Trigonometri sfera

disiplin matematik yang mengkaji hubungan antara sudut dan sisi segi tiga sfera (lihat Geometri sfera). biarlah TAPI, B, C - sudut dan a, b, c - sisi bertentangan segitiga sfera ABC(cm. nasi. ). Sudut dan sisi segitiga sfera disambungkan dengan formula asas S. t. berikut:

cos a= cos b cos Dengan+ dosa b dosa Dengan cos TAPI, (2)

cos A=- cos B cos С+ dosa B dosa DARI cos a, (2 1)

dosa a cos B = cosb dosa c- dosa b cos Dengan cos TAPI, (3)

dosa TAPI cos b= cos B dosa C+ dosa B cos DARI cos a; (3 1)

dalam formula ini a, b, c diukur dengan sudut pusat yang sepadan, panjang sisi ini adalah sama, masing-masing aR, bR, cR, di mana R- jejari sfera. Mengubah sebutan sudut (dan sisi) mengikut peraturan pilih atur bulat: TAPI→AT→DARI→TAPI(a→b→Dengan→a), adalah mungkin untuk menulis formula lain S. t., serupa dengan yang ditunjukkan. Formula segi tiga sfera memungkinkan untuk menentukan baki tiga unsur daripada mana-mana tiga unsur segitiga sfera (untuk menyelesaikan segi tiga).

Untuk segi tiga sfera bersudut tegak ( TAPI= 90°, a - hipotenus, b, c - kaki) formula S. t. dipermudahkan, contohnya:

dosa b= dosa a dosa AT, (1")

cos a = cos b cos c, (2")

dosa a cos B= cos b dosa c. (3")

Untuk mendapatkan formula yang menghubungkan unsur-unsur segitiga sfera bersudut tegak, anda boleh menggunakan peraturan mnemonik berikut (peraturan Napier): jika anda menggantikan kaki segitiga sfera bersudut tegak dengan pelengkapnya dan menyusun elemen segitiga (tidak termasuk sudut yang betul TAPI) dalam bulatan dalam susunan di mana mereka berada dalam segi tiga (iaitu, seperti berikut: awak, 90° - b, 90 ° - c), maka kosinus setiap unsur adalah sama dengan hasil darab sinus unsur bukan bersebelahan, contohnya,

cos a= dosa (90° - Dengan) dosa (90° - b)

atau, selepas transformasi,

cos a = cos b cos Dengan(formula 2").

Apabila menyelesaikan masalah, formula Delambre berikut adalah mudah, menghubungkan kesemua enam elemen segitiga sfera:

Apabila menyelesaikan banyak masalah astronomi sfera, bergantung pada ketepatan yang diperlukan, selalunya cukup untuk menggunakan formula anggaran: untuk segitiga sfera kecil (iaitu, mereka yang sisinya kecil berbanding dengan jejari sfera), anda boleh menggunakan formula trigonometri satah; untuk segi tiga sfera sempit (iaitu, yang mempunyai satu sisi, sebagai contoh a, kecil berbanding yang lain) gunakan formula berikut:

(3’’)

atau formula yang lebih tepat:

S. t. timbul lebih awal daripada trigonometri rata. Sifat segi tiga sfera bersudut tegak, dinyatakan dengan formula (1")-(3"), dan pelbagai kes penyelesaiannya diketahui walaupun oleh saintis Yunani Menelaus (abad ke-1) dan Ptolemy (abad ke-2). Para saintis Yunani mengurangkan penyelesaian segitiga sfera serong kepada penyelesaian segi empat tepat. Saintis Azerbaijan Nasiraddin Tuei (abad ke-13) secara sistematik meneliti semua kes penyelesaian segitiga sfera serong, untuk pertama kalinya menunjukkan penyelesaian dalam dua kes yang paling sukar. Formula asas untuk segi tiga sfera serong ditemui oleh saintis Arab Abul-Vefa (abad ke-10) [formula (1)], ahli matematik Jerman I. Regiomontan (pertengahan abad ke-15) [rumus seperti (2)], dan Perancis ahli matematik F. Viet (separuh ke-2 abad ke-16) [formula jenis (2 1)] dan L. Euler (Rusia, abad ke-18) [formula jenis (3) dan (3 1)]. Euler (1753 dan 1779) memberikan keseluruhan sistem formula untuk S. T. Beberapa formula untuk S. T. mudah untuk diamalkan telah ditubuhkan oleh ahli matematik Scotland J. Napier (akhir abad ke-16 - awal abad ke-17), ahli matematik Inggeris G. abad ke-17), ahli astronomi Rusia A. I. Leksel (separuh kedua abad ke-18), ahli astronomi Perancis J. Delambre (akhir ke-18 - awal abad ke-19), dan lain-lain.

Ensiklopedia Soviet yang Hebat. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .

Lihat apa "Spherical Trigonometry" dalam kamus lain:

Trigonometri sfera ialah bahagian trigonometri yang mengkaji hubungan antara sudut dan panjang sisi bagi segi tiga sfera. Ia digunakan untuk menyelesaikan pelbagai masalah geodetik dan astronomi. Kandungan 1 Sejarah ... Wikipedia

Satu cabang matematik yang mengkaji hubungan antara sisi dan sudut segi tiga sfera (iaitu segitiga pada permukaan sfera) terbentuk apabila tiga bulatan besar bersilang. Trigonometri sfera berkait rapat dengan ... ... Kamus Ensiklopedia Besar

Meneroka sifat segi tiga., Dilukis pada sfera. permukaan yang terbentuk pada bola oleh lengkok bulatan. Kamus perkataan asing termasuk dalam bahasa Rusia. Pavlenkov F., 1907 ... Kamus perkataan asing bahasa Rusia

Satu cabang matematik yang mengkaji hubungan antara sisi dan sudut segi tiga sfera (iaitu segitiga pada permukaan sfera) terbentuk apabila tiga bulatan besar bersilang. Trigonometri sfera berkait rapat dengan ... ... Kamus ensiklopedia

Matematik disiplin yang mengkaji hubungan antara sudut dan sisi segi tiga sfera (lihat geometri sfera). Biarkan A, B, C ialah sudut dan a, b, c sisi bertentangan bagi segi tiga sfera ABC. Sudut dan sisi adalah sfera. segi tiga... Ensiklopedia Matematik

Bidang matematik, di mana kebergantungan antara sisi dan sudut sfera dipelajari. segi tiga (iaitu, segi tiga pada permukaan sfera) terbentuk di persimpangan tiga bulatan besar. S. t. berkait rapat dengan sfera. astronomi... Sains semula jadi. Kamus ensiklopedia

Segitiga sfera Kurtosis bagi segi tiga sfera, atau nilai lebihan sfera dalam sf ... Wikipedia

Teorem Legendre dalam trigonometri sfera memungkinkan untuk memudahkan penyelesaian segitiga sfera jika diketahui bahawa sisinya cukup kecil berbanding dengan jejari sfera di mana ia terletak. Perkataan ... Wikipedia

Segitiga sfera bersudut tegak dengan hipotenus c, kaki a dan b serta sudut tegak C. Teorem Pythagoras sfera ialah teorem yang mewujudkan hubungan antara sisi segi empat tepat ... Wikipedia

Bulatan besar sentiasa membahagikan sfera kepada dua bahagian yang sama. Pusat bulatan besar bertepatan dengan pusat sfera ... Wikipedia

Buku

• Trigonometri sfera, Stepanov N.N. , Kursus trigonometri sfera oleh N. N. Stepanova ialah buku teks untuk pelajar: ahli astronomi, ahli geodesi, topografi, juruukur lombong; Pada masa yang sama, ia boleh memberi tujuan... Kategori: Matematik Penerbit: YoYo Media, Pengilang: YoYo Media,
• Trigonometri sfera, Stepanov N.N. , Kursus trigonometri sfera oleh N. N. Stepanova ialah buku teks untuk pelajar: ahli astronomi, ahli geodesi, topografi, juruukur lombong; pada masa yang sama ia boleh memenuhi tujuan... Kategori:

4)Formula kosinus sampingan.

Sistem koordinat

Sistem koordinat - satu set definisi yang melaksanakan kaedah koordinat, iaitu cara untuk menentukan kedudukan titik atau badan menggunakan nombor atau simbol lain. Set nombor yang menentukan kedudukan titik tertentu dipanggil koordinat titik ini. Dalam matematik, koordinat ialah set nombor yang dikaitkan dengan titik manifold dalam beberapa peta atlas tertentu. Dalam geometri asas, koordinat ialah kuantiti yang menentukan kedudukan sesuatu titik pada satah dan di angkasa. Pada satah, kedudukan titik paling kerap ditentukan oleh jarak dari dua garis lurus (paksi koordinat) yang bersilang pada satu titik (asalan) pada sudut tepat; satu daripada koordinat dipanggil ordinat dan satu lagi dipanggil abscissa. Di ruang angkasa, menurut sistem Descartes, kedudukan titik ditentukan oleh jarak dari tiga satah koordinat yang bersilang pada satu titik pada sudut tepat antara satu sama lain, atau dengan koordinat sfera, di mana asalnya berada di tengah-tengah sfera. Dalam geografi, koordinat ialah latitud, longitud dan ketinggian di atas paras biasa yang diketahui (contohnya, lautan). Lihat koordinat geografi. Dalam astronomi, koordinat ialah kuantiti yang menentukan kedudukan bintang, contohnya, kenaikan kanan dan deklinasi. Koordinat cakerawala ialah nombor yang menentukan kedudukan luminari dan titik tambahan pada sfera cakerawala. Dalam astronomi, pelbagai sistem koordinat cakerawala digunakan. Setiap satu daripada ini pada asasnya adalah sistem koordinat kutub pada sfera dengan kutub yang dipilih dengan tepat. Sistem koordinat cakerawala ditetapkan oleh bulatan besar sfera cakerawala (atau kutubnya, 90 ° dari mana-mana titik bulatan ini), menunjukkan padanya titik permulaan salah satu koordinat. Bergantung pada pilihan bulatan ini, sistem koordinat cakerawala dipanggil mendatar, khatulistiwa, ekliptik, dan galaksi. Apabila menyelesaikan masalah matematik atau fizikal tertentu dengan kaedah koordinat, anda boleh menggunakan sistem koordinat yang berbeza, memilih satu di mana masalah itu diselesaikan dengan lebih mudah atau lebih mudah dalam kes ini.

11) Jejari kelengkungan keratan selari, meridian dan normal.

Melalui titik sewenang-wenang di permukaan elipsoid bumi, seseorang boleh melukis satah menegak yang tidak terhingga yang membentuk bahagian normal dengan permukaan ellipsoid. Dua daripadanya: meridian dan bahagian menegak pertama yang berserenjang dengannya - dipanggil bahagian biasa utama. Kelengkungan permukaan ellipsoid bumi pada titik yang berbeza adalah berbeza. Selain itu, pada titik yang sama, semua bahagian normal mempunyai kelengkungan yang berbeza. Jejari kelengkungan bahagian normal utama pada titik tertentu adalah ekstrem, iaitu, yang terbesar dan terkecil di antara semua jejari kelengkungan bahagian normal yang lain. Nilai jejari kelengkungan meridian M dan N menegak pertama dalam latitud φ ditentukan oleh formula: M = a(1-e²) ​​​​ / (1 - e²*sin² φ) 3/ 2; N = a / (1 - e²*sin² φ) ½

Jejari kelengkungan r selari arbitrari ellipsoid adalah berkaitan dengan jejari kelengkungan bahagian menegak pertama dengan hubungan r = N cos φ. Nilai jejari kelengkungan bahagian utama ellipsoid M dan N mencirikan bentuknya berhampiran titik tertentu. Untuk titik sembarangan pada permukaan elipsoid, nisbah jejari

M / N = 1 - e² / 1 - e²*sin² φ

12) Panjang lengkok selari dan meridian.

L \u003d 2pR \u003d 2. 3.14 6371 "40000 km.

Dengan menentukan panjang bulatan besar, anda boleh mencari panjang lengkok meridian (khatulistiwa) dalam 1° atau dalam 1¢:1° lengkok meridian (khatulistiwa) = L/360°= 111 km, 1¢ daripada lengkok meridian (khatulistiwa) 111/60¢ = 1.853 km Panjang setiap selari adalah kurang daripada panjang khatulistiwa dan bergantung kepada latitud tempat tersebut.

Ia sama dengan L par \u003d L eq cosj par. Kedudukan titik di permukaan ellipsoid bumi boleh ditentukan oleh koordinat geodetik - latitud geodetik dan longitud geodetik. Untuk menentukan kedudukan titik pada permukaan geoid, koordinat astronomi digunakan, diperolehi melalui pemprosesan matematik hasil pengukuran astronomi. Walau bagaimanapun, dalam beberapa kes, apabila tidak perlu mengambil kira perbezaan dalam koordinat geodetik dan astronomi, konsep koordinat geografi digunakan untuk menentukan kedudukan sesuatu titik dalam navigasi pesawat.Latitud geografi j ialah sudut antara khatulistiwa satah dan normal kepada permukaan ellipsoid pada titik tertentu. Latitud diukur dari satah khatulistiwa ke kutub dari 0 hingga 90° utara atau selatan. Latitud utara dianggap positif, selatan - negatif.

13) Transformasi koordinat.

Transformasi sistem koordinat ialah peralihan dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain.Dengan penggantian sedemikian, adalah perlu untuk mewujudkan formula yang membolehkan, menggunakan koordinat yang diketahui titik dalam satu sistem koordinat, untuk menentukan koordinatnya dalam sistem koordinat yang lain.

Matlamat utama transformasi koordinat adalah untuk menentukan sistem koordinat sedemikian di mana persamaan garis tertentu menjadi yang paling mudah. Dengan susunan paksi koordinat yang baik, adalah mungkin untuk memastikan bahawa persamaan lengkung mengambil bentuk yang paling mudah. Ini penting untuk mengkaji sifat-sifat lengkung.

14) Garisan geodetik. Masalah geodetik langsung dan songsang.

Garis geodesik, lengkung, normal utama semua titik yang bertepatan dengan normal permukaan di mana ia berada. Jarak terpendek antara dua titik di permukaan ialah garis G., tetapi tidak selalu bertentangan. Masalah geodetik dikaitkan dengan menentukan kedudukan relatif titik di permukaan bumi dan dibahagikan kepada masalah langsung dan songsang. Langsung G. z. dipanggil pengiraan koordinat geodetik - latitud dan longitud titik tertentu yang terletak pada ellipsoid bumi, mengikut koordinat titik lain dan sepanjang panjang dan azimut garis geodetik yang menghubungkan titik-titik ini. Songsang G. h. terdiri daripada menentukan koordinat geodetik dua titik pada ellipsoid bumi, panjang dan azimut garis geodetik antara titik-titik ini

15) Konvergensi meridian meridian pada satu titik elipsoid bumi - sudut g s antara tangen ke meridian titik ini dan tangen kepada ellipsoid, dilukis pada titik yang sama selari dengan satah beberapa meridian awal. C. m. g s ialah fungsi perbezaan antara longitud l meridian yang ditunjukkan, latitud B titik dan parameter ellipsoid. Kira-kira, S. m. dinyatakan dengan formula g s \u003d lsin. S. m. pada satah unjuran geodesik, atau unjuran kartografi (atau Gaussian S. m.) ialah sudut g, yang membentuk tangen kepada imej mana-mana meridian dengan paksi koordinat pertama (abscissa) unjuran ini, yang biasanya merupakan imej meridian tengah (paksi) wilayah yang dipaparkan.

16) Prinsip umum menggambarkan permukaan dengan terbentang.

Perkembangan satu permukaan ke permukaan yang lain dengan cara lenturan adalah satu transformasi permukaan pertama, di mana unsur-unsur geometri dalamannya dipelihara, iaitu sudut. KUASA DUA, kelengkungan Gaussian permukaan, dan sifat garis terpendek kekal terpendek. Jejari kelengkungan Ch. bahagian biasa dipanggil Ch. jejari kelengkungan pada titik tertentu pada permukaan..R=1/R1*R2- Kelengkungan Gaussian permukaan

Unsur trigonometri sfera

Trigonometri sfera memperkatakan kajian tentang hubungan antara sisi dan sudut segitiga sfera (contohnya, pada permukaan Bumi dan pada sfera cakerawala).Segitiga sfera. Di permukaan bola, jarak terpendek antara dua titik diukur sepanjang lilitan bulatan besar, iaitu bulatan yang satahnya melalui pusat bola. Bucu segitiga sfera ialah titik persilangan tiga sinar yang muncul dari pusat bola dan permukaan sfera. Sisi a, b, c segitiga sfera ialah sudut antara sinar yang kurang daripada 180 (jika salah satu sudut ini ialah 180, maka segi tiga sfera merosot menjadi separuh bulatan bulatan besar). Setiap sisi segi tiga sepadan dengan lengkok bulatan besar pada permukaan bola (lihat rajah).

Sudut A, B, C bagi segi tiga sfera, sisi bertentangan a, b, c, masing-masing, mengikut takrifan, kurang daripada 180, sudut antara lengkok bulatan besar yang sepadan dengan sisi segitiga, atau sudut antara satah yang ditakrifkan oleh sinar ini.Geometri pada permukaan bola adalah bukan Euclidean; dalam setiap segi tiga sfera, jumlah sisi adalah antara 0 dan 360, jumlah sudut adalah antara 180 dan 540. Dalam setiap segi tiga sfera, terdapat sudut yang lebih besar bertentangan dengan sisi yang lebih besar. Jumlah mana-mana dua sisi adalah lebih besar daripada sisi ketiga, hasil tambah mana-mana dua sudut adalah kurang daripada 180 ditambah dengan sudut ketiga. Segitiga sfera ditakrifkan secara unik (sehingga penjelmaan simetri): 1) tiga sisi, 2) tiga sudut, 3) dua sisi dan tertutup di antara mereka satu sudut, 4) sisi dan dua sudut yang bersebelahan dengannya.

4)Formula kosinus sampingan.

Rumus kosinus sisi mengaitkan tiga sisi dan satu daripada sudut segitiga sfera. Mudah untuk mencari sudut atau sisi yang tidak diketahui bertentangan dengan sudut ini, dan berbunyi seperti berikut: "dalam segi tiga sfera, kosinus sisi adalah sama dengan hasil darab kosinus dua sisi yang lain ditambah dengan hasil sinus sisi ini. dan kosinus sudut di antara keduanya”

Bagi sesetengah pelanggan kami, membeli barang kemas buatan sendiri adalah pelaburan yang menguntungkan dalam modal keluarga, dalam masa depan yang stabil untuk anak dan cucu. Bagi pelanggan lain, terutamanya wanita cantik, perhiasan eksklusif adalah satu lagi cara untuk menekankan gaya, kecantikan dan status sosial mereka yang dicemburui. Untuk lelaki - pilihan untuk menunjukkan cinta dan perhatian kepada yang dipilih.

G.P. Matvievskaya Sfera dan trigonometri sfera pada zaman dahulu dan di Timur zaman pertengahan / Pembangunan kaedah untuk penyelidikan astronomi. Isu 8, Moscow-Leningrad, 1979

G.P. Matvievskaya

Sfera dan trigonometri sfera pada zaman dahulu dan di Timur zaman pertengahan

1. Pada zaman dahulu dan pada Zaman Pertengahan, keperluan astronomi berfungsi sebagai rangsangan yang paling penting untuk pembangunan banyak cabang, matematik dan, terutama sekali, trigonometri sfera, yang merupakan alat matematik untuk menyelesaikan masalah astronomi tertentu. Dengan perkembangan astronomi, kerumitan masalahnya dan peningkatan keperluan untuk ketepatan pengiraan, radas ini bertambah baik secara beransur-ansur dan, dengan itu, kandungan trigonometri sfera diperkaya. Ia telah diterangkan dalam risalah astronomi - sebagai bahagian pengenalan astronomi - dan dalam karya matematik khas.

Kepentingan khusus untuk sejarah trigonometri sfera ialah tulisan Yunani kuno pada sfera - sains yang merangkumi unsur astronomi, geometri pada sfera dan trigonometri. Menjelang 4 c. BC e. ia telah dibangunkan sepenuhnya dan dianggap sebagai disiplin astronomi tambahan. Karya terawal yang diketahui mengenai sfera telah ditulis dalam tempoh abad ke-4 SM. BC e. - Saya abad. n. e. saintis terkemuka zaman dahulu seperti Autolik, Euclid, Theodosius, Hypsicles, Menelaus.

Kerja-kerja ini membolehkan anda membiasakan diri secara visual dengan peringkat awal dalam pembangunan trigonometri sfera.

Semua keputusan yang diperoleh oleh orang Yunani dalam bidang astronomi dan trigonometri, seperti yang diketahui, digeneralisasikan pada abad ke-2 SM. dalam karya Ptolemy bertajuk A Mathematical Collection in 13 Books. Kemudian, mungkin pada abad ke-3, ia dipanggil buku "hebat", dari mana pada Zaman Pertengahan nama "Almagest", yang menjadi diterima umum, berasal: ini adalah bagaimana perkataan "al-majisti" disebut dalam Latin - bentuk Arab dari "megiste" (yang paling hebat).

Berbeza dengan buku "hebat" Ptolemy, tulisan-tulisan pendahulunya, yang diperlukan untuk pengiraan astronomi dan digabungkan pada zaman Hellenistik lewat (tidak lewat dari abad ke-4) dalam satu koleksi, dipanggil "Astronomi Kecil". Mereka perlu dikaji selepas Elemen Euclid, supaya Almagest dapat difahami. Dalam kesusasteraan Arab, oleh itu, mereka muncul di bawah nama "kitab pertengahan" (kutub al-mutawasita).

Koleksi ini termasuk karya Euclid "Data", "Optik", "Fenomena" dan pseudo-Euclidean "Katoptrik", karya Archimedes ("Pada bola dan silinder", "Pengukuran bulatan", "Lemmas "), Aristarchus ("Mengenai kuantiti dan jarak Matahari dan Bulan"), Hipsikel ("Pada pendakian buruj di sepanjang ekliptik"), Autolika ("Pada sfera yang bergerak", "Pada terbit dan terbenamnya bintang tetap "), Theodosius ("Sfera", "Pada siang dan malam", "Pada tempat tinggal") dan Menelaus ("Sfera"). Karya Menelaus telah ditambahkan ke Astronomi Kecil, mungkin pada masa yang akan datang.

Terjemahan Arab dari buku-buku "tengah", termasuk karya-karya di sfera, muncul di antara terjemahan pertama karya-karya klasik sains Yunani. Kemudian mereka diulas berulang kali. Di antara penterjemah dan pengulas seseorang boleh menamakan saintis cemerlang seperti Kosta ibn Luka (abad ke-IX), al-Makhani (abad ke-IX), Sabit ibn Korra (abad ke-X), Ibn Iraq (abad X-XI), Nasir ad -Din at -Tusi (abad XIII) dan lain-lain.

Kepada "Astronomi Kecil" Yunani, sarjana Timur kemudiannya menambahkan karya "Mengenai Pengukuran Angka" oleh Banu Musa, "Data" dan "Kitab Segiempat Lengkap" oleh Sabit ibn Korra, "Risalah pada Segiempat Lengkap" oleh Nasir ad-Din at-Tusi.

Keperluan untuk berkenalan secara mendalam dengan buku "pertengahan" telah diiktiraf dengan baik oleh ahli matematik dan astronomi Timur dan ditekankan walaupun pada abad ke-17. dalam ensiklopedia bibliografi terkenal Hajji Khalifa "Membuang Tabir dari Judul Buku dan Ilmu". Teks risalah ini, serta ulasan kepada mereka, telah dipelihara dalam banyak manuskrip Arab. Ini termasuk, sebagai contoh, koleksi tulisan tangan yang masih belum dipelajari oleh sesiapa pun, disimpan di Perpustakaan Awam Negeri. M. E. Saltykov-Shchedrin di Leningrad (koleksi Khanykov, No. 144).

Pada tahun 1902, ahli sejarah matematik terkenal A. Bjornbo menyatakan dengan kesal bahawa terlalu sedikit perhatian diberikan kepada bidang sains purba itu, yang boleh ditakrifkan sebagai "pengenalan kepada astronomi" dan yang ditunjukkan dalam "purata. "buku. Khususnya, beliau menegaskan keperluan untuk edisi kritikal sepenuhnya bagi teks karya itu dan, sehubungan dengan ini, menimbulkan persoalan untuk mengkaji versi bahasa Arab mereka. Merit besar dalam kajian "astronomi kecil" adalah milik A. Bjornbo sendiri, serta F. Gulch, I.L. Geiberg, P. Tannery, A. Chvalina, J. Mozhene, dan lain-lain. Walau bagaimanapun, jauh dari segala-galanya telah dilakukan ke arah ini setakat ini. Ini terpakai terutamanya kepada buku "pertengahan" dalam tafsiran Arab.

Para saintis Zaman Pertengahan Timur sering membuat penambahan yang ketara kepada karya Yunani, menawarkan bukti teorem mereka sendiri, dan kadangkala memperkenalkan idea baru ke dalam teori kuno. Dari sudut pandangan ini, versi Arab karya-karya yang dikhaskan untuk sfera patut mendapat perhatian yang besar. Yang paling penting ialah kajian ulasan mengenai karya Menelaus, yang disusun oleh Abu Nasr ibn Iraq dan Nasir ad-Din at-Tusi, yang memainkan peranan penting dalam sejarah trigonometri sfera.

2. Tulisan paling kuno mengenai sfera yang telah sampai kepada kita - dan, secara umum, dari tulisan matematik orang Yunani - adalah risalah Autolik dari Pitana (c. 310 SM) "On the Revolving Sphere" dan "On Sunrises". dan Matahari terbenam”. Kedua-duanya berurusan dengan persoalan geometri pada sfera seperti yang digunakan untuk astronomi.

Autolik mengkaji sfera berputar mengelilingi paksi dan bahagian bulat di atasnya: bulatan besar melalui kedua-dua kutub, bulatan kecil diperoleh dengan memotong sfera dengan satah berserenjang dengan paksi, dan bulatan besar melepasi serong kepadanya. Pergerakan titik-titik bulatan ini dianggap berkaitan dengan beberapa satah sekan tetap yang melalui pusat. Adalah mudah untuk melihat model sfera cakerawala dengan meridian, selari, khatulistiwa, ekliptik dan ufuk cakerawala. Pembentangan, bagaimanapun, dijalankan dalam bahasa geometri semata-mata dan istilah astronomi tidak digunakan.

Dalam esei 12 ayat "Pada Sfera Bergerak," Autolik memperkenalkan konsep gerakan seragam ("titik bergerak seragam jika ia bergerak di laluan yang sama dalam masa yang sama") dan menggunakan konsep ini pada sfera berputar. Pertama sekali, dia menunjukkan bahawa titik permukaannya yang tidak terletak pada paksi, semasa putaran seragam, menerangkan bulatan selari dengan kutub yang sama dengan sfera, dan dengan satah berserenjang dengan paksi (Proposisi 1). Selanjutnya, dibuktikan bahawa dalam masa yang sama semua titik permukaan menggambarkan lengkok yang serupa (Proposisi 2) dan sebaliknya, iaitu jika dua lengkok bulatan selari dilalui dalam masa yang sama, maka ia adalah serupa (Proposisi 3).

Memperkenalkan konsep ufuk - bulatan besar yang memisahkan bahagian sfera ini yang boleh dilihat oleh pemerhati yang terletak di tengah sfera daripada yang tidak kelihatan - Autolik menganggap pergerakan titik permukaan berhubung dengannya. Pelbagai kemungkinan kedudukan ufuk disiasat, apabila ia berserenjang dengan paksi, melalui kutub dan condong ke paksi. Dalam kes pertama (yang berlaku di kutub daratan), tiada titik pada permukaan sfera, dengan putaran seragam, akan menaik atau menetapkan; semua titik bahagian yang kelihatan sentiasa kekal kelihatan, dan semua titik bahagian yang tidak kelihatan kekal tidak kelihatan (Proposisi 4).

Dalam kes kedua, yang berlaku di khatulistiwa bumi, semua titik di permukaan sfera naik dan terbenam, berada pada masa yang sama di atas dan di bawah ufuk (cadangan 5).

Akhir sekali, dalam kes - umum - yang terakhir, ufuk menyentuh dua bulatan selari yang sama, yang mana yang terletak pada tiang yang kelihatan sentiasa kelihatan, dan yang satu lagi sentiasa tidak kelihatan (Proposisi 6). Titik permukaan antara bulatan ini naik dan terbenam, dan sentiasa melalui titik yang sama pada ufuk, bergerak dalam bulatan berserenjang dengan paksi dan condong ke ufuk pada sudut yang sama (Proposisi 7). Setiap bulatan besar yang ditetapkan pada permukaan sfera, yang menyentuh bulatan selari yang sama dengan ufuk, akan bertepatan dengan ufuk apabila sfera berputar (Proposisi 8). Di samping itu, telah ditetapkan bahawa jika ufuk condong ke paksi, maka daripada dua titik menaik serentak, yang lebih dekat dengan kutub yang kelihatan ditetapkan kemudian; jika dua titik ditetapkan serentak, maka yang terletak lebih dekat dengan kutub yang kelihatan. naik lebih awal.

Menunjukkan lebih lanjut bahawa dalam kes apabila ufuk condong ke paksi, bulatan besar yang melalui kutub sfera (iaitu, meridian) akan dua kali berserenjang dengan ufuk semasa revolusinya (Proposisi 10), Autolik merumus dan membuktikan teorem (Proposisi 11), yang pada dasarnya berkaitan dengan ekliptik. Kita bercakap tentang bagaimana kenaikan dan penetapan titik-titik yang terletak pada bulatan besar ini bergantung pada kedudukannya berbanding dengan ufuk. Telah terbukti bahawa jika kedua-duanya condong ke paksi, dan ekliptik menyentuh dua bulatan pada sfera selari antara satu sama lain dan berserenjang dengan paksi, lebih besar daripada yang disentuh ufuk, maka titik-titik ekliptik akan sentiasa mempunyai terbitan dan terbenamnya pada segmen ufuk yang terletak di antara bulatan selari bertangen dengan ekliptik.

Ayat terakhir menyatakan: Jika bulatan tetap pada permukaan sfera sentiasa membelah dua bulatan lain yang berputar dengan sfera, kedua-duanya tidak berserenjang dengan paksi dan tidak melalui kutub, maka ia adalah bulatan besar.

Risalah Autolik "On Sunrises and Sunsets", yang terdiri daripada dua buku, adalah berdasarkan esei yang disemak. Ia menerangkan pergerakan bintang tetap (buku 1), dengan perhatian khusus kepada dua belas buruj yang terletak di; ekliptik (Buku II). Ternyata apabila bintang terbit dan terbenam, mempunyai kedudukan yang berbeza pada sfera cakerawala, dan dalam keadaan apa ia kelihatan atau tidak kelihatan.

Tulisan Autolik mengenai sfera, yang berbentuk buku teks asas, tidak kehilangan kaitannya sama ada pada zaman dahulu atau pada Zaman Pertengahan. Kandungan risalah "On the Moving Sphere" telah digariskan dalam buku ke-6 "Koleksi Matematik" beliau oleh Pappus dari Alexandria (abad ke-3 Masihi). Kepentingan peranan Autolik dalam perkembangan sains telah ditulis pada abad ke-6. Simplicius dan John Philopon. Teks Yunani kedua-dua karya beliau telah dipelihara sepenuhnya sehingga hari ini.

Karya-karya Autolik telah diterjemahkan ke dalam bahasa Arab pada abad ke-9 dan awal abad ke-10. antara tulisan Yunani pertama yang membangkitkan minat sarjana Timur. Terjemahan risalah "On the Moving Sphere" dari bahasa Yunani asal telah dilakukan oleh penterjemah terkenal Ishaq ibn Hunayn (w. 910/911). Ahli astronomi, ahli falsafah dan pakar perubatan kontemporarinya Kusta ibn Luka al-Baalbaki (w. 912) menterjemah risalah On Sunrises and Sunsets. Terjemahan ini kemudiannya disemak oleh ahli matematik dan astronomi terkenal Thabit ibn Korra (w. 901). Kemudian, pada abad XIII. karya Autolik telah diulas oleh saintis cemerlang, ketua balai cerap Maraga Nasir ad-Din at-Tusi (1201 - 1274).

Di Eropah, karya Autolik versi Arab mula dikenali pada abad ke-12. Pada masa ini, terjemahan Latin risalah "On the Moving Sphere" telah dibuat oleh penterjemah abad pertengahan terbesar Gerardo dari Cremona (1114-1187).

Teks Yunani tulisan Autolik, yang dipelihara dalam beberapa manuskrip abad ke-10-15, menarik perhatian saintis pada abad ke-16, apabila kajian teliti tentang warisan saintifik kuno bermula di Eropah di bawah pengaruh idea-idea humanistik. Latin kali pertama; terjemahan kedua-dua risalah dari bahasa Yunani asal telah diterbitkan dalam ensiklopedia pendidik Itali George Balla (G. Valla, c. 1447-1500) pada tahun 1501, dan kemudian dalam koleksi tulisan kuno mengenai sfera, yang diterbitkan dalam 1558 di Messina oleh Francesco Mavrolico (F. Maurolico, 1494-1575).

Kerja aktif pada penerbitan karya matematik dan astronomi pengarang purba telah dijalankan dalam tempoh ini di Perancis, di mana ia telah dimulakan oleh salah seorang tokoh terkenal Renaissance Perancis, seorang propagandis yang bersemangat sains purba P. Ramus (P. Ramus). , Pierre de la Ramée, 1515-1572 ); Dia didedikasikan untuk edisi Yunani pertama karya Autolik, yang dijalankan oleh Conrad Dasipodius (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600); ia diterbitkan pada 1572 di Strasbourg, bersama-sama dengan terjemahan Latin. Seorang lagi pelajar Ramus P. Forcadel (Pierre Forcadel, c. 1520-1574) menerbitkan pada 1572 terjemahan Perancis kedua-dua risalah Autolik.

Pada tahun 1587-1588. satu lagi edisi Latin muncul, dibuat oleh I. Auria (I. Auria) pada beberapa manuskrip Yunani dari perpustakaan Vatican, dan pada tahun 1644 M. Mersenne (M. Megsenn, 1588-1648) menerbitkan terjemahan Latin ringkasan karya Autolik yang lain. Tulisan Yunani mengenai matematik dan astronomi.

Edisi kritis lengkap teks Yunani risalah Autolik, bersama-sama dengan terjemahan Latin, telah dijalankan pada tahun 1855 oleh F. Gulch. Ia adalah asas kepada terjemahan Jerman oleh A. Chvalina, yang diterbitkan pada tahun 1931.

Akhirnya, edisi baharu teks Yunani, berdasarkan kajian menyeluruh terhadap semua manuskrip yang masih hidup, telah dibuat oleh J. Maugenet pada tahun 1950; teks itu didahului dengan kajian menyeluruh tentang sejarah karya Autolik edisi Eropah. Pada tahun 1971, terjemahan bahasa Inggeris bagi teks ini telah diterbitkan di Beirut, yang, bagaimanapun, menyebabkan kritikan serius oleh O. Neugebauer.

Tulisan Autolik telah menarik perhatian ramai ahli sejarah astronomi dan matematik. Kedua-dua teori Autolik dan teks tulisannya dikaji. Sebagai contoh, ditunjukkan bahawa dua buku yang membentuk "On Sunrise and Sunset" adalah, kemungkinan besar, dua versi karya yang sama.

Versi Arab risalah Autolik, yang merupakan antara "buku pertengahan", masih paling kurang dipelajari, walaupun ia wujud dalam banyak manuskrip yang disimpan di pelbagai perpustakaan di Eropah dan Asia.

3. Pada separuh kedua c. ke-4. BC e., satu lagi esei mengenai sfera muncul, hampir dalam kandungan dengan karya Autolik dan ditulis oleh Euclid kontemporarinya yang lebih muda, pengarang terkenal Permulaan. Dalam risalah ini, bertajuk "Fenomena", Euclid sebahagian besarnya mengulangi pendahulunya, tetapi hubungan antara sfera dan astronomi praktikal lebih jelas dinyatakan dalam dirinya.

"Fenomena" Euclid terdiri daripada 18 ayat. Yang pertama merumuskan pernyataan yang mendasari sistem geosentrik dunia bahawa Bumi diambil sebagai pusat alam semesta. Oleh kerana kedudukan pemerhati di permukaan bumi harus dianggap sewenang-wenangnya, ia berikutan daripada pernyataan ini bahawa, berhubung dengan seluruh alam semesta, Bumi dianggap sebagai titik di mana pemerhati berada.

Setelah mengulangi dalam ayat ke-2 dan ke-3 teorem ketujuh Autolik dari risalah "On the Moving Sphere", Euclid meneruskan kajian tentang kebangkitan dan penetapan tanda-tanda zodiak - 12 buruj yang terletak di ekliptik, iaitu, setiap satu daripada dua belas lengkok, ekliptik, sama dengan 30 ° dan bersyarat sepadan dengan buruj ini. Dia membuktikan (proposisi 4) bahawa jika ekliptik tidak bersilang dengan bulatan terbesar yang sentiasa kelihatan pada sfera cakerawala, iaitu jika latitud tempat cerapan kurang daripada 66 °, maka buruj yang naik dahulu juga ditetapkan terlebih dahulu. ; jika ia bersilang dengannya, iaitu, jika latitud tempat cerapan lebih besar daripada 66 °, maka buruj yang terletak di utara naik lebih awal dan ditetapkan kemudian daripada yang terletak di selatan (proposisi 5). Oleh itu, ciri-ciri naik dan terbenam buruj bergantung kepada latitud tempat cerapan, iaitu, pada magnitud sudut antara paksi dunia dan ufuk.

Setelah menunjukkan lebih lanjut bahawa terbit dan terbenam bintang yang terletak di hujung bertentangan diameter ekliptik adalah bertentangan antara satu sama lain (proposisi 6), Euclid menerangkan teorem kesebelas dari risalah Autolik "On a Moving Sphere": bintang yang terletak di ekliptik , semasa terbit dan terbenamnya, merentasi bahagian ufuk yang tertutup di antara kawasan tropika, dan persimpangan ini berlaku pada titik malar (Proposisi 7).

Kemudian dia membuktikan bahawa lengkok yang sama dari tanda-tanda zodiak meningkat dan ditetapkan pada lengkok yang tidak sama di ufuk, semakin besar, semakin dekat dengan ekuinoks mereka berada; pada masa yang sama, lengkok yang sama jauh dari khatulistiwa naik dan ditetapkan pada lengkok yang sama di ufuk (Proposisi 8).

Teorem berikut berkenaan dengan tempoh matahari terbit dan terbenam pelbagai tanda zodiak. Pertama, telah ditetapkan bahawa masa yang diperlukan untuk kenaikan separuh ekliptik akan berbeza bergantung pada kedudukan titik permulaan rujukan (Proposisi 9). Ini sepadan dengan kenyataan tentang panjang siang dan malam yang berbeza dalam musim yang berbeza dalam setahun, apabila Matahari berada dalam tanda zodiak yang berbeza. Kemudian masa yang diperlukan untuk kenaikan dan penetapan tanda-tanda zodiak yang sama dan bertentangan dipertimbangkan.

Penyelesaian soalan yang dibangkitkan oleh Euclid adalah sangat penting bagi ahli astronomi purba, kerana ia melibatkan kaedah untuk menentukan jam siang dan malam, mewujudkan kalendar, dsb.

4. Oleh itu, dalam karya Autolik dan Euclid yang dipertimbangkan, asas-asas sfera Yunani kuno, baik secara teori dan praktikal, telah digariskan. Kedua-dua pengarang, bagaimanapun, mengikuti beberapa corak yang lebih awal, kerana mereka membuat beberapa cadangan tentang sfera tanpa bukti, mungkin menganggap mereka diketahui. Ada kemungkinan bahawa pengarang karya sebegitu pada sfera, yang dikenali secara umum pada masa itu, adalah ahli matematik dan astronomi yang hebat Eudoxus dari Cnidus (c. 408-355 SM).

Karya yang hilang ini kini dinilai oleh Theodosius' Sphere, yang ditulis kemudian, tetapi tidak syak lagi mengulangi kandungannya dalam bahagian utama.

5. Terdapat pendapat yang berbeza mengenai kehidupan dan biografi Theodosius, berdasarkan laporan yang sering bercanggah dari ahli sejarah kuno, yang tersilap menggabungkan beberapa tokoh yang membawa nama ini dalam satu orang. Kini telah ditetapkan bahawa pengarang The Sphere berasal dari Bithynia, dan bukan dari Tripoli, seperti yang dipercayai dan ditunjukkan sebelum ini dalam tajuk banyak edisi karyanya. Dia mungkin hidup pada separuh ke-2 abad ke-2 SM. BC e., walaupun dia biasanya dipanggil sezaman dengan Cicero (c. 50 SM).

Sebagai tambahan kepada Spheres, dua lagi tulisan Theodosius, juga termasuk dalam bilangan "buku pertengahan", telah dipelihara dalam bahasa Yunani asal. Risalah terbesar "On dwellings" merangkumi 12 ayat dan dikhaskan untuk penerangan tentang langit berbintang dari sudut pandangan pemerhati yang terletak di latitud geografi yang berbeza. Risalah kedua, bertajuk "Pada Siang dan Malam" dan terdiri daripada dua buku, mempertimbangkan lengkok ekliptika yang melaluinya matahari bergerak dalam satu hari, dan meneliti syarat-syarat yang diperlukan, sebagai contoh, untuk siang dan malam untuk benar-benar sama antara satu sama lain. pada ekuinoks.

Tulisan-tulisan ini dikaji dan diulas oleh ramai sarjana Arab, dan menarik perhatian di Eropah pada abad ke-16, apabila manuskrip Yunani mereka ditemui. Yang pertama daripada mereka diterbitkan dalam terjemahan Latin pada tahun 1558 oleh F. Mavroliko, bersama dengan beberapa karya lain mengenai sfera, dan kemudian pada tahun 1572 oleh K. Dasipodius menerbitkan rumusan Yunani dan Latin bagi teorem dari risalah ini dalam buku itu. yang disebut di atas. Pada tahun yang sama, 1572, terjemahan Perancis karya Theodosius telah diterbitkan dalam versi Dasipodius, yang dibuat oleh P. Forcadel. Edisi Latin seterusnya dibuat pada tahun 1587 (I. Auria) dan pada tahun 1644 (M, Mersenne). Teks Yunani penuh risalah "On Dwellings" bersama-sama dengan terjemahan Latin diterbitkan hanya pada tahun 1927 oleh R. Fecht. Edisi yang sama juga mengeluarkan semula buat kali pertama teks asal karya "On Days and Nights" dan terjemahan Latinnya. Sebelum ini, ia dikenali berkat susunan ayat dalam bahasa Yunani dan Latin yang diterbitkan pada tahun 1572 oleh K. Dasipodius dan terjemahan Latin lengkap dalam penerbitan I. Auria.

Karya Theodosius yang paling terkenal ialah "Sfera", yang menduduki tempat penting dalam sejarah astronomi, trigonometri sfera dan geometri bukan Euclidean.

Theodosius mengkaji secara terperinci sifat-sifat garisan pada permukaan sfera yang diperoleh dengan memotongnya dengan satah yang berbeza. Perlu ditekankan bahawa segi tiga sfera belum muncul dalam dirinya. Karya ini dimodelkan selepas "Permulaan" Euclid dan terdiri daripada tiga buah buku. Buku pertama, yang mengandungi 23 ayat, bermula dengan enam definisi. Sfera ditakrifkan sebagai "suatu angka pepejal yang dibatasi oleh satu permukaan, supaya semua garis lurus yang jatuh di atasnya dari satu titik yang terletak di dalam rajah adalah sama antara satu sama lain", iaitu, sama seperti bagaimana bulatan ditakrifkan dalam "Prinsip" (buku I, takrifan ke-15); adalah menarik untuk diperhatikan bahawa Euclid sendiri dalam buku XI "Permulaan" mentakrifkan sfera dengan cara yang berbeza - sebagai badan yang dibentuk oleh putaran separuh bulatan di sekeliling diameter tetap (buku XI, definisi ke-14). Selanjutnya, takrifan pusat sfera, paksi dan kutubnya diberikan. Kutub bulatan yang dilukis pada sfera ditakrifkan sebagai. titik pada permukaan sfera supaya semua garisan yang dilukis melaluinya ke lilitan bulatan adalah sama. Akhir sekali, takrifan keenam berkenaan dengan bulatan pada sfera yang jaraknya sama dari pusatnya: menurut Theodosius, ini adalah bulatan yang mana serenjang yang dilukis dari pusat sfera ke satahnya adalah sama antara satu sama lain.

Ayat-ayat buku 1 agak asas: terbukti; khususnya, bahawa mana-mana bahagian sfera oleh satah ialah bulatan, bahawa garis lurus yang dilukis dari pusat sfera ke pusat bahagian bulat adalah berserenjang dengan satah bahagian ini, bahawa sfera dan satah mempunyai satu titik hubungan, dsb.

Buku 2 Theodosius' Spheres bermula dengan definisi dua bulatan pada sfera yang bersentuhan antara satu sama lain dan mengandungi 23 ayat tentang sifat-sifat bulatan yang condong antara satu sama lain.

Buku ketiga terdiri daripada 14 ayat, lebih kompleks daripada yang sebelumnya, dan berurusan dengan sistem bulatan selari dan bersilang pada sfera. Di sini peranan perkhidmatan sfera berhubung dengan astronomi dijelaskan, walaupun semua teorem dirumus dan dibuktikan secara geometri semata-mata.

Theodosius' "Sphere" telah dikaji dengan teliti baik pada zaman dahulu dan pada Zaman Pertengahan. Ia telah diulas oleh Pappus dari Alexandria (abad ke-3) dalam buku ke-6 Koleksi Matematiknya. Pada abad VI. John Philopon, mempertimbangkan tulisan mengenai sfera Euclid, Autolik dan Theodosius, menyatakan bahawa yang terakhir memberikan persembahan abstrak yang paling umum mengenai subjek, sepenuhnya mengabstraksi daripada objek astronomi sebenar. Autolik, pada pendapatnya, menganggap kes yang lebih khusus, kerana "walaupun pengarang tidak memikirkan apa-apa objek tertentu, maka terima kasih kepada gabungan angka dan pergerakan sfera, dia mendekati realiti." Isu yang paling istimewa dibincangkan dalam "Fenomena" Euclid, kerana objek yang dikaji oleh astronomi - langit, matahari, bintang, planet - agak nyata.

Theodosius pertama kali menterjemah "Sfera" ke dalam bahasa Arab pada abad ke-9. Kusta ibn Luka al-Baalbaki; terjemahannya, dibawa ke ayat ke-5 Buku II, telah disiapkan oleh Thabit ibn Korra al-Harrani.

Terdapat banyak ulasan mengenai perkara ini, begitu juga dengan tulisan Theodosius yang lain, yang disusun oleh sarjana Timur abad ke-13-15. , antaranya ahli matematik dan astronomi terkemuka seperti Nasir ad-Din at-Tusi (1201 - 1274), Yahya ibn Muhammad ibn Abi Shukr Mukhi ad-Din al-Maghribi (m. c. 1285), Muhammad ibn Ma "ruf ibn Ahmad Taqi ad- Din (1525/1526-1585) dan lain-lain.

Pemprosesan Theodosius' Sphere, yang dimiliki oleh wakil sekolah saintifik Maraga yang terkenal pada abad ke-13. Muhi ad-Din al-Maghribi, telah diteliti dan sebahagiannya diterjemahkan ke dalam bahasa Perancis oleh B. Kappa de Vaux. Risalah ini menarik perhatian kepada istilah astronomi, yang digunakan dalam pembentangan dan bukti teorem Theodosius. Oleh itu, di sini, lebih jelas daripada asal Yunani, sambungan sfera dengan astronomi muncul, yang menjelaskan kaitannya dengan sains Timur.

Di Eropah, Theodosius' Sphere mula dikenali pada abad ke-12, apabila dua terjemahan Latin karya ini daripada versi Arabnya muncul. Mereka dibuat oleh penterjemah terkemuka yang bekerja di Sepanyol, Gerardo dari Cremona dan Plato dari Tivoli. Terjemahan yang terakhir diterbitkan pada tahun 1518 di Venice, kemudian diterbitkan semula pada tahun 1529 dalam edisi I. Voegelin (I. Voegelin, meninggal dunia pada tahun 1549), dan pada tahun 1558 - buku yang disebutkan oleh F. Mavroliko.

Teks Yunani "Spheres" pertama kali diterbitkan pada tahun 1558 oleh J. Pena bersama dengan terjemahan Latin. Edisi ini memungkinkan untuk menjelaskan perbezaan antara karya Theodosius versi Arab dan yang asli dan untuk menentukan penambahan dan perubahan dalam bukti teorem yang dibuat oleh saintis Timur. Walau bagaimanapun, manuskrip Yunani yang digunakan oleh Pena mengalami banyak kekurangan. Oleh itu, pada tahun 1707 di Oxford, I. Hunt menjalankan edisi baharu dan lebih baik, membuat beberapa pembetulan pada manuskrip lain. Selepas itu, teks Yunani karya itu (juga dengan terjemahan Latin) dicetak semula dua kali lagi: pada tahun 1862 oleh E. Nice dan pada tahun 1927 oleh I. Geiberg.

Bermula dari separuh kedua abad ke-16, edisi ringkasan dan penyesuaian Sfera mula muncul dalam bahasa Latin, di mana teorem dijelaskan menggunakan konsep matematik baharu dan menggunakan trigonometri sfera. Pada tahun 1586, edisi X. Clavius ​​​​(Ch. Clavius) telah diterbitkan di Rom, dan pada abad ke-17. ia diikuti oleh beberapa yang lain, termasuk edisi M. Mersenne (1644) dan I. Barrow (1675). perlambangan.

Pada tahun 1826, The Sphere diterbitkan dalam terjemahan Jerman oleh E. Nice. Edisi Jerman kedua kerja itu dijalankan pada tahun 1931 oleh A. Chvalina (bersama-sama dengan risalah Autolik). Terjemahan Perancis pertama "Spheres", yang dibuat oleh D. Henrion, diterbitkan pada tahun 1615, yang berikutnya, dimiliki oleh J.B. Dugamel (J. V. Du Hamel), - pada tahun 1660; akhirnya, pada tahun 1927, terjemahan moden oleh P. Ver Eecke muncul.

Karya ramai ahli sejarah matematik (A. Knock, I. Geiberg, F. Gulch, P. Tannery, A. Bjornbo, dll.) ditumpukan kepada kajian teks dan kandungan Theodosius' Sphere. dalam III- VII abad. dan dipelihara dalam manuskrip Yunani pada masa kemudian, hubungan antara "Sfera" Theodosius dan "Fenomena" Euclid dan karya pengarang purba yang lain telah dipertimbangkan. Hasil kajian ini memungkinkan untuk menjelaskan beberapa soalan mengenai sejarah matematik dan astronomi, serta biografi Euclid, Autolik, Theodosius dan beberapa pengulas tentang karya mereka.

6. Kandungan karya Yunani pada sfera adalah dekat dengan karya kecil Hypsicles dari Alexandria (hidup antara 200 dan 100 SM), bertajuk "Pada pendakian buruj sepanjang ekliptik" ("Anaphoric"). Hypsicles paling dikenali sebagai pengarang risalah tentang polyhedra biasa, termasuk dalam Elemen Euclid sebagai Buku XIV; satu lagi karya beliau, mengenai nombor poligon, yang masih belum terselamat, dipetik dalam Aritmetik Diophantus.

Dalam risalah "Pada pendakian buruj di ekliptik", yang terdiri daripada enam ayat, masalah diselesaikan untuk menentukan masa yang diperlukan untuk kenaikan atau penetapan setiap tanda zodiak, yang menduduki 1/12 ekliptik, atau "darjah", iaitu 1/30 bahagian ekliptik. Dia memainkan peranan penting dalam penalaran astrologi dan oleh itu menikmati populariti yang hebat pada zaman dahulu dan pada Zaman Pertengahan. Masalahnya boleh diselesaikan dengan cara trigonometri sfera, tetapi Hypsicles, yang belum mempunyai cara sedemikian, menyelesaikannya lebih kurang, menggunakan teorem pada nombor poligon yang diketahuinya. Dalam karya ini, buat pertama kalinya, terdapat pembahagian lilitan bulatan kepada 360 bahagian, yang tidak berlaku dengan pendahulunya dan, khususnya, dengan Autolik.

Risalah Hypsicles adalah salah satu "buku pertengahan" dan telah diterjemahkan ke dalam bahasa Arab pada abad ke-9. Terdapat banyak manuskrip terjemahan ini, tetapi ia masih belum diterokai untuk masa yang lama dan tidak dapat dipastikan dengan tepat sama ada Kusta ibn Luka, al-Kindi atau Ishaq ibn Hunayn melakukannya. Beliau menterjemah karya bahasa Arab ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12. Gerardo dari Cremona.

Edisi kritikal bagi terjemahan asal Yunani dan terjemahan Latin oleh Gerardo dari Cremona telah dijalankan pada tahun 1888 oleh K. Manitius. Edisi kedua, diterbitkan pada tahun 1966, termasuk teks Yunani, scholia dan terjemahan oleh W. De Falco, teks Arab dan terjemahan Jerman oleh M. Krause, dan artikel pengenalan oleh O. Neugebauer.

7. Daripada semua tulisan kuno mengenai sfera, peranan terbesar dalam sejarah sains dimainkan oleh "Sfera" Menelaus, yang bekerja di Alexandria pada abad ke-1 SM. n. e. dan meringkaskan semua keputusan yang telah diperolehi dalam bidang ini sebelum beliau. Dalam karyanya, bukan sahaja geometri pada sfera dinyatakan, tetapi segitiga sfera diperkenalkan buat kali pertama, teorem yang berfungsi sebagai asas trigonometri sfera telah dibuktikan berturut-turut, dan asas teori untuk pengiraan trigonometri telah dicipta.

Maklumat tentang kehidupan Menelaus sangat terhad. Adalah diketahui bahawa pada tahun 98 dia membuat pemerhatian astronomi di Rom. The Sphere, karya utamanya, tidak dipelihara dalam bahasa Yunani asal dan hanya diketahui daripada terjemahan Arab zaman pertengahan.

Sfera terdiri daripada tiga buah buku dan dimodelkan mengikut Elemen Euclid. Pertama sekali, definisi konsep asas diperkenalkan, termasuk konsep segi tiga sfera, yang tidak terdapat dalam karya Yunani terdahulu. Sebahagian penting daripada kerja itu dikhaskan untuk mengkaji sifat-sifat angka ini.

Apabila membuktikan dalil tentang sifat garis dan angka pada sfera, dia bergantung pada definisi dan teorem daripada Theodosius' Sphere. Dalam buku ke-2, teorem-teorem ini, serta proposisi yang dirumuskan dalam bentuk astronomi dalam Fenomena Euclid dan Anaforika Hypsicles, disusun secara sistematik dan disediakan dengan bukti-bukti baru yang ketat.

Peranan yang sangat penting dalam sejarah trigonometri dimainkan oleh ayat pertama buku III, yang dikenali sebagai "teorem Menelaus" (serta "teorem tentang segi empat lengkap", "peraturan enam kuantiti", "teorem mengenai rentas lintang. ”). Dalam kata-kata A. Braunmühl, ia adalah "asas bagi keseluruhan trigonometri sfera orang Yunani."

Teorem Menelaus untuk kes satah dirumuskan seperti berikut: biarkan garis yang saling bersilang AB, AC, BE dan CD, membentuk angka ACGB (Rajah 1), diberikan; maka hubungan berikut berlaku:

CE / AE = CG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE

Untuk kes sfera, dalam teorem, seperti biasa dalam trigonometri Yunani, kord lengkok berganda muncul. Jika rajah ACGB (Rajah 2) diberikan, dibentuk oleh lengkok bulatan besar pada permukaan sfera, maka hubungannya adalah sah:

kord(2CE) / kord(2AE) = kord(2CG) / kord(2DG) * kord(2DB) / kord(2AB)

kord(2AC) / kord(2AE) = kord(2CD) / kord(2DG) * kord(2GB) / kord(2BE)

Menelaus juga membuktikan beberapa teorem lain yang mempunyai kepentingan asas untuk pembangunan trigonometri sfera. Ini termasuk apa yang dipanggil "peraturan empat magnitud" (ayat ke-2 buku III); jika dua segi tiga sfera ABC dan DEG diberikan (Rajah 3), yang masing-masing mempunyai sudut A dan D, C dan G yang sama (atau tambah sehingga 180°).

kord (2AB) / kord (2BC) = kord (2DE) / kord (2EG)

Kalimat ketiga buku III "Sfera" Menelaus, yang kemudiannya menerima nama "peraturan tangen", berbunyi; bagaimana jika dua segi tiga sfera bersudut tegak ABC dan DEG (Rajah 4) diberikan, yang mana

kord (2AB) / kord (2AC) = kord (2ED) / kord (2GD) * kord (2BH) / kord (2ET)

KESUSASTERAAN

1. Geiberg I.L. Sains semula jadi dan matematik dalam zaman klasik. Terjemahan daripada beliau. S.P. Kondratiev, ed. dengan mukadimah A.P. Yushkevich, M-L., ONTI, 1936.

2. Sarton G. Apresiasi sains kuno dan zaman pertengahan semasa Renaissance, Philadelphia, 1953.

3 Steinschneider M. Die "mittleren" Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, "Zeitschr. für Math. u. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498.

4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", N. 10, Leipzig, 1900.

5. Björnbo A. Studienüber Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. zur Gesch. d. math. Wiss.", H. 14, Leipzig, 1902.

6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l "édition critique des traités de la Sphère en mouvement et des levers et couchers, Louvain, 1950.

7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Ex traditione Mauro-lyci... Menelai Sphaericorum lib. III. Ex traditione eiusdem. Maurolyci, Sphaericorum libri II. Autolyci. De sphaera quae movetur liber. Theodosii. De habitationibus. Euclidis Phaenomena brevissime demonstrata. Demonstrasi dan praxis trium tabellarum scilicet sinus recti, foecundae, dan manfaat dan spheraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis authoribus. Maurolyci de sphaera sermo. Messanae, 1558.

8. Mersenne M. Unirsae geometriae mixtaeque mathematicae sinopsis, Parisiis, 1644.

9. Auto1yci. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et occasibus libri duo, willow cum scholiis antiquis or libris manuscriptis edidit, Latin interpretatione and commentariis instruxit F. Hultsch, Leipzig, 1885.

10. Euclidis. Opera omnia. Ed. J. L. Heiberg et H. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Leipzig, 1916.

11. Tannery P. Recherches sur l "histoire sur l" astronomie ancienne, Paris, 1893.

12. Carra de Vaux B. Notis sur deux manuscrit arabes. I. Remaniement des sphériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, "Journal asiatique", sér ke-8, t. 17, 1894, 287-295.

13. Theodosius Tripolites. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. d. G.es. d. Wissenschaften zu Göttihgen", phil. sejarah, Klasse, N. F., Bd 19, No 3, Berlin, 1927.

14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco dan M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. d. Akademie d. Wiss. zu Göttingen", phil-hist. Kl., F. 3, No 62, Göttingen, 1966.

15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Ali b. Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Berlin, 1936.

Nota

Salinan edisi jarang ini tersedia di Perpustakaan. DALAM DAN. Lenin.

Satu salinan boleh didapati di Perpustakaan Akademi Sains USSR.

TRIGONOMETRI SHERIKAL

trigonometri, disiplin matematik yang mengkaji hubungan antara sudut dan sisi segi tiga sfera (lihat geometri sfera). Biarkan A, B, C ialah sudut dan a, b, c sisi bertentangan bagi segi tiga sfera ABC (lihat rajah). Sudut dan sisi segitiga sfera disambungkan dengan formula asas S. t. berikut:

cos a cos b cos c + sin b sin c cos A, (2)

cos A - cos B cos C + sin B sin C cos a, (21)

sin a cos B cos b sin c - sin b cos c cos A, (3)

dosa A cos b cos B sin C + sin B cos C cos a; (31)

dalam formula ini, sisi a, b, c diukur dengan sudut pusat yang sepadan, panjang sisi ini masing-masing adalah aR, bR, cR, dengan R ialah jejari sfera. Dengan menukar sebutan sudut (dan sisi) mengikut peraturan pilih atur bulat: A - B - C - A (a - b - c - a), anda boleh menulis formula S. t. lain yang serupa dengan yang ditunjukkan. Formula segi tiga sfera memungkinkan untuk menentukan baki tiga unsur daripada mana-mana tiga unsur segitiga sfera (untuk menyelesaikan segi tiga).

Untuk segi tiga sfera bersudut tegak (A 90 |, a - hipotenus, b, c - kaki), formula S. t. dipermudahkan, contohnya:

dosa b dosa dosa V,(1")

cos a cos b cos c, (2")

sin a cos B cos b sin c .(3")

Untuk mendapatkan formula yang menghubungkan unsur-unsur segitiga sfera bersudut tegak, anda boleh menggunakan peraturan mnemonik berikut (peraturan Napier): jika anda menggantikan kaki segitiga sfera bersudut tegak dengan pelengkapnya dan menyusun elemen segitiga (tidak termasuk sudut tegak A) mengelilingi bulatan mengikut susunan di mana ia berada dalam segi tiga (iaitu, seperti berikut: B, a, C, 90 | - b, 90 | - c), maka kosinus setiap unsur adalah sama dengan hasil darab sinus unsur bukan bersebelahan, contohnya,

cos a sin (90| - c) sin (90 | - b)

atau, selepas transformasi,

cos a cos b cos c (formula 2").

Apabila menyelesaikan masalah, formula Delambre berikut adalah mudah, menghubungkan kesemua enam elemen segitiga sfera:

Apabila menyelesaikan banyak masalah astronomi sfera, bergantung pada ketepatan yang diperlukan, selalunya cukup untuk menggunakan formula anggaran: untuk segitiga sfera kecil (iaitu, mereka yang sisinya kecil berbanding dengan jejari sfera), anda boleh menggunakan formula trigonometri satah; untuk segi tiga sfera sempit (iaitu, yang satu sisi, contohnya a, kecil berbanding yang lain), formula berikut digunakan:

atau formula yang lebih tepat:

S. t. timbul lebih awal daripada trigonometri rata. Sifat segi tiga sfera bersudut tegak, dinyatakan dengan formula (1")-(3"), dan pelbagai kes penyelesaiannya diketahui walaupun oleh saintis Yunani Menelaus (abad ke-1) dan Ptolemy (abad ke-2). Para saintis Yunani mengurangkan penyelesaian segitiga sfera serong kepada penyelesaian segi empat tepat. Saintis Azerbaijan Nasiraddin Tuei (abad ke-13) secara sistematik meneliti semua kes penyelesaian segitiga sfera serong, untuk pertama kalinya menunjukkan penyelesaian dalam dua kes yang paling sukar. Formula asas untuk segi tiga sfera serong ditemui oleh saintis Arab Abul-Vefa (abad ke-10) [formula (1)], ahli matematik Jerman I. Regiomontan (pertengahan abad ke-15) [rumus seperti (2)], dan Perancis ahli matematik F. Viet (separuh ke-2 abad ke-16) [formula jenis (21)] dan L. Euler (Rusia, abad ke-18) [formula jenis (3) dan (31)]. Euler (1753 dan 1779) memberikan keseluruhan sistem formula untuk S. T. Beberapa formula untuk S. T. mudah untuk diamalkan telah ditubuhkan oleh ahli matematik Scotland J. Napier (akhir abad ke-16 - awal abad ke-17), ahli matematik Inggeris G. abad ke-17), ahli astronomi Rusia A. I. Leksel (separuh kedua abad ke-18), ahli astronomi Perancis J. Delambre (akhir ke-18 - awal abad ke-19), dan lain-lain.

Menyala. lihat di Art. geometri sfera.

Ensiklopedia Besar Soviet, TSB. 2012

Lihat juga tafsiran, sinonim, makna perkataan dan apa itu TRIGONOMETRI SFERIKAL dalam bahasa Rusia dalam kamus, ensiklopedia dan buku rujukan:

• TRIGONOMETRI SHERIKAL
  
• TRIGONOMETRI SHERIKAL
  cabang matematik yang mengkaji hubungan antara sisi dan sudut segitiga sfera (iaitu segitiga pada permukaan sfera) terbentuk apabila ...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Ensiklopedia Besar:
  (daripada trigonon Yunani - segitiga dan ... metrik) cabang matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan aplikasinya untuk ...
• TRIGONOMETRI
  (dari bahasa Yunani. trigonon - segitiga - metrik), cabang matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan aplikasinya dalam geometri. …
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Ensiklopedia Brockhaus dan Euphron.
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Ensiklopedia Moden:
  
• TRIGONOMETRI
  (dari bahasa Yunani trigonon - segitiga dan ... meter), cabang matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan aplikasinya kepada geometri. Asingkan…
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Ensiklopedia:
  dan, pl. tidak, w. Cabang matematik yang mengkaji hubungan antara sisi dan sudut segitiga. Trigonometri - berkaitan dengan trigonometri.||Cf. ALGEBRA, ...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Ensiklopedia:
  , -i, f. Cabang matematik yang mengkaji hubungan antara sisi dan sudut segitiga. II adj. trigonometri, -th, ...
• TRIGONOMETRI
  TRIGONOMETRI (dari bahasa Yunani. trigonon - segitiga dan ... metrik), bahagian matematik, di mana trigonometri dipelajari. fungsi dan aplikasinya untuk ...
• SHERIKAL dalam Kamus Ensiklopedia Besar Rusia:
  TRIGONOMETRI SHERIKAL, satu cabang matematik di mana hubungan antara sisi dan sudut objek sfera dikaji. segi tiga (iaitu segitiga pada permukaan sfera) yang dibentuk oleh ...
• SHERIKAL dalam Kamus Ensiklopedia Besar Rusia:
  GEOMETRI SHERIKAL, satu cabang matematik di mana geom dipelajari. angka pada sfera. Pembangunan S.g. dalam antik zaman dahulu dikaitkan dengan tugas...
• SHERIKAL dalam Kamus Ensiklopedia Besar Rusia:
  ASTRONOMI SPERA, cabang astronomi yang mengembangkan matematik. kaedah untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kajian lokasi ketara dan pergerakan ruang. jasad (bintang, matahari,...
• SHERIKAL dalam Kamus Ensiklopedia Besar Rusia:
  ABERRATION SHERIKAL, herotan imej dalam optik. sistem disebabkan oleh fakta bahawa sinaran cahaya dari sumber titik yang terletak pada optik. kapak...
• TRIGONOMETRI* dalam Ensiklopedia Brockhaus dan Efron.
• TRIGONOMETRI dalam paradigma yang ditekankan Penuh menurut Zaliznyak:
  trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, trigonometri, ...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Baru Perkataan Asing:
  (gr. segitiga trigonometri + ... metrik) cabang matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan aplikasinya untuk menyelesaikan masalah, ch. arr. geometri; …
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Ungkapan Asing:
  [gr. segitiga trigonometri + ... metrik] cabang matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan aplikasinya untuk menyelesaikan masalah, ch. arr. geometri; t.…
• TRIGONOMETRI dalam kamus penjelasan dan terbitan baharu bahasa Rusia Efremova:
  
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Ejaan Lengkap Bahasa Rusia:
  trigonometri...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Ejaan:
  trigonomi ʻetria, ...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Bahasa Rusia Ozhegov:
  cabang matematik yang mengkaji hubungan antara sisi dan sudut...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Dahl:
  bahasa Yunani matematik segi tiga; ilmu mengira itu dengan membina segi tiga. -kaji selidik dan triangulasi, ukur rupa bumi mengikut ...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Penerangan Moden, TSB:
  (dari bahasa Yunani trigonon - segitiga dan ... metrik), cabang matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan aplikasinya untuk ...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Penjelasan Bahasa Rusia Ushakov:
  trigonometri, pl. tidak, w. (dari bahasa Yunani trigonos - segitiga dan metero - ukuran) (mat.). Jabatan geometri tentang hubungan antara sisi ...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Penerangan Efremova:
  trigonometri Cabang matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan aplikasinya untuk menyelesaikan ...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Baru Bahasa Rusia Efremova:
  dan. Cabang matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan aplikasinya untuk menyelesaikan ...
• TRIGONOMETRI dalam Kamus Penjelasan Moden Besar Bahasa Rusia:
  dan. Cabang matematik yang mengkaji fungsi trigonometri dan aplikasinya untuk menyelesaikan ...
• GEOMETRI SPERA dalam Ensiklopedia Soviet Besar, TSB:
  geometri, disiplin matematik yang mengkaji imej geometri yang berada pada sfera, sama seperti planimetri mengkaji imej geometri yang berada di atas satah. Setiap…
• bonsai dalam The Illustrated Encyclopedia of Flowers:
  Gaya bonsai Secara semula jadi, rupa pokok terbentuk bergantung pada tempat pertumbuhannya dan di bawah pengaruh faktor semula jadi. Batang...
• PELURU The Illustrated Encyclopedia of Weapons:
  SHERIKAL - lihat peluru bola ...
• PADDUGA dalam Pembinaan Penerangan dan Kamus Seni Bina:
  - permukaan sfera yang terletak di atas cucur atap di dalam bilik. Pelapik mencipta peralihan dari satah dinding ke permukaan...
• IKAN BILIS dalam Ensiklopedia Biologi:
  , genus ikan. ikan bilis neg. ikan haring. 8 spesies, diedarkan di perairan marin pantai di zon tropika dan sederhana kedua-dua hemisfera. …
• CHUMAKOV FEDOR IVANOVICH
  Chumakov (Fyodor Ivanovich) - profesor matematik gunaan di Universiti Moscow (1782 - 1837). Anak seorang kapten, dia diterima masuk ke dalam nombor ...
• SAVICH ALEXEY NIKOLAEVICH dalam Ensiklopedia Biografi Ringkas:
  Savich (Aleksey Nikolaevich, 1810 - 1883) - ahli astronomi terkenal Rusia, ahli Akademi Sains (sejak 1862); pada tahun 1829 beliau menamatkan pengajian...
• SEMYONI HIJAU ILYICH dalam Ensiklopedia Biografi Ringkas:
  Hijau (Semyon Ilyich) - Laksamana (1810 - 1892). Dia dibesarkan dalam kor tentera laut. Dia menamatkan pendidikan astronominya di Yuryev, di bawah bimbingan ...
• SEGITIGA (DALAM GEOMETRI) dalam Ensiklopedia Soviet Besar, TSB:
  rectilinear, bahagian satah yang dibatasi oleh tiga ruas garis (sisi T.), mempunyai berpasangan satu hujung sepunya (bucu T.). T., yang mempunyai...
• SEGITIGA SPERA dalam Ensiklopedia Soviet Besar, TSB:
  segi tiga, rajah geometri yang dibentuk oleh lengkok tiga bulatan besar yang menghubungkan secara berpasangan tiga mana-mana titik pada sfera itu. Mengenai sifat S. t. dan ...
• Sfera (MAT.) dalam Ensiklopedia Soviet Besar, TSB:
  (matematik), permukaan tertutup, semua titik adalah sama jarak dari satu titik (pusat S.). Segmen yang menghubungkan pusat S. dengan mana-mana ...
• SUPER SCHMIDT dalam Ensiklopedia Soviet Besar, TSB:
  (German Super-Schmidt-Spiegel), sistem teleskop kanta cermin di mana penyimpangan sfera cermin sfera cekung dibetulkan dengan gabungan kompleks plat pembetulan Schmidt (lihat ...

Trigonometri Sfera dalam Kamus Ensiklopedia:
Trigonometri Sfera ialah cabang matematik yang mengkaji hubungan antara sisi dan sudut segi tiga sfera (iaitu, segi tiga pada permukaan sfera) yang terbentuk apabila tiga bulatan besar bersilang. Trigonometri sfera berkait rapat dengan astronomi sfera.

Takrif "Spherical Trigonometry" oleh TSB:
Trigonometri sfera ialah disiplin matematik yang mengkaji hubungan antara sudut dan sisi segitiga sfera (lihat geometri sfera). Biarkan A, B, C ialah sudut dan a, b, c sisi bertentangan bagi segi tiga sfera ABC (lihat rajah). Sudut dan sisi segitiga sfera disambungkan dengan formula asas S. t. berikut:

dosa a dosa A = dosa b dosa B = dosa c dosa C ,	(1)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,	(2)
cos A = − cos B cos C + sin B sin C cos a,	(21)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A,	(3)
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cos a;	(31)

dalam formula ini, sisi a, b, c diukur dengan sudut pusat yang sepadan, panjang sisi ini masing-masing ialah aR, bR, cR, di mana R ialah jejari sfera. Mengubah sebutan sudut (dan sisi) mengikut peraturan pilih atur bulat:
A → B → C → A (a → b → c → a), seseorang boleh menulis formula S. t. lain yang serupa dengan yang ditunjukkan. Formula segi tiga sfera memungkinkan untuk menentukan baki tiga unsur daripada mana-mana tiga unsur segitiga sfera (untuk menyelesaikan segi tiga).
Untuk segi tiga sfera bersudut tegak (A \u003d 90 °, a ialah hipotenus, b, c ialah kaki), formula S. t. dipermudahkan, contohnya:

dosa b \u003d dosa dosa B,	(satu')
cos a = cos b cos c,	(2')
sin a cos B = cos b sin c.	(3')

Untuk mendapatkan formula yang mengaitkan unsur-unsur segitiga sfera bersudut tegak, anda boleh menggunakan peraturan mnemonik berikut (peraturan Napier): jika anda menggantikan kaki segitiga sfera bersudut tegak dengan pelengkapnya dan menyusun elemen segitiga (tidak termasuk sudut tegak A) mengelilingi bulatan mengikut susunan di mana ia berada dalam segi tiga (iaitu, seperti berikut: B, a, C, 90° - b, 90° - c), maka kosinus setiap unsur adalah sama dengan hasil darab sinus unsur bukan bersebelahan, contohnya,
cos a \u003d dosa (90 ° - c) dosa (90 ° - b)
atau, selepas transformasi,
cos a = cos b cos c (formula 2′).
Apabila menyelesaikan masalah, formula Delambre berikut adalah mudah, menghubungkan kesemua enam elemen segitiga sfera:
sin 1⁄2a cos 1⁄2(B−C) = sin 1⁄2A sin 1⁄2(b+c)

sin 1⁄2a sin 1⁄2(B−C) = cos 1⁄2A sin 1⁄2(b−c)

cos 1⁄2a cos 1⁄2(B+C) = sin 1⁄2A cos 1⁄2(b+c)

cos 1⁄2a sin 1⁄2(B+C) = cos 1⁄2A cos 1⁄2(b−c)
Apabila menyelesaikan banyak masalah astronomi sfera, bergantung pada ketepatan yang diperlukan, selalunya cukup untuk menggunakan formula anggaran: untuk segitiga sfera kecil (iaitu, mereka yang sisinya kecil berbanding dengan jejari sfera), anda boleh menggunakan formula trigonometri satah; untuk segi tiga sfera sempit (iaitu, yang satu sisi, contohnya a, kecil berbanding yang lain), formula berikut digunakan:

(satu'")

a cos B ≈ c−b

+

aІ 2

dosaІ B tg c

.

(3′″)

S. t. timbul lebih awal daripada trigonometri rata. Sifat segi tiga sfera bersudut tegak, dinyatakan dengan formula (1)-(3), dan pelbagai kes penyelesaiannya diketahui walaupun oleh saintis Yunani Menelaus (abad ke-1) dan Ptolemy (abad ke-2). Para saintis Yunani mengurangkan penyelesaian segitiga sfera serong kepada penyelesaian segi empat tepat. Saintis Azerbaijan Nasiraddin Tuei (abad ke-13) secara sistematik meneliti semua kes penyelesaian segitiga sfera serong, untuk pertama kalinya menunjukkan penyelesaian dalam dua kes yang paling sukar. Formula asas untuk segi tiga sfera serong ditemui oleh saintis Arab Abul-Vefa (abad ke-10) [formula (1)], ahli matematik Jerman I. Regiomontan (pertengahan abad ke-15) [rumus seperti (2)], dan Perancis ahli matematik F. Viet (separuh ke-2 abad ke-16) [formula jenis (21)] dan L. Euler (Rusia, abad ke-18) [formula jenis (3) dan (31)]. Euler (1753 dan 1779) memberikan keseluruhan sistem formula untuk S. T. Beberapa formula untuk S. T. mudah untuk diamalkan telah ditubuhkan oleh ahli matematik Scotland J. Napier (akhir abad ke-16 - awal abad ke-17), ahli matematik Inggeris G. abad ke-17), ahli astronomi Rusia A. I. Leksel (separuh kedua abad ke-18), ahli astronomi Perancis J. Delambre (akhir ke-18 - awal abad ke-19), dan lain-lain.
Menyala. lihat di Art. geometri sfera.
nasi. kepada Seni. Trigonometri sfera.