I denne videoen skal vi ta en titt på hele settet. lineære ligninger, som løses av samme algoritme - det er derfor de kalles de enkleste.

Til å begynne med, la oss definere: hva er en lineær ligning og hvilken av dem skal kalles den enkleste?

En lineær ligning er en der det bare er én variabel, og bare i første grad.

Den enkleste ligningen betyr konstruksjonen:

Alle andre lineære ligninger reduseres til de enkleste ved hjelp av algoritmen:

1. Åpne parentes, hvis noen;
2. Flytt termer som inneholder en variabel til den ene siden av likhetstegnet, og termer uten variabel til den andre;
3. Lede som vilkår til venstre og høyre for likhetstegnet;
4. Del den resulterende ligningen med koeffisienten til variabelen $x$ .

Selvfølgelig hjelper ikke denne algoritmen alltid. Faktum er at noen ganger, etter alle disse manipulasjonene, viser seg at koeffisienten til variabelen $x$ er lik null. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

1. Ligningen har ingen løsninger i det hele tatt. For eksempel, når du får noe som $0\cdot x=8$, dvs. til venstre er null, og til høyre er et tall som ikke er null. I videoen nedenfor skal vi se på flere årsaker til at denne situasjonen er mulig.
2. Løsningen er alle tall. Det eneste tilfellet når dette er mulig er når ligningen er redusert til konstruksjonen $0\cdot x=0$. Det er ganske logisk at uansett hvilken $x$ vi erstatter, vil det fortsatt vise seg "null er lik null", dvs. riktig numerisk likhet.

Og la oss nå se hvordan det hele fungerer på eksemplet med virkelige problemer.

Eksempler på løsning av ligninger

I dag tar vi for oss lineære ligninger, og bare de enkleste. Generelt betyr en lineær ligning enhver likhet som inneholder nøyaktig én variabel, og den går bare til første grad.

Slike konstruksjoner løses på omtrent samme måte:

1. Først av alt må du åpne brakettene, hvis noen (som i vår siste eksempel);
2. Ta så med lignende
3. Til slutt isolerer du variabelen, dvs. alt som er forbundet med variabelen - begrepene den er inneholdt i - overføres til den ene siden, og alt som forblir uten den overføres til den andre siden.

Deretter må du som regel bringe lignende på hver side av den resulterende likheten, og etter det gjenstår det bare å dele med koeffisienten ved "x", og vi vil få det endelige svaret.

I teorien ser dette pent og enkelt ut, men i praksis kan selv erfarne videregående elever gjøre støtende feil i ganske enkle lineære ligninger. Vanligvis gjøres feil enten når man åpner parenteser, eller når man teller "pluss" og "minus".

I tillegg hender det at en lineær ligning ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller slik at løsningen er hele tallinjen, dvs. hvilket som helst tall. Vi vil analysere disse finessene i dagens leksjon. Men vi starter, som du allerede har forstått, med det meste enkle oppgaver.

Opplegg for å løse enkle lineære ligninger

Til å begynne med, la meg igjen skrive hele skjemaet for å løse de enkleste lineære ligningene:

1. Utvid eventuelt parentesene.
2. Utelukke variabler, dvs. alt som inneholder "x" overføres til den ene siden, og uten "x" - til den andre.
3. Vi presenterer lignende termer.
4. Vi deler alt med koeffisienten ved "x".

Selvfølgelig fungerer ikke denne ordningen alltid, den har visse finesser og triks, og nå skal vi bli kjent med dem.

Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

Oppgave 1

I det første trinnet er vi pålagt å åpne brakettene. Men de er ikke i dette eksemplet, så vi hopper over dette trinnet. I det andre trinnet må vi isolere variablene. Merk: vi snakker bare om individuelle vilkår. La oss skrive:

Vi gir lignende vilkår til venstre og høyre, men dette er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trinnet: del med en faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Her fikk vi svaret.

Oppgave #2

I denne oppgaven kan vi observere parentesene, så la oss utvide dem:

Både til venstre og til høyre ser vi omtrent samme konstruksjon, men la oss handle etter algoritmen, dvs. sequester variabler:

Her er noen som:

Ved hvilke røtter fungerer dette? Svar: for enhver. Derfor kan vi skrive at $x$ er et hvilket som helst tall.

Oppgave #3

Den tredje lineære ligningen er allerede mer interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det er noen få parenteser her, men de multipliseres ikke med noe, de står bare foran dem ulike tegn. La oss bryte dem ned:

Vi utfører det andre trinnet som allerede er kjent for oss:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

La oss regne ut:

Vi utfører det siste trinnet - vi deler alt med koeffisienten ved "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting å huske på når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for enkle oppgaver, vil jeg gjerne si følgende:

• Som jeg sa ovenfor, har ikke alle lineære ligninger en løsning - noen ganger er det rett og slett ingen røtter;
• Selv om det er røtter, kan null komme inn blant dem - det er ikke noe galt med det.

Null er det samme tallet som resten, du bør ikke på en eller annen måte diskriminere det eller anta at hvis du får null, så har du gjort noe galt.

En annen funksjon er knyttet til utvidelse av parenteser. Vennligst merk: når det er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes endrer vi skiltene til motsatte. Og så kan vi åpne den i henhold til standardalgoritmer: vi får det vi så i beregningene ovenfor.

Forstår dette enkelt faktum vil holde deg fra å gjøre dumme og sårende feil på videregående når det blir tatt for gitt å gjøre slike ting.

Løse komplekse lineære ligninger

La oss gå videre til mer komplekse ligninger. Nå vil konstruksjonene bli mer kompliserte og en kvadratisk funksjon vil dukke opp når man utfører ulike transformasjoner. Du bør imidlertid ikke være redd for dette, for hvis vi i henhold til forfatterens intensjoner løser en lineær ligning, vil nødvendigvis alle monomialer som inneholder en kvadratisk funksjon reduseres i prosessen med transformasjon.

Eksempel #1

Det første trinnet er selvsagt å åpne brakettene. La oss gjøre dette veldig nøye:

La oss nå ta personvernet:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er noen som:

Denne ligningen har åpenbart ingen løsninger, så i svaret skriver vi som følger:

\[\variasjon \]

eller ingen røtter.

Eksempel #2

Vi utfører de samme trinnene. Første skritt:

La oss flytte alt med en variabel til venstre, og uten den - til høyre:

Her er noen som:

Denne lineære ligningen har åpenbart ingen løsning, så vi skriver det slik:

\[\varnothing\],

eller ingen røtter.

Nyanser av løsningen

Begge ligningene er fullstendig løst. På eksemplet med disse to uttrykkene sørget vi nok en gang for at selv i de enkleste lineære ligningene, kan alt ikke være så enkelt: det kan være enten en, eller ingen, eller uendelig mange. I vårt tilfelle vurderte vi to ligninger, i begge er det rett og slett ingen røtter.

Men jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten din til et annet faktum: hvordan du jobber med parenteser og hvordan du utvider dem hvis det er et minustegn foran dem. Tenk på dette uttrykket:

Før du åpner, må du multiplisere alt med "x". Vennligst merk: multiplisere hvert enkelt semester. Inne er det to ledd - henholdsvis to ledd og multipliseres.

Og først etter at disse tilsynelatende elementære, men svært viktige og farlige transformasjonene er fullført, kan braketten åpnes fra det synspunkt at det er et minustegn etter den. Ja, ja: først nå, når transformasjonene er gjort, husker vi at det er et minustegn foran parentesene, som betyr at alt under bare skifter fortegn. Samtidig forsvinner selve brakettene, og viktigst av alt forsvinner også den fremre "minusen".

Vi gjør det samme med den andre ligningen:

Det er ingen tilfeldighet at jeg legger merke til disse små, tilsynelatende ubetydelige fakta. Fordi å løse ligninger er alltid en sekvens elementære transformasjoner hvor manglende evne til å klart og kompetent utføre enkle trinn fører til at elever på videregående kommer til meg og lærer å løse slike enkle ligninger igjen.

Selvfølgelig vil dagen komme da du vil finpusse disse ferdighetene til automatisme. Du trenger ikke lenger utføre så mange transformasjoner hver gang, du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, må du skrive hver handling separat.

Løse enda mer komplekse lineære ligninger

Det vi skal løse nå kan neppe kalles den enkleste oppgaven, men meningen forblir den samme.

Oppgave 1

\[\venstre(7x+1 \høyre)\venstre(3x-1 \høyre)-21((x)^(2))=3\]

La oss multiplisere alle elementene i den første delen:

La oss ta en retrett:

Her er noen som:

La oss gjøre det siste trinnet:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vårt endelige svar. Og til tross for at vi i prosessen med å løse hadde koeffisienter med en kvadratisk funksjon, ble de gjensidig utlignet, noe som gjør ligningen nøyaktig lineær, ikke kvadratisk.

Oppgave #2

\[\venstre(1-4x \høyre)\venstre(1-3x \høyre)=6x\venstre(2x-1 \høyre)\]

La oss gjøre det første trinnet nøye: multipliser hvert element i den første parentesen med hvert element i den andre. Totalt bør fire nye termer oppnås etter transformasjoner:

Og utfør nå multiplikasjonen nøye i hvert ledd:

La oss flytte begrepene med "x" til venstre, og uten - til høyre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende termer:

Vi har fått et definitivt svar.

Nyanser av løsningen

Den viktigste bemerkningen om disse to ligningene er denne: så snart vi begynner å multiplisere parenteser der det er mer enn et ledd, så gjøres dette i henhold til følgende regel: vi tar det første leddet fra det første og multipliserer med hvert element fra den andre; så tar vi det andre elementet fra det første og multipliserer på samme måte med hvert element fra det andre. Som et resultat får vi fire terminer.

På den algebraiske summen

I det siste eksemplet vil jeg minne elevene på hva som er algebraisk sum. I klassisk matematikk mener vi med $1-7$ en enkel konstruksjon: vi trekker sju fra én. I algebra mener vi med dette følgende: til tallet "én" legger vi til et annet tall, nemlig "minus syv." Denne algebraiske summen skiller seg fra den vanlige aritmetiske summen.

Så snart når du utfører alle transformasjonene, hver addisjon og multiplikasjon, begynner du å se konstruksjoner som ligner på de som er beskrevet ovenfor, du vil rett og slett ikke ha noen problemer i algebra når du arbeider med polynomer og ligninger.

Avslutningsvis, la oss se på et par flere eksempler som vil være enda mer komplekse enn de vi nettopp så på, og for å løse dem må vi utvide standardalgoritmen vår litt.

Løse ligninger med en brøk

For å løse slike oppgaver, må ett trinn til legges til algoritmen vår. Men først vil jeg minne om algoritmen vår:

1. Åpne parenteser.
2. Separate variabler.
3. Ta med lignende.
4. Del med en faktor.

Akk, denne fantastiske algoritmen, på tross av all dens effektivitet, er ikke helt passende når vi har brøker foran oss. Og i det vi skal se nedenfor, har vi en brøk til venstre og høyre i begge ligningene.

Hvordan jobbe i dette tilfellet? Ja, det er veldig enkelt! For å gjøre dette må du legge til ett trinn til i algoritmen, som kan utføres både før den første handlingen og etter den, nemlig å bli kvitt brøker. Algoritmen vil derfor være som følger:

1. Bli kvitt brøker.
2. Åpne parenteser.
3. Separate variabler.
4. Ta med lignende.
5. Del med en faktor.

Hva vil det si å "bli kvitt brøker"? Og hvorfor er det mulig å gjøre dette både etter og før det første standardtrinn? Faktisk, i vårt tilfelle er alle brøker numeriske når det gjelder nevneren, dvs. overalt er nevneren bare et tall. Derfor, hvis vi multipliserer begge deler av ligningen med dette tallet, vil vi bli kvitt brøker.

Eksempel #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

La oss bli kvitt brøkene i denne ligningen:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot fire\]

Vennligst merk: alt multipliseres med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser betyr det ikke at du må gange hver av dem med "fire". La oss skrive:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

La oss nå åpne den:

Vi utfører isolering av en variabel:

Vi gjennomfører reduksjonen av lignende vilkår:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi fikk siste avgjørelse, går vi over til den andre ligningen.

Eksempel #2

\[\frac(\venstre(1-x \høyre)\venstre(1+5x \høyre))(5)+((x)^(2))=1\]

Her utfører vi alle de samme handlingene:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problem løst.

Det er faktisk alt jeg ønsket å fortelle i dag.

Viktige punkter

De viktigste funnene er som følger:

• Kjenne til algoritmen for å løse lineære ligninger.
• Evne til å åpne parentes.
• Ikke bekymre deg hvis du har et sted kvadratiske funksjoner, mest sannsynlig, i ferd med ytterligere transformasjoner, vil de bli redusert.
• Røttene i lineære ligninger, selv de enkleste, er av tre typer: én enkelt rot, hele tallinjen er en rot, det er ingen røtter i det hele tatt.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å mestre et enkelt, men veldig viktig emne for videre forståelse av all matematikk. Hvis noe ikke er klart, gå til nettstedet, løs eksemplene som presenteres der. Følg med, det er mange flere interessante ting som venter på deg!

Med dette matematiske programmet kan du løse et system med to lineære ligninger med to variabel metode substitusjons- og addisjonsmetode.

Programmet gir ikke bare svaret på problemet, men leder også detaljert løsning med forklaringer av løsningstrinnene på to måter: substitusjonsmetoden og addisjonsmetoden.

Dette programmet kan være nyttig for elever på videregående skole som forberedelse til kontrollarbeid og eksamener, når du tester kunnskap før eksamen, foreldre til å kontrollere løsningen av mange problemer i matematikk og algebra. Eller kanskje det er for dyrt for deg å ansette en veileder eller kjøpe nye lærebøker? Eller vil du bare få det gjort så fort som mulig? hjemmelekser matte eller algebra? I dette tilfellet kan du også bruke våre programmer med en detaljert løsning.

Dermed kan du gjennomføre din egen trening og/eller trene deres yngre brødre eller søstre, mens utdanningsnivået på oppgavefeltet som løses øker.

Regler for å legge inn ligninger

Enhver latinsk bokstav kan fungere som en variabel.
For eksempel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) osv.

Når du legger inn ligninger du kan bruke parentes. I dette tilfellet blir likningene først forenklet. Ligningene etter forenklinger skal være lineære, dvs. av formen ax+by+c=0 med nøyaktigheten av rekkefølgen til elementene.
For eksempel: 6x+1 = 5(x+y)+2

I ligninger kan du bruke ikke bare heltall, men også brøktall som desimal- og vanlige brøker.

Regler for inntasting av desimalbrøker.
Heltall og brøkdel desimalbrøker kan skilles med enten et punktum eller et komma.
For eksempel: 2,1n + 3,5m = 55

Regler for inntasting av vanlige brøker.
Bare et helt tall kan fungere som teller, nevner og heltallsdel av en brøk.
Nevneren kan ikke være negativ.
Når du kommer inn numerisk brøk Telleren er atskilt fra nevneren med et divisjonstegn: /
hele delen atskilt fra brøken med et og-tegnet: &

Eksempler.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Løs et ligningssystem

Det ble funnet at noen skript som trengs for å løse denne oppgaven ikke ble lastet inn, og det kan hende at programmet ikke fungerer.
Du kan ha AdBlock aktivert.
I dette tilfellet, deaktiver den og oppdater siden.

Du har deaktivert JavaScript i nettleseren din.
JavaScript må være aktivert for at løsningen skal vises.
Her er instruksjoner for hvordan du aktiverer JavaScript i nettleseren din.

Fordi Det er mange mennesker som ønsker å løse problemet, forespørselen din står i kø.
Etter noen sekunder vil løsningen vises nedenfor.
Vennligst vent sek...

Hvis du oppdaget en feil i løsningen, så kan du skrive om det i tilbakemeldingsskjemaet .
Ikke glem angi hvilken oppgave du bestemmer hva skriv inn i feltene.

Våre spill, puslespill, emulatorer:

Litt teori.

Løse systemer av lineære ligninger. Substitusjonsmetode

Rekkefølgen av handlinger når du løser et system med lineære ligninger ved substitusjonsmetoden:
1) uttrykke en variabel fra en likning i systemet i form av en annen;
2) erstatte det resulterende uttrykket i en annen likning av systemet i stedet for denne variabelen;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

La oss uttrykke fra den første ligningen y til x: y = 7-3x. Ved å erstatte uttrykket 7-3x i stedet for y i den andre ligningen, får vi systemet:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Det er lett å vise at det første og andre systemet har de samme løsningene. I det andre systemet inneholder den andre ligningen bare én variabel. La oss løse denne ligningen:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Høyrepil -5x+14-6x=3 \Høyrepil -11x=-11 \Høyrepil x=1 $$

Ved å erstatte tallet 1 i stedet for x i ligningen y=7-3x, finner vi den tilsvarende verdien av y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Høyrepil y=4 $$

Par (1;4) - løsning av systemet

Ligningssystemer i to variabler som har samme løsninger kalles tilsvarende. Systemer som ikke har løsninger anses også som likeverdige.

Løse systemer av lineære ligninger ved å addere

Vurder en annen måte å løse systemer med lineære ligninger på - addisjonsmetoden. Når vi løser systemer på denne måten, samt når vi løser med substitusjonsmetoden, går vi fra et gitt system til et annet system tilsvarende det, der en av ligningene inneholder kun én variabel.

Rekkefølgen av handlinger når du løser et system med lineære ligninger ved hjelp av addisjonsmetoden:
1) multipliser likningene til systemet ledd med ledd, velg faktorene slik at koeffisientene for en av variablene blir motsatte tall;
2) legg til ledd for ledd venstre og høyre del av systemets likninger;
3) løse den resulterende ligningen med én variabel;
4) finn den tilsvarende verdien til den andre variabelen.

Eksempel. La oss løse ligningssystemet:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

I likningene til dette systemet er koeffisientene til y motsatte tall. Ved å legge til ledd for ledd venstre og høyre del av ligningene, får vi en ligning med én variabel 3x=33. La oss erstatte en av likningene i systemet, for eksempel den første, med likningen 3x=33. La oss få systemet
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Fra ligningen 3x=33 finner vi at x=11. Ved å erstatte denne x-verdien i ligningen \(x-3y=38 \) får vi en ligning med variabelen y: \(11-3y=38 \). La oss løse denne ligningen:
\(-3y=27 \Høyrepil y=-9 \)

Dermed fant vi løsningen på ligningssystemet ved å legge til: \(x=11; y=-9 \) eller \((11; -9) \)

Ved å utnytte det faktum at i likningene til systemet er koeffisientene til y motsatte tall, reduserte vi løsningen til løsningen tilsvarende system(ved å summere begge delene av hver av likningene til det originale sim-temaet), der en av likningene inneholder bare én variabel.

Bøker (lærebøker) Sammendrag av Unified State Examination og OGE-tester online Spill, puslespill Konstruksjon av grafer av funksjoner Staveordbok for det russiske språket Ordbok for ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over videregående skoler i Russland Katalog over russiske universiteter Liste over oppgaver

Lineære ligninger er et ganske ufarlig og forståelig tema. skolens matematikk. Men merkelig nok er antallet feil ut av det blå når man løser lineære ligninger bare litt mindre enn i andre emner - andregradsligninger, logaritmer, trigonometri og andre. Årsakene til de fleste feilene er banale identiske transformasjoner av ligninger. For det første er dette forvirring i tegn ved overføring av ledd fra en del av ligningen til en annen, samt feil ved arbeid med brøker og brøkodds. Ja Ja! Brøker i lineære ligninger forekommer også! Over alt. Litt lavere vil vi også analysere slike onde ligninger.)

Vel, la oss ikke trekke katten i halen og begynne å finne ut av det, skal vi? Da leser vi og forstår.)

Hva er en lineær ligning? Eksempler.

Vanligvis har en lineær ligning følgende form:

øks + b = 0,

Hvor a og b er alle tall. Hva som helst: heltall, brøk, negativ, irrasjonell - alle kan være det!

For eksempel:

7x + 1 = 0 (her a = 7, b = 1)

x - 3 = 0 (her a = 1, b = -3)

x/2 - 1,1 = 0 (her a = 1/2, b = -1,1)

Generelt forstår du, håper jeg.) Alt er enkelt, som i et eventyr. Foreløpig ... Og hvis du ser nøye på felles rekord ax + b = 0 nærmere, men litt gjennomtenkt? Fordi a og b noen tall! Og hvis vi har for eksempel a = 0 og b = 0 (alle tall kan tas!), hva får vi da?

0 = 0

Men det er ikke bare gøy! Og hvis for eksempel a = 0, b = -10? Da blir det litt tull:

0 = 10.

Noe som er veldig, veldig irriterende og undergraver tilliten til matematikk vunnet av svette og blod ... Spesielt i prøver og eksamener. Men av disse uforståelige og merkelige likhetene må du også finne x! Som ikke eksisterer i det hele tatt! Og her kan selv godt forberedte studenter, til tider, falle, som de sier, i stupor ... Men ikke bekymre deg! PÅ denne leksjonen vi vil også vurdere alle slike overraskelser. Og x fra slike likheter vil sikkert også finne.) Dessuten søkes nettopp denne x-en veldig, veldig enkelt. Ja Ja! Overraskende, men sant.)

Ok, det er forståelig. Men hvordan kan du vite ved utseendet til oppgaven at vi har en lineær ligning, og ikke en annen? Dessverre er det langt fra alltid mulig å gjenkjenne likningstypen kun etter utseende. Saken er at ikke bare ligninger av formen ax + b = 0 kalles lineære, men også alle andre ligninger som ved identiske transformasjoner på en eller annen måte reduseres til denne formen. Hvordan vet du om det passer eller ikke? Inntil du nesten løser eksempelet - nesten ingenting. Det er opprørende. Men for noen typer ligninger er det mulig, med et raskt blikk, umiddelbart å si med sikkerhet om den er lineær eller ikke.

For å gjøre dette, vender vi igjen til overordnet struktur enhver lineær ligning:

øks + b = 0

Merk at i en lineær ligning bestandig det er bare variabel x i første grad og noen tall! Og det er det! Ingenting annet. Samtidig er det ingen x-kvadrerte, terninger, under roten, under logaritmen og andre eksotiske ting. Og (viktigst!) ingen brøker med x i nevnerne! Men brøker med tall i nevnerne eller divisjonen per nummer- Enkelt!

For eksempel:

Dette er en lineær ligning. Ligningen inneholder bare x-er til første potens og tall. Og det er ingen X-er i flere høye grader- i en firkant, i en kube og så videre. Ja, det er brøker her, men samtidig sitter de i nevnerne til brøker bare tall. Nemlig to og tre. Det er med andre ord nei divisjon på x.

Og her er ligningen

Det kan ikke lenger kalles lineært, selv om det også her bare er tall og x-er i første grad. For blant annet er det også brøker med x-er i nevnerne. Og etter forenklinger og transformasjoner kan en slik ligning bli hva som helst: lineær og kvadratisk - hvem som helst.

Hvordan løse lineære ligninger? Eksempler.

Så hvordan løser du lineære ligninger? Les videre og bli overrasket.) Hele løsningen av lineære ligninger er basert på bare to hovedting. La oss liste dem opp.

1) Et sett med elementære handlinger og regler for matematikk.

Dette er bruk av parenteser, åpningsparenteser, arbeid med brøker, arbeid med negative tall, multiplikasjonstabellen og så videre. Denne kunnskapen og ferdighetene er nødvendige ikke bare for å løse lineære ligninger, men for all matematikk generelt. Og hvis dette er et problem, husk juniorklasser. Ellers får du det vanskelig...

2)

Det er bare to av dem. Ja Ja! Dessuten ligger disse helt grunnleggende identiske transformasjonene til grunn for løsningen av ikke bare lineære, men generelt alle matematiske ligninger! Med et ord, løsningen av enhver annen ligning - kvadratisk, logaritmisk, trigonometrisk, irrasjonell, etc. - som regel begynner med disse helt grunnleggende transformasjonene. Men løsningen av nettopp lineære ligninger ender faktisk på dem (transformasjoner). Klart svar.) Så ikke vær lat og ta en tur gjennom lenken.) Dessuten analyseres lineære ligninger også i detalj der.

Vel, jeg tror det er på tide å starte analysen av eksempler.

Til å begynne med, som en oppvarming, bør du vurdere noe elementært. Uten noen brøker og andre bjeller og fløyter. For eksempel denne ligningen:

x - 2 \u003d 4 - 5x

Dette er en klassisk lineær ligning. Alle x-er er maksimale til første potens, og det er ingen divisjon med x noe sted. Løsningsskjemaet i slike ligninger er alltid det samme og enkelt å skremme: alle ledd med x må samles til venstre, og alle ledd uten x (dvs. tall) må samles til høyre. Så la oss begynne å samle.

For å gjøre dette lanserer vi den første identiske transformasjonen. Vi må flytte -5x til venstre og -2 for å flytte til høyre. Med et fortegnsskifte, selvfølgelig.) Så vi overfører:

x + 5x = 4 + 2

Værsågod. Halve kampen er unnagjort: x-ene er samlet i en haug, tallene også. Nå gir vi lignende til venstre, og vi teller til høyre. Vi får:

6x = 6

Hva mangler vi nå? fullstendig lykke? Ja, slik at en ren X forblir på venstre side! Og de seks forstyrrer. Hvordan bli kvitt det? Nå starter vi den andre identiske transformasjonen - vi deler begge sider av ligningen med 6. Og - voila! Svar klart.)

x = 1

Selvfølgelig er eksemplet ganske primitivt. Til generell idéå fange. Vel, la oss gjøre noe mer omfattende. Tenk for eksempel på følgende ligning:

La oss analysere det i detalj.) Dette er også en lineær ligning, selv om det ser ut til at det er brøker her. Men i brøker er det en divisjon med to og det er en divisjon med tre, men det er ingen divisjon med et uttrykk med en x! Så vi bestemmer oss. Bruker alle de samme identiske transformasjonene, ja.)

Hva skal vi gjøre først? Med X - til venstre, uten X - til høyre? I prinsippet er det mulig og så. Fly til Sotsji via Vladivostok.) Eller du kan ta den korteste veien, umiddelbart ved å bruke den universelle og kraftige metoden. Hvis du kjenner de identiske transformasjonene, selvfølgelig.)

Til å begynne med spør jeg nøkkelspørsmål: Hva legger du mest merke til og misliker med denne ligningen? 99 av 100 personer sier: brøker! Og de vil ha rett.) Så la oss bli kvitt dem først. Trygt for selve ligningen.) Så la oss starte med en gang med andre identiske transformasjon- fra multiplikasjon. Hva skal venstre side multipliseres med slik at nevneren reduseres trygt? Det stemmer, dobbelt. Og høyre side? For tre! Men ... Matematikk er en lunefull dame. Hun, du vet, krever bare å multiplisere begge deler for samme nummer! Multipliser hver del med sitt eget tall - det fungerer ikke ... Hva skal vi gjøre? Noe... Se etter et kompromiss. For å tilfredsstille våre ønsker (bli kvitt brøker) og ikke fornærme matematikken.) Og la oss gange begge deler med seks!) Det vil si med fellesnevner alle brøkene i ligningen. Så, med ett slag, vil de to reduseres, og de tre!)

Her multipliserer vi. Hele venstre side og hele høyre side! Derfor bruker vi parentes. Slik ser prosedyren ut:

La oss nå åpne disse parentesene:

Nå, som representerer 6 som 6/1, multipliser de seks med hver av brøkene til venstre og høyre. Dette er den vanlige multiplikasjonen av brøker, men så skal det være, jeg vil skrive i detalj:

Og her - oppmerksomhet! Jeg tok telleren (x-3) i parentes! Dette er alt fordi når du multipliserer brøker, multipliseres telleren i sin helhet, helt og fullstendig! Og med uttrykket x-3 er det nødvendig å jobbe som med én solid konstruksjon. Men hvis du skriver telleren slik:

6x - 3,

Men vi har alt rett og vi må fullføre det. Hva skal jeg gjøre videre? Åpne parentes i telleren til venstre? Ikke i noe tilfelle! Du og jeg multipliserte begge deler med 6 for å bli kvitt brøker, og for ikke å ta et dampbad med åpningsbraketter. På dette stadiet vi trenger redusere brøkene våre. Med en følelse av dyp tilfredsstillelse reduserer vi alle nevnerne og får ligningen uten brøker, i en linjal:

3(x-3) + 6x = 30 - 4x

Og nå kan de gjenværende parentesene åpnes:

3x - 9 + 6x = 30 - 4x

Ligningen blir bare bedre og bedre! Nå husker vi igjen den første identiske transformasjonen. Med et steinansikt gjentar vi trolldommen fra lavere karakterer: med x - til venstre, uten x - til høyre. Og bruk denne transformasjonen:

3x + 6x + 4x = 30 + 9

Vi gir lignende til venstre og teller til høyre:

13x = 39

Det gjenstår å dele begge deler med 13. Det vil si, bruk den andre transformasjonen på nytt. Vi deler og får svaret:

x = 3

Jobben er gjort. Som du kan se, i gitt ligning vi måtte bruke den første transformasjonen (oversettelse av begreper) en gang og den andre to ganger: i begynnelsen av løsningen brukte vi multiplikasjon (med 6) for å bli kvitt brøker, og på slutten av løsningen brukte vi divisjon (med 13) for å bli kvitt koeffisienten foran x. Og løsningen av enhver (ja, hvilken som helst!) lineær ligning består av en kombinasjon av de samme transformasjonene i en eller annen sekvens. Hvor nøyaktig du skal begynne avhenger av den spesifikke ligningen. Et sted er det mer lønnsomt å starte med en overføring, og et sted (som i dette eksemplet) - med multiplikasjon (eller divisjon).

Vi jobber fra enkelt til komplekst. Vurder nå frank tinn. Med en haug med brøker og parenteser. Og jeg skal fortelle deg hvordan du ikke skal overbelaste.)

For eksempel, her er en ligning:

Vi ser på ligningen et minutt, vi er forferdet, men likevel tar vi oss sammen! Hovedproblemet er hvor du skal begynne? Du kan legge til brøker på høyre side. Du kan trekke fra brøker i parentes. Du kan multiplisere begge deler med noe. Eller del ... Så hva er fortsatt mulig? Svar: alt er mulig! Matematikk forbyr ikke noen av de oppførte handlingene. Og uansett hvilken rekkefølge av handlinger og transformasjoner du velger, vil svaret alltid være det samme - det riktige. Med mindre du, selvfølgelig, på et eller annet trinn ikke krenker identiteten til transformasjonene dine og dermed ikke gjør feil ...

Og for ikke å gjøre feil, i slike fancy eksempler som dette, er det alltid mest nyttig å vurdere det utseende og tenk i tankene dine: hva kan gjøres i eksemplet slik at maksimum forenkle det i ett trinn?

Her gjetter vi. Til venstre er sekserne i nevnerne. Personlig liker jeg dem ikke, men de er veldig enkle å fjerne. La meg multiplisere begge sider av ligningen med 6! Da vil sekserne til venstre trygt reduseres, brøkene i parentes vil ikke gå noen vei ennå. Vel, ingen stor sak. Vi skal behandle dem litt senere.) Men til høyre vil nevnerne 2 og 3 reduseres. Det er med denne handlingen (multiplikasjon med 6) vi oppnår maksimale forenklinger i ett trinn!

Etter multiplikasjon blir hele vår onde ligning slik:

Hvis du ikke forstår nøyaktig hvordan denne ligningen ble, så forsto du ikke analysen av det forrige eksemplet godt. Og jeg prøvde forresten...

Så la oss åpne den:

Nå vil det mest logiske trinnet være å isolere brøkene til venstre, og sende 5x til høyre side. Samtidig gir vi lignende på høyre side. Vi får:

Allerede mye bedre. Nå har venstre side forberedt seg på multiplikasjon. Hva skal multipliseres med venstre side slik at både de fem og de fire umiddelbart reduseres? Klokken 20! Men vi har også ulemper på begge sider av ligningen. Derfor vil det være mest praktisk å multiplisere begge sider av ligningen ikke med 20, men med -20. Da vil minusene forsvinne med ett slag, og brøkene.

Her multipliserer vi:

For de som fortsatt ikke forstår dette trinnet, betyr det at problemene ikke er i ligningene. Problemer er kjernen! Vi husker igjen den gyldne regel parentes utvidelse:

Hvis tallet multipliseres med et uttrykk i parentes, må dette tallet multipliseres suksessivt med hvert ledd i nettopp dette uttrykket. Dessuten, hvis tallet er positivt, blir tegnene til uttrykkene etter utvidelse bevart. Hvis de er negative, blir de reversert:

a(b+c) = ab+ac

-a(b+c) = -ab-ac

Minusene forsvant etter å ha multiplisert begge deler med -20. Og nå multipliserer vi parentesene med brøker til venstre med ganske oss selv positivt tall 20. Derfor, når du åpner disse parentesene, er alle skiltene som var inne i dem bevart. Men hvor kom parentesene i tellerne av brøk fra, jeg forklarte allerede i detalj i forrige eksempel.

Og nå kan du redusere brøker:

4(3-5x)-5(3x-2) = 20

Utvid de resterende parentesene. Igjen åpner vi riktig. De første parentesene multipliseres med et positivt tall 4, og derfor er alle tegn bevart når de åpnes. Men de andre parentesene multipliseres med negativ tallet er -5, og derfor er alle tegn reversert:

12 - 20x - 15x + 10 = 20

Det er tomme plasser igjen. Med x til venstre, uten x til høyre:

-20x - 15x = 20 - 10 - 12

-35x = -2

Det er nesten alt. Til venstre trenger du en ren X, og tallet -35 kommer i veien. Så vi deler begge deler med (-35). Jeg minner om at den andre identitetstransformasjonen lar oss multiplisere og dele begge deler med samme det Antall. Inkludert det negative.) Hvis bare ikke til null! Del gjerne og få svaret:

X=2/35

Denne gangen viste X seg å være brøkdel. Det er greit. Et slikt eksempel.)

Som vi kan se, er prinsippet for å løse lineære ligninger (selv de mest vridde) ganske enkelt: vi tar den opprinnelige ligningen, og ved identiske transformasjoner forenkler vi den sekvensielt helt frem til svaret. Med det grunnleggende, selvfølgelig! Hovedproblemene her er nettopp i manglende overholdelse av det grunnleggende (si, det er et minus før parentesene, og de glemte å endre skiltene når de åpnet), så vel som i banal aritmetikk. Så ikke overse det grunnleggende! De er grunnlaget for resten av matematikken!

Noen triks for å løse lineære ligninger. Eller spesielle anledninger.

Alt ville være ingenting. Men ... Blant de lineære ligningene er det også slike morsomme perler som, i ferd med å løse dem, kan drive dem til en sterk stupor. Til og med en utmerket student.)

For eksempel, her er en ufarlig ligning:

7x + 3 = 4x + 5 + 3x - 2

Gjesper bredt og litt lei, samler vi alle X-ene til venstre, og alle tallene til høyre:

7x-4x-3x = 5-2-3

Vi gir lignende, vurderer og får:

0 = 0

Det er det! Utstedt primerchik fokus! I seg selv gir denne likheten ingen innvendinger: null er faktisk lik null. Men X er borte! Uten et spor! Og vi må skrive i svaret, hva er lik x . Ellers vurderes ikke vedtaket, ja.) Hva skal man gjøre?

Ingen panikk! I slike ikke-standard tilfeller, de fleste generelle begreper og matematikkprinsipper. Hva er en ligning? Hvordan løse likninger? Hva vil det si å løse en ligning?

Å løse en ligning betyr å finne alle verdier av variabelen x, som, når den erstattes med første ligning vil gi oss riktig likhet (identitet)!

Men vi har riktig likestilling allerede gjort! 0=0, eller rettere sagt ingensteds!) Det gjenstår å gjette på hvilke x-er vi får denne likheten. Hva slags x-er kan erstattes med første ligning hvis, når de erstatter, alle fortsatt krympe til null? Har du ikke funnet ut av det ennå?

Ja, selvfølgelig! X-er kan erstattes noen!!! Absolutt hvilken som helst. Uansett hva du vil, legg dem inn. Minst 1, minst -23, minst 2,7 - uansett! De vil fortsatt reduseres, og som et resultat vil den rene sannhet forbli. Prøv det, bytt det ut og se selv.)

Her er svaret ditt:

x er et hvilket som helst tall.

I vitenskapelig notasjon er denne likheten skrevet slik:

Dette innlegget lyder slik: "X er et hvilket som helst reelt tall."

Eller i en annen form, med intervaller:

Som du vil, ordne det. Dette er det riktige og fullstendige svaret!

Og nå skal jeg bare endre ett tall i vår opprinnelige ligning. La oss løse denne ligningen nå:

7x + 2 = 4x + 5 + 3x - 2

Vi overfører igjen vilkårene, teller og får:

7x - 4x - 3x = 5 - 2 - 2

0 = 1

Og hvordan liker du denne vitsen? Det var en vanlig lineær ligning, men det var en uforståelig likhet

0 = 1…

snakker vitenskapelig språk, vi fikk feil likestilling. Men på russisk er det ikke sant. Tull. Tull.) For null er ikke lik en!

Og nå tenker vi igjen hva slags x når vi substituerer inn i den opprinnelige ligningen vil gi oss riktig likestilling? Hvilken? Men ingen! Uansett hvilken X du erstatter, vil alt fortsatt reduseres og det vil være dritt.)

Her er svaret: ingen løsninger.

I matematisk notasjon er et slikt svar trukket opp slik:

Det står: "X tilhører det tomme settet."

Slike svar i matematikk er også ganske vanlige: ikke alltid noen ligning har røtter i prinsippet. Noen ligninger har kanskje ikke røtter i det hele tatt. I det hele tatt.

Her er to overraskelser. Jeg håper at nå den plutselige forsvinningen av X-er i ligningen ikke vil forvirre deg for alltid. Saken er ganske kjent.)

Og så hører jeg et logisk spørsmål: vil de være i OGE eller USE? På eksamen, av seg selv som en oppgave - nei. For lett. Men i OGE eller i tekstproblemer - enkelt! Så nå - vi trener og bestemmer:

Svar (i uorden): -2; -en; et hvilket som helst tall; 2; ingen løsninger; 13/7.

Alt ordnet seg? Utmerket! Du har gode sjanser på eksamen.

Er det noe som ikke passer? Hm ... Tristhet, selvfølgelig. Så det er hull et sted. Enten i det grunnleggende eller identiske transformasjoner. Eller det er snakk om banal uoppmerksomhet. Les leksjonen på nytt. For dette er ikke et tema man så lett klarer seg uten i matematikk ...

Lykke til! Hun vil definitivt smile til deg, tro meg!)

Den lineære ligningen er algebraisk ligning, hvis totale grad av polynomer er lik én. Løse lineære ligninger - del skolepensum, og ikke det vanskeligste. Noen opplever imidlertid fortsatt vanskeligheter med å komme gjennom dette emnet. Vi håper å lese gitt materiale, vil alle vanskelighetene for deg forbli i fortiden. Så la oss finne ut av det. hvordan løse lineære ligninger.

Generell form

Den lineære ligningen er representert som:

• ax + b = 0, hvor a og b er alle tall.

Selv om a og b kan være et hvilket som helst tall, påvirker verdiene deres antall løsninger til ligningen. Det er flere spesielle løsninger:

• Hvis a=b=0, har ligningen uendelig sett beslutninger;
• Hvis a=0, b≠0, har ligningen ingen løsning;
• Hvis a≠0, b=0, har ligningen en løsning: x = 0.

I tilfelle at begge tallene har nei nullverdier, må ligningen løses for å utlede det endelige uttrykket for variabelen.

Hvordan bestemme?

Å løse en lineær ligning betyr å finne hva en variabel er lik. Hvordan gjøre det? Ja, det er veldig enkelt - ved å bruke enkle algebraiske operasjoner og følge reglene for overføring. Hvis ligningen dukket opp foran deg i en generell form, er du heldig, alt du trenger å gjøre er:

1. Flytt b til høyre side av ligningen, ikke glem å endre fortegnet (overføringsregel!), Så fra et uttrykk på formen ax + b = 0, bør et uttrykk for formen ax = -b fås.
2. Bruk regelen: for å finne en av faktorene (x - i vårt tilfelle), må du dele produktet (-b i vårt tilfelle) med en annen faktor (a - i vårt tilfelle). Dermed bør et uttrykk for formen oppnås: x \u003d -b / a.

Det er alt - løsningen er funnet!

La oss nå se på et spesifikt eksempel:

1. 2x + 4 = 0 - overføring b lik denne saken 4, høyre side
2. 2x = -4 - del b på a (ikke glem minustegnet)
3. x=-4/2=-2

Det er alt! Vår løsning: x = -2.

Som du kan se er det ganske enkelt å finne en løsning på en lineær ligning med én variabel, men alt er så enkelt hvis vi er heldige som møter ligningen i en generell form. I de fleste tilfeller, før du løser ligningen i de to trinnene beskrevet ovenfor, er det også nødvendig å bringe det eksisterende uttrykket til en generell form. Dette er imidlertid heller ikke en vanskelig oppgave. La oss se på noen spesielle tilfeller med eksempler.

Løse spesielle tilfeller

La oss først ta en titt på tilfellene vi beskrev i begynnelsen av artikkelen og forklare hva det vil si å ha et uendelig antall løsninger og ingen løsning.

• Hvis a=b=0 vil ligningen se slik ut: 0x + 0 = 0. Utfører vi det første trinnet får vi: 0x = 0. Hva betyr dette tullet, utbryter du! Tross alt, uansett hvilket tall du multipliserer med null, vil du alltid få null! Ikke sant! Derfor sier de at ligningen har et uendelig antall løsninger - uansett antall du tar, vil likheten være sann, 0x \u003d 0 eller 0 \u003d 0.
• Hvis a=0, b≠0, vil ligningen se slik ut: 0x + 3 = 0. Vi utfører det første trinnet, vi får 0x = -3. Tull igjen! Det er åpenbart at denne likestillingen aldri vil bli sann! Det er derfor de sier at ligningen ikke har noen løsninger.
• Hvis a≠0, b=0, vil ligningen se slik ut: 3x + 0 = 0. Ved å ta det første steget får vi: 3x = 0. Hva er løsningen? Det er enkelt, x = 0.

Vanskeligheter med oversettelse

De beskrevne spesielle tilfellene er ikke alle lineære ligninger kan overraske oss med. Noen ganger er ligningen generelt vanskelig å identifisere ved første øyekast. La oss ta et eksempel:

• 12x - 14 = 2x + 6

Er dette en lineær ligning? Men hva med nullen på høyre side? Vi vil ikke skynde oss med konklusjoner, vi vil handle - vi vil overføre alle komponentene i ligningen vår til venstre side. Vi får:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Når vi trekker fra like fra like, får vi:

• 10x - 20 = 0

Lært? Den mest lineære ligningen noensinne! Hvis løsning: x = 20/10 = 2.

Hva om vi har dette eksemplet:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ja, dette er også en lineær ligning, bare flere transformasjoner må gjøres. La oss utvide parentesene først:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - utfør nå overføringen:
4. 25x - 4 = 0 - det gjenstår å finne en løsning i henhold til det allerede kjente skjemaet:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Som du kan se, er alt løst, det viktigste er ikke å bekymre deg, men å handle. Husk at hvis likningen din bare inneholder variabler av første grad og tall, er dette en lineær likning, som, uansett hvordan den ser ut i utgangspunktet, kan reduseres til en generell form og løses. Vi håper alt ordner seg for deg! Lykke til!

Ligningssystemer er mye brukt i økonomisk industri på matematisk modellering ulike prosesser. For eksempel, når du løser problemer med ledelse og produksjonsplanlegging, logistikkruter ( transportoppgave) eller utstyrsplassering.

Ligningssystemer brukes ikke bare innen matematikk, men også innen fysikk, kjemi og biologi, når man løser problemer med å finne populasjonsstørrelsen.

Et system med lineære ligninger er en betegnelse på to eller flere ligninger med flere variabler som det er nødvendig å finne en felles løsning for. En slik tallrekke der alle likninger blir sanne likheter eller beviser at sekvensen ikke eksisterer.

Lineær ligning

Ligninger på formen ax+by=c kalles lineære. Betegnelsene x, y er de ukjente, hvis verdi må finnes, b, a er koeffisientene til variablene, c er ligningens frie ledd.
Å løse ligningen ved å plotte grafen vil se ut som en rett linje, der alle punktene er løsningen av polynomet.

Typer av systemer av lineære ligninger

De enkleste er eksempler på systemer med lineære ligninger med to variabler X og Y.

F1(x, y) = 0 og F2(x, y) = 0, hvor F1,2 er funksjoner og (x, y) er funksjonsvariabler.

Løs et ligningssystem - det betyr å finne slike verdier (x, y) som systemet blir en ekte likhet for, eller å fastslå at det ikke finnes passende verdier for x og y.

Et verdipar (x, y), skrevet som punktkoordinater, kalles en løsning på et system med lineære ligninger.

Hvis systemene har én felles løsning eller det ikke finnes noen løsning, kalles de likeverdige.

Homogene systemer av lineære ligninger er systemer høyre del som er lik null. Hvis den høyre delen etter "lik"-tegnet har en verdi eller er uttrykt av en funksjon, er ikke et slikt system homogent.

Antall variabler kan være mye mer enn to, da bør vi snakke om et eksempel på et system av lineære ligninger med tre variabler eller flere.

Overfor systemer antar skolebarn at antall ligninger nødvendigvis må falle sammen med antall ukjente, men dette er ikke tilfelle. Antall ligninger i systemet er ikke avhengig av variablene, det kan være et vilkårlig stort antall av dem.

Enkle og komplekse metoder for å løse ligningssystemer

Det er ingen generell analytisk måte å løse lignende systemer, er alle metoder basert på numeriske løsninger. PÅ skolekurs matematikk, slike metoder som permutasjon, algebraisk addisjon, substitusjon, samt grafiske og matrisemetoden, løsning etter Gauss-metoden.

Hovedoppgaven i undervisningsmetoder for løsning er å lære hvordan man korrekt analyserer systemet og finner optimal algoritme løsninger for hvert eksempel. Det viktigste er ikke å huske et system med regler og handlinger for hver metode, men å forstå prinsippene for å bruke en bestemt metode.

Løse eksempler på systemer av lineære ligninger av 7. klasse av programmet ungdomsskolen ganske enkelt og forklart i detalj. I enhver lærebok om matematikk er denne delen viet nok oppmerksomhet. Løsningen av eksempler på systemer med lineære ligninger ved metoden til Gauss og Cramer studeres mer detaljert i de første kursene til høyere utdanningsinstitusjoner.

Løsning av systemer ved substitusjonsmetoden

Handlingene til substitusjonsmetoden er rettet mot å uttrykke verdien av en variabel gjennom den andre. Uttrykket settes inn i den gjenværende ligningen, deretter reduseres det til en enkelt variabelform. Handlingen gjentas avhengig av antall ukjente i systemet

La oss gi et eksempel på et system med lineære ligninger av 7. klasse ved substitusjonsmetoden:

Som det fremgår av eksemplet, ble variabelen x uttrykt gjennom F(X) = 7 + Y. Det resulterende uttrykket, substituert inn i den andre ligningen i systemet i stedet for X, hjalp til med å oppnå én variabel Y i den andre ligningen . Løsning dette eksemplet forårsaker ikke vanskeligheter og lar deg få Y-verdien. Det siste trinnet er å sjekke de mottatte verdiene.

Det er ikke alltid mulig å løse et eksempel på et system med lineære ligninger ved substitusjon. Ligningene kan være komplekse og uttrykket av variabelen i form av den andre ukjente vil være for tungvint for videre beregninger. Når det er mer enn 3 ukjente i systemet, er også substitusjonsløsningen upraktisk.

Løsning av et eksempel på et system med lineære inhomogene ligninger:

Løsning ved hjelp av algebraisk addisjon

Når du søker etter en løsning på systemer ved addisjonsmetoden, ledd-for-ledd addisjon og multiplikasjon av ligninger med ulike tall. Det endelige målet for matematiske operasjoner er en ligning med én variabel.

For applikasjoner denne metoden det krever øvelse og observasjon. Det er ikke lett å løse et system av lineære ligninger ved hjelp av addisjonsmetoden med antall variabler 3 eller flere. Algebraisk addisjon er nyttig når ligningene inneholder brøker og desimaltall.

Løsningshandlingsalgoritme:

1. Multipliser begge sider av ligningen med et tall. Som et resultat aritmetisk operasjon en av koeffisientene til variabelen må bli lik 1.
2. Legg til det resulterende uttrykket term for term og finn en av de ukjente.
3. Bytt inn den resulterende verdien i den andre ligningen i systemet for å finne den gjenværende variabelen.

Løsningsmetode ved å introdusere en ny variabel

En ny variabel kan introduseres hvis systemet trenger å finne en løsning for ikke mer enn to ligninger, antall ukjente bør heller ikke være mer enn to.

Metoden brukes til å forenkle en av ligningene ved å introdusere en ny variabel. Den nye ligningen løses med hensyn til den angitte ukjente, og den resulterende verdien brukes til å bestemme den opprinnelige variabelen.

Eksemplet viser at ved å introdusere en ny variabel t, var det mulig å redusere systemets 1. ligning til standarden kvadratisk trinomium. Du kan løse et polynom ved å finne diskriminanten.

Det er nødvendig å finne verdien av diskriminanten ved velkjent formel: D = b2 - 4*a*c, hvor D er den ønskede diskriminanten, b, a, c er multiplikatorene til polynomet. PÅ gitt eksempel a=1, b=16, c=39, derav D=100. Hvis diskriminanten Over null, så er det to løsninger: t = -b±√D / 2*a, hvis diskriminanten er mindre enn null, så er det bare én løsning: x= -b / 2*a.

Løsningen for de resulterende systemene er funnet ved addisjonsmetoden.

En visuell metode for å løse systemer

Egnet for systemer med 3 ligninger. Metoden er å bygge på koordinataksen grafer for hver ligning som er inkludert i systemet. Koordinatene til skjæringspunktene til kurvene og vil være felles løsning systemer.

Den grafiske metoden har en rekke nyanser. Tenk på flere eksempler på å løse systemer av lineære ligninger på en visuell måte.

Som det fremgår av eksemplet, ble det konstruert to punkter for hver linje, verdiene til variabelen x ble valgt vilkårlig: 0 og 3. Basert på verdiene til x ble verdiene for y funnet: 3 og 0. Punkter med koordinater (0, 3) og (3, 0) ble markert på grafen og forbundet med en linje.

Trinnene må gjentas for den andre ligningen. Skjæringspunktet mellom linjene er løsningen til systemet.

Følgende eksempel må finne grafisk løsning systemer av lineære ligninger: 0,5x-y+2=0 og 0,5x-y-1=0.

Som det fremgår av eksempelet, har systemet ingen løsning, fordi grafene er parallelle og ikke krysser i hele lengden.

Systemene fra eksempel 2 og 3 er like, men når de er konstruert, blir det åpenbart at løsningene deres er forskjellige. Det skal huskes at det ikke alltid er mulig å si om systemet har en løsning eller ikke, det er alltid nødvendig å bygge en graf.

Matrix og dens varianter

Matriser brukes til forkortelse systemer av lineære ligninger. En tabell kalles en matrise. spesiell type fylt med tall. n*m har n - rader og m - kolonner.

En matrise er kvadratisk når antall kolonner og rader er likt. En matrise - en vektor er en matrise av en kolonne med uendelig mulig antall linjer. En matrise med enheter langs en av diagonalene og andre nullelementer kalles identitet.

En invers matrise er en slik matrise, når multiplisert med hvilken den opprinnelige blir til en enhet én, eksisterer en slik matrise bare for den opprinnelige kvadratiske.

Regler for å transformere et ligningssystem til en matrise

Når det gjelder ligningssystemer, er koeffisientene og frie medlemmer av ligningene skrevet som tall på matrisen, én ligning er én rad i matrisen.

En matriserad kalles ikke-null hvis minst ett element i raden ikke er lik null. Derfor, hvis antallet variabler er forskjellig i noen av ligningene, er det nødvendig å angi null i stedet for den manglende ukjente.

Kolonnene i matrisen må strengt tatt samsvare med variablene. Dette betyr at koeffisientene til variabelen x bare kan skrives i én kolonne, for eksempel den første, koeffisienten til den ukjente y - bare i den andre.

Når du multipliserer en matrise, multipliseres alle matriseelementer suksessivt med et tall.

Alternativer for å finne den inverse matrisen

Formelen for å finne den inverse matrisen er ganske enkel: K -1 = 1 / |K|, hvor K -1 - invers matrise, og |K| - matrisedeterminant. |K| må ikke være lik null, da har systemet en løsning.

Determinanten beregnes enkelt for en to-og-to-matrise, det er bare nødvendig å multiplisere elementene diagonalt med hverandre. For alternativet "tre av tre" er det en formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Du kan bruke formelen, eller du kan huske at du må ta ett element fra hver rad og hver kolonne slik at kolonne- og radnummerene til elementene ikke gjentar seg i produktet.

Løsning av eksempler på systemer av lineære ligninger ved matrisemetoden

Matrisemetoden for å finne en løsning gjør det mulig å redusere tungvinte notasjoner ved løsning av systemer med stor kvantitet variabler og ligninger.

I eksemplet er a nm koeffisientene til ligningene, matrisen er en vektor x n er variablene, og b n er de frie leddene.

Løsning av systemer etter Gauss-metoden

PÅ høyere matematikk Gauss-metoden studeres sammen med Cramer-metoden, og prosessen med å finne en løsning på systemer kalles Gauss-Cramer-løsningsmetoden. Disse metodene brukes til å finne systemvariabler med mange lineære ligninger.

Gauss-metoden er veldig lik løsninger som bruker substitusjoner og algebraisk tillegg men mer systematisk. I skolekurset brukes Gauss-løsningen for systemer med 3 og 4 likninger. Hensikten med metoden er å bringe systemet til form av en omvendt trapes. Ved algebraiske transformasjoner og substitusjoner finnes verdien av én variabel i en av systemets ligninger. Den andre ligningen er et uttrykk med 2 ukjente, og 3 og 4 - med henholdsvis 3 og 4 variabler.

Etter å ha brakt systemet til den beskrevne formen, reduseres den videre løsningen til sekvensiell substitusjon av kjente variabler i systemets ligninger.

I skolebøkene for 7. klasse er et eksempel på en gaussisk løsning beskrevet som følger:

Som man kan se fra eksemplet, ble det ved trinn (3) oppnådd to ligninger 3x 3 -2x 4 =11 og 3x 3 +2x 4 =7. Løsningen av en av ligningene vil tillate deg å finne ut en av variablene x n.

Teorem 5, som er nevnt i teksten, sier at hvis en av systemets likninger erstattes med en ekvivalent, så vil det resulterende systemet også være ekvivalent med det opprinnelige.

Gauss-metoden er vanskelig for elevene å forstå videregående skole, men er en av de mest interessante måtene å utvikle oppfinnsomheten til barn som er påmeldt programmet fordypning i matte- og fysikktimene.

For å gjøre det enklere å registrere beregninger, er det vanlig å gjøre følgende:

Ligningskoeffisienter og friledd skrives i form av en matrise, der hver rad i matrisen tilsvarer en av systemets ligninger. skiller venstre side av ligningen fra høyre side. Romertall angir antall ligninger i systemet.

Først skriver de ned matrisen som de skal jobbe med, deretter alle handlingene som utføres med en av radene. Den resulterende matrisen skrives etter "pil"-tegnet og fortsett å utføre de nødvendige algebraiske operasjonene til resultatet er oppnådd.

Som et resultat bør en matrise oppnås der en av diagonalene er 1, og alle andre koeffisienter er lik null, det vil si at matrisen er redusert til en enkelt form. Vi må ikke glemme å gjøre beregninger med tallene på begge sider av ligningen.

Denne notasjonen er mindre tungvint og lar deg ikke bli distrahert av å liste opp mange ukjente.

Den gratis bruken av enhver løsningsmetode vil kreve omsorg og en viss mengde erfaring. Ikke alle metoder brukes. Noen måter å finne løsninger på er mer å foretrekke i et bestemt område av menneskelig aktivitet, mens andre eksisterer for læringsformål.