Hva vil det si å angi graden av et polynom. Betydningen av ordet polynom

Per definisjon er et polynom algebraisk uttrykk som er summen av monomer.

For eksempel: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 er polynomer, og uttrykket z/(x - x*y^2 + 4) er ikke et polynom fordi det ikke er en sum av monomer. Et polynom kalles også noen ganger et polynom, og monomer som er en del av et polynom er medlemmer av et polynom eller monomer.

Kompleks konsept av polynom

Hvis et polynom består av to ledd, så kalles det et binomium hvis det består av tre, kalles det et trinomium. Navnene fournomial, fivenomial og andre brukes ikke, og i slike tilfeller sier de bare polynom. Slike navn, avhengig av antall termer, setter alt på sin plass.

Og begrepet monomialt blir intuitivt. Fra et matematisk synspunkt er et monomial et spesialtilfelle av et polynom. Et monom er et polynom som består av ett ledd.

Akkurat som et monom, har et polynom sitt eget standard visning. Standardformen til et polynom er en slik notasjon av et polynom der alle monomiene som er inkludert i det som termer er skrevet i en standardform og lignende termer er gitt.

Standard form for polynom

Prosedyren for å redusere et polynom til standardform er å redusere hver av monomialene til standardform, og deretter legge alle lignende monomialer sammen. Tilføyelse av lignende ledd i et polynom kalles reduksjon av lignende.
For eksempel, la oss gi lignende vilkår i polynomet 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b.

Begrepene 4*a*b^2*c^3 og 6*a*b^2*c^3 er like her. Summen av disse leddene vil være den monomiale 10*a*b^2*c^3. Derfor kan det opprinnelige polynomet 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b skrives om til 10*a*b^2*c^3 - a* b . Denne oppføringen vil være standardformen for et polynom.

Fra det faktum at et hvilket som helst monomer kan reduseres til en standardform, følger det også at et hvilket som helst polynom kan reduseres til en standardform.

Når et polynom reduseres til standardform, kan vi snakke om et slikt konsept som graden av et polynom. Graden av et polynom er den høyeste graden av et monom som er inkludert i et gitt polynom.
Så, for eksempel, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 er et polynom av femte grad, siden den maksimale graden av monomet inkludert i polynomet (5*x^3*y^ 2) er femte.

Konseptet med et polynom

Definisjon av polynom: Et polynom er summen av monomer. Polynomeksempel:

her ser vi summen av to monomer, og dette er et polynom, dvs. summen av monomer.

Begrepene som utgjør et polynom kalles vilkår for polynomet.

Er forskjellen mellom monomer et polynom? Ja, det er det, fordi forskjellen lett reduseres til en sum, eksempel: 5a – 2b = 5a + (-2b).

Monomialer regnes også som polynomer. Men et monom har ingen sum, hvorfor anses det da som et polynom? Og du kan legge til null til den og få summen med en null monomial. Så det monomiale er det spesielt tilfelle polynom, den består av ett medlem.

Tallet null er nullpolynomet.

Standard form for polynom

Hva er et polynom av standardform? Et polynom er summen av monomer, og hvis alle disse monomiene som utgjør polynomet er skrevet på standardform, og det ikke skal være noen lignende blant dem, så skrives polynomet på standardform.

Et eksempel på et polynom i standardform:

her består polynomet av 2 monomialer, som hver har en standardform blant monomiene er det ingen lignende.

Nå et eksempel på et polynom som ikke har en standardform:

her er to monomialer: 2a og 4a like. Vi må legge dem sammen, så vil polynomet ha standardformen:

Et annet eksempel:

Er dette polynomet redusert til standardform? Nei, hans andre periode er ikke skrevet i standardform. Når vi skriver det i standardform, får vi et polynom av standardform:

Polynomgrad

Hva er graden av et polynom?

Polynomgradsdefinisjon:

Graden av et polynom er den høyeste graden som monomiene som utgjør et gitt polynom av standardform har.

Eksempel. Hva er graden av polynomet 5h? Graden av polynomet 5h er lik én, fordi dette polynomet inneholder bare ett monom og graden er lik én.

Et annet eksempel. Hva er graden av polynomet 5a 2 h 3 s 4 +1? Graden av polynomet 5a 2 h 3 s 4 + 1 er lik ni, fordi dette polynomet inkluderer to monomer, det første monomet 5a 2 h 3 s 4 har den høyeste graden, og graden er 9.

Et annet eksempel. Hva er graden av polynomet 5? Graden til et polynom 5 er null. Så, graden av et polynom som bare består av et tall, dvs. uten bokstaver er lik null.

Det siste eksempelet. Hva er graden av nullpolynomet, dvs. null? Graden av nullpolynomet er ikke definert.

Etter å ha studert monomer går vi videre til polynomer. Denne artikkelen vil fortelle om alle nødvendig informasjon, nødvendig for å utføre handlinger på dem. Vi vil definere et polynom med medfølgende definisjoner term av et polynom, det vil si fritt og lignende, vurder et polynom av en standardform, introduser en grad og lær hvordan du finner det, arbeid med koeffisientene.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polynom og dets termer - definisjoner og eksempler

Definisjonen av et polynom var nødvendig tilbake 7 klasse etter å ha studert monomialer. La oss se på den fullstendige definisjonen.

Definisjon 1

Polynom Summen av monomialer beregnes, og monomialet i seg selv er et spesialtilfelle av et polynom.

Fra definisjonen følger det at eksempler på polynomer kan være forskjellige: 5 , 0 , − 1 , x, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z og så videre. Fra definisjonen har vi det 1+x, a 2 + b 2 og uttrykket x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x er polynomer.

La oss se på noen flere definisjoner.

Definisjon 2

Medlemmer av polynomet dens bestanddeler monomialer kalles.

Tenk på et eksempel hvor vi har et polynom 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, bestående av 4 ledd: 3 x 4, − 2 x y, 3 og -y 3. Et slikt monom kan betraktes som et polynom, som består av ett ledd.

Definisjon 3

Polynomer som inneholder 2, 3 trinomialer har det tilsvarende navnet - binomial Og trinomial.

Det følger at et uttrykk for formen x+y– er et binomial, og uttrykket 2 x 3 q − q x x x + 7 b er et trinomium.

Ved skolepensum jobbet med et lineært binomial av formen a · x + b, der a og b er noen tall, og x er en variabel. La oss vurdere eksempler på lineære binomialer av formen: x + 1, x 7, 2 − 4 med eksempler kvadratiske trinomialer x 2 + 3 x − 5 og 2 5 x 2 - 3 x + 11 .

For å transformere og løse, er det nødvendig å finne og bringe lignende termer. For eksempel har et polynom av formen 1 + 5 x − 3 + y + 2 x lignende ledd 1 og - 3, 5 x og 2 x. De er delt inn i en spesiell gruppe kalt lignende medlemmer av polynomet.

Definisjon 4

Lignende termer for et polynom er lignende termer som finnes i et polynom.

I eksemplet ovenfor har vi at 1 og - 3, 5 x og 2 x er lignende ledd i polynomet eller lignende ledd. For å forenkle uttrykket, finn og reduser lignende termer.

Polynom av standardform

Alle monomer og polynomer har sine egne spesifikke navn.

Definisjon 5

Polynom av standardform kalles et polynom der hvert medlem som er inkludert i det har et monomer av standardform og ikke inneholder lignende termer.

Fra definisjonen er det klart at det er mulig å redusere polynomer av standardform, for eksempel 3 x 2 − x y + 1 og __formel__, og oppføringen er i standardform. Uttrykkene 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z og 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z er ikke polynomer av standardformen, siden den første av dem har lignende termer i formen 3 · x 2 og − x 2, og den andre inneholder et monomial av formen x · y 3 · x · z 2, som er forskjellig fra standardpolynomet.

Hvis omstendighetene krever det, reduseres noen ganger polynomet til en standardform. Konseptet med en fri term av et polynom regnes også som et polynom av standardform.

Definisjon 6

Friledd for et polynom er et polynom av standardform som ikke har en bokstavelig del.

Med andre ord, når et polynom i standardform har et tall, kalles det et fritt medlem. Da er tallet 5 et fritt ledd av polynomet x 2 z + 5, og polynomet 7 a + 4 a b + b 3 har ikke et fritt ledd.

Grad av et polynom - hvordan finner jeg det?

Definisjonen av graden av et polynom i seg selv er basert på definisjonen av et standardformpolynom og på gradene til monomiene som er dets komponenter.

Definisjon 7

Grad av et polynom av standardform kalles den største av gradene som er inkludert i notasjonen.

La oss se på et eksempel. Graden av polynomet 5 x 3 − 4 er lik 3, fordi monomialene som er inkludert i sammensetningen har grader 3 og 0, og den største av dem er henholdsvis 3. Definisjonen av graden fra polynomet 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x er lik det største av tallene, det vil si 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 og 1, som betyr 5 .

Det er nødvendig å finne ut hvordan selve graden er funnet.

Definisjon 8

Graden av et polynom av et vilkårlig tall er graden av det tilsvarende polynomet i standardform.

Når et polynom ikke er skrevet i standardform, men du må finne graden, må du redusere det til standardformen, og deretter finne den nødvendige graden.

Eksempel 1

Finn graden av et polynom 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Løsning

La oss først presentere polynomet i standardform. Vi får et uttrykk for formen:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Når vi oppnår et polynom av standardform, finner vi at to av dem skiller seg tydelig ut - 2 · a 2 · b 2 · c 2 og y 2 · z 2 . For å finne gradene, teller vi og finner at 2 + 2 + 2 = 6 og 2 + 2 = 4. Det kan sees at den største av dem er 6. Av definisjonen følger det at 6 er graden av polynomet − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2, og derfor den opprinnelige verdien.

Svare: 6 .

Koeffisienter av polynomledd

Definisjon 9

Når alle leddene til et polynom er monomer av standardformen, så har de i dette tilfellet navnet koeffisienter av polynomledd. Med andre ord kan de kalles koeffisienter til polynomet.

Når man ser på eksemplet, er det klart at et polynom av formen 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 inneholder 4 polynomer: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x og 7 med deres tilsvarende koeffisienter 2, − 0, 5, 3 og 7. Dette betyr at 2, − 0, 5, 3 og 7 betraktes som koeffisienter av ledd for et gitt polynom på formen 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Ved konvertering er det viktig å ta hensyn til koeffisientene foran variablene.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Eller, strengt tatt, er en endelig formell sum av formen

∑ I c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle \sum _(I)c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\ cdots x_(n)^(i_(n))), Hvor

Spesielt er et polynom i en variabel en endelig formell sum av formen

c 0 + c 1 x 1 + ⋯ + c m x ​​​​m (\displaystyle c_(0)+c_(1)x^(1)+\prikker +c_(m)x^(m)), Hvor

Ved å bruke et polynom blir begrepene "algebraisk likning" og "algebraisk funksjon" utledet.

Studie og søknad[ | ]

Studiet av polynomligninger og deres løsninger var kanskje hovedobjektet for "klassisk algebra."

Relatert til studiet av polynomer en hel serie transformasjoner i matematikk: introduksjon til vurdering av null, negative og deretter komplekse tall, samt fremveksten av gruppeteori som en gren av matematikk og identifisering av klasser av spesielle funksjoner i analyse.

Den tekniske enkelheten til beregninger assosiert med polynomer sammenlignet med mer komplekse klasser av funksjoner, samt det faktum at settet med polynomer er tett i rommet til kontinuerlige funksjoner på kompakte delmengder av det euklidiske rom (se Weierstrass tilnærmingsteorem), bidro til utvikling av serieekspansjon og polynomekspansjonsmetoder i matematisk analyse.

Polynomer spiller også en nøkkelrolle i algebraisk geometri, hvis objekt er sett definert som løsninger på systemer av polynomer.

Spesielle egenskaper for transformasjon av koeffisienter ved multiplisering av polynomer brukes i algebraisk geometri, algebra, knuteteori og andre grener av matematikk for koding eller uttrykk for egenskaper til ulike objekter med polynomer.

Beslektede definisjoner[ | ]

• Polynom av formen c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n))) ringte monomial eller monomial multiindeks I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\dots ,\,i_(n))).
• Monomial som tilsvarer multiindeks I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots ,\,0)) ringte gratis medlem.
• Full grad(ikke-null) monomial c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_ (n))) kalt et heltall |.
• jeg | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\dots +i_(n)) Mange multiindekser jeg, som koeffisientene for c I (\displaystyle c_(I)) ikke-null, kalt bærer av polynomet.
• , og dets konvekse skrog er Newtons polyeder Polynomgrad.
• kalles maksimum av potensene til monomialene. Graden av identisk null bestemmes videre av verdien − ∞ (\displaystyle -\infty ) eller Et polynom som er summen av to monomer kalles,
• binomial binomial.
• Et polynom som er summen av tre monomer kalles trinomial Koeffisientene til polynomet er vanligvis hentet fra en spesifikk kommutativ ring trinomial R (\displaystyle R) (oftest felt, for eksempel felt med reelle eller komplekse tall). I dette tilfellet, med hensyn til operasjonene for addisjon og multiplikasjon, danner polynomene en ring (i tillegg en assosiativ-kommutativ algebra over ringen
• uten nulldeler) som er angitt R [x 1, x 2, …, x n].(\displaystyle R.) For et polynom p (x) (\displaystyle p(x))

én variabel, løser ligningen[ | ]

p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0) kalles dens rot. Polynomfunksjoner trinomial La A (\displaystyle A) det er en algebra over en ring

. Vilkårlig polynom.

p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R) definerer en polynomfunksjon.

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\to A) trinomial Det mest vurderte tilfellet er f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R) definerer polynomet p fullstendig. Imidlertid, i generell sak dette er feil, for eksempel: polynomer p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) Og p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\equiv x^(2)) fra Z 2 [ x ] (\displaystyle \mathbb (Z)_(2)[x]) bestemmes på samme måte like funksjoner Z 2 → Z 2 (\displaystyle \mathbb (Z) _(2)\to \mathbb (Z) _(2)).

En polynomfunksjon av en reell variabel kalles en hel rasjonell funksjon.

Typer polynomer[ | ]

Egenskaper [ | ]

Delbarhet [ | ]

Rollen til irreduserbare polynomer i polynomringen er lik rollen til primtall i ringen av heltall. For eksempel er teoremet sant: hvis produktet av polynomer p q (\displaystyle pq) er delelig med et irreduserbart polynom, da s eller q delt på λ (\displaystyle \lambda). Hvert polynom, grader større enn null, dekomponerer i et gitt felt til et produkt av irreduserbare faktorer på en unik måte (opp til faktorer på grad null).

For eksempel et polynom x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), irreduserbar i felten rasjonelle tall, er dekomponert i tre faktorer i feltet reelle tall og av fire faktorer i feltet komplekse tall.

Generelt er hvert polynom i en variabel x (\displaystyle x) dekomponerer i feltet av reelle tall til faktorer av første og andre grad, i feltet av komplekse tall til faktorer av første grad (algebraens grunnleggende teorem).

For to og flere variabler kan dette ikke lenger oppgis. Over ethvert felt for hvem som helst n > 2 (\displaystyle n>2) det er polynomer fra n (\displaystyle n) variabler som er irreduserbare i enhver utvidelse av dette feltet. Slike polynomer kalles absolutt irreduserbare.