Det som kalles løsningen av en lineær ligning. Hvordan løse en kubikkligning? Prinsipp for å løse lineære ligninger

Når vi løser lineære ligninger, streber vi etter å finne roten, det vil si verdien for variabelen som skal gjøre ligningen om til en korrekt likhet.

For å finne roten til ligningen trenger du ekvivalente transformasjoner bringer ligningen gitt til oss til formen

\(x=[tall]\)

Dette tallet vil være roten.

Det vil si at vi transformerer likningen, og gjør den enklere for hvert trinn, til vi reduserer den til en helt primitiv likning «x = tall», hvor roten er åpenbar. Oftest brukt i løsning lineære ligninger er følgende transformasjoner:

For eksempel: legg til \(5\) på begge sider av ligningen \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Vær oppmerksom på at vi kan få det samme resultatet raskere ved ganske enkelt å skrive de fem på den andre siden av ligningen og endre fortegnet. Egentlig er det akkurat slik skolen «overføre gjennom like med skifte av fortegn til det motsatte» gjøres.

2. Multiplisere eller dividere begge sider av en ligning med samme tall eller uttrykk.

For eksempel: del ligningen \(-2x=8\) med minus to

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Vanligvis dette trinnet utføres helt til slutt, når ligningen allerede er redusert til formen \(ax=b\), og vi deler med \(a\) for å fjerne den fra venstre.

3. Bruke egenskapene og lovene til matematikk: åpne parenteser, bringe lignende termer, redusere brøker osv.

Legg til \(2x\) venstre og høyre

Trekk fra \(24\) fra begge sider av ligningen

Vi presenterer lignende termer igjen

Nå deler vi ligningen med \(-3\), og fjerner dermed den fremre X-en på venstre side.

Svare : \(7\)

Svaret er funnet. La oss imidlertid sjekke det ut. Hvis syv virkelig er en rot, bør det å erstatte den i stedet for X i den opprinnelige ligningen resultere i riktig likhet - samme tall venstre og høyre. La oss prøve.

Undersøkelse:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Det ordnet seg. Dette betyr at syv faktisk er roten til den opprinnelige lineære ligningen.

Ikke vær lat med å sjekke svarene du fant ved substitusjon, spesielt hvis du løser en ligning på en test eller eksamen.

Spørsmålet gjenstår - hvordan bestemme hva du skal gjøre med ligningen ved neste trinn? Hvordan nøyaktig konvertere det? dele med noe? Eller trekke fra? Og hva skal jeg trekke fra? dele med hva?

Svaret er enkelt:

Målet ditt er å bringe ligningen til formen \(x=[tall]\), det vil si at til venstre er x uten koeffisienter og tall, og til høyre er det bare et tall uten variabler. Se derfor på hva som stopper deg og gjør det motsatte av hva den forstyrrende komponenten gjør.

For bedre å forstå dette, la oss se på løsningen av den lineære ligningen \(x+3=13-4x\) trinn for trinn.

La oss tenke: hva gitt ligning forskjellig fra \(x=[tall]\)? Hva er det som stopper oss? Hva er galt?

Vel, for det første forstyrrer de tre, siden det til venstre bare skal være en enslig X, uten tall. Hva "gjør" troikaen? Lagt til til X. Så for å fjerne det - subtrahere de samme tre. Men trekker vi fra de tre til venstre, må vi trekke det fra til høyre slik at likestillingen ikke blir krenket.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Fin. Hva er det som stopper deg nå? \(4x\) til høyre, fordi det bare skal være tall der. \(4x\) trukket fra- vi fjerner ved å legge til.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Nå presenterer vi lignende termer til venstre og høyre.

Den er nesten klar. Det gjenstår bare å fjerne de fem til venstre. Hva "gjør" hun? Multipliserer seg på x. Så la oss fjerne det inndeling.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Løsningen er fullført, roten til ligningen er to. Du kan sjekke ved substitusjon.

Merk at oftest er det bare én rot i lineære ligninger. Det kan imidlertid forekomme to spesielle tilfeller.

Spesialtilfelle 1 - det er ingen røtter i en lineær ligning.

Eksempel . Løs ligningen \(3x-1=2(x+3)+x\)

Løsning :

Svare : ingen røtter.

Faktisk var det faktum at vi kommer til et slikt resultat synlig tidligere, selv da vi mottok \(3x-1=3x+6\). Tenk på det: hvordan kan \(3x\) som vi trakk fra \(1\), og \(3x\) som vi la til \(6\) være like? Åpenbart, ingen måte, fordi de gjorde det samme ulike handlinger! Det er klart at resultatene vil variere.

Spesialtilfelle 2 – en lineær ligning har et uendelig antall røtter.

Eksempel . Løs lineær ligning \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\)

Løsning :

Svare : hvilket som helst tall.

Dette var forresten merkbart enda tidligere, på stadiet: \(8x+12=8x+12\). Venstre og høyre er faktisk de samme uttrykkene. Uansett hvilken X du erstatter, vil det være det samme tallet både der og der.

Mer komplekse lineære ligninger.

Den opprinnelige ligningen ser ikke alltid umiddelbart ut som lineær, noen ganger er den "maskert" som andre, mer komplekse ligninger. I transformasjonsprosessen forsvinner imidlertid forkledningen.

Eksempel . Finn roten til ligningen \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)

Løsning :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Det ser ut til at det er en x-kvadrat her - dette er ikke en lineær ligning! Men ikke forhast deg. La oss søke
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Hvorfor er utvidelsesresultatet \((x-4)^(2)\) i parentes, men resultatet \((3+x)^(2)\) er det ikke? For det er et minus foran den første ruten, som vil endre alle skiltene. Og for ikke å glemme dette tar vi resultatet i parentes, som vi nå åpner.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Vi presenterer lignende termer
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Vi presenterer lignende igjen.
		Som dette. Det viser seg at den opprinnelige ligningen er ganske lineær, og X-kvadraten er ikke noe mer enn en skjerm for å forvirre oss. :) Vi fullfører løsningen ved å dele ligningen med \(2\), og vi får svaret.

Svare : \(x=5\)

Eksempel . Løs lineær ligning \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6) )\)

Løsning :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Ligningen ser ikke lineær ut, det er en slags brøk... La oss imidlertid kvitte oss med nevnerne ved å multiplisere begge sider av ligningen med fellesnevner alle - seks
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Utvid braketten til venstre
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		La oss nå redusere nevnerne
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Nå ser den ut som en vanlig lineær! La oss fullføre det.
		Ved å oversette gjennom lik samler vi X-er til høyre og tall til venstre

		Vel, ved å dele høyre og venstre side med \(-4\), får vi svaret

Svare : \(x=-1,25\)

En lineær ligning er en algebraisk ligning hvis totale grad av polynomer er lik én. Løse lineære ligninger - del skolepensum, og ikke det vanskeligste. Noen har imidlertid fortsatt problemer med å fullføre dette emnet. Vi håper etter å ha lest dette materialet, alle vanskeligheter for deg vil være en saga blott. Så la oss finne ut av det. hvordan løse lineære ligninger.

Generell visning

Den lineære ligningen er representert som:

ax + b = 0, hvor a og b er alle tall.

Selv om a og b kan være et hvilket som helst tall, påvirker verdiene deres antall løsninger til ligningen. Det er flere spesielle løsninger:

Hvis a=b=0, har ligningen uendelig sett beslutninger;
Hvis a=0, b≠0, har ligningen ingen løsning;
Hvis a≠0, b=0, har ligningen en løsning: x = 0.

I tilfelle at begge tallene ikke har null verdier, må ligningen løses for å utlede det endelige uttrykket for variabelen.

Hvordan bestemme?

Å løse en lineær ligning betyr å finne hva variabelen er lik. Hvordan gjøre dette? Ja, det er veldig enkelt - ved å bruke enkle algebraiske operasjoner og følge reglene for overføring. Hvis ligningen vises foran deg i generell form, er du heldig alt du trenger å gjøre:

Flytt b til høyre side av ligningen, ikke glem å endre fortegnet (overføringsregel!), så fra et uttrykk på formen ax + b = 0 skal du få et uttrykk på formen: ax = -b.
Bruk regelen: for å finne en av faktorene (x - i vårt tilfelle), må du dele produktet (-b i vårt tilfelle) med en annen faktor (a - i vårt tilfelle). Dermed skal du få et uttrykk på formen: x = -b/a.

Det er det - en løsning er funnet!

La oss nå se på et spesifikt eksempel:

2x + 4 = 0 - flytt b lik i dette tilfellet 4, til høyre
2x = -4 - del b på a (ikke glem minustegnet)
x = -4/2 = -2

Det er det! Vår løsning: x = -2.

Som du kan se er løsningen på en lineær ligning med én variabel ganske enkel å finne, men alt er så enkelt hvis vi er så heldige å komme over ligningen i sin generelle form. I de fleste tilfeller, før du løser en ligning i de to trinnene beskrevet ovenfor, må du fortsatt bringe det eksisterende uttrykket til en generell form. Dette er imidlertid heller ikke en ekstremt vanskelig oppgave. La oss se på noen spesielle tilfeller ved å bruke eksempler.

Løse spesielle tilfeller

La oss først se på tilfellene som vi beskrev i begynnelsen av artikkelen og forklare hva det vil si å ha et uendelig antall løsninger og ingen løsning.

Hvis a=b=0 vil ligningen se slik ut: 0x + 0 = 0. Utfører vi det første trinnet får vi: 0x = 0. Hva betyr dette tullet, utbryter du! Tross alt, uansett hvilket tall du multipliserer med null, får du alltid null! Høyre! Det er derfor de sier at ligningen har et uendelig antall løsninger – uansett hvilket tall du tar, vil likheten være sann, 0x = 0 eller 0=0.
Hvis a=0, b≠0, vil ligningen se slik ut: 0x + 3 = 0. Utfør det første trinnet, vi får 0x = -3. Tull igjen! Det er åpenbart at denne likestillingen aldri vil bli sann! Det er derfor de sier at ligningen ikke har noen løsninger.
Hvis a≠0, b=0, vil ligningen se slik ut: 3x + 0 = 0. Ved å utføre det første trinnet får vi: 3x = 0. Hva er løsningen? Det er enkelt, x = 0.

Tapt i oversettelsen

De beskrevne spesialtilfellene er ikke alle lineære ligninger kan overraske oss med. Noen ganger er ligningen vanskelig å identifisere ved første øyekast. La oss se på et eksempel:

12x - 14 = 2x + 6

Er dette en lineær ligning? Hva med nullen på høyre side? La oss ikke skynde oss med konklusjoner, la oss handle - la oss overføre alle komponentene i ligningen vår til venstre side. Vi får:

12x - 2x - 14 - 6 = 0

Trekk nå som fra like, vi får:

10x - 20 = 0

Fant du ut av det? Den mest lineære ligningen noensinne! Løsningen som er: x = 20/10 = 2.

Hva om vi har dette eksemplet:

12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ja, dette er også en lineær ligning, bare flere transformasjoner må utføres. Først, la oss åpne parentesene:

(12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
4x + 8 + 12x = 12 - 9x - nå utfører vi overføringen:
25x - 4 = 0 - det gjenstår å finne en løsning ved å bruke det allerede kjente skjemaet:
25x = 4,
x = 4/25 = 0,16

Som du kan se, kan alt løses, det viktigste er ikke å bekymre deg, men å handle. Husk at hvis ligningen din bare inneholder variabler av første grad og tall, har du en lineær ligning, som, uansett hvordan den ser ut i utgangspunktet, kan reduseres til en generell form og løses. Vi håper alt ordner seg for deg! Lykke til!

En likhet med en variabel kalles en ligning.
Å løse en ligning betyr å finne dens mange røtter. En ligning kan ha én, to, flere, mange røtter eller ingen i det hele tatt.
Hver verdi av en variabel der en gitt ligning blir til en sann likhet kalles en rot av ligningen.
Ligninger som har samme røtter kalles ekvivalente ligninger.
Ethvert ledd i ligningen kan overføres fra en del av likheten til en annen, mens man endrer begrepets fortegn til det motsatte.
Hvis begge sider av en likning multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får du en likning som tilsvarer den gitte likningen.

Eksempler. Løs ligningen.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Vi samlet termene som inneholder variabelen på venstre side av likheten, og de frie termene på høyre side av likheten. I dette tilfellet ble følgende egenskap brukt:

1,2x = -6. Lignende vilkår ble gitt i henhold til regelen:

x = -6 : 1.2. Begge sider av likheten ble delt med koeffisienten til variabelen, siden

x = -5. Delt etter regelen for å dele en desimalbrøk med desimal:

For å dele et tall med en desimalbrøk, må du flytte kommaene i dividenden og divisoren like mange sifre til høyre som det er etter desimaltegnet i divisoren, og deretter dele med det naturlige tallet:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Svare: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Vi åpnet parentesene ved å bruke den distributive loven om multiplikasjon i forhold til subtraksjon: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6x-4x = -16+27. Vi samlet termene som inneholder variabelen på venstre side av likheten, og de frie termene på høyre side av likheten. I dette tilfellet ble følgende egenskap brukt: ethvert ledd i ligningen kan overføres fra en del av likheten til en annen, og dermed endre fortegnet på begrepet til det motsatte.

2x = 11. Lignende termer ble gitt i henhold til regelen: for å bringe lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og multiplisere resultatet med deres felles bokstavdel (dvs. legge til deres felles bokstavdel til resultatet som oppnås).

x = 11 : 2. Begge sider av likheten ble delt med koeffisienten til variabelen, siden Hvis begge sider av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får du en ligning som tilsvarer den gitte ligningen.

Svare: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Vi åpnet parentesene i henhold til regelen for åpning av parentes med et "-"-tegn foran: hvis det er et "-"-tegn foran parentesene, fjern deretter parentesene, "-"-tegnet og skriv termene i parentesene med motsatte fortegn.

7x-2x-x = -9+3. Vi samlet termene som inneholder variabelen på venstre side av likheten, og de frie termene på høyre side av likheten. I dette tilfellet ble følgende egenskap brukt: ethvert ledd i ligningen kan overføres fra en del av likheten til en annen, og dermed endre fortegnet på begrepet til det motsatte.

4x = -6. Lignende vilkår ble gitt i henhold til regelen: for å bringe lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og multiplisere resultatet med deres felles bokstavdel (dvs. legge til deres felles bokstavdel til resultatet som oppnås).

x = -6 : 4. Begge sider av likheten ble delt med koeffisienten til variabelen, siden Hvis begge sider av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får du en ligning som tilsvarer den gitte ligningen.

Svare: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Vi multipliserte begge sider av ligningen med 12 - den laveste fellesnevneren for nevnerne til disse brøkene.

3x-15 = 84-8x+44. Vi åpnet parentesene ved å bruke den distributive loven for multiplikasjon i forhold til subtraksjon: For å multiplisere forskjellen mellom to tall med et tredje tall, kan du multiplisere minuend separat og subtrahere separat med det tredje tallet, og deretter trekke det andre resultatet fra det første resultatet, dvs.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3x+8x = 84+44+15. Vi samlet termene som inneholder variabelen på venstre side av likheten, og de frie termene på høyre side av likheten. I dette tilfellet ble følgende egenskap brukt: ethvert ledd i ligningen kan overføres fra en del av likheten til en annen, og dermed endre fortegnet på begrepet til det motsatte.

I denne artikkelen vil vi vurdere prinsippet for å løse slike ligninger som lineære ligninger. La oss skrive ned definisjonen av disse likningene og sette generelt syn. Vi skal analysere alle betingelsene for å finne løsninger på lineære ligninger, ved å bruke blant annet praktiske eksempler.

Vær oppmerksom på at materialet nedenfor inneholder informasjon om lineære ligninger med én variabel. Lineære ligninger i to variable er omtalt i en egen artikkel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hva er en lineær ligning

Definisjon 1

Lineær ligning er en ligning skrevet som følger:
a x = b, Hvor x– variabel, en Og b- noen tall.

Denne formuleringen ble brukt i algebra-læreboken (7. klasse) av Yu.N.

Eksempel 1

Eksempler på lineære ligninger kan være:

3 x = 11(ligning med én variabel x på a = 5 Og b = 10);

− 3 , 1 y = 0 ( lineær ligning med variabel y, Hvor a = - 3, 1 Og b = 0);

x = − 4 Og − x = 5,37(lineære ligninger, hvor tallet en skrevet eksplisitt og lik henholdsvis 1 og - 1. For den første ligningen b = -4; for det andre - b = 5,37) osv.

I ulike undervisningsmateriell kan møtes ulike definisjoner. For eksempel, Vilenkin N.Ya. Lineære ligninger inkluderer også de ligningene som kan transformeres til formen a x = b ved å overføre vilkår fra en del til en annen med fortegnsendring og reduksjon lignende vilkår. Hvis vi følger denne tolkningen, vil ligningen 5 x = 2 x + 6 – også lineær.

Men algebra-læreboken (7. klasse) av Mordkovich A.G. gir følgende beskrivelse:

Definisjon 2

En lineær ligning i en variabel x er en ligning av formen a x + b = 0, Hvor en Og b– noen tall kalt koeffisienter til en lineær ligning.

Eksempel 2

Et eksempel på lineære ligninger av denne typen kan være:

3 x − 7 = 0 (a = 3 , b = − 7) ;

1, 8 y + 7, 9 = 0 (a = 1, 8, b = 7, 9).

Men det er også eksempler på lineære ligninger som vi allerede har brukt ovenfor: av formen a x = b, for eksempel 6 x = 35.

Vi vil umiddelbart være enige om at i denne artikkelen ved en lineær ligning med én variabel vil vi forstå ligningen skrevet a x + b = 0, Hvor x– variabel; a, b - koeffisienter. Vi ser denne formen for en lineær ligning som den mest berettigede, siden lineære ligninger er det algebraiske ligninger første grad. Og de andre ligningene angitt ovenfor og ligningene gitt tilsvarende transformasjoner i natura a x + b = 0, definerer vi som ligninger som reduserer til lineære ligninger.

Med denne tilnærmingen er ligningen 5 x + 8 = 0 lineær, og 5 x = − 8- en ligning som reduseres til en lineær.

Prinsipp for å løse lineære ligninger

La oss se på hvordan man bestemmer om en gitt lineær ligning vil ha røtter og i så fall hvor mange og hvordan man bestemmer dem.

Definisjon 3

Faktumet om tilstedeværelsen av røttene til en lineær ligning bestemmes av verdiene til koeffisientene en Og b. La oss skrive ned disse betingelsene:

på a ≠ 0 lineær ligning har en enkelt rot x = - b a ;
på a = 0 Og b ≠ 0 en lineær ligning har ingen røtter;
på a = 0 Og b = 0 en lineær ligning har uendelig mange røtter. I hovedsak, i dette tilfellet, kan et hvilket som helst tall bli roten til en lineær ligning.

La oss gi en forklaring. Vi vet at i prosessen med å løse en likning er det mulig å transformere en gitt likning til en som er ekvivalent med den, noe som betyr at den har samme røtter som den opprinnelige likningen, eller også har ingen røtter. Vi kan gjøre følgende ekvivalente transformasjoner:

overføre et begrep fra en del til en annen, endre tegnet til det motsatte;
multipliser eller del begge sider av en ligning med det samme tallet som ikke er null.

Dermed transformerer vi den lineære ligningen a x + b = 0, flytter begrepet b fra venstre til høyre side med fortegnsendring. Vi får: a · x = − b .

Så vi deler begge sider av ligningen med et tall som ikke er null EN, som resulterer i en likhet på formen x = - b a . Det vil si når a ≠ 0, opprinnelige ligningen a x + b = 0 er ekvivalent med likheten x = - b a, der roten - b a er åpenbar.

Ved motsetning er det mulig å demonstrere at roten som er funnet er den eneste. La oss betegne den funnet roten - b a as x 1. La oss anta at det er en annen rot av den lineære ligningen med betegnelsen x 2. Og selvfølgelig: x 2 ≠ x 1, og dette i sin tur basert på definisjonen like tall gjennom forskjellen, tilsvarer tilstanden x 1 − x 2 ≠ 0 . Med hensyn til ovenstående kan vi lage følgende likheter ved å erstatte røttene:
a x 1 + b = 0 og a x 2 + b = 0.
Egenskapen til numeriske likheter gjør det mulig å utføre termin-for-term subtraksjon av deler av likheter:

a x 1 + b − (a x 2 + b) = 0 − 0, herfra: a · (x 1 − x 2) + (b − b) = 0 og videre a · (x 1 − x 2) = 0 . Likestilling a · (x 1 − x 2) = 0 er feil fordi det tidligere ble spesifisert at a ≠ 0 Og x 1 − x 2 ≠ 0 . Den resulterende motsigelsen tjener som bevis på at når a ≠ 0 lineær ligning a x + b = 0 har bare én rot.

La oss begrunne ytterligere to klausuler i betingelsene som inneholder a = 0.

Når a = 0 lineær ligning a x + b = 0 vil bli skrevet som 0 x + b = 0. Egenskapen ved å multiplisere et tall med null gir oss rett til å hevde at et hvilket som helst tall tas som x, erstatte det med likhet 0 x + b = 0, får vi b = 0 . Likheten er gyldig for b = 0; i andre tilfeller, når b ≠ 0, likhet blir falsk.

Så når a = 0 og b = 0 , et hvilket som helst tall kan bli roten til en lineær ligning a x + b = 0, siden når disse betingelsene er oppfylt, erstatter i stedet x et hvilket som helst tall, får vi riktig numerisk likhet 0 = 0 . Når a = 0 Og b ≠ 0 lineær ligning a x + b = 0 vil ikke ha røtter i det hele tatt, siden når de spesifiserte betingelsene er oppfylt, erstattes i stedet x et hvilket som helst tall, får vi en feil numerisk likhet b = 0.

Alle de ovennevnte betraktningene gir oss muligheten til å skrive ned en algoritme som gjør det mulig å finne en løsning på en hvilken som helst lineær ligning:

etter type post bestemmer vi verdiene til koeffisientene en Og b og analysere dem;
på a = 0 Og b = 0 ligningen vil ha uendelig mange røtter, dvs. et hvilket som helst tall vil bli roten til den gitte ligningen;
på a = 0 Og b ≠ 0
på en, forskjellig fra null, begynner vi å søke etter den eneste roten til den opprinnelige lineære ligningen:

la oss flytte koeffisienten b til høyre side med en endring av fortegn til det motsatte, og bringer den lineære ligningen til formen a · x = − b ;
del begge sider av den resulterende likheten med tallet en, som vil gi oss den ønskede roten av den gitte ligningen: x = - b a.

Faktisk er den beskrevne sekvensen av handlinger svaret på spørsmålet om hvordan man finner en løsning på en lineær ligning.

Til slutt, la oss avklare at formlikningene a x = b løses ved hjelp av en lignende algoritme med den eneste forskjellen som tallet b i en slik post er allerede flyttet til høyre del ligninger, og med a ≠ 0 du kan umiddelbart dele delene av en ligning med et tall en.

Altså å finne en løsning på ligningen a x = b, Vi bruker følgende algoritme:

på a = 0 Og b = 0 ligningen vil ha uendelig mange røtter, dvs. et hvilket som helst tall kan bli dets rot;
på a = 0 Og b ≠ 0 den gitte ligningen vil ikke ha noen røtter;
på en, ikke lik null, er begge sider av ligningen delt på tallet en, som gjør det mulig å finne den eneste roten som er lik b a.

Eksempler på løsning av lineære ligninger

Eksempel 3

Lineær ligning må løses 0 x − 0 = 0.

Løsning

Ved å skrive den gitte ligningen ser vi det a = 0 Og b = − 0(eller b = 0, som er det samme). Dermed kan en gitt ligning ha et uendelig antall røtter eller et hvilket som helst tall.

Svare: x– et hvilket som helst tall.

Eksempel 4

Det er nødvendig å bestemme om ligningen har røtter 0 x + 2, 7 = 0.

Løsning

Fra posten bestemmer vi at a = 0, b = 2, 7. Dermed vil den gitte ligningen ikke ha noen røtter.

Svare: den opprinnelige lineære ligningen har ingen røtter.

Eksempel 5

Gitt en lineær ligning 0,3 x − 0,027 = 0. Det må løses.

Løsning

Ved å skrive ligningen bestemmer vi at a = 0, 3; b = - 0,027, som lar oss påstå at den gitte ligningen har en enkelt rot.

Etter algoritmen flytter vi b til høyre side av ligningen, og endrer tegnet, får vi: 0,3 x = 0,027. Deretter deler vi begge sider av den resulterende likheten med a = 0, 3, deretter: x = 0, 027 0, 3.

La oss dele desimalbrøker:

0,027 0,3 = 27 300 = 3 9 3 100 = 9 100 = 0,09

Resultatet som oppnås er roten til den gitte ligningen.

La oss kort skrive løsningen slik:

0,3 x - 0,027 = 0,0,3 x = 0,027, x = 0,027 0,3, x = 0,09.

Svare: x = 0,09.

For klarhets skyld presenterer vi løsningen til skriveligningen a x = b.

Eksempel N

De gitte ligningene er: 1) 0 x = 0 ; 2) 0 x = − 9 ; 3) - 3 8 x = - 3 3 4 . De må løses.

Løsning

Alle gitte ligninger poster samsvarer a x = b. La oss se på det en etter en.

I ligningen 0 x = 0, a = 0 og b = 0, som betyr: et hvilket som helst tall kan være roten til denne ligningen.

I den andre ligningen 0 x = − 9: a = 0 og b = − 9, dermed vil denne ligningen ikke ha noen røtter.

Basert på formen til den siste ligningen - 3 8 · x = - 3 3 4, skriver vi koeffisientene: a = - 3 8, b = - 3 3 4, dvs. ligningen har en enkelt rot. La oss finne ham. La oss dele begge sider av ligningen med a, noe som resulterer i: x = - 3 3 4 - 3 8. Forenkle brøken ved å bruke divisjonsregelen negative tall med påfølgende oversettelse blandet antall V vanlig brøk og dele vanlige brøker:

3 3 4 - 3 8 = 3 3 4 3 8 = 15 4 3 8 = 15 4 8 3 = 15 8 4 3 = 10

La oss kort skrive løsningen slik:

3 8 · x = - 3 3 4 , x = - 3 3 4 - 3 8 , x = 10 .

Svare: 1) x– et hvilket som helst tall, 2) ligningen har ingen røtter, 3) x = 10.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter