Fibonacci-tall i naturen og menneskelivet. Fibonacci gyldne snitt

Har du noen gang hørt at matematikk kalles "dronningen av alle vitenskaper"? Er du enig i dette utsagnet? Så lenge matematikk forblir et kjedelig lærebokoppgave for deg, kan du knapt føle skjønnheten, allsidigheten og til og med humoren i denne vitenskapen.

Men det er temaer i matematikk som bidrar til å gjøre nysgjerrige observasjoner på ting og fenomener som er felles for oss. Og til og med prøve å trenge gjennom sløret til mysteriet om skapelsen av universet vårt. Det finnes merkelige mønstre i verden som kan beskrives ved hjelp av matematikk.

Vi introduserer Fibonacci-tall

Fibonacci tall navngi elementene nummerrekkefølge. I den oppnås hvert neste tall i serien ved å summere to tidligere tall.

Eksempelsekvens: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...

Du kan skrive det slik:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Du kan starte en serie med Fibonacci-tall med negative verdier n. Dessuten er sekvensen i dette tilfellet tosidig (dvs. dekker negative og positive tall) og har en tendens til uendelig i begge retninger.

Et eksempel på en slik sekvens: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Formelen i dette tilfellet ser slik ut:

Fn = Fn+1 - Fn+2 ellers kan du gjøre det slik: F-n = (-1) n+1 Fn.

Det vi nå kjenner som "Fibonacci-tall" var kjent for gamle indiske matematikere lenge før de ble brukt i Europa. Og med dette navnet, generelt, en solid historisk anekdote. La oss starte med det faktum at Fibonacci selv aldri kalte seg Fibonacci i løpet av sin levetid - dette navnet begynte å bli brukt på Leonardo fra Pisa bare flere århundrer etter hans død. Men la oss snakke om alt i rekkefølge.

Leonardo av Pisa aka Fibonacci

Sønnen til en kjøpmann som ble matematiker, og som senere fikk anerkjennelsen av sine etterkommere som den første store matematikeren i Europa i middelalderen. Ikke i siste sving takket være Fibonacci-tallene (som da, husker vi, ennå ikke ble kalt på den måten). som han er i tidlig XIIIårhundre beskrevet i hans verk "Liber abaci" ("The Book of the Abacus", 1202).

Leonardo reiste med sin far til østen og studerte matematikk med arabiske lærere (og på den tiden var de i denne bransjen, og i mange andre vitenskaper, en av de beste spesialistene). Verk av matematikere fra antikken og det gamle India han leste i arabiske oversettelser.

Etter å ha forstått alt han leste riktig og koblet sammen sitt eget nysgjerrige sinn, skrev Fibonacci flere vitenskapelige avhandlinger om matematikk, inkludert "Bok av Abacus" som allerede er nevnt ovenfor. I tillegg til henne skapte han:

"Practica geometriae" ("Practica of Geometry", 1220);
"Flos" ("Blomst", 1225 - en studie på kubiske ligninger);
"Liber quadratorum" ("The Book of Squares", 1225 - problemer med ubestemte kvadratiske ligninger).

Han var en stor elsker av matematiske turneringer, så i sine avhandlinger ga han mye oppmerksomhet til analysen av ulike matematiske problemer.

Lite er kjent om Leonardos liv. biografisk informasjon. Når det gjelder navnet Fibonacci, som han kom inn i matematikkens historie under, ble det festet til ham først på 1800-tallet.

Fibonacci og hans problemer

Etter at Fibonacci dro stort antall problemer som var svært populære blant matematikere i de følgende århundrene. Vi vil vurdere problemet med kaniner, i løsningen som Fibonacci-tallene brukes.

Kaniner er ikke bare verdifull pels

Fibonacci satte følgende betingelser: det er et par nyfødte kaniner (hann og hunn) av en så interessant rase at de regelmessig (fra den andre måneden) produserer avkom - alltid en et nytt par kaniner. Også, som du kanskje gjetter, mann og kvinne.

Disse betingede kaninene er plassert i et lukket rom og avler entusiastisk. Det er også fastsatt at ingen kanin dør av en eller annen mystisk kaninsykdom.

Vi må regne ut hvor mange kaniner vi får i løpet av et år.

I begynnelsen av 1 måned har vi 1 par kaniner. På slutten av måneden parer de seg.
Den andre måneden - vi har allerede 2 par kaniner (et par har foreldre + 1 par - deres avkom).
Tredje måned: Det første paret føder et nytt par, det andre paret parer seg. Totalt - 3 par kaniner.
Fjerde måned: Det første paret føder et nytt par, det andre paret taper ikke tid og føder også et nytt par, det tredje paret parer seg bare. Totalt - 5 par kaniner.

Antall kaniner i n-th måned = antall kaninpar fra forrige måned + antall nyfødte par (det er like mange kaninpar 2 måneder før nå). Og alt dette er beskrevet av formelen som vi allerede har gitt ovenfor: F n \u003d F n-1 + F n-2.

Dermed får vi en tilbakevendende (forklaring på rekursjon- under) numerisk rekkefølge. Der hvert neste tall er lik summen av de to foregående:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Du kan fortsette sekvensen lenge: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Men siden vi har satt en bestemt periode - et år, er vi interessert i resultatet oppnådd på det 12. "trekket". De. 13. medlem av sekvensen: 377.

Svaret ligger i oppgaven: 377 kaniner vil bli skaffet dersom alle de oppgitte betingelsene er oppfylt.

En av egenskapene til Fibonacci-sekvensen er veldig nysgjerrig. Hvis vi tar to påfølgende par fra en rad og deler mer til mindre, vil resultatet gradvis nærme seg gyldne snitt(Du kan lese mer om det senere i artikkelen).

På matematikkens språk, "forholdsgrense en n+1 til en n lik det gylne snitt.

Flere problemer i tallteori

Finn et tall som kan deles på 7. Hvis du deler det på 2, 3, 4, 5, 6, vil resten være én.
Finne kvadrattall. Det er kjent om ham at hvis du legger til 5 eller trekker fra 5, får du igjen et kvadrattall.

Vi inviterer deg til å finne svar på disse spørsmålene på egen hånd. Du kan gi oss dine alternativer i kommentarene til denne artikkelen. Og så vil vi fortelle deg om beregningene dine var riktige.

En forklaring om rekursjon

rekursjon- definisjon, beskrivelse, bilde av et objekt eller en prosess, som inneholder selve dette objektet eller prosessen. Det vil si at et objekt eller en prosess faktisk er en del av seg selv.

Rekursjon finner bred anvendelse i matematikk og informatikk, og til og med i kunst og populærkultur.

Fibonacci-tall er definert ved hjelp av tilbakevendende forhold. For nummer n>2 n- e nummeret er (n - 1) + (n - 2).

Forklaring av det gylne snitt

gyldne snitt - inndeling av en helhet (for eksempel et segment) i slike deler som er korrelert iht følgende prinsipp: mest av refererer til den minste på samme måte som hele verdien (for eksempel summen av to segmenter) til den større delen.

Den første omtale av det gylne snitt finner du i Euklids avhandling "Begynnelser" (ca. 300 f.Kr.). I sammenheng med å bygge et vanlig rektangel.

Begrepet kjent for oss i 1835 ble introdusert av den tyske matematikeren Martin Ohm.

Hvis du beskriver det gyldne snitt omtrentlig, er det en proporsjonal inndeling i to ulike deler: cirka 62 % og 38 %. PÅ i numeriske termer det gylne snitt er et tall 1,6180339887 .

Det gylne snitt finner praktisk bruk i kunst(malerier av Leonardo da Vinci og andre renessansemalere), arkitektur, kino (Slagskipet Potemkin av S. Ezenstein) og andre områder. I lang tid ble det antatt at det gylne snitt er den mest estetiske andelen. Denne utsikten er fortsatt populær i dag. Selv om, i følge resultatene av forskning, visuelt, oppfatter de fleste ikke en slik andel som det mest vellykkede alternativet og anser det for langstrakt (uforholdsmessig).

Kutt lengde Med = 1, en = 0,618, b = 0,382.
Holdning Med til en = 1, 618.
Holdning Med til b = 2,618

Nå tilbake til Fibonacci-tallene. Ta to påfølgende ledd fra rekkefølgen. Del det største tallet med det mindre og få omtrent 1,618. Og la oss nå bruke det samme større tallet og det neste medlemmet av serien (dvs. et enda større tall) - deres forhold er tidlig 0,618.

Her er et eksempel: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 og 233/377 = 0,618

Forresten, hvis du prøver å gjøre det samme eksperimentet med tall fra begynnelsen av sekvensen (for eksempel 2, 3, 5), vil ingenting fungere. Nesten. Regelen for det gyldne snitt blir nesten ikke respektert for begynnelsen av sekvensen. Men på den annen side, når du beveger deg langs raden og tallene øker, fungerer det fint.

Og for å beregne hele serien med Fibonacci-tall, er det nok å kjenne tre medlemmer av sekvensen som følger hverandre. Du kan se selv!

Gyldent rektangel og Fibonacci-spiral

En annen merkelig parallell mellom Fibonacci-tallene og det gyldne snitt lar oss tegne det såkalte "gyldne rektangelet": sidene er relatert i forholdet 1,618 til 1. Men vi vet allerede hva tallet 1,618 er, ikke sant?

La oss for eksempel ta to påfølgende ledd av Fibonacci-serien - 8 og 13 - og bygge et rektangel med følgende parametere: bredde = 8, lengde = 13.

Og så bryter vi det store rektangelet i mindre. Obligatorisk betingelse: Lengden på sidene til rektanglene må samsvare med Fibonacci-tallene. De. sidelengden til det større rektangelet skal være lik summen sider av to mindre rektangler.

Slik det gjøres i denne figuren (for enkelhets skyld er figurene signert med latinske bokstaver).

Du kan forresten bygge rektangler inn omvendt rekkefølge. De. begynn å bygge fra firkanter med side 1. Som, styrt av prinsippet som er uttrykt ovenfor, fullføres figurer med sider, like tall Fibonacci. Teoretisk sett kan dette fortsette i det uendelige – tross alt er Fibonacci-serien formelt sett uendelig.

Hvis vi kobler hjørnene på rektanglene oppnådd i figuren med en jevn linje, får vi en logaritmisk spiral. Snarere henne spesielt tilfelle- Fibonacci-spiral. Den kjennetegnes spesielt ved at den ikke har noen grenser og ikke endrer form.

En slik spiral finnes ofte i naturen. Mollusk skjell er en av de mest klare eksempler. Dessuten har noen galakser som kan sees fra jorden en spiralform. Hvis du legger merke til værmeldinger på TV, har du kanskje lagt merke til at sykloner har en lignende spiralform når du skyter dem fra satellitter.

Det er merkelig at DNA-spiralen også følger regelen for det gylne snitt - det tilsvarende mønsteret kan sees i intervallene til bøyningene.

Slike fantastiske "tilfeldigheter" kan ikke annet enn å begeistre sinnene og gi opphav til å snakke om en viss enkelt algoritme som alle fenomener i universets liv adlyder. Nå forstår du hvorfor denne artikkelen heter slik? Og hvilke dører fantastiske verdener kan matematikk åpne opp for deg?

Fibonacci-tall i naturen

Sammenhengen mellom Fibonacci-tall og det gylne snitt antyder nysgjerrige mønstre. Så nysgjerrig at det er fristende å prøve å finne sekvenser som ligner Fibonacci-tall i naturen og til og med i løpet av historiske hendelser. Og naturen gir faktisk opphav til slike antakelser. Men kan alt i livet vårt forklares og beskrives ved hjelp av matematikk?

Eksempler på dyreliv som kan beskrives ved hjelp av Fibonacci-sekvensen:

rekkefølgen på arrangement av blader (og grener) i planter - avstandene mellom dem er korrelert med Fibonacci-tall (phyllotaxis);

plasseringen av solsikkefrø (frøene er ordnet i to rader med spiraler vridd i forskjellige retninger: en rad er med klokken, den andre er mot klokken);

plassering av skalaer av kongler;
blomsterblader;
ananas celler;
forholdet mellom lengdene på fingrenes falanger på den menneskelige hånden (omtrent), etc.

Problemer i kombinatorikk

Fibonacci-tall er mye brukt for å løse problemer i kombinatorikk.

Kombinatorikk- dette er en gren av matematikk som omhandler studiet av et utvalg av et gitt antall elementer fra et angitt sett, oppregning, etc.

La oss se på eksempler på kombinatoriske problemer beregnet for nivået videregående skole(kilde - http://www.problems.ru/).

Oppgave 1:

Lesha klatrer opp en stige på 10 trinn. Han hopper opp enten ett eller to trinn om gangen. På hvor mange måter kan Lesha klatre opp trappene?

Antall måter Lesha kan gå opp trappene fra n trinn, angir og n. Derfor følger det en 1 = 1, en 2= 2 (tross alt, Lesha hopper enten ett eller to trinn).

Det er også avtalt at Lesha hopper opp trappene fra n > 2 trinn. Anta at han hoppet to skritt første gang. Så, i henhold til tilstanden til problemet, må han hoppe en annen n - 2 trinn. Deretter beskrives antall måter å fullføre klatringen som a n–2. Og hvis vi antar at Lesha for første gang hoppet bare ett trinn, vil vi beskrive antall måter å fullføre klatringen på som a n–1.

Herfra får vi følgende likhet: a n = a n–1 + a n–2(ser kjent ut, gjør det ikke?).

Siden vi vet en 1 og en 2 og husk at det er 10 trinn i henhold til tilstanden til problemet, beregn i rekkefølge alle en n: en 3 = 3, en 4 = 5, en 5 = 8, en 6 = 13, en 7 = 21, en 8 = 34, en 9 = 55, en 10 = 89.

Svar: 89 måter.

Oppgave #2:

Det kreves å finne antall ord med en lengde på 10 bokstaver, som kun består av bokstavene "a" og "b" og ikke skal inneholde to bokstaver "b" på rad.

Angi med en n antall ord lang n bokstaver som kun består av bokstavene "a" og "b" og ikke inneholder to bokstaver "b" på rad. Midler, en 1= 2, en 2= 3.

I rekkefølge en 1, en 2, <…>, en n vi vil uttrykke hver neste termin i form av de forrige. Derfor antall ord av lengde n bokstaver som heller ikke inneholder en doblet bokstav "b" og begynner med bokstaven "a", dette a n–1. Og hvis ordet er langt n bokstaver begynner med bokstaven "b", det er logisk at neste bokstav i et slikt ord er "a" (det kan tross alt ikke være to "b" i henhold til problemets tilstand). Derfor antall ord av lengde n bokstaver i dette tilfellet, betegnet som a n–2. I både det første og andre tilfellet, et hvilket som helst ord (av lengde n - 1 og n - 2 henholdsvis bokstaver) uten doblet "b".

Vi klarte å forklare hvorfor a n = a n–1 + a n–2.

La oss beregne nå en 3= en 2+ en 1= 3 + 2 = 5, en 4= en 3+ en 2= 5 + 3 = 8, <…>, en 10= en 9+ en 8= 144. Og vi får den kjente Fibonacci-sekvensen.

Svar: 144.

Oppgave #3:

Tenk deg at det er et bånd delt inn i celler. Den går til høyre og varer på ubestemt tid. Plasser en gresshoppe på den første cellen av båndet. På hvilken av cellene på båndet han er, kan han bare bevege seg til høyre: enten en celle eller to. Hvor mange måter er det for en gresshoppe å hoppe fra begynnelsen av båndet til n cellen?

La oss angi antall måter gresshoppen beveger seg langs båndet frem til n cellen som en n. I dette tilfellet en 1 = en 2= 1. Også i n + 1-th celle gresshoppen kan få enten fra n cellen, eller ved å hoppe over den. Herfra n + 1 = a n – 1 + en n. Hvor en n = F n – 1.

Svar: F n – 1.

Du kan lage lignende problemer selv og prøve å løse dem i mattetimene med klassekameratene dine.

Fibonacci-tall i populærkulturen

Selvfølgelig, sånn uvanlig fenomen, som Fibonacci-tallene, kan ikke annet enn å tiltrekke seg oppmerksomhet. Det er fortsatt noe attraktivt og til og med mystisk i dette strengt verifiserte mønsteret. Det er ikke overraskende at Fibonacci-sekvensen på en eller annen måte "lyser opp" i mange moderne verk massekultur et bredt utvalg av sjangre.

Vi vil fortelle deg om noen av dem. Og du prøver å lete mer etter deg selv. Hvis du finner den, del den med oss i kommentarfeltet - vi er også nysgjerrige!

Fibonacci-nummer er nevnt i Dan Browns bestselger Da Vinci-koden: Fibonacci-sekvensen fungerer som koden som hovedpersonene i boken åpner safen med.
PÅ Amerikansk film 2009 "Mr. Nobody" i en av episodene, adressen til huset er en del av Fibonacci-sekvensen - 12358. I tillegg, i en annen episode hovedperson bør ringe på telefonnummer, som i hovedsak er den samme, men litt forvrengt (et ekstra tall etter tallet 5) sekvens: 123-581-1321.
I TV-serien The Connection fra 2012 er hovedpersonen, en autistisk gutt, i stand til å skjelne mønstre i hendelsene som finner sted i verden. Inkludert gjennom Fibonacci-tallene. Og administrere disse hendelsene også gjennom tall.
Java spillutviklere for mobiltelefoner Doom RPG plasserte en hemmelig dør på et av nivåene. Koden som åpner den er Fibonacci-sekvensen.
I 2012 ga det russiske rockebandet Splin ut et konseptalbum kalt Illusion. Det åttende sporet heter «Fibonacci». I versene til lederen av gruppen Alexander Vasiliev blir sekvensen av Fibonacci-tall slått. For hvert av de ni påfølgende medlemmene er det et tilsvarende antall rader (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Sett av på veien

1 Klikket ett ledd

1 Det ene ermet skalv

2 Alt, få personalet

Alt, få personalet

3 Be om kokende vann

Toget går til elven

Toget går til taigaen<…>.

limerick ( kort dikt bestemt form- vanligvis fem linjer, med et bestemt rimskjema, komisk i innhold, der første og siste linje gjentas eller delvis dupliserer hverandre) James Lyndon bruker også en referanse til Fibonacci-sekvensen som et humoristisk motiv:

Tett mat av Fibonacci-konene

Det var kun til fordel for dem, ikke ellers.

Konene veide, ifølge ryktene,

Hver er som de to foregående.

Oppsummering

Vi håper at vi kunne fortelle deg mye interessant og nyttig i dag. For eksempel kan du nå se etter Fibonacci-spiralen i naturen rundt deg. Plutselig er det du som vil være i stand til å nøste opp «hemmeligheten til livet, universet og generelt».

Bruk formelen for Fibonacci-tall når du skal løse problemer i kombinatorikk. Du kan bygge videre på eksemplene beskrevet i denne artikkelen.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Fibonacci-tall og det gylne snitt danne grunnlaget for å nøste opp omverdenen, konstruere dens form og optimal visuell oppfatning en person ved hjelp av hvilken han kan føle skjønnhet og harmoni.

Prinsippet om å bestemme størrelsen på det gylne snitt ligger til grunn for perfeksjonen av hele verden og dens deler i dens struktur og funksjoner, dens manifestasjon kan sees i natur, kunst og teknologi. Læren om det gylne snitt ble grunnlagt som et resultat av forskning fra gamle forskere på tallenes natur.

Bevis på bruken av det gylne snitt av eldgamle tenkere er gitt i boken Euklids "Begynnelser", skrevet tilbake på 300-tallet. BC, som brukte denne regelen til å konstruere vanlige 5-goner. Blant pytagoreerne regnes denne figuren som hellig, siden den er både symmetrisk og asymmetrisk. Pentagrammet symboliserte liv og helse.

Fibonacci-tall

Den berømte boken Liber abaci av den italienske matematikeren Leonardo av Pisa, som senere ble kjent som Fibonacci, ble utgitt i 1202. I den gir forskeren for første gang et mønster av tall, i en serie hvor hvert tall er summen av de 2 forrige sifrene. Rekkefølgen av Fibonacci-tall er som følger:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc.

Forskeren siterte også en rekke mønstre:

Et hvilket som helst tall fra serien, delt på det neste, vil være lik en verdi som har en tendens til 0,618. Dessuten gir ikke de første Fibonacci-tallene et slikt tall, men når du beveger deg fra begynnelsen av sekvensen, vil dette forholdet bli mer og mer nøyaktig.

Hvis du deler tallet fra serien med det forrige, vil resultatet ha en tendens til 1,618.

Ett tall delt på det neste vil vise en verdi som har en tendens til 0,382.

Anvendelsen av forbindelsen og mønstrene til det gylne snittet, Fibonacci-tallet (0,618), kan ikke bare finnes i matematikk, men også i naturen, i historien, i arkitektur og konstruksjon og i mange andre vitenskaper.

For praktiske formål er de begrenset til en omtrentlig verdi på Φ = 1,618 eller Φ = 1,62. I en avrundet prosentandel er det gyldne snitt delingen av enhver verdi i forhold til 62 % og 38 %.

Historisk sett ble inndelingen av segment AB ved punkt C i to deler (et mindre segment AC og et større segment BC) opprinnelig kalt det gylne snitt, slik at AC / BC = BC / AB var sant for lengdene til segmentene. snakker for å si det enkelt, segmentet er delt av det gyldne snitt i to ulike deler slik at den mindre delen er relatert til den større, som den større er til hele segmentet. Senere ble dette konseptet utvidet til vilkårlige mengder.

Tallet Φ kalles også gyldne tall.

Det gyldne snitt har mange fantastiske egenskaper, men i tillegg tilskrives det mange fiktive egenskaper.

Nå detaljene:

Definisjonen av ZS er delingen av et segment i to deler i et slikt forhold at den største delen er relatert til den mindre, da summen deres (hele segmentet) er til den større.

Det vil si at hvis vi tar hele segmentet c som 1, vil segment a være lik 0,618, segment b - 0,382. Derfor, hvis vi tar en bygning, for eksempel et tempel bygget i henhold til prinsippet om GS, vil høyden på trommelen med kuppelen være 3,82 cm, og høyden på basen, for eksempel 10 meter. av bygningen vil være 6,18 cm. (Det er tydelig at tallene tatt er like for klarhetens skyld)

Og hva er forholdet mellom GL- og Fibonacci-tall?

Fibonacci-sekvensnumrene er:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Mønsteret av tall er at hvert påfølgende tall er lik summen av de to foregående tallene.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 osv.

og forholdet mellom tilstøtende tall nærmer seg forholdet 3S.
Så 21:34 = 0,617 og 34:55 = 0,618.

Det vil si at i hjertet av ZS er tallene til Fibonacci-sekvensen.

Det antas at begrepet "Golden Ratio" ble introdusert av Leonardo Da Vinci, som sa: "La ingen, som ikke er matematiker, våge å lese verkene mine" og viste proporsjonene Menneskekroppen i hans berømte tegning "Vitruvian Man". "Hvis vi binder en menneskelig figur – den mest perfekte skapningen av universet – med et belte og deretter måler avstanden fra beltet til føttene, vil denne verdien referere til avstanden fra det samme beltet til toppen av hodet, som hele høyden til en person til lengden fra beltet til føttene.»

En serie med Fibonacci-tall er visuelt modellert (materialisert) i form av en spiral.

Og i naturen ser 3S-spiralen slik ut:

Samtidig observeres spiralen overalt (i naturen og ikke bare):

Frø i de fleste planter er ordnet i en spiral
– En edderkopp vever et nett i en spiral
- En orkan går i spiral
– En skremt reinflokk sprer seg i en spiral.
– DNA-molekylet er vridd i en dobbel helix. DNA-molekylet består av to vertikalt sammenvevde helikser 34 ångstrøm lange og 21 ångstrøm brede. Tallene 21 og 34 følger hverandre i Fibonacci-sekvensen.
– Embryoet utvikler seg i form av en spiral
- Spiral "cochlea i det indre øret"
– Vann går ned i avløpet i en spiral
- Spiraldynamikk viser utviklingen av en persons personlighet og hans verdier i en spiral.
– Og selvfølgelig har selve galaksen formen som en spiral

Dermed kan det hevdes at naturen i seg selv er bygget på prinsippet om det gylne snitt, som er grunnen til at denne andelen oppfattes mer harmonisk av det menneskelige øyet. Det krever ikke "fiksing" eller utfylling av det resulterende bildet av verden.

Film. Gud nummer. Ugjendrivelig bevis på Gud; Guds tall. Det uomtvistelige Gudsbeviset.

Gylne proporsjoner i strukturen til DNA-molekylet

All informasjon om fysiologiske egenskaper levende vesener er lagret i et mikroskopisk DNA-molekyl, hvis struktur også inneholder loven om det gylne snitt. DNA-molekylet består av to vertikalt sammenvevde helikser. Hver av disse spiralene er 34 ångstrøm lang og 21 ångstrøm bred. (1 ångstrøm er en hundre milliondels centimeter).

21 og 34 er tall som følger etter hverandre i rekkefølgen av Fibonacci-tall, det vil si at forholdet mellom lengden og bredden til den logaritmiske helixen til DNA-molekylet bærer det gylne snittformel 1: 1.618

Det gylne snitt i strukturen til mikroverdener

Geometriske former er ikke begrenset til bare en trekant, firkant, fem- eller sekskant. Hvis vi kobler disse figurene på ulike måter med hverandre, vil vi få nye tredimensjonale geometriske figurer. Eksempler på dette er figurer som en kube eller en pyramide. Men i tillegg til dem er det også andre tredimensjonale figurer som vi ikke trengte å møte i Hverdagen, og hvis navn vi hører, kanskje for første gang. Blant slike tredimensjonale figurer kan man nevne et tetraeder (en vanlig firesidig figur), et oktaeder, et dodekaeder, et ikosaeder, etc. Dodekaederet består av 13 femkanter, ikosaederet av 20 trekanter. Matematikere bemerker at disse figurene er matematisk veldig enkle å transformere, og deres transformasjon skjer i samsvar med formelen til den logaritmiske spiralen til det gyldne snitt.

I mikrokosmos er tredimensjonale logaritmiske former bygget i henhold til gylne proporsjoner allestedsnærværende. For eksempel har mange virus en tredimensjonal geometrisk form icosahedron. Det kanskje mest kjente av disse virusene er Adeno-viruset. Proteinskallet til Adeno-viruset er dannet av 252 enheter av proteinceller arrangert i en bestemt sekvens. I hvert hjørne av icosahedron er 12 enheter proteinceller i form av et femkantet prisme, og pigglignende strukturer strekker seg fra disse hjørnene.

Det gylne snitt i strukturen til virus ble først oppdaget på 1950-tallet. forskere fra Londons Birkbeck College A.Klug og D.Kaspar. 13 Polyo-viruset var det første som viste en logaritmisk form. Formen til dette viruset ble funnet å være lik den til Rhino 14-viruset.

Spørsmålet oppstår, hvordan danner virus så komplekse tredimensjonale former, hvis struktur inneholder det gyldne snitt, som er ganske vanskelig å konstruere selv med vårt menneskelige sinn? Oppdageren av disse formene for virus, virolog A. Klug kommer med følgende kommentar:

"Dr. Kaspar og jeg har vist at for et sfærisk skall av et virus, er den mest optimale formen symmetri som formen til et ikosaeder. Denne rekkefølgen minimerer antall forbindelseselementer ... De fleste av de geodesiske halvkuleformede kubene til Buckminster Fuller er bygget på lignende måte geometrisk prinsipp. 14 Installasjon av slike kuber krever et ekstremt presist og detaljert forklaringsskjema. Mens bevisstløse virus selv konstruerer et så komplekst skall av elastiske, fleksible proteincelleenheter.

Fibonacci-tall... i naturen og livet

Leonardo Fibonacci er en av de største matematikerne Middelalderen. I et av verkene hans, The Book of Calculations, beskrev Fibonacci den indo-arabiske kalkulatoren og fordelene ved å bruke den fremfor den romerske.

Definisjon
Fibonacci-tall eller Fibonacci-sekvens er en numerisk sekvens som har en rekke egenskaper. For eksempel gir summen av to nabotall i sekvensen verdien av det neste (for eksempel 1+1=2; 2+3=5, etc.), som bekrefter eksistensen av de såkalte Fibonacci-koeffisientene , dvs. konstante forhold.

Fibonacci-sekvensen starter slik: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...

Fullstendig definisjon av Fibonacci-tall

3.

Egenskaper til Fibonacci-sekvensen

1. Forholdet mellom hvert tall og det neste tenderer mer og mer til 0,618 etter hvert som det øker serienummer. Forholdet mellom hvert tall og det forrige har en tendens til 1,618 (omvendt til 0,618). Tallet 0,618 kalles (FI).

2. Når du deler hvert tall med det neste, oppnås tallet 0,382 gjennom ett; omvendt - henholdsvis 2.618.

3. Ved å velge forhold på denne måten får vi hovedsettet med Fibonacci-koeffisienter: … 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.

Forholdet mellom Fibonacci-sekvensen og det "gyldne snittet"

Fibonacci-sekvensen asymptotisk (nærmer seg mer og saktere) har en tendens til et konstant forhold. Imidlertid er dette forholdet irrasjonelt, det vil si at det er et tall med en uendelig, uforutsigbar rekkefølge av desimaler i brøkdelen. Det kan ikke uttrykkes nøyaktig.

Hvis et medlem av Fibonacci-sekvensen deles med den som går foran den (for eksempel 13:8), vil resultatet være en verdi som svinger rundt den irrasjonelle verdien 1,61803398875 ... og etter en tid enten overskrider den eller ikke når den. den. Men selv etter å ha brukt evigheten på det, er det umulig å vite forholdet nøyaktig, til siste desimal. For korthets skyld gir vi den i form av 1.618. Spesielle navn for dette forholdet begynte å bli gitt selv før Luca Pacioli (en middelaldersk matematiker) kalte det den guddommelige proporsjonen. Blant de moderne navnene er som Golden Ratio, Golden Mean og forholdet mellom roterende firkanter. Kepler kalte dette forholdet en av "geometriens skatter". I algebra er det ofte betegnet med den greske bokstaven phi

La oss forestille oss det gylne snittet på eksemplet på et segment.

Tenk på et segment med ender A og B. La punkt C dele segment AB slik at,

AC/CB = CB/AB eller

AB/CB = CB/AC.

Du kan forestille deg det slik: A-–C--–B

Det gylne snitt er en slik proporsjonal inndeling av et segment i ulik deler, der hele segmentet forholder seg til den større delen på samme måte som den større delen selv forholder seg til den mindre; eller med andre ord, den mindre delen er relatert til den større som den større er til alt.

Segmenter av det gylne snitt uttrykkes som en uendelig irrasjonell brøk 0,618 ..., hvis AB tas som en, AC = 0,382 .. Som vi allerede vet, er tallene 0,618 og 0,382 koeffisientene til Fibonacci-sekvensen.

Fibonacci-proporsjoner og det gylne snitt i natur og historie

10.

Det er viktig å merke seg at Fibonacci, som det var, minnet menneskeheten om sekvensen hans. Det var kjent for de gamle grekerne og egypterne. Siden da har mønstre beskrevet av Fibonacci-koeffisienter blitt funnet i natur, arkitektur, kunst, matematikk, fysikk, astronomi, biologi og mange andre områder. Det er rett og slett utrolig hvor mange konstanter som kan beregnes ved hjelp av Fibonacci-sekvensen, og hvordan termene vises i et stort antall kombinasjoner. Det vil imidlertid ikke være en overdrivelse å si at dette ikke bare er et tallspill, men det viktigste matematiske uttrykket. naturfenomener av alle som noen gang er oppdaget.

11.

Eksemplene nedenfor viser noen interessante anvendelser av denne matematiske sekvensen.

12.

1. Skallet er vridd i en spiral. Bretter du den ut får du en lengde som er litt dårligere enn lengden på slangen. Et lite ti-centimeters skall har en spiral på 35 cm. Formen på det spiralkrøllede skallet vakte Arkimedes oppmerksomhet. Faktum er at forholdet mellom målinger av skallets volutter er konstant og lik 1,618. Arkimedes studerte spiralen av skjell og utledet ligningen for spiralen. Spiralen tegnet av denne ligningen kalles ved hans navn. Økningen i trinnet hennes er alltid jevn. For tiden er Archimedes-spiralen mye brukt i ingeniørfag.

2. Planter og dyr. Selv Goethe la vekt på naturens tendens til spiralitet. Spiral- og spiralarrangementet av blader på tregrener ble lagt merke til for lenge siden. Spiralen ble sett i arrangementet av solsikkefrø, i kongler, ananas, kaktus, etc. Det felles arbeidet til botanikere og matematikere kaster lys over disse fantastiske naturfenomenene. Det viste seg at i arrangementet av blader på en gren av solsikkefrø, kongler, manifesterer Fibonacci-serien seg, og derfor manifesterer loven om det gylne snitt seg. Edderkoppen spinner nettet sitt i et spiralmønster. En orkan er i spiral. En skremt reinflokk sprer seg i en spiral. DNA-molekylet er vridd inn i en dobbel helix. Goethe kalte spiralen «livets kurve».

Blant veigresset vokser en umerkelig plante - sikori. La oss se nærmere på det. En gren ble dannet fra hovedstammen. Her er det første bladet. Prosessen gjør et sterkt utkast ut i rommet, stopper, slipper ut et blad, men allerede kortere enn det første, gjør igjen et utkast ut i rommet, men med mindre kraft, slipper ut et blad av enda mindre størrelse og utstøter igjen. Hvis den første uteliggeren tas som 100 enheter, er den andre lik 62 enheter, den tredje er 38, den fjerde er 24, og så videre. Lengden på kronbladene er også underlagt det gylne snitt. I vekst, erobringen av verdensrommet, beholdt planten visse proporsjoner. Dens vekstimpulser avtok gradvis i forhold til det gylne snitt.

Øglen er viviparøs. I øglen, ved første øyekast, fanges proporsjoner som er behagelige for øynene våre - lengden på halen er relatert til lengden på resten av kroppen som 62 til 38.

Både i plante- og dyreverdenen bryter naturens formende tendens vedvarende gjennom - symmetri med hensyn til vekstretning og bevegelse. Her vises det gylne snitt i proporsjonene av deler vinkelrett på vekstretningen. Naturen har utført inndelingen i symmetriske deler og gylne proporsjoner. I deler manifesteres en repetisjon av strukturen til helheten.

Pierre Curie formulerte på begynnelsen av vårt århundre en rekke dyptgripende ideer om symmetri. Han hevdet at man ikke kan vurdere symmetrien til noen kropp uten å ta hensyn til symmetrien miljø. Mønstrene til gylden symmetri manifesteres i energiovergangene til elementære partikler, i strukturen til noen kjemiske forbindelser, i planet- og romsystemer, i genstrukturene til levende organismer. Disse mønstrene, som angitt ovenfor, er i strukturen til individuelle menneskelige organer og kroppen som helhet, og er også manifestert i biorytmer og funksjonen til hjernen og visuell persepsjon.

3. Plass. Det er kjent fra astronomihistorien at I. Titius, en tysk astronom på 1700-tallet, ved bruk av denne serien (Fibonacci) fant regelmessighet og orden i avstandene mellom planetene i solsystemet

En sak som imidlertid så ut til å være mot loven: det var ingen planet mellom Mars og Jupiter. Fokusert observasjon av dette området av himmelen førte til oppdagelsen av asteroidebeltet. Dette skjedde etter Titius død i tidlig XIX i.

Fibonacci-serien er mye brukt: den brukes til å representere arkitektur og levende vesener, og menneskeskapte strukturer, og strukturen til galaksene. Disse fakta er bevis på uavhengighet nummerserie på betingelsene for dens manifestasjon, som er et av tegnene på dens universalitet.

4. Pyramider. Mange har forsøkt å avdekke hemmelighetene til Giza-pyramiden. I motsetning til andre egyptiske pyramider er dette ikke en grav, men snarere et uløselig puslespill av numeriske kombinasjoner. Den bemerkelsesverdige oppfinnsomheten, dyktigheten, tiden og arbeidet til pyramidens arkitekter, som de brukte i konstruksjonen av det evige symbolet, indikerer den ekstreme viktigheten av budskapet som de ønsket å formidle til fremtidige generasjoner. Deres epoke var pre-litterate, pre-hieroglyfiske, og symboler var det eneste middelet til å registrere funn. Nøkkelen til den geometrisk-matematiske hemmeligheten til Giza-pyramiden, så lenge et mysterium for menneskeheten, ble faktisk gitt til Herodot av tempelprestene, som informerte ham om at pyramiden ble bygget slik at området til hver av dens ansikter var lik kvadratet av høyden.

Trekantområdet

356 x 440 / 2 = 78320

kvadratisk areal

280 x 280 = 78400

Lengden på kanten av bunnen av pyramiden ved Giza er 783,3 fot (238,7 m), høyden på pyramiden er 484,4 fot (147,6 m). Lengden på kanten av basen, delt på høyden, fører til forholdet Ф=1,618. Høyden på 484,4 fot tilsvarer 5813 tommer (5-8-13) - dette er tall fra Fibonacci-sekvensen. Disse interessante observasjonene antyder at konstruksjonen av pyramiden er basert på andelen Ф=1,618. Noen moderne forskere har en tendens til å tolke at de gamle egypterne bygde den for det eneste formålet å gi videre kunnskapen de ønsket å bevare for fremtidige generasjoner. Intensive studier av pyramiden i Giza viste hvor omfattende kunnskaper innen matematikk og astrologi var på den tiden. I alle indre og ytre proporsjoner av pyramiden spiller tallet 1.618 en sentral rolle.

Pyramider i Mexico. Ikke bare de egyptiske pyramidene ble bygget i samsvar med de perfekte proporsjonene til det gylne snitt, det samme fenomenet ble funnet i de meksikanske pyramidene. Ideen oppstår at både egyptiske og meksikanske pyramider ble reist på omtrent samme tid av mennesker med felles opphav.

Det er mange flere i universet uløste mysterier, hvorav noen forskere allerede har vært i stand til å identifisere og beskrive. Fibonacci-tall og det gylne snitt danner grunnlaget for å nøste opp verden rundt oss, bygge dens form og optimale visuelle oppfatning av en person, ved hjelp av hvilken han kan føle skjønnhet og harmoni.

gyldne snitt

Den er basert på teorien om proporsjoner og forhold mellom segmentinndelinger, som ble laget av den gamle filosofen og matematikeren Pythagoras. Han beviste at når du deler et segment i to deler: X (mindre) og Y (større), vil forholdet mellom den største og den minste være lik forholdet mellom summen deres (av hele segmentet):

Resultatet er en ligning: x 2 - x - 1=0, som er løst som x=(1±√5)/2.

Hvis vi vurderer forholdet 1/x, så er det lik 1,618…

Fibonacci-tall

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc.

Forskeren siterte også en rekke mønstre:

Et hvilket som helst tall fra serien, delt på det neste, vil være lik en verdi som har en tendens til 0,618. Dessuten gir ikke de første Fibonacci-tallene et slikt tall, men når du beveger deg fra begynnelsen av sekvensen, vil dette forholdet bli mer og mer nøyaktig.
Hvis du deler tallet fra serien med det forrige, vil resultatet ha en tendens til 1,618.
Ett tall delt på det neste vil vise en verdi som har en tendens til 0,382.

Arkimedes spiral og gyldent rektangel

Spiraler, veldig vanlige i naturen, ble utforsket av Archimedes, som til og med utledet ligningen hennes. Formen på spiralen er basert på lovene i det gylne snitt. Når den er utvunnet, oppnås en lengde som proporsjoner og Fibonacci-tall kan påføres, trinnøkningen skjer jevnt.

Parallellen mellom Fibonacci-tallene og det gylne snitt kan også sees ved å konstruere et "gyllent rektangel" hvis sider er proporsjonale som 1,618:1. Den bygges ved å flytte fra et større rektangel til mindre slik at lengdene på sidene blir lik tallene fra raden. Konstruksjonen kan gjøres i omvendt rekkefølge, og starter med firkanten "1". Når du kobler hjørnene til dette rektangelet med linjer i midten av skjæringspunktet, oppnås en Fibonacci- eller logaritmisk spiral.

Historien om bruken av gyldne proporsjoner

Mange gamle arkitektoniske monumenter i Egypt ble bygget med gylne proporsjoner: de berømte pyramidene til Cheops og andre. Arkitekter Antikkens Hellas de ble mye brukt i konstruksjonen arkitektoniske gjenstander som templer, amfiteatre, stadioner. For eksempel ble slike proporsjoner brukt i konstruksjonen av det gamle Parthenon-tempelet (Athen) og andre gjenstander som ble mesterverk av gammel arkitektur, og demonstrerte harmoni basert på matematisk regelmessighet.

I senere århundrer avtok interessen for det gylne snitt, og mønstrene ble glemt, men gjenopptatt i renessansen, sammen med boken til fransiskanermunken L. Pacioli di Borgo "Den guddommelige proporsjon" (1509). Det inkluderte illustrasjoner av Leonardo da Vinci, som fikset det nye navnet "gyldne snitt". Også 12 egenskaper ved det gylne snitt ble vitenskapelig bevist, og forfatteren snakket om hvordan det manifesterer seg i naturen, i kunsten og kalte det "prinsippet om å bygge verden og naturen."

Vitruvian mann Leonardo

Tegningen som Leonardo da Vinci illustrerte Vitruvius bok i 1492 viser en figur av en mann i 2 posisjoner med armene strukket til sidene. Figuren er innskrevet i en sirkel og en firkant. Denne tegningen anses å være de kanoniske proporsjonene til menneskekroppen (mann), beskrevet av Leonardo basert på deres studie i avhandlingene til den romerske arkitekten Vitruvius.

Sentrum av kroppen som et ekvidistant punkt fra enden av armer og ben er navlen, lengden på armene er lik høyden på en person, maksimal bredde på skuldrene = 1/8 av høyden, avstand fra toppen av brystet til håret = 1/7, fra toppen av brystet til toppen av hodet = 1/6 osv.

Siden den gang har tegningen blitt brukt som et symbol som viser den indre symmetrien til menneskekroppen.

Begrepet "Golden Ratio" ble brukt av Leonardo for å betegne proporsjonale forhold i den menneskelige figuren. For eksempel er avstanden fra midjen til føttene knyttet til samme avstand fra navlen til toppen av hodet på samme måte som høyden til den første lengden (fra midjen og ned). Denne beregningen gjøres på samme måte som forholdet mellom segmentene ved beregning av det gylne snitt og har en tendens til 1,618.

Alle disse harmoniske proporsjonene brukes ofte av kunstnere til å skape vakre og imponerende verk.

Studier av det gylne snitt på 1500-1800-tallet

Ved å bruke det gylne snitt og Fibonacci-tall, forskningsarbeid på spørsmålet om proporsjoner har pågått i mer enn ett århundre. Parallelt med Leonardo da Vinci utviklet den tyske kunstneren Albrecht Dürer også teorien om de riktige proporsjonene til menneskekroppen. For dette laget han til og med et spesielt kompass.

På 1500-tallet Spørsmålet om sammenhengen mellom Fibonacci-tallet og det gylne snitt ble viet arbeidet til astronomen I. Kepler, som først brukte disse reglene på botanikk.

En ny «oppdagelse» ventet det gylne snitt på 1800-tallet. med utgivelsen av "Estetisk forskning" av den tyske forskeren professor Zeisig. Han hevet disse proporsjonene til det absolutte og kunngjorde at de er universelle for alle naturfenomener. De har forsket stor mengde mennesker, eller rettere sagt deres kroppslige proporsjoner (omtrent 2 tusen), som et resultat av at det ble trukket konklusjoner om statistisk bekreftede mønstre i forholdstallene ulike deler kropp: lengder på skuldre, underarmer, hender, fingre, etc.

Kunstgjenstander (vaser, arkitektoniske strukturer), musikalske toner, størrelser når han skrev dikt - Zeisig viste alt dette gjennom lengdene på segmenter og tall, han introduserte også begrepet "matematisk estetikk". Etter å ha mottatt resultatene viste det seg at Fibonacci-serien er oppnådd.

Fibonacci-tall og gyldne snitt i naturen

I plante- og dyreverdenen er det en tendens til dannelse i form av symmetri, som observeres i retning av vekst og bevegelse. Inndelingen i symmetriske deler der gylne proporsjoner observeres, er et mønster som ligger i mange planter og dyr.

Naturen rundt oss kan beskrives ved hjelp av Fibonacci-tall, for eksempel:

arrangementet av blader eller grener av planter, så vel som avstandene, er relatert til rekken av gitte tall 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 og så videre;
solsikkefrø (skjell på kjegler, ananasceller), arrangert i to rader i vridde spiraler i forskjellige retninger;
forholdet mellom lengden på halen og hele kroppen til øglen;
formen på egget, hvis du tegner en linje betinget gjennom den brede delen;
forholdet mellom størrelsen på fingrene på den menneskelige hånden.

Og selvfølgelig det meste interessante former representerer sneglehus i spiral, mønstre på nettet, vindens bevegelse inne i en orkan, dobbeltspiralen i DNA og strukturen til galakser - de inkluderer alle en sekvens av Fibonacci-tall.

Bruken av det gylne snitt i kunsten

Forskere som leter etter eksempler på bruken av det gylne snitt i kunst, undersøker i detalj ulike arkitektoniske gjenstander og malerier. Kjente skulpturverk er kjent, skaperne av disse holdt seg til gylne proporsjoner - statuene av Olympian Zeus, Apollo Belvedere og

En av kreasjonene til Leonardo da Vinci - "Portrett av Mona Lisa" - har vært gjenstand for forskning av forskere i mange år. De fant ut at komposisjonen til verket i sin helhet består av "gyldne trekanter", samlet til en vanlig femkantstjerne. Alle verkene til da Vinci er bevis på hvor dyp kunnskapen hans om strukturen og proporsjonene til menneskekroppen var, takket være at han var i stand til å fange det utrolig mystiske smilet til Mona Lisa.

Det gylne snitt i arkitektur

Som et eksempel studerte forskere mesterverkene av arkitektur laget i henhold til reglene for det "gyldne snittet": Pyramidene i Egypt, Pantheon, Parthenon, Notre Dame de Paris katedral, St. Basil's Cathedral, etc.

Parthenon - en av de vakreste bygningene i antikkens Hellas (5. århundre f.Kr.) - har 8 søyler og 17 ulike partier, forholdet mellom høyden og lengden på sidene er 0,618. Fremspringene på fasadene er laget i henhold til den "gyldne delen" (bildet nedenfor).

En av forskerne som oppfant og med suksess brukte forbedringen av det modulære systemet av proporsjoner for arkitektoniske objekter (den såkalte "moduloren") var den franske arkitekten Le Corbusier. Moduloren er basert på et målesystem assosiert med en betinget inndeling i deler av menneskekroppen.

Den russiske arkitekten M. Kazakov, som bygde flere boligbygg i Moskva, samt bygningene til Senatet i Kreml og Golitsyn-sykehuset (nå den 1. klinikken oppkalt etter N.I. Pirogov), var en av arkitektene som brukte lover i design og konstruksjon om det gylne snitt.

Bruke proporsjoner i design

I motedesign lager alle motedesignere nye bilder og modeller, med tanke på proporsjonene til menneskekroppen og reglene for det gyldne snitt, selv om ikke alle mennesker av natur har ideelle proporsjoner.

Ved planlegging landskapsutforming og lage voluminøse parkkomposisjoner ved hjelp av planter (trær og busker), fontener og små arkitektoniske gjenstander, lovene " guddommelige proporsjoner". Tross alt bør sammensetningen av parken være fokusert på å skape et inntrykk på den besøkende, som fritt vil kunne navigere i den og finne komposisjonssenteret.

Alle elementene i parken er i slike proporsjoner at de ved hjelp av geometrisk struktur, gjensidig arrangement, belysning og lys gir inntrykk av harmoni og perfeksjon på en person.

Anvendelse av det gylne snitt i kybernetikk og teknologi

Lovene til det gylne snitt og Fibonacci-tallene manifesteres også i energioverganger, i prosesser som skjer med elementærpartikler, som utgjør kjemiske forbindelser, i romsystemer, i genstrukturen til DNA.

Lignende prosesser forekommer i menneskekroppen, og manifesterer seg i biorytmene i livet hans, i handlingen til organer, for eksempel hjernen eller synet.

Algoritmer og mønstre med gylne proporsjoner er mye brukt i moderne kybernetikk og informatikk. En av de enkle oppgavene som nybegynnere programmerere får til å løse er å skrive en formel og bestemme summen av Fibonacci-tall opp til et visst antall ved hjelp av programmeringsspråk.

Moderne forskning på teorien om det gylne snitt

Siden midten av 1900-tallet har interessen for problemene og innflytelsen fra lovene til de gylne proporsjonene på menneskelivet økt dramatisk, og fra mange forskere fra forskjellige yrker: matematikere, etnoforskere, biologer, filosofer, medisinske arbeidere, økonomer, musikere osv.

Siden 1970-tallet har The Fibonacci Quarterly blitt publisert i USA, hvor arbeider om dette emnet er publisert. Verk vises i pressen der de generaliserte reglene for det gylne snitt og Fibonacci-serien brukes i ulike kunnskapsgrener. For eksempel, for å kode informasjon, kjemisk forskning, biologisk osv.

Alt dette bekrefter konklusjonene til gamle og moderne forskere om at det gyldne snitt er multilateralt forbundet med vitenskapens grunnleggende spørsmål og manifesterer seg i symmetrien til mange kreasjoner og fenomener i verden rundt oss.

Om tall og formler som finnes i naturen. Vel, noen få ord om de samme tallene og formlene.

Tall og formler i naturen er en snublestein mellom de som tror på skapelsen av universet av noen og de som tror på skapelsen av universet av seg selv. For spørsmålet: "Hvis universet oppsto av seg selv, ville ikke praktisk talt alle levende og ikke-levende objekter være bygget i henhold til samme skjema, i henhold til samme formler?"

Vel, for dette filosofisk spørsmål vi svarer ikke her (formatet på siden er ikke det samme 🙂), men vi vil gi uttrykk for formlene. Og la oss starte med Fibonacci-tallene og Golden Spiral.

Så, Fibonacci-tall er elementer i en numerisk sekvens der hvert påfølgende tall er lik summen av de to foregående tallene. Det vil si 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 og så videre.

Totalt oppnås en serie: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Et annet eksempel på en Fibonacci-serie: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 og så videre. Du kan eksperimentere selv 🙂

Hvordan dukker Fibonacci-tall opp i naturen? Veldig enkelt:

Bladarrangement i planter er beskrevet av Fibonacci-sekvensen. Solsikkefrø, kongler, blomsterblader, ananasceller er også ordnet i henhold til Fibonacci-sekvensen.
Lengden på phalanges av menneskelige fingre er omtrent den samme som Fibonacci-tallene.
DNA-molekylet består av to vertikalt sammenvevde helikser 34 ångstrøm lange og 21 ångstrøm brede. Tallene 21 og 34 følger hverandre i Fibonacci-sekvensen.

Ved hjelp av Fibonacci-tall kan du bygge en gylden spiral. Så la oss tegne en liten firkant med en side av for eksempel 1. Husk deretter skolen. Hvor mye er 12? Dette blir 1. Så la oss tegne en annen firkant ved siden av den første, lukk. Deretter er det neste Fibonacci-tallet 2 (1+1). Hva er 2 2? Dette blir 4. La oss tegne en annen rute nær de to første rutene, men nå med en side på 2 og et areal på 4. Neste nummer er tallet 3 (1+2). Kvadraten til tallet 3 er 9. Tegn en firkant med siden 3 og et areal på 9 ved siden av de som allerede er tegnet. Deretter har vi et kvadrat med en side på 5 og et areal på 25, et kvadrat med en side på 8 og et område på 64, og så videre, i det uendelige.

Det er tid for den gylne spiral. La oss koble grensepunktene mellom rutene med en jevn buet linje. Og vi vil få den samme gylne spiralen, på grunnlag av hvilken mange levende og ikke-levende gjenstander i naturen bygges.

Og før vi går videre til det gylne snitt, la oss tenke. Her har vi bygget en spiral basert på rutene til Fibonacci-sekvensen (sekvens 1, 1, 2, 3, 5, 8 og rutene 1, 1, 4, 9, 25, 64). Men hva skjer hvis vi ikke bruker kvadratene av tall, men deres terninger? Terningene vil se slik ut fra midten:

Og på siden slik:

Vel, når man bygger en spiral, viser det seg voluminøs gylden spiral:

Slik ser denne voluminøse gylne spiralen ut fra siden:

Men hva om vi ikke tar kubene av Fibonacci-tall, men går til den fjerde dimensjonen?.. Dette er et puslespill, ikke sant?

Jeg aner imidlertid ikke hvordan det volumetriske gyldne snittet manifesterer seg i naturen basert på kubene til Fibonacci-tall, og enda mer tall i fjerde grad. Derfor går vi tilbake til det gylne snittet på flyet. Så la oss se på rutene våre igjen. Matematisk sett ser det slik ut:

Det vil si at vi får det gyldne snitt – der den ene siden er delt i to deler i et slikt forhold at den mindre delen er relatert til den større, slik den større er til hele verdien.

Det vil si a: b = b: c eller c: b = b: a.

På grunnlag av et slikt størrelsesforhold bygges blant annet en vanlig femkant og et pentagram:

For referanse: for å bygge et pentagram, må du bygge en vanlig femkant. Metoden for konstruksjonen ble utviklet av den tyske maleren og grafikeren Albrecht Dürer (1471…1528). La O være sentrum av sirkelen, A et punkt på sirkelen og E midtpunktet av segment OA. Perpendikulæren til radius OA, hevet ved punkt O, skjærer sirkelen i punkt D. Bruk et kompass til å markere segmentet CE = ED på diameteren. Lengden på en side av en vanlig femkant innskrevet i en sirkel er DC. Vi setter til side segmenter DC på sirkelen og får fem poeng for å tegne en vanlig femkant. Vi kobler hjørnene på femkanten gjennom en diagonal og får et pentagram. Alle diagonaler i femkanten deler hverandre i segmenter forbundet med det gylne snitt.

Generelt er dette mønstrene. Dessuten er det mye mer varierte mønstre enn det som er beskrevet. Og nå, etter alle disse kjedelige tallene - det lovede videoklippet, der alt er enkelt og klart:

Som du kan se, er matematikk faktisk til stede i naturen. Og ikke bare i objektene som er oppført i videoen, men også på mange andre områder. For eksempel, når en bølge treffer kysten og vrir seg, vrir den seg langs den gylne spiralen. Vel, og så videre 🙂