sammendrag andre presentasjoner

"Metoder for å løse systemer av lineære ligninger" - Ligning. Uttrykk. Måter å løse systemer på lineære ligninger. Løsninger. Substitusjonsmetode. Antall. Løs systemer. La oss finne. Tilleggsmetode. La oss løse systemet.

"Faktoreringsmetoder" - Forkortelse algebraiske brøker. Løs ligningen. Faktorisering av polynomer. Identiteter. Hovedresultater. Faktorisering av et polynom ved hjelp av en kombinasjon. La oss vurdere en annen situasjon. Vi bruker dekomponeringen av polynomet i faktorer. størst felles deler koeffisienter. Faktorisering av et polynom ved hjelp av formler. Å ta den felles faktoren ut av parentes. Factoring er en nyttig ting.

""Grader" Grade 7" - Løs ligningene. Finn i likestilling K. Express som grad. Regne ut. Nummer 625. Mental konto. Uttrykk uttrykket som potens med grunntall 7. Skriv inn standard skjema. Grad egenskaper med naturlig indikator. Ligning med modul. Løs problemet. Nummer 64. Leksjonsfremgang. Leksjonsmål. Nummer 729. Prøvearbeid.

"Standard form of a monomial" - Les uttrykkene. Vi bruker de kommutative og assosiative lovene for multiplikasjon. På pulten. Produktet av tall. Tilstede som en grad. Det som kalles graden av et monomial. Konsolidering av nytt materiale. Eksponent. Koeffisienter. Konsolidering. Praktisk jobb. Monomial. Fyll bordet. Databehandlingsferdigheter til studenter. Selvstendig arbeid. Se nøye. Monomial og dens standardform.

"Egenskaper av en grad med en naturlig indikator" - Epigraf av leksjonen. Eksponentiasjonstilfeller. Historie. Fysisk kultur. Biologi. Egenskaper av en grad med en naturlig eksponent. Uttrykke uttrykk som krefter. Redaksjonell. Pythagoras. Geografi. Stoffet ble gjentatt i klassen. Tankegymnastikk.

"Multiplikasjon av polynomer" Grad 7 "- Multipliser et polynom med et polynom. Multiplikasjon av polynomer. Hjemmelekser. Leksjonsmål. Polynom multiplikasjonsalgoritme. Multiplikasjon av et polynom med et monom. Regel. Leksjon om emnet "Multiplikasjon av polynomer." Oppgavearbeid. muntlig arbeid.

La oss vurdere temaet om å transformere uttrykk med makter, men først vil vi dvele ved en rekke transformasjoner som kan utføres med alle uttrykk, inkludert kraftuttrykk. Vi vil lære å åpne parentes, ta med som vilkår, arbeid med grunntall og eksponent, bruk egenskapene til grader.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hva er kraftuttrykk?

PÅ skolekurs få bruker uttrykket "kraftuttrykk", men dette begrepet finnes stadig i samlinger for forberedelse til eksamen. I de fleste tilfeller angir uttrykket uttrykk som inneholder grader i oppføringene. Det er dette vi vil reflektere i vår definisjon.

Definisjon 1

Kraftuttrykk er et uttrykk som inneholder krefter.

Vi gir flere eksempler på maktuttrykk, starter med en grad med en naturlig eksponent og slutter med en grad med reell indikator.

De enkleste potensuttrykkene kan betraktes som potenser av et tall med en naturlig eksponent: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Samt potenser med null eksponent: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Og grader med heltall negative krefter: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Det er litt vanskeligere å jobbe med en grad som har rasjonelle og irrasjonelle eksponenter: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikatoren kan være en variabel 3 x - 54 - 7 3 x - 58 eller en logaritme x 2 l g x − 5 x l g x.

Vi har behandlet spørsmålet om hva maktuttrykk er. La oss nå ta en titt på deres transformasjon.

Hovedtyper av transformasjoner av maktuttrykk

Først og fremst vil vi vurdere de grunnleggende identitetstransformasjonene av uttrykk som kan utføres med maktuttrykk.

Eksempel 1

Beregn kraftuttrykksverdi 2 3 (4 2 - 12).

Løsning

Vi vil utføre alle transformasjoner i samsvar med handlingsrekkefølgen. PÅ denne saken Vi starter med å gjøre parentesene: vi erstatter eksponenten med en numerisk verdi og beregner forskjellen mellom de to tallene. Vi har 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Det gjenstår for oss å erstatte graden 2 3 dets mening 8 og beregne produktet 8 4 = 32. Her er svaret vårt.

Svar: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

Eksempel 2

Forenkle uttrykk med krefter 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Løsning

Uttrykket gitt til oss i tilstanden til problemet inneholder lignende termer, som vi kan ta med: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Svar: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Eksempel 3

Uttrykk et uttrykk med potensene 9 - b 3 · π - 1 2 som et produkt.

Løsning

La oss representere tallet 9 som en potens 3 2 og bruk den forkortede multiplikasjonsformelen:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Svar: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

Og la oss nå gå videre til analysen identiske transformasjoner, som kan brukes spesifikt på kraftuttrykk.

Arbeid med base og eksponent

Graden i grunntallet eller eksponenten kan ha tall, variabler og noen uttrykk. For eksempel, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 og . Det er vanskelig å jobbe med slike poster. Det er mye lettere å erstatte uttrykket i basisen av graden eller uttrykket i eksponenten identisk likt uttrykk.

Transformasjonene av graden og indikatoren utføres i henhold til reglene kjent for oss separat fra hverandre. Det viktigste er at man som følge av transformasjonene får et uttrykk som er identisk med det opprinnelige.

Hensikten med transformasjoner er å forenkle det opprinnelige uttrykket eller å få en løsning på problemet. For eksempel, i eksemplet vi ga ovenfor, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 kan du utføre operasjoner for å gå til graden 4 , 1 1 , 3 . Ved å åpne parentesene kan vi ta med lignende termer i bunnen av graden (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) og få et kraftuttrykk over Enkel form a 2 (x + 1).

Bruke strømegenskaper

Egenskapene til grader, skrevet som likheter, er et av hovedverktøyene for å transformere uttrykk med grader. Vi presenterer her de viktigste, med tanke på det en og b er eventuelle positive tall, og r og s- vilkårlige reelle tall:

Definisjon 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s .

I tilfeller hvor vi har å gjøre med naturlige, heltall, positive eksponenter, kan begrensningene for tallene a og b være mye mindre strenge. Så for eksempel hvis vi vurderer likestillingen a m a n = a m + n, hvor m og n er naturlige tall, vil det være sant for alle verdier av a, både positive og negative, så vel som for a = 0.

Du kan bruke egenskapene til grader uten begrensninger i tilfeller der basene til gradene er positive eller inneholder variabler, arealet tillatte verdier som er slik at på det grunnlag aksepterer bare positive verdier. Faktisk innenfor skolepensum i matematikk er oppgaven til eleven å velge riktig egenskap og bruke den riktig.

Ved forberedelse til opptak til universiteter kan det være oppgaver der unøyaktig anvendelse av eiendommer vil føre til en innsnevring av ODZ og andre vanskeligheter med løsningen. PÅ denne seksjonen Vi vil kun vurdere to slike tilfeller. Mer informasjon om emnet finner du i emnet "Transformere uttrykk ved bruk av eksponentegenskaper".

Eksempel 4

Representer uttrykket a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 som en grad med en base en.

Løsning

Til å begynne med bruker vi eksponentieringsegenskapen og transformerer den andre faktoren ved å bruke den (a 2) − 3. Deretter bruker vi egenskapene til multiplikasjon og deling av potenser med samme grunntall:

a 2 , 5 a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5, 5 ) = a 2 .

Svar: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformasjonen av kraftuttrykk i henhold til egenskapen til grader kan gjøres både fra venstre til høyre og i motsatt retning.

Eksempel 5

Finn verdien av potensuttrykket 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Løsning

Hvis vi anvender likestillingen (a b) r = a r b r, fra høyre til venstre, så får vi et produkt av formen 3 7 1 3 21 2 3 og deretter 21 1 3 21 2 3 . Vi legger til eksponentene når vi multipliserer potensene med samme begrunnelse: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

Det er en annen måte å gjøre transformasjoner på:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Svar: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Eksempel 6

Gitt et kraftuttrykk a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, skriv inn en ny variabel t = a 0, 5.

Løsning

Tenk deg graden en 1, 5 hvordan en 0, 5 3. Bruk av graden egenskap i en grad (a r) s = a r s fra høyre til venstre og få (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . I det resulterende uttrykket kan du enkelt introdusere en ny variabel t = a 0, 5: få t 3 − t − 6.

Svar: t 3 − t − 6 .

Konvertering av brøker som inneholder potenser

Vi tar vanligvis for oss to varianter av potensuttrykk med brøk: uttrykket er en brøk med en grad eller inneholder en slik brøk. Alle grunnleggende brøktransformasjoner kan brukes på slike uttrykk uten begrensninger. De kan reduseres, bringes til en ny nevner, jobbe separat med teller og nevner. La oss illustrere dette med eksempler.

Eksempel 7

Forenkle kraftuttrykket 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2.

Løsning

Vi har å gjøre med en brøk, så vi vil utføre transformasjoner i både telleren og nevneren:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Sett et minus foran brøken for å endre fortegnet til nevneren: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Svar: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Brøker som inneholder potenser reduseres til en ny nevner på samme måte som rasjonelle brøker. For å gjøre dette, må du finne en tilleggsfaktor og multiplisere telleren og nevneren til brøken med den. Det er nødvendig å velge en tilleggsfaktor på en slik måte at den ikke forsvinner for noen verdier av variablene fra ODZ-variablene for det opprinnelige uttrykket.

Eksempel 8

Bring brøkene til en ny nevner: a) a + 1 a 0, 7 til nevneren en, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 til nevneren x + 8 y 1 2 .

Løsning

a) Vi velger en faktor som gjør at vi kan redusere til en ny nevner. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , derfor, som en tilleggsfaktor, tar vi en 0, 3. Utvalget av akseptable verdier for variabelen a inkluderer settet med alle positive reelle tall. På dette området er graden en 0, 3 går ikke i null.

La oss gange telleren og nevneren til en brøk med en 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Vær oppmerksom på nevneren:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Multipliser dette uttrykket med x 1 3 + 2 · y 1 6 , vi får summen av terninger x 1 3 og 2 · y 1 6 , dvs. x + 8 · y 1 2 . Dette er vår nye nevner, som vi må bringe den opprinnelige brøken til.

Så vi fant en ekstra faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . På utvalget av akseptable verdier av variabler x og y uttrykket x 1 3 + 2 y 1 6 forsvinner ikke, så vi kan multiplisere telleren og nevneren til brøken med det:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Svar: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2.

Eksempel 9

Reduser brøken: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Løsning

a) Bruk den største fellesnevneren (GCD) som telleren og nevneren kan reduseres med. For tallene 30 og 45 er dette 15 . Vi kan også redusere x 0, 5 + 1 og på x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Vi får:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Her tilstedeværelsen samme multiplikatorer ikke tydelig. Du må utføre noen transformasjoner for å få de samme faktorene i telleren og nevneren. For å gjøre dette utvider vi nevneren ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Svar: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0, 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

Hovedoperasjonene med brøker inkluderer reduksjon til ny nevner og reduksjon av brøker. Begge handlingene utføres i samsvar med en rekke regler. Når man legger til og trekker fra brøker reduseres først brøkene til fellesnevner, hvoretter operasjoner (addisjon eller subtraksjon) utføres med tellere. Nevneren forblir den samme. Resultatet av våre handlinger er en ny brøk, hvis teller er produktet av tellerne, og nevneren er produktet av nevnerne.

Eksempel 10

Utfør trinnene x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2.

Løsning

La oss starte med å trekke fra brøkene som står i parentes. La oss bringe dem til en fellesnevner:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

La oss trekke fra tellerne:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nå multipliserer vi brøker:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

La oss redusere med en grad x 1 2, får vi 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

I tillegg kan du forenkle potensuttrykket i nevneren ved å bruke formelen for forskjellen mellom kvadrater: kvadrater: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Svar: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Eksempel 11

Forenkle potensuttrykket x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Løsning

Vi kan redusere brøken med (x 2 , 7 + 1) 2. Vi får en brøk x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

La oss fortsette transformasjoner av x potenser x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Nå kan du bruke kraftdelingsegenskapen med de samme basene: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

Går fra siste arbeid til brøken x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Svar: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Multiplikatorer med negative indikatorer grader i de fleste tilfeller er det mer praktisk å overføre fra telleren til nevneren og omvendt, og endre fortegnet til eksponenten. Denne handlingen forenkler den videre beslutningen. La oss gi et eksempel: potensuttrykket (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 kan erstattes med x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Konvertering av uttrykk med røtter og krefter

I oppgaver er det maktuttrykk som inneholder ikke bare makter med brøkindikatorer men også røttene. Det er ønskelig å redusere slike uttrykk bare til røtter eller kun til makter. Overgangen til grader er å foretrekke, siden de er lettere å jobbe med. En slik overgang er spesielt fordelaktig når DPV av variablene for det opprinnelige uttrykket lar deg erstatte røttene med potenser uten å måtte få tilgang til modulen eller dele DPV i flere intervaller.

Eksempel 12

Uttrykk uttrykket x 1 9 x x 3 6 som potens.

Løsning

Gyldig område for en variabel x bestemmes av to ulikheter x ≥ 0 og x · x 3 ≥ 0 , som definerer settet [ 0 , + ∞) .

På dette settet har vi rett til å flytte fra røtter til makter:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Ved å bruke egenskapene til grader forenkler vi det resulterende kraftuttrykket.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Svar: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Konvertering av potenser med variabler i eksponenten

Disse transformasjonene er ganske enkle å gjøre hvis du bruker gradens egenskaper riktig. For eksempel, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Vi kan erstatte produktet av graden, der summen av en variabel og et tall finnes. På venstre side kan dette gjøres med første og siste ledd på venstre side av uttrykket:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

La oss nå dele begge sider av ligningen med 7 2 x. Dette uttrykket på ODZ av variabelen x tar bare positive verdier:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

La oss redusere brøkene med potenser, vi får: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Til slutt er forholdet mellom potenser med samme eksponenter erstattet med potenser av forhold, noe som fører til ligningen 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , som tilsvarer 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

La oss introdusere en ny variabel t = 5 7 x , som reduserer løsningen til originalen eksponentiell ligning til en beslutning kvadratisk ligning 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Konvertering av uttrykk med potenser og logaritmer

Uttrykk som inneholder potenser og logaritmer finnes også i oppgaver. Eksempler på slike uttrykk er: 1 4 1 - 5 log 2 3 eller log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformasjonen av slike uttrykk utføres ved å bruke tilnærmingene diskutert ovenfor og egenskapene til logaritmer, som vi har analysert i detalj i emnet "Transformasjon av logaritmiske uttrykk".

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Uttrykk, uttrykkskonvertering

Kraftuttrykk(uttrykk med krefter) og deres transformasjon

I denne artikkelen vil vi snakke om å transformere uttrykk med krefter. Først vil vi fokusere på transformasjoner som utføres med uttrykk av noe slag, inkludert kraftuttrykk, for eksempel åpning av parenteser, redusering av lignende termer. Og så vil vi analysere transformasjonene som er iboende spesifikt i uttrykk med grader: arbeide med basen og eksponenten, bruke egenskapene til grader, etc.

Sidenavigering.

Hva er kraftuttrykk?

Begrepet "maktuttrykk" finnes praktisk talt ikke i skolens lærebøker i matematikk, men det dukker ofte opp i oppgavesamlinger, spesielt designet for å forberede seg til Unified State Examination og OGE, for eksempel. Etter å ha analysert oppgaver der det kreves å utføre handlinger med maktuttrykk, blir det klart at maktuttrykk forstås som uttrykk som inneholder grader i sine oppføringer. Derfor, for deg selv, kan du ta følgende definisjon:

Definisjon.

Kraftuttrykk er uttrykk som inneholder krefter.

La oss ta med eksempler på maktuttrykk. Dessuten vil vi representere dem etter hvordan utviklingen av syn på fra en grad med en naturlig indikator til en grad med en reell indikator foregår.

Som du vet, blir du først kjent med graden av et tall med en naturlig eksponent, på dette stadiet de første enkleste potensuttrykkene av typen 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 osv.

Litt senere studeres potensen til et tall med en heltallseksponent, noe som fører til utseendet til potensuttrykk med negative heltallskrefter, som følgende: 3 −2, , a -2 +2 b -3 + c2.

I seniorklassene går de tilbake til gradene igjen. Det er innført en grad med rasjonell indikator, som fører til utseendet til de tilsvarende kraftuttrykkene: , , etc. Til slutt vurderes grader med irrasjonelle eksponenter og uttrykk som inneholder dem: , .

Saken er ikke begrenset til de oppførte potensuttrykkene: videre trenger variabelen inn i eksponenten, og det er for eksempel slike uttrykk 2 x 2 +1 eller . Og etter å ha blitt kjent med, begynner uttrykk med potenser og logaritmer å dukke opp, for eksempel x 2 lgx −5 x lgx.

Så vi fant ut spørsmålet om hva som er maktuttrykk. Deretter vil vi lære hvordan du forvandler dem.

Hovedtyper av transformasjoner av maktuttrykk

Med maktuttrykk kan du utføre hvilken som helst av de grunnleggende identitetstransformasjonene til uttrykk. For eksempel kan du åpne braketter, erstatte numeriske uttrykk deres verdier, bringe lignende vilkår osv. Naturligvis er det i dette tilfellet nødvendig å følge den aksepterte prosedyren for å utføre handlinger. La oss gi eksempler.

Eksempel.

Regn ut verdien av potensuttrykket 2 3 ·(4 2 −12) .

Løsning.

I henhold til rekkefølgen på handlingene utfører vi først handlingene i parentes. Der erstatter vi for det første potensen 4 2 med verdien 16 (se om nødvendig), og for det andre beregner vi differansen 16−12=4 . Vi har 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

I det resulterende uttrykket erstatter vi potensen 2 3 med verdien 8 , hvoretter vi beregner produktet 8·4=32 . Dette er ønsket verdi.

Så, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Svar:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Eksempel.

Forenkle kraftuttrykk 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Løsning.

Dette uttrykket inneholder selvsagt lignende ledd 3 · a 4 · b − 7 og 2 · a 4 · b − 7 , og vi kan redusere dem: .

Svar:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Eksempel.

Uttrykk et uttrykk med krefter som et produkt.

Løsning.

For å takle oppgaven tillater representasjonen av tallet 9 som en potens av 3 2 og den påfølgende bruken av den forkortede multiplikasjonsformelen, forskjellen mellom kvadrater:

Svar:

Det er også en rekke identiske transformasjoner som ligger i maktuttrykk. Deretter vil vi analysere dem.

Arbeid med base og eksponent

Det er grader, i grunnlaget og / eller indikatoren som ikke bare er tall eller variabler, men noen uttrykk. Som et eksempel, la oss skrive (2+0,3 7) 5−3,7 og (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Når man arbeider med slike uttrykk, er det mulig å erstatte både uttrykket i gradens basis og uttrykket i indikatoren med et identisk likt uttrykk på DPV av dens variabler. Med andre ord, i henhold til reglene som er kjent for oss, kan vi separat konvertere bunnen av graden, og separat - indikatoren. Det er klart at som et resultat av denne transformasjonen oppnås et uttrykk som er identisk likt det opprinnelige.

Slike transformasjoner lar oss forenkle uttrykk med krefter eller oppnå andre mål vi trenger. For eksempel, i potensuttrykket (2+0,3 7) 5−3,7 nevnt ovenfor, kan du utføre operasjoner med tall i grunntallet og eksponenten, som lar deg gå til potensen 4,1 1,3. Og etter å ha åpnet parentesene og ført like ledd i gradens basis (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) får vi et potensuttrykk av en enklere form a 2·(x+1 ).

Bruke strømegenskaper

Et av hovedverktøyene for å transformere uttrykk med krefter er likheter som reflekterer . La oss huske de viktigste. For enhver positive tall a og b og vilkårlige reelle tall r og s er gyldige følgende egenskaper grader:

• a r a s =a r+s;
• a r:a s =a r−s;
• (a b) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r;
• (a r) s =a r s .

Legg merke til at for naturlige, heltalls- og positive eksponenter kan det hende at begrensningene for tallene a og b ikke er så strenge. For eksempel for naturlige tall m og n er likheten a m ·a n =a m+n sann ikke bare for positive a , men også for negative, og for a=0 .

På skolen er hovedoppmerksomheten i transformasjonen av kraftuttrykk fokusert nettopp på evnen til å velge riktig egenskap og bruke den riktig. I dette tilfellet er basene til gradene vanligvis positive, noe som lar deg bruke egenskapene til gradene uten begrensninger. Det samme gjelder for transformasjon av uttrykk som inneholder variabler i graderbasene - utvalget av akseptable verdier for variabler er vanligvis slik at basene bare tar positive verdier på det, noe som lar deg fritt bruke egenskapene av grader. Generelt må du hele tiden spørre deg selv om det er mulig å bruke en hvilken som helst egenskap av grader i dette tilfellet, fordi unøyaktig bruk av egenskaper kan føre til en innsnevring av ODZ og andre problemer. Disse punktene diskuteres i detalj og med eksempler i artikkelen transformasjon av uttrykk ved bruk av egenskaper til grader. Her begrenser vi oss til noen få enkle eksempler.

Eksempel.

Uttrykk uttrykket a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 som potens med grunntall a .

Løsning.

Først transformerer vi den andre faktoren (a 2) −3 ved egenskapen å heve en potens til en potens: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. I dette tilfellet vil det innledende potensuttrykket ha formen a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Åpenbart gjenstår det å bruke egenskapene til multiplikasjon og deling av potenser med samme base, vi har
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Svar:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Potensegenskaper brukes ved transformering av potensuttrykk både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre.

Eksempel.

Finn verdien av kraftuttrykket.

Løsning.

Likhet (a·b) r =a r ·b r , brukt fra høyre til venstre, lar deg gå fra det opprinnelige uttrykket til produktet av formen og videre. Og når du multipliserer potenser med samme base, summerer indikatorene: .

Det var mulig å utføre transformasjonen av det opprinnelige uttrykket på en annen måte:

Svar:

.

Eksempel.

Gitt et potensuttrykk a 1,5 −a 0,5 −6, skriv inn en ny variabel t=a 0,5.

Løsning.

Graden a 1,5 kan representeres som en 0,5 3 og videre på grunnlag av egenskapen til graden i graden (a r) s =a r s brukt fra høyre til venstre, konverter den til formen (a 0,5) 3 . På denne måten, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Nå er det lett å introdusere en ny variabel t=a 0.5 , vi får t 3 −t−6 .

Svar:

t 3 −t−6 .

Konvertering av brøker som inneholder potenser

Potensuttrykk kan inneholde brøker med potenser eller representere slike brøker. Enhver av de grunnleggende brøktransformasjonene som er iboende i brøker av noe slag er fullt anvendelige for slike brøker. Det vil si at brøker som inneholder grader kan reduseres, reduseres til en ny nevner, jobbe separat med telleren sin og separat med nevneren osv. For å illustrere ordene ovenfor, vurder løsningene til flere eksempler.

Eksempel.

Forenkle kraftuttrykk .

Løsning.

Dette kraftuttrykket er en brøkdel. La oss jobbe med telleren og nevneren. I telleren åpner vi parentesene og forenkler uttrykket oppnådd etter det ved å bruke egenskapene til potenser, og i nevneren presenterer vi lignende termer:

Og vi endrer også fortegnet på nevneren ved å sette et minus foran brøken: .

Svar:

.

Reduksjon av inneholdende potenser av brøker til en ny nevner utføres på samme måte som reduksjon til en ny nevner rasjonelle brøker. Samtidig blir det også funnet en tilleggsfaktor og telleren og nevneren til brøken multipliseres med den. Når du utfører denne handlingen, er det verdt å huske at reduksjon til en ny nevner kan føre til en innsnevring av DPV. For å forhindre at dette skjer, er det nødvendig at tilleggsfaktoren ikke forsvinner for noen verdier av variablene fra ODZ-variablene for det opprinnelige uttrykket.

Eksempel.

Bring brøkene til en ny nevner: a) til nevneren a, b) til nevneren.

Løsning.

a) I dette tilfellet er det ganske enkelt å finne ut hvilken tilleggsfaktor som bidrar til å oppnå ønsket resultat. Dette er en multiplikator a 0,3, siden a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Legg merke til at på området av akseptable verdier for variabelen a (dette er settet av alle positive reelle tall), forsvinner ikke graden a 0,3, derfor har vi rett til å multiplisere telleren og nevneren for den gitte brøken av denne tilleggsfaktoren:

b) Ser vi nærmere på nevneren, finner vi det

og multiplisere dette uttrykket med vil gi summen av terninger og , det vil si . Og dette er den nye nevneren som vi må bringe den opprinnelige brøken til.

Så vi fant en tilleggsfaktor. Uttrykket forsvinner ikke i området av akseptable verdier til variablene x og y, derfor kan vi multiplisere telleren og nevneren til brøken med det:

Svar:

en) , b) .

Det er heller ikke noe nytt i reduksjonen av brøker som inneholder grader: telleren og nevneren er representert som et visst antall faktorer, og de samme faktorene til telleren og nevneren reduseres.

Eksempel.

Reduser brøken: a) , b).

Løsning.

a) Først kan telleren og nevneren reduseres med tallene 30 og 45, som tilsvarer 15. Du kan selvsagt også redusere med x 0,5 +1 og med . Her er hva vi har:

b) I dette tilfellet er ikke de samme faktorene i telleren og nevneren umiddelbart synlige. For å få dem, må du utføre foreløpige transformasjoner. I dette tilfellet består de i å dekomponere nevneren i faktorer i henhold til formelen for forskjellen på kvadrater:

Svar:

en)

b) .

Å redusere brøker til en ny nevner og å redusere brøker brukes hovedsakelig til å utføre operasjoner på brøker. Handlinger utføres iht kjente regler. Når man legger til (subtraherer) brøker, reduseres de til en fellesnevner, hvoretter tellerne adderes (trekkes fra), og nevneren forblir den samme. Resultatet er en brøk hvis teller er produktet av tellerne, og nevneren er produktet av nevnerne. Divisjon med en brøk er multiplikasjon med dens resiproke.

Eksempel.

Følg stegene .

Løsning.

Først trekker vi fra brøkene i parentes. For å gjøre dette bringer vi dem til en fellesnevner, som er , trekk fra tellerne:

Nå multipliserer vi brøker:

Åpenbart er en reduksjon med kraften x 1/2 mulig, etter det har vi .

Du kan også forenkle potensuttrykket i nevneren ved å bruke formelen for kvadratforskjellen: .

Svar:

Eksempel.

Forenkle kraftuttrykk .

Løsning.

Åpenbart, gitt brøk kan reduseres med (x 2,7 +1) 2, dette gir en brøk . Det er klart at noe annet må gjøres med potensene til x. For å gjøre dette konverterer vi den resulterende brøken til et produkt. Dette gir oss muligheten til å bruke egenskapen til å dele potenser med samme grunnlag: . Og på slutten av prosessen går vi fra det siste produktet til fraksjonen.

Svar:

.

Og vi legger til at det er mulig og i mange tilfeller ønskelig å overføre faktorer med negative eksponenter fra telleren til nevneren eller fra nevneren til telleren ved å endre eksponentens fortegn. Slike transformasjoner forenkler ofte ytterligere handlinger. For eksempel kan et potensuttrykk erstattes med .

Konvertering av uttrykk med røtter og krefter

Ofte i uttrykk der det kreves noen transformasjoner, sammen med grader med brøkeksponenter, er det også røtter. Å konvertere et slikt uttrykk til den rette typen, i de fleste tilfeller er det nok å gå bare til røtter eller bare til makter. Men siden det er mer praktisk å jobbe med grader, beveger de seg vanligvis fra røtter til grader. Det er imidlertid tilrådelig å utføre en slik overgang når ODZ av variabler for det opprinnelige uttrykket lar deg erstatte røttene med grader uten å måtte få tilgang til modulen eller dele ODZ i flere intervaller (vi diskuterte dette i detalj i artikkel, overgangen fra røtter til makter og omvendt Etter å ha blitt kjent med graden med en rasjonell eksponent, introduseres en grad med en irrasjonell indikator, som gjør det mulig å snakke om en grad med en vilkårlig reell indikator. På dette stadiet, skolen begynner å studere eksponentiell funksjon , som er analytisk gitt av graden, på grunnlag av hvilken det er et tall, og i indikatoren - en variabel. Så vi står overfor maktuttrykk som inneholder tall i basisen av graden, og i eksponenten - uttrykk med variabler, og naturlig nok oppstår behovet for å utføre transformasjoner av slike uttrykk.

Det skal sies at transformasjonen av uttrykk spesifisert type må vanligvis gjøres når man bestemmer seg eksponentielle ligninger og eksponentielle ulikheter , og disse transformasjonene er ganske enkle. I de aller fleste tilfeller er de basert på gradens egenskaper og er mest rettet mot å introdusere en ny variabel i fremtiden. Ligningen vil tillate oss å demonstrere dem 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Først blir eksponentene, i hvis eksponenter summen av en variabel (eller uttrykk med variabler) og et tall, finnes, erstattet av produkter. Dette gjelder det første og siste leddet i uttrykket på venstre side:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Deretter deles begge sider av likheten med uttrykket 7 2 x , som bare tar positive verdier på ODZ-variabelen x for den opprinnelige ligningen (dette er en standardteknikk for å løse denne typen ligninger, vi snakker ikke om det nå, så fokuser på påfølgende transformasjoner av uttrykk med krefter ):

Nå annulleres brøker med potenser, noe som gir .

Til slutt er forholdet mellom potenser med samme eksponenter erstattet med potenser av forhold, noe som fører til ligningen , som tilsvarer . Transformasjonene som er gjort tillater oss å introdusere en ny variabel, som reduserer løsningen av den opprinnelige eksponentialligningen til løsningen av den andregradsligningen

I.V. Boikov, L.D. Romanova Samling av oppgaver for forberedelse til eksamen. Del 1. Penza 2003.