Vi definerte nabolaget til dette punktet som utsiden av sirkler sentrert ved opprinnelsen: U (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Prikk z = ∞ er et isolert entallspunkt analytisk funksjon w = f (z ), hvis det i et eller annet nabolag av dette punktet ikke er andre enkeltpunkter for denne funksjonen. For å bestemme typen av dette entallspunktet, gjør vi en endring av variabelen og punktet z = ∞ går til punktet z 1 = 0, funksjon w = f (z ) vil ta formen . Type entallspunkt z = ∞ funksjoner w = f (z ) vil vi kalle typen entallspunkt z 1 = 0 funksjoner w = φ (z 1). Hvis utvidelsen av funksjonen w = f (z ) etter grader z i nærheten av et punkt z = ∞, dvs. ved tilstrekkelig store modulverdier z , har formen , og erstatter z på , vil vi motta . Dermed, med en slik endring av variabel, skifter hoved- og regeldelene av Laurent-serien plass, og typen av entallspunktet z = ∞ bestemmes av antall ledd i riktig del av utvidelsen av funksjonen i Laurent-serien i potenser z i nærheten av et punkt z = 0. Derfor
1. Pek z = ∞ - avtakbar enkeltpunkt, hvis i denne utvidelsen riktig del fraværende (unntatt kanskje for medlem EN 0);
2. Pek z = ∞ - pol n -te orden hvis høyre del slutter med et ledd A n · z n ;
3. Pek z = ∞ er et vesentlig singulart punkt hvis den regulære delen inneholder uendelig mange ledd.

I dette tilfellet forblir kriteriene for typene entallspoeng etter verdi gyldige: if z= ∞ er et fjernbart singularpunkt, så eksisterer denne grensen og er endelig hvis z= ∞ er en pol, så er denne grensen uendelig hvis z= ∞ er i hovedsak et enkeltpunkt, så eksisterer ikke denne grensen (verken endelig eller uendelig).

Eksempler: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Funksjonen er allerede et polynom i potenser z , den høyeste graden er derfor den sjette z
Det samme resultatet kan oppnås på en annen måte. Vi vil erstatte z på da . For funksjon φ (z 1) punkt z 1 = 0 er en pol av sjette orden, derfor for f (z ) punkt z = ∞ - pol av sjette orden.
2. . For denne funksjonen, få en strømutvidelse z vanskelig, så la oss finne: ; grensen eksisterer og er begrenset, så poenget z
3. . Riktig del av kraftutvidelsen z inneholder uendelig mange begreper, så z = ∞ er et vesentlig entallspunkt. Ellers kan dette faktum fastslås basert på at det ikke eksisterer.

Rest av en funksjon i et uendelig fjernt entallspunkt.

For det siste entallspunktet en , Hvor γ - en krets som ikke inneholder andre enn en , entallspunkter, krysset på en slik måte at området avgrenset av det og som inneholder entallspunktet forblir til venstre (mot klokken).

La oss definere på en lignende måte: , hvor Γ − er konturen som begrenser et slikt nabolag U (∞, r ) poeng z = ∞, som ikke inneholder andre entallspunkter, og kan krysses slik at dette nabolaget forblir til venstre (dvs. med klokken). Dermed må alle andre (endelige) entallspunkter i funksjonen være plassert innenfor konturen Γ − . La oss endre retningen for å krysse konturen Γ − : . Ved hovedteoremet om rester , hvor summeringen utføres over alle endelige entallspunkter. Derfor, endelig

,

de. rester på et uendelig fjernt entallspunkt lik summen rester over alle endelige entallspunkter, tatt med motsatt fortegn.

Som en konsekvens er det teorem om hele beløpet fradrag: hvis funksjon w = f (z ) er analytisk overalt i flyet MED , bortsett fra et begrenset antall entallspunkter z 1 , z 2 , z 3 , …,z k , da er summen av rester ved alle endelige entallspunkter og resten ved uendelig null.

Merk at hvis z = ∞ er et fjernbart singularpunkt, så kan resten ved det være forskjellig fra null. Så for funksjonen, åpenbart, ; z = 0 er det eneste endelige entallspunktet for denne funksjonen, så , til tross for at, dvs. z = ∞ er et fjernbart entallspunkt.

Definisjon. Et uendelig punkt i det komplekse planet kalles isolert entallspunkt unik analytisk funksjon f(z), Hvis utenfor sirkel med en viss radius R,

de. for , det er ikke noe endelig entallspunkt for funksjonen f(z).

For å studere funksjonen på et uendelig punkt, gjør vi erstatningen
Funksjon

vil ha en singularitet på punktet ζ = 0, og dette punktet vil være isolert, siden

inne i sirkelen
Det er ingen andre spesielle punkter i henhold til tilstanden. Være analytisk i dette

sirkel (bortsett fra såkalte ζ = 0), funksjon
kan utvides i en Laurent-serie i krefter ζ . Klassifiseringen beskrevet i forrige avsnitt forblir helt uendret.

Men hvis vi går tilbake til den opprinnelige variabelen z, deretter serier i positive og negative potenser z'bytte' plass. De. Klassifiseringen av poeng ved uendelig vil se slik ut:

Eksempler. 1.
. z = Prikk jeg

2.
− stolpe av 3. orden. z = ∞ . Prikk

– et i hovedsak enestående poeng.

§18. Rest av en analytisk funksjon i et isolert enkeltpunkt. z La poenget

f(z 0 er et isolert entallspunkt for en analytisk funksjon med én verdi f(z). I henhold til forrige, i nærheten av dette punktet
) kan representeres unikt av Laurent-serien:

Definisjon.Hvor Fradrag f(z analytisk funksjon z 0

) på et isolert enkeltpunkt ringte, lik verdien av integralet
, tatt i positiv retning for evt lukket sløyfe, som ligger i det analytiske domenet til funksjonen og inneholder et enkelt enkeltpunkt i seg selv z 0 .

Fradraget er angitt med symbolet Res [f(z),z 0 ].

Det er lett å se at resten ved et vanlig eller fjernbart singularpunkt er lik null.

Ved en pol eller i hovedsak entallspunkt, resten lik koeffisienten Med-1 rad Laurent:

.

Eksempel. Finn resten av en funksjon
.

(La det være lett å se det

koeffisient Med-1 oppnås når leddene multipliseres med n= 0:Res[ f(z),Prikk ] =
}

Det er ofte mulig å beregne rester av funksjoner over på en enkel måte. La funksjonen f(z) har inkl. z 0 pol av første orden. I dette tilfellet har utvidelsen av funksjonen i en Laurent-serie formen (§16):. La oss multiplisere denne likheten med (z−z 0) og gå til grensen ved
. Som et resultat får vi: Res[ f(z),z 0 ] =
Så inn

I det siste eksemplet har vi Res[ f(z),Prikk ] =
.

For å beregne rester ved høyere ordens poler, multipliser funksjonen

på
(m− polrekkefølge) og differensier den resulterende serien ( m − 1) ganger.

I dette tilfellet har vi: Res[ f(z),z 0 ]

Eksempel. Finn resten av en funksjon
ved punktet z= −1.

{Res[ f(z), −1] }

Hvis en sekvens konvergerer til et endelig tall a, så skriv
.
Tidligere introduserte vi uendelig store sekvenser i betraktning. Vi antok at de var konvergerende og betegnet deres grenser med symbolene og . Disse symbolene representerer peker på uendelig

. De tilhører ikke settet med reelle tall. Men konseptet grense lar oss introdusere slike punkter og gir et verktøy for å studere egenskapene deres ved å bruke reelle tall.
Definisjon Pek på uendelig
, eller usignert uendelighet, er grensen som en uendelig stor sekvens tenderer mot. Pek på uendelig pluss uendelig
, er grensen som en uendelig stor sekvens med positive ledd tenderer til. Pek på uendelig minus uendelig

, er grensen som en uendelig stor sekvens med negative ledd tenderer til. For hvem som helst reelt tall
;
.

a følgende ulikheter gjelder: Ved å bruke reelle tall introduserte vi konseptet.
nabolaget til et punkt i det uendelige
Nabolaget til et punkt er settet.
Til slutt er området til et punkt settet.

Her er M et vilkårlig, vilkårlig stort reelt tall.

Dermed har vi utvidet settet med reelle tall ved å introdusere nye elementer i det. I denne forbindelse gjelder følgende definisjon: Utvidet nummerlinje eller utvidet sett med reelle tall
.

Først skal vi skrive ned egenskapene som peker og . Deretter vurderer vi spørsmålet om strenge matematisk definisjon

operasjoner for disse punktene og bevis på disse egenskapene.

Egenskaper til punkter ved uendelig.
; ;
; ;

Sum og forskjell.
; ; ;
;
;
; ; .

Produkt og kvotient.
Sammenheng med reelle tall
; ;
; ; ; .
La a være et vilkårlig reelt tall. Da > 0 La a
; ; .
La a være et vilkårlig reelt tall. Da < 0 La a
; .

..
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Da

Udefinerte operasjoner

Bevis på egenskapene til punkter ved uendelig

Definere matematiske operasjoner Vi har allerede gitt definisjoner for punkter ved uendelig. Nå må vi definere matematiske operasjoner for dem. Siden vi definerte disse punktene ved hjelp av sekvenser, bør operasjoner med disse punktene også defineres ved hjelp av sekvenser.
Så,
summen av to poeng
,
c = a + b,
,
som tilhører det utvidede settet med reelle tall,
vi vil kalle grensen

hvor og er vilkårlige sekvenser som har grenser
Og .
Operasjonene subtraksjon, multiplikasjon og divisjon er definert på lignende måte. Bare ved divisjon skal elementene i nevneren til brøken ikke være lik null.
Så forskjellen på to poeng:
Operasjonene subtraksjon, multiplikasjon og divisjon er definert på lignende måte. Bare ved divisjon skal elementene i nevneren til brøken ikke være lik null.
- dette er grensen: .
Operasjonene subtraksjon, multiplikasjon og divisjon er definert på lignende måte. Bare ved divisjon skal elementene i nevneren til brøken ikke være lik null.
Produkt av poeng: Privat:, .

Her og er vilkårlige sekvenser hvis grenser er henholdsvis a og b . I

sistnevnte tilfelle

Bevis på eiendommer
.
For å bevise egenskapene til punkter ved uendelig, må vi bruke egenskapene til uendelig store sekvenser.
,

Tenk på eiendommen:

1 For å bevise det, må vi vise det
;
.
Med andre ord, vi må bevise at summen av to sekvenser som konvergerer til pluss uendelig konvergerer til pluss uendelig.
.
følgende ulikheter er tilfredsstilt:
Så for og vi har:
La oss si det.
Da

kl ,

Hvor .
.
Dette betyr at .
,
Andre egenskaper kan påvises på tilsvarende måte. Som et eksempel, la oss gi et annet bevis.

La oss bevise at:

For å gjøre dette må vi vise det 1 For å bevise det, må vi vise det
;
.
Med andre ord, vi må bevise at summen av to sekvenser som konvergerer til pluss uendelig konvergerer til pluss uendelig.
.
følgende ulikheter er tilfredsstilt:
Så for og vi har:
La oss si det.
Da

hvor og er vilkårlige sekvenser, med grenser og .

Det vil si at vi må bevise at produktet av to uendelig store sekvenser er en uendelig stor sekvens. La oss bevise det. Siden og , så er det noen funksjoner og , så for ethvert positivt tall M Udefinerte operasjoner

Del
.
Det er lett å vise at hvis og , så avhenger grensen for summen av sekvenser av valg av sekvenser og .

Faktisk, la oss ta det.

Grensene for disse sekvensene er .

Beløpsgrense

er lik uendelig.

La oss nå ta . Grensene for disse sekvensene er også like. Men grensen for beløpet deres

lik null.

Det vil si forutsatt at og , verdien av beløpsgrensen kan ta

forskjellige betydninger. Derfor er operasjonen ikke definert.På lignende måte kan du vise usikkerheten til de gjenværende operasjonene presentert ovenfor.Poenget i det uendelige. .

La funksjonen være analytisk i et eller annet område av et uendelig fjernt punkt (bortsett fra selve punktet). De sier det er det

avtagbar entallsspiss, pol eller i hovedsak entallspiss funksjoner avhengig av begrenset, uendelig eller ikke-eksisterende La oss sette og, så vil det være analytisk i et bestemt nabolag av punktet. Sistnevnte vil være for et enkeltpunkt av samme type som for. Laurent-nabolagsutvidelsen kan oppnås ved en enkel erstatning i Laurent-nabolagsutvidelsen. Men med en slik erstatning erstattes den riktige delen av den viktigste, og omvendt. Dermed er det rettferdigTeorem 1.I tilfelle av en fjernbar singularitet på et uendelig fjernt punkt, inneholder ikke Laurent-utvidelsen av funksjonen i nærheten av dette punktet

positive grader, i tilfelle av en stolpe inneholder et begrenset antall av dem, og i etuietviktig funksjon - uendelig.Hvis det er på punktet

flyttbar funksjon, er det vanligvis sagt at det analytisk i det uendelige, og godta. I dette tilfellet er funksjonen åpenbart avgrenset i et eller annet område av punktet.

La funksjonen være analytisk i fullstendig plan. Fra analytisiteten til en funksjon i et punkt på uendelig, følger det at den er avgrenset i nærheten av dette punktet; la kl. På den annen side, fra analytisitet til ond sirkel

følger sin begrensning i denne sirkelen; la det være i den. Men da er funksjonen begrenset på hele planet: for alle vi har. Dermed Liouvilles teoremkan gis følgende skjema.Teorem 2.Hvis en funksjon er analytisk i hele planet, så er den konstant. La oss nå introdusere konseptet

rester i det uendelige

Fra denne definisjonen følger det umiddelbart at resten av en funksjon ved uendelig er lik koeffisienten ved i dens Laurent-utvidelse i nærheten av et punkt, tatt med motsatt fortegn:

Teorem 3. Hvis funksjonen har i full plan endelig nummer singular punkter, så er summen av alle dens rester, inkludert resten ved uendelig, lik null.

Bevis. Faktisk la a 1,...a n de siste entallspunktene til funksjonen og - sirkelen som inneholder dem alle inne. Ved egenskapen til integraler, restsetningen og definisjonen av rest ved et uendelig punkt, har vi:

Osv.

Anvendelser av restteori til beregning av integraler.

La det være nødvendig å beregne integralet av reell funksjon langs et (endelig eller uendelig) segment ( a,b) x-aksen. La oss legge til (a, b ) noen kurve som grenser sammen med ( a, b ) region, og fortsett analytisk i.

Vi bruker restsetningen på den konstruerte analytiske fortsettelsen:

(1)

Hvis integralet kan beregnes eller uttrykkes i form av ønsket integral, er beregningsproblemet løst.

I tilfellet med uendelige segmenter ( a, b ) vurderer vanligvis familier med uendelig ekspanderende integrasjonskonturer, som er konstruert på en slik måte at vi, som et resultat av å passere til grensen, oppnår en integral over ( a, b ). I dette tilfellet kan integralet over i forhold (1) ikke beregnes, men bare grensen kan finnes, som ofte viser seg å være null.

Følgende er veldig nyttig:

Lemma (Jordan). Hvis på en sekvens av sirkelbuer,(, EN fast) funksjonen har en tendens til å null jevnt med hensyn til, deretter for

. (2)

Bevis. La oss betegne

Ved vilkårene i lemma, når også en tendens til null, og la a >0; på buer AB og CD har vi.

Følgelig er lysbuen integral AB, CD har en tendens til null ved.

Siden ulikheten er gyldig for, så på buen VÆRE

Derfor, og har dermed også en tendens til null kl. Hvis på en bue SE Hvis den polare vinkelen telles med klokken, vil det samme anslaget bli oppnådd. I tilfelle når beviset er forenklet, fordi det ville være unødvendig å estimere integralet over buene AB og CD. Lemmaet er bevist.

Merknad 1. Rekkefølgen av sirkelbuer i lemmaet kan erstattes familie av buer

deretter, hvis funksjonen ved har en tendens til å null jevnt med hensyn til da for

. (3)

Beviset står fortsatt.

Merknad 2. La oss erstatte variabelen: iz=p , så vil sirklene til lemmaet erstattes av buer, og vi får det for enhver funksjon F(s ), har en tendens til null som jevnt relativ og for enhver positiv t

. (4)

Bytte ut p i (4) med (-s ) får vi det under de samme betingelsene for

, (5)

hvor er sirkelbuen (se figur).

La oss se på eksempler på beregning av integraler.

Eksempel 1. .

La oss velge en hjelpefunksjon. Fordi funksjonen tilfredsstiller ulikheten, så har den en jevn tendens til null som, og etter Jordans lemma, som

For vi har ved restsetningen

I grensen på får vi:

Å skille de reelle delene og bruke pariteten til funksjonen, finner vi

Eksempel 2. For å beregne integralet

La oss ta en hjelpefunksjon. Integrasjonskonturen går rundt entallspunktet z =0. Etter Cauchys teorem

Fra Jordans lemma er det tydelig at. For å anslå, vurder Laurent-utvidelsen i nærheten av punktet z = 0

hvor er vanlig på et punkt z =0 funksjon. Av dette er det klart at

Dermed kan Cauchys teorem omskrives som

Skiftes ut i den første integralen x ved x , vi finner ut at det er likt, så det har vi

I grensen ved og til slutt:

. (7)

Eksempel 3. Regn ut integralet

La oss introdusere en hjelpefunksjon og velge integrasjonskonturen på samme måte som i forrige eksempel. Innenfor denne konturen tillater logaritmen identifisering av en gren med én verdi. La betegne grenen som bestemmes av ulikheten. Funksjonen har på punktet z=i andre ordens stolpe med rester

Ved restsetningen.

Når, starter fra noen tilstrekkelig store R , derav, .

Tilsvarende for, starter fra noen tilstrekkelig små r, derfor

I den første integralen etter utskifting z=-x får vi:

og dermed i grensen ved vi har:

Å sammenligne de virkelige og imaginære delene gir:

, .

Eksempel 4. For integralet

La oss velge hjelpefunksjonen og konturen vist i figuren. Inne i konturen er entydig, hvis vi antar det.

På den øvre og nedre bredden av kuttet, inkludert i denne konturen, tar på seg verdiene, og derfor opphever integralene hverandre, noe som gjør det mulig å beregne den nødvendige integralen. Inne i konturen er det to poler av første ordens funksjon med rester henholdsvis lik:

Hvor. Ved å bruke restsetningen får vi:

I samsvar med ovenstående har vi:

Akkurat som i forrige eksempel, beviser vi at, og deretter i grensen, vil vi ha:

Herfra, ved å sammenligne de imaginære delene, får vi:

Eksempel 5. Beregn hovedverdien til spesialintegralet

La oss velge hjelpefunksjonen og konturen vist i figuren. Innenfor konturen er funksjonen regelmessig. På den nedre bredden av kuttet langs den positive halvaksen. Således, ifølge Cauchys teorem:

(8).

Selvfølgelig, når og når. Langs har vi, henholdsvis, og, hvor endres fra 0 til og fra til hhv. Derfor,

Passerer inn (8) til grensen kl, får vi dermed

hvorfra det nødvendige integralet er lik

Eksempel 6. Regn ut integralet

La oss vurdere funksjonen. La oss ta et kutt*) .

La oss si det. Når du går mot klokken rundt en lukket bane (se figur, stiplet linje) og får en økning,

derfor, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 økes også. Således, i utseendet til kuttet, deler funksjonen seg i 3 vanlige grener, som skiller seg fra hverandre i valget av det første elementet i funksjonen, dvs. verdi på et tidspunkt.

Vi vil vurdere grenen av funksjonen som på oversiden av kuttet (-1,1) tar positive verdier, og ta konturen,

___________________

*) Faktisk ble det gjort to kutt: og imidlertid på aksen x til høyre for punkt x =1 funksjon er kontinuerlig: over kuttet, under kuttet.

vist i figuren. På land jeg har vi, dvs. , på land II (etter å ha gått rundt punktet z =1 med klokken) (dvs.), dvs. , integralene over sirkler og, åpenbart, har en tendens til null**) på. Derfor, ved Cauchys teorem for multiplisere koblede domener

For beregningen bruker vi utvidelsen av 1/-grenen i nærheten av punktet ved uendelig. La oss ta det ut under rottegnet, så får vi hvor og er grenene til disse funksjonene, positive på segmentet (1,) til den reelle aksen.

på et segment av den reelle aksen. Utvide sistnevnte ved å bruke binomialformelen:

vi finner resten av den valgte grenen 1/ ved punktet ved uendelig: (koeffisient ved 1/ z med motsatt fortegn). Men integralet er lik denne resten multiplisert med, dvs. vi har hvor endelig

Eksempel 7. Tenk på integralet.

__________________

**) Tenk for eksempel på integralet over. På har vi, dvs.

La oss si det slik,

Inne i en sirkel har integranden én pol II ordre med fradrag

Ved restsetningen har vi

Eksempel 8. La oss beregne integralet på samme måte

Etter bytte har vi:

En av polene til integranden ligger inne enhetssirkel, og den andre er utenfor den, fordi av egenskapene til røttene andregradsligning, og i kraft av tilstanden er disse røttene ekte og forskjellige. Altså ved restsetningen

(9)

hvor ligger stangen inne i sirkelen. Fordi høyre side(9) er gyldig, så gir den den nødvendige integralen

. De tilhører ikke settet med reelle tall. Men konseptet grense lar oss introdusere slike punkter og gir et verktøy for å studere egenskapene deres ved å bruke reelle tall.
Nabolaget til et reelt punkt x 0 Ethvert åpent intervall som inneholder dette punktet kalles:
.
Her ε 1 og e 2 - vilkårlige positive tall.

Epsilon - nabolaget til punkt x 0 er settet med punkter avstanden som skal punktet x 0 mindre enn ε:
.

Et punktert nabolag til punkt x 0 er nabolaget til dette punktet som selve punktet x er ekskludert fra 0 :
.

Nabolag til endepunkter

Helt i begynnelsen ble det gitt en definisjon av området til et punkt. Det er utpekt som .
(1) .
Men du kan eksplisitt indikere at nabolaget er avhengig av to tall ved å bruke de riktige argumentene:

Det vil si at et nabolag er et sett med punkter som tilhører et åpent intervall. 1 Likestiller ε 2 til ε
(2) .
, får vi epsilon - nabolag:
Et epsilon-nabolag er et sett med punkter som tilhører et åpent intervall med ender med like avstand.

Selvfølgelig kan bokstaven epsilon erstattes av en hvilken som helst annen og vurdere δ - nabolag, σ - nabolag, etc.

I grenseteori kan man bruke en definisjon av nabolag basert på både sett (1) og sett (2). Å bruke noen av disse nabolagene gir tilsvarende resultater (se). Men definisjon (2) er enklere, så epsilon brukes ofte - nabolaget til et punkt bestemt fra (2).

Konseptene med venstresidige, høyresidige og punkterte nabolag av endepunkter er også mye brukt. Her er deres definisjoner. 0 Venstre nabolag til et reelt punkt x 0 er et halvåpent intervall plassert på den reelle aksen til venstre for x-punktet
;
.

, inkludert selve punktet: 0 Høyresidig nabolag til et reelt punkt x 0 er et halvåpent intervall plassert på den reelle aksen til venstre for x-punktet
;
.

er et halvåpent intervall plassert til høyre for punkt x

Punkterte områder av endepunkter 0 Punkterte områder av punkt x

- dette er de samme nabolagene som selve punktet er ekskludert fra. De er indikert med en sirkel over bokstaven. Her er deres definisjoner. 0 :
.

Punktert nabolag til punkt x 0 :
;
.

Punktert epsilon - nabolaget til punkt x:
;
.

Gjennomboret nabolag på venstre side:
;
.

Punktert nærhet på høyre side

Nabolag med punkter i det uendelige Sammen med endepunkter introduseres også nabolag med punkter ved uendelig. De er alle punktert fordi det ikke er noe reelt tall ved uendelig (punktet ved uendelig er definert som grensen ved uendelig).

.
;
;
.

stor sekvens
.
Det var mulig å bestemme nabolagene til punkter ved uendelig slik:

Men i stedet for M bruker vi , slik at nabolaget med mindre ε er en delmengde av nabolaget med større ε, som for endepunktsnabolag.

Nabolagseiendom

Deretter bruker vi den åpenbare egenskapen til området til et punkt (endelig eller uendelig). Det ligger i det faktum at nabolag med punkter med mindre verdier av ε er undergrupper av nabolag med større verdier av ε.
Her er mer strenge formuleringer.
;
;
;
;
;
;
;
.

La det være et endelig eller uendelig fjernt punkt. Og la det være.

Ekvivalens av definisjoner av grensen til en funksjon i henhold til Cauchy

Nå skal vi vise at når du bestemmer grensen for en funksjon i henhold til Cauchy, kan du bruke både et vilkårlig nabolag og et nabolag med ekvidistante ender.

Teorem
Cauchy definisjoner av grensen for en funksjon som bruker vilkårlige nabolag og nabolag med ekvidistante ender er likeverdige.

Bevis

La oss formulere første definisjon av grensen for en funksjon.
Tallet a er grensen for en funksjon i et punkt (endelig eller uendelig fjernt), hvis for noen positive tall det er tall avhengig av og som for alle tilhører det tilsvarende nabolaget til punktet a:
.

La oss formulere andre definisjon av grensen for en funksjon.
Et tall a er grensen for en funksjon i et punkt hvis det for et positivt tall er et tall avhengig av det for alle:
.

Bevis 1 ⇒ 2

La oss bevise at hvis et tall a er grensen for en funksjon ved 1. definisjon, så er det også en grense ved 2. definisjon.

La den første definisjonen være oppfylt. Dette betyr at det er funksjoner og , så for alle positive tall gjelder følgende:
kl , hvor .

Siden tallene er vilkårlige, setter vi likhetstegn mellom dem:
.
Så er det slike funksjoner og , så for alle gjelder følgende:
kl , hvor .

Merk at .
La være den minste av de positive tallene og .
.
Så, i henhold til det som ble nevnt ovenfor,

Hvis, da.
kl , hvor .
Det vil si at vi fant en slik funksjon, så for en hvilken som helst gjelder følgende:

Dette betyr at tallet a er grensen for funksjonen ved den andre definisjonen.

Bevis 2 ⇒ 1

La oss bevise at hvis et tall a er grensen for en funksjon ved 2. definisjon, så er det også en grense ved 1. definisjon.
.

La den andre definisjonen være oppfylt. La oss ta to positive tall og .
.

Og la det være den minste av dem. Så, i henhold til den andre definisjonen, er det en slik funksjon , slik at for ethvert positivt tall og for alle følger det at
.

Men ifølge .

Derfor, fra det som følger

Så for alle positive tall og , fant vi to tall, så for alle:
Dette betyr at tallet a er en grense etter den første definisjonen. Teoremet er bevist. Brukt litteratur: