Hva er en vinkeldefinisjon. Rett, stump, spiss og utviklet vinkel

Vinkelen er den geometriske hovedfiguren, som vi vil analysere gjennom hele emnet. Definisjoner, metoder for innstilling, notasjon og måling av vinkelen. La oss analysere prinsippene for å velge hjørner i tegningene. Hele teorien er illustrert og har et stort antall visuelle tegninger.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definisjon 1

Hjørne- en enkel viktig figur i geometri. Vinkelen avhenger direkte av definisjonen av en stråle, som igjen består av de grunnleggende begrepene et punkt, en linje og et plan. For en grundig studie må du fordype deg i temaene rett linje på et fly - nødvendig informasjon og fly - nødvendig informasjon.

Konseptet med en vinkel begynner med konseptene om et punkt, et plan og en rett linje avbildet på dette planet.

Definisjon 2

Gitt en linje a på et fly. Angi et punkt O på den. Linjen er delt med et punkt i to deler som hver har et navn Stråle, og punktet O er strålestart.

Med andre ord, en bjelke eller halvlinje - det er en del av en linje, som består av punkter på en gitt linje, plassert på samme side i forhold til startpunktet, det vil si punktet O.

Betegnelsen på strålen er tillatt i to varianter: en liten eller to store bokstaver i det latinske alfabetet. Når den er betegnet med to bokstaver, har bjelken et navn som består av to bokstaver. La oss se nærmere på tegningen.

La oss gå videre til konseptet med å definere en vinkel.

Definisjon 3

Hjørne- dette er en figur som ligger i et gitt plan, dannet av to ikke-tilpassede stråler som har en felles opprinnelse. side hjørne er en bjelke toppunkt- den felles starten for partene.

Det er et tilfelle når sidene av en vinkel kan fungere som en rett linje.

Definisjon 4

Når begge sider av en vinkel er plassert på samme rette linje eller sidene fungerer som ytterligere halvlinjer av en rett linje, kalles en slik vinkel utplassert.

Figuren under viser et flatt hjørne.

Et punkt på en rett linje er toppunktet til vinkelen. Oftest er det merket med prikken O.

En vinkel i matematikk er merket med tegnet "∠". Når sidene av en vinkel er merket med liten latin, så for riktig definisjon av vinkelen, skrives bokstaver på rad, henholdsvis i henhold til sidene. Hvis to sider er betegnet k og h, er vinkelen betegnet som ∠ k h eller ∠ h k .

Når det er en betegnelse med store bokstaver, har sidene av hjørnet henholdsvis navnene O A og O B. I dette tilfellet har vinkelen et navn på tre bokstaver i det latinske alfabetet, skrevet på rad, i midten med et toppunkt - ∠ A O B og ∠ B O A . Det er en betegnelse i form av tall når hjørnene ikke har navn eller bokstaver. Nedenfor er en figur der vinkler er angitt på forskjellige måter.

En vinkel deler planet i to deler. Hvis vinkelen ikke er utviklet, har en del av flyet navnet indre hjørneområde, den andre - ytre hjørneområde. Nedenfor er et bilde som forklarer hvilke deler av planet som er eksterne og hvilke som er indre.

Når delt med en rett vinkel på et plan, anses enhver av delene for å være det indre av den rette vinkelen.

Det indre området av hjørnet er et element som tjener til den andre definisjonen av hjørnet.

Definisjon 5

hjørne en geometrisk figur kalles, bestående av to ikke-sammenfallende stråler, med en felles opprinnelse og et tilsvarende indre område av vinkelen.

Denne definisjonen er strengere enn den forrige, siden den har flere betingelser. Det er ikke tilrådelig å vurdere begge definisjonene separat, fordi en vinkel er en geometrisk figur transformert ved hjelp av to stråler som kommer ut av ett punkt. Når det er nødvendig å utføre handlinger med en vinkel, betyr definisjonen tilstedeværelsen av to stråler med en felles opprinnelse og en intern region.

Definisjon 6

De to hjørnene kalles i slekt, hvis det er en felles side, og de to andre er komplementære halvlinjer eller danner en rett vinkel.

Figuren viser at tilstøtende hjørner utfyller hverandre, da de er en fortsettelse av hverandre.

Definisjon 7

De to hjørnene kalles vertikal, hvis sidene til den ene er komplementære halvlinjer til den andre eller er forlengelser av sidene til den andre. Figuren nedenfor viser et bilde av de vertikale hjørnene.

Ved kryssing av linjer oppnås 4 par tilstøtende og 2 par vertikale vinkler. Nedenfor vises på bildet.

Artikkelen viser definisjonene av like og ulik vinkel. Vi vil analysere hvilken vinkel som anses som stor, hvilken som er mindre, og andre egenskaper ved vinkelen. To figurer regnes som like hvis de er helt sammenfallende når de er lagt over hverandre. Den samme egenskapen gjelder for å sammenligne vinkler.

Gitt to vinkler. Det er nødvendig å komme til konklusjonen om disse vinklene er like eller ikke.

Det er kjent at toppunktene til to hjørner og siden av det første hjørnet overlapper en hvilken som helst annen side av det andre. Det vil si at i tilfelle fullstendig tilfeldighet, når vinklene er overlagret, vil sidene til de gitte vinklene falle sammen fullstendig, vinklene lik.

Det kan være at sidene ikke kan kombineres når de legges over hverandre, så hjørnene ulik, mindre som består av en annen, og mer har en helt annen vinkel. Nedenfor er ulike vinkler som ikke er justert når de er lagt over hverandre.

De utviklede vinklene er like.

Målingen av vinkler begynner med måling av siden av den målte vinkelen og dens indre region, fylle som med enhetsvinkler, de påføres hverandre. Det er nødvendig å telle antall stablede hjørner, de forhåndsbestemmer målet på den målte vinkelen.

En vinkelenhet kan uttrykkes i en hvilken som helst målbar vinkel. Det er generelt aksepterte måleenheter som brukes innen vitenskap og teknologi. De spesialiserer seg på andre titler.

Det mest brukte konseptet grad.

Definisjon 8

én grad kalles en vinkel som har hundre og åttiende av en utrettet vinkel.

Standardnotasjonen for en grad er "°", så er en grad 1°. Derfor består en rett vinkel av 180 slike vinkler, bestående av én grad. Alle tilgjengelige hjørner er tett stablet til hverandre, og sidene på det forrige er på linje med det neste.

Det er kjent at antall grader i en vinkel er det samme målet på vinkelen. Det utviklede hjørnet har 180 stablede hjørner i sammensetningen. Figuren under viser eksempler hvor vinkelen legges 30 ganger, det vil si en sjettedel av den utvidede, og 90 ganger, det vil si halvparten.

Minutter og sekunder brukes til å bestemme vinkelmålinger nøyaktig. De brukes når vinkelverdien ikke er en heltallsgradsbetegnelse. Slike deler av en grad lar deg utføre mer nøyaktige beregninger.

Definisjon 9

minutt kalt en sekstidels grad.

Definisjon 10

sekund kalt et sekstidels minutt.

En grad inneholder 3600 sekunder. Minutter angir """, og sekunder """". Betegnelsen finner sted:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

og notasjonen for vinkelen 17 grader 3 minutter og 59 sekunder er 17° 3 "59"".

Definisjon 11

La oss gi et eksempel på notasjonen av gradmålet for en vinkel lik 17 ° 3 "59" ". Oppføringen har en annen form 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600.

For nøyaktig å måle vinkler, brukes en måleenhet som en gradskive. Når du angir vinkelen ∠ A O B og dens gradmål på 110 grader, brukes en mer praktisk notasjon ∠ A O B \u003d 110 °, som lyder "Vinkel A O B er lik 110 grader."

I geometri brukes et vinkelmål fra intervallet (0 , 180 ], og i trigonometri kalles et vilkårlig gradmål. dreievinkler. Verdien av vinklene uttrykkes alltid som et reelt tall. Rett vinkel er en vinkel som har 90 grader. Skarpt hjørne er en vinkel som er mindre enn 90 grader, og dum- mer.

En spiss vinkel måles i intervallet (0, 90), og en stump vinkel - (90, 180) . Tre typer vinkler er tydelig vist nedenfor.

Ethvert gradmål av en vinkel har samme verdi. En større vinkel har henholdsvis et større gradmål enn en mindre. Gradmålet for en vinkel er summen av alle tilgjengelige gradmål av innvendige vinkler. Figuren under viser vinkelen AOB, bestående av vinklene AOC, COD og DOB. I detalj ser det slik ut: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Basert på dette kan det konkluderes med at sum alle tilstøtende vinkler er 180 grader fordi de alle utgjør en utvidet vinkel.

Det følger av dette at evt vertikale vinkler er like. Hvis vi tar for oss dette med et eksempel, får vi at vinkelen A O B og C O D er vertikale (på tegningen), da regnes vinkelparene A O B og B O C, C O D og B O C tilstøtende. I et slikt tilfelle anses likheten ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° sammen med ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° som unikt sanne. Derfor har vi at ∠ A O B = ∠ C O D . Nedenfor er et eksempel på bildet og betegnelsen på vertikale fangster.

I tillegg til grader, minutter og sekunder brukes en annen måleenhet. Det kalles radian. Oftest kan det bli funnet i trigonometri når man designer vinklene til polygoner. Det som kalles en radian.

Definisjon 12

En radianvinkel kalt sentralvinkelen, som har en sirkelradius som er lik lengden på buen.

På figuren er radianen avbildet som en sirkel, der det er et sentrum, angitt med et punkt, med to punkter på sirkelen koblet sammen og omgjort til radier O A og O B. Per definisjon er denne trekanten A O B likesidet, som betyr at lengden på buen A B er lik lengden på radiene OB og Oh A.

Betegnelsen på vinkelen tas som "rad". Det vil si at en oppføring i 5 radianer forkortes til 5 rad. Noen ganger kan du finne en betegnelse som har navnet pi. Radianer er ikke avhengig av lengden på en gitt sirkel, siden figurene har en form for begrensning ved hjelp av en vinkel og dens bue med et senter som ligger i toppunktet til en gitt vinkel. De anses som like.

Radianer har samme betydning som grader, bare forskjellen er i størrelsen. For å bestemme dette, er det nødvendig å dele den beregnede lengden på buen til den sentrale vinkelen med lengden på dens radius.

I praksis bruker de konvertere grader til radianer og radianer til grader for enklere problemløsning. Den angitte artikkelen har informasjon om sammenhengen mellom gradmålet og radianen, hvor du kan studere i detalj oversettelsene fra grad til radian og omvendt.

For en visuell og praktisk skildring av buer, brukes vinkler, tegninger. Det er ikke alltid mulig å korrekt avbilde og markere en bestemt vinkel, bue eller navn. Like vinkler har betegnelsen i form av samme antall buer, og ulik i form av forskjellige. Tegningen viser riktig betegnelse for skarpe, like og ulik vinkel.

Når mer enn 3 hjørner skal merkes, brukes spesielle buebetegnelser, for eksempel bølgete eller taggete. Det spiller ikke så stor rolle. Figuren nedenfor viser betegnelsen deres.

Angivelsen av vinklene bør være enkel for ikke å forstyrre andre verdier. Når du løser et problem, anbefales det å velge bare hjørnene som er nødvendige for å løse for ikke å rote opp hele tegningen. Dette vil ikke forstyrre løsningen og beviset, og vil også gi et estetisk utseende til tegningen.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Denne artikkelen vil vurdere en av de viktigste geometriske formene - vinkelen. Etter en generell introduksjon til dette konseptet, vil vi fokusere på en bestemt type av en slik figur. Den rette vinkelen er et viktig begrep innen geometri og vil være fokus i denne artikkelen.

Introduksjon til begrepet en geometrisk vinkel

I geometri er det en rekke objekter som danner grunnlaget for all vitenskap. Vinkelen refererer bare til dem og bestemmes ved å bruke begrepet en stråle, så la oss starte med det.

Før du går videre til definisjonen av selve vinkelen, må du huske flere like viktige objekter i geometri - dette er et punkt, en rett linje på et plan og selve flyet. En rett linje er den enkleste geometriske figuren, som verken har begynnelse eller slutt. Et plan er en overflate som har to dimensjoner. Vel, en stråle (eller en halvlinje) i geometri er en del av en rett linje som har en begynnelse, men ingen ende.

Ved å bruke disse begrepene kan vi komme med et utsagn om at en vinkel er en geometrisk figur som ligger helt i et visst plan og består av to ikke-tilpassede stråler med felles opphav. Slike stråler kalles sidene av vinkelen, og den vanlige begynnelsen av sidene er dens toppunkt.

Typer vinkler og geometri

Vi vet at vinkler kan være ganske forskjellige. Og derfor vil det bli gitt en liten klassifisering nedenfor, som vil bidra til bedre å forstå typene vinkler og deres hovedtrekk. Så det er flere typer vinkler i geometri:

1. Rett vinkel. Den er preget av en verdi på 90 grader, noe som betyr at sidene alltid er vinkelrette på hverandre.
2. Skarpt hjørne. Disse vinklene inkluderer alle deres representanter, med en størrelse mindre enn 90 grader.
3. Stump vinkel. Alle vinkler med verdi fra 90 til 180 grader kan også være her.
4. Utvidet hjørne. Den har en størrelse på strengt tatt 180 grader og utvendig danner sidene en rett linje.

Konseptet med en rett vinkel

La oss nå se på den utviklede vinkelen mer detaljert. Dette er tilfellet når begge sider ligger på samme rette linje, noe som tydelig kan sees i figuren under. Dette betyr at vi med sikkerhet kan si at den ene siden faktisk er en fortsettelse av den andre.

Det er verdt å huske det faktum at en slik vinkel alltid kan deles ved hjelp av en stråle som kommer ut av toppunktet. Som et resultat får vi to vinkler, som i geometri kalles tilstøtende.

Dessuten har den utviklede vinkelen flere funksjoner. For å snakke om den første av dem, må du huske konseptet "vinkelhalveringslinje". Husk at dette er en stråle som deler enhver vinkel strengt i to. Når det gjelder den rette vinkelen, deler halveringslinjen den på en slik måte at det dannes to rette vinkler på 90 grader. Dette er veldig enkelt å beregne matematisk: 180˚ (grad av en utrettet vinkel): 2 = 90˚.

Hvis vi deler den utviklede vinkelen med en helt vilkårlig stråle, får vi som et resultat alltid to vinkler, hvorav den ene vil være spiss og den andre stump.

Flate hjørneegenskaper

Det vil være praktisk å vurdere denne vinkelen, og samle alle hovedegenskapene, som vi har gjort i denne listen:

1. Sidene av en rett vinkel er antiparallelle og danner en rett linje.
2. Verdien av den utviklede vinkelen er alltid 180˚.
3. To tilstøtende vinkler sammen utgjør alltid en rett vinkel.
4. Den fulle vinkelen, som er 360˚, består av to utplasserte og er lik summen deres.
5. En halv utrettet vinkel er en rett vinkel.

Så, når vi kjenner alle disse egenskapene til denne typen vinkel, kan vi bruke dem til å løse en rekke geometriske problemer.

Problemer med rette hjørner

For å forstå om du mestrer konseptet med en rett vinkel, prøv å svare på noen av de følgende spørsmålene.

1. Hva er en rett vinkel hvis sidene danner en vertikal linje?
2. Vil to vinkler være tilstøtende hvis størrelsen på den første er 72˚ og den andre er 118˚?
3. Hvis en hel vinkel består av to rette vinkler, hvor mange rette vinkler har den?
4. En rett vinkel deles av en bjelke i to slike vinkler at gradmålene deres er relatert til 1:4. Beregn de oppnådde vinklene.

Løsninger og svar:

1. Uansett hvordan den rette vinkelen er plassert, er den alltid per definisjon lik 180˚.
2. Tilstøtende hjørner har én felles side. Derfor, for å beregne størrelsen på vinkelen de satte sammen, trenger du bare å legge til verdien av gradmålene deres. Så, 72 +118 = 190. Men per definisjon er en rett vinkel 180˚, noe som betyr at to gitte vinkler ikke kan være tilstøtende.
3. En rett vinkel inneholder to rette vinkler. Og siden det er to utplasserte i den fulle, betyr det at det vil være 4 rette linjer i den.
4. Hvis vi kaller de ønskede vinklene a og b, la x være proporsjonalitetskoeffisienten for dem, noe som betyr at a \u003d x, og følgelig b \u003d 4x. En rett vinkel i grader er 180˚. Og i henhold til dens egenskaper, at gradmålet til en vinkel alltid er lik summen av gradmålene til de vinklene den er delt inn i med en hvilken som helst vilkårlig stråle som passerer mellom sidene, kan vi konkludere med at x + 4x = 180 ˚, som betyr 5x = 180˚. Herfra finner vi: x=a=36˚ og b = 4x = 144˚. Svar: 36˚ og 144˚.

Hvis du klarte å svare på alle disse spørsmålene uten spørsmål og uten å kikke inn i svarene, er du klar til å gå videre til neste geometrileksjon.

Hva er en vinkel?

En vinkel er en figur dannet av to stråler som kommer ut av ett punkt (fig. 160).
Strålene som dannes hjørne, kalles sidene av vinkelen, og punktet de kommer ut fra kalles vinkelens toppunkt.
I figur 160 er sidene av vinkelen strålene OA og OB, og toppunktet er punktet O. Denne vinkelen er betegnet som følger: AOB.

Når du skriver en vinkel i midten, skriv en bokstav som angir toppunktet. En vinkel kan også betegnes med en enkelt bokstav - navnet på toppunktet.

For eksempel, i stedet for "vinkel AOB" skriver de kortere: "vinkel O".

I stedet for ordet "hjørne" skriver de et skilt.

For eksempel, AOB, O.

I figur 161 ligger punktene C og D innenfor vinkelen AOB, punktene X og Y ligger utenfor denne vinkelen, og poeng M og H - på sidene av hjørnet.

Som alle geometriske former sammenlignes vinkler ved hjelp av et overlegg.

Hvis en vinkel kan legges over en annen slik at de faller sammen, så er disse vinklene like.

For eksempel, i figur 162 ABC = MNK.

Fra toppen av SOK-vinkelen (Fig. 163) ble det tegnet en bjelke OR. Han deler SOC-vinkelen i to vinkler - COP og ROCK. Hver av disse vinklene er mindre enn ROC-vinkelen.

Skrevet av: COP< COK и POK < COK.

Rett og vinklet

To som utfyller hverandre stråle danner et foldet hjørne. Sidene av denne vinkelen danner sammen en rett linje som ligger toppen av den utvidede vinkelen (fig. 164).

Klokkens time- og minuttvisere danner en utviklet vinkel ved 6-tiden (fig. 165).

La oss bøye et stykke papir i to to ganger, og deretter brette det ut (fig. 166).

Foldelinjene danner 4 like vinkler. Hver av disse vinklene er lik halvparten av den rettede vinkelen. Slike vinkler kalles rette vinkler.

En rett vinkel er en halv utrettet vinkel.

tegne trekant

For å konstruere en rett vinkel, bruk tegningen triangel(Fig. 167). For å konstruere en rett vinkel, hvor en av sidene er strålen OL, er det nødvendig:

a) ordne tegnetrekanten slik at toppunktet til dens rette vinkel faller sammen med punktet O, og en av sidene går langs strålen OA;

b) tegn en stråle OB langs den andre siden av trekanten.

Som et resultat får vi en rett vinkel AOB.

Spørsmål til temaet

1. Hva er en vinkel?
2. Hvilken vinkel kalles utplassert?
3. Hvilke vinkler kalles like?
4. Hvilken vinkel kalles rett?
5. Hvordan bygges en rett vinkel ved hjelp av en tegnetrekant?

Vi vet allerede at enhver vinkel deler planet i to deler. Men hvis begge sider i en vinkel ligger på samme rette linje, kalles en slik vinkel utplassert. Det vil si at i en utviklet vinkel er den ene siden av den en fortsettelse av den andre siden av vinkelen.

La oss nå se på figuren, som bare viser den utviklede vinkelen O.

Hvis vi tar og tegner en stråle fra toppunktet til en rett vinkel, vil den dele den gitte rette vinkelen i ytterligere to vinkler, som vil ha en felles side, og de to andre vinklene vil danne en rett linje. Det vil si at fra det ene utfoldede hjørnet fikk vi to tilstøtende.

Hvis vi tar en rett vinkel og tegner en halveringslinje, vil denne halveringslinjen dele den rette vinkelen i to rette vinkler.

Og i tilfelle vi tegner en vilkårlig stråle fra toppunktet til den utviklede vinkelen, som ikke er en halveringslinje, vil en slik stråle dele den utvidede vinkelen i to vinkler, hvorav den ene vil være spiss og den andre stump.

Flate hjørneegenskaper

Den utvidede vinkelen har følgende egenskaper:

For det første er sidene av en rett vinkel antiparallelle og danner en rett linje;
for det andre er den utviklede vinkelen 180°;
for det tredje danner to tilstøtende vinkler en rett vinkel;
for det fjerde er den utviklede vinkelen halvparten av den fulle vinkelen;
for det femte vil hele vinkelen være lik summen av to utviklede vinkler;
for det sjette er halvparten av den rettede vinkelen en rett vinkel.

Vinkelmåling

For å måle en hvilken som helst vinkel, brukes oftest en gradskive til disse formålene, der måleenheten er en grad. Når du måler vinkler, bør det huskes at enhver vinkel har sitt eget spesifikke gradmål, og naturlig nok er dette målet større enn null. Og den utviklede vinkelen, som vi allerede vet, er lik 180 grader.

Det vil si at hvis vi tar et hvilket som helst plan av en sirkel og deler den med radier i 360 like deler, vil 1/360 av denne sirkelen være en vinkelgrad. Som du allerede vet, er en grad angitt av et bestemt ikon, som ser slik ut: "°".

Nå vet vi også at en grad 1° = 1/360 av en sirkel. Hvis vinkelen er lik sirkelplanet og er 360 grader, er en slik vinkel full.

Og nå tar vi og deler sirkelplanet ved hjelp av to radier som ligger på en rett linje i to like deler. Så i dette tilfellet vil halvsirkelens plan være halvparten av hele vinkelen, det vil si 360: 2 = 180 °. Vi har fått en vinkel som er lik halvplanet til sirkelen og har 180°. Dette er den vridde vinkelen.

Praktisk oppgave

1613. Nevn vinklene vist i figur 168. Skriv ned betegnelsene deres.

1614. Tegn fire stråler: OA, OB, OS og OD. Skriv ned navnene på de seks vinklene hvis sider er disse strålene. Hvor mange deler deler disse strålene seg i flyet?

1615. Angi hvilke punkter i figur 169 som ligger innenfor vinkelen KOM Hvilke punkter ligger utenfor denne vinkelen? Hvilke punkter er på OK-siden og hvilke er på OM-siden?

1616. Tegn en vinkel MOD og tegn en stråle OT inni den. Navngi og merk vinklene som denne strålen deler vinkel MOD inn i.

1617. Minuttviseren på 10 minutter snudde til vinkelen AOB, i de neste 10 minuttene - til vinkelen BOC, og i ytterligere 15 minutter - til vinkelen COD. Sammenlign vinklene AOB og BOC, BOC og COD, AOC og AOB, AOC og COD (Fig. 170).

1618. Bruk tegnetrekanten til å tegne 4 rette vinkler i forskjellige posisjoner.

1619. Bruk tegnetrekanten til å finne rette vinkler i figur 171. Skriv ned betegnelsene deres.

1620. Pek ut de rette vinklene i klasserommet.

a) 0,09 200; b) 208 0,4; c) 130 0,1 + 80 0,1.

1629. Hvor mange prosent av 400 er tallet 200; 100; fire; 40; 80; 400; 600?

1630. Finn det manglende nummeret:

a) 2 5 3 b) 2 3 5
13 6 12 1
2 3? 42?

1631. Tegn en firkant hvis side er lik lengden på 10 celler i notatboken. La denne firkanten representere et felt. Rug opptar 12% av åkeren, havre - 8%, hvete - 64%, og resten av åkeren er okkupert av bokhvete. Vis på bildet den delen av åkeren som er okkupert av hver avling. Hvor mange prosent av åkeren er bokhvete?

1632. I løpet av skoleåret brukte Petya opp 40 % av notatbøkene som ble kjøpt i begynnelsen av året, og han hadde 30 notatbøker igjen. Hvor mange notatbøker ble kjøpt til Petya i begynnelsen av skoleåret?

1633. Bronse er en legering av tinn og kobber. Hvor mange prosent av legeringen er kobber i et stykke bronse, bestående av 6 kg tinn og 34 kg kobber?

1634. Fyret i Alexandria, bygget i antikken, som ble kalt et av verdens syv underverker, er 1,7 ganger høyere enn tårnene i Kreml i Moskva, men lavere enn bygningen til Moskva-universitetet med 119 m. Finn høyden av hver av disse strukturene hvis tårnene i Moskva Kreml er 49 m lavere fyrtårn i Alexandria.

1635. Finn ved hjelp av en mikrokalkulator:

a) 4,5 % av 168; c) 28,3% av 569,8;
b) 147,6% av 2500; d) 0,09 % av 456 800.

1636. Løs problemet:

1) Arealet av hagen er 6,4 a. Den første dagen ble 30 % av hagen gravd opp, og den andre dagen 35 % av hagen. Hvor mange er igjen å grave?

2) Serezha hadde 4,8 timer fritid. Han brukte 35 % av tiden på å lese en bok og 40 % på TV-programmer. Hvor lang tid har han igjen?

1637. Gjør følgende:

1) ((23,79: 7,8 - 6,8: 17) 3,04 - 2,04) 0,85;
2) (3,42: 0,57 9,5 - 6,6) : ((4,8 - 1,6) (3,1 + 0,05)).

1638 Tegn en vinkel BAC og merk ett punkt hver innenfor vinkelen, utenfor vinkelen og på sidene av vinkelen.

1639. Hvilket av punktene markert i figur 172 ligger innenfor vinkelen AMK Hvilket punkt ligger innenfor vinkelen AMB> men utenfor vinkelen AMK Hvilke punkter ligger på sidene av vinkelen AMK?

1640. Bruk tegnetrekanten til å finne de rette vinklene i figur 173.

1641. Konstruer en firkant med en side på 43 mm. Beregn dens omkrets og areal.

1642. Finn verdien av uttrykket:

a) 14,791: a + 160,961: b, hvis a = 100, b = 10;
b) 361,62s + 1848: d hvis c = 100, d = 100.

1643. Arbeideren måtte lage 450 deler. På den første dagen laget han 60 % av delene, og resten på den andre. Hvor mange deler gjorde arbeider på den andre dagen?

1644. Det var 8000 bøker i biblioteket. Et år senere økte antallet med 2000 bøker. Hvor mange prosent har antall bøker i biblioteket økt?

1645. Lastebiler den første dagen dekket 24% av den tiltenkte banen, den andre dagen - 46% av banen, og den tredje - de resterende 450 km. Hvor mange kilometer kjørte disse lastebilene?

1646. Finn hvor mange er:

a) 1 % av et tonn; c) 5 % av 7 tonn;
b) 1 % av en liter; d) 6 % av 80 km.

1647. Massen til en hvalrossunge er 9 ganger mindre enn massen til en voksen hvalross. Hva er massen til en voksen hvalross hvis massen sammen med ungen er 0,9 tonn?

1648. Under manøvrene lot sjefen 0,3 av alle sine soldater vokte overgangen, og delte resten i 2 avdelinger for å forsvare to høyder. Den første avdelingen hadde 6 ganger flere soldater enn den andre. Hvor mange soldater var det i den første avdelingen hvis det var 200 soldater totalt?

N.Ja. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, matematikk klasse 5, lærebok for utdanningsinstitusjoner

En vinkel er en geometrisk figur, som består av to forskjellige stråler som kommer fra ett punkt. I dette tilfellet kalles disse strålene sidene av vinkelen. Punktet som er begynnelsen på strålene kalles vinkelens toppunkt. På bildet kan du se hjørnet med toppunktet i punktet O, og partene k og m.

Punktene A og C er markert på sidene av hjørnet Dette hjørnet kan betegnes som vinkel AOC. I midten må navnet på punktet der hjørnet er plassert. Det finnes også andre betegnelser, vinkelen O eller vinkelen km. I geometri, i stedet for ordet vinkel, er det ofte skrevet et spesielt ikon.

Rotert og ikke-dreid vinkel

Hvis begge sider av en vinkel ligger på samme rette linje, kalles en slik vinkel utplassert vinkel. Det vil si at den ene siden av hjørnet er en fortsettelse av den andre siden av hjørnet. Figuren under viser vinkelen O.

Det skal bemerkes at enhver vinkel deler planet i to deler. Hvis hjørnet ikke er utvidet, kalles en av delene den indre delen av hjørnet, og den andre er den ytre delen av dette hjørnet. Figuren nedenfor viser et ikke-flatet hjørne og markerte ytre og indre områder av dette hjørnet.

Når det gjelder en utviklet vinkel, kan hvilken som helst av de to delene som den deler planet i, betraktes som den ytre delen av vinkelen. Vi kan snakke om posisjonen til et punkt i forhold til en vinkel. Spissen kan ligge utenfor hjørnet (i det ytre området), kan være på en av sidene, eller kan ligge innenfor hjørnet (i det indre området).

I figuren nedenfor ligger punkt A utenfor hjørne O, punkt B ligger på den ene siden av hjørnet, og punkt C ligger innenfor hjørnet.

Vinkelmåling

For å måle vinkler finnes det en anordning som kalles en gradskive. Enheten for vinkel er grad. Det bør bemerkes at hver vinkel har et visst gradmål, som er større enn null.

Avhengig av gradmålet er vinkler delt inn i flere grupper.

Vinkelmål

Vinkelen i måles i grader (grad, minutt, sekund), i omdreininger - forholdet mellom buelengden s til omkretsen L, i radianer - forholdet mellom buelengden s og radius r; historisk sett ble haglmålet for å måle vinkler også brukt, i dag brukes det nesten aldri.

1 omdreining = 2π radianer = 360° = 400 grader.

I nautisk terminologi er vinkler angitt med punkter.

Hjørnetyper

Tilstøtende vinkler er spisse (a) og stumpe (b). Reversert vinkel (c)

I tillegg vurderes vinkelen mellom glatte kurver ved tangentpunktet: per definisjon er verdien lik vinkelen mellom tangentene til kurvene.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se hva "Utviklet vinkel" er i andre ordbøker:

En vinkel lik to rette vinkler. * SCAN av en flate er en figur som oppnås i et plan når punktene til en gitt overflate kombineres med dette planet på en slik måte at lengdene på linjene forblir uendret. Kurveutvikling se Involute ... Stor encyklopedisk ordbok

hjørne- ▲ retningsforskjell (i rom) vinkelutstrekning av sving fra en retning til en annen; retningsforskjell; del av en hel sving (tilt #. form #). helling. tilbøyelig. avvik. avvike (veien avviket til høyre). ... ...

Hjørne- Hjørner: 1 generell visning; 2 tilstøtende; 3 tilstøtende; 4 vertikal; 5 utplassert; 6 rette, skarpe og sløve; 7 mellom kurvene; 8 mellom en rett linje og et plan; 9 mellom kryssende rette linjer (som ikke ligger i samme plan) rette linjer. VINKEL, geometrisk … … Illustrert encyklopedisk ordbok

En geometrisk figur som består av to forskjellige stråler som kommer fra samme punkt. Rays ringte sidene U., og deres felles begynnelse er toppunktet U. La [ BA), [ BC) sidene av vinkelen, B dens toppunkt, planet bestemt av sidene U. Figuren deler planet ... ... Matematisk leksikon

En vinkel lik to rette vinkler. * * * REVELATED ANGLE REVELATED ANGLE, en vinkel lik to rette vinkler ... encyklopedisk ordbok

En gren av matematikk som studerer egenskapene til ulike former (punkter, linjer, vinkler, todimensjonale og tredimensjonale objekter), deres størrelse og relative plassering. For enkelhets skyld i undervisningen er geometri delt inn i planimetri og solid geometri. AT … … Collier Encyclopedia

1) En lukket brutt linje, nemlig: hvis forskjellige punkter, ingen påfølgende tre av dem ligger på samme rette linje, kalles settet med segmenter. polygon (se fig. 1). M. kan være romlig eller flat (under ... ... Matematisk leksikon

på tvers- ▲ ved maksimal vinkel, skrå vinkel på tvers. på tvers i rett vinkel. . rett vinkel vinkel med maksimal avbøyning; en vinkel lik den tilstøtende; kvart omgang. vinkelrett. vinkelrett i rette vinkler. vinkelrett ... ... Ideografisk ordbok for det russiske språket

grad- a, m. 1) Måleenheten for en flat vinkel, lik 1/90 av en rett vinkel eller henholdsvis 1/360 av en sirkel. En vinkel på 90 grader kalles en rett vinkel. Den utvidede vinkelen er 180 grader. 2) En måleenhet for et temperaturintervall som har ... ... Populær ordbok for det russiske språket

Schwartz Christoffels teorem, et viktig teorem i teorien om funksjoner til en kompleks variabel, bærer navnet til de tyske matematikerne Karl Schwartz og Alvin Christoffel. Svært viktig fra et praktisk synspunkt er problemet med konform ... ... Wikipedia