getaran yang dilembapkan. Pengurangan redaman

Redaman ayunan ialah penurunan beransur-ansur dalam amplitud ayunan dari semasa ke semasa, disebabkan oleh kehilangan tenaga oleh sistem ayunan.

Getaran semula jadi tanpa redaman adalah idealisasi. Sebab pudar boleh berbeza. Dalam sistem mekanikal, getaran diredam oleh kehadiran geseran. Dalam litar elektromagnet, tenaga getaran dikurangkan kehilangan haba dalam konduktor yang membentuk sistem. Apabila semua tenaga yang tersimpan dalam sistem ayunan digunakan, ayunan akan berhenti. Oleh itu, amplitud ayunan yang dilembapkan berkurangan sehingga menjadi sifar.

getaran yang dilembapkan, serta mereka sendiri, dalam sistem yang berbeza sifatnya, boleh dipertimbangkan daripada titik tunggal penglihatan - ciri umum. Walau bagaimanapun, ciri-ciri seperti amplitud dan tempoh memerlukan definisi semula, manakala yang lain memerlukan penambahan dan penjelasan berbanding dengan ciri yang sama untuk ayunan semula jadi yang tidak dilembapkan. Tanda-tanda umum dan konsep ayunan terlembap adalah seperti berikut:

Persamaan pembezaan mesti diperoleh dengan mengambil kira pengurangan tenaga getaran dalam proses ayunan.

Persamaan ayunan ialah penyelesaian bagi persamaan pembezaan.

Amplitud ayunan lembap bergantung pada masa.

Kekerapan dan tempoh bergantung pada tahap redaman ayunan.

Fasa dan fasa awal mempunyai makna yang sama seperti untuk ayunan yang tidak terendam.

3.1. Getaran lembap mekanikal

sistem mekanikal: bandul spring tertakluk kepada daya geseran.

Daya yang bertindak pada bandul:

Daya kenyal. , dengan k ialah pekali kekakuan spring, х ialah sesaran bandul dari kedudukan keseimbangan.

Daya rintangan. Pertimbangkan daya rintangan yang berkadar dengan kelajuan v pergerakan (pergantungan sedemikian adalah tipikal untuk kelas daya rintangan yang besar): . Tanda tolak menunjukkan bahawa arah daya rintangan adalah bertentangan dengan arah halaju jasad. Pekali seret r secara berangka sama dengan kekuatan rintangan yang timbul pada kelajuan unit badan:

Undang-undang pergerakanbandul spring ialah hukum kedua Newton:

m a = F ex. + F melawan.

Memandangkan itu dan , kita menulis hukum kedua Newton dalam bentuk:

Membahagikan semua sebutan persamaan dengan m, memindahkan kesemuanya kepada sebelah kanan, kita mendapatkan persamaan pembezaan ayunan lembap:

Nyatakan , di mana β adalah faktor redaman, , dengan ω 0 ialah kekerapan tak teredam getaran percuma jika tiada kehilangan tenaga dalam sistem ayunan.

Dalam tatatanda baharu, persamaan pembezaan ayunan terlembap mempunyai bentuk:

Ini ialah persamaan pembezaan linear tertib kedua.

Persamaan ayunan teredam adalah penyelesaian kepada persamaan pembezaan berikut:

Lampiran 1 menunjukkan penyelesaian persamaan pembezaan ayunan terlembap dengan kaedah perubahan pembolehubah.

Kekerapan ayunan yang diredam:

(hanya akar sebenar mempunyai makna fizikal, oleh itu).

Tempoh ayunan lembap:

Makna yang dimasukkan ke dalam konsep tempoh untuk ayunan tidak lembap tidak sesuai untuk ayunan lembap, kerana sistem ayunan tidak pernah kembali kepada keadaan asalnya kerana kehilangan tenaga ayunan. Dengan adanya geseran, ayunan lebih perlahan: .

Tempoh ayunan lembap dipanggil selang masa minimum yang mana sistem melepasi dua kali kedudukan keseimbangan dalam arah yang sama.

Untuk sistem mekanikal pendulum musim bunga yang kami ada:

, .

Amplitud ayunan terlembap:

Untuk bandul spring.

Amplitud ayunan yang dilembapkan bukanlah nilai tetap, tetapi berubah mengikut masa semakin cepat, semakin besar pekali β. Oleh itu, takrifan untuk amplitud, yang diberikan sebelum ini untuk ayunan bebas yang tidak terendam, mesti ditukar untuk ayunan terlembap.

Untuk pengecilan kecil amplitud ayunan terlembap dipanggil sisihan terbesar daripada kedudukan keseimbangan bagi tempoh tersebut.

graf Offset lwn masa dan amplitud lwn lengkung masa ditunjukkan dalam Rajah 3.1 dan 3.2.

Rajah 3.1 - Kebergantungan anjakan pada masa untuk ayunan terlembap

Rajah 3.2 - Kebergantungan amplitud pada masa untuk ayunan terlembap

3.2. Ayunan terlembap elektromagnet

Ayunan terlembap elektromagnet timbul dalam e sistem ayunan elektromagnet, dipanggil LCR - kontur (Rajah 3.3).

Rajah 3.3.

Persamaan pembezaan kita memperoleh menggunakan hukum Kirchhoff kedua untuk litar LCR tertutup: jumlah voltan jatuh merentasi rintangan aktif (R) dan kapasitor (C) adalah sama dengan Induksi EMF, dibangunkan dalam litar litar:

Kejatuhan voltan:

Pada rintangan aktif: , di mana I ialah kekuatan semasa dalam litar;

Pada kapasitor (C): , dengan q ialah jumlah cas pada salah satu plat kapasitor.

EMF yang dibangunkan dalam litar ialah EMF aruhan yang berlaku dalam induktor apabila arus di dalamnya berubah, dan oleh itu fluks magnet melalui bahagiannya: (hukum Faraday).

Kami menggantikan nilai U R , U C , ke dalam persamaan yang mencerminkan hukum Kirchhoff, kami mendapat:

Kekuatan semasa ditakrifkan sebagai terbitan cas, maka, dan persamaan pembezaan mengambil bentuk:

Nyatakan , , kita memperoleh dalam tatatanda ini persamaan pembezaan ayunan terlembap dalam bentuk:

Penyelesaian persamaan pembezaan atau persamaan ayunan cas pada plat kapasitor kelihatan seperti:

Amplitud ayunan cas terlembap kelihatan seperti:

Kekerapan ayunan yang diredam dalam litar LCR:

Tempoh ayunan elektromagnet terlembap:

Mari kita ambil persamaan untuk caj dalam bentuk , kemudian persamaan tegasan pada plat kapasitor boleh ditulis sebagai
.

Nilai itu dipanggil amplitud voltan merentasi kapasitor.

semasa dalam litar berubah mengikut masa. Persamaan Semasa dalam kontur boleh diperoleh menggunakan nisbah dan gambar rajah vektor.

Persamaan akhir untuk kekuatan semasa ialah:

di mana - fasa awal.

Ia tidak sama dengan α, kerana kekuatan semasa tidak berubah sepanjang sinus, yang akan memberikan terbitan cas, tetapi sepanjang kosinus.

Tenaga ayunan dalam litar terdiri daripada tenaga medan elektrik

dan tenaga medan magnet

jumlah tenaga pada bila-bila masa:

di mana W0 – jumlah tenaga kontur pada masa t=0 .

3.3. Ciri-ciri ayunan lembap

1.Faktor pengecilan β.

Perubahan dalam amplitud ayunan terlembap berlaku mengikut undang-undang eksponen:

Biarkan amplitud ayunan berkurangan sebanyak "e" kali sepanjang masa τ ("e" ialah asas logaritma asli, e ≈ 2.718). Kemudian, di satu pihak, , dan sebaliknya, setelah melukis amplitud A zat. (t) dan A di. (t+τ), kita ada . Hubungan ini membayangkan βτ = 1, oleh itu

Selang masa τ, di mana amplitud berkurangan sebanyak "e" kali, dipanggil masa bersantai.

Faktor pengecilanβ ialah nilai berkadar songsang dengan masa kelonggaran.

2. penurunan logaritma pengecilan δ - kuantiti fizikal, secara berangka sama dengan logaritma semula jadi nisbah dua amplitud berturut-turut dipisahkan dalam masa dengan suatu tempoh.

§6 Getaran teredam

Pengurangan pengecilan. Penurunan redaman logaritma.

Getaran percuma sistem teknikal dalam keadaan sebenar, ia mengalir apabila daya rintangan bertindak ke atasnya. Tindakan daya ini membawa kepada penurunan amplitud kuantiti berayun.

Ayunan, amplitud yang berkurangan dengan masa akibat kehilangan tenaga sistem ayunan sebenar, dipanggil pudar.

Kes yang paling biasa adalah apabila daya rintangan adalah berkadar dengan kelajuan pergerakan.

di mana r- pekali rintangan sederhana. Tanda tolak menunjukkan bahawaF Cdiarahkan ke arah yang bertentangan dengan kelajuan.

Mari kita tulis persamaan ayunan pada titik berayun dalam medium yang pekali rintangannya ialahr. Mengikut undang-undang kedua Newton

di mana β ialah faktor redaman. Pekali ini mencirikan kadar redaman ayunan.Dengan adanya daya rintangan, tenaga sistem ayunan akan berkurangan secara beransur-ansur, ayunan akan lembap.

- persamaan pembezaan ayunan terlembap.

Pada penyamaan ayunan terlembap.

ω - kekerapan ayunan lembap:

Tempoh ayunan lembap:

Ayunan lembap, dipertimbangkan dengan ketat, tidak berkala. Oleh itu, kita boleh bercakap tentang tempoh ayunan lembap apabila β kecil.

Jika pengecilan dinyatakan dengan lemah (β→0), maka. ayunan lembap boleh

dianggap sebagai ayunan harmonik, amplitud yang berbeza mengikut undang-undang eksponen

Dalam persamaan (1) A 0 dan φ 0 adalah pemalar arbitrari bergantung pada pilihan momen masa, bermula dari mana kita menganggap ayunan

Mari kita pertimbangkan ayunan selama beberapa waktu τ, di mana amplitud akan berkurangan e sekali

τ - masa berehat.

Faktor redaman β adalah berkadar songsang dengan masa di mana amplitud berkurangan e sekali. Walau bagaimanapun, pekali pengecilan tidak mencukupi untuk mencirikan pengecilan ayunan. Oleh itu, adalah perlu untuk memperkenalkan ciri sedemikian untuk pengecilan ayunan, yang termasuk masa satu ayunan. Ciri sedemikian adalah penurunan(dalam bahasa Rusia: pengurangan) pengecilan D, yang sama dengan nisbah amplitud yang dipisahkan dalam masa dengan tempoh:

Penurunan redaman logaritma adalah sama dengan logaritma D :

Penurunan redaman logaritma adalah berkadar songsang dengan bilangan ayunan, akibatnya amplitud ayunan berkurangan dalam e sekali. Penurunan redaman logaritma ialah nilai tetap untuk sistem tertentu.

Satu lagi ciri sistem ayunan ialah faktor kualitiQ.

Faktor kualiti adalah berkadar dengan bilangan ayunan yang dilakukan oleh sistem semasa masa kelonggaran τ.

Qsistem ayunan ialah ukuran pelesapan relatif (pelesapan) tenaga.

Qsistem ayunan dipanggil nombor yang menunjukkan berapa kali daya kenyal lebih besar daripada daya rintangan.

Lebih besar faktor kualiti, lebih perlahan redaman berlaku, lebih dekat ayunan redaman dengan harmonik bebas.

§7 Getaran paksa.

Resonans

Dalam beberapa kes, ia menjadi perlu untuk mencipta sistem yang berprestasi ayunan yang tidak terendam. Adalah mungkin untuk mendapatkan ayunan yang tidak terendam dalam sistem jika kehilangan tenaga dikompensasikan dengan bertindak ke atas sistem dengan daya yang berubah-ubah secara berkala.

biarlah

Mari kita tuliskan ungkapan untuk persamaan gerakan titik material yang melakukan gerakan ayunan harmonik di bawah tindakan daya penggerak.

Menurut hukum kedua Newton:

(1)

Persamaan pembezaan ayunan paksa.

Persamaan pembezaan ini adalah linear tidak homogen.

Penyelesaiannya adalah sama dengan jumlah penyelesaian biasa persamaan homogen dan keputusan peribadi persamaan tak homogen:

Mari kita cari penyelesaian tertentu bagi persamaan tak homogen. Untuk melakukan ini, kami menulis semula persamaan (1) dalam bentuk berikut:

(2)

Kami akan mencari penyelesaian tertentu bagi persamaan ini dalam bentuk:

Kemudian

Gantikan dalam (2):

kerana dilakukan untuk mana-manat, maka kesamaan γ = ω mesti dipegang, oleh itu,

ia nombor kompleks ia adalah mudah untuk mewakili dalam bentuk

di mana TAPI ditentukan oleh formula (3 di bawah), dan φ - oleh formula (4), oleh itu, penyelesaian (2), in bentuk kompleks mempunyai bentuk

Bahagian nyatanya, yang merupakan penyelesaian persamaan (1), adalah sama dengan:

di mana

(3)

(4)

Istilah Х o.o. bermain peranan penting hanya di peringkat awal apabila ayunan diwujudkan sehingga amplitud ayunan paksa mencapai nilai yang ditentukan oleh persamaan (3). Dalam keadaan mantap, ayunan paksa berlaku dengan frekuensi ω dan adalah harmonik. Amplitud (3) dan fasa (4) ayunan paksa bergantung pada kekerapan daya penggerak. Pada frekuensi tertentu amplitud daya penggerak boleh mencapai sangat nilai yang besar. Peningkatan mendadak dalam amplitud ayunan paksa apabila frekuensi daya penggerak menghampiri frekuensi semula jadi sistem mekanikal dipanggil resonans.

Kekerapan ω daya penggerak di mana resonans diperhatikan dipanggil resonans. Untuk mencari nilai ω res, adalah perlu untuk mencari keadaan untuk amplitud maksimum. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menentukan keadaan minimum untuk penyebut dalam (3) (iaitu, memeriksa (3) untuk ekstrem).

Kebergantungan amplitud kuantiti berayun pada frekuensi daya penggerak dipanggil lengkung resonans. Keluk resonans akan menjadi lebih tinggi, lebih rendah faktor redaman β dan dengan penurunan β, maksimum keluk resonans akan beralih ke kanan. Jika β = 0, maka

ω res = ω 0 .

Pada ω→0 semua lengkung datang kepada nilai- sisihan statik.

Resonans parametrik berlaku apabila perubahan berkala dalam salah satu parameter sistem membawa kepada peningkatan mendadak dalam amplitud sistem berayun. Contohnya, kabin yang membuat "matahari" dengan menukar kedudukan pusat graviti sistem.(Sama dalam "bot".) Lihat §61 .t. 1 Saveliev I.V.

Ayunan diri dipanggil ayunan sedemikian, tenaga yang diisi semula secara berkala akibat pengaruh sistem itu sendiri disebabkan oleh sumber tenaga yang terletak dalam sistem yang sama. Lihat §59 v.1 Savelyev I.V.

Pergerakan berayun ialah sebarang pergerakan yang berulang secara berkala. Oleh itu, pergantungan koordinat dan halaju badan pada masa semasa ayunan diterangkan oleh fungsi masa berkala. AT kursus sekolah ahli fizik menganggap ayunan sedemikian di mana kebergantungan dan halaju badan adalah fungsi trigonometri. , atau gabungan mereka, di mana ada beberapa nombor. Ayunan sedemikian dipanggil harmonik (fungsi dan sering dipanggil fungsi harmonik). Untuk menyelesaikan masalah untuk getaran termasuk dalam program bersatu peperiksaan negeri dalam fizik, anda perlu mengetahui definisi ciri-ciri utama gerakan berayun: amplitud, tempoh, kekerapan, bulatan (atau kitaran) kekerapan dan fasa ayunan. Marilah kita berikan takrifan ini dan sambungkan kuantiti terhitung dengan parameter pergantungan koordinat badan pada masa, yang dalam kes ayunan harmonik sentiasa boleh diwakili sebagai

di mana , dan ialah beberapa nombor.

Amplitud ayunan ialah sisihan maksimum jasad berayun daripada kedudukan keseimbangan. Kerana maksimum dan nilai minimum kosinus dalam (11.1) adalah sama dengan ±1, maka amplitud ayunan jasad yang berayun (11.1) adalah sama dengan . Tempoh ayunan ialah masa minimum selepas pergerakan badan diulang. Untuk pergantungan (11.1), tempoh boleh ditetapkan daripada pertimbangan berikut. kosinus - fungsi berkala dengan tempoh. Oleh itu, pergerakan diulang sepenuhnya melalui nilai sedemikian yang . Dari sini kita dapat

Kekerapan ayunan bulat (atau kitaran) ialah bilangan ayunan per unit masa. Daripada formula (11.3) kita membuat kesimpulan bahawa kekerapan bulatan ialah nilai daripada formula (11.1).

Fasa ayunan ialah hujah bagi fungsi trigonometri yang menerangkan pergantungan koordinat pada masa. Daripada formula (11.1) kita melihat bahawa fasa ayunan badan, pergerakan yang diterangkan oleh pergantungan (11.1), adalah sama dengan . Nilai fasa ayunan pada masa = 0 dipanggil fasa awal. Untuk pergantungan (11.1) fasa awal ayunan adalah sama dengan nilai . Jelas sekali, fasa awal ayunan bergantung pada pilihan titik rujukan masa (momen = 0), yang sentiasa bersyarat. Dengan menukar asal rujukan masa, fasa awal ayunan sentiasa boleh "dibuat" sama dengan sifar, dan sinus dalam formula (11.1) "ditukar" menjadi kosinus atau sebaliknya.

Program peperiksaan negeri bersatu juga termasuk pengetahuan tentang formula untuk kekerapan ayunan spring dan bandul matematik. Adalah lazim untuk memanggil pendulum spring sebagai badan yang boleh berayun pada permukaan mendatar yang licin di bawah tindakan spring, hujung kedua yang ditetapkan (angka kiri). Bandul matematik ialah jasad yang besar, dimensinya boleh diabaikan, berayun pada benang yang panjang, tanpa berat dan tidak dapat dipanjangkan (angka kanan). Nama sistem ini - "pendulum matematik" adalah disebabkan oleh fakta bahawa ia adalah abstrak matematik model sebenar ( fizikal) daripada bandul. Ia adalah perlu untuk mengingati formula untuk tempoh (atau kekerapan) ayunan spring dan bandul matematik. Untuk bandul spring

di manakah panjang benang, ialah pecutan jatuh bebas. Pertimbangkan penggunaan definisi dan undang-undang ini pada contoh penyelesaian masalah.

Untuk mencari kekerapan kitaran beban dalam tugasan 11.1.1 mari kita cari tempoh ayunan dahulu, dan kemudian gunakan formula (11.2). Oleh kerana 10 m 28 s ialah 628 s, dan pada masa ini beban membuat 100 ayunan, tempoh ayunan beban ialah 6.28 s. Oleh itu, kekerapan ayunan kitaran ialah 1 s -1 (jawapan 2 ). AT tugasan 11.1.2 beban membuat 60 ayunan dalam 600 s, jadi kekerapan ayunan ialah 0.1 s -1 (jawapan 1 ).

Untuk memahami apa jalan itu akan berlalu kargo selama 2.5 tempoh ( tugasan 11.1.3), ikuti pergerakannya. Selepas satu tempoh, beban akan kembali semula ke titik pesongan maksimum, membuat ayunan lengkap. Oleh itu, pada masa ini, beban akan melepasi jarak, sama dengan empat amplitud: ke kedudukan keseimbangan - satu amplitud, dari kedudukan keseimbangan ke titik sisihan maksimum ke arah lain - kedua, kembali ke kedudukan keseimbangan - ketiga, dari kedudukan keseimbangan ke titik permulaan - yang keempat. Semasa tempoh kedua, beban akan sekali lagi melepasi empat amplitud, dan untuk separuh baki tempoh - dua amplitud. Oleh itu, jarak yang dilalui adalah sama dengan sepuluh amplitud (jawapan 4 ).

Jumlah pergerakan badan ialah jarak dari titik mula ke titik akhir. Untuk 2.5 tempoh dalam tugasan 11.1.4 badan akan mempunyai masa untuk menyelesaikan dua ayunan penuh dan separuh penuh, i.e. akan berada pada sisihan maksimum, tetapi pada sisi lain kedudukan keseimbangan. Oleh itu, jumlah anjakan adalah sama dengan dua amplitud (jawapan 3 ).

Secara takrif, fasa ayunan ialah hujah bagi fungsi trigonometri, yang menerangkan pergantungan koordinat jasad berayun pada masa. Oleh itu jawapan yang betul ialah tugasan 11.1.5 - 3 .

Tempoh ialah masa ayunan lengkap. Ini bermakna bahawa kembalinya badan kembali ke titik yang sama dari mana badan mula bergerak tidak bermakna bahawa tempoh telah berlalu: badan mesti kembali ke titik yang sama dengan kelajuan yang sama. Sebagai contoh, badan, setelah memulakan ayunan dari kedudukan keseimbangan, dalam tempoh itu akan mempunyai masa untuk menyimpang dengan nilai maksimum dalam satu arah, kembali, menyimpang ke maksimum ke arah lain dan kembali semula. Oleh itu, dalam tempoh tersebut, badan akan mempunyai masa untuk menyimpang dua kali dengan nilai maksimum dari kedudukan keseimbangan dan kembali semula. Oleh itu, laluan dari kedudukan keseimbangan ke titik sisihan maksimum ( tugasan 11.1.6) badan menghabiskan bahagian keempat tempoh (jawapan 3 ).

Ayunan sedemikian dipanggil harmonik, di mana pergantungan koordinat badan berayun pada masa diterangkan oleh fungsi trigonometri (sinus atau kosinus) masa. AT tugasan 11.1.7 ini adalah fungsi dan , walaupun pada hakikatnya parameter yang disertakan di dalamnya dilambangkan sebagai 2 dan 2 . Fungsi tersebut ialah fungsi trigonometri bagi kuasa dua masa. Oleh itu, turun naik hanya kuantiti dan harmonik (jawapan 4 ).

Pada getaran harmonik kelajuan badan berubah mengikut undang-undang , di manakah amplitud ayunan kelajuan (rujukan masa dipilih supaya fasa awal ayunan akan sama dengan sifar). Dari sini kita dapati pergantungan tenaga kinetik badan pada masa
(tugasan 11.1.8). Menggunakan yang terkenal formula trigonometri, kita mendapatkan

Daripada formula ini ia mengikutinya tenaga kinetik perubahan badan semasa ayunan harmonik juga mengikut undang-undang harmonik, tetapi dengan frekuensi dua kali ganda (jawapan 2 ).

Di belakang nisbah antara tenaga kinetik beban dan tenaga keupayaan spring ( tugasan 11.1.9) boleh dikesan dengan mudah daripada pertimbangan berikut. Apabila badan diselewengkan dengan jumlah maksimum dari kedudukan keseimbangan, kelajuan badan adalah sifar, dan, oleh itu, tenaga potensi spring adalah lebih besar daripada tenaga kinetik beban. Sebaliknya, apabila badan melepasi kedudukan keseimbangan, tenaga potensi spring adalah sifar, dan oleh itu tenaga kinetik lebih besar daripada tenaga keupayaan. Oleh itu, antara laluan kedudukan keseimbangan dan sisihan maksimum, tenaga kinetik dan potensi dibandingkan sekali. Dan kerana dalam tempoh itu badan melepasi empat kali dari kedudukan keseimbangan kepada sisihan maksimum atau sebaliknya, maka dalam tempoh itu tenaga kinetik beban dan tenaga potensi spring dibandingkan antara satu sama lain empat kali (jawapannya ialah 2 ).

Amplitud turun naik kelajuan ( tugasan 11.1.10) paling mudah dicari mengikut undang-undang pemuliharaan tenaga. Pada titik sisihan maksimum, tenaga sistem ayunan adalah sama dengan tenaga keupayaan mata air , di manakah pekali kekakuan spring, ialah amplitud ayunan. Apabila melalui kedudukan keseimbangan, tenaga badan adalah sama dengan tenaga kinetik , di manakah jisim badan, ialah kelajuan badan apabila melalui kedudukan keseimbangan, iaitu kelajuan maksimum jasad dalam proses ayunan dan, oleh itu, mewakili amplitud ayunan halaju. Menyamakan tenaga ini, kami dapati

(jawapan 4 ).

Daripada formula (11.5) kita membuat kesimpulan ( tugasan 11.2.2), iaitu daripada jisim bandul matematik tempohnya tidak bergantung, dan dengan pertambahan panjang sebanyak 4 kali, tempoh ayunan bertambah sebanyak 2 kali (jawapannya ialah 1 ).

Jam tangan adalah proses berayun, yang digunakan untuk mengukur selang masa ( tugasan 11.2.3). Perkataan jam "rush" bermaksud bahawa tempoh proses ini kurang daripada itu apa yang sepatutnya. Oleh itu, untuk menjelaskan perjalanan jam ini, adalah perlu untuk meningkatkan tempoh proses. Menurut formula (11.5), untuk meningkatkan tempoh ayunan bandul matematik, adalah perlu untuk menambah panjangnya (jawapannya ialah 3 ).

Untuk mencari amplitud ayunan dalam tugasan 11.2.4, adalah perlu untuk mewakili pergantungan koordinat badan pada masa dalam bentuk fungsi trigonometri tunggal. Untuk fungsi yang diberikan dalam keadaan, ini boleh dilakukan dengan memperkenalkan sudut tambahan. Mendarab dan membahagi fungsi ini dengan dan menggunakan formula penambahan fungsi trigonometri, kita mendapatkan

di manakah sudut sedemikian . Daripada formula ini ia mengikuti bahawa amplitud ayunan badan adalah (jawapan 4 ).

Kami kini ingin bercakap sedikit tentang bagaimana amplitud kebarangkalian berkelakuan dari semasa ke semasa. Kami mengatakan "sedikit" kerana, sebenarnya, tingkah laku dalam masa semestinya termasuk tingkah laku di angkasa. Jadi, ingin menerangkan tingkah laku dengan semua ketepatan dan perincian, kami segera mendapati diri kami berada dalam kedudukan yang sangat sukar. Di hadapan kita timbul kesukaran yang berterusan - sama ada untuk mengkaji sesuatu dengan ketat secara logik, tetapi secara mutlak, atau tidak memikirkan tentang ketelitian, tetapi untuk memberi gambaran tentang keadaan sebenar sesuatu, menangguhkan kajian yang lebih teliti sehingga kemudian. Sekarang, bercakap tentang pergantungan amplitud pada tenaga, kami berhasrat untuk memilih kaedah kedua. Beberapa kenyataan akan dibuat. Dengan berbuat demikian, kami tidak akan berusaha untuk bersikap tegas, tetapi hanya memberitahu anda perkara yang ditemui supaya anda boleh merasakan bagaimana amplitud berkelakuan dari semasa ke semasa. Semasa kami maju, ketepatan huraian akan meningkat, jadi tolong jangan gugup melihat ahli silap mata mengeluarkan sesuatu. Mereka benar-benar datang dari sesuatu yang tidak ketara - dari semangat eksperimen dan dari imaginasi ramai orang. Tetapi melalui semua peringkat perkembangan sejarah subjek adalah perkara yang sangat panjang, sesuatu hanya perlu dilangkau. Seseorang boleh terjun ke dalam abstraksi dan menyimpulkan segala-galanya dengan ketat (tetapi anda tidak akan memahami ini) atau melalui banyak eksperimen, mengesahkan setiap kenyataan anda dengan mereka. Kami akan memilih sesuatu di antara.

Satu elektron dalam ruang kosong boleh, dalam keadaan tertentu, mempunyai tenaga yang jelas. Contohnya, jika ia dalam keadaan pegun (iaitu, ia tidak mempunyai anjakan, atau momentum, atau tenaga kinetik), maka ia mempunyai tenaga rehat. Objek yang lebih kompleks, seperti atom, juga boleh, semasa diam, mempunyai tenaga tertentu, tetapi ia juga boleh bertukar menjadi teruja secara dalaman - teruja ke tahap tenaga yang berbeza. (Kami akan menerangkan mekanisme untuk ini kemudian.) Selalunya kita wajar untuk menganggap bahawa atom dalam keadaan teruja mempunyai tenaga tertentu; namun, pada hakikatnya ini adalah benar hanya kira-kira. Atom tidak kekal teruja selama-lamanya, kerana ia sentiasa berusaha untuk melepaskan tenaganya dengan berinteraksi dengannya medan elektromagnet. Oleh itu, sentiasa terdapat beberapa amplitud bahawa keadaan baru akan timbul - dengan atom dalam keadaan pengujaan yang paling rendah dan medan elektromagnet dalam keadaan tertinggi. Jumlah tenaga sistem sebelum dan selepas adalah sama, tetapi tenaga atom berkurangan. Jadi tidaklah tepat untuk mengatakan bahawa atom yang teruja mempunyai tenaga yang pasti; tetapi selalunya ia adalah mudah untuk berkata demikian dan tidak terlalu salah.

[By the way, kenapa semuanya mengalir satu arah dan bukan yang lain? Mengapa atom memancarkan cahaya? Jawapannya ada kaitan dengan entropi. Apabila tenaga berada dalam medan elektromagnet, begitu banyak laluan berbeza terbuka di hadapannya - begitu banyak tempat yang berbeza di mana ia boleh mendapatkannya - bahawa, mencari keadaan keseimbangan, kami yakin bahawa dalam kedudukan yang paling berkemungkinan medan itu ternyata teruja dengan satu foton, dan atom tidak teruja. Dan ia mengambil masa yang lama untuk foton kembali dan mendapati bahawa ia boleh merangsang atom kembali. Ini sama sekali masalah klasik: mengapa cas dipercepatkan memancar? Bukan kerana "mahu" kehilangan tenaga, tidak, kerana sebenarnya, apabila dia terpancar, tenaga dunia kekal seperti dahulu. Cuma sinaran atau penyerapan sentiasa menuju ke arah peningkatan entropi.]

Nukleus juga boleh wujud pada tahap tenaga yang berbeza, dan dalam anggaran apabila seseorang mengabaikannya kesan elektromagnet, kami mempunyai hak untuk mengatakan bahawa nukleus dalam keadaan teruja kekal begitu. Walaupun kami tahu ia tidak akan kekal begitu selama-lamanya, selalunya berguna untuk bermula dengan anggaran yang agak ideal yang lebih mudah untuk dipertimbangkan. Di samping itu, dalam beberapa keadaan, ini adalah anggaran undang-undang. (Apabila kami mula-mula memperkenalkan undang-undang klasik badan jatuh, kami tidak mengambil kira geseran, dan hampir tidak pernah berlaku bahawa tidak ada geseran sama sekali.)

Selain itu, terdapat juga "zarah pelik" dengan jisim yang berbeza. Tetapi yang lebih besar mereput menjadi yang lebih ringan, jadi sekali lagi adalah salah untuk mengatakan bahawa tenaga mereka ditentukan dengan tepat. Ini akan menjadi benar jika mereka berterusan selama-lamanya. Oleh itu, apabila kita kira-kira menganggap mereka mempunyai tenaga tertentu, kita lupa bahawa mereka mesti mereput. Tetapi sekarang kita akan sengaja melupakan proses sedemikian, dan kemudian, dari masa ke masa, kita akan belajar untuk mengambil kira juga.

Biarkan ada atom (atau elektron, atau mana-mana zarah) yang mempunyai tenaga tertentu dalam keadaan diam. Dengan tenaga kita maksudkan jisim semuanya didarab dengan . Jisim termasuk sebarang tenaga dalaman; oleh itu, jisim atom teruja berbeza daripada jisim atom yang sama, tetapi dalam keadaan dasar. (Keadaan tanah bermaksud keadaan dengan tenaga paling rendah.) Mari kita panggil ia "tenaga rehat."

Untuk atom dalam keadaan diam, amplitud mekanikal kuantum untuk mencarinya di sesuatu tempat adalah sama di mana-mana; ia tidak bergantung pada kedudukan. Ini, sudah tentu, bermakna kebarangkalian mencari atom di mana-mana adalah sama. Tetapi ia lebih bermakna. Kebarangkalian tidak boleh bergantung pada kedudukan, dan fasa amplitud masih boleh berubah dari titik ke titik. Tetapi untuk zarah yang diam, jumlah amplitud adalah sama di mana-mana. Namun, ia bergantung pada masa. Bagi zarah dalam keadaan tenaga tertentu, amplitud untuk mengesan zarah pada satu titik pada satu masa adalah sama dengan

di mana ada yang tetap. Amplitud tinggal pada titik sebegitu dan sebegitu dalam ruang adalah sama untuk semua titik, tetapi ia bergantung pada masa mengikut (5.1). Kami hanya akan menganggap bahawa peraturan ini sentiasa benar.

Sudah tentu, (5.1) juga boleh ditulis seperti berikut:

a ialah jisim selebihnya bagi keadaan atom atau zarah. Terdapat tiga cara berbeza untuk menentukan tenaga: dengan frekuensi amplitud, dengan tenaga dalam pengertian klasik, atau dengan jisim inersia. Mereka semua sama; ianya mudah cara yang berbeza menyatakan perkara yang sama.

Ia mungkin kelihatan pelik kepada anda untuk membayangkan "zarah" mempunyai amplitud yang sama untuk muncul di mana-mana di angkasa. Lagipun, antara lain, kita selalu membayangkan "zarah" sebagai objek kecil terletak "suatu tempat". Tetapi jangan lupa tentang prinsip ketidakpastian. Jika zarah mempunyai tenaga tertentu, maka ia mempunyai momentum tertentu. Jika ketidakpastian dalam momentum adalah sifar, maka hubungan ketidakpastian mengatakan bahawa ketidakpastian dalam kedudukan mestilah tidak terhingga; inilah yang kita katakan apabila kita mengatakan bahawa terdapat amplitud yang sama untuk mengesan zarah di semua titik di angkasa.

Jika bahagian dalaman atom berada dalam keadaan yang berbeza dengan jumlah tenaga yang berbeza, maka amplitud berubah mengikut masa dengan cara yang berbeza. Dan jika anda tidak tahu dalam keadaan apa atom itu, maka akan ada beberapa amplitud berada dalam satu keadaan dan beberapa amplitud berada dalam keadaan lain, dan setiap amplitud ini akan mempunyai frekuensinya sendiri. Di antara dua komponen berbeza ini, akan terdapat gangguan seperti rentak, yang boleh muncul sebagai kebarangkalian berubah-ubah. Akan ada sesuatu yang "berkembang" di dalam atom, walaupun ia "tenang" dalam erti kata bahawa pusat jisimnya tidak bergerak. Jika atom hanya mempunyai satu tenaga pasti, maka amplitud diberikan oleh formula (5.1) dan kuasa dua modulus amplitud tidak bergantung pada masa. Oleh itu, anda melihat bahawa jika tenaga sesuatu ditakrifkan, dan jika anda bertanya " tinjauan pendapat tentang kebarangkalian sesuatu dalam perkara ini, maka jawapannya tidak bergantung pada masa. Walaupun amplitud itu sendiri bergantung pada masa, tetapi jika tenaga itu pasti, ia berubah sebagai eksponen khayalan dan nilai mutlak(modul) tidak mengubahnya.

Itulah sebabnya kita sering mengatakan bahawa atom berada pada tahap tertentu tahap tenaga berada dalam keadaan pegun. Jika anda mengukur sesuatu di dalamnya, anda mendapati tiada apa (mungkin) berubah dari semasa ke semasa. Untuk kebarangkalian berubah dari semasa ke semasa, mesti ada gangguan dua amplitud pada dua frekuensi yang berbeza, yang bermaksud bahawa ia tidak diketahui apakah tenaga itu. Objek akan mempunyai satu amplitud berada dalam keadaan dengan satu tenaga dan amplitud lain berada dalam keadaan dengan tenaga lain. Ini adalah bagaimana sesuatu diterangkan dalam mekanik kuantum jika kelakuan "sesuatu" ini bergantung pada masa.

Jika terdapat kes di mana dua keadaan berbeza dengan tenaga berbeza bercampur, maka amplitud setiap dua keadaan berubah mengikut masa mengikut persamaan (5.2), katakan, sebagai

Dan jika terdapat gabungan kedua-dua keadaan ini, maka gangguan akan muncul. Tetapi ambil perhatian bahawa menambah pemalar yang sama kepada kedua-dua tenaga tidak mengubah apa-apa. Jika orang lain menggunakan skala tenaga yang berbeza, di mana semua tenaga dianjakkan oleh pemalar (katakan, oleh ), maka amplitud yang berada dalam kedua-dua keadaan ini, dari sudut pandangannya, akan menjadi

Semua amplitudnya akan didarab dengan faktor yang sama , dan dalam semua kombinasi linear, dalam semua gangguan, pengganda yang sama akan berpeluh. Mengira moduli untuk menentukan kebarangkalian, dia akan sampai pada jawapan yang sama. Memilih titik rujukan pada skala tenaga kita tidak mengubah apa-apa; tenaga boleh dikira dari sebarang sifar. Dalam masalah relativistik adalah lebih menyenangkan untuk mengukur tenaga supaya jisim selebihnya memasukinya, tetapi untuk banyak tujuan bukan relativistik lain selalunya lebih baik untuk menolak semua tenaga yang muncul. nilai piawai. Sebagai contoh, dalam kes atom, ia biasanya mudah untuk menolak tenaga , di mana adalah jisim bahagian individunya, nukleus dan elektron, yang, sudah tentu, berbeza daripada jisim atom itu sendiri. Dalam tugas lain, adalah berguna untuk menolak nombor daripada semua tenaga, di mana adalah jisim seluruh atom dalam keadaan dasar; maka tenaga yang tinggal hanyalah tenaga pengujaan atom. Ini bermakna kadangkala kita mempunyai hak untuk mengalihkan sifar tenaga kita dengan sangat, sangat kuat, dan ini masih tidak mengubah apa-apa (dengan syarat semua tenaga dalam pengiraan tertentu ini dialihkan dengan nombor yang sama). Mengenai ini kita akan berpisah dengan zarah yang diam.

Bab 5

PERGANTUNGAN MASA AMPLITUD

§ 1. Atom dalam keadaan diam; keadaan pegun

§ 2. Pergerakan seragam

§ 3. Tenaga berpotensi; penjimatan tenaga

§ 4. Angkatan; had klasik

§ 5. "Precession" zarah dengan putaran 1/2

Ulang: ch. 17 (isu 2) "Ruang-masa"; ch. 48 (Isu 4) "Beats"

§ 1. Atom dalam keadaan diam; keadaan pegun

Satu elektron dalam ruang kosong boleh, dalam keadaan tertentu, mempunyai tenaga yang jelas. Contohnya, jika ia dalam keadaan diam (iaitu, ia tidak mempunyai anjakan, atau momentum, atau tenaga kinetik), maka ia mempunyai tenaga rehat. Objek yang lebih kompleks, seperti atom, juga boleh, semasa diam, mempunyai tenaga tertentu, tetapi ia juga boleh bertukar menjadi teruja secara dalaman - teruja ke tahap tenaga yang berbeza. (Kami akan menerangkan mekanisme untuk ini kemudian.) Selalunya kita wajar untuk menganggap bahawa atom dalam keadaan teruja mempunyai tenaga tertentu; namun, pada hakikatnya ini adalah benar hanya kira-kira. Atom tidak kekal teruja selama-lamanya, kerana ia sentiasa berusaha untuk melepaskan tenaganya dengan berinteraksi dengan medan elektromagnet. Oleh itu, sentiasa ada amplitud bahawa keadaan baru akan timbul - dengan atom masuk negeri paling rendah pengujaan dan medan elektromagnet dalam lebih tinggi. Jumlah tenaga sistem sebelum dan selepas adalah sama, tetapi tenaga atom berkurangan. Jadi tidaklah tepat untuk mengatakan bahawa atom teruja mempunyai pasti tenaga; tetapi selalunya ia adalah mudah untuk berkata demikian dan tidak terlalu salah.

[By the way, kenapa semuanya mengalir satu arah dan bukan yang lain? Mengapa atom memancarkan cahaya? Jawapannya ada kaitan dengan entropi. Apabila tenaga berada dalam medan elektromagnet, terdapat begitu banyak laluan yang berbeza sebelum itu - begitu banyak tempat yang berbeza di mana ia boleh mendapatkannya - sehingga, mencari keadaan keseimbangan, kita yakin bahawa kemungkinan besar kedudukan medan ternyata teruja oleh satu foton, dan atom - tidak teruja. Dan ia mengambil masa yang lama untuk foton kembali dan mendapati bahawa ia boleh merangsang atom kembali. Ini sama sekali dengan masalah klasik: mengapa cas dipercepatkan memancar? Bukan kerana "mahu" kehilangan tenaga, tidak, kerana sebenarnya, apabila dia terpancar, tenaga dunia kekal seperti dahulu. Cuma pelepasan atau penyerapan sentiasa menuju ke arah pertumbuhan. entropi.

Nukleus juga boleh wujud pada tahap tenaga yang berbeza, dan dalam anggaran apabila kesan elektromagnet diabaikan, kita mempunyai hak untuk mengatakan bahawa nukleus dalam keadaan teruja kekal begitu. Walaupun kami tahu ia tidak akan kekal begitu selama-lamanya, selalunya berguna untuk bermula dengan anggaran yang agak ideal yang lebih mudah untuk dipertimbangkan. Di samping itu, dalam beberapa keadaan, ini adalah anggaran undang-undang. (Apabila kami mula-mula memperkenalkan undang-undang klasik jasad jatuh, kami tidak mengambil kira geseran, dan hampir tidak pernah berlaku geseran itu. sama sekali tidak mempunyai.)

Biarkan ada atom (atau elektron, atau mana-mana zarah) yang mempunyai tenaga tertentu dalam keadaan diam E 0 . Di bawah tenaga E 0 kami maksudkan jisim semua ini, didarab dengan Dengan 2. Jisim termasuk sebarang tenaga dalaman; oleh itu, jisim atom teruja berbeza daripada jisim atom yang sama, tetapi dalam keadaan dasar. (Asas negeri bermaksud negeri yang mempunyai tenaga yang paling rendah.) Mari kita panggil E 0 tenaga rehat. Untuk atom dalam negeri berehat, mekanik kuantum amplitud cari di suatu tempat di mana-mana sama; daripada kedudukannya tidak bergantung. Ini, sudah tentu, bermakna itu kebarangkalian mencari atom di mana-mana adalah sama. Tetapi ia lebih bermakna. Kebarangkalian tidak boleh bergantung pada keadaan, tetapi fasa amplitud ia masih boleh berubah dari satu titik ke satu titik. Tetapi untuk zarah yang diam, jumlah amplitud adalah sama di mana-mana. Walau bagaimanapun, ia bergantung kepada masa. Untuk zarah dalam keadaan tenaga yang pasti E 0 , amplitud mengesan zarah pada titik (x, y, z) pada masa ini t adalah sama dengan

di mana a - beberapa tetap. Amplitud tinggal pada titik sebegitu dan sebegitu dalam ruang adalah sama untuk semua titik, tetapi ia bergantung pada masa mengikut (5.1). Kami hanya akan menganggap bahawa peraturan ini sentiasa benar.

Sudah tentu, (5.1) juga boleh ditulis seperti berikut:

a M ialah jisim selebihnya bagi keadaan atom atau zarah. Terdapat tiga cara berbeza untuk menentukan tenaga: dengan frekuensi amplitud, dengan tenaga dalam pengertian klasik, atau dengan jisim inersia. Mereka semua sama; mereka hanyalah cara yang berbeza untuk menyatakan perkara yang sama.

Ia mungkin kelihatan pelik kepada anda untuk membayangkan "zarah" mempunyai amplitud yang sama untuk muncul di mana-mana di angkasa. Lagipun, antara lain, kita selalu membayangkan "zarah" sebagai objek kecil yang terletak "di suatu tempat". Tetapi jangan lupa tentang prinsip ketidakpastian. Jika zarah mempunyai tenaga tertentu, maka ia mempunyai momentum tertentu. Jika ketidakpastian dalam momentum adalah sifar, maka hubungan ketidakpastian D R D x=h mengatakan bahawa ketidakpastian dalam kedudukan mestilah tidak terhingga; inilah yang kita katakan apabila kita mengatakan bahawa terdapat amplitud yang sama untuk mengesan zarah di semua titik di angkasa.

Jika bahagian dalaman atom berada dalam keadaan yang berbeza dengan jumlah tenaga yang berbeza, maka amplitud berubah mengikut masa dengan cara yang berbeza. Dan jika anda tidak tahu dalam keadaan apa atom itu, maka akan ada beberapa amplitud berada dalam satu keadaan dan beberapa amplitud berada dalam keadaan lain, dan setiap amplitud ini akan mempunyai frekuensinya sendiri. Di antara dua komponen berbeza ini, akan terdapat gangguan seperti rentak, yang boleh muncul sebagai kebarangkalian berubah-ubah. Akan ada sesuatu yang "berkembang" di dalam atom, walaupun ia "tenang" dalam erti kata bahawa pusat jisimnya tidak bergerak. Jika atom hanya mempunyai satu tenaga pasti, maka amplitud diberikan oleh formula (5.1) dan kuasa dua modulus amplitud tidak bergantung pada masa. Oleh itu, anda melihat bahawa jika tenaga sesuatu ditentukan, dan jika anda bertanya soalan tentang kebarangkalian sesuatu dalam perkara ini, maka jawapannya tidak bergantung pada masa. Walaupun diri mereka sendiri amplitud bergantung pada masa, tetapi jika tenaga pasti, ia berubah sebagai eksponen khayalan dan nilai mutlaknya (modulus) tidak berubah.

Inilah sebabnya mengapa kita sering mengatakan bahawa atom pada tahap tenaga tertentu berada dalam keadaan pegun. Jika anda mengukur sesuatu di dalamnya, anda mendapati tiada apa (mungkin) berubah dari semasa ke semasa. Untuk kebarangkalian berubah dari semasa ke semasa, mesti ada gangguan dua amplitud pada dua frekuensi yang berbeza, yang bermaksud bahawa ia tidak diketahui apakah tenaga itu. Objek akan mempunyai satu amplitud berada dalam keadaan dengan satu tenaga dan amplitud lain berada dalam keadaan dengan tenaga lain. Jadi dalam mekanik kuantum menerangkan sesuatu jika tingkah laku"sesuatu" ini bergantung pada masa.

Jika terdapat kes di mana dua keadaan berbeza dengan tenaga berbeza bercampur, maka amplitud setiap dua keadaan berubah mengikut masa mengikut persamaan (5.2), katakan, sebagai

Dan jika terdapat gabungan kedua-dua keadaan ini, maka gangguan akan muncul. Tetapi ambil perhatian bahawa menambah pemalar yang sama kepada kedua-dua tenaga tidak mengubah apa-apa. Jika orang lain menggunakan skala tenaga yang berbeza, di mana semua tenaga dialihkan oleh pemalar (katakan, oleh TAPI), maka amplitud yang berada dalam kedua-dua keadaan ini, dari sudut pandangannya, adalah

Semua amplitudnya akan didarab dengan faktor yang sama

exp[- i(A/j)/t], dan dalam semua kombinasi linear, dalam semua gangguan, pengganda yang sama akan masuk. Mengira moduli untuk menentukan kebarangkalian, dia akan sampai pada jawapan yang sama. Memilih titik rujukan pada skala tenaga kita tidak mengubah apa-apa; tenaga boleh dikira dari sebarang sifar. Dalam masalah relativistik adalah lebih menyenangkan untuk mengukur tenaga sedemikian rupa sehingga ia termasuk jisim selebihnya, tetapi untuk banyak tujuan bukan relativistik lain selalunya lebih baik untuk menolak nilai piawai daripada semua tenaga yang muncul. Sebagai contoh, dalam kes atom biasanya mudah untuk menolak tenaga M s daripada 2 , di mana M s - berat badan individu bahagian-bahagiannya, nukleus dan elektron, berbeza, tentu saja, daripada jisim atom itu sendiri. Dalam masalah lain adalah berguna untuk menolak daripada semua tenaga nombor M g c 2 , di mana M g - jisim seluruh atom kebanyakannya negeri; maka tenaga yang tinggal hanyalah tenaga pengujaan atom. Ini bermakna kadang-kadang kita mempunyai hak untuk beralih, tenaga sifar kita sangat, sangat kuat, dan ia masih tidak mengubah apa-apa (dengan syarat semua tenaga dalam pengiraan khusus ini dialihkan dengan nombor yang sama). Mengenai ini kita akan berpisah dengan zarah yang diam.

§ 2. Pergerakan seragam

Jika kita mengandaikan bahawa teori relativiti adalah betul, maka zarah diam dalam satu sistem inersia, dalam bingkai inersia lain ia mungkin berada dalam gerakan seragam. Dalam bingkai selebihnya zarah, amplitud kebarangkalian untuk semua x, y dan z sama, tetapi bergantung kepada t. Nilai amplitud untuk semua t sama, dan fasa bergantung kepada t. Kita boleh mendapatkan gambaran tentang tingkah laku amplitud jika kita melukis garis fasa yang sama (katakan, sifar) sebagai fungsi X dan t. Untuk zarah yang diam, garisan fasa yang sama ini adalah selari dengan paksi X dan terletak di sepanjang paksi t pada jarak yang sama(ditunjukkan dengan garis putus-putus dalam Rajah 5.1).

Rajah. 5.1. Transformasi relativistik amplitud dalam keadaan rehat. zarah ke dalam sistem x-t.

Dalam sistem lain X", y", z", t", bergerak relatif kepada zarah, katakan, ke arah X, koordinat X" dan t" beberapa titik peribadi dalam ruang yang berkaitan dengan X dan t Transformasi Lorentz. Transformasi ini boleh diwakili secara grafik dengan melukis paksi X" dan t", seperti yang ditunjukkan dalam FIG. 5.1 [lihat ch. 17 (isu 2), rajah. 17.2]. Anda melihatnya dalam sistem x"--t" titik fasa yang sama sepanjang paksi t" terletak pada jarak yang berbeza, jadi kekerapan perubahan temporal sudah berbeza. Di samping itu, fasa berubah X". iaitu, amplitud kebarangkalian mestilah fungsi X".

Di bawah transformasi Lorentz untuk halaju v diarahkan, katakan, sepanjang arah negatif X. masa t berkaitan dengan masa t" formula

dan sekarang amplitud kami berubah seperti ini:

Dalam sistem menetas, ia berbeza dalam ruang dan masa. Jika amplitud ditulis sebagai

adalah jelas bahawa E" R =E 0 /C( 1-v 2 / s 2). Ini adalah tenaga yang dikira mengikut peraturan klasik untuk zarah dengan tenaga rehat E 0 , bergerak laju v; p"=E" hlm v/c 2 - momentum zarah yang sepadan.

Adakah anda tahu itu X m =(t, x, y, z) dan R m =(E, hlm X , R y , R G ) ialah empat vektor, a hlm m x m = Et-r x-invarian skalar. Dalam bingkai rehat zarah hlm m x m sama sahaja Et; bermakna, apabila ditukar kepada sistem lain Et hendaklah diganti dengan

Jadi, amplitud kebarangkalian bagi zarah yang momentumnya ialah R, akan berkadar

di mana E R - tenaga zarah dengan momentum R, i.e.

a E 0 , seperti dahulu, tenaga rehat. Dalam masalah nonrelativistik seseorang boleh menulis

di mana W hlm - lebihan (atau kekurangan) tenaga berbanding tenaga selebihnya M s daripada 2 bahagian atom. Secara umum, dalam W hlm kedua-dua tenaga kinetik atom dan tenaga ikatan atau pengujaannya, yang boleh dipanggil tenaga "dalaman", perlu masuk. Kemudian kami akan menulis

dan amplitud akan kelihatan seperti

Kami akan menjalankan semua pengiraan secara bukan relativistik, jadi kami akan menggunakan amplitud kebarangkalian seperti ini.

Perhatikan bahawa transformasi relativistik kami memberikan kami formula untuk menukar amplitud atom yang bergerak melalui ruang tanpa memerlukan sebarang andaian tambahan. Nombor gelombang perubahannya dalam ruang, seperti berikut dari (5.9), adalah sama dengan

dan seterusnya panjang gelombang

Ini adalah panjang gelombang yang sama yang kami gunakan sebelum ini untuk zarah dengan momentum R. Dengan cara inilah de Broglie mula-mula mencapai formula ini. Untuk zarah yang bergerak kekerapan perubahan amplitud masih diberikan oleh formula

Nilai mutlak (5.9) adalah sama dengan satu, supaya untuk zarah yang bergerak dengan tenaga tertentu kebarangkalian menemuinya di mana-mana adalah sama di mana-mana dan tidak berubah mengikut peredaran masa. (Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa amplitud adalah menyeluruh gelombang. Jika kita menggunakan sinusoid sebenar, maka kuasa duanya dari satu titik ke satu titik akan berubah, ini adalah salah.)

Sudah tentu, kita tahu bahawa terdapat kes di mana zarah bergerak dari satu tempat ke tempat lain, supaya kebarangkalian bergantung pada lokasi dan perubahan dari semasa ke semasa. Bagaimanakah kes sebegini harus diterangkan? Ini boleh dilakukan dengan mempertimbangkan amplitud yang merupakan superposisi dua atau lebih amplitud untuk keadaan dengan tenaga tertentu. Kami telah membincangkan situasi ini dalam Bab. 48 (Isu 4), dan ia adalah untuk amplitud kebarangkalian! Kami kemudian mendapati bahawa jumlah dua amplitud dengan nombor gelombang yang berbeza k(iaitu, impuls) dan frekuensi w (iaitu, tenaga) membawa kepada benjolan gangguan, atau degupan, supaya kuasa dua amplitud berbeza dalam ruang dan masa. Kami juga mendapati bahawa rentak ini bergerak dengan apa yang dipanggil "halaju kumpulan" yang ditakrifkan oleh formula

di mana Dk dan Dw ialah perbezaan antara nombor gelombang dan frekuensi kedua-dua gelombang. Dalam gelombang yang lebih kompleks, terdiri daripada jumlah banyak amplitud dengan frekuensi dekat, halaju kumpulan adalah

Sejak w =E R /j, a k = p/j kemudian

Tetapi daripada (5.6) ia mengikutinya

dan sejak E hlm =Mc 2 , kemudian

dan ini hanyalah halaju klasik zarah. Walaupun menggunakan ungkapan bukan relativistik, kita akan mempunyai

iaitu sekali lagi kelajuan klasik.

Oleh itu, keputusan kami ialah jika terdapat beberapa amplitud untuk tulen keadaan tenaga dengan tenaga yang hampir sama, maka gangguan mereka membawa kepada "letupan" kebarangkalian yang bergerak melalui ruang pada kelajuan kelajuan yang sama zarah klasik dengan tenaga yang sama. Tetapi perlu diingat, bagaimanapun, apabila kita mengatakan bahawa kita boleh menambah dua amplitud dengan nombor gelombang yang berbeza untuk mendapatkan paket yang sepadan dengan zarah yang bergerak, kita memperkenalkan sesuatu yang baru - sesuatu yang tidak boleh disimpulkan daripada teori relativiti. Kami mengatakan bagaimana amplitud zarah pegun berubah, dan kemudian menyimpulkan daripada ini bagaimana ia akan berubah jika zarah itu bergerak. Tetapi daripada pertimbangan ini kita tak mampu simpulkan apa yang akan berlaku jika ada dua gelombang bergerak pada kelajuan yang berbeza. Jika kita menghentikan salah satu daripada mereka, kita tidak boleh menghalang yang lain. Jadi kami secara senyap-senyap menambah satu lagi hipotesis: sebagai tambahan kepada fakta bahawa (5.9) adalah mungkin keputusan, kita. kami menganggap bahawa sistem yang sama mungkin mempunyai lebih banyak penyelesaian dengan semua kemungkinan hlm dan istilah yang berbeza akan mengganggu.

§ 3. Tenaga berpotensi; penjimatan tenaga

Dan sekarang kami ingin menjelaskan persoalan tentang apa yang berlaku; apabila tenaga zarah boleh berubah. Mari kita mulakan dengan memikirkan tentang zarah yang bergerak dalam medan daya yang diterangkan oleh potensi. Pertimbangkan dahulu pengaruh potensi berterusan. Katakan kita mempunyai kotak logam yang besar, yang telah kita cajkan kepada beberapa potensi elektrostatik j (Rajah 5.2).

| Gbr. 5.2. Zarah dengan jisim M dan momentum p dalam kawasan potensi malar.

Jika terdapat objek bercas di dalam kotak, maka tenaga potensinya akan sama dengan q j; kami akan menandakan nombor ini dengan huruf v. Ia dengan keadaan bebas sepenuhnya daripada kedudukan objek itu sendiri. Daripada pengenaan potensi, tiada perubahan fizikal akan berlaku di dalam kotak, kerana potensi berterusan tidak mengubah apa-apa dalam apa yang berlaku di dalam kotak. Ini bermakna bahawa undang-undang mengikut mana amplitud kini akan berubah tidak boleh disimpulkan dalam apa cara sekalipun. Seseorang hanya boleh meneka. Ini dia, jawapan yang betul - ia kelihatan seperti yang anda jangkakan: bukannya tenaga, anda perlu meletakkan jumlah tenaga berpotensi V dan tenaga E R , yang itu sendiri adalah jumlah tenaga dalaman dan kinetik. Amplitud kemudiannya akan berkadar

Prinsip umum adakah itu pekali t, yang boleh dipanggil dengan sentiasa diberikan penuh tenaga sistem: tenaga dalaman ("tenaga jisim") ditambah tenaga kinetik ditambah tenaga keupayaan:

Atau dalam kes bukan relativistik

Nah, bagaimana pula dengan fenomena fizikal di dalam kotak? Sekiranya keadaan fizikal bukan satu, tetapi beberapa, apa yang kita akan dapat? dalam julat masing-masing negeri akan masuk faktor tambahan yang sama

e -( i / h ) Vt

melebihi apa yang ada V=0. Ini tidak berbeza dengan anjakan sifar pada skala tenaga kita. Peralihan yang sama bagi semua fasa semua amplitud akan diperolehi, dan ini, seperti yang telah kita lihat sebelum ini, tidak mengubah sebarang kebarangkalian. Semua fenomena fizikal tetap sama. (Kami mengandaikan bahawa kita bercakap kira-kira negeri yang berbeza daripada objek bercas yang sama, supaya q j mereka semua mempunyai yang sama. Jika objek boleh menukar casnya dari satu keadaan ke keadaan lain, maka kita akan sampai pada keputusan yang sama sekali berbeza, tetapi pemuliharaan cas menghalang kita daripada berbuat demikian.)

Setakat ini, andaian kami konsisten dengan apa yang dijangkakan perubahan mudah tahap bacaan tenaga. Tetapi jika ia benar-benar benar, maka ia juga mesti mempunyai potensi tenaga, yang bukan sahaja malar. Secara umum V boleh berubah-ubah sewenang-wenangnya dalam kedua-dua masa dan ruang, dan keputusan akhir untuk amplitud mesti dinyatakan dalam bahasa persamaan pembezaan. Tetapi kami tidak mahu bermula dengan segera. kes am, dan menghadkan diri kita kepada beberapa idea tentang apa yang sedang berlaku. Jadi buat masa ini, kita hanya akan mempertimbangkan potensi yang malar dalam masa dan perlahan-lahan berubah dalam ruang. Kemudian kita akan dapat membandingkan perwakilan klasik dan kuantum.

Katakan kita memikirkan tentang kes yang digambarkan dalam Rajah. 5.3, di mana dua kotak dikekalkan pada potensi malar j 1 dan j 2 , dan di rantau di antara mereka potensi lancar berubah dari j 1 kepada j 2 .

Rajah. 5.3. Amplitud untuk zarah yang pergi dari satu potensi ke potensi yang lain.

Mari kita bayangkan bahawa sesetengah zarah mempunyai amplitud untuk berada di salah satu kawasan ini. Marilah kita juga menganggap bahawa momentum adalah cukup besar supaya di mana-mana kawasan kecil yang mengandungi banyak panjang gelombang, potensinya hampir malar. Kemudian kita mempunyai hak untuk menganggap bahawa di mana-mana bahagian ruang amplitud mesti kelihatan seperti (5.18), sahaja V setiap bahagian ruang akan mempunyai sendiri.

Pertimbangkan kes istimewa, apabila j 1 =0, supaya tenaga keupayaan dalam kotak pertama adalah sifar, dalam let kedua q j 2 akan menjadi negatif, jadi secara klasik zarah di dalamnya akan mempunyai tenaga kinetik yang lebih besar. Dalam erti kata klasik, ia akan bergerak lebih pantas dalam kotak kedua, jadi ia akan mempunyai lebih banyak momentum. Mari lihat bagaimana ini boleh berlaku daripada mekanik kuantum.

Di bawah andaian kami, amplitud dalam kotak pertama sepatutnya berkadar dengan

Kami akan menganggap bahawa semua potensi adalah tetap dalam masa, jadi tiada apa-apa perubahan dalam keadaan. Kemudian kita menganggap bahawa perubahan dalam amplitud (iaitu, fasanya) di mana-mana mempunyai yang sama kekerapan, kerana dalam "persekitaran" antara kotak itu, boleh dikatakan, tiada apa yang bergantung pada masa. Jika tiada apa-apa perubahan dalam ruang, maka kita boleh mengandaikan bahawa gelombang di satu kawasan "menghasilkan" gelombang tambahan di seluruh ruang, yang semuanya berayun dengan frekuensi yang sama dan, seperti gelombang cahaya yang melalui bahan dalam keadaan rehat, tidak mengubah frekuensinya. Jika frekuensi dalam (5.21) dan (5.22) adalah sama, maka kesamaan

Di sini, pada kedua-dua belah pihak, terdapat hanya jumlah tenaga klasik, supaya (5.23) adalah pernyataan tentang pemuliharaan tenaga. Dalam erti kata lain, pernyataan klasik tentang pemuliharaan tenaga agak setara dengan pernyataan mekanikal kuantum bahawa frekuensi zarah adalah sama di mana-mana jika keadaan tidak berubah dari semasa ke semasa. Semua ini selaras dengan tanggapan bahawa h w =E.

Dalam kes tertentu apabila V 1 =0 dan V 2 adalah negatif (5.23) bermakna itu hlm 2 lagi R 1, t. Iaitu, di rantau 2, ombak lebih pendek. Permukaan fasa yang sama ditunjukkan dalam Rajah. 5.3 garis putus-putus. Terdapat juga graf bahagian sebenar amplitud, dari mana ia juga dilihat bagaimana panjang gelombang berkurangan apabila bergerak dari rantau 1 ke rantau 2. Halaju kumpulan gelombang, sama dengan r/m, juga meningkat seperti yang diharapkan daripada pemuliharaan tenaga klasik, kerana ia hanya bertepatan dengan (5.23).

Terdapat kes khas yang menarik di mana V 2 menjadi begitu besar V 2 - V 1 sudah melebihi hlm 2 1 /2J. Kemudian hlm 2 2 , diberikan oleh formula

menjadi negatif. Dan ini bermakna R 2 ialah nombor khayalan, katakan ip". Secara klasik kita akan mengatakan bahawa zarah itu tidak akan sampai ke rantau 2, ia tidak akan mempunyai tenaga yang cukup untuk mendaki bukit yang berpotensi. Walau bagaimanapun, dalam mekanik kuantum, amplitud masih diwakili oleh persamaan (5.22); perubahannya dalam ruang masih mengikut undang-undang

Tetapi masa hlm 2 ialah nombor khayalan, maka pergantungan spatial bertukar menjadi eksponen sebenar. Jika, katakan, zarah itu mula-mula bergerak ke arah +x, maka amplitud akan berubah sebagai

Dengan pertumbuhan X dia cepat jatuh.

Mari kita bayangkan bahawa kedua-dua kawasan dengan potensi yang berbeza terletak sangat dekat antara satu sama lain, sehingga tenaga potensi tiba-tiba berubah dari V 1 hingga V 2 (Rajah 5.4, a).

Rajah. 5.4. Amplitud untuk zarah yang menghampiri potensi tolakan kuat.

Dengan melukis graf bahagian sebenar amplitud kebarangkalian, kita memperoleh pergantungan yang ditunjukkan dalam Rajah. 5.4, b. Gelombang di rantau 1 sepadan dengan zarah yang cuba memasuki kawasan 2, tetapi amplitud jatuh dengan cepat di sana. Terdapat beberapa kemungkinan bahawa dia akan diperhatikan di kawasan 2, di mana dia secara klasik tidak berfaedah Ternyata tidak, tetapi amplitud ini sangat kecil (kecuali tempat berhampiran sempadan itu sendiri). Keadaan hal ehwal sangat serupa dengan apa yang telah kami temui sepenuhnya refleksi dalaman Sveta. Biasanya tiada cahaya yang keluar, tetapi ia masih boleh dilihat jika sesuatu diletakkan satu atau dua panjang gelombang dari permukaan.

Ingat bahawa jika anda meletakkan permukaan kedua dekat dengan sempadan di mana cahaya dipantulkan sepenuhnya, maka anda boleh memastikan bahawa beberapa cahaya masih merambat dalam bahagian kedua bahan. Perkara yang sama berlaku dengan zarah dalam mekanik kuantum. Sekiranya terdapat kawasan sempit yang mempunyai potensi yang begitu tinggi V, bahawa tenaga kinetik klasik adalah negatif di sana, maka zarah itu tidak akan melaluinya. Tetapi dalam mekanik kuantum, amplitud yang berkurangan secara eksponen boleh menembusi rantau ini dan memberi peluang kecil bahawa zarah itu akan ditemui di sisi lain - di mana tenaga kinetik sekali lagi positif. Semua ini ditunjukkan dalam Rajah. 5.5.

Rajah. 5.5. Penembusan amplitud melalui halangan berpotensi.

Kesannya dipanggil mekanikal kuantum "penembusan melalui halangan".

Penembusan amplitud mekanikal kuantum melalui penghalang memberikan penjelasan (atau penerangan) tentang pereputan-a nukleus uranium. Tenaga keupayaan zarah-a sebagai fungsi jarak dari pusat ditunjukkan dalam Rajah. 5.6, a.

Rajah. 5.6. Potensi zarah-a dalam nukleus uranium (a) dan rupa berkualiti amplitud kebarangkalian (b).

Jika kita cuba menembak zarah-a dengan tenaga E ke inti maka dia akan merasakan tolakan elektrostatik daripada cas nuklear z dan menurut kanun klasik tidak akan datang lebih dekat ke teras daripada pada jarak sedemikian r 1 di mana jumlah tenaganya menjadi sama dengan potensi v. Tetapi di suatu tempat di dalam nukleus, tenaga berpotensi akan jauh lebih rendah kerana tarikan kuat kuasa nuklear jarak dekat. Bagaimana, kemudian, untuk menjelaskan mengapa pereputan radioaktif kita dapati zarah-a, yang, pada mulanya berada di dalam nukleus, kemudian berubah menjadi di luarnya dengan tenaga E?Kerana mereka. bertenaga dari awal E, "bocor" melalui halangan berpotensi. Satu lakaran skematik amplitud kebarangkalian diberikan dalam Rajah. 5.6, b, walaupun pada hakikatnya penurunan eksponen adalah lebih kuat daripada yang ditunjukkan. Agak luar biasa bahawa jangka hayat purata zarah-a dalam nukleus uranium mencapai 4 1/2 bilion tahun, manakala ayunan semula jadi di dalam nukleus adalah sangat pantas, terdapat 10 22 daripadanya sesaat! Bagaimana mungkin dari 10 -2 2 sec dapatkan nombor tertib 10 9 tahun? Jawapannya ialah eksponen memberikan faktor kecil yang tidak pernah didengari bagi susunan 10 -4 5 , yang membawa kepada kebarangkalian kebocoran yang sangat kecil, walaupun agak pasti. Jika zarah-a telah memukul nukleus, maka hampir tiada amplitud untuk mengesannya di luar nukleus; jika, walau bagaimanapun, anda mengambil lebih banyak nukleus ini dan menunggu sedikit lebih lama, maka anda mungkin bertuah dan melihat bagaimana zarah itu melompat keluar.

§ 4. Angkatan; had klasik

Mari kita anggap bahawa zarah bergerak melalui kawasan di mana terdapat potensi yang berubah merentasi gerakan. Secara klasik, kami akan menerangkan kes ini seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 5.7.

Rajah. 5.7. Sisihan zarah dengan kecerunan keupayaan melintang.

Jika zarah bergerak mengikut arah X dan memasuki kawasan di mana terdapat potensi yang berbeza-beza y, maka zarah itu akan menerima pecutan melintang daripada daya F=-dV/dy. Jika daya hadir hanya dalam kawasan lebar yang terhad w, maka ia hanya akan berfungsi untuk seketika w/v. Zarah akan menerima momentum melintang

hlm y = Fw/v

Maka sudut pesongan dq akan sama dengan

di mana R - dorongan awal. Menggantikan bukannya F nombor - dV / dy, kita mendapatkan

Sekarang kita perlu mengetahui sama ada keputusan ini boleh diperoleh menggunakan idea bahawa gelombang mematuhi persamaan (5.20). Kami akan mempertimbangkan kuantum fenomena yang sama secara mekanikal, dengan mengandaikan bahawa semua skala di dalamnya adalah lebih besar daripada panjang gelombang amplitud kebarangkalian kami. Di mana-mana kawasan kecil, kita boleh mengandaikan bahawa amplitud berbeza seperti

Adakah kita dapat melihat bagaimana pesongan zarah akan terhasil daripada ini apabila V adakah akan ada kecerunan melintang? Dalam FIG. Dalam Rajah 5.8, kami melakarkan rupa gelombang amplitud kebarangkalian.

Rajah. 5.8. Amplitud kebarangkalian dalam kawasan dengan kecerunan keupayaan melintang.

Kami telah melukis satu siri "nod gelombang" yang boleh anda anggap sebagai, katakan, permukaan di mana fasa amplitud adalah sifar. Di mana-mana kawasan kecil, panjang gelombang (jarak antara nod bersebelahan) adalah

di mana R yang berkaitan dengan V formula

Di kawasan di mana V lebih di sana R gelombang yang lebih kecil dan panjang. Oleh itu, arah garisan nod gelombang secara beransur-ansur berubah, seperti yang ditunjukkan dalam rajah.

Untuk mencari perubahan dalam cerun garisan nod gelombang, ambil perhatian bahawa pada dua laluan a dan b terdapat beza keupayaan D V=(dV/dy)D, dan oleh itu perbezaan D R antara impuls. Perbezaan ini boleh didapati daripada (5.28):

nombor gelombang p/j begitu juga seterusnya cara yang berbeza berbeza, yang bermaksud bahawa fasa berkembang bersama mereka pada kadar yang berbeza. Perbezaan dalam kadar pertumbuhan fasa ialah D k=D R/h, dan terkumpul sepanjang jalan w perbezaan fasa akan sama dengan

Nombor ini menunjukkan berapa banyak, pada masa keluar dari jalur, fasa sepanjang laluan b"memimpin" fasa di sepanjang laluan a. Tetapi pada keluar dari jalur, pendahuluan fasa tersebut sepadan dengan pendahuluan nod gelombang mengikut nilai

Merujuk kepada FIG. 5.8, kita melihat bahawa hadapan gelombang baru akan berputar melalui sudut dq yang diberikan oleh formula

jadi kita ada

Dan ini bertepatan dengan (5.26) jika kita menggantikan r/m pada v, a D V/D pada dV/dy.

Keputusan yang baru kita perolehi adalah benar hanya apabila potensi berubah secara perlahan dan lancar - dalam apa yang dipanggil had klasik. Kami telah menunjukkan bahawa di bawah keadaan ini kami memperoleh gerakan zarah yang sama yang mungkin diperoleh daripada F=ma, jika kita menganggap bahawa potensi menyumbang kepada fasa amplitud kebarangkalian sama dengan Vt/j. Dalam had klasik mekanik terkuantisasi ternyata selaras dengan mekanik Newton.

§ 5. "Precession" zarah dengan putaran 1 / 2

Ambil perhatian bahawa kita tidak menganggap bahawa kita mempunyai beberapa tenaga potensi khas, ia hanyalah tenaga, yang terbitannya memberikan daya. Sebagai contoh, dalam eksperimen Stern-Gerlach, tenaga mempunyai bentuk U=-m B; oleh itu, dengan adanya variasi spatial dalam B, daya diperoleh. Jika kita memerlukan penerangan mekanik kuantum tentang pengalaman itu, kita perlu mengatakan bahawa zarah dalam satu rasuk menukar tenaganya ke satu arah, dan dalam rasuk yang lain - dalam sisi terbalik, (tenaga magnet U boleh dimasukkan sama ada ke dalam tenaga keupayaan V, atau tenaga "dalaman". W; tepat di mana, ia tidak penting sama sekali.) Disebabkan oleh variasi tenaga, gelombang dibiaskan, rasuk dibengkokkan ke atas atau ke bawah. (Kita kini tahu bahawa mekanik kuantum meramalkan kelengkungan yang sama yang mengikuti daripada pengiraan dalam mekanik klasik.)

Ia juga mengikuti daripada pergantungan amplitud pada tenaga keupayaan bahawa untuk zarah yang duduk dalam medan magnet seragam yang diarahkan sepanjang paksi z, amplitud kebarangkalian mesti berubah mengikut masa mengikut undang-undang.

melampaui apa yang akan terjadi tanpa bidang itu. Oleh kerana zarah dengan putaran 1 / 2 boleh mempunyai m z tambah atau tolak beberapa nombor, katakan m, kemudian dua negeri yang boleh difikirkan dalam medan seragam, fasa akan berubah pada kadar yang sama dalam arah yang bertentangan. Amplitud akan didarab dengan

Keputusan ini membawa kepada akibat yang menarik. Biarkan zarah putaran 1/2 berada dalam keadaan tertentu yang bukan keadaan putaran atas tulen atau keadaan putaran bawah tulen. Ia boleh diterangkan dari segi amplitud berada dalam dua keadaan ini. Tetapi dalam medan magnet, fasa kedua-dua keadaan ini akan mula berubah pada kadar yang berbeza. Dan jika kita bertanya apa-apa soalan tentang amplitud, maka jawapannya bergantung pada berapa banyak masa yang dihabiskan zarah dalam bidang ini.

Sebagai contoh, pertimbangkan pereputan muon dalam medan magnet. Apabila muon datang daripada pereputan p mesons, ia terkutub (dengan kata lain, mereka mempunyai arah putaran pilihan). Muon pula mereput (secara purata selepas 2.2 microsec), memancarkan elektron dan sepasang neutrino:

Dalam pereputan ini, ternyata elektron (sekurang-kurangnya pada tenaga tinggi) dipancarkan terutamanya dalam arah yang bertentangan dengan putaran muon.

Mari kita anggap bahawa terdapat peranti eksperimen (Rajah 5.9): muon terkutub masuk dari kiri dan dalam blok jirim TAPI berhenti, dan kemudian hancur sedikit kemudian.

Rajah.. 5.9. Percubaan pereputan muon.

Elektron yang dipancarkan keluar, secara amnya, dalam semua arah yang boleh difikirkan. Bayangkan, bagaimanapun, bahawa semua muon memasuki blok nyahpecutan TAPI sehingga membelakangi mereka ke arah itu X. Tanpa medan magnet, beberapa jenis taburan sudut arah pereputan akan diperhatikan di sana; kami ingin tahu bagaimana taburan ini akan berubah dengan kehadiran medan magnet. Ia boleh dijangka bahawa ia akan berubah dari semasa ke semasa. Anda boleh mengetahui apa yang berlaku dengan bertanya apakah amplitud pada setiap saat fakta bahawa muon ditemui dalam keadaan (+ x).

Masalah ini boleh dirumuskan seperti berikut: hendaklah diketahui bahawa pada masa t=0 putaran muon diarahkan sepanjang + X; apakah amplitud fakta bahawa pada masa ini t ia akan berada dalam keadaan yang sama? Dan walaupun kita tidak mengetahui peraturan untuk kelakuan zarah dengan putaran 1/2 dalam medan magnet berserenjang dengan putaran, tetapi kita tahu apa yang berlaku kepada keadaan apabila putaran diarahkan ke atas atau ke bawah medan - maka amplitudnya adalah didarab dengan ungkapan (5.34) . Prosedur kami kemudiannya adalah untuk memilih perwakilan di mana keadaan asas adalah arah putaran ke atas atau ke bawah berkenaan dengan z(berbanding dengan arah medan). Dan sebarang soalan kemudiannya boleh dinyatakan melalui amplitud keadaan ini.

Biarkan |y(t)> mewakili keadaan muon. Apabila dia memasuki blok TAPI, keadaannya ialah |y (0)>, dan kami. ingin tahu |y (t)> dalam lebih lanjut lewat waktu t. Jika dua keadaan asas dilambangkan dengan (+z) dan (-z), maka kita tahu amplitud dan - ia diketahui kerana kita tahu bahawa |y (0)> ialah keadaan dengan putaran dalam arah (+ x). Ia berikutan daripada bab sebelumnya bahawa amplitud ini adalah sama

Mereka ternyata sama. Oleh kerana mereka merujuk kepada kedudukan pada t=0, kami menandakannya DARI+ (0) dan DARI - (0).

Tetapi jika kita tahu C + (t) dan C - (t), maka kita mempunyai segala-galanya untuk mengetahui keadaan pada masa ini t. Hanya ada satu lagi kesukaran untuk diatasi: kita memerlukan kebarangkalian bahawa putaran (pada masa ini t) akan diarahkan bersama + X. Tetapi peraturan am kami mengambil kira tugas ini juga. Kami menulis bahawa amplitud berada dalam keadaan (+x) pada masa ini t[mari kita nyatakan A + (t)]terdapat

Sekali lagi menggunakan hasilnya bab terakhir(atau lebih baik dengan kesaksamaan

* daripada ch. 3), kami menulis

Jadi, dalam (5.37) semuanya diketahui. Kita mendapatkan

Hasil yang luar biasa mudah! Ambil perhatian bahawa tindak balas adalah konsisten dengan apa yang dijangkakan t= 0. Kita mendapatkan TAPI + (0)= 1, dan ini agak betul, kerana pada mulanya diandaikan bahawa apabila t=0 muon berada dalam keadaan (+ x).

Kebarangkalian R + bahawa muon akan berada di negeri itu (+x) pada masa ini t, terdapat (TAPI+) 2 , iaitu.

Kebarangkalian berkisar antara sifar hingga satu, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 5.10.

Rajah. 5.10. Pergantungan masa kebarangkalian itu. bahawa zarah dengan putaran 1 / 2 akan berada dalam keadaan (+) berkenaan dengan paksi-x.

Perhatikan bahawa kebarangkalian kembali kepada satu sebagai m Bt/h=p (dan bukan bila 2p). Kerana kosinus kuasa dua, kebarangkalian berulang dengan frekuensi 2mV/j.

Oleh itu, kami telah mendapati bahawa peluang untuk menangkap dalam kaunter elektronik yang ditunjukkan dalam Rajah. 5.9, elektron yang mereput berubah secara berkala dengan nilai selang masa semasa muon duduk dalam medan magnet. Kekerapan bergantung pada momen magnet (L. Ia adalah dengan cara ini yang sebenarnya diukur momen magnetik muon.

Kaedah yang sama, sudah tentu, boleh digunakan untuk menjawab soalan lain tentang pereputan muon. Sebagai contoh, bagaimana ia bergantung pada masa t peluang untuk melihat elektron yang mereput dalam arah y, 90° ke arah X, tetapi masih pada sudut tepat ke padang? Jika anda menyelesaikan masalah ini, anda akan melihat bahawa kebarangkalian untuk dapat (+y) perubahan seperti cos 2 ((m bt/j)-(p/4)); ia turun naik dengan tempoh yang sama, tetapi mencapai maksimum satu perempat kitaran kemudian, apabila mВt/h=p/4. Apa yang sebenarnya berlaku ialah dari masa ke masa, muon melalui urutan keadaan yang sepadan dengan polarisasi penuh dalam arah yang berputar secara berterusan di sekitar paksi. z. Ini boleh digambarkan dengan mengatakan bahawa spin precesses dengan kekerapan

Perlu jelas kepada anda bentuk perihalan mekanikal kuantum apabila kami menerangkan tingkah laku sesuatu dari semasa ke semasa.

* Jika anda terlepas ch. 4, maka anda hanya boleh mempertimbangkan (5.35) sebagai peraturan terkurang buat sementara waktu. Kemudian, dalam ch. 8, kami akan menganalisis presesi putaran dengan lebih terperinci, dan amplitud ini juga akan diperolehi.

* Kami menganggap bahawa fasa mesti mempunyai nilai yang sama pada titik yang sepadan dalam dua sistem koordinat. Walau bagaimanapun, ini adalah perkara yang sangat rumit, kerana dalam mekanik kuantum fasanya adalah sewenang-wenangnya. Untuk mewajarkan sepenuhnya andaian ini, pertimbangan yang lebih terperinci diperlukan yang mengambil kira gangguan dua atau lebih amplitud.