Som gir et bevis på Poincaré-formodningen. Poincaré-hypotesen og universets opprinnelse

Poincare formodning fremsatt på begynnelsen av 1900-tallet. fransk matematiker Henri Poincare. For å formulere det gir vi

Definisjon. Topologisk rom X kalles enkelt koblet hvis den er banekoblet og eventuell kontinuerlig kartlegging
X sirkler ut i rommet X kan fortsette til kontinuerlig visning
hele sirkelen
. Det er ikke vanskelig å se at sfæren er ganske enkelt koblet til n 2.

Poincaré-hypotesen. Hver lukket, enkelt koblet 3-manifold er homeomorf til en 3-sfære.

Analoger av Poincaré-formodningen angående manifolder med dimensjon 4 eller mer er bevist. Dessuten oppnås en topologisk klassifisering generelt av alle lukkede enkelt koblede firedimensjonale manifolder.

Det er interessant: For nesten 100 år siden slo Poincaré fast at den todimensjonale sfæren ganske enkelt er koblet sammen og antydet at den tredimensjonale sfæren også bare er koblet sammen.

Med andre ord, Poincaré-formodningen sier at hver enkelt koblet lukket 3-manifold er homeomorf til en 3-sfære. Formodningen ble formulert av Poincaré i 1904. Den generaliserte Poincaré-formodningen sier at for evt. n hver manifold med dimensjon n er homotopi ekvivalent med en dimensjonssfære n hvis og bare hvis det er homeomorft til det. For avklaring brukes følgende bilde: hvis du pakker et eple med en gummistrikk, kan du i prinsippet presse eplet til en spiss ved å trekke båndet sammen. Hvis du pakker en smultring med samme tape (en pai med et hull i midten), så kan du ikke klemme den inn i en spiss uten å rive verken smultringen eller gummien. I denne sammenhengen kalles eplet en "enkeltkoblet" figur, men smultringen er ikke bare koblet sammen.

Jules Henri Poincaré oppdaget den spesielle relativitetsteorien samtidig med Einstein (1905) og er anerkjent som en av de de største matematikerne gjennom hele menneskehetens historie.

Poincaré-hypotesen forble ubevist gjennom det tjuende århundre. I den matematiske verden har den fått en status som ligner på Fermats siste teorem.

For beviset på Poincaré-formodningen Clay tildelte en millionpris, noe som kan virke overraskende siden vi snakker om et veldig privat, uinteressant faktum. For matematikere er det faktisk ikke så mye egenskapene til den tredimensjonale overflaten som er viktige, men det faktum at beviset i seg selv er vanskelig. I denne oppgaven, i en konsentrert form, formuleres det som ikke kunne bevises ved hjelp av tidligere tilgjengelige ideer og metoder for geometri og topologi. Den lar deg på en måte se på et dypere nivå, inn i det laget av oppgaver som bare kan løses ved hjelp av ideene til den "nye generasjonen". Som i situasjonen med Fermats teorem, viste det seg at Poincare-formodningen er spesielt tilfelle Et mye mer generelt utsagn om de geometriske egenskapene til vilkårlige tredimensjonale overflater er Thurstons Geometrisation Conjecture.Derfor ble matematikernes innsats ikke rettet mot å løse dette spesielle tilfellet, men å bygge en ny matematisk tilnærming som kan takle slike problemer.

Den russiske matematikeren Grigory Perelman, ansatt ved Laboratory of Geometry and Topology of the St. V.A. Steklov hevder at han beviste Poincaré-formodningen, det vil si at han løste et av de mest kjente uløste matematiske problemene. Uvanlig var måten Perelman valgte å publisere bevisene sine på. I stedet for å publisere det i en solid vitenskapelig tidsskrift, som for øvrig var en forutsetning for å tildele en millionpris, la Perelman ut arbeidet sitt på et av internettarkivene. Selv om beviset bare tok 61 sider, skapte det en sensasjon i den vitenskapelige verden.

Den vitenskapelige verden applauderte geniet, lovende fjell av gull og ærestitler. American Clay Institute of Mathematics var klar til å tildele ham en pris på 1 million dollar. Ingen var i tvil om at World Congress of Mathematicians ville kalle Perelman vinneren. Forresten, som du vet, er ikke matematikere blant de tildelte forskerne Nobel pris. Onde tunger hevder at dette faktum ikke er tilfeldig. Faktisk, ifølge rykter, var det matematikeren som falt i unåde hos den berømte svensken Alfred Nobel, etter å ha slått av sin elskede jente i ungdommen. I mellomtiden nektet det russiske geniet en million, uten å publisere oppdagelsen i spesialiserte publikasjoner, og trakk seg fra Mathematical Institute. Steklov RAS, gikk i tilbaketrukkethet og dukket ikke opp under prisutdelingen, som ble overrakt av kongen av Spania Juan Carlos I. Han reagerte ikke på noen måte på beskjeden om prisen og invitasjonen om å motta den, men som kjente sier: geniet "gikk inn i skogene" for å plukke sopp i nærheten av St. Petersburg.

Forskere mener at 38-åringen russisk matematiker Grigory Perelman foreslo den riktige løsningen på Poincaré-problemet. Keith Devlin, professor i matematikk ved Stanford University, kunngjorde dette på Exeter Science Festival (Storbritannia).

Problemet (også kalt problemet eller hypotesen) til Poincaré er en av de syv viktigste matematiske problemer, for å løse hver av dem Clay Mathematics Institute utnevnt en premie på én million dollar. Det var dette som vakte så stor oppmerksomhet til resultatene oppnådd av Grigory Perelman, en ansatt ved Laboratory of Mathematical Physics St. Petersburg gren av Steklov Institute of Mathematics.

Forskere over hele verden lærte om Perelmans prestasjoner fra to forhåndstrykk (artikler som går foran en fullverdig vitenskapelig publikasjon) lagt ut av forfatteren i november 2002 og mars 2003 på nettsiden til arkivet for forarbeid Los Alamos Science Laboratory.

I henhold til reglene som er vedtatt av Clay Institutes Scientific Advisory Board, skal en ny hypotese publiseres i et spesialtidsskrift med «internasjonalt rykte». I tillegg, i henhold til instituttets regler, tas beslutningen om utbetaling av prisen til slutt av "matematisk fellesskap": beviset må ikke tilbakevises før to år etter publisering. Verifiseringen av hvert bevis gjøres av matematikere i forskjellige land fred.

Poincaré-problem

Poincare-problemet tilhører feltet av den såkalte topologien til manifolder - rom som er arrangert på en spesiell måte og har forskjellige dimensjoner. Todimensjonale manifolder kan visualiseres, for eksempel på eksemplet med overflaten til tredimensjonale kropper - en kule (overflaten til en ball) eller en torus (overflaten til en smultring).

Det er lett å forestille seg hva som vil skje med en ballong hvis den blir deformert (bøyd, vridd, trukket, klemt, klemt, tømt eller blåst opp). Det er klart at med alle deformasjonene ovenfor, vil ballen endre form over et bredt spekter. Vi vil imidlertid aldri kunne gjøre ballen om til en smultring (eller omvendt) uten å bryte kontinuiteten til overflaten, det vil si uten å bryte den. I dette tilfellet sier topologer at sfæren (kulen) ikke er homeomorf til torus (smultring). Dette betyr at disse overflatene ikke kan kartlegges til hverandre. snakker enkelt språk, sfære og torus er forskjellige i sine topologiske egenskaper. Og overflaten til en ballong, med alle dens forskjellige deformasjoner, er homeomorf til en kule, så vel som overflaten til en livbøye er for en torus. Med andre ord har enhver lukket todimensjonal overflate uten gjennomgående hull de samme topologiske egenskapene som en todimensjonal kule.

Poincaré-problemet angir det samme for tredimensjonale manifolder (for todimensjonale manifolder som sfæren ble denne proposisjonen bevist allerede på 1800-tallet). Som den franske matematikeren bemerket, er en av de viktigste egenskapene til en todimensjonal sfære at enhver lukket sløyfe (for eksempel en lasso) som ligger på den kan trekkes sammen til ett punkt uten å forlate overflaten. For en torus er dette ikke alltid sant: en løkke som går gjennom hullet vil krympe til et punkt enten når torusen brytes, eller når selve løkken brytes. I 1904 antok Poincaré at hvis en sløyfe kan trekke seg sammen til et punkt på en lukket tredimensjonal overflate, så er en slik overflate homeomorf til en tredimensjonal sfære. Beviset for denne formodningen viste seg å være en ekstremt vanskelig oppgave.

La oss avklare med en gang: formuleringen av Poincare-problemet vi har nevnt snakker ikke i det hele tatt om en tredimensjonal ball, som vi kan forestille oss uten store problemer, men om en tredimensjonal kule, det vil si om overflaten til en firedimensjonal ball, som allerede er mye vanskeligere å forestille seg. Men på slutten av 1950-tallet ble det plutselig klart at det var mye lettere å jobbe med høydimensjonale manifolder enn med tre- og firedimensjonale. Det er klart at mangelen på visualisering er langt fra den største vanskeligheten matematikere møter i sin forskning.

Et Poincaré-lignende problem for dimensjoner 5 og over ble løst i 1960 av Stephen Smale, John Stallings og Andrew Wallace. Tilnærmingene som ble brukt av disse forskerne, viste seg imidlertid å være uanvendelige for firedimensjonale manifolder. For dem ble Poincaré-problemet først bevist i 1981 av Michael Freedman. Den tredimensjonale saken viste seg å være den vanskeligste; sin avgjørelse og tilbyr Grigory Perelman.

Det skal bemerkes at Perelman har en rival. I april 2002 foreslo Martin Dunwoody, professor i matematikk ved det britiske universitetet i Southampton, sin egen metode for å løse Poincaré-problemet og venter nå på en dom fra Clay Institute.

Eksperter mener at løsningen av Poincaré-problemet vil gjøre det mulig å ta et seriøst skritt i den matematiske beskrivelsen fysiske prosesser i komplekse tredimensjonale objekter og vil gi en ny impuls til utviklingen av datatopologi. Metoden foreslått av Grigory Perelman vil føre til oppdagelsen av en ny retning innen geometri og topologi. En Petersburg-matematiker kan godt kvalifisere seg til Fields-prisen (en analog til Nobelprisen, som ikke deles ut i matematikk).

I mellomtiden finner noen oppførselen til Grigory Perelman merkelig. Her er hva den britiske avisen The Guardian skriver: "Mest sannsynlig er Perelmans tilnærming til å løse Poincaré-problemet riktig. Men ikke alt er så enkelt. Perelman gir ikke bevis for at verket ble publisert som et fullverdig vitenskapelig publikasjon(fortrykk teller ikke som sådan). Og dette er nødvendig hvis en person ønsker å motta en pris fra Clay Institute. Dessuten viser han ingen interesse for penger i det hele tatt."

Tilsynelatende, for Grigory Perelman, som for en ekte vitenskapsmann, er ikke penger hovedsaken. For å løse noen av de såkalte "millenniumproblemene" vil en sann matematiker selge sjelen sin til djevelen.

Kinesiske matematikere har publisert et fullstendig bevis på Poincaré-formodningen, formulert i 1904, melder nyhetsbyrået Xinhua. Hypotesen om klassifiseringen av flerdimensjonale overflater (mer presist, manifolder) var et av "millenniumproblemene", for løsningen som American Clay Institute tilbød en million dollarpris.

I følge Poincaré tilsvarer enhver lukket tredimensjonal "overflate uten hull" (en enkelt koblet manifold) en tredimensjonal kule, det vil si overflaten til en firedimensjonal ball. Poincare selv, forfatteren av det matematiske apparatet til Einsteins teori, presenterte den første begrunnelsen, men oppdaget senere en feil i sitt eget resonnement. Hypotesen i denne formuleringen ble bevist i 2003 av den russiske matematikeren Grigory Perelman, hvis 70-siders arbeid fortsatt blir sjekket av eksperter. Andre tilfeller (dimensjon fire og høyere) ble vurdert tidligere.

Ifølge forfatterne er den nye artikkelen på 300 sider i Asian Journal of Mathematics ikke uavhengig og baserer seg først og fremst på Perelmans resultater. Zhu Xiping og Cao Huaidong hevder at de nå har eliminert en rekke vanskeligheter, måtene å overvinne dem på som Perelman nettopp hadde skissert. Det er kjent at Shing-Tun Yau også deltok i arbeidet med beviset, hvis topologiske arbeider (spesielt teorien om Calabi-Yau-manifolder) anses som nøkkelen for moderne teori strenger. Det nye arbeidet, sier eksperter, vil også kreve en langvarig rekontroll.

Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Geometri. Moskva: Nauka, 1990

Vedlegg til abstrakt 2:

Hva er essensen av Poincaré-teoremet

1. Sofya beviste det for E, og her er det også RØDT....
2. Poenget er at universet ikke er en kule, men en smultring
3. Betydningen av Poincare-formodningen i dens opprinnelige formulering er at for enhver tredimensjonal kropp uten hull er det en transformasjon som lar den bli til en ball uten å kutte og lime. Hvis dette virker åpenbart, hva om rommet ikke er tredimensjonalt, men inneholder ti eller elleve dimensjoner (det vil si at vi snakker om en generalisert formulering av Poincaré-hypotesen, som Perelman beviste)
4. kan ikke si med 2 ord
5. I 1900 antok Poincaré at en tredimensjonal manifold med alle homologigrupper som en sfære er homeomorf til en sfære. I 1904 fant han også et moteksempel, nå kalt Poincaré-sfæren, og formulerte den endelige versjonen av formodningen sin. Forsøk på å bevise Poincaré-formodningen førte til mange fremskritt i topologien til manifolder.

   Bevis på den generaliserte Poincaré-formodningen for n #10878; 5 ble oppnådd på begynnelsen av 1960-1970-tallet nesten samtidig av Smale, uavhengig og ved andre metoder av Stallings (Eng.) (for n #10878; 7, beviset hans ble utvidet til tilfellene n = 5 og 6 av Zeeman (Eng. )) . Beviset er mye mer vanskelig sak n = 4 ble oppnådd først i 1982 av Friedman. Det følger av Novikovs teorem om den topologiske invariansen til Pontryagins karakteristiske klasser at det eksisterer homotopisk ekvivalente, men ikke homeomorfe manifolder i høye dimensjoner.

   Beviset for den originale Poincaré-formodningen (og den mer generelle Trston-formodningen) ble funnet først i 2002 av Grigory Perelman. Deretter ble Perelmans bevis verifisert og presentert i en vridd form av minst tre grupper av forskere. 1 Beviset bruker Ricci-strømmen med kirurgi og følger i stor grad planen skissert av Hamilton, som også var den første som brukte Ricci-strømmen.

6. hvem er dette
7. Poincarés teorem:
   Poincarés vektorfeltteorem
   Bendixsons Poincaré-teorem
   Poincarés teorem om klassifisering av homeomorfismer av sirkelen
   Poincarés formodning om homotopi-sfæren
   Poincarés gjentakelsesteorem

   Hva spør du om?

8. I teorien dynamiske systemer, Poincaré-teoremet om klassifisering av homeomorfismer av sirkelen beskriver mulige typer reversibel dynamikk på sirkelen, avhengig av rotasjonstallet p(f) til den itererte kartleggingen f. Grovt sett viser det seg at dynamikken i kartleggingsiterasjoner til en viss grad er lik dynamikken ved rotasjon gjennom den tilsvarende vinkelen.
   Nemlig la en sirkel homeomorfisme f gis. Deretter:
   1) Rotasjonstallet er rasjonelt hvis og bare hvis f har periodiske poeng. Dessuten er nevneren til rotasjonstallet perioden til ethvert periodisk punkt, og den sykliske rekkefølgen på sirkelen av punktene til en hvilken som helst periodisk bane er den samme som for punktene i rotasjonsbanen på p(f). Videre har enhver bane en tendens til en periodisk både i forover og bakover tid (a- og -w grensebaner kan være forskjellige i dette tilfellet).
   2) Hvis rotasjonstallet f er irrasjonelt, er to alternativer mulig:
   i) enten f har en tett bane, i så fall er homeomorfismen f konjugert til en rotasjon på p(f). I dette tilfellet er alle baner til f tette (siden dette er sant for en irrasjonell rotasjon);
   ii) enten f har et Cantor invariant sett C som er det unike minimalsettet til systemet. I dette tilfellet har alle baner en tendens til C både fremover og bakover. Dessuten er kartleggingen f semi-adjoint til en rotasjon på p(f): for noen kartlegging h av grad 1, p o f =R p (f) o h

   Dessuten er settet C nøyaktig settet med vekstpunkter til h, med andre ord, fra et topologisk synspunkt, kollapser h komplementintervallene til C.

9. sakens kjerne er 1 million dollar
10. Det faktum at ingen forstår det bortsett fra 1 person
11. I utenrikspolitikk Frankrike..
12. Her svarte Lka best av alle http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. En strålende matematiker, den parisiske professoren Henri Poincaré, var engasjert i forskjellige områder av denne vitenskapen. Uavhengig og uavhengig av arbeidet til Einstein i 1905, la han frem hovedbestemmelsene i den spesielle relativitetsteorien. Og han formulerte sin berømte hypotese tilbake i 1904, så det tok omtrent et århundre å løse den.

    Poincaré var en av grunnleggerne av topologi, vitenskapen om egenskaper geometriske former, som ikke endres under deformasjoner som oppstår uten diskontinuiteter. For eksempel, ballong kan lett deformeres til en rekke former, slik det gjøres for barn i parken. Men du må kutte ballen for å vri en smultring (eller, i geometriske termer, en torus) ut av den; det er ingen annen måte. Og omvendt: ta en gummibolle og prøv å gjøre den om til en kule. Det vil imidlertid fortsatt ikke fungere. Når det gjelder deres topologiske egenskaper, er overflatene til en kule og en torus inkompatible, eller ikke-homeomorfe. På den annen side er alle overflater uten hull (lukkede overflater), tvert imot, homeomorfe og er i stand til å forvandle seg til en kule når de blir deformert.

    Hvis alt om de todimensjonale overflatene til sfæren og torusen ble bestemt tilbake på 1800-tallet, tok det mye mer tid for mer flerdimensjonale tilfeller. Dette er faktisk essensen av Poincare-formodningen, som utvider regulariteten til flerdimensjonale tilfeller. For å forenkle litt sier Poincaré-formodningen: Hver enkelt koblet lukket n-dimensjonal manifold er homeomorf til en n-dimensjonal sfære. Det er artig at varianten med tredimensjonale flater viste seg å være den vanskeligste. I 1960 ble formodningen bevist for dimensjoner 5 og over, i 1981 for n=4. Snublesteinen var nettopp tredimensjonalitet.

    Ved å utvikle ideene til William Tristen og Richard Hamilton, foreslått av dem på 1980-tallet, brukte Grigory Perelman på tredimensjonale overflater spesiell ligning jevn utvikling. Og han var i stand til å vise at den opprinnelige tredimensjonale overflaten (hvis det ikke er noen diskontinuiteter i den) nødvendigvis vil utvikle seg til en tredimensjonal sfære (dette er overflaten til en firedimensjonal ball, og den eksisterer i en firedimensjonal kule). dimensjonalt rom). I følge en rekke eksperter var dette en idé om en ny generasjon, hvis løsning åpner nye horisonter for matematisk vitenskap.

    Det er interessant at Perelman av en eller annen grunn ikke brydde seg om å bringe avgjørelsen til sin endelige glans. Etter å ha beskrevet løsningen som helhet i preprinten Entropiformelen for Ricci-strømmen og dens geometriske anvendelser i november 2002, fullførte han beviset i mars 2003 og presenterte det i preprint Ricci-strømmen med kirurgi på tremanifolder, og rapporterte også metoden i en serie forelesninger som han leste i 2003 på invitasjon fra en rekke universiteter. Ingen av anmelderne kunne finne feil i versjonen han foreslo, men Perelman ga ikke ut publikasjoner i den refererte vitenskapelige publikasjonen (nemlig, spesielt, var nødvendig tilstand mottar Clay Mathematical Institute Prize). Men i 2006, basert på metoden hans, kom det ut et helt sett med bevis der amerikanske og kinesiske matematikere vurderer problemet i detalj og fullstendig, supplerer punktene utelatt av Perelman, og gir det endelige beviset på Poincaré-formodningen.

14. Den generaliserte Poincare-formodningen sier at:
    For enhver n er en hvilken som helst manifold med dimensjon n homotopi ekvivalent med en sfære med dimensjon n hvis og bare hvis den er homeomorf til den.
    Den opprinnelige Poincare-formodningen er et spesialtilfelle av den generaliserte formodningen for n = 3.
    For forklaringer - gå til skogen for sopp, Grigory Perelman går dit)
15. Poincares gjentakelsesteoremet er en av de grunnleggende teoremene i ergodisk teori. Dens essens er at under en målbevarende kartlegging av rommet på seg selv, vil nesten hvert punkt gå tilbake til sitt opprinnelige nabolag. Hele setningen til teoremet er som følger1:
    La være en målbevarende transformasjon av et rom med et endelig mål og la være et målbart sett. Så for enhver naturlig
    .
    Denne teoremet har en uventet konsekvens: det viser seg at hvis i et kar delt av en skillevegg i to rom, hvorav det ene er fylt med gass og det andre er tomt, fjernes skilleveggen, og etter en stund vil alle gassmolekylene igjen samles i den opprinnelige delen av fartøyet. Nøkkelen til dette paradokset er at noe tid er i størrelsesorden milliarder av år.
16. han har teoremer som kuttede hunder i Korea ...

    universet er sfærisk... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincare, _Henri

    i går kunngjorde forskere at universet er et frossent stoff ... og ba om mye penger for å bevise dette ... igjen vil Merikos slå på trykkpressen ... til glede for eggehoder ...

17. Prøv å bevise hvor toppen og bunnen er i vektløshet.
18. I går var bra film på KULTUR, der dette problemet ble forklart på fingrene. Kanskje de fortsatt har det?

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР СР Р РРРР СРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    Gå inn i Yandex og skriv en film om Perelman og gå til filmen

Av skolekurs Alle er kjent med begrepene teoremer og hypoteser. Som regel påvirkes de mest enkle og primitive lovene i livet, mens matematikere gjør svært komplekse antagelser og stiller interessante problemer. Langt fra alltid klarer de selv å finne løsninger og bevis, og i noen tilfeller har følgere og nettopp kolleger slitt med dette i mange år.

Clay Institute i 2000 utarbeidet en liste over 7 såkalte Millennium-problemer, lik listen over hypoteser som ble satt sammen i 1900. Nesten alle disse oppgavene er løst nå, bare én av dem har migrert til den oppdaterte versjonen. Nå ser listen over problemer slik ut:

• Hodge-hypotesen;
• likestilling av klassene P og NP;
• Poincaré-hypotesen;
• Yang-Mills teori;
• Riemann-hypotesen;
• eksistensen og jevnheten til løsningen av Navier-Stokes-ligningene;
• Birch-Swinnerton-Dyer-hypotesen.

Alle tilhører ulike disipliner innen matematikk og er essensielle. For eksempel er Navier-Stokes-ligningene relatert til hydrodynamikk, men i praksis kan de beskrive oppførselen til materie i terrestrisk magma eller komme godt med i værprediksjon. Men alle disse problemene leter fortsatt etter bevis eller tilbakevisning. Bortsett fra én.

Poincarés teorem

Forklare med enkle ord, hva dette problemet er, er ganske vanskelig, men du kan prøve. Se for deg en kule, for eksempel en såpeboble. Alle punkter på overflaten er like langt fra sentrum, som ikke tilhører den. Men dette er en todimensjonal kropp, og hypotesen snakker om en tredimensjonal. Det er allerede umulig å forestille seg, men vi har teoretisk matematikk for det. I dette tilfellet vil selvfølgelig alle punktene på denne kroppen også bli fjernet fra midten.

Dette problemet tilhører topologi - vitenskapen om egenskapene til geometriske former. Og en av grunnleggende vilkår den er homeomorf, det vil si en høy grad av likhet. For å gi et eksempel kan man tenke seg en ball og en torus. En figur kan ikke oppnås fra en annen på noen måte, og unngå hull, men en kjegle, en terning eller en sylinder fra den første vil vise seg ganske enkelt. Her er Poincares hypotese viet disse metamorfosene med bare én forskjell – vi snakker om flerdimensjonale rom og kropper.

Historie

Den franske matematikeren Henri Poincaré arbeidet innen ulike vitenskapsfelt. Hans prestasjoner kan for eksempel sies ved det faktum at han helt uavhengig av Albert Einstein la frem hovedbestemmelsene i den spesielle relativitetsteorien. I 1904 tok han opp problemet med å bevise at ethvert tredimensjonalt legeme som har noen av egenskapene til en kule er det, opp til en deformasjon. Den ble senere utvidet og generalisert til å bli et spesielt tilfelle av Thurstons formodning formulert i 1982.

Ordlyd

Poincare la opprinnelig følgende påstand: hver enkelt koblet kompakt tredimensjonal manifold uten grense er homeomorf til en tredimensjonal sfære. Senere ble den utvidet og generalisert. Og likevel, i lang tid, var det det opprinnelige problemet som forårsaket flest problemer, og ble løst bare 100 år etter at det dukket opp.

Tolkning og mening

Vi har allerede snakket om hva homeomorfisme er. Nå er det verdt å snakke om kompakthet og rett og slett tilknytning. Den første betyr bare at manifolden har begrensede dimensjoner, ikke kan utvides kontinuerlig og uendelig.

Når det gjelder single-linkedness, kan vi prøve å gi et enkelt eksempel. En todimensjonal kule - et eple - har en interessant egenskap. Hvis du tar et vanlig lukket gummibånd og fester det til overflaten, kan det reduseres til ett punkt ved jevn deformasjon. Dette er egenskapen til enkelttilknytning, men det er ganske vanskelig å presentere det i forhold til tredimensjonalt rom.

For å si det ganske enkelt var problemet å bevise at det å være enkelt forbundet er en egenskap som er unik for en sfære. Og hvis eksperimentet med gummibåndet relativt sett endte med et slikt resultat, er kroppen homeomorf til det. Når det gjelder anvendelsen av denne teorien på livet, mente Poincaré at universet på en eller annen måte er en tredimensjonal sfære.

Bevis

Det bør ikke tenkes at av de dusinvis av matematikere som har jobbet over hele verden, er det ingen som har flyttet en tøddel på dette problemet. Tvert imot var det fremgang, og til slutt førte det til et resultat. Poincare selv hadde ikke tid til å fullføre arbeidet, men hans forskning avanserte seriøst hele topologien.

På 1930-tallet kom interessen for hypotesen tilbake. For det første er ordlyden utvidet til " n-dimensjonalt rom", og så rapporterte amerikaneren Whitehead om et vellykket bevis, som senere forlot det. På 60-70-tallet kom to matematikere på en gang - Smale og Stallings - nesten samtidig, men forskjellige måter utviklet en løsning for alle n større enn 4.

I 1982 ble det funnet et bevis for 4 også, og etterlot bare 3. Samme år formulerte Thurston geometriseringsformodningen, med Poincaré-teorien som ble dens spesielle tilfelle.

I 20 år så det ut til at Poincaré-hypotesen var glemt. I 2002 presenterte den russiske matematikeren Grigory Perelman en løsning i generelt, etter seks måneder å gjøre noen tillegg. Senere ble dette beviset sjekket og brakt "til en glans" av amerikanske og kinesiske forskere. Og Perelman selv så ut til å ha mistet all interesse for problemet, selv om han bestemte seg for mer felles oppgave om geometrisering, som Poincare-formodningen bare er et spesielt tilfelle for.

Anerkjennelse og rangeringer

Selvfølgelig ble dette umiddelbart en sensasjon, fordi løsningen på et av tusenårsproblemene rett og slett ikke kunne gå upåaktet hen. Enda mer overraskende var det faktum at Grigory Perelman nektet alle priser og priser, og sa at han allerede hadde et flott liv. I hodene til byfolket ble han umiddelbart et eksempel på det veldig halvgale geniet som bare er interessert i vitenskap.

Alt dette førte til mye diskusjon i pressen og media om at populariteten til matematikeren begynte å tynge ham. Sommeren 2014 kom det informasjon om at Perelman hadde dratt for å jobbe i Sverige, men dette viste seg bare å være et rykte, han bor fortsatt beskjedent i St. Petersburg og kommuniserer knapt med noen. Blant prisene som ble gitt til ham var ikke bare Clay Institute-prisen, men også den prestisjetunge Fields-medaljen, men han nektet alt. Hamilton, som ifølge Perelman ikke ga noe mindre bidrag til beviset, ble imidlertid heller ikke glemt. I 2009 og 2011 mottok han også noen prestisjetunge priser og priser.

Refleksjon i kultur

Til tross for at for vanlige folk både utsagnet og løsningen av dette problemet gir liten mening, beviset ble kjent ganske raskt. I 2008, ved denne anledningen, filmet den japanske regissøren Masahito Kasuga dokumentarfilmen "The Enchantment of the Poincaré Hypothesis", dedikert til et århundre med forsøk på å løse dette problemet.

Mange matematikere involvert i dette problemet deltok i filmingen, men hovedpersonen, Grigory Perelman, ønsket ikke å gjøre dette. Mer eller mindre nære bekjente av ham var også involvert i filmingen. Dokumentar, etter å ha dukket opp på skjermene i kjølvannet av offentlig skrik om at forskeren nektet å ta imot prisen, fikk han berømmelse i visse kretser, og mottok også flere priser. Når det gjelder populærkultur, enkle mennesker folk lurer fortsatt på hvilke argumenter Petersburg-matematikeren ble styrt av da han nektet å ta penger når han for eksempel kunne gi dem til veldedighet.

Henri Poincare (1854-1912), en av de største matematikerne, formulerte i 1904 den berømte ideen om en deformert tredimensjonal sfære og, i form av en liten marginalnotat plassert på slutten av en 65 siders artikkel om en en helt annen sak, skrev noen linjer med en ganske merkelig formodning med ordene: "Vel, dette spørsmålet kan ta oss for langt" ...

Marcus Du Sotoy av Oxford University mener det Poincarés teorem- "dette er det sentrale problemet i matematikk og fysikk , prøver å forstå hvilken form kan være Univers Det er veldig vanskelig å komme nær henne."

En gang i uken reiste Grigory Perelman til Princeton for å delta på et seminar ved Institute for Advanced Study. På seminaret en av matematikerne Harvard University svarer på Perelmans spørsmål: "Teorien til William Thurston (1946-2012, matematiker, arbeider innen "Tredimensjonal geometri og topologi"), kalt geometriseringshypotesen, beskriver alle mulige tredimensjonale overflater og er et skritt fremover sammenlignet med til Poincaré-hypotesen. Hvis du beviser antagelsen til William Thurston, vil Poincare-formodningen åpne alle sine dører for deg og mer dens løsning vil endre hele det topologiske landskapet i moderne vitenskap ».

Seks ledende amerikanske universiteter i mars 2003 inviterer Perelman til å lese en serie forelesninger som forklarer arbeidet hans. I april 2003 foretar Perelman en vitenskapelig omvisning. Forelesningene hans blir en enestående vitenskapelig begivenhet. John Ball (formann for International Mathematical Union), Andrew Wiles (matematiker, arbeider innen aritmetikk av elliptiske kurver, beviste Fermats teorem i 1994), John Nash (matematiker som arbeider innen spillteori og differensialgeometri) kommer til Princeton for å høre på ham.

Grigory Perelman klarte å løse en av de syv oppgavene i årtusenet og beskrive matematisk den såkalte universets formel , for å bevise Poincaré-formodningen. De lyseste sinnene kjempet om denne hypotesen i mer enn 100 år, og for beviset på det lovet verdens matematiske fellesskap (Clay Mathematical Institute) $ 1 million. Den ble presentert 8. juni 2010. Grigory Perelman dukket ikke opp på den , og verdens matematiske fellesskap "kjeftene falt."

I 2006, for å løse Poincaré-formodningen, ble matematikeren tildelt den høyeste matematiske prisen - Fields-prisen (Fields-medaljen). John Ball besøkte St. Petersburg personlig for å overtale ham til å ta imot prisen. Han nektet å akseptere det med ordene: Samfunnet setter neppe seriøst pris på arbeidet mitt».

"Fieldsprisen (og medaljen) deles ut en gang hvert 4. år på hver internasjonal matematisk kongress til unge forskere (under 40 år) som har gitt et betydelig bidrag til utviklingen av matematikk. I tillegg til medaljen tildeles prismottakerne 15 000 kanadiske dollar ($13 000).»

I sin opprinnelige formulering lyder Poincaré-formodningen som følger: "Hver enkelt koblet kompakt tredimensjonal manifold uten grense er homeomorf til en tredimensjonal sfære." PÅ oversettelse til felles språk, betyr dette at ethvert tredimensjonalt objekt, for eksempel et glass, kan forvandles til en ball ved deformasjon alene, det vil si at det ikke trenger å kuttes eller limes. Med andre ord, Poincaré foreslo det rommet er ikke tredimensjonalt, men inneholder betydelig mer målinger , og Perelman 100 år senere beviste det matematisk .

Grigory Perelmans uttrykk for Poincarés teorem om transformasjon av materie til en annen tilstand, form ligner kunnskapen som er fremsatt i Anastasia Novykhs bok "Sensei IV": nåler. Samt evnen til å kontrollere det materielle universet gjennom transformasjoner introdusert av observatøren fra å kontrollere dimensjoner over den sjette (fra 7 til og med 72) (rapport "" emnet "Ezoosmic Grid").

Grigory Perelman ble preget av livets nøysomhet, alvorligheten av etiske krav både for seg selv og for andre. Når man ser på ham, får man følelsen av at han bare er det kroppslig bor til felles med alle andre samtidige rom , a Åndelig i noen andre , hvor selv for 1 million dollar går ikke for den mest "uskyldige" kompromisser med samvittigheten . Og hva slags plass er dette, og er det mulig å til og med se på det fra øyekroken? ..

Eksepsjonell betydningen av hypotesen, fremsatt for omtrent et århundre siden av en matematiker Poincaré, angår tredimensjonale strukturer og er et nøkkelelement samtidsforskning universets grunnlag . Denne gåten er ifølge eksperter fra Clay Institute en av de syv grunnleggende viktige for utviklingen av fremtidens matematikk.

Perelman, som avviser medaljer og premier, spør: «Hvorfor trenger jeg dem? De er helt ubrukelige for meg. Alle forstår at hvis beviset er korrekt, kreves det ingen annen anerkjennelse. Inntil jeg utviklet mistanke, hadde jeg valget mellom å enten snakke høyt om oppløsningen av det matematiske fellesskapet som helhet, på grunn av dets lave moralske nivå, eller å si ingenting og la meg bli behandlet som storfe. Nå, når jeg har blitt mer enn mistenksom, kan jeg ikke forbli en storfe og fortsette å tie, så jeg kan bare gå.

For å kunne gjøre moderne matematikk, må du ha et helt rent sinn, uten den minste blanding som desintegrerer det, desorienterer det, erstatter verdier, og å akseptere denne prisen betyr å demonstrere svakhet. Den ideelle vitenskapsmannen er kun engasjert i vitenskap, bryr seg ikke om noe annet (makt og kapital), han må ha et rent sinn, og for Perelman er det ingen større betydning enn å leve i samsvar med dette idealet. Er hele denne ideen med millioner nyttig for matematikk, og trenger en ekte vitenskapsmann et slikt insentiv? Og dette kapitalens ønske om å kjøpe og underlegge seg alt i denne verden er ikke fornærmende? Eller du kan selge dens renhet for en million? Penger, uansett hvor mye det er, er likeverdige sannheten om sjelen ? Vi har tross alt å gjøre med en a priori vurdering av problemer som penger rett og slett ikke burde ha med å gjøre, ikke sant?! Å gjøre av alt dette til noe som en lotto-million, eller en totalisator, betyr å hengi seg til oppløsningen av det vitenskapelige, og faktisk det menneskelige fellesskapet som helhet (se rapporten og de siste 50 sidene i AllatRa-boken om måten å bygge et kreativt samfunn på). Og pengene (energien) som forretningsmenn er klare til å gi til vitenskapen, hvis det er nødvendig å bruke det, er det riktig, eller noe, uten å ydmyke Ånden til sann tjeneste , hva man enn kan si, en uvurderlig pengeekvivalent: " Hva er en million, sammenlignet , med renhet, eller Majestet de sfærer (for dimensjonene til det globale universet og den åndelige verden, se boken "AllatRa" og rapportere ) , hvori ute av stand til å trenge gjennom til og med menneskelig fantasi (sinn) ?! Hva er en million stjernehimmel for tid?

La oss gi en tolkning av de gjenværende begrepene som vises i formuleringen av hypotesen:

- Topologi- (fra gresk. topos - sted og logos - undervisning) - en gren av matematikken som studerer figurers topologiske egenskaper, d.v.s. egenskaper som ikke endres under noen deformasjoner produsert uten diskontinuiteter og liminger (nærmere bestemt under en-til-en og kontinuerlige kartlegginger). Eksempler på topologiske egenskaper til figurer er dimensjonen, antall kurver som avgrenser et gitt område, og så videre. Så, en sirkel, en ellipse, en firkantet kontur har de samme topologiske egenskapene, siden disse linjene kan deformeres til hverandre på den ovenfor beskrevne måte; samtidig har ringen og sirkelen forskjellige topologiske egenskaper: sirkelen er avgrenset av en kontur, og ringen av to.

- Homeomorfisme(gresk ομοιο - lignende, μορφη - form) - en en-til-en korrespondanse mellom to topologiske rom, der begge gjensidig inverse kartlegginger definert av denne korrespondansen er kontinuerlige. Disse kartleggingene kalles homeomorfe eller topologiske kartlegginger, samt homeomorfismer, og rom sies å tilhøre samme topologiske type kalles homeomorfe, eller topologisk ekvivalente.

- 3-manifold uten grense. Dette er et slikt geometrisk objekt, der hvert punkt har et nabolag i form av en tredimensjonal ball. Eksempler på 3-manifolder er for det første hele det tredimensjonale rommet, betegnet med R3 , samt eventuelle åpne sett med punkter i R3 , for eksempel det indre av en solid torus (smultring). Hvis vi vurderer en lukket solid torus, dvs. legg til grensepunktene (overflaten til en torus), så vil vi allerede få en manifold med en grense - grensepunktene har ikke nabolag i form av en ball, men bare i form av en halvdel av ballen.

- Full torus (full torus) — geometrisk kropp, homeomorf til produktet av en todimensjonal skive og en sirkel D 2 * S 1 . Uformelt er en solid torus en smultring, mens en torus bare er overflaten (et hult kammer i et hjul).

- enkeltkoblet. Det betyr at enhver kontinuerlig lukket kurve som ligger helt innenfor en gitt manifold, kan trekkes jevnt sammen til et punkt uten å forlate denne manifolden. For eksempel er en vanlig todimensjonal kule i R3 ganske enkelt koblet (et elastisk bånd, vilkårlig påført overflaten av et eple, kan trekkes sammen til ett punkt ved en jevn deformasjon uten å fjerne det elastiske båndet fra eplet). På den annen side er ikke sirkelen og torusen bare koblet sammen.

- Kompakt. En manifold er kompakt hvis noen av dens homeomorfe bilder har avgrensede dimensjoner. For eksempel er et åpent intervall på en linje (alle punkter i et segment unntatt endene) ikke kompakt, siden det kontinuerlig kan utvides til en uendelig linje. Men et lukket segment (med ender) er en kompakt manifold med grense: for enhver kontinuerlig deformasjon går endene inn i noen visse punkter, og hele segmentet må passere inn i en avgrenset kurve som forbinder disse punktene.

Ilnaz Basharov

Litteratur:

Rapport "PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS" fra den internasjonale gruppen av forskere fra ALLATRA International Public Movement, red. Anastasia Novykh, 2015;

Ny. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013