

Carta yang berkaitan:

Tugasan 11. Pembolehubah rawak berterusan X diberikan oleh fungsi taburan pembezaan: .

Cari kebarangkalian untuk memukul X kepada selang

Penyelesaian. Ambil perhatian bahawa ini adalah kes khas undang-undang pengedaran eksponen.

Mari gunakan formula: .

Satu tugas 12. Cari ciri berangka bagi pembolehubah rawak diskret X yang diberikan oleh hukum taburan:

–5

X 2:

. , di mana ialah fungsi Laplace.

Nilai fungsi ini didapati menggunakan jadual.

Dalam kes kami: .

Menurut jadual yang kita dapati:, oleh itu:

Pada halaman ini kami telah mengumpulkan contoh penyelesaian pendidikan masalah pada pembolehubah rawak diskret. Ini adalah bahagian yang agak luas: undang-undang taburan yang berbeza (binomial, geometri, hipergeometrik, Poisson dan lain-lain), sifat dan ciri berangka dikaji, perwakilan grafik boleh dibina untuk setiap siri taburan: poligon (poligon) kebarangkalian, fungsi taburan .

Di bawah anda akan menemui contoh keputusan tentang pembolehubah rawak diskret, di mana ia diperlukan untuk menggunakan pengetahuan daripada bahagian sebelumnya teori kebarangkalian untuk merangka undang-undang taburan, dan kemudian mengira jangkaan matematik, varians, sisihan piawai, membina fungsi taburan , jawab soalan tentang DSV, dsb. P.

Contoh untuk undang-undang taburan kebarangkalian popular:

Kalkulator untuk ciri-ciri DSV

Pengiraan jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai DSV.

Menyelesaikan masalah tentang DSV

Taburan yang hampir dengan geometri

Tugasan 1. Terdapat 4 lampu isyarat di jalan kereta, setiap satunya melarang pergerakan kereta selanjutnya dengan kebarangkalian 0.5. Cari bilangan taburan bilangan lampu isyarat yang dilalui oleh kereta itu sebelum perhentian pertama. Apakah jangkaan dan varians matematik bagi pembolehubah rawak ini?

Tugasan 2. Pemburu menembak pada permainan sebelum pukulan pertama, tetapi berjaya membuat tidak lebih daripada empat pukulan. Tuliskan undang-undang taburan untuk bilangan bolos jika kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan satu pukulan ialah 0.7. Cari varians pembolehubah rawak ini.

Tugasan 3. Penembak, yang mempunyai 3 kartrij, menembak sasaran sehingga pukulan pertama. Kebarangkalian untuk memukul pukulan pertama, kedua dan ketiga ialah 0.6, 0.5, 0.4, masing-masing. S.V. $\xi$ - bilangan baki kartrij. Susun siri taburan pembolehubah rawak, cari jangkaan matematik, varians, sisihan piawai r.v., bina fungsi taburan r.v., cari $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Tugasan 4. Kotak itu mengandungi 7 bahagian standard dan 3 bahagian yang rosak. Bahagian dikeluarkan secara berurutan sehingga yang standard muncul, tanpa mengembalikannya kembali. $\xi$ - bilangan bahagian yang rosak diambil semula.
Susun undang-undang taburan untuk pembolehubah rawak diskret $\xi$, hitung jangkaan matematiknya, varians, sisihan piawai, lukis poligon taburan dan graf bagi fungsi taburan.

Tugasan dengan Acara Bebas

Tugasan 5. 3 orang pelajar datang ke peperiksaan semula dalam teori kebarangkalian. Kebarangkalian bahawa yang pertama akan lulus peperiksaan ialah 0.8, yang kedua - 0.7, yang ketiga - 0.9. Cari siri taburan pembolehubah rawak $\xi$ bilangan pelajar yang lulus peperiksaan, bina graf bagi fungsi taburan, cari $M(\xi), D(\xi)$.

Tugasan 6. Kebarangkalian mengenai sasaran dengan satu pukulan ialah 0.8 dan berkurangan dengan setiap pukulan sebanyak 0.1. Buat undang-undang pengedaran untuk bilangan pukulan pada sasaran jika tiga tembakan dilepaskan. Cari jangkaan matematik, varians dan S.K.O. pembolehubah rawak ini. Plotkan fungsi pengedaran.

Tugasan 7. 4 das tembakan dilepaskan ke sasaran. Dalam kes ini, kebarangkalian memukul meningkat seperti berikut: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. Cari hukum taburan pembolehubah rawak $X$ - bilangan hits. Cari kebarangkalian bahawa $X \ge 1$.

Tugasan 8. Dua syiling simetri dilambung, bilangan jata di kedua-dua bahagian atas syiling dikira. Kami menganggap pembolehubah rawak diskret $X$ - bilangan lambang pada kedua-dua syiling. Tuliskan hukum taburan pembolehubah rawak $X$, cari jangkaan matematiknya.

Tugas lain dan undang-undang pengedaran DSV

Tugasan 9. Dua pemain bola keranjang membuat tiga pukulan ke bakul. Kebarangkalian memukul untuk pemain bola keranjang pertama ialah 0.6, untuk yang kedua - 0.7. Biarkan $X$ menjadi perbezaan antara bilangan balingan yang berjaya bagi pemain bola keranjang pertama dan kedua. Cari siri taburan, mod dan fungsi taburan bagi pembolehubah rawak $X$. Bina poligon taburan dan plotkan fungsi taburan. Kira jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai. Cari kebarangkalian kejadian $(-2 \lt X \le 1)$.

Tugasan 10. Bilangan kapal bukan pemastautin yang tiba setiap hari untuk dimuatkan di pelabuhan tertentu ialah nilai rawak $X$, diberikan seperti berikut:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) pastikan siri pengedaran ditetapkan,
B) cari fungsi taburan pembolehubah rawak $X$,
C) jika lebih daripada tiga kapal tiba pada hari tertentu, pelabuhan bertanggungjawab ke atas kos kerana keperluan untuk mengupah pemandu dan pemuat tambahan. Apakah kebarangkalian bahawa pelabuhan akan menanggung kos tambahan?
D) cari jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai bagi pembolehubah rawak $X$.

Tugasan 11. Lempar 4 dadu. Cari jangkaan matematik jumlah bilangan mata yang akan jatuh pada semua muka.

Tugasan 12. Dua pemain bergilir-gilir melambung syiling sehingga penampilan pertama jata. Pemain yang bajunya jatuh menerima 1 rubel daripada pemain lain. Cari jangkaan matematik bagi ganjaran setiap pemain.

Bab 1. Pembolehubah rawak diskret

§ 1. Konsep pembolehubah rawak.

Hukum taburan pembolehubah rawak diskret.

Definisi : Rawak ialah kuantiti yang, hasil daripada ujian, hanya mengambil satu nilai daripada kemungkinan set nilainya, tidak diketahui terlebih dahulu dan bergantung kepada punca rawak.

Terdapat dua jenis pembolehubah rawak: diskret dan berterusan.

Definisi : Pembolehubah rawak X dipanggil diskret (tidak berterusan) jika set nilainya adalah terhingga atau tidak terhingga, tetapi boleh dikira.

Dalam erti kata lain, nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak diskret boleh dinomborkan semula.

Anda boleh menerangkan pembolehubah rawak menggunakan hukum taburannya.

Definisi : Hukum taburan pembolehubah rawak diskret dipanggil korespondensi antara kemungkinan nilai pembolehubah rawak dan kebarangkaliannya.

Hukum taburan pembolehubah rawak diskret X boleh diberikan dalam bentuk jadual, dalam baris pertama yang mana semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak ditunjukkan dalam tertib menaik, dan dalam baris kedua kebarangkalian yang sepadan. daripada nilai-nilai ini, i.e.

di mana р1+ р2+…+ рn=1

Jadual sedemikian dipanggil satu siri taburan pembolehubah rawak diskret.

Jika set kemungkinan nilai pembolehubah rawak adalah tidak terhingga, maka siri р1+ р2+…+ рn+… menumpu dan hasil tambahnya adalah sama dengan 1.

Hukum taburan pembolehubah rawak diskret X boleh digambarkan secara grafik, yang mana garis poligon dibina dalam sistem koordinat segi empat tepat, menghubungkan titik berturut-turut dengan koordinat (xi;pi), i=1,2,…n. Barisan yang terhasil dipanggil poligon pengedaran (Rajah 1).

Kimia organik "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark"> kimia organik masing-masing ialah 0.7 dan 0.8. Lukiskan hukum taburan pembolehubah rawak X - bilangan peperiksaan yang akan pelajar pelajari. lulus.

Penyelesaian. Hasil daripada peperiksaan, pembolehubah rawak yang dipertimbangkan X boleh mengambil salah satu daripada nilai berikut: x1=0, x2=1, x3=2.

Mari cari kebarangkalian nilai ini. Nyatakan peristiwa:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Jadi, hukum taburan pembolehubah rawak X diberikan oleh jadual:

Kawalan: 0.6+0.38+0.56=1.

§ 2. Fungsi pengedaran

Penerangan lengkap pembolehubah rawak juga diberikan oleh fungsi taburan.

Definisi: Fungsi taburan pembolehubah rawak diskret X fungsi F(x) dipanggil, yang menentukan bagi setiap nilai x kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X mengambil nilai kurang daripada x:

F(x)=P(X<х)

Secara geometri, fungsi taburan ditafsirkan sebagai kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X akan mengambil nilai yang digambarkan pada garis nombor dengan satu titik di sebelah kiri titik x.

1)0≤F(x)≤1;

2) F(x) ialah fungsi tidak menurun pada (-∞;+∞);

3) F(x) - selanjar dari kiri pada titik x= xi (i=1,2,…n) dan selanjar pada semua titik lain;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Jika hukum taburan pembolehubah rawak diskret X diberikan dalam bentuk jadual:

maka fungsi taburan F(x) ditentukan oleh formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 untuk x≤ x1,

p1 pada x1< х≤ x2,

F(x)= p1 + p2 pada x2< х≤ х3

1 untuk x> xn.

Grafnya ditunjukkan dalam Rajah 2:

§ 3. Ciri berangka pembolehubah rawak diskret.

Jangkaan matematik adalah salah satu ciri berangka yang penting.

Definisi: Jangkaan matematik M(X) Pembolehubah rawak diskret X ialah hasil tambah semua nilainya dan kebarangkalian sepadannya:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Jangkaan matematik berfungsi sebagai ciri nilai purata pembolehubah rawak.

Sifat jangkaan matematik:

1)M(C)=C, dengan C ialah nilai malar;

2) M (C X) \u003d C M (X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), dengan X, Y ialah pembolehubah rawak bebas;

5)M(X±C)=M(X)±C, dengan C ialah nilai malar;

Untuk mencirikan tahap penyebaran nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak diskret di sekeliling nilai min, varians digunakan.

Definisi: penyebaran D ( X ) pembolehubah rawak X ialah jangkaan matematik bagi sisihan kuasa dua pembolehubah rawak daripada jangkaan matematiknya:

Sifat serakan:

1)D(C)=0, dengan C ialah nilai malar;

2)D(X)>0, dengan X ialah pembolehubah rawak;

3)D(C X)=C2 D(X), dengan C ialah nilai tetap;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), dengan X, Y ialah pembolehubah rawak bebas;

Untuk mengira varians, selalunya mudah untuk menggunakan formula:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

di mana М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Varians D(X) mempunyai dimensi kuasa dua pembolehubah rawak, yang tidak selalunya mudah. Oleh itu, nilai √D(X) juga digunakan sebagai penunjuk serakan kemungkinan nilai pembolehubah rawak.

Definisi: Sisihan piawai σ(X) pembolehubah rawak X dipanggil punca kuasa dua varians:

Tugas nombor 2. Pembolehubah rawak diskret X diberikan oleh hukum taburan:

Cari P2, fungsi taburan F(x) dan plot grafnya, serta M(X), D(X), σ(X).

Penyelesaian: Oleh kerana jumlah kebarangkalian nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak X adalah sama dengan 1, maka

Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1

Cari fungsi taburan F(x)=P(X

Secara geometri, kesamaan ini boleh ditafsirkan seperti berikut: F(x) ialah kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak akan mengambil nilai yang digambarkan pada paksi nyata dengan satu titik di sebelah kiri x.

Jika x≤-1, maka F(x)=0, kerana tiada nilai tunggal pembolehubah rawak ini pada (-∞;x);

Jika -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Jika 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) dua nilai x1=-1 dan x2=0 jatuh;

Jika 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Jika 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Jika x>3, maka F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, kerana empat nilai x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 jatuh ke dalam selang (-∞;x) dan x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 untuk x≤-1,

0.1 pada -1<х≤0,

0.2 pada 0<х≤1,

F(x)= 0.5 pada 1<х≤2,

0.7 pada 2<х≤3,

1 untuk x>3

Mari kita wakili fungsi F(x) secara grafik (Rajah 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Undang-undang taburan binomial

pembolehubah rawak diskret, hukum Poisson.

Definisi: Binomial dipanggil hukum taburan pembolehubah rawak diskret X - bilangan kejadian peristiwa A dalam n percubaan berulang bebas, dalam setiap peristiwa A mungkin berlaku dengan kebarangkalian p atau tidak berlaku dengan kebarangkalian q = 1-p. Kemudian Р(Х=m)-kebarangkalian kejadian A tepat m kali dalam n percubaan dikira dengan formula Bernoulli:

P(X=m)=Сmnpmqn-m

Jangkaan matematik, varians dan sisihan piawai pembolehubah rawak X, diedarkan mengikut undang-undang binari, didapati, masing-masing, oleh formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Kebarangkalian peristiwa A - "mendapat lima" dalam setiap ujian adalah sama dan sama dengan 1/6, iaitu P(A)=p=1/6, kemudian P(A)=1-p=q=5/6, di mana

- "titisan bukan lima."

Pembolehubah rawak X boleh mengambil nilai: 0;1;2;3.

Kami mencari kebarangkalian setiap nilai kemungkinan X menggunakan formula Bernoulli:

P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216;

P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Itu. hukum taburan pembolehubah rawak X mempunyai bentuk:

Kawalan: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Mari kita cari ciri berangka pembolehubah rawak X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Tugas nombor 4. Bahagian setem mesin automatik. Kebarangkalian bahawa bahagian yang dikilang akan rosak ialah 0.002. Cari kebarangkalian bahawa antara 1000 bahagian terpilih akan ada:

a) 5 rosak;

b) sekurang-kurangnya satu rosak.

Penyelesaian: Nombor n=1000 adalah besar, kebarangkalian menghasilkan bahagian yang rosak p=0.002 adalah kecil, dan peristiwa yang sedang dipertimbangkan (bahagian tersebut ternyata rosak) adalah bebas, jadi formula Poisson berlaku:

Рn(m)= e- λ λm

Mari cari λ=np=1000 0.002=2.

a) Cari kebarangkalian terdapat 5 bahagian yang rosak (m=5):

P1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Cari kebarangkalian bahawa terdapat sekurang-kurangnya satu bahagian yang rosak.

Acara A - "sekurang-kurangnya satu daripada bahagian yang dipilih rosak" adalah bertentangan dengan acara - "semua bahagian yang dipilih tidak rosak". Oleh itu, P (A) \u003d 1-P (). Oleh itu kebarangkalian yang diingini adalah sama dengan: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 20 \u003d 1-e-2 \u003d 1-0.13534≈0.865.

Tugas untuk kerja bebas.

1.1

1.2. Pembolehubah rawak tersebar X diberikan oleh undang-undang taburan:

Cari p4, fungsi taburan F(X) dan plot grafnya, serta M(X), D(X), σ(X).

1.3. Terdapat 9 pen felt-tip di dalam kotak, 2 daripadanya tidak lagi menulis. Secara rawak, ambil 3 pen felt-tip. Pembolehubah rawak X - bilangan pen felt-tip menulis antara yang diambil. Susun hukum taburan pembolehubah rawak.

1.4. Terdapat 6 buah buku teks yang diletakkan secara rawak di rak perpustakaan, 4 daripadanya dijilid. Pustakawan mengambil 4 buku teks secara rawak. Pembolehubah rawak X ialah bilangan buku teks terikat antara yang diambil. Susun hukum taburan pembolehubah rawak.

1.5. Tiket mempunyai dua tugas. Kebarangkalian untuk menyelesaikan masalah pertama dengan betul ialah 0.9, yang kedua ialah 0.7. Pembolehubah rawak X ialah bilangan masalah yang diselesaikan dengan betul dalam tiket. Susun undang-undang taburan, kira jangkaan matematik dan varians bagi pembolehubah rawak ini, dan juga cari fungsi taburan F (x) dan bina grafnya.

1.6. Tiga penembak menembak sasaran. Kebarangkalian untuk mencapai sasaran dengan satu pukulan untuk penembak pertama ialah 0.5, untuk yang kedua - 0.8, untuk yang ketiga - 0.7. Pembolehubah rawak X ialah bilangan pukulan pada sasaran jika penembak membuat satu pukulan setiap satu. Cari hukum taburan, M(X),D(X).

1.7. Seorang pemain bola keranjang membaling bola ke dalam bakul dengan kebarangkalian untuk memukul pada setiap lontaran 0.8. Untuk setiap pukulan, dia menerima 10 mata, dan sekiranya tersasar, dia tidak diberikan mata. Susun hukum taburan pembolehubah rawak X-bilangan mata yang diterima oleh pemain bola keranjang untuk 3 lontaran. Cari M(X),D(X) dan juga kebarangkalian bahawa dia akan mendapat lebih daripada 10 mata.

1.8. Huruf ditulis pada kad, hanya 5 vokal dan 3 konsonan. 3 kad dipilih secara rawak, dan setiap kali kad yang diambil dikembalikan semula. Pembolehubah rawak X ialah bilangan vokal antara yang diambil. Susun hukum taburan dan cari M(X),D(X),σ(X).

1.9. Secara purata, di bawah 60% kontrak, syarikat insurans membayar jumlah insurans berkaitan dengan kejadian yang diinsuranskan. Wujudkan undang-undang pengagihan untuk pembolehubah rawak X - bilangan kontrak yang mana jumlah diinsuranskan telah dibayar antara empat kontrak yang dipilih secara rawak. Cari ciri berangka bagi kuantiti ini.

1.10. Stesen radio pada selang masa tertentu menghantar tanda panggilan (tidak lebih daripada empat) sehingga komunikasi dua hala diwujudkan. Kebarangkalian untuk menerima respons kepada tanda panggilan ialah 0.3. Pembolehubah rawak X-nombor tanda panggilan dihantar. Susun hukum taburan dan cari F(x).

1.11. Terdapat 3 kunci, yang mana hanya satu yang sesuai dengan kunci. Buat undang-undang pengedaran untuk pembolehubah rawak X-bilangan percubaan untuk membuka kunci, jika kunci yang dicuba tidak menyertai percubaan berikutnya. Cari M(X),D(X).

1.12. Ujian bebas berurutan bagi tiga peranti untuk kebolehpercayaan dijalankan. Setiap peranti seterusnya diuji hanya jika yang sebelumnya ternyata boleh dipercayai. Kebarangkalian lulus ujian bagi setiap instrumen ialah 0.9. Susun hukum taburan pembolehubah rawak X-nombor peranti yang diuji.

1.13 .Pembolehubah rawak diskret X mempunyai tiga nilai yang mungkin: x1=1, x2, x3 dan x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Blok peranti elektronik mengandungi 100 elemen yang sama. Kebarangkalian kegagalan setiap elemen dalam masa T adalah bersamaan dengan 0.002. Unsur-unsur berfungsi secara bebas. Cari kebarangkalian bahawa tidak lebih daripada dua elemen akan gagal dalam masa T.

1.15. Buku teks itu diterbitkan dalam 50,000 naskhah. Kebarangkalian buku teks dijilid secara salah ialah 0.0002. Cari kebarangkalian bahawa edaran itu mengandungi:

a) empat buku yang rosak,

b) kurang daripada dua buku yang rosak.

1 .16. Bilangan panggilan yang tiba di PBX setiap minit diedarkan mengikut undang-undang Poisson dengan parameter λ=1.5. Cari kebarangkalian bahawa dalam satu minit akan ada:

a) dua panggilan;

b) sekurang-kurangnya satu panggilan.

1.17.

Cari M(Z),D(Z) jika Z=3X+Y.

1.18. Hukum taburan dua pembolehubah rawak bebas diberikan:

Cari M(Z),D(Z) jika Z=X+2Y.

Jawapan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; 0 untuk x≤-2,

0.3 pada -2<х≤0,

F(x)= 0.5 pada 0<х≤2,

0.9 pada 2<х≤5,

1 untuk x>5

1.2. p4=0.1; 0 untuk x≤-1,

0.3 pada -1<х≤0,

0.4 pada 0<х≤1,

F(x)= 0.6 pada 1<х≤2,

0.7 pada 2<х≤3,

1 untuk x>3

M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 untuk x≤0,

0.03 pada 0<х≤1,

F(x)= 0.37 pada 1<х≤2,

1 untuk x>2

M(X)=2; D(X)=0.62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0.96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1.22e-0.2≈0.999

1.15. a) 0.0189; b) 0.00049

1.16. a) 0.0702; b) 0.77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

bab 2 Pembolehubah rawak berterusan

Definisi: Berterusan namakan nilai, semua kemungkinan nilai yang mengisi sepenuhnya selang terhingga atau tak terhingga paksi berangka.

Jelas sekali, bilangan nilai yang mungkin bagi pembolehubah rawak berterusan adalah tidak terhingga.

Pembolehubah rawak berterusan boleh ditentukan menggunakan fungsi taburan.

Definisi: F fungsi pengagihan pembolehubah rawak berterusan X ialah fungsi F(x), yang menentukan untuk setiap nilai xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R

Fungsi pengedaran kadangkala dipanggil fungsi pengedaran kumulatif.

Ciri fungsi pengedaran:

1)1≤F(x)≤1

2) Untuk pembolehubah rawak berterusan, fungsi taburan adalah berterusan pada mana-mana titik dan boleh dibezakan di mana-mana, kecuali mungkin pada titik individu.

3) Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak X jatuh ke dalam salah satu selang (a; b), [a; b), [a; b], adalah sama dengan perbezaan antara nilai fungsi F (x) pada titik a dan b, i.e. P(a<Х

4) Kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak berterusan X akan mengambil satu nilai tunggal ialah 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Menentukan pembolehubah rawak berterusan menggunakan fungsi taburan bukan satu-satunya. Mari kita perkenalkan konsep ketumpatan taburan kebarangkalian (ketumpatan taburan).

Definisi : Ketumpatan kebarangkalian f ( x ) pembolehubah rawak selanjar X ialah terbitan bagi fungsi taburannya, iaitu:

Ketumpatan taburan kebarangkalian kadangkala dipanggil fungsi taburan pembezaan atau hukum taburan pembezaan.

Graf ketumpatan taburan kebarangkalian f(x) dipanggil keluk taburan kebarangkalian .

Sifat ketumpatan kebarangkalian:

1) f(x) ≥0, apabila xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 src="> 0 untuk x≤2,

f(x)= c(x-2) pada 2<х≤6,

0 untuk x>6.

Cari: a) nilai c; b) fungsi taburan F(x) dan bina grafnya; c) Р(3≤х<5)

Penyelesaian:

+ ∞

a) Cari nilai c daripada keadaan normalisasi: ∫ f(x)dx=1.

Oleh itu, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

jika 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 untuk x≤2,

F (x) \u003d (x-2) 2/16 pada 2<х≤6,

1 untuk x>6.

Graf bagi fungsi F(x) ditunjukkan dalam Rajah 3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 untuk x≤0,

F (x) \u003d (3 arctg x) / π pada 0<х≤√3,

1 untuk x>√3.

Cari fungsi taburan pembezaan f(x)

Penyelesaian: Oleh kerana f (x) \u003d F '(x), maka

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" lebar="118" ketinggian="24">

Semua sifat jangkaan dan serakan matematik yang dipertimbangkan lebih awal untuk pembolehubah rawak tersebar juga sah untuk pembolehubah berterusan.

Tugas nombor 3. Pembolehubah rawak X diberikan oleh fungsi pembezaan f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Tugas untuk penyelesaian bebas.

2.1. Pembolehubah rawak berterusan X diberikan oleh fungsi taburan:

0 untuk x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤ π/6,

F(х)= - cos 3x pada π/6<х≤ π/3,

1 untuk x> π/3.

Cari fungsi taburan pembezaan f(x) dan juga

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 untuk x≤2,

f(x)= dengan x pada 2<х≤4,

0 untuk x>4.

2.4. Pembolehubah rawak berterusan X diberikan oleh ketumpatan taburan:

0 untuk x≤0,

f(х)= с √х pada 0<х≤1,

0 untuk x>1.

Cari: a) nombor c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> untuk x,

0 pada x.

Cari: a) F(x) dan plotkan grafnya; b) M(X),D(X), σ(X); c) kebarangkalian bahawa dalam empat percubaan bebas nilai X akan mengambil tepat 2 kali ganda nilai kepunyaan selang (1; 4).

2.6. Ketumpatan taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak berterusan X diberikan:

f (x) \u003d 2 (x-2) untuk x,

0 pada x.

Cari: a) F(x) dan plotkan grafnya; b) M(X),D(X), σ(X); c) kebarangkalian bahawa dalam tiga ujian bebas nilai X akan mengambil tepat 2 kali ganda nilai kepunyaan selang .

2.7. Fungsi f(x) diberikan sebagai:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Fungsi f(x) diberikan sebagai:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /empat ; π /4].

Cari: a) nilai pemalar c, di mana fungsinya ialah ketumpatan kebarangkalian bagi beberapa pembolehubah rawak X; b) fungsi taburan F(x).

2.9. Pembolehubah rawak Х, tertumpu pada selang (3;7), diberikan oleh fungsi taburan F(х)= . Cari kebarangkalian itu

pembolehubah rawak X akan mengambil nilai: a) kurang daripada 5, b) tidak kurang daripada 7.

2.10. Pembolehubah rawak X, tertumpu pada selang (-1; 4),

diberikan oleh fungsi taburan F(x)= . Cari kebarangkalian itu

pembolehubah rawak X akan mengambil nilai: a) kurang daripada 2, b) tidak kurang daripada 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Cari: a) nombor c; b) M(X); c) kebarangkalian P(X > M(X)).

2.12. Pembolehubah rawak diberikan oleh fungsi taburan pembezaan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Cari: a) M(X); b) kebarangkalian Р(Х≤М(Х))

2.13. Taburan masa diberikan oleh ketumpatan kebarangkalian:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> untuk x ≥0.

Buktikan bahawa f(x) sememangnya taburan ketumpatan kebarangkalian.

2.14. Ketumpatan taburan kebarangkalian bagi pembolehubah rawak berterusan X diberikan:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src="> (rajah.4) (rajah.5)

2.16. Pembolehubah rawak X diedarkan mengikut undang-undang "segitiga bersudut tegak" dalam selang (0; 4) (Rajah 5). Cari ungkapan analitikal untuk ketumpatan kebarangkalian f(x) pada keseluruhan paksi nyata.

Jawapan

0 untuk x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x pada π/6<х≤ π/3,

0 untuk x> π/3. Pembolehubah rawak berterusan X mempunyai hukum taburan seragam pada selang tertentu (a;b), di mana semua nilai X yang mungkin dimiliki, jika ketumpatan taburan kebarangkalian f(x) adalah malar pada selang ini dan sama dengan 0 di luarnya, i.e.

0 untuk x≤a,

f(x)= untuk a<х

0 untuk x≥b.

Graf bagi fungsi f(x) ditunjukkan dalam rajah. satu

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 untuk x≤a,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" lebar="30" tinggi="37">, D(X)=, σ(Х)=.

Tugas nombor 1. Pembolehubah rawak X diagihkan secara seragam pada segmen . Cari:

a) ketumpatan taburan kebarangkalian f(x) dan bina grafnya;

b) fungsi taburan F(x) dan bina grafnya;

c) M(X),D(X), σ(X).

Penyelesaian: Menggunakan formula yang dibincangkan di atas, dengan a=3, b=7, kita dapati:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> pada 3≤х≤7,

0 untuk x>7

Mari bina grafnya (Gamb. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 untuk x≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" lebar="203" ketinggian="119 src=">rajah.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" lebar="37" ketinggian="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 untuk x<0,

f(х)= λе-λх pada х≥0.

Fungsi taburan pembolehubah rawak X, diedarkan mengikut hukum eksponen, diberikan oleh formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(X)=

Oleh itu, jangkaan matematik dan sisihan piawai bagi taburan eksponen adalah sama antara satu sama lain.

Kebarangkalian X jatuh ke dalam selang (a;b) dikira dengan formula:

Р(a<Х

Tugas nombor 2. Purata masa hidup peranti ialah 100 jam. Dengan mengandaikan bahawa masa hidup peranti mempunyai undang-undang pengedaran eksponen, cari:

a) ketumpatan taburan kebarangkalian;

b) fungsi pengagihan;

c) kebarangkalian bahawa masa operasi tanpa kegagalan peranti akan melebihi 120 jam.

Penyelesaian: Mengikut syarat, taburan matematik M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 untuk x<0,

a) f(x)= 0.01e -0.01x untuk x≥0.

b) F(x)= 0 untuk x<0,

1-e -0.01x pada x≥0.

c) Kami mencari kebarangkalian yang diingini menggunakan fungsi taburan:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1.2)=e-1.2≈0.3.

§ 3.Undang-undang pengedaran biasa

Definisi: Pembolehubah rawak selanjar X mempunyai undang-undang taburan normal (undang-undang Gaussian), jika ketumpatan pengedarannya mempunyai bentuk:

dengan m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Keluk taburan normal dipanggil lengkung normal atau gaussian (rajah 7)

Lengkung normal adalah simetri berkenaan dengan garis lurus x=m, mempunyai maksimum pada x=a sama dengan .

Fungsi taburan pembolehubah rawak X, diedarkan mengikut hukum normal, dinyatakan melalui fungsi Laplace Ф (х) mengikut formula:

di manakah fungsi Laplace.

Ulasan: Fungsi Ф(х) adalah ganjil (Ф(-х)=-Ф(х)), selain itu, jika x>5, kita boleh mempertimbangkan Ф(х) ≈1/2.

Graf bagi fungsi taburan F(x) ditunjukkan dalam rajah. lapan

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Kebarangkalian bahawa nilai mutlak sisihan adalah kurang daripada nombor positif δ dikira dengan formula:

Khususnya, untuk m=0 kesamaan adalah benar:

"Peraturan Tiga Sigma"

Jika pembolehubah rawak X mempunyai hukum taburan normal dengan parameter m dan σ, maka secara praktikal pasti nilainya terletak pada selang (a-3σ; a+3σ), kerana

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" lebar="157" ketinggian="57 src=">a)

b) Mari kita gunakan formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Menurut jadual nilai fungsi Ф(х) kita dapati Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413.

Jadi kebarangkalian yang dikehendaki ialah:

P(28

Tugas untuk kerja bebas

3.1. Pembolehubah rawak X diagihkan secara seragam dalam selang (-3;5). Cari:

b) fungsi pengagihan F(x);

c) ciri berangka;

d) kebarangkalian P(4<х<6).

3.2. Pembolehubah rawak X diagihkan secara seragam pada segmen . Cari:

a) ketumpatan taburan f(x);

b) fungsi pengagihan F(x);

c) ciri berangka;

d) kebarangkalian Р(3≤х≤6).

3.3. Lampu isyarat automatik dipasang di lebuh raya, di mana lampu hijau menyala selama 2 minit untuk kenderaan, kuning selama 3 saat dan merah selama 30 saat, dsb. Kereta itu melalui lebuh raya secara rawak. Cari kebarangkalian kereta itu melepasi lampu isyarat tanpa berhenti.

3.4. Kereta api bawah tanah berjalan dengan kerap pada selang waktu 2 minit. Penumpang memasuki platform secara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa penumpang perlu menunggu lebih daripada 50 saat untuk kereta api? Cari jangkaan matematik pembolehubah rawak X - masa menunggu kereta api itu.

3.5. Cari varians dan sisihan piawai bagi taburan eksponen yang diberikan oleh fungsi taburan:

F(x)= 0 pada x<0,

1-e-8x untuk x≥0.

3.6. Pembolehubah rawak berterusan X diberikan oleh ketumpatan taburan kebarangkalian:

f(x)=0 pada x<0,

0.7 e-0.7x pada x≥0.

a) Namakan hukum taburan pembolehubah rawak yang dianggap.

b) Cari fungsi taburan F(X) dan ciri berangka pembolehubah rawak X.

3.7. Pembolehubah rawak X diedarkan mengikut hukum eksponen, diberikan oleh ketumpatan taburan kebarangkalian:

f(x)=0 pada x<0,

0.4 e-0.4 x pada x≥0.

Cari kebarangkalian bahawa, sebagai hasil ujian, X akan mengambil nilai daripada selang (2.5; 5).

3.8. Pembolehubah rawak berterusan X diedarkan mengikut hukum eksponen yang diberikan oleh fungsi taburan:

F(x)= 0 pada x<0,

1-0.6x pada x≥0

Cari kebarangkalian bahawa, sebagai hasil ujian, X akan mengambil nilai daripada selang .

3.9. Jangkaan matematik dan sisihan piawai bagi pembolehubah rawak taburan normal masing-masing ialah 8 dan 2. Cari:

a) ketumpatan taburan f(x);

b) kebarangkalian bahawa, hasil daripada ujian, X akan mengambil nilai daripada selang (10;14).

3.10. Pembolehubah rawak X bertaburan normal dengan min 3.5 dan varians 0.04. Cari:

a) ketumpatan taburan f(x);

b) kebarangkalian bahawa, hasil daripada ujian, X akan mengambil nilai daripada selang .

3.11. Pembolehubah rawak X diedarkan secara normal dengan M(X)=0 dan D(X)=1. Antara peristiwa yang manakah: |X|≤0.6 atau |X|≥0.6 mempunyai kebarangkalian yang lebih tinggi?

3.12. Pembolehubah rawak X diedarkan secara normal dengan M(X)=0 dan D(X)=1. Dari selang (-0.5;-0.1) atau (1;2) dalam satu ujian manakah ia akan mengambil nilai yang lebih besar. kebarangkalian?

3.13. Harga semasa sesaham boleh dimodelkan menggunakan taburan normal dengan M(X)=10den. unit dan σ (X)=0.3 den. unit Cari:

a) kebarangkalian bahawa harga saham semasa adalah daripada 9.8 den. unit sehingga 10.4 den. unit;

b) menggunakan "peraturan tiga sigma" untuk mencari sempadan di mana harga semasa stok akan ditempatkan.

3.14. Bahan ditimbang tanpa ralat sistematik. Ralat penimbangan rawak tertakluk kepada hukum biasa dengan nisbah punca-min-kuasa dua σ=5r. Cari kebarangkalian bahawa dalam empat eksperimen bebas ralat dalam tiga penimbang tidak akan berlaku dalam nilai mutlak 3r.

3.15. Pembolehubah rawak X diedarkan secara normal dengan M(X)=12.6. Kebarangkalian pembolehubah rawak jatuh ke dalam selang (11.4;13.8) ialah 0.6826. Cari sisihan piawai σ.

3.16. Pembolehubah rawak X diedarkan secara normal dengan M(X)=12 dan D(X)=36. Cari selang di mana, dengan kebarangkalian 0.9973, pembolehubah rawak X akan jatuh hasil daripada ujian itu.

3.17. Bahagian yang dikeluarkan oleh mesin automatik dianggap rosak jika sisihan X parameter terkawalnya daripada nilai nominal melebihi 2 unit ukuran dalam modulo . Diandaikan bahawa pembolehubah rawak X bertaburan secara normal dengan M(X)=0 dan σ(X)=0.7. Berapakah peratus bahagian yang rosak yang diberikan oleh mesin?

3.18. Parameter terperinci X diedarkan secara normal dengan jangkaan matematik 2 bersamaan dengan nilai nominal dan sisihan piawai 0.014. Cari kebarangkalian bahawa sisihan X daripada modulo nilai muka tidak melebihi 1% daripada nilai muka.

Jawapan

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0 untuk x≤-3,

F(x)=kiri">