Definer de enkleste trigonometriske ligningene. Grunnleggende metoder for å løse trigonometriske ligninger

Forholdet mellom de grunnleggende trigonometriske funksjonene - sinus, cosinus, tangens og cotangens - er gitt trigonometriske formler. Og siden det er ganske mange sammenhenger mellom trigonometriske funksjoner, forklarer dette overfloden av trigonometriske formler. Noen formler forbinder trigonometriske funksjoner med samme vinkel, andre - funksjoner av flere vinkler, andre - lar deg redusere graden, fjerde - uttrykke alle funksjoner gjennom tangenten til en halv vinkel, etc.

I denne artikkelen vil vi liste opp i rekkefølge alle de grunnleggende trigonometriske formlene, som er tilstrekkelige til å løse de aller fleste trigonometriproblemer. For å gjøre det enklere å huske og bruke, vil vi gruppere dem etter formål og legge dem inn i tabeller.

Sidenavigering.

Grunnleggende trigonometriske identiteter

Grunnleggende trigonometriske identiteter definere forholdet mellom sinus, cosinus, tangens og cotangens for en vinkel. De følger av definisjonen av sinus, cosinus, tangens og cotangens, samt begrepet enhetssirkelen. De lar deg uttrykke en trigonometrisk funksjon i form av en hvilken som helst annen.

For en detaljert beskrivelse av disse trigonometriformlene, deres utledning og eksempler på anvendelse, se artikkelen.

Reduksjonsformler

Reduksjonsformler følger av egenskapene til sinus, cosinus, tangens og cotangens, det vil si at de gjenspeiler egenskapen periodisitet til trigonometriske funksjoner, egenskapen til symmetri, samt egenskapen til forskyvning med en gitt vinkel. Disse trigonometriske formlene lar deg gå fra å jobbe med vilkårlige vinkler til å jobbe med vinkler fra null til 90 grader.

Begrunnelsen for disse formlene, en mnemonisk regel for å huske dem og eksempler på deres anvendelse kan studeres i artikkelen.

Addisjonsformler

Trigonometriske addisjonsformler vis hvordan trigonometriske funksjoner av summen eller forskjellen av to vinkler uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til disse vinklene. Disse formlene tjener som grunnlag for å utlede følgende trigonometriske formler.

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel

Formler for dobbel, trippel osv. vinkel (de kalles også flere vinkelformler) viser hvordan trigonometriske funksjoner av dobbel, trippel, etc. vinkler () uttrykkes i form av trigonometriske funksjoner til en enkelt vinkel. Deres utledning er basert på addisjonsformler.

Mer detaljert informasjon er samlet i artikkelformlene for dobbel, trippel osv. vinkel

Halvvinkelformler

Halvvinkelformler vis hvordan trigonometriske funksjoner til en halv vinkel uttrykkes i form av cosinus til en hel vinkel. Disse trigonometriske formlene følger av dobbelvinkelformlene.

Deres konklusjon og eksempler på anvendelse finner du i artikkelen.

Formler for gradreduksjon

Trigonometriske formler for å redusere grader er designet for å lette overgangen fra naturlige krefter til trigonometriske funksjoner til sinus og cosinus i første grad, men flere vinkler. Med andre ord lar de deg redusere kreftene til trigonometriske funksjoner til den første.

Formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner

Hovedgrunnen formler for summen og differansen av trigonometriske funksjoner er å gå til produktet av funksjoner, som er veldig nyttig når man forenkler trigonometriske uttrykk. Disse formlene er også mye brukt for å løse trigonometriske ligninger, da de lar deg faktorisere summen og forskjellen av sinus og cosinus.

Formler for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus

Overgangen fra produktet av trigonometriske funksjoner til en sum eller forskjell utføres ved å bruke formlene for produktet av sinus, cosinus og sinus for cosinus.

Universell trigonometrisk substitusjon

Vi fullfører vår gjennomgang av de grunnleggende formlene for trigonometri med formler som uttrykker trigonometriske funksjoner i form av tangenten til en halv vinkel. Denne erstatteren ble kalt universell trigonometrisk substitusjon. Dens bekvemmelighet ligger i det faktum at alle trigonometriske funksjoner uttrykkes i form av tangenten til en halv vinkel rasjonelt uten røtter.

Bibliografi.

• Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. utg. - M.: Education, 2004. - 384 s.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.

Opphavsrett av smartstudenter

Alle rettigheter forbeholdt.
Beskyttet av lov om opphavsrett. Ingen del av nettstedet, inkludert internt materiale og utseende, kan reproduseres i noen form eller brukes uten skriftlig tillatelse fra opphavsrettsinnehaveren.

Trigonometriske ligninger er ikke et lett tema. De er for forskjellige.) For eksempel disse:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Etc...

Men disse (og alle andre) trigonometriske monstre har to felles og obligatoriske trekk. For det første - du vil ikke tro det - det er trigonometriske funksjoner i ligningene.) For det andre: alle uttrykk med x finnes innenfor de samme funksjonene. Og bare der! Hvis X vises et sted utenfor, For eksempel, sin2x + 3x = 3, dette vil allerede være en likning av blandet type. Slike ligninger krever en individuell tilnærming. Vi vil ikke vurdere dem her.

Vi skal heller ikke løse onde ligninger i denne leksjonen.) Her skal vi ta for oss de enkleste trigonometriske ligningene. Hvorfor? Ja fordi løsningen noen trigonometriske ligninger består av to trinn. På det første stadiet reduseres den onde ligningen til en enkel gjennom en rekke transformasjoner. På den andre er denne enkleste ligningen løst. Ingen annen vei.

Så hvis du har problemer i det andre trinnet, gir ikke det første trinnet mye mening.)

Hvordan ser elementære trigonometriske ligninger ut?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Her EN står for et hvilket som helst tall. Noen.

Forresten, inne i en funksjon er det kanskje ikke en ren X, men et slags uttrykk, som:

cos(3x+π /3) = 1/2

etc. Dette kompliserer livet, men påvirker ikke metoden for å løse en trigonometrisk ligning.

Hvordan løse trigonometriske ligninger?

Trigonometriske ligninger kan løses på to måter. Den første måten: ved hjelp av logikk og den trigonometriske sirkelen. Vi skal se på denne veien her. Den andre måten - ved å bruke minne og formler - vil bli diskutert i neste leksjon.

Den første måten er tydelig, pålitelig og vanskelig å glemme.) Den er god for å løse trigonometriske ligninger, ulikheter og alle slags vanskelige ikke-standardiserte eksempler. Logikk er sterkere enn minne!)

Løse ligninger ved hjelp av en trigonometrisk sirkel.

Vi inkluderer elementær logikk og evnen til å bruke den trigonometriske sirkelen. Vet du ikke hvordan? Imidlertid ... Du vil ha det vanskelig i trigonometri ...) Men det spiller ingen rolle. Ta en titt på leksjonene "Trigonometrisk sirkel...... Hva er det?" og "Måle vinkler på en trigonometrisk sirkel." Alt er enkelt der. I motsetning til lærebøker...)

Å, vet du!? Og til og med mestret "Praktisk arbeid med den trigonometriske sirkelen"!? Gratulerer. Dette emnet vil være nært og forståelig for deg.) Det som er spesielt gledelig er at den trigonometriske sirkelen ikke bryr seg om hvilken ligning du løser. Sinus, cosinus, tangent, cotangens - alt er det samme for ham. Det er bare ett løsningsprinsipp.

Så vi tar en hvilken som helst elementær trigonometrisk ligning. I det minste dette:

cosx = 0,5

Vi må finne X. Snakker på menneskelig språk, du trenger finn vinkelen (x) hvis cosinus er 0,5.

Hvordan brukte vi sirkelen tidligere? Vi tegnet en vinkel på den. I grader eller radianer. Og med en gang sag trigonometriske funksjoner til denne vinkelen. La oss nå gjøre det motsatte. La oss tegne en cosinus på sirkelen lik 0,5 og umiddelbart vi får se hjørne. Det gjenstår bare å skrive ned svaret.) Ja, ja!

Tegn en sirkel og merk cosinus lik 0,5. På cosinus-aksen, selvfølgelig. Som dette:

La oss nå tegne vinkelen som denne cosinus gir oss. Hold musen over bildet (eller trykk på bildet på nettbrettet ditt), og du vil se akkurat dette hjørnet X.

Hvilken vinkel er cosinus 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Noen mennesker vil humre skeptisk, ja... Som, var det verdt å lage en sirkel når alt allerede er klart... Du kan selvfølgelig humre...) Men faktum er at dette er et feilsvar. Eller rettere sagt, utilstrekkelig. Sirkelkjennere forstår at det er en hel haug med andre vinkler her som også gir en cosinus på 0,5.

Hvis du snur den bevegelige siden OA full sving, vil punkt A gå tilbake til sin opprinnelige posisjon. Med samme cosinus lik 0,5. De. vinkelen vil endre seg med 360° eller 2π radianer, og kosinus - nei. Den nye vinkelen 60° + 360° = 420° vil også være en løsning på ligningen vår, fordi

Et uendelig antall slike komplette omdreininger kan gjøres... Og alle disse nye vinklene vil være løsninger på vår trigonometriske ligning. Og de må alle skrives ned på en eller annen måte som svar. Alle. Ellers teller ikke avgjørelsen, ja...)

Matematikk kan gjøre dette enkelt og elegant. Skriv ned i ett kort svar uendelig sett beslutninger. Slik ser det ut for ligningen vår:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Jeg skal tyde det. Skriv fortsatt meningsfullt Det er mer behagelig enn å tegne noen mystiske bokstaver dumt, ikke sant?)

π /3 – dette er det samme hjørnet som vi sag på sirkelen og fast bestemt i henhold til cosinustabellen.

2π er en fullstendig revolusjon i radianer.

n - dette er antallet komplette, dvs. hel rpm Det er klart at n kan være lik 0, ±1, ±2, ±3.... og så videre. Som indikert av den korte oppføringen:

n ∈ Z

n tilhører ( ∈ ) sett med heltall ( Z ). Forresten, i stedet for bokstaven n bokstaver kan godt brukes k, m, t etc.

Denne notasjonen betyr at du kan ta et hvilket som helst heltall n . Minst -3, minst 0, minst +55. Hva enn du vil. Hvis du erstatter dette tallet i svaret, vil du få en spesifikk vinkel, som definitivt vil være løsningen på vår harde ligning.)

Eller med andre ord, x = π /3 er den eneste roten til et uendelig sett. For å få alle de andre røttene er det nok å legge til et hvilket som helst antall hele omdreininger til π /3 ( n ) i radianer. De. 2πn radian.

Alle? Nei. Jeg forlenger gleden bevisst. For å huske bedre.) Vi fikk bare deler av svarene på ligningen vår. Jeg vil skrive denne første delen av løsningen slik:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ikke bare én rot, men en hel rekke røtter, skrevet ned i kort form.

Men det finnes også vinkler som også gir en cosinus på 0,5!

La oss gå tilbake til bildet vårt som vi skrev ned svaret fra. Her er hun:

Hold musen over bildet og vi ser en annen vinkel det gir også en cosinus på 0,5. Hva tror du det er lik? Trekantene er like... Ja! Det er lik vinkelen X , bare forsinket i negativ retning. Dette er hjørnet -X. Men vi har allerede beregnet x. π /3 eller 60°. Derfor kan vi trygt skrive:

x 2 = - π /3

Vel, selvfølgelig legger vi til alle vinklene som oppnås gjennom hele omdreininger:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt nå.) På den trigonometriske sirkelen vi sag(hvem forstår, selvfølgelig)) Alle vinkler som gir en cosinus på 0,5. Og vi skrev ned disse vinklene i en kort matematisk form. Svaret resulterte i to uendelige serier med røtter:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er det riktige svaret.

Håp, generelt prinsipp for å løse trigonometriske ligningerå bruke en sirkel er tydelig. Vi markerer cosinus (sinus, tangens, cotangens) fra den gitte ligningen på en sirkel, tegner vinklene som tilsvarer den og skriver ned svaret. Selvfølgelig må vi finne ut hvilke hjørner vi er sag på sirkelen. Noen ganger er det ikke så tydelig. Vel, jeg sa at logikk kreves her.)

La oss for eksempel se på en annen trigonometrisk ligning:

Vennligst ta i betraktning at tallet 0,5 ikke er det eneste mulige tallet i ligninger!) Det er bare mer praktisk for meg å skrive det enn røtter og brøker.

Vi jobber etter det generelle prinsippet. Vi tegner en sirkel, markerer (på sinusaksen, selvfølgelig!) 0,5. Vi tegner alle vinklene som tilsvarer denne sinusen samtidig. Vi får dette bildet:

La oss ta for oss vinkelen først X i første kvartal. Vi husker tabellen over sinus og bestemmer verdien av denne vinkelen. Det er en enkel sak:

x = π /6

Vi husker om fulle svinger, og med god samvittighet skriver vi ned den første serien med svar:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Halve jobben er gjort. Men nå må vi bestemme andre hjørnet... Det er vanskeligere enn å bruke kosinus, ja... Men logikken vil redde oss! Hvordan bestemme den andre vinkelen gjennom x? Ja enkelt! Trekantene på bildet er de samme, og det røde hjørnet X lik vinkel X . Bare det telles fra vinkelen π i negativ retning. Det er derfor den er rød.) Og for svaret trenger vi en vinkel, målt riktig, fra den positive halvaksen OX, dvs. fra en vinkel på 0 grader.

Vi holder markøren over tegningen og ser alt. Jeg fjernet det første hjørnet for ikke å komplisere bildet. Vinkelen vi er interessert i (tegnet i grønt) vil være lik:

π - x

X vi vet dette π /6 . Derfor vil den andre vinkelen være:

π - π /6 = 5π /6

Igjen husker vi å legge til hele omdreininger og skrive ned den andre serien med svar:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Det er alt. Et fullstendig svar består av to serier med røtter:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tangent- og cotangensligninger kan enkelt løses ved å bruke det samme generelle prinsippet for å løse trigonometriske ligninger. Hvis du selvfølgelig vet hvordan du tegner tangent og cotangens på en trigonometrisk sirkel.

I eksemplene ovenfor brukte jeg tabellverdien for sinus og cosinus: 0,5. De. en av de betydningene som eleven kjenner til må. La oss nå utvide våre evner til alle andre verdier. Bestem, så bestem!)

Så la oss si at vi må løse denne trigonometriske ligningen:

Det er ingen slik cosinusverdi i de korte tabellene. Vi ignorerer kaldt dette forferdelige faktum. Tegn en sirkel, merk 2/3 på cosinus-aksen og tegn de tilsvarende vinklene. Vi får dette bildet.

La oss først se på vinkelen i første kvartal. Hvis vi bare visste hva x er lik, ville vi umiddelbart skrevet ned svaret! Vi vet ikke ... Feil!? Rolig! Matematikk etterlater ikke sine egne folk i trøbbel! Hun kom opp med buekosinus til denne saken. Vet ikke? Forgjeves. Finn ut, det er mye enklere enn du tror. Det er ikke en eneste vanskelig spell om "inverse trigonometriske funksjoner" på denne lenken... Dette er overflødig i dette emnet.

Hvis du vet, bare si til deg selv: "X er en vinkel hvis cosinus er lik 2/3." Og umiddelbart, rent av definisjonen av arc cosinus, kan vi skrive:

Vi husker de ekstra revolusjonene og skriver rolig ned den første serien med røtter til vår trigonometriske ligning:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Den andre serien med røtter for den andre vinkelen skrives nesten automatisk ned. Alt er det samme, bare X (arccos 2/3) vil ha et minus:

x 2 = - buer 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Og det er det! Dette er det riktige svaret. Enda enklere enn med tabellverdier. Det er ikke nødvendig å huske noe.) De mest oppmerksomme vil forresten legge merke til at dette bildet viser løsningen gjennom buekosinus i hovedsak ikke forskjellig fra bildet for ligningen cosx = 0,5.

Nøyaktig! Det generelle prinsippet er nettopp det! Jeg har bevisst tegnet to nesten like bilder. Sirkelen viser oss vinkelen X ved sin kosinus. Om det er en tabellform kosinus eller ikke er ukjent for alle. Hva slags vinkel dette er, π /3, eller hva buekosinus er - det er opp til oss å bestemme.

Samme sang med sinus. For eksempel:

Tegn en sirkel igjen, merk sinus lik 1/3, tegn vinklene. Dette er bildet vi får:

Og igjen er bildet nesten det samme som for ligningen sinx = 0,5. Igjen starter vi fra hjørnet i første kvarter. Hva er X lik hvis sinus er 1/3? Ikke noe problem!

Nå er den første pakken med røtter klar:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

La oss ta for oss den andre vinkelen. I eksemplet med en tabellverdi på 0,5 var den lik:

π - x

Det blir akkurat det samme her også! Bare x er forskjellig, arcsin 1/3. Hva så!? Du kan trygt skrive ned den andre pakken med røtter:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Dette er et helt riktig svar. Selv om det ikke ser veldig kjent ut. Men det er klart, håper jeg.)

Slik løses trigonometriske ligninger ved hjelp av en sirkel. Denne veien er tydelig og forståelig. Det er han som sparer i trigonometriske ligninger med utvalg av røtter på et gitt intervall, i trigonometriske ulikheter - de løses stort sett alltid i en sirkel. Kort sagt, i alle oppgaver som er litt vanskeligere enn standardoppgaver.

La oss bruke kunnskap i praksis?)

Løs trigonometriske ligninger:

Først, enklere, rett fra denne leksjonen.

Nå er det mer komplisert.

Hint: her må du tenke på sirkelen. Personlig.)

Og nå er de utad enkle... De kalles også spesielle tilfeller.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Hint: her må du finne ut i en sirkel hvor det er to serier med svar og hvor det er en ... Og hvordan du skriver en i stedet for to serier med svar. Ja, slik at ikke en eneste rot fra et uendelig antall går tapt!)

Vel, veldig enkelt):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Hint: her må du vite hva arcsine og arccosine er? Hva er arctangens, arccotangent? De enkleste definisjonene. Men du trenger ikke å huske noen tabellverdier!)

Svarene er selvfølgelig et rot):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Ikke alt ordner seg? Skjer. Les leksjonen på nytt. Bare ettertenksomt(det er et så utdatert ord...) Og følg linkene. Hovedlenkene handler om sirkelen. Uten den er trigonometri som å krysse veien med bind for øynene. Noen ganger fungerer det.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

De enkleste trigonometriske ligningene er ligningene

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Ligning cos(x) = a

Forklaring og begrunnelse

1. Røttene til ligningen cosx = a. Når | en | > 1 ligningen har ingen røtter, siden | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 eller kl< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

La | en |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. På intervallet reduseres funksjonen y = cos x fra 1 til -1. Men en avtagende funksjon tar hver av verdiene bare på ett punkt av sitt definisjonsdomene, derfor har ligningen cos x = a bare én rot på dette intervallet, som per definisjon av arccosine er lik: x 1 = arccos a (og for denne roten cos x = A).

Cosinus er en jevn funksjon, så på intervallet [-n; 0] ligningen cos x = og har også bare én rot - tallet motsatt x 1, dvs.

x 2 = -arccos a.

Således, på intervallet [-n; p] (lengde 2p) ligning cos x = a med | en |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funksjonen y = cos x er periodisk med en periode på 2n, derfor skiller alle andre røtter seg fra de som finnes av 2n (n € Z). Vi får følgende formel for røttene til ligningen cos x = a når

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Spesielle tilfeller av å løse ligningen cosx = a.

Det er nyttig å huske spesielle notasjoner for røttene til ligningen cos x = a når

a = 0, a = -1, a = 1, som enkelt kan oppnås ved å bruke enhetssirkelen som referanse.

Siden cosinus er lik abscissen til det tilsvarende punktet i enhetssirkelen, får vi at cos x = 0 hvis og bare hvis det tilsvarende punktet i enhetssirkelen er punkt A eller punkt B.

På samme måte er cos x = 1 hvis og bare hvis det tilsvarende punktet i enhetssirkelen er punktet C, derfor,

x = 2πп, k € Z.

Også cos x = -1 hvis og bare hvis det tilsvarende punktet i enhetssirkelen er punktet D, dermed x = n + 2n,

Ligning sin(x) = a

Forklaring og begrunnelse

1. Røttene til ligningen sinx = a. Når | en | > 1 ligningen har ingen røtter, siden | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 eller kl< -1 не пересекает график функции y = sinx).

De viktigste metodene for å løse trigonometriske likninger er: å redusere likningene til de enkleste (ved å bruke trigonometriske formler), introdusere nye variabler og faktorisering. La oss se på bruken deres med eksempler. Vær oppmerksom på formatet for å skrive løsninger til trigonometriske ligninger.

En nødvendig betingelse for å lykkes med å løse trigonometriske ligninger er kunnskap om trigonometriske formler (emne 13 i arbeid 6).

Eksempler.

1. Ligninger redusert til de enkleste.

1) Løs ligningen

Løsning:

Svar:

2) Finn røttene til ligningen

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, som tilhører segmentet.

Løsning:

Svar:

2. Ligninger som reduserer til kvadratisk.

1) Løs ligningen 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Løsning: Ved å bruke formelen sin 2 x = 1 – cos 2 x, får vi

Svar:

2) Løs ligningen cos 2x = 1 + 4 cosx.

Løsning: Ved å bruke formelen cos 2x = 2 cos 2 x – 1, får vi

Svar:

3) Løs ligningen tgx – 2ctgx + 1 = 0

Løsning:

Svar:

3. Homogene ligninger

1) Løs ligningen 2sinx – 3cosx = 0

Løsning: La cosx = 0, så 2sinx = 0 og sinx = 0 – en selvmotsigelse med at sin 2 x + cos 2 x = 1. Dette betyr cosx ≠ 0 og vi kan dele ligningen på cosx. Vi får

Svar:

2) Løs ligningen 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Løsning:

Vi bruker formlene 1 = sin 2 x + cos 2 x og sin 2x = 2 sinxcosx, får vi

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

La cosx = 0, så sin 2 x = 0 og sinx = 0 – en selvmotsigelse med det faktum at sin 2 x + cos 2 x = 1.
Dette betyr cosx ≠ 0 og vi kan dele ligningen med cos 2 x . Vi får

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
La oss betegne tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Svar: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Formlikninger en sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Løs ligningen.

Løsning:

Svar:

5. Ligninger løst ved faktorisering.

1) Løs ligningen sin2x – sinx = 0.

Roten til ligningen f (X) = φ ( X) kan bare tjene som tallet 0. La oss sjekke dette:

cos 0 = 0 + 1 – likheten er sann.

Tallet 0 er den eneste roten til denne ligningen.

Svar: 0.

Trigonometriske ligninger .

De enkleste trigonometriske ligningene .

Metoder for å løse trigonometriske ligninger.

Trigonometriske ligninger. En ligning som inneholder en ukjent under tegnet for den trigonometriske funksjonen kalles trigonometrisk.

De enkleste trigonometriske ligningene.

Metoder for å løse trigonometriske ligninger. Å løse en trigonometrisk ligning består av to trinn: likningstransformasjon for å få det enklest type (se ovenfor) og løsningden enkleste resulterende trigonometrisk ligning. Det er sju grunnleggende metoder for å løse trigonometriske ligninger.

1. Algebraisk metode. Denne metoden er velkjent for oss fra algebra.

(variabel erstatnings- og substitusjonsmetode).

2. Faktorisering. La oss se på denne metoden med eksempler.

Eksempel 1. Løs ligningen: synd x+cos x = 1 .

Løsning. La oss flytte alle leddene i ligningen til venstre:

Synd x+cos x – 1 = 0 ,

La oss transformere og faktorisere uttrykket inn

Venstre side av ligningen:

Eksempel 2. Løs ligningen: cos 2 x+ synd x cos x = 1.

Løsning: cos 2 x+ synd x cos x– synd 2 x– Cos 2 x = 0 ,

Synd x cos x– synd 2 x = 0 ,

Synd x· (cos x– synd x ) = 0 ,

Eksempel 3. Løs ligningen: cos 2 x– for 8 x+ cos 6 x = 1.

Løsning: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,

Cos 4 x · (koster 2 x– for 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 synd 3 x synd x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). synd 3 x= 0, 3). synd x = 0 ,

3.

Fører til homogen ligning. Ligningen kalt homogen fra angående synd Og cos , Hvis alt sammen vilkår av samme grad i forhold til synd Og cos samme vinkel. For å løse en homogen ligning trenger du: EN) flytte alle dens medlemmer til venstre side; b) sette alle vanlige faktorer utenfor parentes; V) likestille alle faktorer og parenteser til null; G) parentes lik null gir homogen ligning av mindre grad, som bør deles inn i cos(eller synd) i høyere grad; d) løse den resulterende algebraiske ligningen mhttan . EKSEMPEL Løs ligning: 3 synd 2 x+ 4 synd x cos x+ 5cos 2 x = 2. Løsning: 3sin 2 x+ 4 synd x cos x+ 5 cos 2 x= 2sin 2 x+ 2cos 2 x , Synd 2 x+ 4 synd x cos x+ 3 cos 2 x = 0 , Tan 2 x+ 4 brunfarge x + 3 = 0 , herfra y 2 + 4y +3 = 0 , Røttene til denne ligningen er:y 1 = - 1, y 2 = - 3, derfor 1) brunfarge x= –1, 2) brun x = –3,

4. Overgang til halv vinkel. La oss se på denne metoden ved å bruke et eksempel:

EKSEMPEL Løs ligning: 3 synd x– 5 cos x = 7.

Løsning: 6 synd ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 sin² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) – 6 synd ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

tan²( x/ 2) – 3 tan ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Innføring av en hjelpevinkel. Tenk på en formlikning:

en synd x + b cos x = c ,

Hvor en, b, c- koeffisienter;x– ukjent.

Nå har koeffisientene til ligningen egenskapene til sinus og cosinus, nemlig: modul (absolutt verdi) av hver