Hva er det å bringe like vilkår. Lignende termer – Kunnskapshypermarked

Materialet som presenteres nedenfor er en logisk videreføring av teorien fra artikkelen under overskriften LCM - minste felles multiplum, definisjon, eksempler, forhold mellom LCM og GCD. Her skal vi snakke om finne det minste felles multiplum (LCM), og Spesiell oppmerksomhet La oss ta en titt på eksemplene. La oss først vise hvordan LCM for to tall beregnes i form av GCD for disse tallene. Deretter bør du vurdere å finne det minste felles multiplumet ved å bruke dekomponeringen av tall til primære faktorer. Etter det vil vi fokusere på å finne LCM for tre eller flere tall, og også ta hensyn til beregningen av LCM for negative tall.

Sidenavigering.

Beregning av minste felles multiplum (LCM) gjennom gcd

En måte å finne det minste felles multiplumet er basert på forholdet mellom LCM og GCD. Det eksisterende forholdet mellom LCM og GCD lar deg beregne det minste felles multiplum av to positive heltall gjennom det kjente største felles deler. Den tilsvarende formelen har formen LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Tenk på eksempler på å finne LCM i henhold til formelen ovenfor.

Eksempel.

Finn det minste felles multiplum av de to tallene 126 og 70 .

Løsning.

I dette eksemplet a=126 , b=70 . La oss bruke forholdet mellom LCM og GCD uttrykt med formelen LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Det vil si at vi først må finne den største felles divisor av tallene 70 og 126, hvoretter vi kan beregne LCM for disse tallene i henhold til den skrevne formelen.

Finn gcd(126, 70) ved å bruke Euklids algoritme: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , derav gcd(126, 70)=14 .

Nå finner vi det nødvendige minste felles multiplumet: LCM(126; 70)=126 70: GCM(126; 70)= 126 70:14=630.

Svar:

LCM(126; 70)=630 .

Eksempel.

Hva er LCM(68, 34)?

Løsning.

Fordi 68 er jevnt delelig med 34 , deretter gcd(68, 34)=34 . Nå beregner vi det minste felles multiplum: LCM(68; 34)=68 34: LCM(68; 34)= 68 34:34=68 .

Svar:

LCM(68; 34)=68 .

Merk at det forrige eksemplet passer med følgende regel for å finne LCM for positive heltall a og b: hvis tallet a er delelig med b, så er det minste felles multiplum av disse tallene a.

Finne LCM ved å faktorisere tall i hovedfaktorer

En annen måte å finne det minste felles multiplumet er basert på å faktorisere tall i primfaktorer. Hvis vi lager et produkt av alle primfaktorer av disse tallene, hvoretter vi ekskluderer fra dette produktet alle vanlige primfaktorer som er tilstede i utvidelsene av disse tallene, vil det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av disse tallene.

Den annonserte regelen for å finne LCM følger av likestillingen LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Faktisk er produktet av tallene a og b lik produktet av alle faktorene som er involvert i utvidelsene av tallene a og b. I sin tur, gcd(a, b) er lik produktet alle primfaktorer som samtidig er tilstede i utvidelsene av tallene a og b (som er beskrevet i avsnittet om å finne GCD ved bruk av dekomponering av tall til primfaktorer).

La oss ta et eksempel. La oss vite at 75=3 5 5 og 210=2 3 5 7 . Komponer produktet av alle faktorene i disse utvidelsene: 2 3 3 5 5 5 7 . Nå ekskluderer vi fra dette produktet alle faktorene som er til stede både i utvidelsen av tallet 75 og i utvidelsen av tallet 210 (slike faktorer er 3 og 5), da vil produktet ha formen 2 3 5 5 7 . Verdien av dette produktet er lik det minste felles multiplum av tallene 75 og 210, dvs. LCM(75; 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Eksempel.

Etter å ha faktorisert tallene 441 og 700 til primfaktorer, finn det minste felles multiplum av disse tallene.

Løsning.

La oss dekomponere tallene 441 og 700 til primfaktorer:

Vi får 441=3 3 7 7 og 700=2 2 5 5 7.

La oss nå lage et produkt av alle faktorene som er involvert i utvidelsene av disse tallene: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . La oss ekskludere fra dette produktet alle faktorene som er tilstede samtidig i begge utvidelsene (det er bare én slik faktor - dette er tallet 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . På denne måten, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Svar:

LCM(441; 700)= 44 100 .

Regelen for å finne LCM ved å bruke dekomponering av tall til primfaktorer kan formuleres litt annerledes. Hvis vi legger til de manglende faktorene fra utvidelsen av tallet b til faktorene fra utvidelsen av tallet a, vil verdien av det resulterende produktet være lik det minste felles multiplum av tallene a og b.

La oss for eksempel ta alle de samme tallene 75 og 210, utvidelsene deres til primfaktorer er som følger: 75=3 5 5 og 210=2 3 5 7. Til faktorene 3, 5 og 5 fra dekomponeringen av tallet 75, legger vi de manglende faktorene 2 og 7 fra dekomponeringen av tallet 210, vi får produktet 2 3 5 5 7 , hvis verdi er LCM(75 , 210).

Eksempel.

Finn det minste felles multiplum av 84 og 648.

Løsning.

Vi får først dekomponeringen av tallene 84 og 648 til primfaktorer. De ser ut som 84=2 2 3 7 og 648=2 2 2 3 3 3 3. Til faktorene 2 , 2 , 3 og 7 fra dekomponeringen av tallet 84 legger vi til de manglende faktorene 2 , 3 , 3 og 3 fra dekomponeringen av tallet 648 , vi får produktet 2 2 2 3 3 3 3 7 , som er lik 4 536 . Dermed er det ønskede minste felles multiplum av tallene 84 og 648 4536.

Svar:

LCM(84, 648)=4 536 .

Finne LCM for tre eller flere tall

Det minste felles multiplum av tre eller flere tall kan bli funnet ved å finne LCM for to tall suksessivt. Husk det tilsvarende teoremet, som gir en måte å finne LCM for tre eller flere tall.

Teorem.

La heltall gis positive tall a 1 , a 2 , …, a k , det minste felles multiplum m k av disse tallene er funnet ved sekvensberegning m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , …, m k = LCM ( m k−1 , a k) .

Vurder bruken av denne teoremet på eksemplet med å finne det minste felles multiplum av fire tall.

Eksempel.

Finn LCM for de fire tallene 140, 9, 54 og 250.

Løsning.

I dette eksemplet a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Først finner vi m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). For å gjøre dette, ved å bruke den euklidiske algoritmen, bestemmer vi gcd(140, 9) , vi har 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , derfor gcd( 140, 9)=1, hvorfra LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1 260 . Det vil si, m 2 = 1 260 .

Nå finner vi m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). La oss beregne det gjennom gcd(1 260, 54) , som også bestemmes av Euklid-algoritmen: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Deretter gcd(1 260, 54)=18 , hvorav LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Det vil si m 3 \u003d 3 780.

Venstre å finne m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). For å gjøre dette finner vi GCD(3 780, 250) ved å bruke Euklid-algoritmen: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Derfor, gcd(3 780, 250)=10 , hvorfra gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Det vil si m 4 \u003d 94 500.

Så det minste felles multiplum av de opprinnelige fire tallene er 94 500.

Svar:

LCM(140; 9; 54; 250)=94.500.

I mange tilfeller er det minste felles multiplum av tre eller flere tall praktisk funnet ved å bruke primfaktoriseringer av gitte tall. I dette tilfellet bør følgende regel følges. Det minste felles multiplum av flere tall er lik produktet, som er sammensatt som følger: de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet legges til alle faktorene fra utvidelsen av det første tallet, de manglende faktorene fra utvidelsen av det tredje tallet legges til de oppnådde faktorene, og så videre.

Tenk på et eksempel på å finne det minste felles multiplum ved å bruke dekomponering av tall til primfaktorer.

Eksempel.

Finn det minste felles multiplum av fem tall 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Løsning.

Først får vi utvidelsene av disse tallene til primfaktorer: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 primfaktorer) og 143=11 13 .

For å finne LCM for disse tallene, til faktorene til det første tallet 84 (de er 2 , 2 , 3 og 7 ) må du legge til de manglende faktorene fra utvidelsen av det andre tallet 6 . Utvidelsen av tallet 6 inneholder ikke manglende faktorer, siden både 2 og 3 allerede er til stede i utvidelsen av det første tallet 84 . Videre til faktorene 2 , 2 , 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 2 og 2 fra utvidelsen av det tredje tallet 48 , vi får et sett med faktorer 2 , 2 , 2 , 2 , 3 og 7 . Det er ikke nødvendig å legge til faktorer til dette settet i neste trinn, siden 7 allerede er inneholdt i det. Til slutt, til faktorene 2 , 2 , 2 , 2 , 3 og 7 legger vi til de manglende faktorene 11 og 13 fra utvidelsen av tallet 143 . Vi får produktet 2 2 2 2 3 7 11 13, som er lik 48 048.

Matematiske uttrykk og oppgaver krever mye tilleggskunnskap. NOC er en av de viktigste, spesielt ofte brukt i emnet Emnet studeres på videregående, mens det ikke er spesielt vanskelig å forstå stoff, vil det ikke være vanskelig for en person som er kjent med potenser og multiplikasjonstabellen å velge de nødvendige tallene og finn resultatet.

Definisjon

Et felles multiplum er et tall som kan deles helt inn i to tall samtidig (a og b). Oftest oppnås dette tallet ved å multiplisere de opprinnelige tallene a og b. Tallet må være delelig med begge tallene samtidig, uten avvik.

NOC er den aksepterte betegnelsen for kort tittel, satt sammen fra de første bokstavene.

Måter å få et nummer på

For å finne LCM er metoden for å multiplisere tall ikke alltid egnet, den er mye bedre egnet for enkle ett- eller tosifrede tall. Det er vanlig å dele inn i faktorer, jo større antall, jo flere faktorer vil det være.

Eksempel #1

For det enkleste eksempelet tar skoler vanligvis enkle, ett- eller tosifrede tall. For eksempel må du løse følgende oppgave, finne det minste felles multiplum av tallene 7 og 3, løsningen er ganske enkel, bare multipliser dem. Resultatet er tallet 21, færre rett og slett nei.

Eksempel #2

Det andre alternativet er mye vanskeligere. Tallene 300 og 1260 er gitt, det er obligatorisk å finne LCM. For å løse oppgaven antas følgende handlinger:

Dekomponering av det første og andre tallet til de enkleste faktorene. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Første etappe er fullført.

Den andre fasen innebærer å jobbe med allerede innhentede data. Hvert av de mottatte tallene må delta i beregningen av det endelige resultatet. For hver multiplikator, mest stort antall hendelser. NOC er totalt antall, så faktorene fra tallene bør gjentas i den til den siste, også de som er til stede i en kopi. Begge initialtallene har i sin sammensetning tallene 2, 3 og 5, i forskjellige grader, 7 er bare i ett tilfelle.

For å beregne det endelige resultatet, må du ta hvert tall i den største av deres representerte potenser inn i ligningen. Det gjenstår bare å multiplisere og få svaret, med riktig fylling passer oppgaven inn i to trinn uten forklaring:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) kr = 6300,-.

Det er hele oppgaven, hvis du prøver å beregne ønsket tall ved å multiplisere, vil svaret definitivt ikke være riktig, siden 300 * 1260 = 378 000.

Undersøkelse:

6300 / 300 = 21 - sant;

6300 / 1260 = 5 er riktig.

Riktigheten av resultatet bestemmes ved å sjekke - å dele LCM med begge de opprinnelige tallene, hvis tallet er et heltall i begge tilfeller, så er svaret riktig.

Hva betyr NOC i matematikk

Som du vet er det ikke en eneste ubrukelig funksjon i matematikk, denne er intet unntak. Det vanligste formålet med dette tallet er å bringe brøker til en fellesnevner. Det som vanligvis studeres i 5-6 klassetrinn videregående skole. Det er også i tillegg en felles divisor for alle multipler, hvis slike forhold er i problemet. Et slikt uttrykk kan finne et multiplum ikke bare av to tall, men også av mye mer- tre, fem og så videre. Hvordan flere tall- jo flere handlinger i oppgaven, men kompleksiteten i dette øker ikke.

For eksempel, gitt tallene 250, 600 og 1500, må du finne deres totale LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - dette eksemplet beskriver faktoriseringen i detalj, uten reduksjon.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

For å komponere et uttrykk er det nødvendig å nevne alle faktorene, i dette tilfellet er 2, 5, 3 gitt - for alle disse tallene kreves det å bestemme maksimalgraden.

Oppmerksomhet: alle multiplikatorer må bringes til full forenkling, hvis mulig, dekomponeres til enkeltsifrede nivå.

Undersøkelse:

1) 3000 / 250 = 12 - sant;

2) 3000 / 600 = 5 - sant;

3) 3000 / 1500 = 2 er riktig.

Denne metoden krever ingen triks eller geninivåevner, alt er enkelt og tydelig.

Annen vei

I matematikk henger mye sammen, mye kan løses på to eller flere måter, det samme gjelder å finne minste felles multiplum, LCM. Neste metode kan brukes ved enkle tosifrede og ensifrede tall. En tabell er kompilert der multiplikatoren legges inn vertikalt, multiplikatoren horisontalt, og produktet er indikert i de kryssende cellene i kolonnen. Du kan reflektere tabellen ved hjelp av en linje, et tall tas og resultatene av å multiplisere dette tallet med heltall er skrevet på rad, fra 1 til uendelig, noen ganger er 3-5 poeng nok, det andre og påfølgende tallene blir utsatt for til samme beregningsprosess. Alt skjer til et felles multiplum er funnet.

Gitt tallene 30, 35, 42, må du finne LCM som forbinder alle tallene:

1) Multipler på 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 osv.

2) Multipler av 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 osv.

3) Multipler av 42: 84, 126, 168, 210, 252 osv.

Det er merkbart at alle tallene er ganske forskjellige, det eneste vanlige tallet blant dem er 210, så det blir LCM. Blant prosessene knyttet til denne beregningen er det også den største felles divisoren, som beregnes etter lignende prinsipper og ofte støtes på i naboproblemer. Forskjellen er liten, men betydelig nok, LCM involverer beregningen av et tall som er delelig med alle gitte startverdier, og GCM involverer beregningen størst verdi som de opprinnelige tallene er delbare med.

Når du legger til og subtraherer algebraiske brøker med ulike nevnere først fører brøkene til fellesnevner. Dette betyr at de finner en slik enkelt nevner, som deles på den opprinnelige nevneren til hver algebraisk brøk som er en del av dette uttrykket.

Som du vet, hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres (eller divideres) med det samme tallet annet enn null, vil ikke verdien av brøken endres. Dette er hovedegenskapen til en brøk. Derfor, når brøker fører til en fellesnevner, multipliseres faktisk den opprinnelige nevneren til hver brøk med den manglende faktoren til en fellesnevner. I dette tilfellet er det nødvendig å multiplisere med denne faktoren og telleren til brøken (den er forskjellig for hver brøk).

For eksempel gitt følgende sum av algebraiske brøker:

Det er nødvendig å forenkle uttrykket, dvs. legge til to algebraiske brøker. For å gjøre dette er det først og fremst nødvendig å redusere begrepene-brøker til en fellesnevner. Det første trinnet er å finne et monomial som er delelig med både 3x og 2y. I dette tilfellet er det ønskelig at det er det minste, dvs. finner det minste felles multiplum (LCM) for 3x og 2y.

For numeriske koeffisienter og variabler søkes LCM separat. LCM(3, 2) = 6 og LCM(x, y) = xy. Videre multipliseres de funnet verdiene: 6xy.

Nå må vi bestemme med hvilken faktor vi må gange 3x for å få 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Dette betyr at når du reduserer den første algebraiske brøken til en fellesnevner, må dens teller multipliseres med 2y (nevneren er allerede multiplisert når den er redusert til en fellesnevner). Faktoren for telleren til den andre brøken søkes på lignende måte etter. Det vil være lik 3x.

Dermed får vi:

Da kan du allerede opptre som med brøk med samme nevnere: tellere legges til, og en felles er skrevet i nevneren:

Etter transformasjoner oppnås et forenklet uttrykk, som er ett algebraisk brøk, som er summen av to originale:

Algebraiske brøker i det opprinnelige uttrykket kan inneholde nevnere som er polynomer i stedet for monomer (som i eksemplet ovenfor). I dette tilfellet, før du finner en fellesnevner, faktor nevnerne (hvis mulig). Lengre fellesnevner er satt sammen fra forskjellige multiplikatorer. Hvis faktoren er i flere innledende nevnere, tas den én gang. Hvis multiplikatoren har ulike grader i de opprinnelige nevnerne, så er det tatt med en større. For eksempel:

Her kan polynomet a 2 - b 2 representeres som et produkt (a - b)(a + b). Faktoren 2a – 2b utvides som 2(a – b). Dermed vil fellesnevneren være lik 2(a - b)(a + b).

La det gis et uttrykk som er produktet av et tall og bokstaver. Tallet i dette uttrykket kalles koeffisient. For eksempel:

i uttrykket er koeffisienten tallet 2;

i uttrykk - nummer 1;

i et uttrykk er dette tallet -1;

i uttrykket er koeffisienten produktet av tallene 2 og 3, det vil si tallet 6.

Petya hadde 3 søtsaker og 5 aprikoser. Mamma ga Petya 2 søtsaker til og 4 aprikoser (se fig. 1). Hvor mange søtsaker og aprikoser hadde Petya totalt?

Ris. 1. Illustrasjon for problemet

Løsning

La oss skrive tilstanden til problemet i følgende skjema:

1) Det var 3 søtsaker og 5 aprikoser:

2) Mamma ga 2 søtsaker og 4 aprikoser:

3) Det vil si at Petya har alt:

4) Vi legger til søtsaker med søtsaker, aprikoser med aprikoser:

Derfor er det 5 søtsaker og 9 aprikoser totalt.

Svar: 5 søtsaker og 9 aprikoser.

I oppgave 1, i fjerde trinn, tok vi for oss reduksjonen av lignende termer.

Termer som har samme bokstavdel kalles lignende termer. Lignende termer kan avvike bare i deres numeriske koeffisienter.

For å legge til (redusere) lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen.

Ved å redusere like termer forenkler vi uttrykket.

De er like termer, siden de har samme bokstavdel. Derfor, for å redusere dem, er det nødvendig å legge til alle koeffisientene deres - disse er 5, 3 og -1 og multiplisere med den vanlige bokstavdelen - dette er en.

Dette uttrykket inneholder like termer. Den vanlige bokstavdelen er xy, og koeffisientene er 2, 1 og -3. Her er disse lignende begrepene:

I dette uttrykket er lignende termer og la oss bringe dem:

La oss forenkle dette uttrykket. For å gjøre dette finner vi lignende termer. Det er to par lignende termer i dette uttrykket - disse er og , og .

La oss forenkle dette uttrykket. For å gjøre dette, åpne parentesene ved å bruke distribusjonsloven:

Det er lignende termer i uttrykket - dette og , la oss gi dem:

I denne leksjonen ble vi kjent med begrepet en koeffisient, lærte hvilke ledd som kalles like, og formulerte regelen for å redusere like ledd, og vi løste også flere eksempler der vi brukte denne regelen.

Bibliografi

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk 6. M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikk 6. klasse. M.: Gymnasium, 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bak sidene i en lærebok i matematikk. Moskva: Utdanning, 1989.
Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Oppgaver for kurset matematikk klasse 5-6. M.: ZSh MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematikk 5-6. En veiledning for elever i klasse 6 på MEPhI-korrespondanseskolen. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematikk: Lærebok-samtaler for 5-6 trinn på videregående. M .: Utdanning, matematikklærerbibliotek, 1989.

Hjemmelekser

Internettportal Youtube.com ( ).
Internett-portal For6cl.uznateshe.ru ().
Internettportal Festival.1september.ru ().
Internettportal Cleverstudents.ru ().