Bernoullis feil Som Fechner godt forsto, var han ikke den første som prøvde å finne en funksjon som forbinder psykologisk intensitet med den fysiske styrken til en stimulus. I 1738 forutså den sveitsiske forskeren Daniel Bernoulli Fechners forklaringer og brukte dem på forhold mellom

25. Bernoullis ligning

25. Bernoullis ligning Gromeki-ligningen er egnet for å beskrive bevegelsen til en væske dersom komponentene i bevegelsesfunksjonen inneholder en slags virvelmengde. For eksempel er denne virvelmengden inneholdt i komponentene ?x, ?y, ?z av vinkelhastigheten w. Betingelsen at bevegelsen

| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |

Bernoulli-ligning (Bernoulli-integral)

Bernoulli ligning(Bernoulli-integral) i hydroaeromekanikk [[oppkalt etter den sveitsiske vitenskapsmannen D. Bernoulli], en av hydromekanikkens grunnleggende ligninger, som under jevn bevegelse av en inkompressibel ideell væske i et jevnt tyngdefelt har formen:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
hvor v er hastigheten til væsken, ρ er dens tetthet, p er trykket i den, h er høyden til væskepartikkelen over et visst horisontalplan, g er akselerasjonen av fritt fall, C er en verdikonstant på hver strømlinjeforme, men i det generelle tilfellet endrer verdien når den går fra en strømlinje til en annen.

Summen av de to første leddene på venstre side av ligning (1) er lik det totale potensialet, og det tredje leddet er lik kinetisk energi, referert til enheter. flytende masse; Følgelig uttrykker hele ligningen loven om bevaring av mekanisk energi for et fluid i bevegelse og etablerer et viktig forhold mellom v, p og h. For eksempel, hvis, ved en konstant h, strømningshastigheten langs en strømlinje øker, så synker trykket, og omvendt. Denne loven brukes ved måling av hastighet ved hjelp av målerør og andre aerodynamiske målinger.

Bernoullis ligning er også representert i skjemaet
h + p/y + v 2 /2g = C eller
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(hvor γ =ρg er væskens egenvekt). I 1. likhet har alle ledd dimensjonen lengde og kalles tilsvarende geometriske (utjevnings-), piezometriske og hastighetshøyder, og i 2. - trykkdimensjonene og kalles henholdsvis vekt, statisk og dynamisk trykk.

I det generelle tilfellet, når væsken er komprimerbar (gass), men barotropisk, dvs. p i den avhenger bare av ρ, og når dens bevegelse skjer i et annet enn potensielt felt med volumetriske (masse) krefter (se kraftfelt), Bernoullis ligningen er oppnådd som en konsekvens av Euler-ligningene for fluidmekanikk og har formen:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
hvor P er den potensielle energien (potensialet) til det volumetriske kraftfeltet, referert til enheter. masse væske. Når gasser strømmer, endres verdien av P lite langs strømlinjen, og den kan inkluderes i konstanten, og presenterer (3) i formen:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

I tekniske applikasjoner, for strømning gjennomsnittlig over tverrsnittet av en kanal, den såkalte generalisert Bernoulli-ligning: bevare formen til ligningene (1) og (3), venstre side inkluderer arbeidet med friksjonskrefter og overvinnelse av hydraulisk motstand, så vel som det mekaniske arbeidet til en væske eller gass (arbeidet til en kompressor eller turbiner) ) med tilhørende fortegn. Den generaliserte Bernoulli-ligningen er mye brukt i hydraulikk ved beregning av flyt av væsker og gasser i rørledninger og i maskinteknikk ved beregning av kompressorer, turbiner, pumper og andre hydrauliske og gassmaskiner.

Innholdet i artikkelen

HYDROAEROMEKANIKK– vitenskapen om bevegelse og likevekt av væsker og gasser. Når du planlegger fysiske eksperimenter eller gjennomfører dem, er det nødvendig å lage teoretiske modeller som enten forutsier mulige resultater av disse eksperimentene eller forklarer de som allerede er oppnådd. Bare i nært samspill mellom teori og eksperimenter kan vi forstå hva som skjer i den fysiske verden rundt oss. For å lage en eller annen kvantitativ eller kvalitativ modell av et fysisk fenomen, kreves det et matematisk grunnlag, på grunnlag av hvilke slike modeller bygges. I dette tilfellet betyr det matematiske grunnlaget de differensialligningene og de grense- og startbetingelsene ved hjelp av hvilke det fysiske fenomenet som vurderes kan beskrives. Fluid mechanics tilbyr modeller og apparater for å studere fenomener som oppstår i væsker og gasser.

På hypotesen om mediets kontinuitet.

Hydroaeromekanikk studerer bevegelsene til væsker og gasser i en tilnærming når de kan betraktes som kontinuerlige medier, dvs. medier som kontinuerlig fyller flytrommet under vurdering. For å løse matematiske problemer knyttet til å beregne bevegelsen til ulike objekter (fly, raketter, skip, etc.) i luft eller vann, med studiet av bølgeprosesser i væsker og gasser, med deres strømninger gjennom rør og kanaler, etc., en matematisk apparat som beskriver disse fenomenene. Dette apparatet er ligningene til hydroaeromekanikk, som er basert på hypotesen om kontinuitet til mediet, dvs. på hypotesen om at partikler av væske eller gass kontinuerlig fyller den delen av det fysiske rommet de opptar.

Et naturlig spørsmål oppstår: under hvilke forutsetninger er denne hypotesen gyldig? Hvis for væsker (vann, flytende metaller, etc.) er denne hypotesen mer eller mindre åpenbar, så for ganske forsjeldne gasser (for eksempel som okkuperer det ytre rom, inkludert atmosfæren til stjerner, planeter og solen), som består av individuelle atomer eller molekyler, så vel som andre fysiske objekter som hydroaeromekanikk-apparatet kan brukes på, krever det sin begrunnelse. Så, for eksempel, ved beregning av bremsing av kunstige jordsatellitter, er bruken av det matematiske apparatet for hydroaeromekanikk ikke mulig, mens det er dette apparatet som brukes ved beregning av bremsing av romobjekter som kommer inn i de tette lagene av atmosfærene til Jorden og planeter (for eksempel meteoritter eller romfartøy som returnerer til jorden osv.). Dette spørsmålet er lett å svare på når man skal utlede likningene. Imidlertid følger det av denne konklusjonen at hypotesen om kontinuitet til mediet er gyldig, spesielt i tilfellet når den karakteristiske størrelsen til den strømlinjeformede kroppen L(for eksempel radiusen til en sfærisk satellitt) er mye større enn den gjennomsnittlige frie banen til gassatomer eller molekyler l, dvs. lengder mellom påfølgende kollisjoner.

Lukket system av ligninger for hydroaeromekanikk.

Ligningene til hydroaeromekanikk i sin forenklede form representerer et komplekst system av ikke-lineære differensialligninger for massetetthet r (masse av væske eller gass per volumenhet), hastighetsvektor V og trykk s, som igjen er funksjoner av romlige koordinater (f.eks. x, y Og z i det kartesiske koordinatsystemet) og tid t. Uten å gå inn på matematiske detaljer om utledningen av disse ligningene, kan vi vurdere hovedideene til denne utledningen, spesielt siden disse ligningene representerer lovene for bevaring av masse, momentum og energi, kjent selv fra skolebøkene. For å gjøre dette vurderer vi et visst fysisk volum kontinuerlig fylt med væske eller gass. I fig. 1 viser en flytende væske (eller gass) som kontinuerlig fyller en del av det fysiske rommet. La oss trekke ut litt volum fra det U(begrenset av overflaten S), som under hele bevegelsestiden består av de samme væskepartiklene (dette volumet er skyggelagt).

Tydeligvis, under bevegelsen, massen av væske som er inneholdt i volumet U, forblir konstant (med mindre det selvfølgelig er noen ekstra kilder til denne massen), selv om volumet i seg selv kan bli sterkt deformert, siden partiklene ikke holdes stivt sammen, som i et fast legeme. Hvis vi velger et infinitesimalt element D fra volumet som vurderes U, så er det åpenbart at i dette elementet vil massen av væske eller gass være lik rD U. Deretter loven om bevaring av masse inneholdt i et valgt volum U, kan skrives i skjemaet

de. masse av væske eller gass i et dedikert volum U, endres ikke over tid. Her overtas integralet det valgte volumet U, som endres over tid t. Hvis vi bruker formelen for den tidsderiverte av integralet over et bevegelig volum, kan vi få ligningen

Denne ligningen i hydroaeromekanikk kalles vanligvis kontinuitetsligningen.

På samme måte kan vi nå skrive loven om bevaring av momentum. Momentumet til en enhetsvolum av væske er lik r V , i elementært volum rD U, og i det tildelte volumet U –

hvor p n er overflatekraftvektoren som virker på et overflateelement S med en enhetsnormalvektor n. Et av hovedproblemene til hydroaeromekanikk, endelig løst på midten av 1800-tallet, er den eksplisitte bestemmelsen av overflatekrefter. Innenfor rammen av den såkalte fenomenologiske tilnærmingen som brukes her for å oppnå likningene til hydroaeromekanikk, bestemmes overflatekrefter empirisk. Ved å differensiere med hensyn til tid integralet til venstre i momentumligningen, slik det ble gjort når man utledet kontinuitetsligningen, og passerer fra overflateintegralet til høyre til volumintegralet, kan vi skrive differensialligninger for bevegelse for kontinuerlige funksjoner i form

og mengdene u, v Og w, og er også projeksjoner av hastighetsvektorer V og trykkgradient på aksen Okse, Oy Og Oz hhv.

Denne ligningen, kalt Navier–Stokes-ligningen, er skrevet i sin enkleste form for en inkompressibel væske, der overflatekrefter reduseres til normalt trykk R, og det siste leddet til høyre representerer "viskose" krefter (m er viskositetskoeffisienten) under forutsetningen at r = konst.

Bevegelsesligningen ble først utledet på midten av 1700-tallet. L. Euler da han jobbet ved St. Petersburgs vitenskapsakademi. Siden effekten av viskositet i en væske ennå ikke var kjent på den tiden, fikk Euler denne ligningen for m = 0. Til ære for ham ble disse ligningene kalt Eulers ligninger. Først i 1822 introduserte den franske ingeniøren Navier krefter assosiert med viskositet, bestemt av koeffisienten m, i Eulers ligninger. I en generell form, som også er gyldig for en komprimerbar gass, ble ligningen oppnådd av Stokes og ble kalt Navier–Stokes-ligningen.

For en inkompressibel væske er differensialligningene for kontinuitet og momentum (en skalar og en vektor) et lukket system av ligninger for å bestemme hastighetsvektoren V og skalartrykk R(r = konst). Hvis r № const, kreves det en ekstra ligning. Denne ligningen er hentet fra loven om bevaring av energi.

En generalisering av loven om bevaring av energi til tilfellet med bevegelse av væsker og gasser oppnås tilsvarende generaliseringen av Newtons andre lov, men på grunn av tilstedeværelsen av termisk bevegelse i væsker og gasser, består energien per volumenhet av den kinetiske energien rV 2 /2 og den indre energien er assosiert med termisk bevegelse av gass- eller væskepartikler. Total energi i volumelement D U er lik r(V 2 /2 + e)D U.

Endring i total energi i tildelt volum U er lik varmetilstrømningen gjennom overflaten S på grunn av termisk ledningsevne, samt arbeidet med masse og overflatekrefter, dvs. I stedet for loven om bevaring av momentum, får vi ligningen

Hvor n– enhetsvektor normal på overflaten S.

For en perfekt gass e = CV T, Hvor med v– varmekapasitet ved konstant volum, T– temperatur, og for varmefluksvektoren aksepteres vanligvis den empiriske Fourierloven q= – l T(l – varmeledningskoeffisient). Etter passende differensiering med hensyn til tid på venstre side av energiligningen, overgang fra overflateintegraler til volumintegraler og ved bruk av kontinuitetsligningen og bevegelsesligningen, kan man få den såkalte varmestrømningsligningen for kontinuerlige funksjoner

Alle disse ligningene, sammen med tilstandsligningen for en perfekt gass

p = r R T,

Hvor R = (med р – med v) er gasskonstanten, og med s– varmekapasitet ved konstant trykk, og Fouriers lov

Lag et lukket system av hydroaeromekaniske ligninger for å bestemme hastighetsvektoren V, press s, tetthet r og temperatur T.

Hvis et fysisk fenomen avhenger lite av dissipative prosesser (viskositet og termisk ledningsevne), reduseres disse ligningene til ligningene for hydroaeromekanikk for en ideell væske. I dette tilfellet, det lukkede system av ligninger for å bestemme R, r, V Og T er et system

Den siste ligningen er en adiabatisk lov, som lett kan reduseres til loven om bevaring av entropi. Her g = med p/c v– adiabatisk indeks, dvs. forholdet mellom varmekapasitet ved konstant trykk og varmekapasitet ved konstant volum.

Hydrostatikk

er et spesialtilfelle av hydroaeromekanikk, som studerer likevekten mellom væsker og gasser, dvs. deres tilstand i fravær av hydrodynamisk hastighet ( V= 0). Hydrostatikkens resultater og metoder er av stor betydning for mange problemer som er viktige både fra praktiske og generelle vitenskapelige synspunkter. I hydrostatikk vurderes problemer knyttet til likevekt mellom vann i vannbassenger og luft i jordens atmosfære, problemer med å beregne kreftene som virker på legemer nedsenket i en væske eller gass løses, fordelingen av trykk, tetthet, temperatur i atmosfærer av planeter, stjerner, solen og mange andre oppgaver.

Ligningene for hydrostatikk er hentet fra ligningene for hydroaeromekanikk ved V=0. Spesielt gir momentumkonserveringsligningen

Hvor kommer spesielt Pascals lov, kjent fra skolebøkene, ifølge hvilken, i fravær av eksterne massekrefter ( F= 0) trykket er konstant overalt (p = const).

Likevekt av en perfekt gass i et gravitasjonsfelt.

La det være gass i det sentrale tyngdefeltet. Likevektslikningene i et sfærisk koordinatsystem vil i dette tilfellet skrives som:

Her r, q Og c– henholdsvis avstanden til det tiltrekkende massesenteret M, plassert ved origo, vinkelen målt fra polaraksen Oz, og vinkelen i planet Oxy, G– gravitasjonskonstant lik 6,67Х10 –8 dyn cm 2 g –2.

Fra disse ligningene er det klart at i et sentralsymmetrisk gravitasjonsfelt avhenger trykket kun av avstanden til dette senteret (det er lett å vise at trykket ikke er avhengig av tid). Det er også lett å vise at tetthet og temperatur også kun avhenger av koordinaten r. Integrering av den første av disse ligningene fører til den såkalte barometriske formelen, hvis under M forstå massen til jorden, planeten, stjernen, solen osv. Når du bruker tilstandsligningen, har den barometriske formelen formen

Hvor p 0– trykk på en viss avstand r = r 0 fra tiltrekningssenteret (for Jorden kan dette for eksempel være trykk ved havnivå). Denne formelen bestemmer trykkfordelingen i atmosfæren til stjerner, Jorden, planeter, Solen osv., hvis temperaturfordelingen er kjent T(r), men denne temperaturen kan ofte ikke bestemmes fra den tidligere skrevne varmetilstrømningsligningen, siden den kun tar hensyn til varmetilstrømningen på grunn av termisk ledningsevne, mens det for de oppførte atmosfærene er andre varmekilder som ikke er tatt med i ligningen ovenfor . For eksempel varmes solens atmosfære opp av forskjellige typer bølgeprosesser, og jordens atmosfære behandler energien til solstråling, etc., derfor for å bestemme trykkfordelingen i atmosfæren til himmellegemer ved å bruke den barometriske formelen , brukes ofte empiriske avhengigheter T(r).

Det er for eksempel mulig å beregne trykkfordelinger i jordens atmosfære opp til avstander på 11 km fra overflaten. Hvis vi velger et kartesisk koordinatsystem med origo på jordens overflate og retter aksen Oz vertikalt oppover, så i den barometriske formelen, i stedet for koordinaten r, må du ta koordinaten z = r – R E, hvor R E er jordens radius. Siden denne radien er mye større enn tykkelsen på atmosfæren ( z R E), så kan den barometriske formelen for en flat atmosfære skrives om som

Her introduserte vi notasjonen for tyngdeakselerasjonen

der T 0 er den absolutte temperaturen på havoverflaten ( z= 0), D er en empirisk verdi som fysisk betyr en temperaturnedgang med en økning på 100 m. For den virkelige atmosfæren aksepteres ofte D = 0,65, T 0= 288K.

Hvis vi aksepterer denne temperaturfordelingen, skrives trykket på skjemaet

Dette viser at det aksepterte empiriske lineære forholdet T(z) er uakseptabelt for hele jordens atmosfære, siden i høyder større enn 44 km blir trykket negativt. Det er imidlertid akseptabelt for høyder som er av praktisk betydning. Fra eksperimenter utført ved bruk av satellitter, raketter i høye høyder osv., viser det seg at i store høyder er temperatur en svært kompleks og ikke-monoton funksjon av høyden. Denne ikke-monotoniciteten skyldes den komplekse prosessen med å behandle solenergi av de øvre lagene av jordens atmosfære, som ikke tas med i beregningen av varmetilstrømningsligningen.

Likevekt av inkompressible væsker.

Hvis vi tar for oss et enkelt eksempel på likevekten til en inkompressibel væske i jordens gravitasjonsfelt, så viser det seg fra likevektsforholdene ved r = const at

s = p 0-r gz eller R = p 0+r gh,

Hvor h- dybden av væske under overflaten, p 0– trykk på overflaten (fig. 2). Denne formelen, kjent fra skolebøkene, viser hvordan trykket i en væske øker med dybden. Ved å bruke denne formelen er det enkelt å beregne trykket i bunnen av et kar fylt med væske. Interessant nok avhenger dette trykket av dybden, men avhenger ikke av formen på fartøyet. Spesielt i fig. 3, vil trykket på bunnen av beholderne 1 og 2 med samme bunnareal S være det samme, eller kraften som virker på bunnen av disse beholderne på grunn av væsketrykket vil være den samme.

Mange viktige anvendelser er basert på løsninger av hydrostatiske ligninger (Archimedes lov, stabilitet av likevekt av atmosfæren til stjerner og planeter, etc.).

NOEN VIKTIGE I APPLIKASJONER RESULTATER AV LØSNINGER TIL HYDROAEROMEKANISKE LIGNINGER.

1. Modell av inkompressibel væske.

Ligningene til hydroaeromekanikk for viskøse og varmeledende væsker eller gasser i de fleste problemer som er svært viktige for praksis kan bare løses med numeriske metoder. Imidlertid er disse ligningene betydelig forenklet under forutsetning av at strømmen under vurdering er underlagt antagelsen om at den er inkompressibel (r = const). Selv om strengt inkompressible væsker eller gasser ikke eksisterer i naturen, kan likevel i mange tilfeller for eksempel en komprimerbar gass betraktes som en inkompressibel væske, siden endringen i tetthet i mange strømninger kan neglisjeres. I dette tilfellet tar kontinuitetsligningen for en inkompressibel væske formen div = 0.

Sammen med momentumkonserveringsligningen danner den et lukket system av ligninger for å bestemme trykk R og hastighet V. To kriterier bestemmer muligheten for å bruke den inkompressible væskemodellen for generelt sett komprimerbar gass

Hvor M– det såkalte Mach-tallet, a – hastigheten på lydutbredelsen i gassen, V* – karakteristisk hastighet på strømmen (for eksempel hastigheten på luftbevegelse i forhold til et flygende fly), t* – karakteristisk tid for ikke-stasjonær bevegelse (for eksempel karakteristisk tid for pulseringer av luftparametere foran et flygende fly), L– karakteristisk størrelse på problemet (for eksempel størrelsen på den strømlinjeformede kroppen). For en jevn flyt er kun det første kriteriet tilstrekkelig. Disse kriteriene har en klar fysisk betydning. For eksempel, når fly flyr med høye subsoniske hastigheter, kan den inkomprimerbare væskemodellen brukes til å beregne strømningsegenskapene til et slikt fly (drag, løft, etc.). Hvis et fly flyr med supersonisk hastighet, dannes en såkalt sjokkbølge foran det, et karakteristisk trekk ved det er skarpe hopp i trykk, hastighet, tetthet og temperatur i det. Dannelsen av en sjokkbølge er et typisk tegn på en betydelig endring i tetthet, dvs. et typisk tegn på strømningskompressibilitet.

Strømning av en viskøs væske i et sylindrisk rør (Hagen–Poiseuille-strøm).

En viktig oppgave er å vurdere strømmen av viskøse inkomprimerbare væsker i et sylindrisk rør med et sirkulært tverrsnitt med radius R(Fig. 4) under påvirkning av trykkforskjell i endene av dette røret P = (s 2 – s 1)/L, Hvor L– rørlengde. Forutsatt at lengden på røret er så lang at innløpet der trykket s 2, og utgangen, hvor trykket s 1 (s 2 > s 1) ikke påvirker strømmen i det meste av dette røret, da er det lett å få en nøyaktig analytisk løsning av Navier–Stokes-ligningen i skjemaet

Hvor u– væskehastighet langs aksen X, sammenfallende med symmetriaksen til røret, og r– avstand fra denne aksen. Av dette kan man se at hastighetsprofilen i røret er parabolsk. Ved rørveggene blir hastigheten null på grunn av væskens adhesjon på grunn av viskositetseffekten. Denne trenden ble studert på midten av 1800-tallet. Poiseuille og Hagen, ved å bruke eksemplet med væskestrømmer i kapillærer, fikk navnet Hagen – Poiseuille-strøm.

Åpenbart, med en konstant flyt (uavhengig av r) av væsken ved inngangen til røret og ved dens første seksjon, vil hastighetsprofilen ikke falle sammen med den gitte løsningen. Den parabolske profilen installeres kun i tilstrekkelig stor avstand fra innløpsseksjonen, og det er derfor for å oppnå en løsning det er nødvendig å anta at røret er langt nok, og for slike rør stemmer denne nøyaktige løsningen godt med de eksperimentelle dataene.

Den resulterende løsningen beskriver en stasjonær, glatt-lags strømning, som vanligvis kalles laminær. Imidlertid er det kjent fra praksis at noen ganger er strømmen i rør ustabil, med hastighetspulsasjoner, med blanding mellom lag, denne strømmen kalles vanligvis turbulent. Reynolds' eksperimenter utført i 1883 viste at for tilstrekkelig store verdier av tallet r U L/m, hvor U– gjennomsnittlig væskehastighet over rørets tverrsnitt, parabolprofilen blir ustabil med hensyn til små forstyrrelser, og med en ytterligere økning i dette tallet blir strømmen i røret turbulent. Dette tallet kalles Reynolds-nummeret (Re), som spiller en svært viktig rolle i ulike problemer med fluidmekanikk. Spesielt karakteriserer det forholdet mellom treghetskrefter (venstre side av ligningen) og viskøse krefter, og ofte kan viskøse krefter neglisjeres og ligningene for hydroaeromekanikk for en ideell væske kan bare brukes når Re >> 1.

Strømmer av ideelle væsker og gasser.

Problemer som er viktige i applikasjoner vurderes ofte på grunnlag av ligningene for hydro-aeromekanikk for en ideell væske, snarere enn på komplette ligninger. Dette skyldes det faktum at matematisk er ligningene til ideell hydroaeromekanikk mye enklere. Hvis du trenger å bestemme løftekraften til en flyvinge ved lave subsoniske hastigheter, er de viskøse kreftene ubetydelige, og det er ikke nødvendig å bruke Navier–Stokes-ligningene. Men for å bestemme motstanden til en slik vinge når den beveger seg i luften, viser viskøse krefter seg å være avgjørende, og det er nødvendig å bruke et mer komplekst matematisk apparat knyttet til Navier-Stokes-ligningene.

Bernoulli integral.

Under visse forutsetninger kan likningene til hydromekanikk for en ideell væske integreres én gang; de har løsninger, hvorav en er Bernoulli-integralet for stasjonære strømninger (oppkalt etter Eulers samtidige, matematikeren Bernoulli, som først oppnådde dette integralet)

Hvor P (s) = t dp/r(s) – trykkfunksjon, U– potensialet til eksterne massekrefter, MED– konstant langs strømlinjen l (strømlinjen faller sammen med strømningshastighetsvektoren V Så for eksempel, for en inkompressibel væske i tyngdefeltet, har denne ligningen formen

For adiabatiske strømmer har Bernoulli-integralet i fravær av eksterne massekrefter formen

Som et eksempel på bruk av Bernoulli-integralet kan vi bestemme strømningshastigheten til en inkompressibel væske fra et kar (fig. 5). Når væske renner ut av dette karet, synker væskenivået, d.v.s. overflatehastigheten til væsken er generelt sett ikke null. Men med et tilstrekkelig bredt kar med en smal utløpsåpning kan det antas at V z 1 – z 2). For et bad med en høyde på fylt vann på ca. 0,5 m er utløpshastigheten V 2 » 3,1 m/sek.

Bevegelsesligningene til en ideell væske har et annet integral for ustabile strømninger, som kalles Cauchy–Lagrange-integralet. Den er gyldig for strømninger der det ikke er virvler. Det brukes ofte, for eksempel når man vurderer bølgebevegelser til en væske eller gass.

Sjokkbølger som en av de viktige manifestasjonene av gasskompressibilitet.

Matematisk tillater ligningene til ideell hydroaeromekanikk diskontinuerlige løsninger, dvs. løsninger som har hopp i gassparametere (tetthet, trykk, hastighet og temperatur). En av slike manifestasjoner i naturen er dannelsen av en sjokkbølge nær en kropp som flyr med supersonisk hastighet i de tette lagene av jordens atmosfære. For eksempel dannelsen av en sjokkbølge nær flygende supersoniske fly eller sjokkbølger nær meteoritter som invaderer de tette lagene av jordens atmosfære med høye supersoniske hastigheter. I ytre romforhold er interplanetære sjokkbølger velkjente, som oftest er et resultat av aktive prosesser på solen (for eksempel fakler).

Det er kjent at det ikke dannes sjokkbølger nær passasjerfly som flyr hovedsakelig med store subsoniske. La det være et sfærisk legeme med radius R(Fig. 6), som flyr i luften med oversonisk hastighet. Da dannes det en sjokkbølge foran en slik kropp I, som er grensen mellom region 1 og 2, som er forskjellige i verdiene til gassparametere. I koordinatsystemet knyttet til den flygende kroppen. en strøm av gass strømmer inn på et legeme i ro. La aksen Åh er rettet langs strømningshastigheten, og V 1 , s 1, r1 og T 1 – henholdsvis hastighet, trykk, tetthet og temperatur i en gasstrøm uforstyrret av kroppen (før sjokkbølgen). Ingen forstyrrelser fra kroppen kommer inn i region 1, siden kroppen beveger seg i supersonisk hastighet. Siden gasshastigheten ved frontpunktet av kroppen EN går til null, deretter fra punktet EN til punktet MED på sjokkbølgen er det et område med subsonisk gasshastighet, som nås av luftforstyrrelser fra den flygende kroppen. Den fysiske betydningen av dannelsen av en sjokkbølge ligger i separasjonen av uforstyrrede og forstyrrede gassstrømmer. Hvis gjennom V

Dette betyr at hastigheten bak sjokkbølgen avtar, og trykket, tettheten og temperaturen øker. Den sterke temperaturøkningen bak sjokkbølgen forklarer smeltingen av romfartøyer som returnerer til jorden og meteoritter som kommer inn i atmosfæren med høye supersoniske hastigheter. Slike sjokkbølger kalles kompresjonssjokkbølger (gasstettheten øker). Interessant nok har sjeldne sjokkbølger der tettheten faller aldri blitt observert i naturen. Matematisk er dannelsen av sjeldne sjokkbølger forbudt av Zemplens teorem, kjent innen hydroaeromekanikk.

Forholdet mellom parametere med indeksene "1" og "2" kan hentes fra de integrerte lovene for bevaring av masse, momentum og energi, siden de også er gyldige for diskontinuerlige funksjoner. Slike relasjoner kalles Hugoniot-relasjoner og har formen (i koordinatsystemet knyttet til sjokkbølgen)

r1 Vn 1 = r2 Vn 2; r1 Vn 1V 1 + s 1 n=r2 Vn 2V 2 + s 2 n ;

Vn 1 = Vn 2.

Sammen med tilstandsligningen gjør disse forholdene det mulig å bestemme verdiene til parametrene til gassen bak sjokkbølgen (indeks "2") fra verdiene til parametrene til gasstrømmen uforstyrret av sjokket bølge (indeks "1").

Det beskrevne matematiske apparatet for hydroaeromekanikk brukes i mange områder av naturvitenskap, mens for riktig bruk av dette apparatet er det bare nødvendig å oppfylle kriteriet om kontinuitet til mediet, dvs. for gasser, for eksempel, bør den frie banen til partikler være mye mindre enn de karakteristiske dimensjonene til strømningsobjektene som vurderes. Spesielt i verdensrommet er miljøet ofte svært sjeldent. I slike medier er selvfølgelig den gjennomsnittlige frie banen til partikler veldig stor, men selve dimensjonene til studieobjektene viser seg i mange tilfeller å være betydelig større, dvs. hydroaeromekaniske metoder er også anvendelige for slike objekter.

I biomekanikk, ved bruk av hydromekanikkmetoder, studeres interessante trekk ved strømmen av biologiske væsker gjennom kar, og i hydrogeologi studeres for eksempel problemer med dynamikken til jordens indre lag. Alt dette vitner om viktigheten av vitenskapen kalt "hydroaeromechanics".

Vladimir Baranov

Bernoulli ligning en av de grunnleggende ligningene for fluidmekanikk, som under jevn bevegelse av en inkompressibel ideell væske i et jevnt tyngdefelt har formen:
Gh + p/ρ + v 2 /2 = C, (1)
hvor v er hastigheten til væsken, ρ er dens tetthet, p er trykket i den, h er høyden til væskepartikkelen over et visst horisontalplan, g er akselerasjonen av fritt fall, C er en verdikonstant på hver strømlinjeforme, men i det generelle tilfellet endrer verdien når den går fra en strømlinje til en annen.

Summen av de to første leddene på venstre side av ligning (1) er lik det totale potensialet, og det tredje leddet er lik kinetisk energi, referert til enheter. flytende masse; Følgelig uttrykker hele ligningen loven om bevaring av mekanisk energi for et fluid i bevegelse og etablerer et viktig forhold mellom v, p og h. For eksempel, hvis, ved en konstant h, strømningshastigheten langs en strømlinje øker, så synker trykket, og omvendt. Denne loven brukes ved måling av hastighet ved hjelp av målerør og andre aerodynamiske målinger.

Bernoullis ligning er også representert i skjemaet
h + p/y + v 2 /2g = C eller
γh + p + ρv 2 /2 = C (2)
(hvor γ =ρg er væskens egenvekt). I 1. likhet har alle ledd dimensjonen lengde og kalles tilsvarende geometriske (utjevnings-), piezometriske og hastighetshøyder, og i 2. - trykkdimensjonene og kalles henholdsvis vekt, statisk og dynamisk trykk.

I det generelle tilfellet, når væsken er komprimerbar (gass), men barotropisk, dvs. p i den avhenger bare av ρ, og når dens bevegelse skjer i et annet enn potensielt felt med volumetriske (masse) krefter (se kraftfelt), Bernoullis ligningen er oppnådd som en konsekvens av Euler-ligningene for fluidmekanikk og har formen:
П+∫ dp/ρ + v 2 /2 = C, (3)
hvor P er den potensielle energien (potensialet) til det volumetriske kraftfeltet, referert til enheter. masse væske. Når gasser strømmer, endres verdien av P lite langs strømlinjen, og den kan inkluderes i konstanten, og presenterer (3) i formen:
∫ dp/ρ + v 2 /2 = C. (4)

I tekniske applikasjoner, for strømning gjennomsnittlig over tverrsnittet av en kanal, den såkalte generalisert Bernoulli-ligning: bevare formen til ligningene (1) og (3), venstre side inkluderer arbeidet med friksjonskrefter og overvinnelse av hydraulisk motstand, så vel som det mekaniske arbeidet til en væske eller gass (arbeidet til en kompressor eller turbiner) ) med tilhørende fortegn. Den generaliserte Bernoulli-ligningen er mye brukt i hydraulikk ved beregning av flyt av væsker og gasser i rørledninger og i maskinteknikk ved beregning av kompressorer, turbiner, pumper og andre hydrauliske og gassmaskiner.