Sinus, cosinus, tangent og cotangens - alt du trenger å vite på OGE og BRUK! Regler for å finne trigonometriske funksjoner: sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen kalles sinus til en spiss vinkel høyre trekant.

\sin \alpha = \frac(a)(c)

Cosinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Forholdet mellom nærmeste ben og hypotenusen kalles cosinus av en spiss vinkel høyre trekant.

\cos \alpha = \frac(b)(c)

Tangent av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende benet kalles spiss vinkeltangens høyre trekant.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Kotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte benet kalles cotangens av en spiss vinkel høyre trekant.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus av en vilkårlig vinkel

Ordinaten til punktet på enhetssirkelen som vinkelen \alfa tilsvarer kalles sinus av en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .

\sin \alpha=y

Cosinus av en vilkårlig vinkel

Abscissen til et punkt på enhetssirkelen som vinkelen \alfa tilsvarer kalles cosinus av en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .

\cos \alpha=x

Tangent av en vilkårlig vinkel

Forholdet mellom sinusen til en vilkårlig rotasjonsvinkel \alfa og dens cosinus kalles tangens til en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .

tg \alpha = y_(A)

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

Kotangens av en vilkårlig vinkel

Forholdet mellom cosinus til en vilkårlig rotasjonsvinkel \alfa og sinus kalles cotangens av en vilkårlig vinkel rotasjon \alfa .

ctg \alpha =x_(A)

ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

Et eksempel på å finne en vilkårlig vinkel

Hvis \alpha er en vinkel AOM , der M er et punkt på enhetssirkelen, da

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

For eksempel hvis \angle AOM = -\frac(\pi)(4), da: ordinaten til punktet M er -\frac(\sqrt(2))(2), er abscissen \frac(\sqrt(2))(2) og det er derfor

\sin \venstre (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \venstre (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \venstre (-\frac(\pi)(4) \høyre)=-1.

Tabell over verdier for sinus av cosinus av tangenter av cotangenter

Verdiene for de viktigste vinklene som ofte forekommer er gitt i tabellen:

	0^(\circ) (0)	30^(\sirkel)\venstre(\frac(\pi)(6)\høyre)	45^(\circ)\venstre(\frac(\pi)(4)\høyre)	60^(\cirkel)\venstre(\frac(\pi)(3)\høyre)	90^(\cirkel)\venstre(\frac(\pi)(2)\høyre)	180^(\sirkel)\venstre(\pi\høyre)	270^(\circ)\venstre(\frac(3\pi)(2)\høyre)	360^(\cirkel)\venstre(2\pi\høyre)
\sin\alfa	0	\frac12	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac(\sqrt 3)(2)	1	0	−1	0
\cos\alpha	1	\frac(\sqrt 3)(2)	\frac(\sqrt 2)(2)	\frac12	0	−1	0	1
tg\alfa	0	\frac(\sqrt 3)(3)	1	\sqrt3	—	0	—	0
ctg\alfa	—	\sqrt3	1	\frac(\sqrt 3)(3)	0	—	0	—

Hva er sinus, cosinus, tangens, cotangens til en vinkel vil hjelpe deg å forstå en rettvinklet trekant.

Hva kalles sidene i en rettvinklet trekant? Det stemmer, hypotenusen og bena: hypotenusen er siden som ligger motsatt den rette vinkelen (i vårt eksempel er dette siden \ (AC \) ); bena er de to gjenværende sidene \ (AB \) og \ (BC \) (de som er ved siden av den rette vinkelen), dessuten, hvis vi vurderer bena med hensyn til vinkelen \ (BC \), så benet \ (AB \) er tilstøtende ben, og benet \ (BC \) er motsatt. Så la oss nå svare på spørsmålet: hva er sinus, cosinus, tangent og cotangens til en vinkel?

Sinus av en vinkel- dette er forholdet mellom motsatt (fjern) ben og hypotenusen.

I vår trekant:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus av en vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og hypotenusen.

I vår trekant:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Vinkeltangens- dette er forholdet mellom det motsatte (fjerne) beinet til det tilstøtende (nære).

I vår trekant:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens av en vinkel- dette er forholdet mellom det tilstøtende (nære) benet og det motsatte (langt).

I vår trekant:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Disse definisjonene er nødvendige huske! For å gjøre det lettere å huske hvilket ben du skal dele med hva, må du tydelig forstå det i tangent og cotangens bare bena sitter, og hypotenusen vises bare i sinus og kosinus. Og så kan du komme opp med en kjede av assosiasjoner. For eksempel denne:

cosinus→berøring→berøring→tilstøtende;

Kotangens→berøring→berøring→tilstøtende.

Først av alt er det nødvendig å huske at sinus, cosinus, tangens og cotangens som forhold mellom sidene i en trekant ikke avhenger av lengdene på disse sidene (i en vinkel). Ikke stol på? Pass deretter på ved å se på bildet:

Tenk for eksempel på cosinus til vinkelen \(\beta \) . Per definisjon, fra en trekant \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), men vi kan beregne cosinus til vinkelen \(\beta \) fra trekanten \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Du ser, lengdene på sidene er forskjellige, men verdien av cosinus til en vinkel er den samme. Dermed avhenger verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens utelukkende av størrelsen på vinkelen.

Hvis du forstår definisjonene, så fortsett og fiks dem!

For trekanten \(ABC \) , vist i figuren nedenfor, finner vi \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(array) \)

Vel, fikk du det? Så prøv selv: beregn det samme for vinkelen \(\beta \) .

Svar: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Enhetssirkel (trigonometrisk).

For å forstå begrepene grad og radian, betraktet vi en sirkel med en radius lik \ (1 \) . En slik sirkel kalles enkelt. Det er veldig nyttig i studiet av trigonometri. Derfor dveler vi litt mer detaljert ved det.

Som du kan se er denne sirkelen bygget i det kartesiske koordinatsystemet. Radiusen til sirkelen er lik én, mens sentrum av sirkelen ligger ved origo, er startposisjonen til radiusvektoren fast langs den positive retningen til \(x \)-aksen (i vårt eksempel er dette radius \(AB \) ).

Hvert punkt på sirkelen tilsvarer to tall: koordinaten langs aksen \(x \) og koordinaten langs aksen \(y \) . Hva er disse koordinattallene? Og generelt, hva har de med emnet å gjøre? For å gjøre dette, husk om den betraktede rettvinklede trekanten. I figuren over kan du se to hele rette trekanter. Tenk på trekanten \(ACG \) . Den er rektangulær fordi \(CG \) er vinkelrett på \(x \)-aksen.

Hva er \(\cos \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \) ? Det er riktig \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Dessuten vet vi at \(AC \) er radiusen til enhetssirkelen, så \(AC=1 \) . Bytt denne verdien inn i cosinusformelen vår. Her er hva som skjer:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Og hva er \(\sin \ \alpha \) fra trekanten \(ACG \) ? Selvfølgelig, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Erstatt verdien av radiusen \ (AC \) i denne formelen og få:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Så, kan du fortelle meg hva er koordinatene til punktet \(C \) , som tilhører sirkelen? Vel, ingen måte? Men hva om du innser at \(\cos \ \alpha \) og \(\sin \alpha \) bare er tall? Hvilken koordinat tilsvarer \(\cos \alpha \)? Vel, selvfølgelig, koordinaten \(x \) ! Og hvilken koordinat tilsvarer \(\sin \alpha \)? Det stemmer, \(y \)-koordinaten! Så poenget \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Hva er da \(tg \alpha \) og \(ctg \alpha \) ? Det stemmer, la oss bruke de passende definisjonene av tangent og cotangens og få det \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), a \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Hva om vinkelen er større? Her, for eksempel, som på dette bildet:

Hva har endret seg i dette eksemplet? La oss finne ut av det. For å gjøre dette, vender vi igjen til en rettvinklet trekant. Tenk på en rettvinklet trekant \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : en vinkel (som ved siden av vinkelen \(\beta \) ). Hva er verdien av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Det er riktig, vi holder oss til de tilsvarende definisjonene av trigonometriske funksjoner:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\vinkel ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\vinkel ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)

Vel, som du kan se, tilsvarer verdien av sinusen til vinkelen fortsatt koordinaten \ (y \) ; verdien av cosinus til vinkelen - koordinaten \ (x \) ; og verdiene av tangent og cotangens til de tilsvarende forholdene. Dermed er disse relasjonene anvendelige for alle rotasjoner av radiusvektoren.

Det er allerede nevnt at startposisjonen til radiusvektoren er langs den positive retningen til \(x \)-aksen. Så langt har vi rotert denne vektoren mot klokken, men hva skjer hvis vi roterer den med klokken? Ikke noe ekstraordinært, du vil også få en vinkel av en viss størrelse, men bare den vil være negativ. Når vi roterer radiusvektoren mot klokken, får vi altså positive vinkler, og når du roterer med klokken - negativ.

Så vi vet at hele omdreiningen til radiusvektoren rundt sirkelen er \(360()^\sirkel \) eller \(2\pi \) . Er det mulig å rotere radiusvektoren med \(390()^\circ \) eller med \(-1140()^\circ \) ? Vel, selvfølgelig kan du det! I det første tilfellet, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), så radiusvektoren vil gjøre en hel rotasjon og stoppe ved \(30()^\circ \) eller \(\dfrac(\pi )(6) \) .

I det andre tilfellet, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), det vil si at radiusvektoren vil gjøre tre hele omdreininger og stoppe ved posisjonen \(-60()^\circ \) eller \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Fra eksemplene ovenfor kan vi konkludere med at vinkler som er forskjellige med \(360()^\circ \cdot m \) eller \(2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall ) tilsvarer den samme posisjonen til radiusvektoren.

Figuren under viser vinkelen \(\beta =-60()^\circ \) . Det samme bildet tilsvarer hjørnet \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) etc. Denne listen kan fortsettes på ubestemt tid. Alle disse vinklene kan skrives med den generelle formelen \(\beta +360()^\circ \cdot m \) eller \(\beta +2\pi \cdot m \) (hvor \(m \) er et hvilket som helst heltall)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Nå, når du kjenner definisjonene av de grunnleggende trigonometriske funksjonene og bruker enhetssirkelen, prøv å svare på hva verdiene er lik:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =?\\\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\tekst (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\tekst (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Her er en enhetssirkel for å hjelpe deg:

Noen vanskeligheter? Så la oss finne ut av det. Så vi vet at:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(array) \)

Herfra bestemmer vi koordinatene til punktene som tilsvarer visse mål på vinkelen. Vel, la oss starte i rekkefølge: hjørnet inn \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) tilsvarer et punkt med koordinater \(\left(0;1 \right) \) , derfor:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\tekst(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 90()^\circ \)- eksisterer ikke;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Videre, ved å følge den samme logikken, finner vi ut at hjørnene i \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) samsvarer med punkter med koordinater \(\venstre(-1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0;-1 \høyre),\tekst( )\venstre(1;0 \høyre),\tekst( )\venstre(0 ;1 \right) \), henholdsvis. Når du vet dette, er det lett å bestemme verdiene til trigonometriske funksjoner på de tilsvarende punktene. Prøv selv først, og sjekk deretter svarene.

Svar:

\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)

\(\tekst(tg)\ 180()^\circ =\tekst(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\tekst(ctg)\ 180()^\circ =\tekst(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ \pi \)- eksisterer ikke

\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 270()^\circ \)- eksisterer ikke

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \ 360()^\circ =1 \)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\tekst(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(ctg)\ 2\pi \)- eksisterer ikke

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\tekst(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Høyrepil \tekst(tg)\ 450()^\circ \)- eksisterer ikke

\(\tekst(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Dermed kan vi lage følgende tabell:

Det er ikke nødvendig å huske alle disse verdiene. Det er nok å huske korrespondansen mellom koordinatene til punktene på enhetssirkelen og verdiene til trigonometriske funksjoner:

\(\venstre. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Trenger å huske eller kunne sende ut!! \) !}

Og her er verdiene til de trigonometriske funksjonene til vinklene i og \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) gitt i tabellen nedenfor, må du huske:

Ingen grunn til å være redd, nå vil vi vise et av eksemplene på en ganske enkel memorering av de tilsvarende verdiene:

For å bruke denne metoden er det viktig å huske sinusverdiene for alle tre vinkelmålene ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), samt verdien av tangenten til vinkelen i \(30()^\circ \) . Når du kjenner disse \(4\) verdiene, er det ganske enkelt å gjenopprette hele tabellen - cosinusverdiene overføres i samsvar med pilene, det vil si:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(array) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), vel vitende om dette, er det mulig å gjenopprette verdiene for \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Telleren “\(1 \) ” vil samsvare med \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , og nevneren “\(\sqrt(\text(3)) \) ” vil samsvare med \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangensverdier overføres i samsvar med pilene vist på figuren. Hvis du forstår dette og husker ordningen med piler, vil det være nok å huske bare \(4 \) verdier fra tabellen.

Koordinater til et punkt på en sirkel

Er det mulig å finne et punkt (dets koordinater) på en sirkel, og kjenne koordinatene til sirkelens sentrum, radius og rotasjonsvinkel? Vel, selvfølgelig kan du det! La oss utlede en generell formel for å finne koordinatene til et punkt. Her har vi for eksempel en slik sirkel:

Vi får det poenget \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) er sentrum av sirkelen. Radiusen til sirkelen er \(1,5 \) . Det er nødvendig å finne koordinatene til punktet \(P \) oppnådd ved å rotere punktet \(O \) med \(\delta \) grader.

Som det fremgår av figuren, tilsvarer koordinaten \ (x \) til punktet \ (P \) lengden på segmentet \ (TP=UQ=UK+KQ \) . Lengden på segmentet \ (UK \) tilsvarer koordinaten \ (x \) til sentrum av sirkelen, det vil si at den er lik \ (3 \) . Lengden på segmentet \(KQ \) kan uttrykkes ved å bruke definisjonen av cosinus:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Høyrepil KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Så har vi det for punktet \(P \) koordinaten \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Med samme logikk finner vi verdien av y-koordinaten for punktet \(P\) . På denne måten,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Så generelt sett bestemmes koordinatene til punktene av formlene:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), hvor

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinater til sentrum av sirkelen,

\(r\) - sirkelradius,

\(\delta \) - rotasjonsvinkelen til vektorradiusen.

Som du kan se, for enhetssirkelen vi vurderer, er disse formlene betydelig redusert, siden koordinatene til sentrum er null, og radiusen er lik en:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
ActiveX-kontroller må være aktivert for å kunne gjøre beregninger!

Trigonometri, som en vitenskap, oppsto i det gamle østen. De første trigonometriske forholdstallene ble utviklet av astronomer for å lage en nøyaktig kalender og orientere seg etter stjernene. Disse beregningene knyttet til sfærisk trigonometri, mens de i skolekurset studerer forholdet mellom sidene og vinkelen til en flat trekant.

Trigonometri er en gren av matematikken som omhandler egenskapene til trigonometriske funksjoner og forholdet mellom sidene og vinklene til trekanter.

Under kulturens og vitenskapens storhetstid i det 1. årtusen e.Kr. spredte kunnskap seg fra det gamle østen til Hellas. Men de viktigste oppdagelsene av trigonometri er fortjenesten til mennene i det arabiske kalifatet. Spesielt introduserte den turkmenske forskeren al-Marazvi slike funksjoner som tangent og cotangens, kompilerte de første tabellene med verdier for sinus, tangenter og cotangens. Konseptet sinus og cosinus ble introdusert av indiske forskere. Mye oppmerksomhet er viet trigonometri i verkene til så store skikkelser fra antikken som Euklid, Arkimedes og Eratosthenes.

Grunnleggende mengder trigonometri

De grunnleggende trigonometriske funksjonene til et numerisk argument er sinus, cosinus, tangens og cotangens. Hver av dem har sin egen graf: sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Formlene for å beregne verdiene til disse mengdene er basert på Pythagoras teorem. Det er bedre kjent for skolebarn i formuleringen: "Pythagoreiske bukser, like i alle retninger," siden beviset er gitt på eksemplet med en likebenet rettvinklet trekant.

Sinus, cosinus og andre avhengigheter etablerer et forhold mellom spisse vinkler og sider av en rettvinklet trekant. Vi gir formler for å beregne disse størrelsene for vinkel A og sporer forholdet mellom trigonometriske funksjoner:

Som du kan se, er tg og ctg inverse funksjoner. Hvis vi representerer ben a som produktet av sin A og hypotenus c, og ben b som cos A * c, får vi følgende formler for tangent og cotangens:

trigonometrisk sirkel

Grafisk kan forholdet mellom de nevnte mengdene representeres som følger:

Sirkelen, i dette tilfellet, representerer alle mulige verdier av vinkelen α - fra 0° til 360°. Som det fremgår av figuren, har hver funksjon en negativ eller positiv verdi avhengig av vinkelen. For eksempel vil sin α være med et "+"-tegn hvis α tilhører I og II fjerdedeler av sirkelen, det vil si at den er i området fra 0 ° til 180 °. Med α fra 180° til 360° (III og IV kvartaler), kan sin α bare være en negativ verdi.

La oss prøve å bygge trigonometriske tabeller for spesifikke vinkler og finne ut betydningen av mengdene.

Verdiene til α lik 30°, 45°, 60°, 90°, 180° og så videre kalles spesielle tilfeller. Verdiene av trigonometriske funksjoner for dem beregnes og presenteres i form av spesielle tabeller.

Disse vinklene ble ikke valgt ved en tilfeldighet. Betegnelsen π i tabellene er for radianer. Rad er vinkelen hvor lengden av en sirkelbue tilsvarer radiusen. Denne verdien ble introdusert for å etablere et universelt forhold; når man beregner i radianer, spiller den faktiske lengden på radien i cm ingen rolle.

Vinklene i tabellene for trigonometriske funksjoner tilsvarer radianverdier:

Så det er ikke vanskelig å gjette at 2π er en hel sirkel eller 360°.

Egenskaper til trigonometriske funksjoner: sinus og cosinus

For å vurdere og sammenligne de grunnleggende egenskapene til sinus og cosinus, tangent og cotangens, er det nødvendig å tegne funksjonene deres. Dette kan gjøres i form av en kurve som ligger i et todimensjonalt koordinatsystem.

Tenk på en sammenlignende tabell over egenskaper for en sinusbølge og en cosinusbølge:

sinusformet	cosinusbølge
y = sin x	y = cos x
ODZ [-1; en]	ODZ [-1; en]
sin x = 0, for x = πk, hvor k ϵ Z	cos x = 0, for x = π/2 + πk, hvor k ϵ Z
sin x = 1, for x = π/2 + 2πk, hvor k ϵ Z	cos x = 1, for x = 2πk, hvor k ϵ Z
sin x = - 1, ved x = 3π/2 + 2πk, hvor k ϵ Z	cos x = - 1, for x = π + 2πk, hvor k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, dvs. oddetallsfunksjon	cos (-x) = cos x, dvs. funksjonen er partall
	funksjonen er periodisk, den minste perioden er 2π
sin x › 0, med x som tilhører kvartalene I og II eller fra 0° til 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, med x som tilhører kvartalene I og IV eller fra 270° til 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, med x som tilhører kvartalene III og IV eller fra 180° til 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, med x som tilhører kvartalene II og III eller fra 90° til 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
øker med intervallet [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	øker på intervallet [-π + 2πk, 2πk]
avtar på intervallene [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	avtar i intervaller
derivert (sin x)' = cos x	derivert (cos x)’ = - sin x

Det er veldig enkelt å bestemme om en funksjon er partall eller ikke. Det er nok å forestille seg en trigonometrisk sirkel med tegn på trigonometriske mengder og mentalt "brette" grafen i forhold til OX-aksen. Hvis tegnene er de samme, er funksjonen partall, ellers er den oddetall.

Innføringen av radianer og oppregningen av hovedegenskapene til sinus- og cosinusbølgen tillater oss å bringe følgende mønster:

Det er veldig enkelt å verifisere riktigheten av formelen. For eksempel, for x = π/2, er sinus lik 1, det samme er cosinus til x = 0. Kontroll kan gjøres ved å se på tabeller eller ved å spore funksjonskurver for gitte verdier.

Egenskaper til tangentoid og cotangentoid

Grafene for tangent- og cotangensfunksjonene skiller seg betydelig fra sinus- og cosinusbølgen. Verdiene tg og ctg er omvendt til hverandre.

Y = tgx.
Tangenten har en tendens til verdiene til y ved x = π/2 + πk, men når dem aldri.
Den minste positive perioden til tangentoiden er π.
Tg (- x) \u003d - tg x, dvs. funksjonen er merkelig.
Tg x = 0, for x = πk.
Funksjonen øker.
Tg x › 0, for x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, for x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Derivat (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x .

Tenk på den grafiske representasjonen av cotangentoiden nedenfor i teksten.

Hovedegenskapene til cotangentoiden:

Y = ctgx.
I motsetning til sinus- og cosinusfunksjonene, kan Y i tangentoiden ta på seg verdiene til settet med alle reelle tall.
Cotangentoiden har en tendens til verdiene til y ved x = πk, men når dem aldri.
Den minste positive perioden til cotangentoiden er π.
Ctg (- x) \u003d - ctg x, dvs. funksjonen er merkelig.
Ctg x = 0, for x = π/2 + πk.
Funksjonen er avtagende.
Ctg x › 0, for x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, for x ϵ (π/2 + πk, πk).
Derivat (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Begrepene sinus, cosinus, tangens og cotangens er hovedkategoriene for trigonometri - en gren av matematikk, og er uløselig knyttet til definisjonen av en vinkel. Besittelse av denne matematiske vitenskapen krever memorering og forståelse av formler og teoremer, samt utviklet romlig tenkning. Det er derfor trigonometriske beregninger ofte forårsaker vanskeligheter for skolebarn og elever. For å overvinne dem, bør du bli mer kjent med trigonometriske funksjoner og formler.

Begreper i trigonometri

For å forstå de grunnleggende begrepene trigonometri, må du først bestemme hva en rettvinklet trekant og en vinkel i en sirkel er, og hvorfor alle grunnleggende trigonometriske beregninger er knyttet til dem. En trekant der en av vinklene er 90 grader er en rettvinklet trekant. Historisk sett ble denne figuren ofte brukt av mennesker innen arkitektur, navigasjon, kunst, astronomi. Følgelig, ved å studere og analysere egenskapene til denne figuren, kom folk til å beregne de tilsvarende forholdstallene til parametrene.

Hovedkategoriene knyttet til rette trekanter er hypotenusen og bena. Hypotenusen er siden av en trekant som er motsatt den rette vinkelen. Bena er henholdsvis de to andre sidene. Summen av vinklene til en trekant er alltid 180 grader.

Sfærisk trigonometri er en del av trigonometri som ikke studeres på skolen, men i anvendte vitenskaper som astronomi og geodesi, bruker forskere det. Et trekk ved en trekant i sfærisk trigonometri er at den alltid har en sum av vinkler som er større enn 180 grader.

Vinkler av en trekant

I en rettvinklet trekant er sinusen til en vinkel forholdet mellom benet motsatt ønsket vinkel og hypotenusen til trekanten. Følgelig er cosinus forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen. Begge disse verdiene har alltid en verdi mindre enn én, siden hypotenusen alltid er lengre enn benet.

Tangensen til en vinkel er en verdi lik forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende benet av ønsket vinkel, eller sinus til cosinus. Kotangensen er på sin side forholdet mellom det tilstøtende benet av ønsket vinkel og den motsatte kaktetten. Kotangensen til en vinkel kan også oppnås ved å dele enheten med verdien av tangenten.

enhetssirkel

En enhetssirkel i geometri er en sirkel hvis radius er lik én. En slik sirkel er konstruert i det kartesiske koordinatsystemet, med sentrum av sirkelen sammenfallende med opprinnelsespunktet, og startposisjonen til radiusvektoren bestemmes av den positive retningen til X-aksen (abscisse-aksen). Hvert punkt i sirkelen har to koordinater: XX og YY, det vil si koordinatene til abscissen og ordinaten. Ved å velge et hvilket som helst punkt på sirkelen i XX-planet, og slippe perpendikulæren fra den til abscisseaksen, får vi en rettvinklet trekant dannet av en radius til det valgte punktet (la oss betegne det med bokstaven C), en vinkelrett tegnet til X-aksen (skjæringspunktet er angitt med bokstaven G), og et segment abscisseaksen mellom origo (punktet er angitt med bokstaven A) og skjæringspunktet G. Den resulterende trekanten ACG er en rettvinklet trekant innskrevet i en sirkel, der AG er hypotenusen, og AC og GC er bena. Vinkelen mellom radiusen til sirkelen AC og segmentet til abscisseaksen med betegnelsen AG, definerer vi som α (alfa). Så, cos α = AG/AC. Gitt at AC er radiusen til enhetssirkelen, og den er lik én, viser det seg at cos α=AG. Tilsvarende er sin α=CG.

I tillegg, ved å kjenne disse dataene, er det mulig å bestemme koordinaten til punkt C på sirkelen, siden cos α=AG, og sin α=CG, som betyr at punkt C har de gitte koordinatene (cos α; sin α). Når vi vet at tangenten er lik forholdet mellom sinus og cosinus, kan vi bestemme at tg α \u003d y / x, og ctg α \u003d x / y. Med tanke på vinkler i et negativt koordinatsystem kan man beregne at sinus- og cosinusverdiene til noen vinkler kan være negative.

Beregninger og grunnleggende formler

Verdier av trigonometriske funksjoner

Etter å ha vurdert essensen av trigonometriske funksjoner gjennom enhetssirkelen, kan vi utlede verdiene til disse funksjonene for noen vinkler. Verdiene er oppført i tabellen nedenfor.

De enkleste trigonometriske identitetene

Ligninger der det er en ukjent verdi under tegnet til den trigonometriske funksjonen kalles trigonometriske. Identiteter med verdien sin x = α, k er et hvilket som helst heltall:

sin x = 0, x = πk.
2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
sin x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Identiteter med verdien cos x = a, der k er et hvilket som helst heltall:

cos x = 0, x = π/2 + πk.
cos x = 1, x = 2πk.
cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
cos x = a, |a| > 1, ingen løsninger.
cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Identiteter med verdien tg x = a, der k er et hvilket som helst heltall:

tg x = 0, x = π/2 + πk.
tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Identiteter med verdien ctg x = a, der k er et hvilket som helst heltall:

ctg x = 0, x = π/2 + πk.
ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Cast formler

Denne kategorien med konstante formler angir metoder som du kan bruke til å gå fra trigonometriske funksjoner av formen til funksjoner av argumentet, det vil si konvertere sinus, cosinus, tangens og cotangens til en vinkel av en hvilken som helst verdi til de tilsvarende indikatorene for vinkelen til intervallet fra 0 til 90 grader for større bekvemmelighet med beregninger.

Formlene for å redusere funksjoner for sinus til en vinkel ser slik ut:

sin(900 - α) = α;
sin(900 + α) = cos α;
sin(1800 - α) = sin α;
sin(1800 + α) = -sin α;
sin(2700 - α) = -cos α;
sin(2700 + α) = -cos α;
sin(3600 - α) = -sin α;
sin(3600 + α) = sin α.

For cosinus av en vinkel:

cos(900 - α) = sin α;
cos(900 + α) = -sin α;
cos(1800 - α) = -cos α;
cos(1800 + α) = -cos α;
cos(2700 - α) = -sin α;
cos(2700 + α) = sin α;
cos(3600 - α) = cos α;
cos(3600 + α) = cos α.

Bruken av formlene ovenfor er mulig med to regler. For det første, hvis vinkelen kan representeres som en verdi (π/2 ± a) eller (3π/2 ± a), endres verdien av funksjonen:

fra synd til cos;
fra cos til synd;
fra tg til ctg;
fra ctg til tg.

Verdien av funksjonen forblir uendret hvis vinkelen kan representeres som (π ± a) eller (2π ± a).

For det andre endres ikke tegnet på den reduserte funksjonen: hvis det opprinnelig var positivt, forblir det slik. Det samme gjelder negative funksjoner.

Tilleggsformler

Disse formlene uttrykker verdiene til sinus, cosinus, tangens og cotangens av summen og differansen til to rotasjonsvinkler når det gjelder deres trigonometriske funksjoner. Vinkler er vanligvis betegnet som α og β.

Formlene ser slik ut:

sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Disse formlene er gyldige for alle vinkler α og β.

Dobbel og trippel vinkelformler

De trigonometriske formlene for en dobbel og trippel vinkel er formler som relaterer funksjonene til henholdsvis vinklene 2α og 3α til de trigonometriske funksjonene til vinkelen α. Avledet fra addisjonsformler:

sin2α = 2sinα*cosα.
cos2α = 1 - 2sin^2α.
tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Overgang fra sum til produkt

Tatt i betraktning at 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), ved å forenkle denne formelen, får vi identiteten sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Tilsvarende er sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tga - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Overgang fra produkt til sum

Disse formlene følger av identitetene for overgangen av summen til produktet:

sinα * sinβ = 1/2*;
cosα * cosβ = 1/2*;
sinα * cosβ = 1/2*.

Reduksjonsformler

I disse identitetene kan kvadrat- og kubikkpotensene til sinus og cosinus uttrykkes i form av sinus og cosinus til første potens av en multippel vinkel:

sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
cos^2α = (1 + cos2α)/2;
sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Universell substitusjon

De universelle trigonometriske substitusjonsformlene uttrykker trigonometriske funksjoner i form av tangenten til en halv vinkel.

sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), mens x \u003d π + 2πn;
cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), hvor x = π + 2πn;
tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), hvor x \u003d π + 2πn;
ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), mens x \u003d π + 2πn.

Spesielle tilfeller

Spesielle tilfeller av de enkleste trigonometriske ligningene er gitt nedenfor (k er et hvilket som helst heltall).

Privat for sinus:

sin x-verdi	x-verdi
0	pk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk eller 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk eller -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk eller 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk eller -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk eller 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk eller -2π/3 + 2πk

Cosinuskvotienter:

cos x verdi	x-verdi
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Privat for tangent:

tg x-verdi	x-verdi
0	pk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Kotangenskvotienter:

ctg x-verdi	x-verdi
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Teoremer

Sinus-teorem

Det er to versjoner av teoremet - enkel og utvidet. Enkel sinussetning: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. I dette tilfellet er a, b, c sidene av trekanten, og α, β, γ er henholdsvis de motsatte vinklene.

Utvidet sinussetning for en vilkårlig trekant: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. I denne identiteten betegner R radiusen til sirkelen der den gitte trekanten er innskrevet.

Cosinus teorem

Identiteten vises på denne måten: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. I formelen er a, b, c sidene i trekanten, og α er vinkelen på motsatt side av a.

Tangentteorem

Formelen uttrykker forholdet mellom tangentene til to vinkler, og lengden på sidene overfor dem. Sidene er merket a, b, c, og de tilsvarende motstående vinklene er α, β, γ. Formelen til tangentsetningen: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Cotangens teorem

Knytter radiusen til en sirkel innskrevet i en trekant med lengden på sidene. Hvis a, b, c er sidene av en trekant, og henholdsvis A, B, C er deres motsatte vinkler, r er radiusen til den innskrevne sirkelen, og p er trekantens halve omkrets, vil følgende identiteter holde:

ctg A/2 = (p-a)/r;
ctg B/2 = (p-b)/r;
ctg C/2 = (p-c)/r.

applikasjoner

Trigonometri er ikke bare en teoretisk vitenskap knyttet til matematiske formler. Dens egenskaper, teoremer og regler brukes i praksis av ulike grener av menneskelig aktivitet - astronomi, luft- og sjønavigasjon, musikkteori, geodesi, kjemi, akustikk, optikk, elektronikk, arkitektur, økonomi, maskinteknikk, målearbeid, datagrafikk, kartografi, oseanografi og mange andre.

Sinus, cosinus, tangens og cotangens er trigonometriens grunnleggende begreper, som man matematisk kan uttrykke forholdet mellom vinkler og lengder på sider i en trekant med, og finne ønskede størrelser gjennom identiteter, teoremer og regler.

I denne artikkelen vil vi vise hvordan definisjoner av sinus, cosinus, tangens og cotangens av vinkel og tall i trigonometri. Her skal vi snakke om notasjon, gi eksempler på poster, gi grafiske illustrasjoner. Avslutningsvis trekker vi en parallell mellom definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens i trigonometri og geometri.

Sidenavigering.

Definisjon av sinus, cosinus, tangens og cotangens

La oss følge hvordan begrepet sinus, cosinus, tangens og cotangens dannes i skolematematikkkurset. I geometritimer er definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens for en spiss vinkel i en rettvinklet trekant gitt. Og senere studeres trigonometri, som refererer til sinus, cosinus, tangens og cotangens av rotasjonsvinkelen og tallet. Vi gir alle disse definisjonene, gir eksempler og gir nødvendige kommentarer.

Spiss vinkel i en rettvinklet trekant

Fra forløpet av geometri er definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant kjent. De er gitt som forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant. Vi presenterer deres formuleringer.

Definisjon.

Sinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen.

Definisjon.

Cosinus av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Definisjon.

Tangent av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det motsatte benet og det tilstøtende benet.

Definisjon.

Kotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og det motsatte benet.

Notasjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens er også introdusert der - henholdsvis sin, cos, tg og ctg.

For eksempel, hvis ABC er en rettvinklet trekant med rett vinkel C, så er sinusen til den spisse vinkelen A lik forholdet mellom det motsatte benet BC og hypotenusen AB, det vil si sin∠A=BC/AB.

Disse definisjonene lar deg beregne verdiene til sinus, cosinus, tangens og cotangens til en spiss vinkel fra de kjente lengdene på sidene i en rettvinklet trekant, så vel som fra de kjente verdiene til sinus, cosinus, tangent, cotangens og lengden på en av sidene, finn lengdene på de andre sidene. For eksempel, hvis vi visste at i en rettvinklet trekant er benet AC 3 og hypotenusen AB er 7, så kunne vi beregne cosinus til den spisse vinkelen A per definisjon: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Rotasjonsvinkel

I trigonometri begynner de å se bredere på vinkelen - de introduserer begrepet rotasjonsvinkel. Rotasjonsvinkelen, i motsetning til en spiss vinkel, er ikke begrenset av rammer fra 0 til 90 grader, rotasjonsvinkelen i grader (og i radianer) kan uttrykkes med et hvilket som helst reelt tall fra −∞ til +∞.

I dette lyset er definisjonene av sinus, cosinus, tangent og cotangens ikke lenger en spiss vinkel, men en vinkel av vilkårlig størrelse - rotasjonsvinkelen. De er gitt gjennom x- og y-koordinatene til punktet A 1 , som det såkalte startpunktet A(1, 0) går inn i etter at det roterer gjennom en vinkel α rundt punktet O - begynnelsen av et rektangulært kartesisk koordinatsystem og midten av enhetssirkelen.

Definisjon.

Sinus av rotasjonsvinkelα er ordinaten til punktet A 1 , det vil si sinα=y .

Definisjon.

cosinus av rotasjonsvinkelenα kalles abscissen til punktet A 1 , det vil si cosα=x .

Definisjon.

Tangent av rotasjonsvinkelα er forholdet mellom ordinaten til punktet A 1 og abscissen, det vil si tgα=y/x .

Definisjon.

Kotangensen til rotasjonsvinkelenα er forholdet mellom abscissen til punktet A 1 og ordinaten, det vil si ctgα=x/y .

Sinus og cosinus er definert for enhver vinkel α , siden vi alltid kan bestemme abscissen og ordinaten til et punkt, som oppnås ved å rotere startpunktet gjennom vinkelen α . Og tangent og cotangens er ikke definert for noen vinkel. Tangenten er ikke definert for slike vinkler α hvor startpunktet går til et punkt med null abscisse (0, 1) eller (0, −1) , og dette skjer ved vinklene 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Faktisk, ved slike rotasjonsvinkler gir uttrykket tgα=y/x ikke mening, siden det inneholder divisjon med null. Når det gjelder cotangens, er den ikke definert for slike vinkler α hvor startpunktet går til et punkt med nullordinat (1, 0) eller (−1, 0), og dette er tilfellet for vinkler 180° k , k ∈Z (π k rad).

Så, sinus og cosinus er definert for alle rotasjonsvinkler, tangenten er definert for alle vinkler unntatt 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), og cotangensen er for alle vinkler unntatt 180 ° ·k, k∈Z (π·k rad).

Notasjonene som allerede er kjent for oss vises i definisjonene sin, cos, tg og ctg, de brukes også til å betegne sinus, cosinus, tangent og cotangens til rotasjonsvinkelen (noen ganger kan du finne notasjonen tan og cot som svarer til tangent og cotangens). Så sinusen til rotasjonsvinkelen på 30 grader kan skrives som sin30°, postene tg(−24°17′) og ctgα tilsvarer tangenten til rotasjonsvinkelen −24 grader 17 minutter og cotangensen til rotasjonsvinkelen α . Husk at når du skriver radianmålet for en vinkel, blir notasjonen "rad" ofte utelatt. For eksempel er cosinus til en rotasjonsvinkel på tre pi rad vanligvis betegnet cos3 π .

Som konklusjon av dette avsnittet er det verdt å merke seg at når man snakker om sinus, cosinus, tangens og cotangens til rotasjonsvinkelen, er uttrykket "rotasjonsvinkel" eller ordet "rotasjon" ofte utelatt. Det vil si at i stedet for uttrykket "sinus av rotasjonsvinkelen alfa", brukes vanligvis uttrykket "sinus av alfavinkelen", eller enda kortere - "sinus av alfa". Det samme gjelder cosinus, og tangens og cotangens.

La oss også si at definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant stemmer overens med definisjonene som nettopp er gitt for sinus, cosinus, tangens og cotangens til en rotasjonsvinkel som varierer fra 0 til 90 grader. Vi vil underbygge dette.

Tall

Definisjon.

Sinus, cosinus, tangens og cotangens av et tall t er et tall lik sinus, cosinus, tangens og cotangens til henholdsvis rotasjonsvinkelen i t radianer.

For eksempel er cosinus til 8 π per definisjon et tall som er lik cosinus til en vinkel på 8 π rad. Og cosinus til vinkelen i 8 π rad er lik én, derfor er cosinus til tallet 8 π lik 1.

Det er en annen tilnærming til definisjonen av sinus, cosinus, tangent og cotangens til et tall. Det består i det faktum at hvert reelt tall t er tildelt et punkt i enhetssirkelen sentrert ved opprinnelsen til det rektangulære koordinatsystemet, og sinus, cosinus, tangent og cotangens bestemmes i form av koordinatene til dette punktet. La oss dvele ved dette mer detaljert.

La oss vise hvordan samsvaret mellom reelle tall og punkter i sirkelen er etablert:

tallet 0 er tildelt startpunktet A(1, 0) ;
et positivt tall t er knyttet til et punkt på enhetssirkelen, som vi kommer til hvis vi beveger oss rundt sirkelen fra startpunktet i retning mot klokken og går gjennom en bane med lengden t;
et negativt tall t er knyttet til et punkt på enhetssirkelen, som vi vil komme til hvis vi beveger oss rundt sirkelen fra startpunktet med klokken og går gjennom en bane med lengde |t| .

La oss nå gå videre til definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av tallet t. La oss anta at tallet t tilsvarer et punkt i sirkelen A 1 (x, y) (for eksempel tilsvarer tallet &pi/2; punktet A 1 (0, 1) ).

Definisjon.

Sinusen til et tall t er ordinaten til enhetssirkelpunktet som tilsvarer tallet t , det vil si sint=y .

Definisjon.

Kosinus til et tall t kalles abscissen til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t , det vil si kostnad=x .

Definisjon.

Tangent av et tall t er forholdet mellom ordinaten og abscissen til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si tgt=y/x. I en annen ekvivalent formulering er tangenten til tallet t forholdet mellom sinusen til dette tallet og cosinus, det vil si tgt=sint/kostnad .

Definisjon.

Kotangens av et tall t er forholdet mellom abscissen og ordinaten til punktet i enhetssirkelen som tilsvarer tallet t, det vil si ctgt=x/y. En annen formulering er som følger: tangenten til tallet t er forholdet mellom cosinus til tallet t og sinus til tallet t : ctgt=kostnad/sint .

Her bemerker vi at definisjonene som nettopp er gitt, stemmer overens med definisjonen gitt i begynnelsen av dette underavsnittet. Faktisk faller punktet til enhetssirkelen som tilsvarer tallet t sammen med punktet oppnådd ved å rotere startpunktet gjennom en vinkel på t radianer.

Det er også verdt å presisere dette punktet. La oss si at vi har en sin3-oppføring. Hvordan forstå om det er snakk om sinus til tallet 3 eller sinus til rotasjonsvinkelen til 3 radianer? Dette er vanligvis klart av konteksten, ellers spiller det nok ingen rolle.

Trigonometriske funksjoner av vinkel- og numerisk argument

I henhold til definisjonene gitt i forrige avsnitt, tilsvarer hver rotasjonsvinkel α en veldefinert verdi sin α , samt verdien cos α . I tillegg tilsvarer alle andre rotasjonsvinkler enn 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) verdiene tgα , og andre enn 180° k , k∈Z (π k rad ) er verdiene til ctgα. Derfor er sinα, cosα, tgα og ctgα funksjoner av vinkelen α. Med andre ord, dette er funksjoner til vinkelargumentet.

På samme måte kan vi snakke om funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens til et numerisk argument. Faktisk tilsvarer hvert reelle tall t en veldefinert verdi av sint , så vel som kostnad . I tillegg tilsvarer alle andre tall enn π/2+π·k , k∈Z verdiene tgt , og tallene π·k , k∈Z tilsvarer verdienectgt .

Funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens kalles grunnleggende trigonometriske funksjoner.

Det er vanligvis klart fra konteksten at vi har å gjøre med trigonometriske funksjoner til et vinkelargument eller et numerisk argument. Ellers kan vi betrakte den uavhengige variabelen som både et mål på vinkelen (vinkelargumentet) og et numerisk argument.

Imidlertid studerer skolen hovedsakelig numeriske funksjoner, det vil si funksjoner hvis argumenter, så vel som deres tilsvarende funksjonsverdier, er tall. Derfor, hvis vi snakker om funksjoner, er det tilrådelig å vurdere trigonometriske funksjoner som funksjoner av numeriske argumenter.

Sammenkobling av definisjoner fra geometri og trigonometri

Hvis vi vurderer rotasjonsvinkelen α fra 0 til 90 grader, er dataene i sammenheng med trigonometri for definisjonen av sinus, cosinus, tangent og cotangens for rotasjonsvinkelen helt i samsvar med definisjonene av sinus, cosinus , tangent og cotangens av en spiss vinkel i en rettvinklet trekant, som er gitt i geometrikurset. La oss underbygge dette.

Tegn en enhetssirkel i det rektangulære kartesiske koordinatsystemet Oxy. Legg merke til startpunktet A(1, 0) . La oss rotere den med en vinkel α som strekker seg fra 0 til 90 grader, vi får punktet A 1 (x, y) . La oss slippe perpendikulæren A 1 H fra punktet A 1 til Ox-aksen.

Det er lett å se at i en rettvinklet trekant er vinkelen A 1 OH lik rotasjonsvinkelen α, lengden på benet OH ved siden av denne vinkelen er lik abscissen til punktet A 1, det vil si |OH |=x, lengden på benet motsatt vinkelen A 1 H er lik ordinaten til punktet A 1 , det vil si |A 1 H|=y , og lengden på hypotenusen OA 1 er lik én , siden det er radiusen til enhetssirkelen. Da, per definisjon fra geometri, er sinusen til en spiss vinkel α i en rettvinklet trekant A 1 OH lik forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen, det vil si sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Og per definisjon fra trigonometri er sinusen til rotasjonsvinkelen α lik ordinaten til punktet A 1, det vil si sinα=y. Dette viser at definisjonen av sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er ekvivalent med definisjonen av sinusen til rotasjonsvinkelen α for α fra 0 til 90 grader.

Tilsvarende kan det vises at definisjonene av cosinus, tangent og cotangens av en spiss vinkel α er i samsvar med definisjonene av cosinus, tangent og cotangens av rotasjonsvinkelen α.

Bibliografi.

Geometri. 7-9 klassetrinn: studier. for allmennutdanning institusjoner / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev og andre]. - 20. utg. M.: Utdanning, 2010. - 384 s.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
Pogorelov A.V. Geometri: Proc. for 7-9 celler. allmennutdanning institusjoner / A. V. Pogorelov. - 2. utg. - M.: Opplysning, 2001. - 224 s.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
Algebra og elementære funksjoner: Lærebok for elever i klasse 9 på ungdomsskolen / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Redigert av Doctor of Physical and Mathematical Sciences O. N. Golovin - 4. utg. Moskva: Utdanning, 1969.
Algebra: Proc. for 9 celler. gj.sn. skole / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 celler. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. utg.- M.: Opplysning, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
Mordkovich A.G. Algebra og begynnelsen av analysen. Karakter 10. Kl. 14.00 Del 1: en lærebok for utdanningsinstitusjoner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. utgave, legg til. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
Algebra og begynnelsen på matematisk analyse. 10. klasse: lærebok. for allmennutdanning institusjoner: grunnleggende og profil. nivåer /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; utg. A. B. Zhizhchenko. - 3. utg. - I .: Education, 2010. - 368 s.: Ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Bashmakov M.I. Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 celler. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Opplysning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for søkere til tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.