Ved beregning av algebraiske polynomer, for å forenkle beregninger, bruker vi forkortede multiplikasjonsformler . Det er syv slike formler totalt. De trenger alle å bli kjent utenat.

Det bør også huskes at i stedet for a og b i formler, kan det være både tall og andre algebraiske polynomer.

Forskjell på ruter

Forskjellen mellom kvadratene til to tall er lik produktet av differansen mellom disse tallene og summen deres.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

sum kvadrat

Kvadraten av summen av to tall er lik kvadratet av det første tallet pluss to ganger produktet av det første tallet og det andre pluss kvadratet av det andre tallet.

(en + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Merk at med denne reduserte multiplikasjonsformelen er det enkelt å finne firkanter store tall uten å bruke kalkulator eller lang multiplikasjon. La oss forklare med et eksempel:

Finn 112 2 .

La oss dekomponere 112 til summen av tall hvis kvadrater vi husker godt.2
112 = 100 + 1

Vi skriver summen av tall i parentes og setter en firkant over parentesene.
112 2 = (100 + 12) 2

La oss bruke sumkvadratformelen:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Husk at kvadratsumformelen også er gyldig for alle algebraiske polynomer.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Advarsel!!!

(a + b) 2 ikke lik a 2 + b 2

Firkanten av forskjellen

Kvadraten av forskjellen mellom to tall er lik kvadratet til det første tallet minus to ganger produktet av det første og det andre pluss kvadratet av det andre tallet.

(en - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Det er også verdt å huske en veldig nyttig transformasjon:

(a - b) 2 = (b - a) 2
Formelen ovenfor er bevist ved å utvide parentesene:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

sum kube

Kube av summen av to tall er lik kube det første tallet pluss tre ganger kvadratet av det første tallet og det andre pluss tre ganger produktet av det første og kvadratet av det andre pluss terningen til det andre.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Å huske denne "forferdelige" formelen er ganske enkel.

Lær at en 3 kommer først.

De to polynomene i midten har koeffisienter på 3.

PÅhusk at et hvilket som helst tall i nullpotens er 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Det er lett å se at i formelen er det en nedgang i graden a og en økning i graden b. Du kan bekrefte dette:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Advarsel!!!

(a + b) 3 ikke lik a 3 + b 3

forskjellskube

Terningen av forskjellen mellom to tall er lik kuben til det første tallet minus tre ganger kvadratet av det første tallet og det andre pluss tre ganger produktet av det første tallet og kvadratet til det andre minus kuben til det andre .

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Denne formelen huskes som den forrige, men tar bare hensyn til vekslingen av tegnene "+" og "-". Det første medlemmet av en 3 er innledet av en "+" (i henhold til matematikkens regler skriver vi det ikke). Dette betyr at neste medlem vil bli innledet av "-", så igjen "+", osv.

(a - b) 3 = + en 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Summen av terninger ( For ikke å forveksle med sumkuben!)

Summen av terninger er lik produktet av summen av to tall og det ufullstendige kvadratet av differansen.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)

Summen av terninger er produktet av to parenteser.

Den første parentesen er summen av to tall.

Den andre parentesen er det ufullstendige kvadratet av tallforskjellen. Det ufullstendige kvadratet av forskjellen kalles uttrykket:

A 2 - ab + b 2
Denne firkanten er ufullstendig, siden i midten i stedet for dobbelt produkt vanlig produkt av tall.

Cube Difference (Ikke å forveksle med Difference Cube!!!)

Forskjellen mellom terninger er lik produktet av forskjellen mellom to tall med det ufullstendige kvadratet av summen.

a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Vær forsiktig når du skriver tegn.Det bør huskes at alle formlene ovenfor også brukes fra høyre til venstre.

En enkel måte å huske forkortede multiplikasjonsformler, eller... Pascals trekant.

Er det vanskelig å huske formlene for forkortet multiplikasjon? Saken er lett å hjelpe. Du trenger bare å huske hvordan slikt enkel ting som Pascals trekant. Da vil du huske disse formlene alltid og overalt, eller rettere sagt, ikke huske, men gjenopprette.

Hva er Pascals trekant? Denne trekanten består av koeffisientene som inngår i utvidelsen av enhver potens av et binomial av formen til et polynom.

La oss bryte det ned, for eksempel:

I denne posten er det lett å huske at i begynnelsen er det en kube av det første, og på slutten - terningen til det andre tallet. Men hva som er i midten er vanskelig å huske. Og til og med det faktum at i hver neste periode reduseres graden av en faktor hele tiden, og den andre øker - det er lett å legge merke til og huske, situasjonen er vanskeligere med å huske koeffisientene og tegnene (pluss eller minus?).

Så, først oddsen. Du trenger ikke å lære dem utenat! På kantene av notatboken tegner vi raskt Pascals trekant, og her er de - koeffisientene, allerede foran oss. Vi begynner å tegne med tre, en på toppen, to under, til høyre og til venstre - ja, allerede er en trekant oppnådd:

Den første linjen, med en ener, er null. Så kommer den første, andre, tredje og så videre. For å få den andre linjen, må du legge til en igjen langs kantene, og i midten skrive ned tallet oppnådd ved å legge til de to tallene over det:

Vi skriver den tredje linjen: igjen langs kantene på enheten, og igjen for å få neste nummer i en ny linje, legg til tallene over den i den forrige:

Som du kanskje har gjettet, får vi i hver linje koeffisientene fra dekomponeringen av et binomium til et polynom:

Vel, det er enda lettere å huske tegnene: det første er det samme som i det utvidede binomiale (vi legger ut summen - det betyr pluss, forskjellen - det betyr minus), og så veksler tegnene!

Dette er en så nyttig ting - Pascals trekant. Nyt!

Formler eller regler for redusert multiplikasjon brukes i aritmetikk, eller snarere i algebra, for en raskere prosess med å beregne store algebraiske uttrykk. Selve formlene er avledet fra de eksisterende reglene i algebra for multiplikasjon av flere polynomer.

Bruken av disse formlene gir en ganske rask løsning av forskjellige matematiske problemer, og bidrar også til å forenkle uttrykk. Regler algebraiske transformasjoner lar deg utføre noen manipulasjoner med uttrykk, deretter kan du få uttrykket på venstre side av likheten, som er på høyre side, eller transformere høyre side lik (for å få uttrykket på venstre side etter likhetstegnet).

Det er praktisk å kjenne til formlene som brukes for forkortet multiplikasjon med minne, da de ofte brukes til å løse problemer og ligninger. Følgende er hovedformlene inkludert i denne listen, og navnet deres.

sum kvadrat

For å beregne kvadratet av summen, må du finne summen som består av kvadratet av det første leddet, to ganger produktet av det første leddet og det andre, og kvadratet av det andre. I form av et uttrykk er denne regelen skrevet som følger: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Firkanten av forskjellen

For å beregne kvadratet av differansen, må du beregne summen som består av kvadratet av det første tallet, to ganger produktet av det første tallet med det andre (tatt fra motsatt tegn) og kvadratet av det andre tallet. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Forskjell på ruter

Formelen for forskjellen mellom to tall i annen er lik produktet av summen av disse tallene og deres forskjell. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

sum kube

For å beregne kuben av summen av to ledd, er det nødvendig å beregne summen som består av kuben til det første leddet, tredoble produktet av kvadratet av det første leddet og det andre, trippelproduktet av det første leddet og andre kvadrat, og kuben til andre ledd. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Summen av kuber

I henhold til formelen er det lik produktet av summen av disse leddene og deres ufullstendige kvadrat av forskjellen. I form av et uttrykk ser denne regelen slik ut: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Eksempel. Det er nødvendig å beregne volumet av figuren, som er dannet ved å legge til to terninger. Bare størrelsen på sidene deres er kjent.

Hvis verdiene på sidene er små, er det enkelt å utføre beregninger.

Hvis lengdene på sidene er uttrykt i tungvinte tall, er det i dette tilfellet lettere å bruke formelen "Sum of Cubes", noe som i stor grad vil forenkle beregningene.

forskjellskube

Uttrykket for kubikkforskjellen høres slik ut: som summen av tredje potens av første ledd, tredoble det negative produktet av kvadratet av første ledd med det andre, tredoble produktet av første ledd med kvadratet av andre ledd , og den negative kuben til andre ledd. Som matematisk uttrykk forskjellskuben ser slik ut: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Forskjell på kuber

Formelen for forskjellen av terninger skiller seg fra summen av terninger med bare ett tegn. Dermed er forskjellen på kuber en formel, lik produktet forskjellen mellom gitte tall med deres ufullstendige kvadrat av summen. I form av et matematisk uttrykk ser forskjellen mellom kuber slik ut: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Eksempel. Det er nødvendig å beregne volumet av figuren som vil forbli etter å ha trukket fra volumet til den blå kuben volumetrisk figur gul farge, som også er en kube. Bare størrelsen på siden av en liten og stor kube er kjent.

Hvis verdiene på sidene er små, er beregningene ganske enkle. Og hvis lengdene på sidene er uttrykt i betydelige tall, er det verdt å bruke en formel med tittelen "Difference of Cubes" (eller "Difference Cube"), som i stor grad vil forenkle beregningene.

Forkortede uttrykksformler brukes veldig ofte i praksis, så det er lurt å lære dem alle utenat. Inntil dette øyeblikket vil vi tjene trofast, som vi anbefaler å skrive ut og ha foran øynene våre hele tiden:

De fire første formlene fra den kompilerte tabellen med forkortede multiplikasjonsformler lar deg kvadrere og kube summen eller differansen av to uttrykk. Den femte er for kort å multiplisere differansen og summen av to uttrykk. Og den sjette og syvende formelen brukes til å multiplisere summen av to uttrykk a og b med deres ufullstendige kvadrat av forskjellen (slik kalles uttrykket for formen a 2 −a b + b 2) og forskjellen av to uttrykk a og b ved det ufullstendige kvadratet av summen deres (a 2 + a b+b 2 ).

Det er verdt å merke seg separat at hver likhet i tabellen er en identitet. Dette forklarer hvorfor formler for forkortet multiplikasjon også kalles forkortede multiplikasjonsidentiteter.

Når du løser eksempler, spesielt der faktorisering av et polynom finner sted, brukes FSU ofte i form med venstre og høyre del omorganisert:

De tre siste identitetene i tabellen har sine egne navn. Formelen a 2 −b 2 =(a−b) (a+b) kalles formel for forskjell på kvadrater, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - summen av terninger formel, a a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - formel for kubeforskjell. Vær oppmerksom på at vi ikke navnga de tilsvarende formlene med omorganiserte deler fra den forrige FSU-tabellen.

Ytterligere formler

Det skader ikke å legge til noen flere identiteter i tabellen med forkortede multiplikasjonsformler.

Omfang av forkortede multiplikasjonsformler (FSU) og eksempler

Hovedformålet med de forkortede multiplikasjonsformlene (FSU) er forklart med navnet deres, det vil si at det består av en kort multiplikasjon av uttrykk. Imidlertid er omfanget av FSO mye bredere, og er ikke begrenset til kort multiplikasjon. La oss liste opp hovedretningene.

Utvilsomt sentral applikasjon forkortede multiplikasjonsformler funnet ved å utføre identiske transformasjoner av uttrykk. Oftest brukes disse formlene i prosessen uttrykksforenklinger.

Eksempel.

Forenkle uttrykket 9·y−(1+3·y) 2 .

Løsning.

I dette uttrykket kan kvadrering utføres forkortet, har vi 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Det gjenstår bare å åpne parentesene og gi lignende vilkår: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y−1−6 y−9 y 2 =3 y−1−9 y 2.

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige varsler og meldinger.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Offentliggjøring til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettssaker, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
• Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

I forrige leksjon tok vi for oss faktorisering. Vi mestret to metoder: ta den felles faktoren ut av parentes og gruppering. I denne opplæringen, følgende kraftige metode: forkortede multiplikasjonsformler. PÅ forkortelse- FSU.

Forkortede multiplikasjonsformler (kvadrat av sum og forskjell, terning av sum og forskjell, forskjell av kvadrater, sum og forskjell av terninger) er essensielle i alle grener av matematikk. De brukes til å forenkle uttrykk, løse ligninger, multiplisere polynomer, redusere brøker, løse integraler, etc. etc. Kort sagt, det er all grunn til å forholde seg til dem. Forstå hvor de kommer fra, hvorfor de trengs, hvordan du husker dem og hvordan du bruker dem.

Forstår vi?)

Hvor kommer forkortede multiplikasjonsformler fra?

Likhet 6 og 7 er ikke skrevet på en veldig vanlig måte. Som det motsatte. Dette er med vilje.) Enhver likestilling fungerer både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre. I en slik post er det tydeligere hvor FSO kommer fra.

De er hentet fra multiplikasjon.) For eksempel:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Det er det, ingen vitenskapelige triks. Vi multipliserer bare parentesene og gir lignende. Slik blir det alle forkortede multiplikasjonsformler. forkortet multiplikasjon er fordi det i selve formlene ikke er multiplikasjon av parenteser og reduksjon av lignende. Redusert.) Resultatet gis umiddelbart.

FSU trenger å kunne utenat. Uten tre første du kan ikke drømme om en trippel, uten resten - om en firer med en femmer.)

Hvorfor trenger vi forkortede multiplikasjonsformler?

Det er to grunner til å lære, til og med huske, disse formlene. Den første - et ferdig svar på maskinen reduserer antallet feil dramatisk. Men det er ikke det meste hovedårsaken. Og her er den andre...

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.