Hva betyr en uendelig desimal periodisk brøk. Desimaler, definisjoner, registrering, eksempler, handlinger med desimaler

Allerede på barneskolen står elevene overfor brøker. Og så dukker de opp i hvert emne. Det er umulig å glemme handlinger med disse tallene. Derfor må du vite all informasjon om vanlige og desimalbrøker. Disse konseptene er enkle, det viktigste er å forstå alt i orden.

Hvorfor trengs brøker?

Verden rundt oss består av hele objekter. Derfor er det ikke behov for aksjer. Men hverdagen presser stadig folk til å jobbe med deler av gjenstander og ting.

Sjokolade består for eksempel av flere skiver. Tenk på situasjonen der flisen er dannet av tolv rektangler. Deler du den i to får du 6 deler. Det blir godt delt i tre. Men de fem vil ikke kunne gi et helt antall skiver sjokolade.

Forresten, disse skivene er allerede fraksjoner. Og deres videre inndeling fører til utseendet til mer komplekse tall.

Hva er en "brøk"?

Dette er et tall som består av deler av en. Utad ser det ut som to tall atskilt med en horisontal eller skråstrek. Denne funksjonen kalles brøkdel. Tallet som er skrevet øverst (til venstre) kalles telleren. Den nederst (til høyre) er nevneren.

Faktisk viser brøkstreken seg å være et divisjonstegn. Det vil si at telleren kan kalles et utbytte, og nevneren kan kalles en divisor.

Hva er brøkene?

I matematikk er det bare to typer av dem: ordinære og desimalbrøker. Skolebarn blir kjent med de første i barneklassene, og kaller dem ganske enkelt "brøker". Den andre lærer i 5. klasse. Det er da disse navnene dukker opp.

Vanlige brøker er alle de som er skrevet som to tall atskilt med en strek. For eksempel 4/7. Desimal er et tall der brøkdelen har en posisjonsnotasjon og er skilt fra heltallet med komma. For eksempel 4.7. Elevene må være tydelige på at de to eksemplene som er gitt er helt forskjellige tall.

Hver enkel brøk kan skrives som en desimal. Dette utsagnet er nesten alltid sant omvendt også. Det er regler som lar deg skrive en desimalbrøk som en vanlig brøk.

Hvilke underarter har disse typene fraksjoner?

Det er bedre å starte i kronologisk rekkefølge, ettersom de studeres. Vanlige brøker kommer først. Blant dem kan 5 underarter skilles.

Riktig. Dens teller er alltid mindre enn nevneren.

Feil. Dens teller er større enn eller lik nevneren.

Reduserbar / irreduserbar. Det kan enten være rett eller galt. En annen ting er viktig, om teller og nevner har felles faktorer. Hvis det er det, skal de dele begge deler av brøken, det vil si å redusere den.

Blandet. Et heltall er tilordnet dens vanlige korrekte (feilaktige) brøkdel. Og den står alltid til venstre.

Sammensatte. Den er dannet av to fraksjoner delt inn i hverandre. Det vil si at den har tre brøkfunksjoner samtidig.

Desimaler har bare to underarter:

endelig, det vil si en der brøkdelen er begrenset (har en ende);

uendelig - et tall hvis sifre etter desimaltegn ikke slutter (de kan skrives uendelig).

Hvordan konvertere desimal til vanlig?

Hvis dette er et endelig tall, så brukes en assosiasjon basert på regelen - som jeg hører, så jeg skriver. Det vil si at du må lese den riktig og skrive den ned, men uten komma, men med en brøklinje.

Som et hint om den nødvendige nevneren, husk at det alltid er en og noen få nuller. Sistnevnte må skrives like mange som sifrene i brøkdelen av det aktuelle tallet.

Hvordan konvertere desimalbrøker til vanlige hvis hele delen mangler, det vil si lik null? For eksempel 0,9 eller 0,05. Etter å ha brukt den angitte regelen, viser det seg at du må skrive null heltall. Men det er ikke angitt. Det gjenstår å skrive ned bare brøkdelene. For det første tallet vil nevneren være 10, for det andre - 100. Det vil si at de angitte eksemplene vil ha tall som svar: 9/10, 5/100. Dessuten viser det seg at sistnevnte er mulig å redusere med 5. Derfor må resultatet for det skrives 1/20.

Hvordan lage en vanlig brøk fra en desimal hvis heltallsdelen er forskjellig fra null? For eksempel 5.23 eller 13.00108. Begge eksemplene leser heltallsdelen og skriver verdien. I det første tilfellet er dette 5, i det andre 13. Deretter må du gå videre til brøkdelen. Med dem er det nødvendig å utføre den samme operasjonen. Det første tallet har 23/100, det andre har 108/100000. Den andre verdien må reduseres igjen. Svaret er blandede brøker: 5 23/100 og 13 27/25000.

Hvordan konvertere en uendelig desimal til en vanlig brøk?

Hvis det er ikke-periodisk, kan en slik operasjon ikke utføres. Dette faktum skyldes det faktum at hver desimalbrøk alltid konverteres til enten endelig eller periodisk.

Det eneste som er lov å gjøre med en slik brøk er å runde den. Men da vil desimalen være omtrent lik den uendelige. Den kan allerede gjøres om til en vanlig. Men den omvendte prosessen: konvertering til desimal - vil aldri gi startverdien. Det vil si at uendelige ikke-periodiske brøker ikke blir oversatt til vanlige brøker. Dette må huskes.

Hvordan skrive en uendelig periodisk brøk i form av en vanlig?

I disse tallene vises alltid ett eller flere sifre etter desimaltegnet, som gjentas. De kalles perioder. For eksempel 0,3(3). Her "3" i perioden. De er klassifisert som rasjonelle, da de kan konverteres til vanlige brøker.

De som har møtt periodiske fraksjoner vet at de kan være rene eller blandede. I det første tilfellet starter punktum umiddelbart fra kommaet. I den andre begynner brøkdelen med alle tall, og deretter begynner repetisjonen.

Regelen som du trenger for å skrive en uendelig desimal i form av en vanlig brøk vil være forskjellig for disse to typene tall. Det er ganske enkelt å skrive rene periodiske brøker som vanlige brøker. Som med de siste, må de konverteres: skriv punktum inn i telleren, og tallet 9 vil være nevneren, gjenta så mange ganger som det er sifre i perioden.

For eksempel 0,(5). Tallet har ikke en heltallsdel, så du må umiddelbart fortsette til brøkdelen. Skriv 5 i telleren, og skriv 9 i nevneren. Det vil si at svaret blir brøken 5/9.

En regel om hvordan man skriver en vanlig desimalbrøk som er en blandet brøk.

Se på lengden på perioden. Så mye 9 vil ha en nevner.

Skriv ned nevneren: først niere, deretter nuller.

For å bestemme telleren må du skrive forskjellen på to tall. Alle sifre etter desimaltegnet vil bli redusert, sammen med punktum. Subtraherbar - den er uten punktum.

For eksempel 0,5(8) - skriv den periodiske desimalbrøken som en vanlig brøk. Brøkdelen før perioden er ett siffer. Så null blir en. Det er også bare ett siffer i perioden - 8. Det vil si at det bare er en ni. Det vil si at du må skrive 90 i nevneren.

For å bestemme telleren fra 58 må du trekke fra 5. Det blir 53. Du må for eksempel skrive 53/90 som svar.

Hvordan konverteres vanlige brøker til desimaler?

Det enkleste alternativet er et tall hvis nevner er tallet 10, 100 og så videre. Deretter forkastes nevneren ganske enkelt, og et komma settes mellom brøk- og heltallsdelen.

Det er situasjoner når nevneren lett blir til 10, 100 osv. For eksempel tallene 5, 20, 25. Det er nok å gange dem med henholdsvis 2, 5 og 4. Bare det er nødvendig å multiplisere ikke bare nevneren, men også telleren med samme tall.

For alle andre tilfeller vil en enkel regel komme godt med: del telleren på nevneren. I dette tilfellet kan du få to svar: en siste eller en periodisk desimalbrøk.

Operasjoner med vanlige brøker

Addisjon og subtraksjon

Elevene blir kjent med dem tidligere enn andre. Og først har brøkene de samme nevnerne, og deretter forskjellige. Generelle regler kan reduseres til en slik plan.

Finn det minste felles multiplum av nevnerne.

Skriv tilleggsfaktorer til alle vanlige brøker.

Multipliser tellerne og nevnerne med faktorene som er definert for dem.

Legg til (trekk fra) tellerne av brøker, og la fellesnevneren være uendret.

Hvis telleren til minuenden er mindre enn subtrahenden, må du finne ut om vi har et blandet tall eller en egen brøk.

I det første tilfellet må heltallsdelen ta en. Legg til en nevner til telleren av en brøk. Og så gjør subtraksjonen.

I den andre - det er nødvendig å bruke subtraksjonsregelen fra et mindre tall til et større. Det vil si, trekk modulen til minuenden fra modulen til subtrahenden, og sett "-" tegnet som svar.

Se nøye på resultatet av addisjon (subtraksjon). Hvis du får en uekte brøkdel, er det meningen at den skal velge hele delen. Det vil si å dele telleren på nevneren.

Multiplikasjon og divisjon

For gjennomføringen trenger ikke brøker å reduseres til en fellesnevner. Dette gjør det lettere å iverksette tiltak. Men de må fortsatt følge reglene.

Når du multipliserer vanlige brøker, er det nødvendig å vurdere tallene i tellerne og nevnerne. Hvis noen teller og nevner har en felles faktor, kan de reduseres.

Multipliser tellere.

Multipliser nevnerne.

Hvis du får en reduserbar brøk, skal den forenkles igjen.

Når du deler, må du først erstatte divisjon med multiplikasjon, og divisor (andre brøk) med en resiprok (bytt om teller og nevner).

Fortsett deretter som i multiplikasjon (starter fra trinn 1).

I oppgaver der du må multiplisere (dividere) med et heltall, skal sistnevnte skrives som en uekte brøk. Det vil si med en nevner på 1. Fortsett deretter som beskrevet ovenfor.



Operasjoner med desimaler

Addisjon og subtraksjon

Selvfølgelig kan du alltid gjøre om en desimal til en vanlig brøk. Og handle i henhold til den allerede beskrevne planen. Men noen ganger er det mer praktisk å handle uten denne oversettelsen. Da vil reglene for addisjon og subtraksjon deres være nøyaktig de samme.

Utlign antall sifre i brøkdelen av tallet, det vil si etter desimaltegn. Tilordne det manglende antallet nuller i den.

Skriv brøker slik at kommaet står under kommaet.

Legg til (trekk fra) som naturlige tall.

Fjern kommaet.

Multiplikasjon og divisjon

Det er viktig at du ikke trenger å legge til nuller her. Brøker er ment å stå slik de er gitt i eksemplet. Og så gå etter planen.

For multiplikasjon må du skrive brøker under hverandre, ikke ta hensyn til komma.

Multipliser som naturlige tall.

Sett et komma i svaret, og tell fra høyre side av svaret like mange sifre som de er i brøkdelene av begge faktorene.

For å dele må du først konvertere divisoren: gjør den til et naturlig tall. Det vil si, gang det med 10, 100 osv., avhengig av hvor mange sifre som er i brøkdelen av divisoren.

Multipliser utbyttet med samme tall.

Del en desimal med et naturlig tall.

Sett et komma i svaret i det øyeblikket delingen av hele delen avsluttes.



Hva om det er begge typer brøker i ett eksempel?

Ja, i matematikk er det ofte eksempler på at du må utføre operasjoner på vanlige og desimalbrøker. Det er to mulige løsninger på disse problemene. Du må objektivt veie tallene og velge den beste.

Første måte: representere vanlige desimaler

Det er egnet hvis det oppnås endelige fraksjoner ved deling eller konvertering. Hvis minst ett tall gir en periodisk del, er denne teknikken forbudt. Derfor, selv om du ikke liker å jobbe med vanlige brøker, må du telle dem.

Den andre måten: skriv desimalbrøker som vanlige

Denne teknikken er praktisk hvis det er 1-2 sifre i delen etter desimaltegn. Hvis det er flere av dem, kan en veldig stor ordinær brøk dukke opp, og desimaloppføringer vil tillate deg å beregne oppgaven raskere og enklere. Derfor er det alltid nødvendig å nøkternt vurdere oppgaven og velge den enkleste løsningsmetoden.

Det faktum at mange kvadratrøtter er irrasjonelle tall, forringer ikke betydningen deres, spesielt er tallet $\sqrt2$ veldig ofte brukt i forskjellige tekniske og vitenskapelige beregninger. Dette tallet kan beregnes med den nøyaktigheten som er nødvendig i hvert enkelt tilfelle. Du kan få dette tallet med så mange desimaler som du har tålmodighet til.

For eksempel kan tallet $\sqrt2$ bestemmes med seks desimaler: $\sqrt2=1.414214$. Denne verdien er ikke veldig forskjellig fra den sanne verdien, siden $1,414214 \times 1,414214=2,000001237796$. Dette svaret skiller seg fra 2 med litt over en milliondel. Derfor anses verdien av $\sqrt2$, lik $1,414214$, som ganske akseptabelt for å løse de fleste praktiske problemer. I tilfellet når det kreves større presisjon, er det ikke vanskelig å få så mange signifikante sifre etter desimaltegn som nødvendig i denne saken.

Men hvis du viser sjelden stahet og prøver å trekke ut Kvadratrot fra tallet $\sqrt2$ til du oppnår det nøyaktige resultatet, vil du aldri fullføre arbeidet ditt. Det er en uendelig prosess. Uansett hvor mange desimaler du får, vil det alltid være noen flere.

Dette faktum kan forbløffe deg like mye som å gjøre $\frac13$ til en uendelig desimal $0,333333333...$ og så videre i det uendelige eller gjøre $\frac17$ til $0,142857142857142857...$ og så videre i det uendelige. Ved første øyekast kan det se ut til at disse uendelige og irrasjonelle kvadratrøttene er fenomener av samme rekkefølge, men dette er slett ikke tilfelle. Tross alt har disse uendelige brøkene en brøkekvivalent, mens $\sqrt2$ ikke har en slik ekvivalent. Og hvorfor, akkurat? Faktum er at desimalekvivalenten til $\frac13$ og $\frac17$, samt et uendelig antall andre brøker, er periodiske uendelige brøker.

Samtidig er desimalekvivalenten til $\sqrt2$ en ikke-periodisk brøk. Dette utsagnet gjelder også for ethvert irrasjonelt tall.

Problemet er at enhver desimal som er en tilnærming av kvadratroten av 2 er ikke-periodisk brøk. Uansett hvor langt vi kommer videre i beregningene, vil enhver brøk vi får være ikke-periodisk.

Se for deg en brøkdel med et stort antall ikke-periodiske sifre etter desimaltegn. Hvis plutselig etter det millionte sifferet hele sekvensen av desimaler gjentas, da desimal- periodisk og for det er det en ekvivalent i form av et forhold mellom heltall. Hvis en brøkdel med et stort antall (milliarder eller millioner) av ikke-periodiske desimaler på et tidspunkt har en endeløs serie med repeterende sifre, for eksempel $…55555555555…$, betyr dette også at denne brøken er periodisk og det er en ekvivalent for det i form av et forhold mellom heltall.

Men i tilfelle av deres desimalekvivalenter er helt ikke-periodiske og kan ikke bli periodiske.

Selvfølgelig kan du stille følgende spørsmål: «Og hvem kan vite og si sikkert hva som skjer med en brøkdel, si, etter et billion tegn? Hvem kan garantere at brøken ikke blir periodisk? Det finnes måter å ugjendrivelig bevise at irrasjonelle tall er ikke-periodiske, men slike bevis krever komplekse matematiske apparater. Men hvis det plutselig viste seg at et irrasjonelt tall blir periodisk brøk, ville dette bety en fullstendig kollaps av grunnlaget for de matematiske vitenskapene. Og faktisk er dette knapt mulig. Dette er ikke bare for deg å kaste på knokene fra side til side, det er en kompleks matematisk teori her.

Denne artikkelen handler om desimaler. Her skal vi behandle desimalnotasjonen av brøktall, introdusere begrepet desimalbrøk og gi eksempler på desimalbrøker. Deretter, la oss snakke om sifrene til desimalbrøker, gi navnene på sifrene. Etter det vil vi fokusere på uendelige desimalbrøker, si om periodiske og ikke-periodiske brøker. Deretter lister vi hovedhandlingene med desimalbrøker. Avslutningsvis fastslår vi plasseringen av desimalbrøkene på koordinatstrålen.

Sidenavigering.

Desimalnotasjon av et brøktall

Leser desimaler

La oss si noen ord om reglene for lesing av desimalbrøker.

Desimalbrøker, som tilsvarer de riktige ordinære brøkene, leses på samme måte som disse ordinære brøkene, kun «null hele» legges til på forhånd. For eksempel tilsvarer desimalbrøken 0,12 den ordinære brøken 12/100 (den lyder "tolv hundredeler"), derfor leses 0,12 som "nullpunkt tolv hundredeler".

Desimalbrøker, som tilsvarer blandede tall, leses på nøyaktig samme måte som disse blandede tallene. For eksempel tilsvarer desimalbrøken 56.002 et blandet tall, derfor leses desimalbrøken 56.002 som "femtiseks komma to tusendeler."

Plasser i desimaler

I notasjonen av desimalbrøker, så vel som i notasjonen av naturlige tall, avhenger verdien av hvert siffer av posisjonen. Faktisk betyr tallet 3 i desimal 0,3 tre tideler, i desimal 0,0003 - tre ti tusendeler, og i desimal 30 000,152 - tre titusener. Dermed kan vi snakke om sifre i desimaler, samt om sifre i naturlige tall.

Navnene på sifrene i desimalbrøken til desimaltegnet er fullstendig sammenfallende med navnene på sifrene i naturlige tall. Og navnene på sifrene i desimalbrøken etter desimaltegnet er synlige fra følgende tabell.

For eksempel, i desimalbrøken 37.051, er tallet 3 på tierplassen, 7 er på enhetsplassen, 0 er på tiendeplassen, 5 er på hundreplassen, 1 er på tusendeplassen.

Sifrene i desimalbrøken er også forskjellige i ansiennitet. Hvis vi beveger oss fra siffer til siffer fra venstre til høyre i desimalnotasjonen, vil vi flytte fra senior til junior rekker. For eksempel er hundredelssifferet eldre enn tiendedelssifferet, og milliondelssifferet er yngre enn hundredelerssifferet. I denne siste desimalbrøken kan vi snakke om de mest signifikante og minst signifikante sifrene. For eksempel i desimal 604,9387 senior (høyest) sifferet er hundresifferet, og junior (laveste)- ti tusen plass.

For desimalbrøker skjer ekspansjon til sifre. Det er analogt med ekspansjonen i sifre i naturlige tall. For eksempel er desimalutvidelsen på 45,6072: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002 . Og egenskapene til addisjon fra utvidelsen av en desimalbrøk til sifre lar deg gå til andre representasjoner av denne desimalbrøken, for eksempel 45.6072=45+0.6072 , eller 45.6072=40.6+5.007+0.0002 , eller 45.45072 , eller 45.450707. .

Sluttdesimaler

Frem til dette punktet har vi bare snakket om desimalbrøker, i posten som det er et begrenset antall sifre etter desimaltegnet. Slike brøker kalles endelige desimalbrøker.

Definisjon.

Sluttdesimaler- Dette er desimalbrøker, hvor postene inneholder et begrenset antall tegn (siffer).

Her er noen eksempler på siste desimaler: 0,317 , 3,5 , 51,1020304958 , 230 032,45 .

Imidlertid kan ikke hver vanlig brøk representeres som en endelig desimalbrøk. For eksempel kan ikke brøken 5/13 erstattes med en lik brøk med en av nevnerne 10, 100, ..., derfor kan den ikke konverteres til en endelig desimalbrøk. Vi skal snakke mer om dette i teoridelen om å konvertere vanlige brøker til desimalbrøker.

Uendelige desimaler: periodiske brøker og ikke-periodiske brøker

Når du skriver en desimalbrøk etter et desimaltegn, kan du tillate muligheten for et uendelig antall sifre. I dette tilfellet vil vi komme til vurderingen av de såkalte uendelige desimalbrøkene.

Definisjon.

Uendelige desimaler– Dette er desimalbrøker, i posten som det er et uendelig antall sifre.

Det er klart at vi ikke kan skrive de uendelige desimalbrøkene i sin helhet, derfor er de i registreringen begrenset til bare et visst begrenset antall sifre etter desimaltegnet og setter en ellipse som indikerer en uendelig kontinuerlig sekvens av sifre. Her er noen eksempler på uendelige desimalbrøker: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Hvis du ser nøye på de to siste endeløse desimalbrøkene, så i brøken 2.111111111 ... er det uendelig gjentatte tallet 1 godt synlig, og i brøken 69.74152152152 ..., med utgangspunkt i tredje desimal, den gjentatte gruppen av tall 1, 5 og 2 er godt synlige. Slike uendelige desimalbrøker kalles periodiske.

Definisjon.

Periodiske desimaler(eller ganske enkelt periodiske brøker) er uendelige desimalbrøker, i posten som starter fra et bestemt desimalsted, et siffer eller en gruppe med sifre, som kalles brøkperiode.

For eksempel er perioden for den periodiske brøken 2.111111111... tallet 1, og perioden for brøken 69.74152152152... er en gruppe tall som 152.

For uendelige periodiske desimalbrøker er det tatt i bruk en spesiell notasjon. For korthets skyld ble vi enige om å skrive punktum én gang, og sette den i parentes. For eksempel skrives den periodiske brøken 2.111111111... som 2,(1) , og den periodiske brøken 69.74152152152... skrives som 69.74(152) .

Det er verdt å merke seg at for samme periodiske desimalbrøk kan du angi forskjellige perioder. For eksempel kan den periodiske desimalen 0,73333... betraktes som en brøk 0,7(3) med en periode på 3, samt en brøk 0,7(33) med en periode på 33, og så videre 0,7(333), 0,7 (3333) ), ... Du kan også se på den periodiske brøken 0,73333 ... slik: 0,733(3), eller slik 0,73(333) osv. Her, for å unngå tvetydighet og inkonsekvenser, er vi enige om å betrakte som perioden av en desimalbrøk den korteste av alle mulige sekvenser av repeterende sifre, og starte fra nærmeste posisjon til desimaltegn. Det vil si at perioden for desimalbrøken 0,73333… vil bli betraktet som en sekvens av ett siffer 3, og periodisiteten starter fra den andre posisjonen etter desimalpunktet, det vil si 0,73333…=0,7(3) . Et annet eksempel: den periodiske brøken 4,7412121212… har en periode på 12, periodisiteten starter fra det tredje sifferet etter desimalpunktet, det vil si 4,7412121212…=4,74(12) .

Uendelige periodiske desimalbrøker oppnås ved å konvertere til desimalbrøker av vanlige brøker hvis nevnere inneholder andre primfaktorer enn 2 og 5.

Her er det verdt å nevne periodiske brøker med en periode på 9. Her er eksempler på slike brøker: 6.43(9) , 27,(9) . Disse brøkene er en annen notasjon for periodiske brøker med periode 0, og det er vanlig å erstatte dem med periodiske brøker med periode 0. For å gjøre dette erstattes periode 9 med periode 0, og verdien av det nest høyeste sifferet økes med én. For eksempel erstattes en brøk med periode 9 på formen 7.24(9) med en periodisk brøk med periode 0 på formen 7.25(0) eller en lik siste desimalbrøk på 7.25. Et annet eksempel: 4,(9)=5,(0)=5 . Likheten til en brøk med en periode på 9 og dens tilsvarende brøk med en periode på 0 er lett å etablere etter å ha erstattet disse desimalbrøkene med deres like vanlige brøker.

Til slutt, la oss se nærmere på uendelige desimaler, som ikke har en uendelig repeterende sekvens av sifre. De kalles ikke-periodiske.

Definisjon.

Engangsdesimaler(eller ganske enkelt ikke-periodiske brøker) er uendelige desimaler uten punktum.

Noen ganger har ikke-periodiske brøker en form som ligner på periodiske brøker, for eksempel er 8.02002000200002 ... en ikke-periodisk brøk. I disse tilfellene bør du være spesielt forsiktig med å merke forskjellen.

Merk at ikke-periodiske brøker ikke konverteres til vanlige brøker, uendelige ikke-periodiske desimalbrøker representerer irrasjonelle tall.

Operasjoner med desimaler

En av handlingene med desimaler er sammenligning, og fire grunnleggende aritmetikk er også definert operasjoner med desimaler: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon. Vurder hver for seg hver av handlingene med desimalbrøker.

Desimal sammenligning i hovedsak basert på en sammenligning av vanlige brøker som tilsvarer de sammenlignede desimalbrøkene. Å konvertere desimalbrøker til vanlige er imidlertid en ganske arbeidskrevende operasjon, og uendelige ikke-repeterende brøker kan ikke representeres som en vanlig brøk, så det er praktisk å bruke en bitvis sammenligning av desimalbrøker. Bitvis sammenligning av desimaler ligner på sammenligning av naturlige tall. For mer detaljert informasjon anbefaler vi at du studerer artikkelmaterialets sammenligning av desimalbrøker, regler, eksempler, løsninger.

La oss gå videre til neste trinn - multiplisere desimaler. Multiplikasjon av endelige desimalbrøker utføres på samme måte som subtraksjon av desimalbrøker, regler, eksempler, løsninger på multiplikasjon med en kolonne med naturlige tall. Ved periodiske brøker kan multiplikasjon reduseres til multiplikasjon av vanlige brøker. I sin tur reduseres multiplikasjonen av uendelige ikke-periodiske desimalbrøker etter deres avrunding til multiplikasjonen av endelige desimalbrøker. Vi anbefaler videre studier av materialet i artikkelen multiplikasjon av desimalbrøker, regler, eksempler, løsninger.

Desimaler på koordinatbjelken

Det er en en-til-en samsvar mellom prikker og desimaler.

La oss finne ut hvordan punkter er konstruert på koordinatstrålen som tilsvarer en gitt desimalbrøk.

Vi kan erstatte endelige desimalbrøker og uendelige periodiske desimalbrøker med ordinære brøker lik dem, og så konstruere de tilsvarende ordinære brøkene på koordinatstrålen. For eksempel tilsvarer en desimalbrøk 1.4 en vanlig brøk 14/10, derfor fjernes punktet med koordinat 1.4 fra origo i positiv retning med 14 segmenter lik en tiendedel av et enkelt segment.

Desimalbrøker kan merkes på koordinatbjelken, med utgangspunkt i utvidelsen av denne desimalbrøken til sifre. La oss for eksempel si at vi må bygge et punkt med en koordinat på 16.3007 , siden 16.3007=16+0.3+0.0007 , så kan vi komme til dette punktet ved å sekvensielt legge 16 enhetssegmenter fra opprinnelsen til koordinatene, 3 segmenter, lengden hvorav lik en tiendedel av en enhet, og 7 segmenter, hvis lengde er lik en ti tusendel av et enhetssegment.

Denne metoden for å konstruere desimaltall på koordinatbjelken lar deg komme så nært du vil punktet som tilsvarer en uendelig desimalbrøk.

Noen ganger er det mulig å plotte et punkt som tilsvarer en uendelig desimal nøyaktig. For eksempel, , så tilsvarer denne uendelige desimalbrøken 1,41421... punktet til koordinatstrålen, fjernt fra origo med lengden av diagonalen til et kvadrat med en side av 1 enhetssegment.

Den omvendte prosessen med å få en desimalbrøk som tilsvarer et gitt punkt på koordinatstrålen er den s.k. desimalmåling av et segment. La oss se hvordan det gjøres.

La vår oppgave være å komme fra origo til et gitt punkt på koordinatlinjen (eller uendelig nærme seg det hvis det er umulig å komme til det). Med en desimalmåling av et segment kan vi sekvensielt utsette et hvilket som helst antall enhetssegmenter fra origo, deretter segmenter hvis lengde er lik en tiendedel av et enkelt segment, deretter segmenter hvis lengde er lik en hundredel av et enkelt segment, osv. . Ved å skrive ned antall plottede segmenter av hver lengde får vi desimalbrøken som tilsvarer et gitt punkt på koordinatstrålen.

For å komme til punkt M i figuren ovenfor, må du for eksempel sette til side 1 enhetssegment og 4 segmenter, hvis lengde er lik den tiendedelen av enheten. Dermed tilsvarer punktet M desimalbrøken 1,4.

Det er tydelig at punktene til koordinatstrålen, som ikke kan nås under desimalmålingen, tilsvarer uendelige desimalbrøker.

Bibliografi.

• Matte: studier. for 5 celler. allmennutdanning institusjoner / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matte. Klasse 6: lærebok. for allmennutdanning institusjoner / [N. Ya. Vilenkin og andre]. - 22. utgave, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: lærebok for 8 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for søkere til tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Det er kjent at hvis nevneren P en irreduserbar brøk i sin kanoniske ekspansjon har en primfaktor som ikke er lik 2 og 5, så kan ikke denne brøken representeres som en endelig desimalbrøk. Hvis vi i dette tilfellet prøver å skrive den opprinnelige irreduserbare brøken som en desimal, og dividere telleren med nevneren, kan ikke divisjonsprosessen avsluttes, fordi i tilfelle fullføringen etter et begrenset antall trinn, ville vi få en endelig desimalbrøk i kvotienten, som motsier det tidligere beviste teoremet. Så i dette tilfellet er desimalnotasjonen for et positivt rasjonelt tall en= er representert som en uendelig brøk.

For eksempel brøk = 0,3636... . Det er lett å se at restene når man deler 4 med 11 blir periodisk gjentatt, derfor vil desimalene gjentas med jevne mellomrom, dvs. det viser seg uendelig periodisk desimal, som kan skrives som 0,(36).

Periodisk gjentakelse av tall 3 og 6 danner en periode. Det kan vise seg at det er flere sifre mellom kommaet og begynnelsen av første punktum. Disse tallene danner pre-perioden. For eksempel,

0,1931818... Prosessen med å dele 17 med 88 er uendelig. Tallene 1, 9, 3 danner pre-perioden; 1, 8 - punktum. Eksemplene vi har vurdert gjenspeiler et mønster, dvs. ethvert positivt rasjonelt tall kan representeres med enten en endelig eller en uendelig periodisk desimalbrøk.

Teorem 1. La en vanlig brøk være irreduserbar og i den kanoniske utvidelsen av nevneren n det er en primfaktor forskjellig fra 2 og 5. Da kan ordinær brøk representeres med en uendelig periodisk desimalbrøk.

Bevis. Vi vet allerede at prosessen med å dele et naturlig tall m til et naturlig tall n vil være uendelig. La oss vise at det vil være periodisk. Faktisk når man deler m på n rester vil være mindre n, de. tall på formen 1, 2, ..., ( n- 1), som viser at antallet forskjellige rester er begrenset, og derfor, fra et bestemt trinn, vil noen rester gjentas, noe som vil medføre repetisjon av desimalplassene til kvotienten, og den uendelige desimalbrøken blir periodisk.

Det er ytterligere to teoremer.

Teorem 2. Hvis utvidelsen av nevneren til en irreduserbar brøk til primfaktorer ikke inkluderer tallene 2 og 5, så når denne brøken konverteres til en uendelig desimalbrøk, vil en ren periodisk brøk fås, dvs. En brøk hvis periode begynner umiddelbart etter desimaltegnet.

Teorem 3. Hvis utvidelsen av nevneren inkluderer faktorene 2 (eller 5) eller begge deler, vil den uendelige periodiske brøken blandes, dvs. mellom kommaet og begynnelsen av perioden vil det være flere sifre (pre-periode), nemlig like mange som den største av eksponentene for faktorene 2 og 5.

Teoremer 2 og 3 inviteres til å bevise for leseren på egen hånd.

28. Måter å gå fra uendelig periodisk
desimalbrøker til vanlige brøker

La det være en periodisk brøk en= 0,(4), dvs. 0,4444... .

La oss multiplisere en innen 10, får vi

10en= 4,444…4…Þ 10 en = 4 + 0,444….

De. ti en = 4 + en, vi har ligningen for en, løser det, får vi: 9 en= 4 Þ en = .

Merk at 4 er både telleren for den resulterende brøken og perioden for brøken 0,(4).

regel omregning til en vanlig brøk av en ren periodisk brøk er formulert slik: telleren til brøken er lik perioden, og nevneren består av et slikt antall ni som det er sifre i perioden til brøken.

La oss nå bevise denne regelen for en brøk hvis periode består av P

en= . La oss multiplisere en på 10 n, vi får:

10n × en = = + 0, ;

10n × en = + en;

(10n – 1) en = Þ a == .

Så den tidligere formulerte regelen er bevist for enhver ren periodisk brøk.

La nå gitt en brøk en= 0,605(43) - blandet periodisk. La oss multiplisere en med 10 med en slik indikator som hvor mange sifre som er i pre-perioden, dvs. innen 10 3 får vi

10 3 × en= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × en = 605 + = 605 + = = ,

de. 10 3 × en= .

regel omregning til en vanlig brøk av en blandet periodisk brøk er formulert som følger: telleren for brøken er lik differansen mellom tallet skrevet med sifre før begynnelsen av den andre perioden og tallet skrevet med sifre før begynnelsen av den første periode, nevneren består av et slikt antall ni som det er sifre i perioden og slikt antall nuller hvor mange sifre som er før begynnelsen av den første perioden.

La oss nå bevise denne regelen for en brøk hvis forperiode består av P sifre, og en periode på til sifre. La det være en periodisk brøk

Betegn i= ; r= ,

Med= ; deretter Med=i × 10k + r.

La oss multiplisere en med 10 med en slik eksponent hvor mange sifre som er i pre-perioden, dvs. på 10 n, vi får:

en×10 n = + .

Med tanke på notasjonen introdusert ovenfor, skriver vi:

a× 10n= i+ .

Så regelen formulert ovenfor er bevist for enhver blandet periodisk brøk.

Enhver uendelig periodisk desimalbrøk er en form for å skrive et rasjonelt tall.

Av hensyn til ensartetheten blir noen ganger en endelig desimal også betraktet som en uendelig periodisk desimal med en periode på "null". For eksempel, 0,27 = 0,27000...; 10,567 = 10,567000...; 3 = 3000... .

Nå blir følgende utsagn sann: ethvert rasjonelt tall kan (og dessuten på en unik måte) uttrykkes med en uendelig desimal periodisk brøk, og enhver uendelig periodisk desimalbrøk uttrykker nøyaktig ett rasjonelt tall (periodiske desimalbrøker med en periode på 9 vurderes ikke).

Husker du hvordan jeg i den aller første leksjonen om desimalbrøk sa at det er numeriske brøker som ikke kan representeres som desimaler (se leksjonen “Desimalbrøker”)? Vi lærte også å faktorisere nevnerne til brøker for å sjekke om det er andre tall enn 2 og 5.

Så: Jeg løy. Og i dag vil vi lære å oversette absolutt enhver numerisk brøk til en desimal. Samtidig vil vi bli kjent med en hel klasse brøker med en uendelig betydelig del.

En tilbakevendende desimal er enhver desimal som har:

1. Den signifikante delen består av et uendelig antall sifre;
2. Ved visse intervaller gjentas tallene i den betydelige delen.

Settet med gjentatte sifre som utgjør den signifikante delen kalles den periodiske delen av brøken, og antall sifre i dette settet er perioden for brøken. Det gjenværende segmentet av den betydelige delen, som ikke gjentar seg, kalles den ikke-periodiske delen.

Siden det er mange definisjoner, er det verdt å vurdere i detalj noen av disse brøkene:

Denne brøkdelen forekommer oftest i problemer. Ikke-periodisk del: 0; periodisk del: 3; periodelengde: 1.

Ikke-periodisk del: 0,58; periodisk del: 3; periodelengde: igjen 1.

Ikke-periodisk del: 1; periodisk del: 54; periodelengde: 2.

Ikke-periodisk del: 0; periodisk del: 641025; periodelengde: 6. For enkelhets skyld er repeterende deler atskilt fra hverandre med et mellomrom - i denne løsningen er det ikke nødvendig å gjøre det.

Ikke-periodisk del: 3066; periodisk del: 6; periodelengde: 1.

Som du kan se, er definisjonen av en periodisk brøk basert på konseptet betydelig del av et tall. Derfor, hvis du har glemt hva det er, anbefaler jeg å gjenta det - se leksjonen "".

Overgang til periodisk desimal

Betrakt en vanlig brøkdel av formen a/b. La oss dekomponere dens nevner i enkle faktorer. Det er to alternativer:

1. Kun faktor 2 og 5 er tilstede i utvidelsen.Disse brøkene reduseres enkelt til desimaler - se leksjonen "Desimalbrøker". Vi er ikke interessert i slikt;
2. Det er noe annet i utvidelsen enn 2 og 5. I dette tilfellet kan ikke brøken representeres som en desimal, men den kan gjøres til en periodisk desimal.

For å angi en periodisk desimalbrøk, må du finne dens periodiske og ikke-periodiske del. Hvordan? Gjør om brøken til en uekte, og del deretter telleren med nevneren med et "hjørne".

Når du gjør det, vil følgende skje:

1. Del først hele delen hvis det eksisterer;
2. Det kan være flere tall etter desimaltegn;
3. Etter en stund begynner tallene gjenta.

Det er alt! Repeterende sifre etter desimaltegnet er merket med den periodiske delen, og det som står foran - ikke-periodisk.

En oppgave. Konverter vanlige brøker til periodiske desimaler:

Alle brøker uten en heltallsdel, så vi deler ganske enkelt telleren med nevneren med et "hjørne":

Som du kan se, gjentas restene. La oss skrive brøken i "riktig" form: 1,733 ... = 1,7(3).

Resultatet er en brøk: 0,5833 ... = 0,58(3).

Vi skriver i normal form: 4,0909 ... = 4, (09).

Vi får en brøk: 0,4141 ... = 0, (41).

Overgang fra periodisk desimal til ordinær

Tenk på en periodisk desimal X = abc (a 1 b 1 c 1). Det kreves å overføre det til den klassiske "to-etasjes". For å gjøre dette, følg fire enkle trinn:

1. Finn perioden til brøken, dvs. tell hvor mange sifre som er i den periodiske delen. La det være nummer k;
2. Finn verdien av uttrykket X · 10 k . Dette tilsvarer å flytte desimaltegnet en hel periode til høyre - se leksjonen "Multiplikasjon og deling av desimalbrøker";
3. Trekk det opprinnelige uttrykket fra det resulterende tallet. I dette tilfellet blir den periodiske delen "utbrent" og forblir vanlig brøk;
4. Finn X i den resulterende ligningen. Alle desimalbrøker konverteres til ordinære.

En oppgave. Konverter til en vanlig uekte brøkdel av et tall:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Arbeid med den første brøken: X = 9,(6) = 9,666 ...

Klammerne inneholder bare ett siffer, så perioden k = 1. Deretter multipliserer vi denne brøken med 10 k = 10 1 = 10. Vi har:

10X = 10 9,6666... ​​​​= 96,666...

Trekk fra den opprinnelige brøken og løs likningen:

10X - X = 96,666 ... - 9,666 ... = 96 - 9 = 87;
9X=87;
X = 87/9 = 29/3.

La oss nå ta for oss den andre brøken. Så X = 32,(39) = 32,393939 ...

Periode k = 2, så vi multipliserer alt med 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Trekk fra den opprinnelige brøken igjen og løs likningen:

100X - X = 3239,3939 ... - 32,3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

La oss komme til den tredje brøken: X = 0,30(5) = 0,30555 ... Oppsettet er det samme, så jeg skal bare gi beregningene:

Periode k = 1 ⇒ multipliser alt med 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X - X = 3,0555 ... - 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4): 9 = 11/36.

Til slutt, den siste brøken: X = 0,(2475) = 0,2475 2475 ... Igjen, for enkelhets skyld er de periodiske delene atskilt fra hverandre med mellomrom. Vi har:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10 000;
10 000X = 10 000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10 000X - X = 2475,2475 ... - 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.