25 bevis på Pythagoras teorem. Pythagoras teorem: bakgrunn, bevis, eksempler på praktisk anvendelse

Ulike måter å bevise Pythagoras teorem på

elev av 9 "A" klasse

MOU ungdomsskole №8

Vitenskapelig rådgiver:

matematikklærer,

MOU ungdomsskole №8

Kunst. Ny jul

Krasnodar-territoriet.

Kunst. Ny jul

KOMMENTAR.

Pythagoras teorem regnes med rette som den viktigste i løpet av geometri og fortjener nøye oppmerksomhet. Det er grunnlaget for å løse mange geometriske problemer, grunnlaget for å studere de teoretiske og praktisk kurs geometri i fremtiden. Teoremet er omgitt av de rikeste historisk materiale knyttet til utseendet og bevismetoder. Studiet av historien om utviklingen av geometri innpoder en kjærlighet til dette emnet, bidrar til utvikling av kognitiv interesse, generell kultur og kreativitet, samt utvikler ferdighetene til forskningsarbeid.

Som et resultat av søkeaktiviteten ble målet med arbeidet oppnådd, som er å fylle på og generalisere kunnskap om beviset for Pythagoras teorem. Klarte å finne og anmelde ulike måter bevis og utdype kunnskap om emnet, som går utover sidene i en skolelærebok.

Det innsamlede materialet overbeviser enda mer om at Pythagoras teorem er geometriens store teorem og er av stor teoretisk og praktisk betydning.

Introduksjon. Historiereferanse 5 Hoveddel 8

3. Konklusjon 19

4. Litteratur brukt 20
1. INTRODUKSJON. HISTORIEREFERANSE.

Essensen av sannheten er at den er for oss for alltid,

Når vi minst en gang i hennes innsikt ser lyset,

Og Pythagoras teorem etter så mange år

For oss, som for ham, er det udiskutabelt, upåklagelig.

For å feire fikk gudene et løfte av Pythagoras:

For å berøre uendelig visdom,

Han slaktet hundre okser, takket være de evige;

Han ba bønner og lovprisninger til offeret etterpå.

Siden den gang har okser, når de lukter, dytter,

Hva fører folk til den nye sannheten igjen,

De brøler rasende, så det er ingen urin å lytte,

Slike Pythagoras innpodet frykt i dem for alltid.

Okser, maktesløse til å motstå den nye sannheten,

Det som er igjen? – Bare lukk øynene, brøl, skjelv.

Det er ikke kjent hvordan Pythagoras beviste teoremet sitt. Det som er sikkert er at han oppdaget det under sterk påvirkning av egyptisk vitenskap. spesielt tilfelle Pythagoras teorem - egenskapene til en trekant med sidene 3, 4 og 5 - var kjent for pyramidbyggerne lenge før Pythagoras fødsel, mens han selv studerte med egyptiske prester i mer enn 20 år. Det er en legende som sier at, etter å ha bevist sitt berømte teorem, ofret Pythagoras en okse til gudene, og ifølge andre kilder, til og med 100 okser. Dette strider imidlertid mot informasjon om Pythagoras moralske og religiøse syn. I litterære kilder kan man lese at han «forbød til og med å drepe dyr, og enda mer å mate dem, fordi dyr har en sjel, som oss». Pythagoras spiste bare honning, brød, grønnsaker og noen ganger fisk. I forbindelse med alt dette kan følgende oppføring anses som mer plausibel: "... og selv da han oppdaget at hypotenusen i en rettvinklet trekant tilsvarer bena, ofret han en okse laget av hvetedeig."

Populariteten til Pythagoras teoremet er så stor at bevisene finnes selv i fiksjon, for eksempel i historien om den berømte engelske forfatteren Huxley "Young Archimedes". Det samme beviset, men for det spesielle tilfellet med en likebenet rettvinklet trekant, er gitt i Platons dialog Meno.

Eventyrhus.

"Langt, langt unna, hvor selv ikke fly flyr, er geometriens land. I dette uvanlige landet var det en fantastisk by - byen Teorem. En dag kom jeg til denne byen vakker jente kalt hypotenuse. Hun prøvde å få et rom, men uansett hvor hun søkte, fikk hun avslag overalt. Til slutt nærmet hun seg det vaklevorne huset og banket på. Hun ble åpnet av en mann som kalte seg den rette vinkelen, og han inviterte hypotenusen til å bo hos ham. Hypotenusen ble værende i huset der Right Angle og hans to små sønner, kalt Katet, bodde. Siden den gang har livet i Right Angle House endret seg på en ny måte. Hypotenusen plantet blomster i vinduet, og spredte røde roser i forhagen. Huset tok form av en rettvinklet trekant. Begge bena likte hypotenusa veldig godt og ba henne om å bli for alltid i huset deres. Om kveldene samles denne vennlige familien ved familiebordet. Noen ganger leker Right Angle gjemsel med barna sine. Oftest må han lete, og Hypotenusen gjemmer seg så dyktig at det kan være svært vanskelig å finne den. En gang i løpet av et spill la Right Angle merke til en interessant egenskap: hvis han klarer å finne beina, er det ikke vanskelig å finne hypotenusen. Så Right Angle bruker dette mønsteret, må jeg si, veldig vellykket. På eiendommen til denne høyre trekant og grunnla Pythagoras teorem."

(Fra boken av A. Okunev "Takk for leksjonen, barn").

En leken formulering av teoremet:

Hvis vi får en trekant

Og dessuten, med rett vinkel,

Det er kvadratet på hypotenusen

Vi kan alltid enkelt finne:

Vi bygger bena i en firkant,

Vi finner summen av grader -

Og på en så enkel måte

Vi kommer til resultatet.

Når jeg studerte algebra og begynnelsen av analyse og geometri i 10. klasse, var jeg overbevist om at i tillegg til metoden for å bevise Pythagoras teorem som ble vurdert i 8. klasse, er det andre måter å bevise det på. Jeg presenterer dem for din vurdering.
2. HOVEDDEL.

Teorem. Firkantet i en rettvinklet trekant

hypotenusen er lik summen firkanter av ben.

1 MÅTE.

Ved å bruke egenskapene til områdene til polygoner etablerer vi et bemerkelsesverdig forhold mellom hypotenusen og bena i en rettvinklet trekant.

Bevis.

a, inn og hypotenusen Med(Fig. 1, a).

La oss bevise det c²=a²+b².

Bevis.

Vi fullfører trekanten til en firkant med en side a + b som vist i fig. 1b. Arealet S av denne firkanten er (a + b)². På den annen side er denne firkanten bygd opp av fire like rettvinklede trekanter, arealet av hver av dem er ½ aw, og en firkant med en side Med, så S = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

På denne måten,

(a + b)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Teoremet er bevist.
2-VEIS.

Etter å ha studert emnet "Lignende trekanter", fant jeg ut at du kan bruke likheten til trekanter på beviset for Pythagoras teorem. Jeg brukte nemlig påstanden om at benet i en rettvinklet trekant er middelproporsjonal for hypotenusen og segmentet av hypotenusen innelukket mellom benet og høyden trukket fra toppunktet til den rette vinkelen.

Tenk på en rettvinklet trekant med rett vinkel C, CD er høyden (fig. 2). La oss bevise det AC² + SV² = AB² .

Bevis.

Basert på utsagnet om benet i en rettvinklet trekant:

AC = , CB = .

Vi kvadrerer og legger til de resulterende likhetene:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), hvor AD + DB = AB, da

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Beviset er komplett.
3-VEIS.

Definisjonen av cosinus til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant kan brukes på beviset for Pythagoras teoremet. Tenk på fig. 3.

Bevis:

La ABC være en gitt rettvinklet trekant med rett vinkel C. Tegn en høyde CD fra toppunktet til den rette vinkelen C.

Ved definisjon av cosinus til en vinkel:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Derfor AB * AD = AC²

Like måte,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Derfor AB * BD \u003d BC².

Ved å legge til de resulterende likhetene ledd for ledd og legge merke til at AD + DВ = AB, får vi:

AC² + sol² \u003d AB (AD + DB) \u003d AB²

Beviset er komplett.
4 VEIER.

Etter å ha studert emnet "Forhold mellom sidene og vinklene i en rettvinklet trekant", tror jeg at Pythagoras teoremet kan bevises på en annen måte.

Tenk på en rettvinklet trekant med ben a, inn og hypotenusen Med. (Fig. 4).

La oss bevise det c²=a²+b².

Bevis.

synd B= a/c ; cos B= som , så, ved å kvadrere de resulterende likhetene, får vi:

sin² B= in²/s²; cos² PÅ\u003d a² / s².

Legger vi dem sammen får vi:

sin² PÅ+ cos² B= v² / s² + a² / s², hvor sin² PÅ+ cos² B=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², derfor,

c² = a² + b².

Beviset er komplett.

5 VEIER.

Dette beviset er basert på å kutte rutene bygget på bena (fig. 5) og stable de resulterende delene på firkanten bygget på hypotenusen.

6 VEIER.

For bevis på kateten sol bygning BCD ABC(Fig. 6). Vi vet at arealene til lignende figurer er relatert som kvadratene med deres lignende lineære dimensjoner:

Trekker vi den andre fra den første likheten, får vi

c2 = a2+ b2.

Beviset er komplett.

7 VEIER.

Gitt(Fig. 7):

ABS,= 90° , sol= a, AC=b, AB = c.

Bevise:c2 = a2+b2.

Bevis.

La benet b en. La oss fortsette segmentet SW per poeng PÅ og bygge en trekant bmd slik at poengene M og MEN ligge på den ene siden av en rett linje CD og forresten, B.D.=b, BDM= 90°, DM= a, da bmd= ABC på to sider og vinkelen mellom dem. Punktene A og M koble sammen med segmenter ER. Vi har MD CD og AC CD, betyr rett AC parallelt med en rett linje MD. Fordi MD< АС, deretter rett CD og ER er ikke parallelle. Derfor, AMDC- rektangulær trapes.

I rettvinklede trekanter ABC og bmd 1 + 2 = 90° og 3 + 4 = 90°, men siden = =, så er 3 + 2 = 90°; deretter AVM=180° - 90° = 90°. Det viste seg at trapes AMDC delt inn i tre ikke-overlappende rettvinklede trekanter, deretter av arealaksiomene

(a+b)(a+b)

Ved å dele alle vilkårene for ulikheten med , får vi

enb + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2+ b2.

Beviset er komplett.

8 VEIER.

Denne metoden er basert på hypotenusen og bena til en rettvinklet trekant ABC. Han bygger de tilsvarende firkantene og beviser at kvadratet bygget på hypotenusen er lik summen av kvadratene som er bygget på bena (fig. 8).

Bevis.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ ABC= FBA+ abc, midler, FBC= DBA.

På denne måten, FBC=ABD(på to sider og vinkelen mellom dem).

2) , der AL er DE, siden BD er det felles plattform, DL- Total høyde.

3) , siden FB er en base, AB- total høyde.

4)

5) På samme måte kan man bevise det

6) Ved å legge til term for term, får vi:

, BC2 = AB2 + AC2 . Beviset er komplett.

9 MÅTE.

Bevis.

1) La ABDE- et kvadrat (fig. 9), hvis side er lik hypotenusen til en rettvinklet trekant ABC (AB= c, BC = a, AC =b).

2) La DK f.Kr og DK = sol, siden 1 + 2 = 90° (som de spisse vinklene i en rettvinklet trekant), 3 + 2 = 90° (som vinkelen til et kvadrat), AB= BD(sidene av plassen).

Midler, ABC= BDK(ved hypotenusa og spiss vinkel).

3) La EL DC, AM EL. Det kan enkelt bevises at ABC = BDK = DEL = EAM (med ben en og b). Deretter KS= CM= ML= LK= en -b.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Med2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Beviset er komplett.

10 VEIER.

Beviset kan utføres på en figur, spøkefullt kalt "Pythagorean pants" (fig. 10). Ideen er å forvandle kvadratene som er bygget på bena til like trekanter, som til sammen utgjør kvadratet til hypotenusen.

ABC skift, som vist med pilen, og den tar posisjonen KDN. Resten av figuren AKDCB lik arealet av et kvadrat AKDC- det er et parallellogram AKNB.

Laget en parallellogrammodell AKNB. Vi forskyver parallellogrammet som skissert i verkets innhold. For å vise transformasjonen av et parallellogram til en lik trekant, foran elevene, klipper vi av en trekant på modellen og flytter den nedover. Altså arealet av torget AKDC er lik arealet av rektangelet. På samme måte konverterer vi arealet av et kvadrat til arealet av et rektangel.

La oss lage en transformasjon for en firkant bygget på et ben en(Fig. 11, a):

a) kvadratet omdannes til et like stort parallellogram (fig. 11.6):

b) parallellogrammet roterer en kvart omdreining (fig. 12):

c) parallellogrammet er forvandlet til et like stort rektangel (fig. 13): 11 MÅTE.

Bevis:

PCL- rett (fig. 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO+LGBO= c2;

c2 = a2+ b2.

Bevis over .

12 MÅTE.

Ris. 15 illustrerer et annet originalt bevis på Pythagoras teorem.

Her: trekant ABC med rett vinkel C; linjestykke bf vinkelrett SW og lik det, segmentet VÆRE vinkelrett AB og lik det, segmentet AD vinkelrett AC og lik ham; poeng F, C,D tilhører en rett linje; firkanter ADFB og ACBE er like fordi ABF = ECB; trekanter ADF og ESS er like; vi trekker fra begge like firkanter en felles trekant for dem abc, vi får

, c2 = a2+ b2.

Beviset er komplett.

13 MÅTE.

Arealet av denne rettvinklede trekanten er på den ene siden lik , med en annen, ,

3. KONKLUSJON

Som et resultat av søkeaktiviteten ble målet med arbeidet oppnådd, som er å fylle på og generalisere kunnskap om beviset for Pythagoras teorem. Det var mulig å finne og vurdere ulike måter å bevise det på og utdype kunnskapen om emnet ved å gå utover sidene i en skolebok.

Materialet jeg har samlet er enda mer overbevisende at Pythagoras teorem er geometriens store teorem og er av stor teoretisk og praktisk betydning. Avslutningsvis vil jeg si: Årsaken til populariteten til Pythagoras teorem til den treenige er skjønnhet, enkelhet og betydning!

4. BRUKT LITTERATUR.

1. Underholdende algebra. . Moskva "Nauka", 1978.

2. Ukentlig pedagogisk og metodisk tillegg til avisen "Første september", 24/2001.

3. Geometri 7-9. og så videre.

4. Geometri 7-9. og så videre.

Et animert bevis på Pythagoras teorem er en av de fundamental teoremer av euklidisk geometri, som etablerer forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Det antas at det ble bevist av den greske matematikeren Pythagoras, som det er oppkalt etter (det er andre versjoner, spesielt en alternativ mening om at denne teoremet er i generelt syn ble formulert av den pytagoreiske matematikeren Hippasus).
Teoremet sier:

I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet bygget på hypotenusen lik summen av arealene til kvadratene bygget på bena.

Angir lengden på hypotenusen til trekanten c, og lengdene på bena som en og b, vi får følgende formel:

Dermed etablerer Pythagoras teorem en relasjon som lar deg bestemme siden av en rettvinklet trekant, og kjenne lengdene til de to andre. Pythagoras teorem er et spesialtilfelle av cosinussetningen, som bestemmer forholdet mellom sidene vilkårlig trekant.
Den omvendte påstanden er også bevist (også kalt omvendt teorem Pythagoras):

For alle tre positive tall a, b og c slik at a ? +b? = c ?, det er en rettvinklet trekant med bena a og b og hypotenusen c.

Visuelle bevis for trekanten (3, 4, 5) fra Chu Pei 500-200 f.Kr. Teoremets historie kan deles inn i fire deler: kunnskap om pythagoras tall, kunnskap om forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant, kunnskap om forholdet tilstøtende hjørner og bevis for teoremet.
Megalittiske strukturer rundt 2500 f.Kr i Egypt og Nord-Europa, inneholder rettvinklede trekanter med heltallssider. Barthel Leendert van der Waerden antok at de pytagoreiske tallene i disse dager ble funnet algebraisk.
Skrevet mellom 2000 og 1876 f.Kr papyrus fra Midtriket Egypt Berlin 6619 inneholder et problem hvis løsning er de pytagoreiske tallene.
Under regjeringen til Hammurabi den store, en vibylonsk tavle Plimpton 322, skrevet mellom 1790 og 1750 f.Kr. inneholder mange oppføringer nært knyttet til pythagoras tall.
I Budhayana-sutraene, som stammer fra forskjellige versjoner 8. eller 2. århundre f.Kr i India, inneholder pythagoras tall utledet algebraisk, en formulering av Pythagoras teorem, og et geometrisk bevis for en likebenet rettvinklet trekant.
Apastamba Sutraene (cirka 600 f.Kr.) inneholder numerisk bevis Pythagoras teoremer ved bruk av arealberegning. Van der Waerden mener at det var basert på tradisjonene til forgjengerne. I følge Albert Burko er dette det originale beviset på teoremet, og han foreslår at Pythagoras besøkte Arakoni og kopierte det.
Pythagoras, hvis leveår vanligvis er angitt 569 - 475 f.Kr. bruker algebraiske metoder beregning av pytagoreiske tall, ifølge Proklovs kommentarer om Euklid. Proclus levde imidlertid mellom 410 og 485 e.Kr. I følge Thomas Giese er det ingen indikasjon på forfatterskap til teoremet i fem århundrer etter Pythagoras. Men når forfattere som Plutarch eller Cicero tillegger teoremet til Pythagoras, gjør de det som om forfatterskapet er allment kjent og sikkert.
Rundt 400 f.Kr I følge Proclus ga Platon en metode for å beregne pythagoras tall, ved å kombinere algebra og geometri. Rundt 300 f.Kr., i Begynnelser Euklid, vi har det eldste aksiomatiske beviset som har overlevd til i dag.
Skrevet en gang mellom 500 f.Kr. og 200 f.Kr., kinesisk mattebok"Chu Pei" (? ? ? ?), gir et visuelt bevis på Pythagoras teorem, som i Kina kalles gugu-setningen (????), for en trekant med sider (3, 4, 5). Under Han-dynastiets regjeringstid, fra 202 f.Kr. før 220 e.Kr Pythagoras tall vises i boken "Nine Sections of the Mathematical Art" sammen med en omtale av rette trekanter.
Bruken av teoremet er først dokumentert i Kina, hvor det er kjent som gugu-teoremet (????) og i India, hvor det er kjent som Baskars teorem.
Mange diskuterer om Pythagoras teorem ble oppdaget én gang eller gjentatte ganger. Boyer (1991) mener at kunnskapen som finnes i Shulba Sutra kan være av mesopotamisk opprinnelse.
Algebraisk bevis
Firkanter dannes av fire rette trekanter. Mer enn hundre bevis på Pythagoras teoremet er kjent. Her er bevisene basert på eksistensteoremet for arealet til en figur:

Plasser fire like rette trekanter som vist på figuren.
Firkant med sider c er et kvadrat fordi summen av to skarpe hjørner, Og den utviklede vinkelen er .
Arealet til hele figuren er på den ene siden lik arealet til en firkant med siden "a + b", og på den andre siden summen av arealene til fire trekanter og det indre kvadratet .

Det er det som må bevises.
Ved likheten mellom trekanter
Bruk av lignende trekanter. La ABC er en rettvinklet trekant der vinkelen C rett, som vist på bildet. La oss tegne en høyde fra et punkt c, og ring H skjæringspunkt med en side AB. Trekant dannet ACH som en trekant abc, siden de begge er rektangulære (per definisjon av høyde) og de deler en vinkel EN,åpenbart vil den tredje vinkelen være den samme i disse trekantene også. Tilsvarende mirkuyuyuchy, trekant CBH også lik triangel ABC. Fra likheten til trekanter: Hvis

Dette kan skrives som

Legger vi til disse to likhetene får vi

HB + c ganger AH = c ganger (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Med andre ord, Pythagoras teorem:

Euklids bevis
Bevis for Euklid i de euklidiske "prinsippene", Pythagoras teorem bevist ved metoden for parallellogrammer. La A, B, C hjørner av en rettvinklet trekant, med rett vinkel EN. Slipp en vinkelrett fra et punkt EN til siden motsatt hypotenusen i et kvadrat bygget på hypotenusen. Linjen deler kvadratet i to rektangler, som hver har samme areal som kvadratene som er bygget på bena. hovedide beviset er at de øvre firkantene gjøres om til parallellogrammer av samme areal, og så kommer tilbake og blir til rektangler i den nedre firkanten og igjen med samme areal.

La oss tegne segmenter CF og AD, vi får trekanter BCF og BDA.
hjørner DROSJE og BAG- rett; poeng C, A og G er kollineære. Samme måten B, A og H.
hjørner CBD og FBA- begge er rette, deretter vinkelen ABD lik vinkelen fbc, siden begge er summen av en rett vinkel og en vinkel ABC.
Triangel ABD og FBC nivå på to sider og vinkelen mellom dem.
Fordi prikkene A, K og L– collineær, arealet av rektangelet BDLK er lik to områder av trekanten ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
På samme måte får vi CKLE = ACIH = AC 2
På den ene siden området CBDE lik summen av arealene til rektanglene BDLK og CKLE, på den annen side, arealet av torget BC2, eller AB 2 + AC 2 = BC 2.

Bruke differensialer
Bruk av differensialer. Pythagoras setning kan man komme frem til ved å studere hvordan inkrementet til en side påvirker lengden på hypotenusen som vist i figuren til høyre og bruke et lite regnestykke.
Som et resultat av veksten av siden en, fra lignende trekanter for infinitesimale trinn

Integrering får vi

Hvis en en= 0 da c = b, så "konstanten" er b 2. Deretter

Som man kan se, skyldes rutene forholdet mellom inkrementer og sidene, mens summen er resultatet av det uavhengige bidraget til sidenes inkrementer, ikke åpenbart fra geometriske bevis. I disse ligningene da og dc er henholdsvis infinitesimale trinn av sidene en og c. Men i stedet for dem bruker vi? en og? c, så er grensen for forholdet hvis de har en tendens til null da / dc, derivat, og er også lik c / en, forholdet mellom lengdene på sidene til trekantene, som et resultat får vi differensial ligning.
Når det gjelder et ortogonalt system av vektorer, skjer det en likhet, som også kalles Pythagoras teorem:

Hvis - Dette er projeksjonene av vektoren på koordinatakser, så faller denne formelen sammen med den euklidiske avstanden og betyr at lengden på vektoren er lik roten kvadratsum kvadrater av dens komponenter.
En analog av denne likestillingen i saken endeløst system vektorer kalles Parsevals likhet.

På en ting kan du være hundre prosent sikker på at når du blir spurt om hva kvadratet på hypotenusen er, vil enhver voksen dristig svare: "Summen av kvadratene av bena." Denne teorien er godt plantet i hodet til alle. utdannet person, men det er nok bare å be noen om å bevise det, og da kan det oppstå vanskeligheter. Derfor, la oss huske og vurdere forskjellige måter å bevise Pythagoras teorem på.

Kort oversikt over biografien

Pythagoras teorem er kjent for nesten alle, men av en eller annen grunn er ikke biografien til personen som produserte den så populær. Vi fikser det. Derfor, før du studerer de forskjellige måtene å bevise Pythagoras teorem, må du kort bli kjent med hans personlighet.

Pythagoras - en filosof, matematiker, tenker, opprinnelig fra I dag er det veldig vanskelig å skille biografien hans fra legendene som har utviklet seg til minne om denne store mannen. Men som følger av skriftene til hans tilhengere, ble Pythagoras fra Samos født på øya Samos. Faren hans var en vanlig steinskjærer, men moren kom fra en adelig familie.

Ifølge legenden ble Pythagoras' fødsel spådd av en kvinne ved navn Pythia, til hvis ære gutten ble navngitt. I følge hennes spådom skulle en født gutt gi mange fordeler og godt for menneskeheten. Det var det han faktisk gjorde.

Fødselen av et teorem

I sin ungdom flyttet Pythagoras til Egypt for å møte de berømte egyptiske vismennene der. Etter å ha møtt dem, ble han tatt opp til studier, hvor han lærte alle de store prestasjonene til egyptisk filosofi, matematikk og medisin.

Sannsynligvis var det i Egypt at Pythagoras ble inspirert av pyramidenes majestet og skjønnhet og skapte sine egne flott teori. Dette kan sjokkere leserne, men moderne historikere mener at Pythagoras ikke beviste teorien sin. Men han ga kun kunnskapen sin videre til sine tilhengere, som senere fullførte alle nødvendige matematiske beregninger.

Uansett er det i dag ikke én teknikk for å bevise dette teoremet kjent, men flere på en gang. I dag kan vi bare gjette nøyaktig hvordan de gamle grekerne gjorde sine beregninger, så her vil vi vurdere forskjellige måter å bevise Pythagoras teoremet på.

Pythagoras teorem

Før du starter noen beregninger, må du finne ut hvilken teori du skal bevise. Pythagoras teorem lyder slik: "I en trekant der en av vinklene er 90 o, er summen av kvadratene til bena lik kvadratet på hypotenusen."

Det er 15 forskjellige måter å bevise Pythagoras teorem totalt. Dette er et ganske stort antall, så la oss ta hensyn til de mest populære av dem.

Metode én

La oss først definere hva vi har. Disse dataene vil også gjelde for andre måter å bevise Pythagoras teorem på, så du bør umiddelbart huske all tilgjengelig notasjon.

Anta at en rettvinklet trekant er gitt, med ben a, b og hypotenusen lik c. Den første bevismetoden er basert på at et kvadrat må tegnes fra en rettvinklet trekant.

For å gjøre dette må du tegne et segment til benet med en lengde lik beinet i, og omvendt. Så det bør være to like sider torget. Det gjenstår bare å tegne to parallelle linjer, og firkanten er klar.

Inne i den resulterende figuren må du tegne en annen firkant med en side lik hypotenusen original trekant. For å gjøre dette, fra ac og s toppunktene, må du tegne to parallelt segment lik med. Dermed får vi tre sider av kvadratet, hvorav den ene er hypotenusen til den opprinnelige rettvinklede trekanten. Det gjenstår bare å tegne det fjerde segmentet.

Basert på den resulterende figuren kan vi konkludere med at arealet til den ytre firkanten er (a + b) 2. Hvis du ser inne i figuren, kan du se at den i tillegg til den indre firkanten har fire rettvinklede trekanter. Arealet til hver er 0,5 av.

Derfor er området: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Derfor (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Og derfor med 2 \u003d en 2 + i 2

Teoremet er bevist.

Metode to: lignende trekanter

Denne formelen for beviset for Pythagoras teorem ble utledet på grunnlag av en uttalelse fra delen av geometri om lignende trekanter. Den sier at benet til en rettvinklet trekant er gjennomsnittet proporsjonalt med hypotenusen og hypotenussegmentet som kommer fra toppunktet til en vinkel på 90 o.

De første dataene forblir de samme, så la oss begynne med beviset umiddelbart. La oss tegne et segment CD vinkelrett på siden AB. Basert på utsagnet ovenfor er trekantenes ben like:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

For å svare på spørsmålet om hvordan man kan bevise Pythagoras teorem, må beviset legges ved å kvadrere begge ulikhetene.

AC 2 \u003d AB * HELL og SV 2 \u003d AB * DV

Nå må vi legge til de resulterende ulikhetene.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), der AD + DV \u003d AB

Det viser seg at:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Og derfor:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Beviset for Pythagoras teorem og ulike måter å løse det på krever en allsidig tilnærming til dette problemet. Imidlertid er dette alternativet en av de enkleste.

En annen beregningsmetode

Beskrivelse av ulike måter å bevise Pythagoras teorem sier kanskje ikke noe før du begynner å øve på egen hånd. Mange metoder involverer ikke bare matematiske beregninger, men også konstruksjon av nye figurer fra den opprinnelige trekanten.

PÅ denne saken det er nødvendig å fullføre enda en rettvinklet trekant VSD fra benet på flyet. Dermed er det nå to trekanter med et felles ben BC.

Når du vet at arealene til lignende figurer har et forhold som kvadratene av deres lignende lineære dimensjoner, så:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (fra 2 til 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

fra 2 til 2 \u003d en 2

c 2 \u003d a 2 + i 2

Siden dette alternativet neppe er egnet fra forskjellige metoder for å bevise Pythagoras teorem for klasse 8, kan du bruke følgende teknikk.

Den enkleste måten å bevise Pythagoras teorem. Anmeldelser

Historikere mener at denne metoden først ble brukt for å bevise teoremet tilbake antikkens Hellas. Det er det enkleste, siden det ikke krever absolutt noen beregninger. Hvis du tegner et bilde riktig, vil beviset på utsagnet om at a 2 + b 2 \u003d c 2 være tydelig synlig.

Vilkår for denne metoden vil være litt forskjellig fra den forrige. For å bevise teoremet, anta at den rettvinklede trekanten ABC er likebenet.

Vi tar hypotenusen AC som siden av kvadratet og tegner dens tre sider. I tillegg er det nødvendig å tegne to diagonale linjer i den resulterende firkanten. Slik at inni den får du fire likebenede trekanter.

Til bena AB og CB må du også tegne en firkant og tegne en diagonal linje i hver av dem. Vi tegner den første linjen fra toppunktet A, den andre - fra C.

Nå må du se nøye på den resulterende tegningen. Siden det er fire trekanter på hypotenusen AC, lik den opprinnelige, og to på bena, indikerer dette sannheten til denne teoremet.

Forresten, takket være denne metoden for å bevise Pythagoras teorem, er kjent setning: "Pythagoreanbukser er like i alle retninger."

Bevis av J. Garfield

James Garfield er den 20. presidenten i USA. I tillegg til å sette sitt preg på historien som hersker over USA, var han også en begavet selvlært.

I begynnelsen av karrieren var han ordinær lærer ved en folkeskole, men ble snart direktør for en av de høyere utdanningsinstitusjoner. Ønsket om selvutvikling og lot ham tilby ny teori bevis på Pythagoras teorem. Teoremet og et eksempel på løsningen er som følger.

Først må du tegne to rettvinklede trekanter på et stykke papir slik at benet til en av dem er en fortsettelse av den andre. Toppene til disse trekantene må kobles sammen for å ende opp med en trapes.

Som du vet, er arealet til en trapes lik produktet av halvparten av summen av basene og høyden.

S=a+b/2 * (a+b)

Hvis vi ser på den resulterende trapesen som en figur som består av tre trekanter, kan området bli funnet som følger:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Nå må vi utjevne de to opprinnelige uttrykkene

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + i 2

Mer enn ett bind kan skrives om Pythagoras teorem og hvordan man kan bevise det studieguide. Men gir det mening når denne kunnskapen ikke kan omsettes i praksis?

Praktisk anvendelse av Pythagoras teorem

Dessverre gir moderne skoleplaner kun bruk av denne teoremet i geometriske problemer. Nyutdannede vil snart forlate skolens vegger uten å vite hvordan de kan bruke sine kunnskaper og ferdigheter i praksis.

Bruk faktisk Pythagoras teorem i din Hverdagen alle kan. Og ikke bare i profesjonell aktivitet men også i vanlige husarbeid. La oss vurdere flere tilfeller når Pythagoras teorem og metoder for bevis kan være ekstremt nødvendige.

Forbindelse av teoremet og astronomi

Det ser ut til hvordan stjerner og trekanter kan kobles sammen på papir. Faktisk er astronomi det vitenskapelig felt, som gjør utstrakt bruk av Pythagoras teorem.

Tenk for eksempel på bevegelsen til en lysstråle i rommet. Vi vet at lys beveger seg i begge retninger med samme hastighet. Vi kaller banen AB som lysstrålen beveger seg langs l. Og halvparten av tiden det tar for lys å komme fra punkt A til punkt B, la oss ringe t. Og hastigheten på strålen - c. Det viser seg at: c*t=l

Hvis du ser på den samme strålen fra et annet plan, for eksempel fra en romskip som beveger seg med en hastighet v, vil hastigheten deres endres med en slik observasjon av kroppene. I dette tilfellet vil selv stasjonære elementer bevege seg med en hastighet v i motsatt retning.

La oss si at tegneserien seiler til høyre. Da vil punktene A og B, som strålen suser mellom, bevege seg til venstre. Dessuten, når strålen beveger seg fra punkt A til punkt B, har punkt A tid til å bevege seg, og følgelig vil lyset allerede ankomme kl. nytt punkt C. For å finne halvparten av avstanden som punkt A har beveget seg, må du multiplisere hastigheten til foringen med halvparten av bjelkens reisetid (t ").

Og for å finne hvor langt en lysstråle kan bevege seg i løpet av denne tiden, må du angi halve banen til de nye bøkene og få følgende uttrykk:

Hvis vi forestiller oss at lyspunktene C og B, samt spaceliner, er toppunktene likebent trekant, så vil segmentet fra punkt A til liner dele det i to rette trekanter. Derfor, takket være Pythagoras teorem, kan du finne avstanden som en lysstråle kan reise.

Dette eksemplet er selvfølgelig ikke det mest vellykkede, siden bare noen få kan være heldige nok til å prøve det ut i praksis. Derfor vurderer vi mer verdslige anvendelser av denne teoremet.

Mobil signaloverføringsrekkevidde

Det moderne livet kan ikke lenger forestilles uten at det finnes smarttelefoner. Men hvor mye ville de vært til nytte hvis de ikke kunne koble abonnenter via mobilkommunikasjon?!

Kvaliteten på mobilkommunikasjon avhenger direkte av høyden som antennen til mobiloperatøren er plassert på. For å beregne hvor langt fra et mobiltårn en telefon kan motta et signal, kan du bruke Pythagoras teorem.

La oss si at du må finne den omtrentlige høyden til et stasjonært tårn slik at det kan forplante et signal innenfor en radius på 200 kilometer.

AB (tårnhøyde) = x;

BC (radius for signaloverføring) = 200 km;

OS (radius Kloden) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Ved å bruke Pythagoras teorem finner vi ut at minimumshøyden på tårnet bør være 2,3 kilometer.

Pythagoras teorem i hverdagen

Merkelig nok kan Pythagoras teorem være nyttig selv i dagligdagse saker, som å bestemme høyden på et skap, for eksempel. Ved første øyekast er det ikke nødvendig å bruke slike komplekse beregninger, fordi du ganske enkelt kan ta målinger med et målebånd. Men mange er overrasket over hvorfor det oppstår visse problemer under monteringsprosessen hvis alle målingene ble tatt mer enn nøyaktig.

Faktum er at garderoben er montert i horisontal stilling og først da stiger og installeres mot veggen. Derfor må sideveggen til skapet i ferd med å løfte strukturen fritt passere både langs høyden og diagonalt i rommet.

Anta at det er en garderobe med en dybde på 800 mm. Avstand fra gulv til tak - 2600 mm. En erfaren møbelprodusent vil si at høyden på skapet skal være 126 mm mindre enn høyden på rommet. Men hvorfor akkurat 126 mm? La oss se på et eksempel.

Med ideelle dimensjoner på skapet, la oss sjekke driften av Pythagoras teoremet:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - alt konvergerer.

La oss si at høyden på skapet ikke er 2474 mm, men 2505 mm. Deretter:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Derfor er dette skapet ikke egnet for montering i dette rommet. Siden når du løfter den til en vertikal stilling, kan det oppstå skade på kroppen.

Kanskje, etter å ha vurdert forskjellige måter å bevise Pythagoras teorem av forskjellige forskere, kan vi konkludere med at det er mer enn sant. Nå kan du bruke informasjonen du mottar i ditt daglige liv og være helt sikker på at alle beregninger ikke bare vil være nyttige, men også riktige.

For de som er interessert i historien til Pythagoras teorem, som studeres i skolepensum, et faktum som utgivelsen i 1940 av en bok med tre hundre og sytti bevis på dette tilsynelatende enkle teoremet vil også være interessant. Men det fascinerte hodet til mange matematikere og filosofer fra forskjellige tidsepoker. I Guinness rekordbok er det registrert som et teorem med maksimalt antall bevis.

Historien om Pythagoras teorem

Assosiert med navnet Pythagoras, var teoremet kjent lenge før fødselen til den store filosofen. Så, i Egypt, under konstruksjonen av strukturer, ble forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant tatt i betraktning for fem tusen år siden. De babylonske tekstene nevner det samme forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant 1200 år før Pythagoras fødsel.

Spørsmålet oppstår hvorfor så sier historien - fremveksten av Pythagoras teorem tilhører ham? Det kan bare være ett svar - han beviste forholdet mellom sidene i trekanten. Han gjorde det de som bare brukte sideforholdet og hypotenusen, etablert av erfaring, ikke gjorde for århundrer siden.

Fra livet til Pythagoras

Den fremtidige store vitenskapsmannen, matematikeren, filosofen ble født på øya Samos i 570 f.Kr. historiske dokumenter bevarte informasjon om faren til Pythagoras, som var en skjærer dyrebare steiner men det er ingen opplysninger om moren. De sa om den fødte gutten at dette var et enestående barn som viste med barndom lidenskap for musikk og poesi. Historikere tilskriver Hermodamant og Pherekides fra Syros til lærerne til unge Pythagoras. Den første introduserte gutten inn i musenes verden, og den andre, som var filosof og grunnlegger av den italienske filosofiskolen, rettet den unge mannens blikk mot logoene.

I en alder av 22 år (548 f.Kr.) dro Pythagoras til Naucratis for å studere egypternes språk og religion. Videre lå hans vei i Memphis, hvor han takket være prestene, etter å ha bestått gjennom deres geniale tester, forsto egyptisk geometri, noe som kanskje fikk den nysgjerrige unge mannen til å bevise Pythagoras teorem. Historien vil senere tilskrive dette navnet til teoremet.

Fanget av kongen av Babylon

På vei hjem til Hellas blir Pythagoras tatt til fange av Babylons konge. Men å være i fangenskap var til nytte for nybegynnermatematikerens nysgjerrige sinn, han hadde mye å lære. Faktisk, i disse årene var matematikken i Babylon mer utviklet enn i Egypt. Han brukte tolv år på å studere matematikk, geometri og magi. Og kanskje var det den babylonske geometrien som var involvert i beviset på forholdet mellom sidene i trekanten og historien til oppdagelsen av teoremet. Pythagoras hadde nok kunnskap og tid til dette. Men at dette skjedde i Babylon, er det ingen dokumentarisk bekreftelse eller tilbakevisning av dette.

I 530 f.Kr Pythagoras flykter fra fangenskap til hjemlandet, hvor han bor ved hoffet til tyrannen Polykrates i status som halvslave. Et slikt liv passer ikke Pythagoras, og han trekker seg tilbake til grottene på Samos, og drar deretter til Sør-Italia, hvor han på den tiden gresk koloni Croton.

Hemmelig klosterorden

På grunnlag av denne kolonien organiserte Pythagoras en hemmelighet munkeorden, som var en religiøs union og vitenskapelige samfunn samtidig. Dette samfunnet hadde sitt charter, som snakket om overholdelse av en spesiell livsstil.

Pythagoras hevdet at for å forstå Gud, må en person kunne slike vitenskaper som algebra og geometri, kunne astronomi og forstå musikk. Forskningsarbeid ble redusert til kunnskapen om den mystiske siden av tall og filosofi. Det bør bemerkes at prinsippene som ble forkynt på den tiden av Pythagoras gir mening i etterligning på nåværende tidspunkt.

Mange av funnene gjort av disiplene til Pythagoras ble tilskrevet ham. Ikke desto mindre, kort fortalt, er historien om opprettelsen av Pythagoras teorem av gamle historikere og biografer fra den tiden direkte assosiert med navnet til denne filosofen, tenkeren og matematikeren.

Læren til Pythagoras

Kanskje ideen om sammenhengen mellom teoremet og navnet Pythagoras ble foranlediget av historikernes uttalelse fra den store grekeren om at i den beryktede trekanten med bena og hypotenusen er alle fenomenene i livet vårt kryptert. Og denne trekanten er "nøkkelen" til å løse alle problemene som oppstår. Den store filosofen sa at man skulle se en trekant, så kan vi anta at problemet er to tredjedeler løst.

Pythagoras fortalte om undervisningen sin kun til studentene sine muntlig, uten å gjøre noen notater, og holdt det hemmelig. Dessverre undervisning den største filosofen har ikke overlevd til i dag. Noe av det har lekket ut, men det er umulig å si hvor mye som er sant og hvor mye som er usant i det som er blitt kjent. Selv med historien til Pythagoras teorem er ikke alt sikkert. Historikere av matematikk tviler på forfatterskapet til Pythagoras, etter deres mening ble teoremet brukt mange århundrer før hans fødsel.

Pythagoras teorem

Det kan virke rart, men historiske fakta det er ingen bevis for teoremet av Pythagoras selv - verken i arkivene eller i noen andre kilder. I den moderne versjonen antas det at den tilhører ingen ringere enn Euklid selv.

Det er bevis på en av de største historikerne innen matematikk, Moritz Cantor, som oppdaget på en papyrus lagret i Berlin-museet, skrevet av egypterne rundt 2300 f.Kr. e. likhet, som lyder: 3² + 4² = 5².

Kort fra historien til Pythagoras teorem

Formuleringen av teoremet fra den euklidiske "Begynnelsen" i oversettelse høres ut som i den moderne tolkningen. Det er ikke noe nytt i lesningen hennes: kvadratet på motsatt side rett vinkel, er lik summen av kvadratene til sidene ved siden av den rette vinkelen. Det faktum at de gamle sivilisasjonene i India og Kina brukte teoremet bekreftes av avhandlingen Zhou Bi Suan Jin. Den inneholder informasjon om den egyptiske trekanten, som beskriver sideforholdet som 3:4:5.

Ikke mindre interessant er en annen kinesisk matematisk bok, Chu-Pei, som også nevner Pythagoras trekant med en forklaring og tegninger som sammenfaller med tegningene av den hinduistiske geometrien til Bashara. Om selve trekanten sier boken at hvis en rett vinkel kan dekomponeres i dens komponentdeler, vil linjen som forbinder endene av sidene være lik fem, hvis grunnflaten er tre, og høyden er fire.

Den indiske avhandlingen "Sulva Sutra", som dateres tilbake til ca. 7.-5. århundre f.Kr. e., forteller om konstruksjonen av en rett vinkel ved hjelp av den egyptiske trekanten.

Bevis for teoremet

I middelalderen anså studentene beviset på et teorem for å være det også hardt arbeid. Svake elever lærte teoremer utenat, uten å forstå betydningen av beviset. I denne forbindelse fikk de kallenavnet "esler", fordi Pythagoras teorem var en uoverkommelig hindring for dem, som en bro for et esel. I middelalderen kom elevene med et lekent vers om emnet for denne teoremet.

For å bevise Pythagoras teorem med det meste den enkle måten, bør man ganske enkelt måle sidene, uten å bruke begrepet områder i beviset. Lengden på siden motsatt den rette vinkelen er c, og a og b ved siden av den, som et resultat får vi ligningen: a 2 + b 2 \u003d c 2. Denne uttalelsen, som nevnt ovenfor, bekreftes ved å måle lengdene på sidene i en rettvinklet trekant.

Hvis vi starter beviset på teoremet ved å vurdere arealet av rektanglene som er bygget på sidene av trekanten, kan vi bestemme arealet til hele figuren. Det vil være lik arealet av et kvadrat med en side (a + b), og på den annen side summen av arealene til fire trekanter og det indre kvadratet.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c2;

a2 + 2ab + b2;

c 2 = a 2 + b 2, som skulle bevises.

Praktisk verdi Pythagoras teoremet er at det kan brukes til å finne lengdene på segmenter uten å måle dem. Under konstruksjonen av strukturer beregnes avstander, plassering av støtter og bjelker, tyngdepunkter bestemmes. Pythagoras teorem brukes og i alt moderne teknologier. De glemte ikke teoremet når de lagde filmer i 3D-6D-dimensjoner, der det i tillegg til de vanlige 3 verdiene: høyde, lengde, bredde, tid, lukt og smak tas i betraktning. Hvordan er smak og lukt relatert til teoremet, spør du? Alt er veldig enkelt - når du viser en film, må du beregne hvor og hva som lukter og smaker å regissere i auditoriet.

Det er bare begynnelsen. Grenseløse muligheter for å oppdage og skape nye teknologier venter på nysgjerrige sinn.

MÅLING AV AREALET AV GEOMETRISKE FIGURER.

§ 58. PYTHAGOREISK TEOREM 1 .

__________
1 Pythagoras er en gresk vitenskapsmann som levde for rundt 2500 år siden (564-473 f.Kr.).
_________

La en rettvinklet trekant gis hvis sider en, b og Med(dev. 267).

La oss bygge firkanter på sidene. Arealene til disse rutene er hhv en 2 , b 2 og Med 2. La oss bevise det Med 2 = a 2 +b 2 .

La oss bygge to kvadrater MKOR og M"K"O"R" (Fig. 268, 269), og ta for siden av hver av dem et segment som er lik summen av bena til en rettvinklet trekant ABC.

Etter å ha fullført konstruksjonene vist på tegningene 268 og 269 i disse rutene, vil vi se at MKOR-plassen er delt inn i to ruter med arealer en 2 og b 2 og fire like rette trekanter, som hver er lik rettvinklet ABC. Firkanten M"K"O"R" er delt inn i en firkant (den er skyggelagt på tegning 269) og fire rettvinklede trekanter, som hver også er lik trekanten ABC. Den skraverte firkanten er en firkant, siden sidene er like (hver er lik hypotenusen til trekanten ABC, dvs. Med) og vinklene er riktige / 1 + / 2 = 90°, hvorav / 3 = 90°).

Dermed er summen av arealene til rutene bygget på bena (på tegning 268 er disse rutene skyggelagt) lik arealet til MKOR-plassen uten summen fire like trekanter, og arealet av kvadratet bygget på hypotenusen (på tegning 269 er denne firkanten også skyggelagt) er lik arealet av kvadratet M "K" O "R", lik kvadratet til MKOR, uten summen av arealene til fire av de samme trekantene. Derfor er arealet av kvadratet bygget på hypotenusen til en rettvinklet trekant lik summen av arealene til kvadratene bygget på bena.

Vi får formelen Med 2 = a 2 +b 2, hvor Med- hypotenusen, en og b- ben i en rettvinklet trekant.

Pythagoras teorem kan oppsummeres som følger:

Kvadraten på hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik summen av kvadratene på bena.

Fra formelen Med 2 = a 2 +b 2 kan du få følgende formler:

en 2 = Med 2 - b 2 ;
b 2 = Med 2 - en 2 .

Disse formlene kan brukes til å finne ukjent parti rettvinklet gitt to av sidene.
For eksempel:

a) hvis ben er gitt en= 4 cm, b\u003d 3 cm, så kan du finne hypotenusen ( Med):
Med 2 = a 2 +b 2, dvs. Med 2 = 4 2 + 3 2; med 2 = 25, hvorfra Med= √25 =5 (cm);

b) hvis hypotenusen er gitt Med= 17 cm og ben en= 8 cm, så kan du finne et annet ben ( b):

b 2 = Med 2 - en 2, dvs. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, hvorfra b= √225 = 15 (cm).

Konsekvens: Hvis i to rette trekanter ABC og A 1 B 1 C 1 hypotenusa Med og Med 1 er like, og benet b trekant ABC er større enn beinet b 1 trekant A 1 B 1 C 1,
deretter beinet en trekant ABC mindre enn beinet en 1 trekant A 1 B 1 C 1 . (Lag en tegning som illustrerer denne konsekvensen.)

Faktisk, basert på Pythagoras teorem, får vi:

en 2 = Med 2 - b 2 ,
en 1 2 = Med 1 2 - b 1 2

I de skrevne formlene er minuenden like, og subtrahenden i den første formelen er større enn subtrahenden i den andre formelen, derfor er den første forskjellen mindre enn den andre,
dvs. en 2 < en 12 . Hvor en< en 1 .

Øvelser.

1. Bruk tegning 270 til å bevise Pythagoras teorem for en likebenet rettvinklet trekant.

2. Ett ben i en rettvinklet trekant er 12 cm, det andre er 5 cm. Regn ut lengden på hypotenusen til denne trekanten.

3. Hypotenusen til en rettvinklet trekant er 10 cm, det ene bena er 8 cm.. Regn ut lengden på det andre benet i denne trekanten.

4. Hypotenusen til en rettvinklet trekant er 37 cm, den ene bena er 35 cm.. Regn ut lengden på det andre benet i denne trekanten.

5. Konstruer en firkant to ganger arealet av den gitte.

6. Konstruer en firkant, to ganger arealet av den gitte. Instruksjon. Hold inne gitt kvadrat diagonaler. Firkantene bygget på halvdelene av disse diagonalene vil være de ønskede.

7. Bena til en rettvinklet trekant er henholdsvis 12 cm og 15 cm.. Regn ut lengden på hypotenusen til denne trekanten med en nøyaktighet på 0,1 cm.

8. Hypotenusen til en rettvinklet trekant er 20 cm, det ene bena er 15 cm.. Regn ut lengden på det andre benet til nærmeste 0,1 cm.

9. Hvor lang bør stigen være slik at den kan festes til et vindu plassert i 6 m høyde, dersom den nedre enden av stigen skal være 2,5 m fra bygget? (Fan. 271.)