Even odde funksjon som. Partall og odde funksjoner

Grafer over partalls- og oddetallsfunksjoner har følgende funksjoner:

Hvis en funksjon er partall, er grafen dens symmetrisk om y-aksen. Hvis en funksjon er oddetall, er grafen dens symmetrisk om opprinnelsen.

Eksempel. Plott funksjonen \(y=\venstre|x \høyre|\).

Løsning. Tenk på funksjonen: \(f\venstre(x \høyre)=\venstre|x \høyre|\) og bytt inn \(x \) med det motsatte \(-x \). Som et resultat av enkle transformasjoner får vi: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In med andre ord, hvis du erstatter argumentet med motsatt fortegn, vil ikke funksjonen endres.

Dette betyr at denne funksjonen er jevn, og grafen vil være symmetrisk om y-aksen (vertikal akse). Grafen til denne funksjonen er vist i figuren til venstre. Dette betyr at når du plotter en graf, kan du bare bygge halvparten, og den andre delen (til venstre for den vertikale aksen, tegne allerede symmetrisk til høyre side). Ved å bestemme symmetrien til en funksjon før du begynner å plotte grafen, kan du i stor grad forenkle prosessen med å konstruere eller studere en funksjon. Hvis det er vanskelig å utføre en sjekk i en generell form, kan du gjøre det enklere: bytt ut de samme verdiene av forskjellige tegn i ligningen. For eksempel -5 og 5. Hvis verdiene til funksjonen er de samme, kan vi håpe at funksjonen blir jevn. Fra et matematisk synspunkt er ikke denne tilnærmingen helt riktig, men fra et praktisk synspunkt er den praktisk. For å øke påliteligheten til resultatet, kan du erstatte flere par av slike motsatte verdier.

Eksempel. Plott funksjonen \(y=x\venstre|x \høyre|\).

Løsning. La oss sjekke det samme som i forrige eksempel: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ Dette betyr at den opprinnelige funksjonen er oddetall (tegnet til funksjonen er reversert).

Konklusjon: funksjonen er symmetrisk med hensyn til opprinnelsen. Du kan bygge bare en halvdel, og tegne den andre halvdelen symmetrisk. Denne symmetrien er vanskeligere å tegne. Dette betyr at du ser på diagrammet fra den andre siden av arket, og til og med snudd opp ned. Og du kan også gjøre dette: ta den tegnede delen og roter den rundt origo 180 grader mot klokken.

Eksempel. Plott funksjonen \(y=x^3+x^2\).

Løsning. La oss utføre samme sjekk for tegnskifte som i de to foregående eksemplene. $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ $$f\left( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ Hvilket betyr at funksjonen verken er partall eller oddetall .

Konklusjon: funksjonen er ikke symmetrisk verken om origo eller om sentrum av koordinatsystemet. Dette skjedde fordi det er summen av to funksjoner: partall og oddetall. Den samme situasjonen vil være hvis du trekker fra to forskjellige funksjoner. Men multiplikasjon eller divisjon vil føre til et annet resultat. For eksempel gir produktet av en partall og en oddetall funksjon en oddetall. Eller kvotienten av to odde fører til en partallsfunksjon.

Gjem Vis

Måter å sette en funksjon på

La funksjonen gis av formelen: y=2x^(2)-3 . Ved å tilordne en hvilken som helst verdi til den uavhengige variabelen x, kan du bruke denne formelen til å beregne de tilsvarende verdiene til den avhengige variabelen y. For eksempel, hvis x=-0,5 , og ved å bruke formelen, får vi at den tilsvarende verdien av y er y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Gitt en hvilken som helst verdi tatt av x-argumentet i formelen y=2x^(2)-3, kan bare én funksjonsverdi beregnes som tilsvarer den. Funksjonen kan representeres som en tabell:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Ved å bruke denne tabellen kan du finne ut at for verdien av argumentet -1 vil verdien av funksjonen -3 samsvare; og verdien x=2 vil tilsvare y=0, og så videre. Det er også viktig å vite at hver argumentverdi i tabellen tilsvarer kun én funksjonsverdi.

Flere funksjoner kan stilles inn ved hjelp av grafer. Ved hjelp av grafen fastslås hvilken verdi av funksjonen som korrelerer med en viss verdi på x. Oftest vil dette være en omtrentlig verdi av funksjonen.

Jevn og oddetall funksjon

Funksjonen er jevn funksjon, når f(-x)=f(x) for en hvilken som helst x fra domenet. En slik funksjon vil være symmetrisk om Oy-aksen.

Funksjonen er merkelig funksjon når f(-x)=-f(x) for en hvilken som helst x i domenet. En slik funksjon vil være symmetrisk om origo O (0;0) .

Funksjonen er ikke engang, heller ikke merkelig og ringte generell funksjon når den ikke har symmetri om aksen eller origo.

Vi undersøker følgende funksjon for paritet:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) med et symmetrisk definisjonsdomene om opprinnelsen. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Derfor er funksjonen f(x)=3x^(3)-7x^(7) oddetall.

Periodisk funksjon

Funksjonen y=f(x) , i det domenet f(x+T)=f(x-T)=f(x) er sann for enhver x, kalles periodisk funksjon med periode T \neq 0 .

Repetisjon av grafen til funksjonen på et hvilket som helst segment av abscisseaksen, som har lengde T .

Intervaller hvor funksjonen er positiv, det vil si f (x) > 0 - segmenter av abscisseaksen, som tilsvarer punktene i grafen til funksjonen som ligger over abscisseaksen.

f(x) > 0 på (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Mellomrom der funksjonen er negativ, dvs. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Funksjonsbegrensning

avgrenset nedenfra det er vanlig å kalle en funksjon y=f(x), x \i X når det finnes et tall A som ulikheten f(x) \geq A gjelder for enhver x \in X .

Et eksempel på en funksjon avgrenset nedenfor: y=\sqrt(1+x^(2)) siden y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 for enhver x .

avgrenset ovenfra en funksjon y=f(x), x \in X kalles hvis det finnes et tall B som ulikheten f(x) \neq B gjelder for enhver x \in X .

Et eksempel på en funksjon avgrenset nedenfor: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] siden y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 for enhver x \i [-1;1] .

Begrenset det er vanlig å kalle en funksjon y=f(x), x \i X når det finnes et tall K > 0 hvor ulikheten \left | f(x) \høyre | \neq K for enhver x \i X .

Eksempel på en avgrenset funksjon: y=\sin x er avgrenset på hele tallinjen fordi \venstre | \sin x \right | \nev 1.

Økende og redusere funksjon

Det er vanlig å snakke om en funksjon som øker på intervallet som vurderes som økende funksjon når en større verdi av x vil tilsvare en større verdi av funksjonen y=f(x) . Herfra viser det seg at tatt fra det betraktede intervallet to vilkårlige verdier av argumentet x_(1) og x_(2) , og x_(1) > x_(2) , vil det være y(x_(1)) > y(x_(2)) .

En funksjon som avtar på det aktuelle intervallet kalles reduserende funksjon når en større verdi av x vil tilsvare en mindre verdi av funksjonen y(x) . Herfra viser det seg at tatt fra det betraktede intervallet to vilkårlige verdier av argumentet x_(1) og x_(2) , og x_(1) > x_(2) , vil det være y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funksjonsrøtter det er vanlig å navngi punktene der funksjonen F=y(x) skjærer abscisseaksen (de oppnås som et resultat av å løse ligningen y(x)=0 ).

a) Hvis en jevn funksjon øker for x > 0, reduseres den for x< 0

b) Når en jevn funksjon reduseres for x > 0, øker den for x< 0

c) Når en oddetallsfunksjon øker for x > 0, så øker den også for x< 0

d) Når en oddetallsfunksjon reduseres for x > 0, vil den også reduseres for x< 0

Funksjon ekstremer

Funksjons minimumspunkt y=f(x) er det vanlig å kalle et slikt punkt x=x_(0) , der dets nabolag vil ha andre punkter (bortsett fra punktet x=x_(0) ), og for dem da ulikheten f( x) > f (x_(0)) . y_(min) - betegnelse av funksjonen i punktet min.

Funksjon maksimumspunkt y=f(x) er det vanlig å kalle et slikt punkt x=x_(0) , der dets nabolag vil ha andre punkter (bortsett fra punktet x=x_(0) ), og deretter ulikheten f(x) vil være fornøyd for dem< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Nødvendig tilstand

I følge Fermats teorem: f"(x)=0, vil da funksjonen f(x) , som er differensierbar ved punktet x_(0) , vises et ekstremum på dette punktet.

Tilstrekkelig tilstand

1. Når tegnet på den deriverte endres fra pluss til minus, vil x_(0) være minimumspunktet;
2. x_(0) - vil være et maksimumspunkt bare når den deriverte endrer fortegn fra minus til pluss når den passerer gjennom det stasjonære punktet x_(0) .

Den største og minste verdien av funksjonen på intervallet

Beregningstrinn:

1. Ser etter derivat f"(x) ;
2. Stasjonære og kritiske punkter av funksjonen blir funnet og de som hører til intervallet velges;
3. Verdiene til funksjonen f(x) finnes ved de stasjonære og kritiske punktene og endene av segmentet. Det minste av resultatene vil være den minste verdien av funksjonen, og mer - størst.

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisningen er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke hele omfanget av presentasjonen. Hvis du er interessert i dette arbeidet, last ned fullversjonen.

Mål:

• å danne begrepet partalls- og oddetallsfunksjoner, lære evnen til å bestemme og bruke disse egenskapene i studiet av funksjoner, plotting;
• å utvikle den kreative aktiviteten til studenter, logisk tenkning, evnen til å sammenligne, generalisere;
• å dyrke flid, matematisk kultur; utvikle kommunikasjonsevner .

Utstyr: multimediainstallasjon, interaktiv tavle, utdelinger.

Arbeidsformer: frontal og gruppe med innslag av søke- og forskningsaktiviteter.

Informasjonskilder:

1. Algebra klasse 9 A.G. Mordkovich. Lærebok.
2. Algebra klasse 9 A.G. Mordkovich. Oppgavebok.
3. Algebra klasse 9. Oppgaver for læring og utvikling av elever. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

UNDER KLASSENE

1. Organisatorisk øyeblikk

Sette mål og mål for leksjonen.

2. Sjekker lekser

nr. 10.17 (Oppgavebok 9. klasse A.G. Mordkovich).

en) på = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 for X ~ 0,4
4. f(X) >0 kl X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funksjonen øker med X € [– 2; + ∞)
6. Funksjonen er begrenset nedenfra.
7. på leie = - 3, på naib eksisterer ikke
8. Funksjonen er kontinuerlig.

(Brukte du funksjonsutforskningsalgoritmen?) Lysbilde.

2. La oss sjekke tabellen du ble spurt om på lysbildet.

Fyll bordet
	Domene	Funksjonsnuller	Konstansintervaller		Koordinater for skjæringspunktene til grafen med Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Kunnskapsoppdatering

– Funksjoner er gitt.
– Spesifiser definisjonsdomenet for hver funksjon.
– Sammenlign verdien av hver funksjon for hvert par av argumentverdier: 1 og – 1; 2 og - 2.
– For hvilke av de gitte funksjonene i definisjonsdomenet er likhetene f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (legg inn dataene i tabellen) Lysbilde

		f(1) og f(– 1)	f(2) og f(– 2)	diagrammer	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		og ikke definert.

4. Nytt materiale

- Mens vi gjør dette arbeidet, folkens, har vi avslørt en egenskap til ved funksjonen, ukjent for dere, men ikke mindre viktig enn de andre - dette er jevnheten og merkeligheten til funksjonen. Skriv ned emnet for leksjonen: "Partall og oddetallsfunksjoner", vår oppgave er å lære å bestemme partalls- og oddetallsfunksjonene, finne ut betydningen av denne egenskapen i studiet av funksjoner og plotting.
Så, la oss finne definisjonene i læreboken og lese (s. 110) . Lysbilde

Def. en Funksjon på = f (X) definert på settet X kalles til og med, hvis for noen verdi XЄ X pågår likhet f (–x) = f (x). Gi eksempler.

Def. 2 Funksjon y = f(x), definert på settet X kalles merkelig, hvis for noen verdi XЄ X likheten f(–х)= –f(х) er tilfredsstilt. Gi eksempler.

Hvor møtte vi begrepene "jevn" og "oddetall"?
Hvilken av disse funksjonene vil være jevn, tror du? Hvorfor? Hvilke er rare? Hvorfor?
For enhver funksjon i skjemaet på= x n, hvor n er et heltall, kan det hevdes at funksjonen er oddetall for n er oddetall og funksjonen er partall for n- til og med.
– Se funksjoner på= og på = 2X– 3 er verken partall eller oddetall, fordi likestilling er ikke oppfylt f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiet av spørsmålet om en funksjon er partall eller oddetall kalles studiet av en funksjon for paritet. Lysbilde

Definisjon 1 og 2 omhandlet verdiene til funksjonen ved x og -x, derfor antas det at funksjonen også er definert ved verdien X, og på - X.

ODA 3. Hvis et tallsett sammen med hvert av dets elementer x inneholder det motsatte elementet x, så er settet X kalles et symmetrisk sett.

Eksempler:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) er symmetriske sett, og , [–5;4] er ikke-symmetriske.

- Har jevne funksjoner et definisjonsdomene - et symmetrisk sett? De rare?
- Hvis D( f) er et asymmetrisk sett, hva er så funksjonen?
– Altså hvis funksjonen på = f(X) er partall eller oddetall, så er definisjonsdomenet D( f) er et symmetrisk sett. Men er det motsatte sant, hvis domenet til en funksjon er et symmetrisk sett, så er det partall eller oddetall?
- Så tilstedeværelsen av et symmetrisk sett av definisjonsdomenet er en nødvendig betingelse, men ikke tilstrekkelig.
– Så hvordan kan vi undersøke funksjonen for paritet? La oss prøve å skrive en algoritme.

Lysbilde

Algoritme for å undersøke en funksjon for paritet

1. Bestem om domenet til funksjonen er symmetrisk. Hvis ikke, er funksjonen verken partall eller oddetall. Hvis ja, gå til trinn 2 i algoritmen.

2. Skriv et uttrykk for f(–X).

3. Sammenlign f(–X).og f(X):

• hvis f(–X).= f(X), så er funksjonen partall;
• hvis f(–X).= – f(X), så er funksjonen oddetall;
• hvis f(–X) ≠ f(X) og f(–X) ≠ –f(X), så er funksjonen verken partall eller oddetall.

Eksempler:

Undersøk funksjonen for paritet a) på= x 5 +; b) på= ; i) på= .

Løsning.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symmetrisk sett.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funksjon h(x)= x 5 + oddetall.

b) y =,

på = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymmetrisk sett, så funksjonen er verken partall eller oddetall.

i) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Alternativ 2

1. Er den gitte mengden symmetrisk: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

en); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Undersøk funksjonen for paritet:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. I fig. plottet på = f(X), for alle X, som tilfredsstiller betingelsen X? 0.
Plott funksjonen på = f(X), hvis på = f(X) er en jevn funksjon.

3. I fig. plottet på = f(X), for alle x som tilfredsstiller x? 0.
Plott funksjonen på = f(X), hvis på = f(X) er en merkelig funksjon.

Gjensidig sjekk på lysbilde.

6. Lekser: №11.11, 11.21,11.22;

Bevis for den geometriske betydningen av paritetsegenskapen.

*** (Tildeling av USE-alternativet).

1. Oddefunksjonen y \u003d f (x) er definert på hele den reelle linjen. For enhver ikke-negativ verdi av variabelen x, faller verdien av denne funksjonen sammen med verdien av funksjonen g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Finn verdien av funksjonen h( X) = kl X = 3.

7. Oppsummering

Partall og oddetallsfunksjoner er en av hovedegenskapene, og paritet opptar en imponerende del av skolekurset i matematikk. Det bestemmer i stor grad arten av funksjonen til funksjonen og letter i stor grad konstruksjonen av den tilsvarende grafen.

La oss definere pariteten til funksjonen. Generelt sett vurderes funksjonen som studeres selv om for motsatte verdier av den uavhengige variabelen (x) som ligger i domenet, de tilsvarende verdiene til y (funksjon) er like.

La oss gi en mer streng definisjon. Tenk på en funksjon f (x), som er definert i domenet D. Det vil være selv om for et hvilket som helst punkt x plassert i definisjonsdomenet:

• -x (motsatt prikk) ligger også i det gitte omfanget,

• f(-x) = f(x).

Fra definisjonen ovenfor følger betingelsen som er nødvendig for definisjonsdomenet til en slik funksjon, nemlig symmetri med hensyn til punktet O, som er opprinnelsen til koordinatene, siden hvis et punkt b er inneholdt i definisjonsdomenet til en jevn funksjon, så ligger det tilsvarende punktet - b også i dette domenet. Av det foregående følger derfor konklusjonen: en jevn funksjon har en form som er symmetrisk i forhold til ordinataksen (Oy).

Hvordan bestemme pariteten til en funksjon i praksis?

La det gis ved hjelp av formelen h(x)=11^x+11^(-x). Etter algoritmen som følger direkte av definisjonen, studerer vi først og fremst dens definisjonsdomene. Det er åpenbart definert for alle verdiene av argumentet, det vil si at den første betingelsen er oppfylt.

Det neste trinnet er å erstatte argumentet (x) med dets motsatte verdi (-x).
Vi får:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Siden addisjon tilfredsstiller den kommutative (forskyvnings)loven, er det åpenbart at h(-x) = h(x) og den gitte funksjonelle avhengigheten er jevn.

La oss sjekke jevnheten til funksjonen h(x)=11^x-11^(-x). Etter samme algoritme får vi h(-x) = 11^(-x) -11^x. Å ta ut minus, som et resultat, har vi
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Derfor er h(x) oddetall.

Det skal forresten huskes at det er funksjoner som ikke kan klassifiseres i henhold til disse kriteriene, de kalles verken partall eller oddetall.

Selv funksjoner har en rekke interessante egenskaper:

• som et resultat av tillegg av lignende funksjoner oppnås en jevn;
• som et resultat av å trekke fra slike funksjoner, oppnås en jevn en;
• jevn, også jevn;
• som et resultat av å multiplisere to slike funksjoner, oppnås en partall;
• som et resultat av multiplikasjon av oddetalls- og partallsfunksjoner, oppnås en oddetall;
• som et resultat av å dele de odde og partallsfunksjonene, oppnås en oddetall;
• den deriverte av en slik funksjon er oddetall;
• Hvis vi kvadrerer en oddetallsfunksjon, får vi en partall.

Pariteten til en funksjon kan brukes til å løse ligninger.

For å løse en ligning som g(x) = 0, hvor venstre side av ligningen er en jevn funksjon, vil det være nok å finne løsningen for ikke-negative verdier av variabelen. De oppnådde røttene til ligningen må kombineres med motsatte tall. En av dem er gjenstand for verifisering.

Det samme brukes med hell til å løse ikke-standard problemer med en parameter.

Er det for eksempel noen verdi for parameteren a som vil få ligningen 2x^6-x^4-ax^2=1 til å ha tre røtter?

Hvis vi tar med i betraktningen at variabelen kommer inn i ligningen i like potenser, så er det klart at å erstatte x med -x ikke vil endre den gitte ligningen. Det følger at hvis et visst tall er roten, så er det motsatte tallet det også. Konklusjonen er åpenbar: røttene til ligningen, annet enn null, er inkludert i settet med løsningene i "par".

Det er klart at tallet 0 i seg selv ikke er det, det vil si at antallet røtter til en slik ligning bare kan være partall, og naturligvis kan det ikke ha tre røtter for enhver verdi av parameteren.

Men antallet røtter til ligningen 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 kan være oddetall, og for en hvilken som helst verdi av parameteren. Det er faktisk lett å sjekke at settet med røtter til en gitt ligning inneholder løsninger i "par". La oss sjekke om 0 er en rot. Når vi erstatter det i ligningen, får vi 2=2. Derfor, i tillegg til "paret" er 0 også en rot, som beviser deres oddetall.

Funksjonsforskning.

1) D(y) - Definisjonsdomene: settet med alle disse verdiene til variabelen x. der de algebraiske uttrykkene f(x) og g(x) gir mening.

Hvis funksjonen er gitt av en formel, består definisjonsdomenet av alle verdiene til den uavhengige variabelen som formelen gir mening for.

2) Funksjonsegenskaper: partall/oddetall, periodisitet:

merkelig og til og med kalles funksjoner hvis grafer er symmetriske med hensyn til endringen i argumentets fortegn.

merkelig funksjon- en funksjon som endrer verdien til det motsatte når tegnet til den uavhengige variabelen endres (symmetrisk om sentrum av koordinatene).

Jevn funksjon- en funksjon som ikke endrer sin verdi når tegnet til den uavhengige variabelen endres (symmetrisk om y-aksen).

Verken partall eller oddetall funksjon (generell funksjon) er en funksjon som ikke har symmetri. Denne kategorien inkluderer funksjoner som ikke faller inn under de to foregående kategoriene.

Funksjoner som ikke tilhører noen av kategoriene ovenfor kalles verken partall eller rart(eller generiske funksjoner).

Merkelige funksjoner

En oddetall hvor er et vilkårlig heltall.

Til og med funksjoner

En jevn potens hvor er et vilkårlig heltall.

Periodisk funksjon er en funksjon som gjentar verdiene sine ved et eller annet regelmessig intervall av argumentet, dvs. ikke endrer verdien når et fast tall som ikke er null legges til argumentet ( periode funksjoner) over hele definisjonsdomenet.

3) Nuller (røtter) til en funksjon er punktene der den forsvinner.

Finne skjæringspunktet for grafen med aksen Oy. For å gjøre dette må du beregne verdien f(0). Finn også skjæringspunktene til grafen med aksen Okse, hvorfor finne røttene til ligningen f(x) = 0 (eller sørg for at det ikke er røtter).

Punktene der grafen skjærer aksen kalles funksjonsnuller. For å finne nullpunktene til funksjonen må du løse ligningen, det vil si finne disse x-verdiene, som funksjonen forsvinner for.

4) Intervaller for konstans av tegn, tegn i dem.

Intervaller hvor funksjonen f(x) beholder fortegn.

Konstansintervallet er intervallet på hvert punkt der funksjonen er positiv eller negativ.

OVER x-aksen.

UNDER aksen.

5) Kontinuitet (punkter for diskontinuitet, karakter av diskontinuitet, asymptoter).

kontinuerlig funksjon- en funksjon uten "hopp", det vil si en der små endringer i argumentet fører til små endringer i funksjonens verdi.

Avtakbare bruddpunkter

Hvis grensen for funksjonen finnes, men funksjonen er ikke definert på dette tidspunktet, eller grensen samsvarer ikke med verdien av funksjonen på dette tidspunktet:

,

så kalles punktet bruddpunkt funksjoner (i kompleks analyse, et flyttbart entallspunkt).

Hvis vi "korrigerer" funksjonen på punktet av en flyttbar diskontinuitet og sette , så får vi en funksjon som er kontinuerlig på dette punktet. En slik operasjon på en funksjon kalles utvide funksjonen til kontinuerlig eller utvidelse av funksjonen ved kontinuitet, som rettferdiggjør navnet på punktet, som poeng engangs mellomrom.

Diskontinuitetspunkter av den første og andre typen

Hvis funksjonen har en diskontinuitet på et gitt punkt (det vil si at grensen for funksjonen på et gitt punkt er fraværende eller ikke sammenfaller med verdien av funksjonen på et gitt punkt), så er det for numeriske funksjoner to mulige alternativer relatert til eksistensen av numeriske funksjoner ensidige grenser:

hvis begge ensidige grenser eksisterer og er endelige, kalles et slikt punkt bruddpunkt av den første typen. Fjernbare diskontinuitetspunkter er diskontinuitetspunkter av den første typen;

hvis minst en av de ensidige grensene ikke eksisterer eller ikke er en endelig verdi, kalles et slikt punkt bruddpunkt av den andre typen.

Asymptote - rett, som har egenskapen at avstanden fra et punkt på kurven til dette rett har en tendens til null når punktet beveger seg langs grenen til det uendelige.

vertikal

Vertikal asymptote - grenselinje .

Som regel, når de bestemmer den vertikale asymptoten, ser de ikke etter en grense, men to ensidige (venstre og høyre). Dette gjøres for å bestemme hvordan funksjonen oppfører seg når den nærmer seg den vertikale asymptoten fra forskjellige retninger. For eksempel:

Horisontal

Horisontal asymptote - rett arter, underlagt eksistensen grense

.

skrå

Skrå asymptote - rett arter, underlagt eksistensen grenser

Merk: En funksjon kan ikke ha mer enn to skrå (horisontale) asymptoter.

Merk: hvis minst en av de to grensene nevnt ovenfor ikke eksisterer (eller er lik ), så eksisterer ikke den skrå asymptoten ved (eller ).

hvis i element 2.), så , og grensen er funnet av den horisontale asymptoteformelen, .

6) Finne intervaller for monotonitet. Finn monotonisitetsintervaller for en funksjon f(x) (det vil si intervaller for økning og reduksjon). Dette gjøres ved å undersøke tegnet til den deriverte f(x). For å gjøre dette, finn den deriverte f(x) og løse ulikheten f(x)0. På intervallene hvor denne ulikheten er tilfredsstilt, funksjonen f(x) øker. Der den omvendte ulikheten holder f(x)0, funksjon f(x) reduseres.

Finne et lokalt ekstremum. Etter å ha funnet intervallene for monotonisitet, kan vi umiddelbart bestemme punktene til et lokalt ekstremum der økningen erstattes med en reduksjon, det er lokale maksima, og hvor reduksjonen erstattes med en økning, lokale minima. Regn ut verdien av funksjonen på disse punktene. Hvis en funksjon har kritiske punkter som ikke er lokale ekstremumpunkter, er det nyttig å beregne verdien av funksjonen på disse punktene også.

Finne de største og minste verdiene av funksjonen y = f(x) på et segment(fortsettelse)

1. Finn den deriverte av en funksjon: f(x). 2. Finn punkter der den deriverte er null: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Bestem eierskapet til poeng X 1 ,X 2 , … segmentet [ en; b]: la x 1en;b, a x 2en;b .