Найти проекцию вектора на плоскость онлайн. Калькулятор онлайн.Вычисление проекции вектора на вектор

Пусть на плоскости задана прямая l и пересекающая ее прямая m . Проекцией вектора на прямую l параллельно прямой m (вдоль прямой m ) называется вектор (рис.1.13,а). Если прямая m перпендикулярна прямой l , то проекция называется ортогональной.

Пусть в пространстве дана прямая l и пересекающая ее плоскость \rho . Проекцией вектора \vec{a}=\overrightarrow{AB} на прямую l параллельно плоскости \rho (вдоль плоскости \rho ) называется вектор \vec{a}_l=\overrightarrow{AB}_l , началом которого служит проекция A_l , начала A , а концом - проекция B_l конца B вектора \overrightarrow{AB} (рис. 1.13,6). Если плоскость \rho перпендикулярна прямой l , то проекция называется ортогональной.

Проекция вектора на плоскость

Пусть в пространстве задана плоскость я и пересекающая ее прямая \rho . Проекцией вектора \vec{a}=\overrightarrow{AB} на плоскость \rho параллельно прямой m (вдоль прямой m ) называется вектор \vec{a}_{\rho}=\overrightarrow{AB}_{\rho} , началом которого служит проекция A_{\rho} начала A , а концом - проекция B_{\rho} конца B вектора \overrightarrow{AB} (рис. 1.14). Если прямая m перпендикулярна плоскости \rho , то проекция называется ортогональной.

Свойства проекций векторов

1. Проекции вектора на параллельные прямые (или на параллельные плоскости) равны.

2. Проекции равных векторов равны.

3. Проекция суммы векторов равна сумме их проекций.

4. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, другими словами, отношение коллинеарных векторов равно отношению их проекций (если оно определено).

5. Проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.

Рассмотрим эти свойства для проекций векторов на прямую l параллельно прямой m . Для проекций векторов на плоскость или на прямую параллельно плоскости доказательства аналогичные.

Докажем первое свойство. Пусть \vec{a}_l - проекция вектора \vec{a} на прямую l вдоль прямой m , а \vec{a}_l - проекция вектора \vec{a} на прямую l" вдоль той же прямой m , причем прямые l и l" параллельные (рис. 1.15). Четырехугольник, образованный пересечением пары параллельных прямых l и l" штриховыми линиями, параллельными прямой m , является параллелограммом. Следовательно, \vec{a}_{l"}=\vec{a}_l , т.е. проекции одного и того же вектора \vec{a} на параллельные прямые равны.

Докажем второе свойство. Пусть на плоскости даны равные векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD} , не параллельные прямой m (см. рис. 1.16). Построим равные им векторы \mathop{\overrightarrow{A_lB"}= \overrightarrow{AB}}\limits_{.} и \mathop{\overrightarrow{C_lD"}= \overrightarrow{CD}}\limits_{.} . Из равенства \mathop{\overrightarrow{A_lB"}= \overrightarrow{C_lD"}}\limits_{.} следует, что четырехугольник A_lB"D"C_l - параллелограмм, а треугольники A_lB"B_l и C_lD"D_l равны по стороне и двум прилежащим углам

\big(A_lB"=C_lD",\qquad \angle B"A_lB_l=\angle D"C_lD_l,\qquad \angle A_lB"B_l=\angle C_lD"D_l

как углы с соответственно параллельными сторонами). Следовательно, \mathop{\overrightarrow{A_lB_l}= \overrightarrow{C_lD_l}}\limits_{.} , т.е. равные векторы, не параллельные прямой m , имеют равные проекции. Если же векторы параллельны прямой m , то их проекции также равны, как нулевые векторы. Второе свойство доказано.

Доказательство третьего свойства очевидно для векторов \overrightarrow{AB} и (рис. 1.17): проекция вектора \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} равна сумме проекций и \overrightarrow{B_lC_l} , векторов \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{BC} , т.е. \overrightarrow{A_lC_l}= \overrightarrow{A_lB_l}+ \overrightarrow{B_lC_l} . Для произвольных векторов \vec{a} и \vec{b} (у которых конец вектора \vec{a} не совпадает с началом вектора \vec{b} ) доказательство сводится к рассмотренному случаю для равных им векторов \overrightarrow{AB}=\vec{a} и \overrightarrow{BC}=\vec{b} , так как равные векторы имеют равные проекции (по второму свойству).

Доказательство четвертого свойства следует из теоремы Фалеса (см. разд. В.2). На рис.1.18 изображены векторы \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB} (\lambda>0) , а также их проекции \overrightarrow{A_lB_l} и \overrightarrow{A_lC_l} . По теореме Фалеса \frac{AC}{AB}=\frac{A_lC_l}{A_lB_l}=\lambda , следовательно, \overrightarrow{A_lC_l}= \lambda\overrightarrow{A_lB_l} , что и требовалось доказать. В случае \lambda<0 доказательство аналогичное.

Пятое свойство проекций следует из третьего и четвертого.

Теорема 1.1 (о проекциях вектора на пересекающиеся прямые).

1. Если на плоскости заданы две пересекающиеся прямые l_1 и l_2 , то любой вектор \vec{a} на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своих проекций \vec{a}_1 и \vec{a}_2 на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль другой прямой), т.е. .

2. Если в пространстве заданы три прямые l_1,l_2 и l_3 , пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной плоскости, то любой вектор \vec{a} в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих проекций \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3 на эти прямые (проекции на каждую прямую берутся вдоль плоскости, содержащей две другие прямые), т.е. .

В самом деле, пусть прямые l_1 и l_2 пересекаются в точке O (рис.1.19,а). Приложим вектор \vec{a} к точке O , т.е. рассмотрим вектор \overrightarrow{OA}=\vec{a} . По правилу параллелограмма сложения векторов (см. разд. 1.2) получаем равенство \overrightarrow{OA}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , которое равносильно доказываемому равенству \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , так как равные векторы имеют равные проекции (см. свойство 2 проекций). Единственность представления следует из однозначности нахождения проекций вектора.

Если же вектор \vec{a} коллинеарен одной из прямых, например l_1 , то соответствующие проекции имеют вид: \vec{a}_1=\vec{a},~\vec{a}_2=\vec{o} и равенство \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2=\vec{a}+\vec{o} , очевидно, выполняется.

Аналогично доказывается второе утверждение.

Замечание 1.3.

Справедливы утверждения, обратные к указанным в теореме 1.1.

Если вектор на плоскости равен сумме двух неколлинеарных векторов, т.е. \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2 , то слагаемые \vec{a}_1 и \vec{a}_2 являются проекциями вектора \vec{a} на прямые, содержащие векторы \vec{a}_1 и \vec{a}_2 соответственно.

Если вектор в пространстве равен сумме трех некомпланарных векторов, т.е. \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3 , то слагаемые \vec{a}_,\vec{a}_2 и \vec{a}_3 являются проекциями вектора \vec{a} на прямые, содержащие векторы \vec{a}_,\vec{a}_2,\vec{a}_3 соответственно.

В самом деле, отложим от произвольной точки O векторы \overrightarrow{OA}=\vec{a},\,\overrightarrow{OA_1}=\vec{a}_1,\,\overrightarrow{OA_2}=\vec{a}_2,\,\overrightarrow{OA_3}=\vec{a}_3 (рис.1.19,6). Тогда из равенства \vec{a}=\vec{a}_1+\vec{a}_2+\vec{a}_3 следует, что \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OA_2}+\overrightarrow{OA_3} , т.е. вектор - является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах (отсюда следует правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов). Поэтому \overrightarrow{OA_1},\,\overrightarrow{OA_2},\,\overrightarrow{OA_3} - проекции вектора \overrightarrow{OA} на прямые l_1,\,l_2,\,l_3 (проекция на каждую прямую берется вдоль плоскости, проходящей через две другие прямые). Так как равные векторы \vec{a} и \overrightarrow{OA} имеют равные проекции (свойство 2), заключаем, что проекции вектора \vec{a} на прямые l_1,\,l_2,\,l_3 равны соответственно. Наконец, проекции на прямые l_1,\,l_2,\,l_3 равны проекциям на параллельные им прямые, содержащие векторы \vec{a}_1,\,\vec{a}_2,\,\vec{a}_3 соответственно.

Пример 1.5. Если прямая пересекает стороны AB,~BC,~CA треугольника ABC (или их продолжения) в точках C_1,~B_1,~C_1 соответственно, то

\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=1.

Решение. Найдем отношения проекций векторов на прямую AB вдоль прямой A_1C_1 (рис. 1.20). Для этого через точку B проведем прямую BB_2 , параллельную прямой A_1C_1 . По свойству 4 проекций имеем:

\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}};~~~~\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}=\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{CB_1}}.

Перемножая эти пропорции, получаем \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}} , что равносильно доказываемому равенству.

Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Менелая.

Пример 1.6. Если на сторонах AB,~BC,~CA треугольника ABC взяты соответственно точки A_1,~B_1,~C_1 так, что прямые AA_1,~BB_1,~CC_1 пересекаются в одной точке, то

\frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=-1.

Решение. Пусть прямые пересекаются в точке Q (рис.1.21). Через точку C_1 проведем прямые C_1B_2 и C_1A_2 параллельно BB_1 и AA_1 соответственно. По свойству проекций (свойство 4):

\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}}=-\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{BC_1}};~~~\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}};~~~\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CQ}}{\overrightarrow{C_1Q}}=\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_2B_1}}

Учитывая эти равенства и свойства отношений коллинеарных векторов (см, разд.1.2.1), преобразуем левую и правую части последнего равенства:

\begin{gathered}\frac{\overrightarrow{CQ}}{\overrightarrow{C_1Q}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_2A_1}}=\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}}\\\frac{\overrightarrow{C_1Q}}{\overrightarrow{CQ}}=\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{CB_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{B_2B_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\left(-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AB}}\right)\end{gathered}

Запишем произведение правых частей этих равенств, учитывая, что произведение левых частей равно единице:

\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\left(-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AB}}\right)=-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{AB}}=-\frac{\overrightarrow{BC_1}}{\overrightarrow{AC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CA_1}}{\overrightarrow{BA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{AB_1}}{\overrightarrow{CB_1}}=1

Найдем обратное отношение \frac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{BC_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{CA_1}}\cdot\frac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{AB_1}}=-1 , что и требовалось доказать.

Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Чевы.

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX! Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пр a b = |b|cos(a,b) или

Где a b - скалярное произведение векторов , |a| - модуль вектора a .

Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp a b в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор .

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

Виды проекций по системе координат

Свойства проекции вектора

Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
Алгебраическая проекция вектора есть число.

Теоремы о проекциях вектора

Теорема 1 . Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.

Теорема 2 . Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Пр a b = |b|cos(a,b)

Виды проекций вектора

проекция на ось OX.
проекция на ось OY.
проекция на вектор.

Проекция на ось OX	Проекция на ось OY	Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).

Пример 1 . Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .

Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.

Пример 2 . Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр a b=4·cos120 o = -2.

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

а на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок . Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу - его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $\overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $\overline{a}$ (рис. 1).

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $\overline{a}\overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $\overline{a}↓\overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $\overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|\overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

Они сонаправлены;
Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Геометрической проекцией вектора $\overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A"$ - начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B"$ - конец искомого вектора. Вектор $\overline{A"B"}$ и будет искомым вектором.

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $\overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A"$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B"$ (рис. 7).

Проектирование различных линий и поверхностей на плоскость позволяет построить наглядное изображение предметов в виде чертежа. Будем рассматривать прямоугольное проектирование, при котором проектирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции. ПРОЕКЦИЕЙ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТЬ считают вектор = (рис. 3.22), заключенный между перпендикулярами, опущенными из его начала и конца.

Рис. 3.22. Векторная проекция вектора на плоскость.

Рис. 3.23. Векторная проекция вектора на ось.

В векторной алгебре часто приходится проектировать вектор на ОСЬ, то есть на прямую, имеющую определенную ориентацию. Такое проектирование выполняется легко, если вектор и ось L лежат в одной плоскости (рис. 3.23). Однако задача усложняется, когда это условие не выполнено. Построим проекцию вектора на ось, когда вектор и ось не лежат в одной плоскости (рис. 3.24).

Рис. 3.24. Проектирование вектора на ось
в общем случае.

Через концы вектора проводим плоскости, перпендикулярные прямой L. В пересечении с этой прямой данные плоскости определяют две точки А1 и B1 - вектор , который будем называть векторной проекцией данного вектора. Задача нахождения векторной проекции может быть решена проще, если вектор приведен в одну плоскость с осью, что возможно осуществить, так как в векторной алгебре рассматриваются свободные векторы.

Наряду с векторной проекцией, существует и СКАЛЯРНАЯ ПРОЕКЦИЯ, которая равна модулю векторной проекции, если векторная проекция совпадает с ориентацией оси L, и равна величине, ей противоположной, если векторная проекция и ось L имеют противоположную ориентацию. Скалярную проекцию будем обозначать:

Векторная и скалярная проекции не всегда терминологически разделяются строго на практике. Обычно пользуются термином «проекция вектора», подразумевая под этим скалярную проекцию вектора. При решении же необходимо четко эти понятия различать. Следуя установившейся традиции, будем использовать термины «проекция вектора», подразумевая скалярную проекцию, и «векторная проекция» - в соответствии с установленным смыслом.

Докажем теорему, позволяющую вычислять скалярную проекцию заданного вектора.

ТЕОРЕМА 5. Проекция вектора на ось L равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью, то есть

(3.5)

Рис. 3.25. Нахождение векторной и скалярной
Проекций вектора на ось L
( и ось L одинаково ориентированы).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Выполним предварительно построения, позволяющие найти угол G Между вектором и осью L. Для этого построим прямую MN, параллельную оси L и проходящую через точку О - начало вектора (рис. 3.25). Угол и будет искомым углом. Проведем через точки А и О две плоскости, перпендикулярные оси L. Получим:

Так как ось L и прямая MN параллельны.

Выделим два случая взаимного расположения вектора и оси L.

1. Пусть векторная проекция и ось L одинаково ориентированны (рис. 3.25). Тогда соответствующая скалярная проекция .

2. Пусть и L ориентированы в разные стороны (рис. 3.26).

Рис. 3.26. Нахождение векторной и скалярной проекций вектора на ось L ( и ось L ориентированы в противоположные стороны).

Таким образом, в обоих случаях справедливо утверждение теоремы.

ТЕОРЕМА 6. Если начало вектора приведено к некоторой точке оси L, и эта ось расположена в плоскости s, вектор образует с векторной проекцией на плоскость s угол , а с векторной проекцией на ось L - угол , кроме того сами векторные проекции образуют между собой угол , то