Numerisk løsning av vanlige differensialligninger ved Euler-metoden. Numerisk løsning av vanlige differensialligninger

Vanlige differensialligninger kalles slike ligninger som inneholder en eller flere deriverte av den ønskede funksjonen y=y (x). De kan skrives i skjemaet

Hvor x er den uavhengige variabelen.

Den høyeste orden n av den deriverte i ligningen kalles rekkefølgen til differensialligningen.

Metoder for å løse vanlige differensialligninger kan deles inn i følgende grupper: grafisk, analytisk, omtrentlig og numerisk.

Grafiske metoder bruker geometriske konstruksjoner.

Analytiske metoder finnes i løpet av differensialligninger. For første-ordens ligninger (med separerbare variabler, homogene, lineære osv.), samt for noen typer høyere-ordens ligninger (for eksempel lineære med konstante koeffisienter), er det mulig å få løsninger i form av formler ved analytiske transformasjoner.

Tilnærmede metoder bruker forskjellige forenklinger av selve ligningene ved rimelig avvisning av noen av begrepene i dem, samt ved et spesielt utvalg av klasser av de ønskede funksjonene.

Numeriske metoder for å løse differensialligninger er i dag hovedverktøyet i studiet av vitenskapelige og tekniske problemer beskrevet av differensialligninger. Samtidig bør det understrekes at disse metodene er spesielt effektive i kombinasjon med bruk av moderne datamaskiner.

Den enkleste numeriske metoden for å løse Cauchy-problemet for ODE-er er Euler-metoden. Tenk på ligningen i nærheten av nodene (i=1,2,3,...) og erstatt den deriverte på venstre side med den høyre forskjellen. I dette tilfellet vil verdiene til funksjonen ved nodene bli erstattet av verdiene til rutenettfunksjonen:

Den oppnådde tilnærmingen til DE er av første orden, siden en feil er tillatt når du erstatter med .

Merk at det følger av ligningen

Derfor er det et omtrentlig funn av verdien av funksjonen på et punkt ved å bruke utvidelsen i en Taylor-serie med avvisning av termer i andre og høyere orden. Med andre ord, inkrementet til en funksjon antas å være lik dens differensial.

Forutsatt at i=0, ved å bruke relasjonen finner vi verdien av rutenettfunksjonen ved:

Verdien som kreves her er gitt av starttilstanden, dvs.

På samme måte kan verdiene til rutenettfunksjonen på andre noder bli funnet:

Den konstruerte algoritmen kalles Euler-metoden

Figur - 19 Euler-metoden

Den geometriske tolkningen av Euler-metoden er gitt i figuren. De to første trinnene vises, dvs. beregningen av rutenettfunksjonen ved punkter er illustrert. Integralkurvene 0,1,2 beskriver de eksakte løsningene av ligningen. I dette tilfellet tilsvarer kurve 0 den nøyaktige løsningen av Cauchy-problemet, siden den går gjennom startpunktet A (x 0, y 0). Punktene B,C oppnås som et resultat av den numeriske løsningen av Cauchy-problemet ved Euler-metoden. Deres avvik fra kurve 0 karakteriserer metodefeilen. Når vi utfører hvert trinn, kommer vi faktisk til en annen integralkurve. Segment AB er et segment av tangenten til kurve 0 i punkt A, dets helning er preget av verdien av den deriverte. Feilen oppstår fordi økningen i funksjonens verdi under overgangen fra x 0 til x 1 erstattes av en økning i ordinaten til tangenten til kurve 0 i punkt A. Tangenten BC er allerede trukket til en annen integralkurve 1 Dermed fører feilen til Euler-metoden til det faktum at på hvert trinn går den omtrentlige løsningen over til en annen integralkurve.

Numerisk løsning av differensialligninger

Mange problemer innen vitenskap og teknologi er redusert til å løse vanlige differensialligninger (ODE). ODE-er er slike ligninger som inneholder en eller flere deriverte av den ønskede funksjonen. Generelt kan ODE skrives som følger:

Der x er en uavhengig variabel, er den i-te deriverte av den ønskede funksjonen. n er rekkefølgen av ligningen. Den generelle løsningen av den n-te ordens ODE inneholder n vilkårlige konstanter, dvs. den generelle løsningen har formen .

For å velge en unik løsning er det nødvendig å sette n tilleggsbetingelser. Avhengig av hvordan tilleggsbetingelser er spesifisert, er det to forskjellige typer problemer: Cauchy-problemet og grenseverdiproblemet. Hvis ytterligere betingelser er spesifisert på et tidspunkt, kalles et slikt problem Cauchy-problemet. Ytterligere forhold i Cauchy-problemet kalles initialbetingelser. Dersom tilleggsbetingelser er spesifisert på mer enn ett punkt, d.v.s. for forskjellige verdier av den uavhengige variabelen, kalles et slikt problem et grenseproblem. Selve tilleggsbetingelsene kalles grense- eller grensebetingelser.

Det er klart at for n=1 kan man bare snakke om Cauchy-problemet.

Eksempler på innstilling av Cauchy-problemet:

Eksempler på grenseverdiproblemer:

Det er mulig å løse slike problemer analytisk bare for noen spesielle typer ligninger.

Numeriske metoder for å løse Cauchy-problemet for førsteordens ODE-er

Formulering av problemet. Finn en løsning på en første ordens ODE

På segmentet under tilstanden

Ved å finne en omtrentlig løsning vil vi anta at beregningene utføres med et beregningstrinn , beregningsnodene er intervallpunktene [ x 0 , x n ].

Målet er å bygge et bord

x Jeg				x n
y Jeg				y n

de. omtrentlige verdier av y søkes etter ved rutenettnodene.

Ved å integrere ligningen på intervallet får vi

Ganske naturlig (men ikke den eneste) måten å få en numerisk løsning på er å erstatte integralet i den med en eller annen kvadratur numerisk integrasjonsformel. Hvis vi bruker den enkleste formelen til venstre rektangler av første orden

,

så får vi Eulers eksplisitte formel:

Oppgjørsprosedyre:

Å vite, finner vi, så videre.

Geometrisk tolkning av Eulers metode:

Utnytte det som er på punktet x 0 kjent løsning y(x 0)=y 0 og verdien av dens deriverte, kan du skrive likningen av tangenten til grafen til den ønskede funksjonen i punktet :. Med et tilstrekkelig lite skritt h ordinaten til denne tangenten, oppnådd ved substitusjon til høyre side av verdien , bør avvike lite fra ordinaten y(x 1) løsninger y(x) av Cauchy-problemet. Derfor skjæringspunktet for tangenten med linjen x = x 1 kan tilnærmet tas som et nytt utgangspunkt. Gjennom dette punktet trekker vi igjen en rett linje, som omtrent gjenspeiler oppførselen til tangenten til punktet. Erstatter her (dvs. skjæringspunktet med linjen x = x 2), får vi en omtrentlig verdi y(x) på punktet x 2: osv. Som et resultat, for Jeg punktet får vi Euler-formelen.

Den eksplisitte Euler-metoden har første ordens nøyaktighet eller tilnærming.

Hvis vi bruker formelen for rette rektangler: , så kommer vi til metoden

Denne metoden kalles implisitt Euler-metoden, siden for å beregne en ukjent verdi fra en kjent verdi, er det nødvendig å løse en ligning, i det generelle tilfellet, en ikke-lineær.

Den implisitte Euler-metoden har førsteordens nøyaktighet eller tilnærming.

I denne metoden består beregningen av to trinn:

Denne ordningen kalles også prediktor-korrigeringsmetoden (prediktiv-korrigerende). På det første trinnet predikeres den omtrentlige verdien med lav nøyaktighet (h), og på det andre trinnet korrigeres denne prediksjonen slik at den resulterende verdien har den andre nøyaktighetsordenen.

Runge – Kutta metoder: ideen om å konstruere eksplisitte Runge–Kutta-metoder s-te orden er å få tilnærminger til verdiene y(x Jeg+1) i henhold til formelen til skjemaet

…………………………………………….

Her en n ,b NJ , s n, er noen faste tall (parametere).

Når du konstruerer Runge–Kutta-metodene, vil parametrene til funksjonen ( en n ,b NJ , s n) velges på en slik måte at man oppnår ønsket tilnærmingsrekkefølge.

Runge – Kutta-opplegg av fjerde nøyaktighetsorden:

Eksempel. Løs Cauchy-problemet:

Tenk på tre metoder: eksplisitt Euler-metode, modifisert Euler-metode, Runge-Kutta-metode.

Nøyaktig løsning:

Beregningsformler for den eksplisitte Euler-metoden for dette eksemplet:

Beregningsformler for den modifiserte Euler-metoden:

Beregningsformler for Runge-Kutta-metoden:

y1 er Euler-metoden, y2 er den modifiserte Euler-metoden, y3 er Runge Kutta-metoden.

Det kan ses at Runge-Kutta-metoden er den mest nøyaktige.

Numeriske metoder for å løse systemer av førsteordens ODE-er

De betraktede metodene kan også brukes til å løse systemer med differensialligninger av første orden.

La oss vise dette for tilfellet med et system med to førsteordens ligninger:

Eksplisitt Euler-metode:

Modifisert Euler-metode:

Runge-Kutta-skjema av fjerde nøyaktighetsorden:

Cauchy-problemer for ligninger av høyere orden er også redusert til å løse systemer med ODE-ligninger. Tenk for eksempel Cauchy-problemet for en andreordens ligning

La oss introdusere den andre ukjente funksjonen. Da erstattes Cauchy-problemet med følgende:

De. når det gjelder forrige problem: .

Eksempel. Finn en løsning på Cauchy-problemet:

På kuttet.

Nøyaktig løsning:

Egentlig:

La oss løse problemet med den eksplisitte Euler-metoden, modifisert av Euler- og Runge-Kutta-metoden med trinn h=0.2.

La oss introdusere en funksjon.

Så får vi følgende Cauchy-problem for et system med to førsteordens ODE-er:

Eksplisitt Euler-metode:

Modifisert Euler-metode:

Runge-Kutta metode:

Euler-skjema:

Modifisert Euler-metode:

Runge - Kutta-opplegg:

Maks(y-y teori)=4*10 -5

Endelig forskjellsmetode for å løse grenseverdiproblemer for ODE-er

Formulering av problemet: finn løsningen av en lineær differensialligning

som tilfredsstiller grensebetingelsene:. (2)

Teorem. La . Da er det en unik løsning på problemet.

For eksempel er problemet med å bestemme avbøyningen av en bjelke, som er hengslet i endene, redusert til dette problemet.

Hovedstadiene i den endelige forskjellsmetoden:

1) området for kontinuerlig endring av argumentet () erstattes av et diskret sett med punkter kalt noder: .

2) Den ønskede funksjonen til det kontinuerlige argumentet x erstattes tilnærmet med funksjonen til det diskrete argumentet på det gitte rutenettet, dvs. . Funksjonen kalles grid.

3) Den opprinnelige differensialligningen erstattes av en differanseligning med hensyn til rutenettfunksjonen. En slik erstatning kalles en differansetilnærming.

Dermed reduseres løsningen av en differensialligning til å finne verdiene til rutenettfunksjonen ved nodene til rutenettet, som er funnet fra løsningen av algebraiske ligninger.

Tilnærming av derivater.

For å tilnærme (erstatte) den første deriverte, kan du bruke formlene:

- høyre forskjellsderivat,

- venstre differansederivat,

Sentral forskjellsderivat.

dvs. mange måter å tilnærme den deriverte på er mulig.

Alle disse definisjonene følger av konseptet med et derivat som en grense: .

Basert på differansetilnærmingen til den første deriverte, kan vi konstruere en differansetilnærming av den andre deriverte:

På samme måte kan høyere ordens derivater tilnærmes.

Definisjon. Tilnærmingsfeilen til den n-te deriverte er forskjellen: .

Taylor-seriens utvidelse brukes til å bestemme tilnærmingsrekkefølgen.

Vurder den riktige forskjellstilnærmingen til den første deriverte:

De. den rette forskjellsderivatet har først av h tilnærmingsrekkefølge.

Det samme gjelder for den venstre differansederivatet.

Den sentrale forskjellsderivatet har andre ordens tilnærming.

Approksimasjon av den andre deriverte ved formel (3) har også den andre rekkefølgen av tilnærming.

For å tilnærme en differensialligning, er det nødvendig å erstatte alle deriverte i den med deres tilnærminger. Vurder problem (1), (2) og erstatt derivatene i (1):

Som et resultat får vi:

(4)

Rekkefølgen for tilnærming til det opprinnelige problemet er 2, fordi andre og første deriverte erstattes med rekkefølge 2, og resten er nøyaktig.

Så i stedet for differensialligninger (1), (2), oppnås et system med lineære ligninger for bestemmelse ved rutenettnodene.

Ordningen kan representeres som:

dvs. vi har et system av lineære ligninger med en matrise:

Denne matrisen er tridiagonal, dvs. alle elementer som ikke er plassert på hoveddiagonalen og to diagonaler ved siden av den er lik null.

Ved å løse det resulterende ligningssystemet får vi en løsning på det opprinnelige problemet.

Introduksjon

Når man løser vitenskapelige og tekniske problemer, er det ofte nødvendig å matematisk beskrive ethvert dynamisk system. Dette gjøres best i form av differensialligninger ( DU) eller differensialligninger. Oftest oppstår et slikt problem når man løser problemer knyttet til modellering av kinetikken til kjemiske reaksjoner og ulike overføringsfenomener (varme, masse, momentum) - varmeoverføring, blanding, tørking, adsorpsjon, når man beskriver bevegelsen til makro- og mikropartikler.

I noen tilfeller kan differensialligningen konverteres til en form der den høyeste deriverte uttrykkes eksplisitt. Denne formen for skriving kalles en ligning løst med hensyn til den høyeste deriverte (i dette tilfellet er den høyeste deriverte fraværende på høyre side av ligningen):

En løsning på en vanlig differensialligning er en funksjon y(x) som, for enhver x, tilfredsstiller denne ligningen i et bestemt endelig eller uendelig intervall. Prosessen med å løse en differensialligning kalles differensialligningsintegrasjon.

Historisk sett er den første og enkleste måten å numerisk løse Cauchy-problemet for førsteordens ODE-er Euler-metoden. Den er basert på tilnærmingen til den deriverte ved forholdet mellom endelige inkrementer av de avhengige (y) og uavhengige (x) variablene mellom nodene til et enhetlig rutenett:

hvor y i+1 er den nødvendige verdien av funksjonen i punktet x i+1.

Nøyaktigheten til Euler-metoden kan forbedres hvis vi bruker en mer nøyaktig integrasjonsformel for å tilnærme integralet: trapesformel.

Denne formelen viser seg å være implisitt med hensyn til y i+1 (denne verdien er på både venstre og høyre side av uttrykket), det vil si at det er en ligning for y i+1 , som kan løses f.eks. , numerisk, ved å bruke en eller annen iterativ metode (i en slik form kan den betraktes som en iterativ formel for den enkle iterasjonsmetoden).

Sammensetningen av kursarbeidet: Kursarbeidet består av tre deler. I første del en kort beskrivelse av metodene. I den andre delen, formuleringen og løsningen av problemet. I tredje del - programvareimplementering på dataspråket

Formålet med kursarbeidet: å studere to metoder for å løse differensialligninger - Euler-Cauchy-metoden og den forbedrede Euler-metoden.

1. Teoretisk del

Numerisk differensiering

En differensialligning er en som inneholder en eller flere derivater. Avhengig av antall uavhengige variabler er differensialligninger delt inn i to kategorier.

Ordinære differensialligninger (ODEs)

Partielle differensialligninger.

Vanlige differensialligninger kalles slike ligninger som inneholder en eller flere deriverte av ønsket funksjon. De kan skrives i skjemaet

uavhengig variabel

Den høyeste orden inkludert i ligning (1) kalles rekkefølgen av differensialligningen.

Den enkleste (lineære) ODE er ligning (1) av orden løst med hensyn til den deriverte

En løsning på en differensialligning (1) er enhver funksjon som, etter å ha erstattet den i ligningen, gjør den til en identitet.

Hovedproblemet knyttet til den lineære ODE er kjent som Kashi-problemet:

Finn en løsning på ligning (2) i form av en funksjon som tilfredsstiller startbetingelsen (3)

Geometrisk betyr dette at det kreves å finne integralkurven som går gjennom punktet ) når likhet (2) er tilfredsstilt.

Numerisk sett fra Kashi-problemets synspunkt betyr: det er nødvendig å bygge en tabell med funksjonsverdier som tilfredsstiller ligning (2) og startbetingelsen (3) på et segment med et visst trinn. Det antas vanligvis at det vil si at startbetingelsen er gitt i venstre ende av segmentet.

Den enkleste av de numeriske metodene for å løse en differensialligning er Euler-metoden. Den er basert på ideen om å grafisk konstruere en løsning på en differensialligning, men denne metoden gir også en måte å finne ønsket funksjon i numerisk form eller i en tabell.

La ligningen (2) gis med startbetingelsen, det vil si at Kashi-problemet er satt. La oss løse følgende problem først. Finn på den enkleste måten den omtrentlige verdien av løsningen på et tidspunkt hvor er et tilstrekkelig lite trinn. Ligning (2) sammen med startbetingelsen (3) definerer retningen til tangenten til den ønskede integralkurven i punktet med koordinater

Tangentligningen har formen

Ved å bevege oss langs denne tangenten får vi den omtrentlige verdien av løsningen ved punktet:

Når vi har en omtrentlig løsning i et punkt, kan vi gjenta prosedyren beskrevet tidligere: konstruer en rett linje som går gjennom dette punktet med helning , og bruk den til å finne den omtrentlige verdien av løsningen i punktet

. Legg merke til at denne rette linjen ikke tangerer den virkelige integralkurven, siden punktet ikke er tilgjengelig for oss, men hvis det er lite nok, vil de resulterende omtrentlige verdiene være nær de nøyaktige verdiene til løsningen.

For å fortsette denne ideen konstruerer vi et system med punkter med lik avstand

Få en tabell med verdier for ønsket funksjon

i henhold til Euler-metoden består i syklisk anvendelse av formelen

Figur 1. Grafisk tolkning av Euler-metoden

Metoder for numerisk integrasjon av differensialligninger, der løsninger oppnås fra en node til en annen, kalles trinnvis. Euler-metoden er den enkleste representanten for trinnvise metoder. Et trekk ved enhver trinn-for-trinn-metode er at startverdien i formel (5) fra det andre trinnet i seg selv er omtrentlig, det vil si at feilen ved hvert neste trinn øker systematisk. Den mest brukte metoden for å estimere nøyaktigheten av trinnvise metoder for den omtrentlige numeriske løsningen av ODE-er er metoden for å dobbeltpassere et gitt segment med et trinn og med et trinn

1.1 Forbedret Euler-metode

Hovedideen med denne metoden: den neste verdien beregnet ved formel (5) vil være mer nøyaktig hvis verdien av derivatet, det vil si helningen til den rette linjen som erstatter integralkurven på segmentet, ikke beregnes langs venstre kant (det vil si ved punktet ), men langs midten av segmentet . Men siden verdien av den deriverte mellom punktene ikke beregnes, la oss gå videre til de doble delene av senteret, der punktet er, mens ligningen til den rette linjen har formen:

Og formel (5) tar formen

Formel (7) brukes bare for, derfor kan verdien ikke oppnås fra den, derfor blir de funnet ved hjelp av Euler-metoden, mens for å oppnå et mer nøyaktig resultat, gjør de dette: fra begynnelsen, ved å bruke formelen (5 ), finn verdien

(8)

Ved punkt og deretter er funnet av formel (7) med et trinn

(9)

Etter ytterligere beregninger er funnet for produsert av formel (7)

Hovedspørsmålene som ble diskutert på forelesningen:

1. Redegjørelse av problemet

2. Euler-metoden

3. Runge-Kutta metoder

4. Flertrinnsmetoder

5. Løsning av et grenseverdiproblem for en lineær differensialligning av 2. orden

6. Numerisk løsning av partielle differensialligninger

1. Redegjørelse av problemet

Den enkleste ordinære differensialligningen (ODE) er en førsteordens ligning løst med hensyn til den deriverte: y " = f (x, y) (1). Hovedproblemet knyttet til denne ligningen er kjent som Cauchy-problemet: finn en løsning til ligning (1) i form av en funksjon y (x) som tilfredsstiller startbetingelsen: y (x0) = y0 (2).
n-te orden DE y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)), der Cauchy-problemet er å finne en løsning y = y(x) som tilfredsstiller startbetingelsene :
y (x0) = y0, y" (x0) = y"0, :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0, hvor y0, y"0, :, y(n- 1)0 - gitte tall, kan reduseres til et førsteordens DE-system.

· Euler-metoden

Euler-metoden er basert på ideen om å grafisk konstruere en løsning på differensialligningen, men den samme metoden gir samtidig den numeriske formen til ønsket funksjon. La ligning (1) med startbetingelse (2) gis.
Å få en tabell med verdier for den ønskede funksjonen y (x) ved Euler-metoden består i den sykliske anvendelsen av formelen: , i = 0, 1, :, n. For den geometriske konstruksjonen av den brutte Euler-linjen (se figuren), velger vi polen A(-1,0) og plotter segmentet PL=f(x0, y0) på y-aksen (punktet P er opprinnelsen til koordinater). Åpenbart vil helningen til strålen AL være lik f(x0, y0), derfor, for å få den første lenken til den polygonale Euler-linjen, er det nok å trekke linjen MM1 fra punktet M parallelt med strålen AL til den skjærer linjen x = x1 på et eller annet punkt M1(x1, y1). Ved å ta punktet M1(x1, y1) som det første, setter vi til side segmentet PN = f (x1, y1) på Oy-aksen og trekker en rett linje gjennom punktet M1 M1M2 | | AN til skjæringspunktet i punktet M2(x2, y2) med linjen x = x2, osv.

Ulemper med metoden: lav nøyaktighet, systematisk akkumulering av feil.

· Runge-Kutta-metoder

Hovedideen med metoden: i stedet for å bruke de partielle derivatene av funksjonen f (x, y) i arbeidsformlene, bruk bare denne funksjonen selv, men beregn verdiene på flere punkter på hvert trinn. For å gjøre dette, vil vi se etter en løsning på ligning (1) i formen:


Ved å endre α, β, r, q vil vi få ulike versjoner av Runge-Kutta-metodene.
For q=1 får vi Euler-formelen.
For q=2 og r1=r2=½ får vi at α, β= 1 og derfor har vi formelen: , som kalles den forbedrede Euler-Cauchy-metoden.
Med q=2 og r1=0, r2=1, får vi at α, β = ½ og derfor har vi formelen: - den andre forbedrede Euler-Cauchy-metoden.
For q=3 og q=4 er det også hele familier av Runge-Kutta-formler. I praksis brukes de oftest, pga. ikke øke feilene.
Vurder et opplegg for å løse en differensialligning ved hjelp av Runge-Kutta-metoden med 4 nøyaktighetsordener. Beregninger ved hjelp av denne metoden utføres i henhold til formlene:

Det er praktisk å legge dem inn i følgende tabell:

x	y	y" = f(x,y)	k=h f(x,y)	Δy
x0	y0	f(x0,y0)	k1(0)	k1(0)
x0 + ½ t	y0 + ½ k1(0)	f(x0 + ½ t, y0 + ½ k1(0))	k2(0)	2k2(0)
x0 + ½ t	y0 + ½ k2(0)	f(x0 + ½ t, y0 + ½ k2(0))	k3(0)	2k3(0)
x0 + h	y0 + k3(0)	f(x0 + h, y0 + k3(0))	k4(0)	k4(0)
				Δy0 = Σ / 6
x1	y1 = y0 + Δy0	f(x1,y1)	k1(1)	k1(1)
x1 + ½ t	y1 + ½ k1(1)	f(x1 + ½ t, y1 + ½ k1(1))	k2(1)	2k2(1)
x1 + ½ t	y1 + ½ k2(1)	f(x1 + ½ t, y1 + ½ k2(1))	k3(1)	2k3(1)
x1 + h	y1 + k3(1)	f(x1 + h, y1 + k3(1))	k4(1)	k4(1)
				Δy1 = Σ / 6
x2	y2 = y1 + Δy1	etc.	til alt er nødvendig	y verdier

· Flertrinns metoder

Metodene diskutert ovenfor er de såkalte metodene for trinnvis integrasjon av en differensialligning. De kjennetegnes ved at verdien av løsningen i neste trinn søkes ved å bruke løsningen oppnådd ved kun ett tidligere trinn. Dette er de såkalte ettstegsmetodene.
Hovedideen med flertrinnsmetoder er å bruke flere tidligere beslutningsverdier ved beregning av løsningsverdien ved neste trinn. Disse metodene kalles også m-trinn med tallet m som brukes til å beregne de tidligere verdiene av løsningen.
I det generelle tilfellet, for å bestemme den omtrentlige løsningen yi+1, skrives m-trinnsforskjellsskjemaer som følger (m 1):
Vurder spesifikke formler som implementerer de enkleste eksplisitte og implisitte Adams-metodene.

Eksplisitt Adams 2. orden (2-trinns eksplisitt Adams)

Vi har a0 = 0, m = 2.
Dermed - beregningsformlene til den eksplisitte Adams-metoden av 2. orden.
For i = 1 har vi en ukjent y1, som vi finner ved hjelp av Runge-Kutta-metoden for q = 2 eller q = 4.
For i = 2, 3, : alle nødvendige verdier er kjent.

Implisitt Adams metode 1. orden

Vi har: a0 0, m = 1.
Altså - beregningsformlene til den implisitte Adams-metoden av 1. orden.
Hovedproblemet med implisitte skjemaer er følgende: yi+1 er inkludert i både høyre og venstre side av den presenterte likheten, så vi har en ligning for å finne verdien av yi+1. Denne ligningen er ikke-lineær og skrevet i en form som passer for en iterativ løsning, så vi vil bruke den enkle iterasjonsmetoden for å løse den:
Hvis trinn h velges godt, konvergerer den iterative prosessen raskt.
Denne metoden er heller ikke selvstartende. Så for å beregne y1, må du vite y1(0). Den kan bli funnet ved hjelp av Euler-metoden.

For å løse differensialligninger, er det nødvendig å vite verdien av den avhengige variabelen og dens derivater for noen verdier av den uavhengige variabelen. Hvis ytterligere betingelser er spesifisert for én verdi av det ukjente, dvs. uavhengig variabel, så kalles et slikt problem Cauchy-problemet. Hvis startbetingelsene er gitt ved to eller flere verdier av den uavhengige variabelen, kalles problemet et grenseproblem. Når du løser differensialligninger av ulike typer, beregnes funksjonen hvis verdier du vil bestemme i form av en tabell.

Klassifisering av numeriske metoder for å løse difr. Lv. typer.

Cauchy-problemet er ett-trinns: Euler-metoder, Runge-Kutta-metoder; – flertrinn: Hovedmetode, Adams-metode. Et grenseverdiproblem er en metode for å redusere et grenseverdiproblem til Cauchy-problemet; – metode for endelige forskjeller.

Når du løser Cauchy-problemet, difr. ur. ordre n eller system difr. ur. av første orden fra n ligninger og n tilleggsbetingelser for løsningen. Ytterligere betingelser må spesifiseres for samme verdi av den uavhengige variabelen. Ved løsning av et grenseproblem, lign. n-te orden eller et system av n ligninger og n tilleggsbetingelser for to eller flere verdier av den uavhengige variabelen. Ved løsning av Cauchy-problemet bestemmes ønsket funksjon diskret i form av en tabell med et gitt trinn . Når du skal bestemme hver neste verdi, kan du bruke informasjon om ett tidligere punkt. I dette tilfellet kalles metodene enkeltstegsmetoder, eller du kan bruke informasjon om flere tidligere punkter - flertrinnsmetoder.

Vanlig differensial ur. Cauchy problem. Ett-trinns metoder. Euler-metoden.

Gitt: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0, y( x 0)=y 0 . Kjent: f(x,y), x 0 , y 0 . Bestem den diskrete løsningen: x i, y i, i=0,1,...,n. Euler-metoden er basert på utvidelse av en funksjon i en Taylor-serie rundt punktet x 0 . Nabolaget er beskrevet av trinn h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Euler-metoden tar kun hensyn til to ledd i Taylor-serien. La oss introdusere notasjon. Eulers formel vil ha formen: y i+1 =y i +y i, y i =hy(x i)=hf(x i,y i), y i+1 =y i +hf(x i,y i) (2), i= 0,1,2…, xi+1 = xi+h

Formel (2) er formelen til den enkle Euler-metoden.

Geometrisk tolkning av Eulers formel

For å få en numerisk løsning, f-la til tangenten som går gjennom Eq. tangent: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 \u003d y (x 0) + f (x 0, y 0)  (x-x 0), fordi

x-x 0 \u003d h, deretter y 1 \u003d y 0 + hf (x 0, y 0), f (x 0, y 0) \u003d tg £.

Modifisert Euler-metode

Gitt: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Kjent: f(x,y), x 0 , y 0 . Bestem: avhengigheten av y av x i form av en tabellformet diskret funksjon: x i, y i, i=0,1,...,n.

Geometrisk tolkning

1) beregn skråningsvinkeltangenten ved startpunktet

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Beregn verdien  y n+1 på

på slutten av trinnet i henhold til Euler-formelen

 y n+1 \u003d y n + f (x n, y n) 3) Beregn tangenten til skråningen

tangent ved n+1 punkter: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Regn ut det aritmetiske gjennomsnittet av vinklene

skråning: tg £=½. 5) Ved å bruke tangenten til helningsvinkelen regner vi om verdien av funksjonen ved n+1 punkter: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h er formelen til den modifiserte Euler-metoden . Det kan vises at den resulterende f-la tilsvarer utvidelsen av f-ii i en Taylor-serie, inkludert termer (opptil h 2). Den modifiserte Eilnr-metoden, i motsetning til den enkle, er en metode av andre ordens nøyaktighet, siden feilen er proporsjonal med h 2 .