De lengte van de vector wordt dus berekend als de vierkantswortel van de som van de kwadraten van zijn coördinaten
. De lengte van een n-dimensionale vector wordt op dezelfde manier berekend
. Als we bedenken dat elke coördinaat van een vector het verschil is tussen de coördinaten van het einde en het begin, dan verkrijgen we de formule voor de lengte van het segment, d.w.z. Euclidische afstand tussen punten.

Scalair product twee vectoren op een vlak is het product van de lengtes van deze vectoren en de cosinus van de hoek daartussen:
. Er kan worden bewezen dat het scalaire product van twee vectoren is = (x 1, x 2) en = (y 1 , y 2) is gelijk aan de som van de producten van de overeenkomstige coördinaten van deze vectoren:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

In de n-dimensionale ruimte wordt het scalaire product van de vectoren X= (x 1, x 2,...,x n) en Y= (y 1, y 2,...,y n) gedefinieerd als de som van de producten van hun overeenkomstige coördinaten: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

De werking van het met elkaar vermenigvuldigen van vectoren is vergelijkbaar met het vermenigvuldigen van een rijmatrix met een kolommatrix. We benadrukken dat het resultaat een getal zal zijn, en geen vector.

Het scalaire product van vectoren heeft de volgende eigenschappen (axioma's):

1) Commutatieve eigenschap: X*Y=Y*X.

2) Verdelende eigenschap met betrekking tot optelling: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Voor elk reëel getal 
.

4)
, ifX is geen nulvector;
ifX is een nulvector.

Een lineaire vectorruimte waarin een scalair product van vectoren wordt gegeven dat aan de vier overeenkomstige axioma's voldoet, wordt genoemd Euclidische lineaire vectorruimte.

Het is gemakkelijk in te zien dat wanneer we een vector met zichzelf vermenigvuldigen, we het kwadraat van zijn lengte krijgen. Het is dus anders lengte een vector kan worden gedefinieerd als de vierkantswortel van zijn scalaire kwadraat:.

De vectorlengte heeft de volgende eigenschappen:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, waarbij een reëel getal is;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Cauchy-Boenjakovski-ongelijkheid);

4) |X+Y||X|+|Y| ( Driehoeksongelijkheid).

De hoek  tussen vectoren in de n-dimensionale ruimte wordt bepaald op basis van het concept van een scalair product. Sterker nog, als
, Dat
. Deze breuk is niet groter dan één (volgens de ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovsky), dus vanaf hier kunnen we  vinden.

De twee vectoren worden genoemd orthogonaal of loodrecht, als hun scalaire product gelijk is aan nul. Uit de definitie van het scalaire product volgt dat de nulvector orthogonaal is op elke vector. Als beide orthogonale vectoren niet nul zijn, dan is cos= 0, d.w.z.=/2 = 90 o.

Laten we nogmaals naar figuur 7.4 kijken. Uit de figuur blijkt dat de cosinus van de hoek  van de helling van de vector ten opzichte van de horizontale as kan worden berekend als
, en de cosinus van de hoekhelling van de vector ten opzichte van de verticale as is als
. Deze nummers worden meestal gebeld richting cosinussen. Het is gemakkelijk te verifiëren dat de som van de kwadraten van de richtingscosinussen altijd gelijk is aan één: cos 2 +cos 2 = 1. Op dezelfde manier kunnen de concepten van richtingscosinussen worden geïntroduceerd voor ruimtes met hogere afmetingen.

Basis van de vectorruimte

Voor vectoren kunnen we de concepten definiëren lineaire combinatie,lineaire afhankelijkheid En onafhankelijkheid vergelijkbaar met hoe deze concepten werden geïntroduceerd voor matrixrijen. Het is ook waar dat als de vectoren lineair afhankelijk zijn, ten minste één ervan lineair kan worden uitgedrukt in termen van de andere (dat wil zeggen: het is een lineaire combinatie ervan). Het omgekeerde is ook waar: als een van de vectoren een lineaire combinatie is van de andere, dan zijn al deze vectoren samen lineair afhankelijk.

Merk op dat als er tussen de vectoren al , a 2 ,...a m een ​​nulvector is, deze set vectoren noodzakelijkerwijs lineair afhankelijk is. In feite krijgen we l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 als we bijvoorbeeld de coëfficiënt j bij de nulvector gelijkstellen aan één, en alle andere coëfficiënten aan nul. In dit geval zullen niet alle coëfficiënten gelijk zijn aan nul ( j ≠ 0).

Bovendien, als een deel van de vectoren uit een reeks vectoren lineair afhankelijk zijn, dan zijn al deze vectoren lineair afhankelijk. Als sommige vectoren een nulvector geven in hun lineaire combinatie met coëfficiënten die niet allebei nul zijn, dan kunnen de resterende vectoren vermenigvuldigd met de nulcoëfficiënten worden opgeteld bij deze som van producten, en het zal nog steeds een nulvector zijn.

Hoe bepaal je of vectoren lineair afhankelijk zijn?

Laten we bijvoorbeeld drie vectoren nemen: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) en a 3 = (3, 1, 4, 3). Laten we er een matrix van maken, waarin het kolommen zullen zijn:

Vervolgens zal de kwestie van de lineaire afhankelijkheid worden gereduceerd tot het bepalen van de rangorde van deze matrix. Als het gelijk blijkt te zijn aan drie, dan zijn alle drie de kolommen lineair onafhankelijk, en als het minder blijkt te zijn, dan duidt dit op een lineaire afhankelijkheid van de vectoren.

Omdat de rangorde 2 is, zijn de vectoren lineair afhankelijk.

Merk op dat de oplossing voor het probleem ook zou kunnen beginnen met een redenering die gebaseerd is op de definitie van lineaire onafhankelijkheid. Creëer namelijk een vectorvergelijking  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, die de vorm zal aannemen l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Dan krijgen we een stelsel vergelijkingen:

Het oplossen van dit systeem met behulp van de Gauss-methode zal worden beperkt tot het verkrijgen van dezelfde stapmatrix, alleen zal deze nog één kolomvrije term hebben. Ze zullen allemaal nul zijn, omdat lineaire transformaties van nullen niet tot een ander resultaat kunnen leiden. Het getransformeerde stelsel van vergelijkingen zal de vorm aannemen:

De oplossing voor dit systeem is (-с;-с; с), waarbij с een willekeurig getal is; bijvoorbeeld (-1;-1;1). Dit betekent dat als we  l = -1; 2 =-1 en 3 = 1 nemen, dan l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, d.w.z. de vectoren zijn feitelijk lineair afhankelijk.

Uit het opgeloste voorbeeld wordt duidelijk dat als we het aantal vectoren nemen dat groter is dan de dimensie van de ruimte, ze noodzakelijkerwijs lineair afhankelijk zullen zijn. Als we in dit voorbeeld vijf vectoren zouden nemen, zouden we een matrix van 4 x 5 krijgen, waarvan de rangorde niet groter kan zijn dan vier. Die. het maximale aantal lineair onafhankelijke kolommen zou nog steeds niet meer dan vier zijn. Twee, drie of vier vierdimensionale vectoren kunnen lineair onafhankelijk zijn, maar vijf of meer kunnen dat niet. Bijgevolg kunnen niet meer dan twee vectoren lineair onafhankelijk zijn in het vlak. Elke drie vectoren in de tweedimensionale ruimte zijn lineair afhankelijk. In de driedimensionale ruimte zijn vier (of meer) vectoren altijd lineair afhankelijk. Enzovoort.

Daarom dimensie ruimte kan worden gedefinieerd als het maximale aantal lineair onafhankelijke vectoren dat zich daarin kan bevinden.

Een verzameling van n lineair onafhankelijke vectoren van een n-dimensionale ruimte R wordt genoemd basis deze ruimte.

Stelling. Elke vector van lineaire ruimte kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van basisvectoren, en op een unieke manier.

Bewijs. Laat de vectoren e l , e 2 ,...en n een basisdimensionale ruimte R vormen. Laten we bewijzen dat elke vector X een lineaire combinatie is van deze vectoren. Omdat samen met vector X het aantal vectoren (n +1) wordt, zullen deze (n +1) vectoren lineair afhankelijk zijn, d.w.z. er zijn getallen l , 2 ,..., n ,, die niet tegelijkertijd gelijk zijn aan nul, zodat

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

In dit geval 0, omdat anders zouden we l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 krijgen, waarbij niet alle coëfficiënten l , 2 ,..., n gelijk zijn aan nul. Dit betekent dat de basisvectoren lineair afhankelijk zouden zijn. Daarom kunnen we beide zijden van de eerste vergelijking delen door:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

waarbij x j = -( j /),
.

Nu bewijzen we dat een dergelijke representatie in de vorm van een lineaire combinatie uniek is. Laten we het tegenovergestelde aannemen, d.w.z. dat er een andere representatie is:

Х = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Laten we er term voor term de eerder verkregen uitdrukking van aftrekken:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Omdat de basisvectoren lineair onafhankelijk zijn, verkrijgen we dat (y j - x j) = 0,
, d.w.z. y j ​​= X j . De uitdrukking bleek dus hetzelfde te zijn. De stelling is bewezen.

De uitdrukking X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n wordt genoemd ontleding vector X gebaseerd op e l, e 2,...e n, en getallen x l, x 2,...x n - coördinaten vector x ten opzichte van deze basis, of in deze basis.

Er kan worden bewezen dat als n-nulvectoren van een n-dimensionale Euclidische ruimte paarsgewijze orthogonaal zijn, ze een basis vormen. Laten we in feite beide zijden van de gelijkheid vermenigvuldigen l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 met een willekeurige vector e i. We krijgen  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   ik = 0 voor ik.

Vectoren e l , e 2 ,...e n van n-dimensionale Euclidische ruimtevorm orthonormale basis, als deze vectoren paarsgewijze orthogonaal zijn en de norm van elk van hen gelijk is aan één, d.w.z. als e i *e j = 0 voor i≠j и |е i | = 1 voor i.

Stelling (geen bewijs). In elke n-dimensionale Euclidische ruimte is er een orthonormale basis.

Een voorbeeld van een orthonormale basis is een systeem van n eenheidsvectoren ei, waarbij de i-de component gelijk is aan één en de overige componenten gelijk zijn aan nul. Elke dergelijke vector wordt genoemd ort. De vectorvectoren (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (0, 0, 1) vormen bijvoorbeeld de basis van de driedimensionale ruimte.

Lezing: Vectorcoördinaten; scalair product van vectoren; hoek tussen vectoren

Vectorcoördinaten

Zoals eerder vermeld is een vector dus een gericht segment dat zijn eigen begin en einde heeft. Als het begin en het einde door bepaalde punten worden weergegeven, hebben ze hun eigen coördinaten in het vlak of in de ruimte.

Als elk punt zijn eigen coördinaten heeft, kunnen we de coördinaten van de hele vector krijgen.

Laten we zeggen dat we een vector hebben waarvan het begin en einde de volgende aanduidingen en coördinaten hebben: A(A x ; Ay) en B(B x ; By)

Om de coördinaten van een bepaalde vector te verkrijgen, is het noodzakelijk om de overeenkomstige coördinaten van het begin af te trekken van de coördinaten van het einde van de vector:

Gebruik de volgende formule om de coördinaten van een vector in de ruimte te bepalen:

Puntproduct van vectoren

Er zijn twee manieren om het concept van een scalair product te definiëren:

• Geometrische methode. Volgens dit is het scalaire product gelijk aan het product van de waarden van deze modules en de cosinus van de hoek ertussen.

• Algebraïsche betekenis. Vanuit algebra-oogpunt is het scalaire product van twee vectoren een bepaalde hoeveelheid die wordt verkregen als resultaat van de som van de producten van de overeenkomstige vectoren.

Als de vectoren in de ruimte worden gegeven, moet u een vergelijkbare formule gebruiken:

Eigenschappen:

• Als je twee identieke vectoren scalair vermenigvuldigt, zal hun scalaire product niet negatief zijn:

• Als het scalaire product van twee identieke vectoren gelijk aan nul blijkt te zijn, worden deze vectoren als nul beschouwd:

• Als een bepaalde vector met zichzelf wordt vermenigvuldigd, is het scalaire product gelijk aan het kwadraat van zijn modulus:

• Het scalaire product heeft een communicatieve eigenschap, dat wil zeggen dat het scalaire product niet zal veranderen als de vectoren opnieuw worden gerangschikt:

• Het scalaire product van vectoren die niet nul zijn, kan alleen gelijk zijn aan nul als de vectoren loodrecht op elkaar staan:

• Voor een scalair product van vectoren is de commutatieve wet geldig in het geval van vermenigvuldiging van een van de vectoren met een getal:

• Bij een scalair product kun je ook de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging gebruiken:

Hoek tussen vectoren

In het geval van een vlakprobleem kan het scalaire product van de vectoren a = (a x; a y) en b = (b x; by y) worden gevonden met behulp van de volgende formule:

een b = een x b x + een y bij y

Formule voor het scalaire product van vectoren voor ruimtelijke problemen

In het geval van een ruimtelijk probleem kan het scalaire product van de vectoren a = (a x; a y; a z) en b = (b x; by y; b z) worden gevonden met behulp van de volgende formule:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Formule voor het scalaire product van n-dimensionale vectoren

In het geval van een n-dimensionale ruimte kan het scalaire product van vectoren a = (a 1; a 2; ...; a n) en b = (b 1; b 2; ...; b n) worden gevonden met behulp van de volgende formule:

een b = een 1 b 1 + een 2 b 2 + ... + een n b n

Eigenschappen van het scalaire product van vectoren

1. Het scalaire product van een vector met zichzelf is altijd groter dan of gelijk aan nul:

2. Het scalaire product van een vector met zichzelf is gelijk aan nul als en slechts als de vector gelijk is aan de nulvector:

een · een = 0<=>een = 0

3. Het scalaire product van een vector met zichzelf is gelijk aan het kwadraat van zijn modulus:

4. De werking van scalaire vermenigvuldiging is communicatief:

5. Als het scalaire product van twee vectoren die niet nul zijn gelijk is aan nul, dan zijn deze vectoren orthogonaal:

een ≠ 0, b ≠ 0, een b = 0<=>een ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. De werking van scalaire vermenigvuldiging is distributief:

(a + b) c = een c + b c

Voorbeelden van problemen bij het berekenen van het scalaire product van vectoren

Voorbeelden van het berekenen van het scalaire product van vectoren voor vlakproblemen

Zoek het scalaire product van de vectoren a = (1; 2) en b = (4; 8).

Oplossing: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Zoek het scalaire product van vectoren a en b als hun lengte |a| = 3, |b| = 6, en de hoek tussen de vectoren is 60˚.

Oplossing: een · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Vind het scalaire product van de vectoren p = a + 3b en q = 5a - 3 b als hun lengte |a| = 3, |b| = 2, en de hoek tussen vectoren a en b is 60˚.

Oplossing:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |een| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Een voorbeeld van het berekenen van het scalaire product van vectoren voor ruimtelijke problemen

Zoek het scalaire product van de vectoren a = (1; 2; -5) en b = (4; 8; 1).

Oplossing: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Een voorbeeld van het berekenen van het puntproduct voor n-dimensionale vectoren

Zoek het scalaire product van de vectoren a = (1; 2; -5; 2) en b = (4; 8; 1; -2).

Oplossing: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Het kruisproduct van vectoren en een vector wordt genoemd derde vector , als volgt gedefinieerd:

2) loodrecht, loodrecht. (1"")

3) de vectoren zijn op dezelfde manier georiënteerd als de basis van de hele ruimte (positief of negatief).

Wijs: .

Fysieke betekenis van het vectorproduct

— krachtmoment ten opzichte van punt O; - straal - vector van het punt waarop de kracht wordt uitgeoefend, dus

Als we het bovendien naar punt O verplaatsen, moet de triple als basisvector worden georiënteerd.

Puntproduct van vectoren

We blijven met vectoren omgaan. Bij de eerste les Vectoren voor dummies We keken naar het concept van een vector, acties met vectoren, vectorcoördinaten en de eenvoudigste problemen met vectoren. Als je voor het eerst via een zoekmachine op deze pagina bent gekomen, raad ik je ten zeerste aan het bovenstaande inleidende artikel te lezen, omdat je, om het materiaal onder de knie te krijgen, bekend moet zijn met de termen en notaties die ik gebruik, basiskennis moet hebben over vectoren en basisproblemen kunnen oplossen. Deze les is een logische voortzetting van het onderwerp en daarin zal ik typische taken die het scalaire product van vectoren gebruiken in detail analyseren. Dit is een ZEER BELANGRIJKE activiteit.. Probeer de voorbeelden niet over te slaan; ze bevatten een nuttige bonus. Door te oefenen kun je het behandelde materiaal consolideren en beter worden in het oplossen van algemene problemen in de analytische meetkunde.

Optelling van vectoren, vermenigvuldiging van een vector met een getal.... Het zou naïef zijn om te denken dat wiskundigen niets anders hebben bedacht. Naast de reeds besproken acties zijn er nog een aantal andere bewerkingen met vectoren, namelijk: puntproduct van vectoren, vectorproduct van vectoren En gemengd product van vectoren. Het scalaire product van vectoren is ons bekend van school; de andere twee producten behoren traditioneel tot de cursus hogere wiskunde. De onderwerpen zijn eenvoudig, het algoritme voor het oplossen van veel problemen is eenvoudig en begrijpelijk. Het enige. Er is een behoorlijke hoeveelheid informatie, dus het is onwenselijk om ALLES IN EENMAAL onder de knie te krijgen en op te lossen. Dit geldt vooral voor dummies; geloof me, de auteur wil zich absoluut niet als Chikatilo uit de wiskunde voelen. Nou ja, natuurlijk ook niet uit de wiskunde =) Beter voorbereide studenten kunnen materialen in zekere zin selectief gebruiken, de ontbrekende kennis voor jou 'krijgen'. Ik zal een onschadelijke graaf Dracula zijn =)

Laten we eindelijk de deur openen en met enthousiasme kijken wat er gebeurt als twee vectoren elkaar ontmoeten...

Definitie van het scalaire product van vectoren.
Eigenschappen van het scalaire product. Typische taken

Het concept van een puntproduct

Eerst over hoek tussen vectoren. Ik denk dat iedereen intuïtief begrijpt wat de hoek tussen vectoren is, maar voor het geval dat, wat meer details. Laten we eens kijken naar vrije vectoren die niet nul zijn en . Als je deze vectoren vanuit een willekeurig punt plot, krijg je een beeld dat velen zich mentaal al hebben voorgesteld:

Ik geef toe dat ik de situatie hier alleen op het niveau van begrip heb beschreven. Als je een strikte definitie van de hoek tussen vectoren nodig hebt, raadpleeg dan het leerboek; in principe heeft het geen nut voor ons. Ook HIER EN HIERIN zal ik nulvectoren op sommige plaatsen negeren vanwege hun lage praktische betekenis. Ik heb speciaal een reservering gemaakt voor gevorderde sitebezoekers die mij de theoretische onvolledigheid van sommige volgende uitspraken kunnen verwijten.

kan waarden aannemen van 0 tot 180 graden (0 tot radialen), inclusief. Analytisch wordt dit feit geschreven in de vorm van een dubbele ongelijkheid: of (in radialen).

In de literatuur wordt het hoeksymbool vaak overgeslagen en eenvoudigweg geschreven.

Definitie: Het scalaire product van twee vectoren is een getal dat gelijk is aan het product van de lengtes van deze vectoren en de cosinus van de hoek daartussen:

Dit is een vrij strikte definitie.

Wij concentreren ons op essentiële informatie:

Aanduiding: het scalaire product wordt eenvoudigweg aangegeven met of.

Het resultaat van de bewerking is een NUMMER: Vector wordt vermenigvuldigd met vector en het resultaat is een getal. Als de lengtes van vectoren getallen zijn, is de cosinus van een hoek een getal en dan hun product zal ook een getal zijn.

Even een paar voorbeelden van opwarmingen:

voorbeeld 1

Oplossing: Wij gebruiken de formule . In dit geval:

Antwoord:

Cosinuswaarden zijn te vinden in trigonometrische tafel. Ik raad aan om het uit te printen; het zal in bijna alle delen van de toren nodig zijn en zal vele malen nodig zijn.

Vanuit puur wiskundig oogpunt is het scalaire product dimensieloos, dat wil zeggen dat het resultaat in dit geval slechts een getal is en dat is alles. Vanuit het oogpunt van natuurkundige problemen heeft een scalair product altijd een bepaalde fysieke betekenis, dat wil zeggen dat na het resultaat een of andere fysieke eenheid moet worden aangegeven. Een canoniek voorbeeld van het berekenen van de arbeid van een kracht is te vinden in elk leerboek (de formule is precies een scalair product). De arbeid van een kracht wordt gemeten in Joules, daarom zal het antwoord heel specifiek worden geschreven, bijvoorbeeld .

Voorbeeld 2

Zoek of , en de hoek tussen de vectoren is gelijk aan .

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Het antwoord vindt u aan het einde van de les.

Hoek tussen vectoren en puntproductwaarde

In Voorbeeld 1 bleek het scalaire product positief te zijn, en in Voorbeeld 2 bleek het negatief te zijn. Laten we eens kijken waar het teken van het scalaire product van afhangt. Laten we eens kijken naar onze formule: . De lengtes van vectoren die niet nul zijn, zijn altijd positief: , dus het teken kan alleen afhangen van de waarde van de cosinus.

Opmerking: Om de onderstaande informatie beter te begrijpen, is het beter om de cosinusgrafiek in de handleiding te bestuderen Functiegrafieken en eigenschappen. Kijk hoe de cosinus zich op het segment gedraagt.

Zoals reeds opgemerkt, kan de hoek tussen de vectoren binnenin variëren , en de volgende gevallen zijn mogelijk:

1) Als hoek tussen vectoren pittig: (van 0 tot 90 graden), dan , En het puntproduct zal positief zijn mede geregisseerd, dan wordt de hoek ertussen als nul beschouwd en zal het scalaire product ook positief zijn. Omdat de formule vereenvoudigt: .

2) Als hoek tussen vectoren bot: (van 90 tot 180 graden) dan , en dienovereenkomstig, puntproduct is negatief: . Speciaal geval: als de vectoren tegengestelde richtingen, dan wordt de hoek daartussen in aanmerking genomen uitgebreid: (180 graden). Het scalaire product is sindsdien ook negatief

De omgekeerde uitspraken zijn ook waar:

1) Als , dan is de hoek tussen deze vectoren scherp. Als alternatief zijn de vectoren co-directioneel.

2) Als , dan is de hoek tussen deze vectoren stomp. Als alternatief zijn de vectoren in tegengestelde richtingen.

Maar het derde geval is van bijzonder belang:

3) Als hoek tussen vectoren direct: (90 graden), dan scalair product is nul: . Het omgekeerde is ook waar: als , dan . De stelling kan compact als volgt worden geformuleerd: Het scalaire product van twee vectoren is nul als en slechts als de vectoren orthogonaal zijn. Korte wiskundige notatie:

! Opmerking : Laten we herhalen basisprincipes van wiskundige logica: Een dubbelzijdig logisch gevolgpictogram wordt meestal gelezen als "als en slechts als", "als en slechts als". Zoals je kunt zien, zijn de pijlen in beide richtingen gericht - "hieruit volgt dit, en omgekeerd - daaruit volgt dit." Wat is trouwens het verschil met het eenrichtingsvolgpictogram? Het pictogram vermeldt alleen dat, dat “hieruit dit volgt”, en het is geen feit dat het tegendeel waar is. Bijvoorbeeld: , maar niet elk dier is een panter, dus in dit geval kun je het icoontje niet gebruiken. Tegelijkertijd, in plaats van het pictogram Kan gebruik eenzijdig pictogram. Tijdens het oplossen van het probleem kwamen we er bijvoorbeeld achter dat we tot de conclusie kwamen dat de vectoren orthogonaal zijn: - een dergelijke invoer zal correct zijn, en zelfs passender dan .

Het derde geval heeft grote praktische betekenis, omdat je hiermee kunt controleren of vectoren orthogonaal zijn of niet. We zullen dit probleem oplossen in het tweede deel van de les.

Eigenschappen van het puntproduct

Laten we terugkeren naar de situatie waarin twee vectoren voorkomen mede geregisseerd. In dit geval is de hoek ertussen nul, en heeft de scalaire productformule de vorm: .

Wat gebeurt er als een vector met zichzelf wordt vermenigvuldigd? Het is duidelijk dat de vector op één lijn ligt met zichzelf, daarom gebruiken we de bovenstaande vereenvoudigde formule:

Het nummer wordt gebeld scalair vierkant vector, en worden aangeduid als .

Dus, het scalaire kwadraat van een vector is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de gegeven vector:

Uit deze gelijkheid kunnen we een formule verkrijgen voor het berekenen van de lengte van de vector:

Tot nu toe lijkt het onduidelijk, maar de doelstellingen van de les zullen alles op zijn plaats zetten. Om de problemen op te lossen die we ook nodig hebben eigenschappen van het puntproduct.

Voor willekeurige vectoren en elk getal gelden de volgende eigenschappen:

1) – commutatief of commutatief scalair productrecht.

2) – distributie of distributief scalair productrecht. U kunt eenvoudig de beugels openen.

3) – associatief of associatief scalair productrecht. De constante kan worden afgeleid uit het scalaire product.

Vaak worden allerlei eigenschappen (die ook bewezen moeten worden!) door studenten gezien als onnodige onzin, die alleen maar uit het hoofd geleerd hoeft te worden en direct na het examen veilig vergeten hoeft te worden. Het lijkt erop dat wat hier belangrijk is, iedereen al vanaf de eerste klas weet dat het herschikken van de factoren het product niet verandert: . Ik moet je waarschuwen dat het in de hogere wiskunde gemakkelijk is om met een dergelijke aanpak de zaken te verpesten. De commutatieve eigenschap geldt dus bijvoorbeeld niet voor algebraïsche matrices. Het is ook niet waar voor vectorproduct van vectoren. Daarom is het beter om je op zijn minst te verdiepen in de eigenschappen die je tegenkomt in een hogere wiskundecursus, om te begrijpen wat je wel en niet kunt.

Voorbeeld 3

.

Oplossing: Laten we eerst de situatie met de vector verduidelijken. Wat is dit eigenlijk? De som van vectoren is een goed gedefinieerde vector, die wordt aangegeven met . Een geometrische interpretatie van acties met vectoren is te vinden in het artikel Vectoren voor dummies. Dezelfde peterselie met een vector is de som van de vectoren en .

Afhankelijk van de voorwaarde is het dus vereist om het scalaire product te vinden. In theorie moet je de werkformule toepassen , maar het probleem is dat we de lengtes van de vectoren en de hoek ertussen niet kennen. Maar de voorwaarde geeft vergelijkbare parameters voor vectoren, dus we zullen een andere route volgen:

(1) Vervang de uitdrukkingen van de vectoren.

(2) We openen de haakjes volgens de regel voor het vermenigvuldigen van polynomen; Complexe getallen of Integratie van een fractioneel-rationele functie. Ik zal mezelf niet herhalen =) Trouwens, dankzij de distributieve eigenschap van het scalaire product kunnen we de haakjes openen. Wij hebben het recht.

(3) In de eerste en laatste term schrijven we compact de scalaire kwadraten van de vectoren: . In de tweede term gebruiken we de commutabiliteit van het scalaire product: .

(4) We presenteren soortgelijke termen: .

(5) In de eerste term gebruiken we de scalaire kwadratenformule, die nog niet zo lang geleden werd genoemd. In de laatste term werkt hetzelfde: . We breiden de tweede term uit volgens de standaardformule .

(6) Vervang deze voorwaarden en voer de definitieve berekeningen ZORGVULDIG uit.

Antwoord:

Een negatieve waarde van het scalaire product geeft aan dat de hoek tussen de vectoren stomp is.

Het probleem is typisch, hier is een voorbeeld waarmee u het zelf kunt oplossen:

Voorbeeld 4

Zoek het scalaire product van vectoren en of dat bekend is .

Nu nog een veel voorkomende taak, alleen voor de nieuwe formule voor de lengte van een vector. De notatie hier zal een beetje overlappend zijn, dus voor de duidelijkheid zal ik het herschrijven met een andere letter:

Voorbeeld 5

Zoek de lengte van de vector als .

Oplossing zal als volgt zijn:

(1) We geven de uitdrukking voor de vector .

(2) We gebruiken de lengteformule: , en de hele uitdrukking ve fungeert als de vector “ve”.

(3) We gebruiken de schoolformule voor het kwadraat van de som. Merk op een merkwaardige manier op hoe het hier werkt: – in feite is het het kwadraat van het verschil, en in feite is dat ook zo. Degenen die dat willen, kunnen de vectoren herschikken: - hetzelfde gebeurt, tot aan de herschikking van de termen.

(4) Wat volgt is al bekend uit de twee voorgaande problemen.

Antwoord:

Omdat we het over lengte hebben, vergeet dan niet de afmeting aan te geven - "eenheden".

Voorbeeld 6

Zoek de lengte van de vector als .

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

We blijven nuttige dingen uit het puntproduct persen. Laten we nog eens naar onze formule kijken . Met behulp van de proportieregel stellen we de lengte van de vectoren opnieuw in op de noemer van de linkerkant:

Laten we de onderdelen ruilen:

Wat is de betekenis van deze formule? Als de lengtes van twee vectoren en hun scalaire product bekend zijn, kunnen we de cosinus van de hoek tussen deze vectoren berekenen, en dus ook de hoek zelf.

Is een puntproduct een getal? Nummer. Zijn vectorlengtes getallen? Nummers. Dit betekent dat een breuk ook een getal is. En als de cosinus van de hoek bekend is: , dan is het met behulp van de inverse functie eenvoudig om de hoek zelf te vinden: .

Voorbeeld 7

Zoek de hoek tussen de vectoren en of dat bekend is.

Oplossing: Wij gebruiken de formule:

In de laatste fase van de berekeningen werd een technische techniek gebruikt, waarbij irrationaliteit in de noemer werd geëlimineerd. Om irrationaliteit te elimineren, heb ik de teller en de noemer vermenigvuldigd met .

Dus als , Dat:

De waarden van inverse trigonometrische functies kunnen worden gevonden door trigonometrische tafel. Hoewel dit zelden gebeurt. Bij problemen met de analytische meetkunde wordt veel vaker een onhandige beer gebruikt, zoals , en de waarde van de hoek moet bij benadering worden gevonden met behulp van een rekenmachine. Eigenlijk zullen we zo'n foto meer dan eens zien.

Antwoord:

Vergeet opnieuw niet de afmetingen aan te geven: radialen en graden. Persoonlijk geef ik er de voorkeur aan om, om duidelijk “alle vragen op te lossen”, beide aan te geven (tenzij de voorwaarde uiteraard vereist dat het antwoord alleen in radialen of alleen in graden wordt weergegeven).

Nu kunt u zelfstandig een complexere taak aan:

Voorbeeld 7*

Gegeven zijn de lengtes van de vectoren en de hoek daartussen. Zoek de hoek tussen de vectoren , .

De taak is niet zozeer moeilijk, maar bestaat uit meerdere stappen.
Laten we eens kijken naar het oplossingsalgoritme:

1) Afhankelijk van de voorwaarde moet je de hoek tussen de vectoren en vinden, dus je moet de formule gebruiken .

2) Zoek het scalaire product (zie voorbeelden nr. 3, 4).

3) Zoek de lengte van de vector en de lengte van de vector (zie voorbeelden nr. 5, 6).

4) Het einde van de oplossing valt samen met voorbeeld nr. 7 - we kennen het getal , wat betekent dat het gemakkelijk is om de hoek zelf te vinden:

Een korte oplossing en antwoord aan het einde van de les.

Het tweede deel van de les is gewijd aan hetzelfde scalaire product. Coördinaten. Het zal zelfs gemakkelijker zijn dan in het eerste deel.

Puntproduct van vectoren,
gegeven door coördinaten op orthonormale basis

Antwoord:

Uiteraard is het omgaan met coördinaten veel prettiger.

Voorbeeld 14

Zoek het scalaire product van vectoren en if

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Hier kunt u de associativiteit van de bewerking gebruiken, dat wil zeggen: tel niet mee, maar neem onmiddellijk de triple buiten het scalaire product en vermenigvuldig deze als laatste met deze. De oplossing en het antwoord staan ​​aan het einde van de les.

Aan het einde van het gedeelte een provocerend voorbeeld over het berekenen van de lengte van een vector:

Voorbeeld 15

Vind de lengtes van vectoren , Als

Oplossing: De methode uit de vorige sectie doet zich opnieuw voor: maar er is een andere manier:

Laten we de vector vinden:

En de lengte ervan volgens de triviale formule :

Het puntproduct is hier helemaal niet relevant!

Het is ook niet nuttig bij het berekenen van de lengte van een vector:
Stop. Moeten we niet profiteren van de voor de hand liggende eigenschap van vectorlengte? Wat kun je zeggen over de lengte van de vector? Deze vector is 5 keer langer dan de vector. De richting is tegengesteld, maar dat maakt niet uit, want we hebben het over lengte. Het is duidelijk dat de lengte van de vector gelijk is aan het product module getallen per vectorlengte:
– het modulusteken “eet” de mogelijke min van het getal.

Dus:

Antwoord:

Formule voor de cosinus van de hoek tussen vectoren die worden gespecificeerd door coördinaten

Nu hebben we volledige informatie om de eerder afgeleide formule voor de cosinus van de hoek tussen vectoren te gebruiken uitdrukken via vectorcoördinaten:

Cosinus van de hoek tussen vlakvectoren en, gespecificeerd op orthonormale basis, uitgedrukt door de formule:
.

Cosinus van de hoek tussen ruimtevectoren, gespecificeerd op orthonormale basis, uitgedrukt door de formule:

Voorbeeld 16

Gegeven drie hoekpunten van een driehoek. Zoek (hoekpunthoek).

Oplossing: Volgens de voorwaarden is de tekening niet vereist, maar toch:

De vereiste hoek is gemarkeerd met een groene boog. Laten we meteen de schoolaanduiding van een hoek onthouden: – speciale aandacht voor gemiddeld letter - dit is het hoekpunt van de hoek die we nodig hebben. Kortheidshalve kunt u ook eenvoudigweg schrijven.

Uit de tekening blijkt duidelijk dat de hoek van de driehoek samenvalt met de hoek tussen de vectoren en met andere woorden: .

Het is raadzaam om te leren hoe u de analyse mentaal kunt uitvoeren.

Laten we de vectoren vinden:

Laten we het scalaire product berekenen:

En de lengtes van de vectoren:

Cosinus van hoek:

Dit is precies de volgorde van het voltooien van de taak die ik aanbeveel voor dummies. Meer gevorderde lezers kunnen de berekeningen “op één regel” schrijven:

Hier is een voorbeeld van een “slechte” cosinuswaarde. De resulterende waarde is niet definitief, dus het heeft weinig zin om de irrationaliteit in de noemer weg te werken.

Laten we de hoek zelf vinden:

Als je naar de tekening kijkt, is het resultaat behoorlijk plausibel. Ter controle kan de hoek ook met een gradenboog worden gemeten. Beschadig de monitorafdekking niet =)

Antwoord:

In het antwoord vergeten we dat niet vroeg naar de hoek van een driehoek(en niet over de hoek tussen de vectoren), vergeet niet het exacte antwoord aan te geven: en de geschatte waarde van de hoek: , gevonden met behulp van een rekenmachine.

Degenen die van het proces hebben genoten, kunnen de hoeken berekenen en de geldigheid van de canonieke gelijkheid verifiëren

Voorbeeld 17

Een driehoek wordt in de ruimte gedefinieerd door de coördinaten van zijn hoekpunten. Zoek de hoek tussen de zijkanten en

Dit is een voorbeeld dat u zelf kunt oplossen. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les

Een kort laatste deel zal worden gewijd aan projecties, waarbij ook een scalair product betrokken is:

Projectie van een vector op een vector. Projectie van een vector op coördinaatassen.
Richtingscosinus van een vector

Beschouw de vectoren en:

Laten we de vector op de vector projecteren, vanaf het begin en het einde van de vector laten we weg loodlijnen naar vector (groene stippellijnen). Stel je voor dat lichtstralen loodrecht op de vector vallen. Het segment (rode lijn) zal dan de “schaduw” van de vector zijn. In dit geval is de projectie van de vector op de vector de LENGTE van het segment. Dat wil zeggen: PROJECTIE IS EEN GETAL.

Dit NUMMER wordt als volgt aangegeven: , “grote vector” geeft de vector aan WELKE project, geeft “kleine subscriptvector” de vector aan OP die wordt geprojecteerd.

De tekst zelf luidt als volgt: “projectie van vector “a” op vector “be”.”

Wat gebeurt er als de vector "be" "te kort" is? We tekenen een rechte lijn met daarin de vector “be”. En vector “a” zal al worden geprojecteerd in de richting van de vector "zijn", eenvoudigweg - naar de rechte lijn die de vector "be" bevat. Hetzelfde zal gebeuren als de vector “a” wordt uitgesteld in het dertigste koninkrijk – hij zal nog steeds gemakkelijk worden geprojecteerd op de rechte lijn die de vector “be” bevat.

Als de hoek tussen vectoren pittig(zoals op de foto), dan

Als de vectoren orthogonaal, dan (de projectie is een punt waarvan de afmetingen als nul worden beschouwd).

Als de hoek tussen vectoren bot(herschik in de figuur mentaal de vectorpijl), en vervolgens (dezelfde lengte, maar genomen met een minteken).

Laten we deze vectoren vanuit één punt plotten:

Het is duidelijk dat wanneer een vector beweegt, de projectie ervan niet verandert