Hva betyr en lineær ligning med én variabel? Løse ligninger

§ 1 Hva er en ligning

En ligning er en likhet som inneholder en ukjent hvis verdi må finnes. For eksempel oppføringer:

er ikke ligninger. Det er ingen likhet, og verdien av variabelen trenger ikke å bli funnet. Det er enkelt bokstavelige uttrykk. Og her er notatene:

13x - 14 = 2x + 4

er ligninger.

Ligninger er algebraiske modeller av virkelige situasjoner. I prosessen med å jobbe med modellen løser vi ligningen.

Å løse en ligning betyr å finne alle dens røtter eller vise at det ikke finnes noen. Roten til en ligning er verdien av en variabel der ligningen blir en sann numerisk likhet. Tenk for eksempel på ligningen:

Hvis x = 4, har ligningen form av en numerisk likhet:

2∙4 - 1 = 5 eller 7 = 5

Dette er en feil numerisk ligning, noe som betyr at tallet 4 ikke er roten til ligningen. Hvis x = 3, har ligningen form av en numerisk likhet:

2∙3 - 1 = 5 eller 5 = 5

Dette er en ekte numerisk likhet, som betyr at tallet 3 er roten til ligningen. Dessuten er det ingen andre røtter.

§ 2 Lineære ligninger med én variabel

En ligning på formen ax + b = 0 kalles en lineær ligning med én variabel.

Her er a og b koeffisienter, de kan uttrykkes med alle tall.

La oss se på forskjellige tilfeller.

1) Hvis a = 0 og b = 0, vil ligningen ha formen 0 ∙ x + 0 = 0. Denne ligningen har åpenbart uendelig mange røtter, siden ethvert tall multiplisert med null gir 0. Hvilket betyr at resultatet vil alltid være korrekt numerisk likhet.

2) Hvis a = 0, b ≠0. Da vil ligningen ha formen 0 ∙ x + b = 0. Du kan legge merke til at en slik ligning ikke vil ha en eneste rot. Faktisk, når du multipliserer et hvilket som helst tall med 0, vil resultatet alltid være 0, men når det legges til et annet tall enn null, vil resultatet være forskjellig fra null, noe som betyr at resultatet uansett vil være en feil numerisk likhet.

3) Koeffisient a er forskjellig fra null dette er det vanligste tilfellet. Vi resonnerer slik:

Først flytter vi det kjente leddet til b på høyre side av ligningen, og endrer tegnet. Vi får:

Del deretter begge sider av ligningen med tallet a. Vi får:

Dette betyr at i dette tilfellet har ligningen bare én rot, nemlig:

Ved å oppsummere ovenstående kan vi konkludere:

Lineære ligninger med én ukjent kan ha én rot, uendelig mange røtter, eller ingen røtter.

Men hva om ligningen er skrevet i mer kompleks form? For eksempel i skjemaet:

4(x - 4) = 2x + 6

I dette tilfellet må vi først utføre en rekke transformasjoner.

Først, la oss åpne parentesene. Vi får:

4x - 16 = 2x + 6

Så flytter vi den ukjente termer til venstre side av ligningen, og de kjente til høyre, ikke glem å endre fortegnet på begrepet ved overføring. Vi får:

4x - 2x = 6 + 16

La oss nå gi lignende vilkår. Vi får:

Ved å dele begge sider av ligningen med 2 får vi x = 11.

§ 3 Eksempler på bruk av begrepet «lineær ligning»

La oss se på noen flere eksempler ved å bruke konseptet "lineær ligning".

Eksempel 1. Bestem antall røtter til ligningen 3x + 15 = 3(x +2) + 9.

Dette er en lineær ligning med én variabel. For å svare på spørsmålet må du først transformere denne ligningen. For å gjøre dette, åpne parentesene og få:

3x + 15 = 3x + 6 + 9

La oss flytte de kjente leddene til høyre side av ligningen, og de ukjente til venstre. Vi får:

3x - 3x = 6 + 9 - 15

La oss legge til lignende termer og få:

Denne likheten er sann for enhver verdi av x, så ligningen har uendelig mange røtter.

Eksempel 2. Ved hvilken verdi av variabelen er verdien av uttrykket 4y - 1 lik verdien av uttrykket 3y + 5?

Her er vilkåret for likestilling av to uttrykk eksplisitt satt. La oss skrive denne likheten og få:

4y - 1 = 3y + 5

Løser vi denne ligningen ved å bruke metoden fra eksempel 1, får vi y = 6.

Svar: Verdiene til uttrykkene er like når y = 6.

Eksempel 3. Mor og datter er 35 år sammen. Hvor gammel er datteren hvis hun er 25 år yngre enn moren?

La oss lage en algebraisk modell av dette reell situasjon. La datteren være x år, da er moren x + 25 år. Siden de i henhold til tilstanden er 35 år gamle sammen, vil vi lage ligningen:

x + (x + 25) = 35

Ved å løse denne ligningen finner vi:

Siden vi anga datterens alder med bokstaven x, er tallet funnet svaret på spørsmålet i oppgaven. Svar: datteren min er 5 år gammel.

Liste over brukt litteratur:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasse i 2 deler, del 1, Lærebok for utdanningsinstitusjoner/ A.G. Mordkovich. – 10. utgave, revidert – Moskva, “Mnemosyne”, 2007
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. klasse i 2 deler, Del 2, Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner / [A.G. Mordkovich og andre]; redigert av A.G. Mordkovich - 10. utgave, revidert - Moskva, "Mnemosyne", 2007
3. HENNE. Tulchinskaya, Algebra 7. klasse. Blitz-undersøkelse: en manual for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner, 4. utgave, revidert og utvidet, Moskva, "Mnemosyne", 2008
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. klasse. Tematisk testarbeid V ny form for studenter ved allmennutdanningsinstitusjoner, redigert av A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. klasse. Selvstendig arbeid for studenter ved allmennutdanningsinstitusjoner, redigert av A.G. Mordkovich - 6. utgave, stereotypisk, Moskva, "Mnemosyne", 2010

I denne videoen vil vi analysere et helt sett med lineære ligninger som er løst ved hjelp av samme algoritme - det er derfor de kalles de enkleste.

Først, la oss definere: hva er en lineær ligning og hvilken kalles den enkleste?

Lineær ligning- en der det bare er én variabel, og utelukkende i første grad.

Den enkleste ligningen betyr konstruksjonen:

Alle andre lineære ligninger reduseres til den enkleste ved å bruke algoritmen:

1. Utvid parenteser, hvis noen;
2. Flytt termer som inneholder en variabel til den ene siden av likhetstegnet, og termer uten variabel til den andre;
3. Gi lignende termer til venstre og høyre for likhetstegnet;
4. Del den resulterende ligningen med koeffisienten til variabelen $x$.

Selvfølgelig hjelper ikke denne algoritmen alltid. Faktum er at noen ganger etter alle disse manipulasjonene, viser koeffisienten til variabelen $x$ seg å være lik null. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

1. Ligningen har ingen løsninger i det hele tatt. For eksempel, når noe som $0\cdot x=8$ viser seg, dvs. til venstre er null, og til høyre er et annet tall enn null. I videoen nedenfor skal vi se på flere årsaker til at denne situasjonen er mulig.
2. Løsningen er alle tall. Det eneste tilfellet når dette er mulig er når ligningen er redusert til konstruksjonen $0\cdot x=0$. Det er ganske logisk at uansett hvilken $x$ vi erstatter, vil det fortsatt vise seg "null er lik null", dvs. riktig numerisk likhet.

La oss nå se hvordan alt dette fungerer ved å bruke eksempler fra det virkelige liv.

Eksempler på løsning av ligninger

I dag har vi å gjøre med lineære ligninger, og bare de enkleste. Generelt betyr en lineær ligning enhver likhet som inneholder nøyaktig én variabel, og den går bare til første grad.

Slike konstruksjoner løses på omtrent samme måte:

1. Først av alt må du åpne parentesene, hvis noen (som i vår siste eksempel);
2. Kombiner deretter lignende
3. Til slutt isolerer du variabelen, dvs. flytte alt som er knyttet til variabelen – termene den er inneholdt i – til den ene siden, og flytt alt som er uten den til den andre siden.

Deretter må du som regel ta med lignende på hver side av den resulterende likheten, og etter det gjenstår det bare å dele med koeffisienten til "x", så får vi det endelige svaret.

I teorien ser dette pent og enkelt ut, men i praksis kan selv erfarne videregående elever gjøre støtende feil i ganske enkle lineære ligninger. Vanligvis gjøres feil enten når du åpner parenteser eller når du beregner "plussene" og "minusene."

I tillegg hender det at en lineær ligning ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller at løsningen er hele tallinjen, dvs. hvilket som helst tall. Vi skal se på disse finessene i dagens leksjon. Men vi starter, som du allerede har forstått, med selve enkle oppgaver.

Opplegg for å løse enkle lineære ligninger

Først, la meg igjen skrive hele skjemaet for å løse de enkleste lineære ligningene:

1. Utvid parentesene, hvis noen.
2. Vi isolerer variablene, dvs. Vi flytter alt som inneholder "X" til den ene siden, og alt uten "X" til den andre.
3. Vi presenterer lignende termer.
4. Vi deler alt med koeffisienten til "x".

Selvfølgelig fungerer ikke dette opplegget alltid det er visse finesser og triks i det, og nå skal vi bli kjent med dem.

Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

Oppgave nr. 1

Det første trinnet krever at vi åpner brakettene. Men de er ikke i dette eksemplet, så vi hopper over dem dette stadiet. I det andre trinnet må vi isolere variablene. Vennligst merk: vi snakker om bare om individuelle vilkår. La oss skrive det ned:

Vi presenterer lignende termer til venstre og høyre, men dette er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trinnet: del med koeffisienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så vi fikk svaret.

Oppgave nr. 2

Vi kan se parentesene i denne oppgaven, så la oss utvide dem:

Både til venstre og til høyre ser vi omtrent samme design, men la oss handle etter algoritmen, dvs. skille variablene:

Her er noen lignende:

Ved hvilke røtter fungerer dette? Svar: for enhver. Derfor kan vi skrive at $x$ er et hvilket som helst tall.

Oppgave nr. 3

Den tredje lineære ligningen er mer interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det er flere parenteser, men de multipliseres ikke med noe, de er rett og slett innledet med ulike tegn. La oss bryte dem ned:

Vi utfører det andre trinnet som allerede er kjent for oss:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

La oss regne:

Vi utfører det siste trinnet - del alt med koeffisienten til "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting å huske på når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for enkle oppgaver, vil jeg gjerne si følgende:

• Som jeg sa ovenfor, har ikke alle lineære ligninger en løsning - noen ganger er det rett og slett ingen røtter;
• Selv om det er røtter, kan det være null blant dem - det er ikke noe galt med det.

Null er det samme tallet som de andre; du bør ikke diskriminere det på noen måte eller anta at hvis du får null, så har du gjort noe galt.

En annen funksjon er relatert til åpningen av braketter. Vennligst merk: når det er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes endrer vi tegnene til motsatt. Og så kan vi åpne den ved hjelp av standardalgoritmer: vi får det vi så i beregningene ovenfor.

Forstår dette enkelt faktum vil tillate deg å unngå å gjøre dumme og støtende feil på videregående, når slike handlinger tas for gitt.

Løse komplekse lineære ligninger

La oss gå videre til mer komplekse ligninger. Nå vil konstruksjonene bli mer komplekse og når man utfører ulike transformasjoner vil en kvadratisk funksjon vises. Vi bør imidlertid ikke være redde for dette, for hvis vi i henhold til forfatterens plan løser en lineær ligning, vil alle monomialer som inneholder en kvadratisk funksjon nødvendigvis avbryte under transformasjonsprosessen.

Eksempel nr. 1

Det første trinnet er selvsagt å åpne brakettene. La oss gjøre dette veldig nøye:

La oss nå ta en titt på personvern:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er noen lignende:

Det er åpenbart at gitt ligning Det finnes ingen løsninger, så vi skriver dette i svaret:

\[\varnothing\]

eller det er ingen røtter.

Eksempel nr. 2

Vi utfører de samme handlingene. Første trinn:

La oss flytte alt med en variabel til venstre, og uten den - til høyre:

Her er noen lignende:

Denne lineære ligningen har åpenbart ingen løsning, så vi skriver den på denne måten:

\[\varnothing\],

eller det er ingen røtter.

Nyanser av løsningen

Begge ligningene er fullstendig løst. Ved å bruke disse to uttrykkene som eksempel, ble vi nok en gang overbevist om at selv i de enkleste lineære ligningene, kan ikke alt være så enkelt: det kan være enten én, eller ingen, eller uendelig mange røtter. I vårt tilfelle vurderte vi to ligninger, begge har rett og slett ingen røtter.

Men jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten din til et annet faktum: hvordan du jobber med parenteser og hvordan du åpner dem hvis det er et minustegn foran dem. Tenk på dette uttrykket:

Før du åpner, må du multiplisere alt med "X". Vennligst merk: multipliserer hvert enkelt semester. Inne er det to ledd - henholdsvis to ledd og multiplisert.

Og først etter at disse tilsynelatende elementære, men veldig viktige og farlige transformasjonene er fullført, kan du åpne braketten fra synspunktet om at det er et minustegn etter den. Ja, ja: først nå, når transformasjonene er fullført, husker vi at det er et minustegn foran parentesene, som betyr at alt under rett og slett skifter fortegn. Samtidig forsvinner selve brakettene, og viktigst av alt forsvinner også den fremre "minusen".

Vi gjør det samme med den andre ligningen:

Det er ikke tilfeldig at jeg legger merke til disse små, tilsynelatende ubetydelige fakta. Fordi å løse ligninger er alltid en sekvens elementære transformasjoner, hvor manglende evne til å klart og kompetent utføre enkle trinn fører til at elever på videregående kommer til meg og igjen lærer å løse slike enkle ligninger.

Selvfølgelig vil dagen komme da du vil finpusse disse ferdighetene til det punktet av automatikk. Du trenger ikke lenger å utføre så mange transformasjoner hver gang du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, må du skrive hver handling separat.

Løse enda mer komplekse lineære ligninger

Det vi skal løse nå kan neppe kalles den enkleste oppgaven, men meningen forblir den samme.

Oppgave nr. 1

\[\venstre(7x+1 \høyre)\venstre(3x-1 \høyre)-21((x)^(2))=3\]

La oss multiplisere alle elementene i den første delen:

La oss gjøre litt privatliv:

Her er noen lignende:

La oss fullføre det siste trinnet:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vårt endelige svar. Og til tross for at vi i prosessen med å løse hadde koeffisienter med en kvadratisk funksjon, kansellerte de hverandre, noe som gjør ligningen lineær og ikke kvadratisk.

Oppgave nr. 2

\[\venstre(1-4x \høyre)\venstre(1-3x \høyre)=6x\venstre(2x-1 \høyre)\]

La oss utføre det første trinnet nøye: multipliser hvert element fra den første parentesen med hvert element fra den andre. Det skal være totalt fire nye termer etter transformasjonene:

La oss nå nøye utføre multiplikasjonen i hvert ledd:

La oss flytte termene med "X" til venstre, og de uten - til høyre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende termer:

Nok en gang har vi fått det endelige svaret.

Nyanser av løsningen

Den viktigste merknaden om disse to ligningene er følgende: så snart vi begynner å multiplisere parenteser som inneholder mer enn ett ledd, gjøres dette i henhold til følgende regel: vi tar det første leddet fra det første og multipliserer med hvert element fra den andre; så tar vi det andre elementet fra det første og multipliserer på samme måte med hvert element fra det andre. Som et resultat vil vi ha fire perioder.

Om den algebraiske summen

Med dette siste eksempelet vil jeg minne elevene på hva algebraisk sum. I klassisk matematikk mener vi med $1-7$ en enkel konstruksjon: trekk sju fra én. I algebra mener vi følgende med dette: til tallet "én" legger vi til et annet tall, nemlig "minus syv". Slik skiller en algebraisk sum seg fra en vanlig aritmetisk sum.

Så snart du, når du utfører alle transformasjonene, hver addisjon og multiplikasjon, begynner å se konstruksjoner som ligner de som er beskrevet ovenfor, vil du rett og slett ikke ha noen problemer i algebra når du arbeider med polynomer og ligninger.

Til slutt, la oss se på et par flere eksempler som vil være enda mer komplekse enn de vi nettopp så på, og for å løse dem må vi utvide standardalgoritmen vår litt.

Løse ligninger med brøker

For å løse slike oppgaver må vi legge til ett trinn til i algoritmen vår. Men først, la meg minne deg på algoritmen vår:

1. Åpne brakettene.
2. Separate variabler.
3. Ta med lignende.
4. Del på forholdet.

Akk, denne fantastiske algoritmen, til tross for all dens effektivitet, viser seg å ikke være helt passende når vi har brøker foran oss. Og i det vi skal se nedenfor, har vi en brøk til både venstre og høyre i begge ligningene.

Hvordan jobbe i dette tilfellet? Ja, det er veldig enkelt! For å gjøre dette må du legge til ett trinn til i algoritmen, som kan gjøres både før og etter den første handlingen, nemlig å bli kvitt brøker. Så algoritmen vil være som følger:

1. Bli kvitt brøker.
2. Åpne brakettene.
3. Separate variabler.
4. Ta med lignende.
5. Del på forholdet.

Hva betyr det å "bli kvitt brøker"? Og hvorfor kan dette gjøres både etter og før det første standardtrinn? Faktisk, i vårt tilfelle er alle brøker numeriske i sin nevner, dvs. Overalt er nevneren bare et tall. Derfor, hvis vi multipliserer begge sider av ligningen med dette tallet, vil vi bli kvitt brøker.

Eksempel nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

La oss bli kvitt brøkene i denne ligningen:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vennligst merk: alt multipliseres med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser betyr ikke det at du må gange hver med "fire". La oss skrive ned:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

La oss nå utvide:

Vi utelukker variabelen:

Vi utfører reduksjon av lignende termer:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi fikk endelig avgjørelse, la oss gå videre til den andre ligningen.

Eksempel nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Her utfører vi alle de samme handlingene:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet er løst.

Det er faktisk alt jeg ville fortelle deg i dag.

Nøkkelpunkter

Nøkkelfunn er:

• Kjenne til algoritmen for å løse lineære ligninger.
• Evne til å åpne parentes.
• Ikke bekymre deg hvis du ser kvadratiske funksjoner, mest sannsynlig, i ferd med ytterligere transformasjoner vil de avta.
• Det er tre typer røtter i lineære ligninger, selv de enkleste: én enkelt rot, hele tallinjen er en rot, og ingen røtter i det hele tatt.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å mestre et enkelt, men veldig viktig emne for videre forståelse av all matematikk. Hvis noe ikke er klart, gå til nettstedet og løs eksemplene som presenteres der. Følg med, mange flere interessante ting venter på deg!

§ 23. Lineær ligning med én variabel. Løse lineære ligninger i én variabel og ligninger som reduserer til dem

Vi vet hvordan vi løser ligningene 2x = -8; x - 5; 0,01 x -17.

Hver av disse ligningene har formen ax = b, hvor x er en variabel, a og b er noen tall.

Tallene a og b kalles koeffisientene til ligningen.

Hvis a ≠ 0, kalles ligningen ax = b en ligning av første grad med én variabel. Ved å dele begge sider av ligningen med a, får vi x =, det vil si at den eneste roten av denne ligningen er tallet

Hvis a - 0 og b - 0, så har den lineære ligningen formen 0x - 0. Roten til en slik ligning er et hvilket som helst tall, siden for enhver verdi av x verdien til venstre og riktige deler ligningene er lik og lik null. Derfor er ligningen 0x = 0 et sett med røtter.

Hvis a - 0, og b ≠ 0, vil den lineære ligningen ha formen 0x - b. I dette tilfellet er det ingen verdi for variabelen x som vil gjøre venstre og høyre side av ligningen til samme tall. Tross alt er verdien på venstre side av ligningen for enhver verdi av x lik null, og verdien på høyre side er tallet b, forskjellig fra null. Derfor har ligningen 0x = b for b ≠ 0 ingen røtter.

La oss systematisere dataene om løsningen av den lineære ligningen ax = b i form av et diagram:

Eksempel 1. Løs ligningen:

R az v ’ i z a n n i.

1) 0,2 x = 7; x = 7: 0,2; x = 35.

Svar: - 4.

3)0x = 7; ligningen har ingen røtter.

Svar: har ingen røtter.

Prosessen med å løse mange ligninger er å redusere disse ligningene til liljeveien tilsvarende transformasjoner i henhold til egenskapene til likningene.

Eksempel 2. Løs ligningen:

1) 3(x + 1) - 2x = 6 - 4x;

R az v ’ i z a n n i.

1. La oss bli kvitt nevnerne (hvis det er noen):

1)3(x + 3) - 2x = 6 - 4x.

Multipliser begge sider av ligningen med 6 (6 er den minste fellesnevner brøker). Vi har:

3(x + 1) + 2(5 - x) = x + 13.

2. Åpne brakettene (hvis noen):

3x + 9 - 2x = 6 - 4x;

3x + 3 + 10 - 2x = x + 13.

3. La oss flytte termene som inneholder variabelen til venstre side, og resten til høyre, og endre tegnene til disse termene til det motsatte:

3x - 2x + 4x = 6 - 9;

3x - 2x - x = 13 - 3 - 10.

4. La oss redusere lignende termer:

5. Løs den resulterende lineære ligningen:

Svar: -0,6.

x - et hvilket som helst tall.

Svar: hvilket som helst tall.

Eksempel 3. Løs ligningen 5(x + z) = 3x - 7p i forhold til x.

R az v ’ i z a n n i. La oss åpne parentesene på venstre side av ligningen: 5x + 5p - 3x - 7p. La oss flytte begrepet 3x til venstre side, og 5p til høyre. Vi har: 5x - 3x = -7r - 5r; 2x = -12r. Da er x = (-12р): 2; x = (-12:2)y; x = -6r.

Svar: -6r.

Hvilken ligning kalles en lineær ligning i en variabel? Gi eksempler på lineære ligninger. I hvilket tilfelle har ligningen ax - b en enkelt rot? I alle fall, er roten av ligningen ax - b - et hvilket som helst tall? I hvilket tilfelle har ligningen ax = b ingen røtter?

848. (Muntlig) Hvilken av ligningene er lineær:

5) x + 7 = x 2;

849. (Muntlig) Hvor mange røtter har ligningen:

850. Finn ut hvilken av disse ligningene som bare har én løsning, har ingen løsninger, har uendelig sett løsninger:

851. (Muntlig) Løs ligningen:

2) 0,5 x = -2,5;

3) -2,5 x = 7,5;

852. Løs ligningen:

6) -0,01 x = 0,17;

8) -1,2 x = -4,2;

853. Finn roten til ligningen:

6) 0,1 x = 0,18.

854. Bestem hva som skal skrives på høyre side av ligningen i stedet for mellomrom hvis roten er kjent:

855. Finn roten til ligningen:

1) 7x + 14 = 0;

2) 0,3x - 21 = 0,5 x - 23;

3) 1x + 3 = 6x - 13;

4) 5x + (3x - 7) = 9;

5) 47 = 10 - (9x + 2);

6) (3x + 2) - (8x + 6) = 14.

856. Løs ligningen:

2) 1,4 x - 12 = 0,9 x + 4;

3) 3x + 14 = 5x - 16;

4) 12 - (5x + 10) = -3;

5) 6 - (8x + 11) = -1;

6) (3x - 4) - (6 - 4x) = 4.

857. Hvilken ligning tilsvarer ligningen 5x = 10:

3) x + 2 = x + 1;

5) x = 8 - 3x;

6)1x - 7 = 4x?

858. Er ligningene likeverdige:

1) 4x - x = 17 3x = 17;

2) 5x - 9 = 3x og 6x = 21;

3) 2x = -12 og x + 6 = 0;

4) 12x = 0 15x = 15?

859.

1) 3x + 7 er lik -2;

2) 4(x + 1) er lik verdien av uttrykket 5x - 9?

860. Til hvilken verdi y:

1) verdien av uttrykket 5y - 13 er -3;

2) er verdiene til uttrykk 3(в - 2) og 13у - 8 lik hverandre?

861. Løs ligningen:

2) 2x - y = 1;

862. Finn roten til ligningen:

863. Skriv en lineær ligning hvis rot er:

1) nummer -2;

2) tall -0,2.

864. Skriv en lineær ligning:

1) har ingen røtter;

2) roten som er et hvilket som helst tall.

865. Skriv en lineær ligning hvis rot vil være:

1) nummer -8;

2) et hvilket som helst tall.

866. Finn roten til ligningen:

1)(4x - 2) + (5x - 4) - 9 - (5 - 11x);

2) (7 - 8x) - (9 - 12x) - (5x + 4) = -16;

3) 3(4x - 5) - 10(2x - 1) = 33;

4) 9(3(x + 1) 2x) = 7(x + 1).

867. Løs ligningen:

1) (9x - 4) + (15x - 5) = 18 - (25 - 22x);

2) (10x + 6) - (9 - 9x) + (8 - 11x) = -19;

3) 7(x - 1) - 3(2x + 1) = -x - 15;

4) 5(4(x - 1) - 3x) = 9x.

868.

1) 2x + a = x + a;

2) b + x = c - x;

3) 6x + 2m = x - 8m;

4) 9a + x = 3b - 2x.

R az v ’ i z a n n i.

4) 9a - x = 3b - 2x; x + 2x = 3b - 9a; 3x = 3(b - 3a). La oss dele begge sider av ligningen med 3. Vi får: x = b - 3a.

Svar: b - 3a.

869. Løs ligningen for x:

1) 7x + m = 2x + m;

2) a + x = 2m - x;

3) 3x + b = 9b - x;

4) 5p + 2x = 10 - 3x.

870. Er ligningene ekvivalente:

1) 2x - 4 = 2 og 5 (x - 3) + 1 = 3x - 8;

2) 5x + 3 = 8 og 7(x - 2) + 20 = 4x + 3;

3) 5x = 0 og 0 x = 5;

4) 7x + 1 = 7x 2 og 5(x + 1) = 5x + 5;

5) 0: x = 7 og 0 ∙ x = 7;

6) 3(x - 2) = 3x - 6 og 2(x + 7) - 2(x + 1) + 12?

871. Ved hvilken verdi av y er betydningen av uttrykket:

1) 5y + 7 tre ganger større verdi uttrykk y + 5;

2) 2y - 4 er 7,4 mer enn verdien av uttrykket 3 - 7y?

872. Ved hvilken verdi av x er verdien av uttrykket:

1) 7x + 8 er to ganger verdien av uttrykket x + 7;

2) 5x - 8 pa 17.2 mindre enn verdi uttrykk x + 2?

873. Skriv en ligning som vil tilsvare ligningen 7(2x - 8) = 5(7x - 8) - 15x.

874. Ved hvilken verdi av a er ligningen:

1) 2ax = 16 har en rot lik 4;

2) 3x har en rot lik ;

3) 5(a + 1)x = 40 har en rot lik -1?

875. Ved hvilken verdi av b er roten av ligningen:

1) 3b x = -24 er tallet -4;

2) (2a - 5)x = 45 s nummer 3?

876. Løs ligningen:

1) 4x + 7 = 3(x - 2) + x:

2) 2x + 5 - 2 (x - 4) + 13;

3) 2x(1 - 3x) + 5x(3 - x) = 17x - 8x 2;

4) (7x - 3 + 2x 2 - 4x - 5) - (6x 3 - x 2 + 2x) = 3x 2 - (6x - x 3).

877. Finn roten til ligningen:

1) 3(x - 2) + 4x = 7(x -1) + 1;

2) 2(x + 1) + x = 6(x ​​​​+ 3);

3) 3x(2 + x) - 4 (1 - x 2) = 7x 2 + 6x;

4) (x 2 + 4x - 8) - (7x - 2x 2 - 5) = 3x 2 - (3x + 3).

878. Løs ligningen.

LINEÆR LIGNING MED EN VARIABEL

Lineær ligning med én variabel kalles en likhet som inneholder bare én variabel.

Her er eksempler på lineære ligninger:

3 x =12 eller 10 y -20=0 eller 8 a +3=0

Løs ligningen- dette betyr å finne alle røttene til ligningen eller bevise at de ikke eksisterer. Med andre ord, å løse en lineær ligning betyr å finne alle verdiene til variabelen, for hver av dem blir ligningen til en korrekt numerisk likhet.Rot(eller løsning) av en ligning er verdien av variabelen der ligningen blir til en sann numerisk likhet.

Så ligningen 3 x = 12 har rot x =4, siden 3*4=12 er en ekte likhet, og det bør bemerkes at det ikke finnes andre røtter.

I det hele tatt lineær ligning med én variabel x kalles en formlikning ax + b = 0 .

b - "gratis medlem".

Koeffisienter er noen tall, og å løse en ligning betyr å finne verdien av x som uttrykket har ax + b = 0 er riktig.

For eksempel har vi lineær ligning 3 x – 6 = 0. Å løse den betyr å finne hva den skal være lik x til 3 x – 6 var lik 0. Ved å utføre transformasjoner får vi:

3 x = 6

x = 2

Så uttrykk 3 x – 6 = 0 sann når x = 2 (Kontroller 3 * 2 – 6 = 0)

2 er roten til denne ligningen. Når du løser en ligning, finner du røttene.

Koeffisientene a og b kan være alle tall, men det er slike verdier når roten til en lineær ligning med én variabel er mer enn én.

Hvis a = 0, blir ax + b = 0 til b = 0. Her x "ødelagt". Det samme uttrykket b = 0 kan bare være sant hvis kunnskap b er 0. Det vil si at ligningen er 0* x + 3 = 0 er feil fordi 3 = 0 er en falsk påstand. Men 0* x + 0 = 0 er det riktige uttrykket. Fra dette konkluderer vi at hvis a = 0 og b ≠ 0 en lineær ligning med én variabel har ingen røtter i det hele tatt, men hvis a = 0 og b = 0 , så har ligningen et uendelig antall røtter. Hvis b = 0 og a ≠ 0 , så tar ligningen formen akse = 0 . Det er klart at hvis a ≠ 0 , men resultatet av multiplikasjon er 0, som betyr x = 0 . Det vil si at roten til denne ligningen er 0.

La oss vurdere det vanligste tilfellet når a ≠ 0

1) ax + b = 0, som betyr ax = - b (vi flyttet ganske enkelt begrepet b fra venstre side til høyre side med motsatt tegn) Husk denne regelen

2) ax = - b, som betyr

x = –b/a . Husk denne regelen

x verdi i i dette tilfellet vil avhenge av verdiene til a og b. Dessuten vil det være den eneste. Det vil si at det er umulig med barede samme koeffisientene for å oppnå to eller flere forskjellige verdier x. For eksempel

–8,5 x – 17 = 0

x = 17 / –8,5

x = –2

Ingen andre tall enn –2 kan oppnås ved å dele 17 på –8,5

Det er ligninger som ved første øyekast ikke ser ut som generelt syn lineær ligning med én variabel, men kan enkelt konverteres til den. For eksempel

–4,8 + 1,3 x = 1,5 x + 12

Hvis du flytter alt til venstre side, vil 0 forbli på høyre side:

–4,8 + 1,3 x – 1,5 x – 12 = 0

Leksjonsemne:

Lineær ligning med én variabel

Kudelko Marina

Leksjonens mål:

Pedagogisk: konsolidere begrepet en likning, røttene til en likning, husk hva det vil si å løse en likning, introdusere og mestre begrepet en ekvivalent likning, en lineær likning, kunne finne lineære likninger og lære å løse dem, elevene skal vite hvor mange røtter en lineær ligning kan ha.

Utviklingsmessig: Å utvikle elevenes nøyaktighet i å skrive ned notater, elevenes dataferdigheter, for å utvikle interesse og kjærlighet til faget, hukommelse og mentale operasjoner, utvikle evnen til klart og tydelig å uttrykke tankene dine, formulere spørsmål tydelig.

Pedagogisk: Bidra til å identifisere og utvikle elevenes evner, skape uavhengighet.

Leksjonstype: lære nytt materiale.

Leksjonsplan:

.Undersøkelse lekser(5 minutter)

Siden dagens leksjon er en leksjon om å lære nytt stoff, er det ikke tid til å sjekke lekser, jeg vil samle notatbøker for å sjekke, advare elevene på forhånd. Elevene skal legge notatbøkene sine på kanten av skrivebordet.

.Oppdatering av referansekunnskap

I begynnelsen av leksjonen må du sammen med elevene huske de allerede kjente begrepene til en likning, roten til en likning, og huske betydningen av kravet om å løse likningen. Læreren gjennomfører en frontalundersøkelse. Læreren utarbeidet også små eksempler på tavla på forhånd for disse spørsmålene, elevene går til tavla og bestemmer selv, gjerne uten hjelp fra læreren, siden dette allerede er dekket stoff.

Bevis at hvert av tallene -5, 0,3 er en rot av ligningen:

A) z(z-3)(z+5)=0;

Løs ligningen:

Finn roten til ligningen:

Siden vi i dette emnet må jobbe med et konsept ukjent for elevene, må vi først introdusere det. Dette konseptet er ekvivalente ligninger. Du kan først gi flere ligninger og be elevene løse dem. Spør så hva ligningene har til felles. Det viser seg at det som ligningene har til felles, er deres identiske røtter. Hvis elevene ikke forstår med en gang, må du gi et par flere eksempler. Og si at denne typen ligninger kalles ekvivalent. De. ekvivalente ligninger er ligninger som har samme røtter.

Er ligningene like???

Du kan sette skilt på tavlen (eller på interaktiv tavle):

3. Lære nytt stoff

Nå som de nødvendige konseptene har blitt husket, har noen konsepter blitt introdusert, la oss gå videre til å studere nytt materiale.

Læreren utarbeidet en tegning på tavlen på forhånd (eller en presentasjon om dette emnet, som er mye bedre).

Læreren tilbyr en oppgave til elevene.

La oss løse ligningen, som tydelig kan representeres i figurene: lineær rot ekvivalent ligning

Vi presenterte tilstanden til ligningen i form av et bilde, som er mye mer visuelt og forståelig for elevene. Vi får utdelt vekter hvor det står kopper te og vekter, og de balanserer hverandre.

Nå skal vi diskutere hva som vil skje med vekten vår hvis vi trekker fra eller legger til samme antall pakker med te.

Du kan tenke slik. Klokkens balanse vil ikke bli forstyrret hvis 3 pakker te fjernes fra hver kopp. (Dette kan sees i figur 2). Hvis 2 pakker te (!!av samme vekt!!) veier 150g, så veier en pakke te 150g. : 2 = 75 g.

Disse argumentene viser en slik måte å løse denne ligningen på. Trekk uttrykket fra venstre og høyre side av ligningen. Vi får:

Vilkårene og - på høyre side gir null. Derfor får vi:

Så, svaret: Læreren gjør disse handlingene sammen med elevene, de bør spørre og hjelpe ham. Læreren kan be deg om å gjenta det som ble sagt, eller enda bedre, forklare denne oppgaven for hverandre to og to, og deretter en eller et par elever ved tavlen. Læreren glemmer ikke å rose elevene.

Så sammen, frontalt, løser vi følgende eksempel.

La oss løse ligningen:

Hvis vi legger til et uttrykk til hver del av ligningen, etter å ha lagt til lignende på høyre side vil det ikke være noen termer med en variabel, la oss gjøre dette (læreren ber elevene om å uttale handlingene høyt, han kan spørre en individuell elev å snakke eller forklare):

(La oss presentere lignende og merk at 3x og -3x vil kansellere hverandre.)

Sammenligner vi den resulterende ligningen med den gitte, legger vi merke til at begrepet - har flyttet seg fra høyre side til venstre med motsatt fortegn. Vi presenterer lignende på venstre side:

Vi legger merke til at likningen er hentet fra likningen etter å ha overført tallet fra venstre side av likningen til høyre med motsatt fortegn.

Vi finner til slutt:

Vi legger merke til at hvis et begrep i ligningen overføres fra en del til en annen, og endrer fortegn, vil en ligning tilsvarende den gitte fås.

De flytter begrepet av en grunn, men slik at det på venstre side er begreper med en variabel, og på den andre - kjente tall. Til venstre er de ukjente, til høyre er de kjente.

Hvis ligningen inneholder parenteser, må du først åpne dem.

Veiledning

Trenger du hjelp til å studere et emne?

Våre spesialister vil gi råd eller gi veiledningstjenester om emner som interesserer deg.
Send inn søknaden din angir emnet akkurat nå for å finne ut om muligheten for å få en konsultasjon.