Hva vil det si å vurdere en integral. Rediger] Estimerer nøyaktigheten av å beregne et bestemt integral

bestemt integral fra kontinuerlig funksjon f(x) på det endelige intervallet [ en, b] (hvor ) er økningen av noen av dets antiderivater på dette segmentet. (Generelt vil forståelsen være merkbart lettere hvis du gjentar emnet for det ubestemte integralet) I dette tilfellet vil notasjonen

Som du kan se i grafene nedenfor (økningen av antiderivatfunksjonen er indikert med ), Det bestemte integralet kan enten være positivt eller negativt tall (Den beregnes som forskjellen mellom verdien av antiderivatet i øvre grense og verdien i den nedre grensen, dvs. F(b) - F(en)).

Tall en og b kalles henholdsvis nedre og øvre grense for integrasjon, og intervallet [ en, b] er integrasjonssegmentet.

Således, hvis F(x) er en antiderivatfunksjon for f(x), så, i henhold til definisjonen,

(38)

Likestilling (38) kalles Newton-Leibniz formel . Forskjell F(b) – F(en) er kort skrevet slik:

Derfor vil Newton-Leibniz-formelen skrives som følger:

(39)

La oss bevise at det bestemte integralet ikke avhenger av hvilken antiderivert av integranden som tas når den beregnes. La F(x) og F( X) er vilkårlige antiderivater av integranden. Siden disse er antiderivater med samme funksjon, skiller de seg med en konstant term: Ф( X) = F(x) + C. Derfor

Dermed er det slått fast at på segmentet [ en, b] trinn av alle antiderivater av funksjonen f(x) kamp.

For å beregne det bestemte integralet, er det derfor nødvendig å finne en hvilken som helst antiderivert av integranden, dvs. må først finnes ubestemt integral. Konstant FRA ekskludert fra senere beregninger. Deretter brukes Newton-Leibniz-formelen: verdien av den øvre grensen erstattes med antiderivertefunksjonen b , videre - verdien av den nedre grensen en og regn ut differansen F(b) - F(a) . Det resulterende tallet vil være et bestemt integral..

På en = b akseptert per definisjon

Eksempel 1

Løsning. La oss først finne den ubestemte integralen:

Bruk av Newton-Leibniz-formelen på antiderivatet

(på FRA= 0), får vi

Men når man beregner et bestemt integral, er det bedre å ikke finne antideriverten separat, men umiddelbart skrive integralet i formen (39).

Eksempel 2 Regn ut en bestemt integral

Løsning. Ved hjelp av formelen

Egenskaper til det definitive integralet

Teorem 2.Verdien av det bestemte integralet avhenger ikke av betegnelsen på integrasjonsvariabelen, dvs.

(40)

La F(x) er antiderivat for f(x). Til f(t) antiderivatet har samme funksjon F(t), der den uavhengige variabelen er angitt annerledes. Følgelig

Basert på formel (39) betyr siste likhet integralenes likhet

Teorem 3.Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til et bestemt integral, dvs.

(41)

Teorem 4.Sikker integral fra den algebraiske summen endelig antall funksjoner er algebraisk sum bestemte integraler av disse funksjonene, dvs.

(42)

Teorem 5.Hvis integrasjonssegmentet er delt inn i deler, så er det bestemte integralet over hele segmentet er lik summen av bestemte integraler over delene, dvs. hvis

(43)

Teorem 6.Når du omorganiserer grensene for integrering absolutt verdi av et bestemt integral endres ikke, men bare fortegn endres, dvs.

(44)

Teorem 7(middelverditeorem). Sikker integral er lik produktet lengden på integrasjonssegmentet med verdien av integranden på et tidspunkt inne i den, dvs.

(45)

Teorem 8.Hvis den øvre integrasjonsgrensen er større enn den nedre og integranden er ikke-negativ (positiv), så er den bestemte integralen også ikke-negativ (positiv), dvs. hvis

Teorem 9.Hvis den øvre grensen for integrasjon er større enn den nedre grensen og funksjonene og er kontinuerlige, så er ulikheten

kan integreres termin for termin, dvs.

(46)

Egenskapene til det bestemte integralet tillater oss å forenkle den direkte beregningen av integraler.

Eksempel 5 Regn ut en bestemt integral

Ved å bruke teoremer 4 og 3, og når vi finner antiderivater - tabellintegraler (7) og (6), får vi

Definitiv integral med variabel øvre grense

La f(x) er kontinuerlig i intervallet [ en, b] funksjon, og F(x) er prototypen. Tenk på den bestemte integralen

(47)

og gjennom t integrasjonsvariabelen er angitt for ikke å forveksle den med den øvre grensen. Når det endres X det bestemte integralet (47) endres også, dvs. det er en funksjon av den øvre grensen for integrering X, som vi betegner med F(X), dvs.

(48)

La oss bevise at funksjonen F(X) er antiderivat for f(x) = f(t). Faktisk differensierende F(X), vi får

fordi F(x) er antiderivat for f(x), a F(en) er en konstant verdi.

Funksjon F(X) - en av et uendelig antall antiderivater for f(x), nemlig den som x = en går til null. Dette utsagnet er oppnådd hvis i likhet (48) vi setter x = en og bruk teorem 1 i forrige avsnitt.

Beregning av bestemte integraler ved metoden for integrering av deler og metoden for endring av variabel

hvor, per definisjon, F(x) er antiderivat for f(x). Hvis vi i integranden gjør endringen av variabel

så, i samsvar med formel (16), kan vi skrive

I dette uttrykket

antiderivative funksjon for

Faktisk, dens derivat, ifølge regelen for differensiering av en kompleks funksjon, er lik

La α og β være verdiene til variabelen t, som funksjonen for

tar henholdsvis verdiene en og b, dvs.

Men ifølge Newton-Leibniz-formelen er forskjellen F(b) – F(en) det er

Trapesformet metode

Hovedartikkel:Trapesformet metode

Hvis funksjonen på hvert av delsegmentene er tilnærmet av en rett linje som går gjennom de endelige verdiene, får vi trapesmetoden.

Arealet av trapeset på hvert segment:

Tilnærmingsfeil på hvert segment:

hvor

Full formel trapeser i tilfelle av å dele hele integrasjonsintervallet i segmenter samme lengde :

hvor

Trapesformelfeil:

hvor

Simpson-metoden.

Integrand f(x) erstattes av et interpolasjonspolynom av andre grad P(x)– en parabel som går gjennom tre noder, for eksempel, som vist på figuren ((1) er en funksjon, (2) er et polynom).

Vurder to trinn av integrering ( h= const = x i+1 – x i), det vil si tre noder x0, x1, x2, der vi tegner en parabel ved å bruke Newtons ligning:

La z = x - x0,
deretter

Nå, ved å bruke den oppnådde relasjonen, beregner vi integralet over dette intervallet:

.
Til enhetlig rutenett og likt antall trinn n Simpsons formel blir:

Her , a under forutsetningen at den fjerde deriverte av integranden er kontinuerlig.

[redigere] Økende nøyaktighet

Approksimasjon av en funksjon med ett polynom over hele integrasjonsintervallet fører som regel til stor tabbe ved å estimere verdien av integralet.

For å redusere feilen deles integrasjonssegmentet inn i deler og brukes numerisk metodeå evaluere integralen på hver av dem.

Siden antallet partisjoner har en tendens til uendelig, tenderer estimatet av integralet til dets sann verdi til analytiske funksjoner for enhver numerisk metode.

Metodene ovenfor gir mulighet for en enkel prosedyre for å halvere trinnet, mens det ved hvert trinn er nødvendig å beregne funksjonsverdiene kun ved nylig lagt til noder. Runge-regelen brukes til å estimere beregningsfeilen.

Anvendelse av Runges regel

edit] Estimerer nøyaktigheten av å beregne et bestemt integral

Integralet beregnes ved å bruke den valgte formelen (rektangler, trapeser, Simpsons parabler) med antall trinn lik n, og deretter med antall trinn lik 2n. Feilen ved beregning av verdien av integralet med antall trinn lik 2n bestemmes av Runge-formelen:
, for formlene for rektangler og trapeser, og for Simpson-formelen.
Dermed beregnes integralet for påfølgende verdier antall trinn, hvor n 0 er det innledende antall trinn. Beregningsprosessen avsluttes når neste verdi N vil tilfredsstille betingelsen , hvor ε er den spesifiserte nøyaktigheten.

Funksjoner ved oppførselen til feilen.

Det ser ut til at hvorfor analysere ulike metoder for integrasjon hvis vi kan oppnå høy nøyaktighet ved ganske enkelt å redusere verdien av integrasjonstrinnet. Tenk imidlertid på grafen over oppførselen til a posteriori-feilen R resultater av numerisk beregning avhengig av og fra nummeret n intervallpartisjoner (det vil si ved trinn . I seksjon (1) reduseres feilen på grunn av en reduksjon i trinn h. Men i seksjon (2) begynner beregningsfeilen å dominere, og akkumuleres som et resultat av mange aritmetiske operasjoner. Dermed har hver metode sin egen Rmin, som avhenger av mange faktorer, men først og fremst av a priori-verdien av metodefeilen R.

Forfiningsformelen til Romberg.

Romberg-metoden består i suksessiv foredling av verdien av integralet med en multippel økning i antall partisjoner. Formelen for trapeser med et jevnt trinn kan tas som base h.
Angi integralet med antall partisjoner n= 1 som .
Å redusere trinnet til det halve, får vi .
Hvis vi suksessivt reduserer trinnet med 2n ganger, får vi gjentakelsesforhold for beregning.

Teorem. Hvis funksjonen f(x) integrerbar på intervallet [ a, b], hvor en< b , og for alle x ∈ ulikheten

Ved å bruke ulikhetene fra teoremet kan man estimere det bestemte integralet, dvs. angi grensene som dens betydning er innelukket mellom. Disse ulikhetene uttrykker et estimat for en bestemt integral.

Teorem [middelverditeorem]. Hvis funksjonen f(x) integrerbar på intervallet [ a, b] og for alle x ∈ ulikhetene m ≤ f(x) ≤ M, deretter

hvor m ≤ μ ≤ M.

Kommentar. I tilfellet hvor funksjonen f(x) kontinuerlig på intervallet [ a, b], likheten fra teoremet tar formen

hvor c ∈. Antall μ=f(c) definert av denne formelen kalles gjennomsnitt funksjoner f(x) på segmentet [ a, b]. Denne likheten har følgende geometrisk sans : torget krumlinjet trapes avgrenset av en sammenhengende linje y=f(x) (f(x) ≤ 0) er lik arealet av et rektangel med samme base og en høyde lik ordinaten til et punkt på denne linjen.

Eksistensen av et antiderivat for en kontinuerlig funksjon

Først introduserer vi begrepet et integral med en variabel øvre grense.

La funksjonen f(x) integrerbar på intervallet [ a, b]. Så uansett antall x fra [ a, b], funksjon f(x) integrerbar på intervallet [ a, b]. Derfor, på segmentet [ a, b] funksjon definert

som kalles et integral med variabel øvre grense.

Teorem. Hvis integranden er kontinuerlig på intervallet [ a, b], så eksisterer den deriverte av et bestemt integral med en variabel øvre grense og er lik verdien av integranden for denne grensen, dvs.

Konsekvens. Det bestemte integralet med en variabel øvre grense er en av antiderivatene for en kontinuerlig integrand. Med andre ord, for enhver funksjon som er kontinuerlig på et intervall, eksisterer det en antiderivert.

Merknad 1. Merk at hvis funksjonen f(x) integrerbar på intervallet [ a, b], så er integralet med en variabel øvre grense en kontinuerlig funksjon av den øvre grensen på dette segmentet. Faktisk, fra St. 2 og middelverditeoremet har vi

Merknad 2. Integralet med en variabel øvre grense for integrasjon brukes i definisjonen av mange nye funksjoner, for eksempel, . Disse funksjonene er ikke elementære; som allerede nevnt, kan ikke antiderivatene til de angitte integrandene uttrykkes i form av elementære funksjoner.

Grunnleggende integreringsregler

Newton-Leibniz formel

Siden noen to antiderivative funksjoner f(x) avvike med en konstant, så, i henhold til forrige teorem, kan det hevdes at ethvert antiderivat Φ(x) kontinuerlig på segmentet [ a, b] funksjoner f(x) har formen

hvor C er noe konstant.

Setter inn denne formelen x=a og x=b, ved å bruke St.1 bestemte integraler, finner vi

Av disse likhetene følger forholdet

som kalles Newton-Leibniz formel.

Dermed har vi bevist følgende teorem:

Teorem. Det definitive integralet til en kontinuerlig funksjon er lik forskjellen mellom verdiene til noen av dens antiderivater for øvre og nedre integrasjonsgrenser.

Newton-Leibniz-formelen kan skrives om som

Endring av variabel i et bestemt integral

Teorem. Hvis en

• funksjon f(x) kontinuerlig på intervallet [ a, b];
• linjestykke [ a, b] er settet med funksjonsverdier φ(t) definert på intervallet α ≤ t ≤ β og har en kontinuerlig derivativ på seg;
• φ(α)=a, φ(β)=b

da er formelen gyldig

Formel for integrering etter deler

Teorem. Hvis funksjoner u=u(x), v=v(x) ha kontinuerlige deriverte på intervallet [ a, b], deretter formelen

Gjennomsnittsteorem. Hvis f(x) er kontinuerlig på segmentet, eksisterer det et punkt slik at . Dok. En funksjon som er kontinuerlig på et segment tar sine minste m og største M-verdier på dette segmentet. Deretter . Antall er mellom minimums- og maksimumsverdiene for funksjonen på intervallet. En av egenskapene til en funksjon kontinuerlig på et intervall er at denne funksjonen har en hvilken som helst verdi mellom m og M. Dermed er det et punkt slik at . Denne egenskapen har en enkel geometrisk tolkning: hvis den er kontinuerlig på segmentet, er det et punkt slik at arealet til den krumlinjede trapesen ABCD er lik arealet av rektangelet med base og høyde f(c) ( uthevet i figuren).

7. Integrert med variabel øvre grense. Dens kontinuitet og differensierbarhet.

Tenk på en funksjon f (x) som er Riemann-integrerbar på intervallet . Siden den er integrerbar på , så er den også integrerbar på ∀x ∈ . Så for hver x ∈ gir uttrykket mening, og for hver x er det lik et eller annet tall.

Dermed er hver x ∈ assosiert med et tall ,

de. funksjonen er gitt:

(3.1)

Definisjon:

Funksjonen F (x) gitt i (3.1), samt selve uttrykket, kalles

integrert med variabel øvre grense. Det er definert på hele segmentet

integrerbarhet av funksjonen f (x).

Betingelse: f (t) er kontinuerlig på , og funksjonen F (x) er gitt ved formel (3.1).

Utsagn: Funksjonen F(x) er differensierbar på , og F (x) = f (x).

(Ved a er det høyre differensierbart, og ved b er det venstre differensierbart.)

Bevis:

Siden for en funksjon av en variabel F (x) er differensiabilitet ekvivalent med eksistensen av en derivert på alle punkter (i punkt a til høyre og ved punkt b til venstre), så vil vi finne den deriverte F (x) . Vurder forskjellen

På denne måten,

dessuten ligger punktet ξ på segmentet (eller hvis ∆x< 0).

Husk nå at den deriverte av funksjonen F(x) i et gitt punkt x ∈ er lik grensen for forskjellsrelasjonen: . Fra likestilling har vi:

,

Ved å la ∆x → 0 nå, på venstre side av denne likheten får vi F’(x), og til høyre

Husk definisjonen av kontinuiteten til funksjonen f (t) i punktet x:

La x1 være lik ξ i denne definisjonen. Siden ξ ∈ (ξ ∈ ) og

∆x → 0, deretter |x − ξ| → 0, og ved definisjonen av kontinuitet, f (ξ) → f (x). Derfor har vi:

F'(x) = f(x).

Konsekvens:

Tilstand: f (x) er kontinuerlig på .

Utsagn: Enhver antiderivert av funksjonen f (x) har formen

hvor C ∈ R er en konstant.

Bevis. Ved teorem 3.1, funksjonen er en prototype for f(x). Anta at G(x) er et annet antiderivat f (x). Da har G'(x) = f(x) og for funksjonen F(x) − G(x) har vi: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Derfor er den deriverte av funksjonen F (x)−G (x)

er lik null, derfor er denne funksjonen en konstant: F(x) − G(x) = konst.

8. Newton-Leibniz formel for en bestemt integral.

Teorem:

Tilstand: f(t) er kontinuerlig på , og F(x) er et hvilket som helst antiderivat.

Uttalelse:

Bevis: Tenk på noen antideriverte F (x) av funksjonen f (x). I følge konsekvensen fra teoremet "Om differensierbarheten til et integral med en variabel øvre grense" (se forrige spørsmål), har den formen . Herfra

=> c= F(en) , og

Vi flytter F(a) i den siste likningen til venstre side, som ombetegner integrasjonsvariabel igjen gjennom x og få Newton-Leibniz-formelen:

Anvendt verdi middelverditeoremer består i muligheten for å få et kvalitativt estimat av verdien av et visst integral uten å beregne det. Vi formulerer : hvis funksjonen er kontinuerlig på intervallet, så er det innenfor dette intervallet et slikt punkt at .

Denne formelen er ganske egnet for et grovt estimat av integralet til en kompleks eller tungvint funksjon. Det eneste øyeblikket som gjør formelen tilnærmet , er en nødvendighet selvvalg poeng. Hvis vi tar den enkleste veien - midten av integrasjonsintervallet (som foreslått i en rekke lærebøker), så kan feilen være ganske betydelig. For mer eksakt resultat anbefale utfør beregningen i følgende rekkefølge:

Konstruer en funksjonsgraf på intervallet;

Tegn den øvre kanten av rektangelet på en slik måte at de avskårne delene av grafen til funksjonen er omtrent lik i areal (dette er nøyaktig hvordan det er vist i figuren ovenfor - to krumlinjede trekanter er nesten like);

Bestem fra figur ;

Bruk middelverditeoremet.

Som et eksempel, la oss beregne en enkel integral:

Eksakt verdi ;

For midten av intervallet vi vil også få en omtrentlig verdi , dvs. klart unøyaktig resultat;

Etter å ha bygget en graf med tegning av oversiden av rektangelet i samsvar med anbefalingene, får vi , hvorfra og den omtrentlige verdien av . Ganske tilfredsstillende resultat, feilen er 0,75 %.

Trapesformel

Nøyaktigheten av beregninger ved bruk av middelverditeoremet avhenger i hovedsak, som det ble vist, av visuelle formål punktdiagram. Faktisk, ved å velge, i samme eksempel, poeng eller , kan du få andre verdier av integralet, og feilen kan øke. Subjektive faktorer, grafens skala og kvaliteten på tegningen påvirker resultatet i stor grad. den uakseptabelt i kritiske beregninger, så gjelder middelverdisetningen kun for rask kvalitet integrerte estimater.

I denne delen vil vi vurdere en av de mest populære metodene for omtrentlig integrasjon - trapesformel . Den grunnleggende ideen om å konstruere denne formelen kommer fra det faktum at kurven omtrent kan erstattes av en brutt linje, som vist i figuren.

La oss for nøyaktighetens skyld (og i samsvar med figuren) anta at integrasjonsintervallet er delt inn i lik (dette er valgfritt, men veldig praktisk) deler. Lengden på hver av disse delene beregnes av formelen og kalles steg . Abscissen til delpunktene, hvis spesifisert, bestemmes av formelen , hvor . Det er enkelt å beregne ordinater fra kjente abscisser. På denne måten,

Dette er trapesformelen for saken. Merk at det første leddet i parentes er halvsummen av de innledende og siste ordinatene, som alle mellomliggende ordinater legges til. For et vilkårlig antall partisjoner av integrasjonsintervallet generell formel trapes ser ut som: kvadraturformler: rektangler, simpson, gauss, etc. De er bygget på den samme ideen om å representere en krumlinjet trapes av elementære områder ulike former, derfor, etter å ha mestret trapesformelen, vil det ikke være vanskelig å forstå lignende formler. Mange formler er ikke så enkle som trapesformelen, men lar deg få et resultat med høy nøyaktighet med et lite antall partisjoner.

Ved hjelp av trapesformelen (eller lignende) er det mulig å beregne, med den nøyaktigheten som kreves i praksis, både "ikke-takende" integraler og integraler av komplekse eller tungvinte funksjoner.