Hva er stasjonære punkter i en funksjon. Kritiske punkter for en funksjon

Stasjonære punkter i en funksjon. Nødvendig tilstand lokalt ekstremum av funksjonen

Først tilstrekkelig tilstand lokalt ekstremum

Den andre og tredje tilstrekkelige forhold for et lokalt ekstremum

De minste og største verdiene til en funksjon på et segment

Konvekse funksjoner og bøyningspunkter

1. Stasjonære punkter i en funksjon. En nødvendig betingelse for et lokalt ekstremum av en funksjon

Definisjon 1 . La funksjonen defineres på
. Punktum kalles funksjonens stasjonære punkt
, hvis
differensiert på et punkt og
.

Teorem 1 (nødvendig betingelse for et lokalt ekstremum av en funksjon) . La funksjonen
bestemt på
og har på punktet
lokal ekstrem. Da er ett av følgende vilkår oppfylt:

For å finne punkter som er mistenkelige for et ekstremum, er det derfor nødvendig å finne stasjonære punkter av funksjonen og punkter der den deriverte av funksjonen ikke eksisterer, men som tilhører funksjonens domene.

Eksempel . La
. Finn punkter for det som er mistenkelige for et ekstremum. For å løse problemet, først og fremst finner vi domenet til funksjonen:
. Vi finner nå den deriverte av funksjonen:

Punkter der den deriverte ikke eksisterer:
. Stasjonære funksjonspunkter:

Fordi og
, og
tilhører domenet til funksjonsdefinisjonen, så vil begge være mistenkelige for et ekstremum. Men for å konkludere om det virkelig vil være et ekstremum, er det nødvendig å legge tilstrekkelige betingelser for ekstremumet.

2. Først tilstrekkelig tilstand for et lokalt ekstremum

Teorem 1 (første tilstrekkelig betingelse for et lokalt ekstremum) . La funksjonen
bestemt på
og er differensiert på dette intervallet overalt, unntatt muligens på punktet
, men på dette tidspunktet funksjon
er kontinuerlig. Hvis det finnes slike høyre og venstre semi-nabolag av et punkt , i hver av dem
beholder et visst tegn, da

1) funksjon
har et lokalt ekstremum på punktet , hvis
tar verdier av forskjellige tegn i de tilsvarende semi-nabolagene;

2) funksjon
har ikke et lokalt ekstremum på punktet , hvis til høyre og til venstre for punktet
har samme tegn.

Bevis . 1) Anta at i et semi-nabolag
derivat
, og i

.

Altså på punktet funksjon
har et lokalt ekstremum, nemlig lokalt maksimum, som skulle bevises.

2) Anta at til venstre og høyre for punktet den deriverte beholder tegnet sitt, for eksempel,
. Så videre
og
funksjon
strengt monotont økende, det vil si:

Altså ekstremumet på punktet funksjon
ikke, noe som skulle bevises.

Merknad 1 . Hvis derivatet
når du passerer gjennom et punkt endrer fortegn fra "+" til "-", deretter på punktet funksjon
har et lokalt maksimum, og hvis tegnet endres fra "-" til "+", så et lokalt minimum.

Merknad 2 . En viktig betingelse er kontinuiteten i funksjonen
på punktet . Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, kan det hende at teorem 1 ikke holder.

Eksempel . Funksjonen vurderes (fig. 1):

Denne funksjonen er definert på og er kontinuerlig overalt bortsett fra punktet
, hvor den har en fjernbar diskontinuitet. Når du passerer gjennom et punkt

endrer fortegn fra "-" til "+", men funksjonen har ikke et lokalt minimum på dette tidspunktet, men har et lokalt maksimum per definisjon. Faktisk nær poenget
det er mulig å konstruere et slikt nabolag at for alle argumenter fra dette nabolaget vil verdiene til funksjonen være mindre enn verdien
. Teorem 1 fungerte ikke fordi på punktet
funksjonen hadde en pause.

Merknad 3 . Den første tilstrekkelige lokale ekstremumbetingelsen kan ikke brukes når den deriverte av funksjonen
endrer fortegn i hvert venstre og hver høyre semi-nabolag av punktet .

Eksempel . Funksjonen som vurderes er:

Fordi det
, deretter
, og derfor
, men
. På denne måten:

,

de. på punktet
funksjon
Det har lokalt minimum per definisjon. La oss se om den første tilstrekkelige betingelsen for et lokalt ekstremum fungerer her.

Til
:

For det første leddet på høyre side av den resulterende formelen har vi:

,

og derfor i et lite nabolag av punktet
tegnet til den deriverte bestemmes av tegnet til det andre leddet, det vil si:

,

som betyr at i alle nabolag av punktet

vil akseptere både positive og negative verdier. Faktisk vurdere et vilkårlig nabolag av punktet
:
. Når

,

deretter

(fig. 2), og skifter fortegn her uendelig mange ganger. Den første tilstrekkelige betingelsen for et lokalt ekstremum kan derfor ikke brukes i eksemplet ovenfor.

Definisjoner:

ekstremum kalt maksimum minimumsverdi funksjoner på et gitt sett.

ekstreme punkt er punktet der maksimums- eller minimumsverdien for funksjonen nås.

Maks poeng er punktet der maksimalverdien til funksjonen nås.

Lavt punkt er punktet der minimumsverdien til funksjonen er nådd.

Forklaring.

På figuren, i nærheten av punktet x = 3, når funksjonen sin maksimale verdi (det vil si at det ikke er noe høyere punkt i nærheten av dette punktet). I nærheten av x = 8 har den igjen en maksimal verdi (igjen, la oss presisere: det er i dette nabolaget det ikke er noe poeng ovenfor). På disse punktene erstattes økningen med en nedgang. De er maksimalpoeng:

xmax = 3, xmax = 8.

I nærheten av punktet x = 5 nås minimumsverdien til funksjonen (det vil si i nærheten av x = 5 er det ikke noe punkt under). På dette tidspunktet erstattes nedgangen med en økning. Det er minimumspunktet:

Maksimum og minimum poeng er funksjonens ekstreme punkter, og verdiene til funksjonen på disse punktene er dens ytterpunkter.

Kritiske og stasjonære punkter ved funksjonen:

Nødvendig betingelse for ekstremum:

Tilstrekkelig tilstand for et ekstremum:

På segmentet, funksjonen y = f(x) kan nå sin minimums- eller maksimumsverdi enten på kritiske punkter eller i enden av segmentet.

Forskningsalgoritme kontinuerlig funksjon y = f(x) for monotonisitet og ekstrema:

Domenet til en funksjon, beregn dens deriverte, finn domenet til den deriverte av en funksjon, finn poeng konvertering av den deriverte til null, bevise at de funnet punktene tilhører definisjonsdomenet til den opprinnelige funksjonen.

Eksempel 1 Identifiser kritisk poeng funksjoner y = (x - 3)² (x-2).

LøsningFinn omfanget av funksjonen, i denne saken ingen begrensninger: x ∈ (-∞; +∞); Beregn den deriverte y’. I henhold til reglene for differensiering av produktet av to, er det: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. Etter at det viser seg kvadratisk ligning: y' = 3 x² - 16 x + 21.

Finn domenet til den deriverte av funksjonen: x ∈ (-∞; +∞) Løs ligningen 3 x² - 16 x + 21 = 0 for å finne hvilken den forsvinner for: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Så den deriverte forsvinner for x-verdier lik 3 og 7/3.

Finn ut om de funnet tilhører poeng domenene til den opprinnelige funksjonen. Siden x (-∞; +∞), så begge disse poeng er kritiske.

Eksempel 2 Identifiser kritisk poeng funksjoner y = x² - 2/x.

Løsning Domene til funksjonen: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) siden x er i nevneren. Regn ut den deriverte y’ = 2 x + 2/x².

Domenet til funksjonens deriverte er det samme som for originalen: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) Løs ligningen 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -en.

Så den deriverte forsvinner ved x = -1. En nødvendig, men utilstrekkelig kritikalitetsbetingelse er oppfylt. Siden x=-1 faller inn i intervallet (-∞; 0) ∪ (0; +∞), er dette punktet kritisk.

Kilder:

• Kritisk salgsvolum, stk Terskel

Mange kvinner lider av premenstruelt syndrom, som ikke bare manifesteres av smertefulle opplevelser, men også av økt appetitt. Som et resultat kan kritiske dager redusere prosessen med å gå ned i vekt betydelig.

Årsaker til økt appetitt under kritiske dager

Årsaken til økningen i appetitten i perioden med kritiske dager er en endring i den generelle hormonelle bakgrunnen i kvinnekroppen. Noen dager før menstruasjonsstart stiger nivået av hormonet progesteron, kroppen stiller seg inn på det mulige og prøver å lage ytterligere energireserver i form av kroppsfett, selv om kvinnen sitter. En endring i vekt på kritiske dager er således et normalt fenomen.

Hvordan spise under menstruasjon

Prøv å ikke spise søtsaker, konfekt og annen kaloririk mat som inneholder "rask" i disse dager. Overskuddet deres vil umiddelbart bli avsatt i fett. Mange kvinner i denne perioden ønsker virkelig å spise sjokolade, i dette tilfellet kan du kjøpe mørk sjokolade og unne deg noen skiver, men ikke mer. Må ikke brukes under menstruasjon alkoholholdige drinker, marinader, pickles, røkt kjøtt, frø og nøtter. Pickles og røkt kjøtt bør generelt begrenses i kostholdet 6-8 dager før menstruasjonsstart, siden slike produkter øker vannreservene i kroppen, og denne perioden er preget av en økning i væskeansamling. For å redusere mengden salt i kostholdet ditt, legg det til minimumsmengde i ferdigretter.

Det anbefales å bruke magre meieriprodukter, plantemat, frokostblandinger. Belgvekster, kokte poteter, ris vil være nyttige - produkter som inneholder "langsomme" karbohydrater. Sjømat, lever, fisk, biff, fjærfe, egg, belgfrukter, tørket frukt vil bidra til å fylle opp tapet av jern. Hvetekli vil være nyttig. naturlig reaksjon under menstruasjon er hevelse. Lette vanndrivende urter vil bidra til å korrigere tilstanden: basilikum, dill, persille, selleri. De kan brukes som krydder. I andre halvdel av syklusen anbefales det å innta proteinprodukter (magert kjøtt og fisk, meieriprodukter), og mengden karbohydrater i kosten bør reduseres så mye som mulig.

økonomisk konsept kritisk volum salg tilsvarer bedriftens posisjon i markedet, der inntektene fra salg av varer er minimale. Denne situasjonen kalles break-even-punktet, når etterspørselen etter produkter faller og fortjenesten knapt dekker kostnadene. For å bestemme det kritiske volumet salg bruke flere metoder.

Instruksjon

Arbeidssyklusen er ikke begrenset til dens aktiviteter – produksjon eller tjenester. Dette er et komplekst arbeid med en viss struktur, inkludert arbeidet til nøkkelpersonell, ledere, ledere, etc., samt økonomer, hvis oppgave er den økonomiske analysen av bedriften.

Hensikten med denne analysen er å beregne noen mengder som i en eller annen grad påvirker størrelsen på det endelige overskuddet. den forskjellige typer produksjons- og salgsvolum, full og gjennomsnittlig, etterspørselsindikatorer, etc. Hovedoppgaven er å identifisere et slikt produksjonsvolum der det etableres et stabilt forhold mellom kostnader og fortjeneste.

Minimum volum salg, hvor inntekten fullt ut dekker kostnadene, men ikke øker selskapets egenkapital, kalles det kritiske volumet salg. Det er tre metoder for å beregne metoden for denne indikatoren: metoden for ligninger, marginalinntekt og grafisk.

For å bestemme det kritiske volumet salg i henhold til den første metoden, lag en ligning av formen: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, hvor: Vp - inntekt fra salg og Zper og Zpos - variable og faste kostnader, Pp - fortjeneste fra salg og.

Etter en annen metode, første sikt, inntekter fra salg, representere som produktet av marginalinntekt fra en vareenhet etter volum salg Det samme gjelder variable kostnader. Faste kostnader gjelder for hele varepartiet, så la denne komponenten være vanlig: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Uttrykk verdien av N fra denne ligningen, og du får det kritiske volumet salg:N = Zpos / (MD - Zper1), hvor Zper1 - variable kostnader per vareenhet.

Grafisk metode innebærer bygging. Søke på koordinatplan to linjer: inntektsfunksjon fra salg minus både kostnads- og profittfunksjon. På abscisseaksen, plott produksjonsvolumet, og på ordinataksen, inntekten fra den tilsvarende varemengden, uttrykt i pengeenheter. Skjæringspunktet for disse linjene tilsvarer det kritiske volumet salg, break-even-posisjonen.

Kilder:

• hvordan identifisere kritisk arbeid

Kritisk tenking er et sett med vurderinger som det dannes visse konklusjoner på grunnlag av, og det foretas en vurdering av kritikkobjektene. Det er spesielt karakteristisk for forskere og vitenskapsmenn fra alle grener av vitenskapen. Kritisk tenkning opptar et høyere nivå enn vanlig tenkning.

Verdien av erfaring i dannelsen av kritisk tenkning

Det er vanskelig å analysere og trekke konklusjoner om det man ikke forstår godt. Derfor, for å lære å tenke kritisk, er det nødvendig å studere objekter i alle mulige sammenhenger og forhold til andre fenomener. I tillegg til veldig viktig i dette tilfellet besitter han informasjon om slike objekter, evnen til å bygge logiske kjeder av dommer og trekke fornuftige konklusjoner.

Døm for eksempel verdien kunstverk er mulig bare ved å kjenne nok andre frukter litterær virksomhet. Samtidig er det ikke dårlig å være en kjenner av historien om menneskehetens utvikling, dannelsen av litteratur og litterær kritikk. Vekk fra historisk sammenheng verket kan miste sin tiltenkte mening. For at vurderingen av et kunstverk skal være tilstrekkelig fullstendig og begrunnet, er det også nødvendig å bruke din litterære kunnskap, som inkluderer reglene for å konstruere kunstnerisk tekst innenfor individuelle sjangere, et system av ulike litterære virkemidler, klassifisering og analyse eksisterende stiler og trender innen litteratur osv. Samtidig er det også viktig å studere plottets interne logikk, handlingsrekkefølgen, plassering og interaksjon mellom karakterer i et kunstverk.

Egenskaper ved kritisk tenkning

Andre trekk ved kritisk tenkning inkluderer:
- kunnskap om objektet som studeres er bare utgangspunktet for videre hjerneaktivitet assosiert med konstruksjon av logiske kjeder;
- konsekvent bygget og basert på sunn fornuft resonnement fører til identifisering av sann og feilaktig informasjon om objektet som studeres;
- kritisk tenkning er alltid forbundet med vurdering av tilgjengelig informasjon om gitt objekt og de tilsvarende konklusjonene, er vurderingen i sin tur relatert til ferdighetene som allerede er tilgjengelig.

I motsetning til vanlig tenkning er kritisk tenkning ikke underlagt blind tro. Kritisk tenkning tillater hele systemet dommer om gjenstanden for kritikk for å forstå dens essens, å avsløre sann kunnskap om det og tilbakevise de falske. Den er basert på logikk, dybde og fullstendighet av studier, sannhet, tilstrekkelighet og konsistens i vurderinger. Samtidig aksepteres åpenbare og beviste utsagn som postulater og krever ikke gjentatt bevis og evaluering.

Kritiske punkter er punktene der den deriverte av funksjonen er lik null eller ikke eksisterer. Hvis den deriverte er 0, tar funksjonen på det punktet lokalt minimum eller maksimum. På grafen på slike punkter har funksjonen horisontal asymptote, det vil si at tangenten er parallell med x-aksen.

Slike punkter kalles stasjonær. Hvis du ser en "pukkel" eller "hull" på et kontinuerlig funksjonsdiagram, husk at maksimum eller minimum er nådd på det kritiske punktet. Tenk på følgende oppgave som et eksempel.

Eksempel 1 Finn de kritiske punktene til funksjonen y=2x^3-3x^2+5 .
Løsning. Algoritmen for å finne kritiske punkter er som følger:

Så funksjonen har to kritiske punkter.

Videre, hvis du trenger å studere funksjonen, bestemmer vi tegnet til den deriverte til venstre og høyre for det kritiske punktet. Hvis den deriverte endrer fortegn fra "-" til "+" når den passerer gjennom et kritisk punkt, tar funksjonen lokalt minimum. Hvis fra "+" til "-" bør lokalt maksimum.

Den andre typen kritiske punkter dette er nullpunktene til nevneren for brøk- og irrasjonelle funksjoner

Funksjoner med logaritmer og trigonometri som ikke er definert på disse punktene


Den tredje typen kritiske punkter har stykkevis kontinuerlige funksjoner og moduler.
For eksempel har enhver modulfunksjon et minimum eller maksimum ved et bruddpunkt.

For eksempel modul y = | x -5 | ved punktet x = 5 har et minimum (kritisk punkt).
Den deriverte finnes ikke i den, men til høyre og venstre tar den verdien henholdsvis 1 og -1.

Prøv å identifisere kritiske punkter ved funksjoner

1)
2)
3)
4)
5)

Hvis du som svar får verdien
1) x=4;
2) x=-1; x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
da vet du allerede hvordan finne kritiske punkter og kunne takle en enkel kontroll eller tester.

Tenk på følgende figur.

Den viser grafen til funksjonen y = x^3 - 3*x^2. Tenk på et intervall som inneholder punktet x = 0, for eksempel fra -1 til 1. Et slikt intervall kalles også naboskapet til punktet x = 0. Som du kan se på grafen, er funksjonen y = x^ i dette nabolaget. 3 - 3*x^2 tar høyeste verdi nøyaktig ved punktet x = 0.

Maksimum og minimum av en funksjon

I dette tilfellet kalles punktet x = 0 funksjonens maksimumspunkt. I analogi med dette kalles punktet x = 2 minimumspunktet for funksjonen y = x^3 - 3*x^2. Fordi det er et slikt nabolag på dette punktet der verdien på dette punktet vil være minimal blant alle andre verdier fra dette nabolaget.

punktum maksimum funksjonen f(x) kalles et punkt x0, forutsatt at det er et nabolag til punktet x0 slik at for alle x som ikke er lik x0 fra dette nabolaget, vil ulikheten f(x)< f(x0).

punktum minimum funksjonen f(x) kalles et punkt x0, forutsatt at det er et nabolag til punktet x0 slik at for alle x som ikke er lik x0 fra dette nabolaget, er ulikheten f(x) > f(x0) tilfredsstilt.

Ved maksimums- og minimumspunktene til funksjonene er verdien av den deriverte av funksjonen lik null. Men dette er ikke en tilstrekkelig betingelse for eksistensen av en funksjon på et maksimums- eller minimumspunkt.

For eksempel har funksjonen y = x^3 i punktet x = 0 en derivert lik null. Men punktet x = 0 er ikke minimums- eller maksimumspunktet for funksjonen. Som du vet øker funksjonen y = x^3 på hele den reelle aksen.

Dermed vil minimums- og maksimumspoengene alltid være blant roten av ligningen f’(x) = 0. Men ikke alle røttene til denne ligningen vil være maksimums- eller minimumspoeng.

Stasjonære og kritiske punkter

Punktene der verdien av den deriverte av en funksjon er lik null kalles stasjonære punkter. Det kan også være punkter med maksimum eller minimum på punkter der den deriverte av funksjonen ikke eksisterer i det hele tatt. For eksempel, y = |x| i punktet x = 0 har et minimum, men den deriverte eksisterer ikke på dette punktet. Dette punktet vil være det kritiske punktet for funksjonen.

De kritiske punktene til en funksjon er punktene der den deriverte er lik null, eller den deriverte ikke eksisterer på dette punktet, det vil si at funksjonen på dette punktet er ikke-differensierbar. For å finne maksimum eller minimum av en funksjon, må en tilstrekkelig betingelse være oppfylt.

La f(x) være en funksjon som kan differensieres på intervallet (a;b). Punktet x0 tilhører dette intervallet og f'(x0) = 0. Så:

1. hvis funksjonen f (x) og dens deriverte, når den passerer gjennom det stasjonære punktet x0, endrer fortegn, fra “pluss” til “minus”, så er punktet x0 funksjonens maksimumspunkt.

2. hvis funksjonen f (x) og dens deriverte, når den passerer gjennom det stasjonære punktet x0, endrer fortegn, fra "minus" til "pluss", så er punktet x0 funksjonens minimumspunkt.