Definer en ball. Kule, kule, segment og sektor

En ball er et legeme som består av alle punkter i rommet som er plassert i en avstand som ikke er større enn en gitt fra et gitt punkt. Dette punktet kalles ballens senter, og denne avstanden kalles ballens radius. Grensen til en ball kalles en sfærisk overflate eller sfære. Punktene på kulen er alle punkter på ballen som fjernes fra midten i en avstand lik radiusen. Ethvert segment som forbinder midten av en kule til et punkt på den sfæriske overflaten kalles også en radius. Segmentet som går gjennom midten av ballen og forbinder to punkter på den sfæriske overflaten kalles diameteren. Endene av en hvilken som helst diameter kalles diametralt motsatte punkter på ballen.

En ball er et revolusjonslegeme, akkurat som en kjegle og en sylinder. En kule oppnås ved å rotere en halvsirkel rundt sin diameter som en akse.

Overflatearealet til ballen kan bli funnet ved å bruke formlene:

der r er kulens radius, d er kulens diameter.

Volumet av ballen er funnet ved formelen:

V = 4 / 3 πr 3,

hvor r er kulens radius.

Teorem. Hver seksjon av en ball ved et fly er en sirkel. Sentrum av denne sirkelen er bunnen av perpendikulæren trukket fra midten av ballen til skjæreplanet.

Basert på dette teoremet, hvis en kule med senter O og radius R er skjært av planet α, resulterer tverrsnittet i en sirkel med radius r med senter K. Radiusen til seksjonen av ballen ved planet kan bli funnet etter formelen

Fra formelen er det klart at plan like langt fra sentrum skjærer ballen i like sirkler. Radiusen til seksjonen er større, jo nærmere skjæreplanet er til midten av ballen, det vil si jo mindre er avstanden OK. Den største radiusen har et snitt av et plan som går gjennom midten av ballen. Radien til denne sirkelen er lik radiusen til ballen.

Planet som går gjennom midten av ballen kalles senterplanet. Seksjonen av en kule ved diametralplanet kalles en storsirkel, og delen av en kule kalles en storsirkel, og delen av en kule kalles en storsirkel.

Teorem. Ethvert diametralt plan til en ball er dens symmetriplan. Sentrum av ballen er dens senter for symmetri.

Planet som går gjennom punkt A på den sfæriske overflaten og er vinkelrett på radiusen tegnet til punkt A kalles tangentplanet. Punkt A kalles tangentpunktet.

Teorem. Tangentplanet har bare ett felles punkt med ballen - kontaktpunktet.

Den rette linjen som går gjennom punkt A på den sfæriske overflaten vinkelrett på radiusen trukket til dette punktet kalles en tangent.

Teorem. Et uendelig antall tangenter passerer gjennom et hvilket som helst punkt på den sfæriske overflaten, og alle ligger i tangentplanet til ballen.

Et sfærisk segment er den delen av en kule som er avskåret fra den av et fly. Sirkel ABC er bunnen av det sfæriske segmentet. Det vinkelrette segmentet MN trukket fra sentrum N av sirkel ABC til skjæringspunktet med den sfæriske overflaten er høyden til det sfæriske segmentet. Punkt M er toppunktet til det sfæriske segmentet.

Overflatearealet til et sfærisk segment kan beregnes ved hjelp av formelen:

Volumet til et sfærisk segment kan bli funnet ved å bruke formelen:

V = πh 2 (R – 1/3 t),

der R er radiusen til storsirkelen, h er høyden til det sfæriske segmentet.

En sfærisk sektor oppnås fra et sfærisk segment og en kjegle som følger. Hvis det sfæriske segmentet er mindre enn en halvkule, kompletteres det sfæriske segmentet av en kjegle, hvis toppunkt er i midten av ballen, og basen er bunnen av segmentet. Hvis segmentet er større enn en halvkule, fjernes den angitte kjeglen fra den.

En sfærisk sektor er en del av en kule avgrenset av en buet overflate av et sfærisk segment (i vår figur er dette AMCB) og en konisk overflate (i vår figur er dette OABC), hvis basis er bunnen av segment (ABC), og toppunktet er midten av kulen O.

Volumet av den sfæriske sektoren er funnet ved formelen:

V = 2/3 πR 2 H.

Et sfærisk lag er en del av en kule innelukket mellom to parallelle plan (plan ABC og DEF i figuren) som skjærer den sfæriske overflaten. Den buede overflaten av det sfæriske laget kalles et sfærisk belte (sone). Sirkler ABC og DEF er basene til det sfæriske beltet. Avstanden NK mellom basene til det sfæriske beltet er høyden.

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.

GEOMETRI

Seksjon II. STEREOMETRI

§22. BALL. KULE.

1. Definisjon av ball og kule. Elementer av ball og kule.

En kule er et geometrisk legeme dannet av rotasjonen av en sirkel rundt en akse som inneholder dens diameter (fig. 500).

Sentrum av sirkelen som roterer kalles ballens senter, radiusen til sirkelen er ballens radius, og sirkelens diameter er ballens diameter. I figur 500 er punktet O midten av ballen, OA og OB er ballens radier, og AB er ballens diameter.

Overflaten til en ball kalles en kule.

Sentrum, radius og diameter til en kule er også sentrum, radius og diameter til en kule.

Alle punkter på sfæren er i samme avstand, lik radius, fra midten av sfæren. Andre punkter på kulen som ikke tilhører kulen kalles interne punkter sies å ligge inne i kulen. De indre punktene til ballen er plassert fra midten av ballen i en avstand som er mindre enn radiusen.

Dermed kommer vi til en annen definisjon av sfære og ball.

En kule er en overflate som består av alle punkter i rommet like langt fra samme punkt. Dette punktet kalles sfærens sentrum, og avstanden fra sfærens senter til noen av punktene er sfærens radius.

En kule er et geometrisk legeme som består av alle punkter i rommet plassert i en avstand som ikke er større enn et gitt punkt fra et gitt punkt. Dette punktet kalles ballens senter, og denne avstanden kalles ballens radius.

Eksempel. Sfærens radius er 3,5 cm. Punkt A er plassert innenfor eller utenfor sfæren hvis det er langt fra sfærens sentrum: 1) cm, 2) cm.

Definisjon.

Kule (ball overflate) er samlingen av alle punkter i tredimensjonalt rom som er i samme avstand fra ett punkt, kalt sentrum av sfæren(OM).

En kule kan beskrives som en tredimensjonal figur som er dannet ved å rotere en sirkel rundt sin diameter med 180° eller en halvsirkel rundt sin diameter med 360°.

Definisjon.

Ball er en samling av alle punkter i tredimensjonalt rom, hvor avstanden ikke overstiger en viss avstand til et punkt kalt midten av ballen(O) (settet med alle punkter i tredimensjonalt rom begrenset av en kule).

En ball kan beskrives som en tredimensjonal figur som er dannet ved å rotere en sirkel rundt sin diameter med 180° eller en halvsirkel rundt sin diameter med 360°.

Definisjon. Radius av kulen (kulen)(R) er avstanden fra midten av kulen (kulen) O til et hvilket som helst punkt på kulen (overflaten av ballen).

Definisjon. Kule (kule) diameter(D) er et segment som forbinder to punkter i en kule (overflaten til en kule) og passerer gjennom midten.

Formel. Kulevolum:

V=	4	π R3 =	1	π D 3
	3		6

Formel. Overflateareal av en kule gjennom radius eller diameter:

S = 4π R 2 = π D 2

Kuleligning

1. Ligning av en kule med radius R og sentrum ved opprinnelsen til det kartesiske koordinatsystemet:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Ligning av en kule med radius R og sentrum i et punkt med koordinater (x 0, y 0, z 0) i det kartesiske koordinatsystemet:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definisjon. Diametralt motsatte punkter er to punkter på overflaten av en kule (kule) som er forbundet med en diameter.

Grunnleggende egenskaper til en kule og en ball

1. Alle punkter på kulen er like langt fra midten.

2. Enhver del av en kule ved et plan er en sirkel.

3. Enhver del av en ball ved et plan er en sirkel.

4. Kulen har det største volumet blant alle romlige figurer med samme overflateareal.

5. Gjennom to diametralt motsatte punkter kan du tegne mange flotte sirkler for en kule eller sirkler for en ball.

6. Gjennom to punkter, unntatt diametralt motsatte punkter, kan du tegne bare én stor sirkel for en kule eller en stor sirkel for en ball.

7. Eventuelle to storsirkler av en ball skjærer seg langs en rett linje som går gjennom midten av ballen, og sirklene skjærer hverandre i to diametralt motsatte punkter.

8. Hvis avstanden mellom sentrene til noen av to kuler er mindre enn summen av deres radier og større enn modulen til differansen til radiene deres, så er slike kuler krysse, og det dannes en sirkel i skjæringsplanet.

Sekant, akkord, sekantplan av en kule og deres egenskaper

Definisjon. Sfære sekant er en rett linje som skjærer sfæren i to punkter. Skjæringspunktene kalles piercingpunkter overflater eller inn- og utgangspunkter på overflaten.

Definisjon. Akkorde av en kule (ball)- dette er et segment som forbinder to punkter på en kule (overflaten til en ball).

Definisjon. Kutteplan er planet som skjærer sfæren.

Definisjon. Diametralt plan- dette er et sekantplan som går gjennom midten av en kule eller kule, seksjonen dannes deretter stor sirkel Og stor sirkel. Storsirkelen og storsirkelen har et senter som sammenfaller med midten av kulen (kulen).

Enhver akkord som går gjennom midten av en kule (kule) er en diameter.

En akkord er et segment av en sekantlinje.

Avstanden d fra sfærens sentrum til sekanten er alltid mindre enn sfærens radius:

d< R

Avstanden m mellom skjæreplanet og midten av kulen er alltid mindre enn radius R:

m< R

Plasseringen av delen av skjæreplanet på kulen vil alltid være liten sirkel, og på ballen vil seksjonen være liten sirkel. Den lille sirkelen og den lille sirkelen har sine egne sentre som ikke sammenfaller med midten av kulen (kulen). Radius r til en slik sirkel kan bli funnet ved å bruke formelen:

r = √R 2 - m 2,

Der R er radiusen til kulen (kulen), er m avstanden fra midten av kulen til skjæreplanet.

Definisjon. halvkule (halvkule)- dette er halvparten av en kule (kule), som dannes når den kuttes av et diametralt plan.

Tangent, tangentplan til en kule og deres egenskaper

Definisjon. Tangent til en sfære– Dette er en rett linje som berører sfæren på bare ett punkt.

Definisjon. Tangent fly til en kule er et plan som berører sfæren på bare ett punkt.

Tangentlinjen (planet) er alltid vinkelrett på radiusen til kulen trukket til kontaktpunktet

Avstanden fra sfærens sentrum til tangentlinjen (planet) er lik radiusen til sfæren.

Definisjon. Ballsegment- dette er den delen av ballen som er avskåret fra ballen av et skjæreplan. Grunnlaget for segmentet kalt sirkelen som dannet seg på stedet for seksjonen. Segmenthøyde h er lengden på perpendikulæren trukket fra midten av bunnen av segmentet til overflaten av segmentet.

Formel. Ytre overflateareal av et kulesegment med høyde h gjennom radiusen til kulen R:

S = 2πRh

Ball (sfære)

Sfærisk overflate. Ball (sfære). Ballseksjoner: sirkler.

Arkimedes' teorem. Deler av ballen: sfærisk segment,

sfærisk lag, sfærisk belte, sfærisk sektor.

Sfærisk overflate - Dette lokus av poeng(de. mangeantall alle poeng)i rommet, like langt fra ett punkt O , som kalles midten av den sfæriske overflaten (fig. 90). Radius AOi diameter AB bestemmes på samme måte som i en sirkel.

Ball (sfære) - Dette et legeme avgrenset av en sfærisk overflate. Kan få ballen ved å rotere halvsirkelen ( eller sirkel ) rundt diameteren. Alle plane deler av ballen er sirkler ( Fig. 90 ). Den største sirkelen ligger i en seksjon som går gjennom midten av ballen og kalles stor sirkel. Dens radius er lik radiusen til ballen. Alle to store sirkler skjærer hverandre langs kulens diameter ( AB, fig. 91 ).Denne diameteren er også diameteren til kryssende storsirkler. Gjennom to punkter på en sfærisk overflate plassert i endene av samme diameter(A og B, fig. 91 ), kan du tegne utallige store sirkler. For eksempel kan et uendelig antall meridianer trekkes gjennom jordens poler.

Volumet av kulen er halvannen ganger mindre enn volumet til sylinderen som er omskrevet rundt den. (Fig. 92 ), EN ballens overflate er halvannen ganger mindre enn den totale overflaten til samme sylinder ( Arkimedes' teorem):

Her S ball Og V ball - overflaten og volumet til ballen, henholdsvis;

S cyl Og V cyl - den totale overflaten og volumet til den omskrevne sylinderen.

Deler av ballen. Del av en ball (sfære) ), avskåret fra det med et fly ( ABC, Fig. 93), ringte ball(sfærisk ) segment. Sirkel ABC ringte basis ballsegment. Segment MN vinkelrett trukket fra midten N sirkel ABC til den skjærer en sfærisk overflate, kalles høyde ballsegment. Prikk M ringte topp ballsegment.

En del av en kule innelukket mellom to parallelle plan ABC og DEF som skjærer en sfærisk overflate (fig. 93), ringte sfærisk lag; den buede overflaten til et sfærisk lag kalles ballbelte(sone). Sirkler ABC og DEF – begrunnelse ballbelte. Avstand N.K. mellom basene til det sfæriske beltet - dens høyde. Den delen av ballen som er avgrenset av den buede overflaten til et sfærisk segment ( AMCB, Fig.93) og konisk overflate OABC , hvis basis er basen til segmentet ( ABC ), og toppunktet er midten av ballen O , kalt sfærisk sektor.

En kule og en kule er først og fremst geometriske figurer, og hvis en kule er en geometrisk kropp, så er en kule overflaten til en kule. Disse tallene var av interesse for mange tusen år siden f.Kr.

Senere, da det ble oppdaget at jorden er en ball og himmelen er en himmelkule, ble en ny fascinerende retning innen geometri utviklet - geometri på en kule eller sfærisk geometri. For å snakke om størrelsen og volumet til en ball, må du først definere den.

Ball

En kule med radius R med senter ved punkt O i geometri er et legeme som er skapt av alle punkter i rommet som har en felles egenskap. Disse punktene er plassert i en avstand som ikke overstiger ballens radius, det vil si at de fyller hele rommet mindre enn ballens radius i alle retninger fra midten. Hvis vi bare vurderer de punktene som er like langt fra midten av ballen, vil vi vurdere overflaten eller skallet til ballen.

Hvordan kan jeg få ballen? Vi kan kutte en sirkel ut av papir og begynne å rotere den rundt sin egen diameter. Det vil si at sirkelens diameter vil være rotasjonsaksen. Den dannede figuren vil være en ball. Derfor kalles ballen også en revolusjonskropp. Fordi den kan dannes ved å rotere en flat figur - en sirkel.

La oss ta et fly og kutte ballen med den. Akkurat som vi skjærer en appelsin med en kniv. Stykket som vi kuttet av fra ballen kalles et sfærisk segment.

I antikkens Hellas visste de hvordan de ikke bare skulle jobbe med en ball og kule som geometriske figurer, for eksempel bruke dem i konstruksjon, men visste også hvordan de skulle beregne overflaten til en ball og volumet til en ball.

En kule er et annet navn for overflaten til en ball. En sfære er ikke en kropp – den er overflaten av et revolusjonslegeme. Men siden både Jorden og mange kropper har en sfærisk form, for eksempel en vanndråpe, har studiet av geometriske forhold inne i sfæren blitt utbredt.

For eksempel, hvis vi forbinder to punkter i en sfære med hverandre med en rett linje, vil denne rette linjen bli kalt en akkord, og hvis denne akkorden passerer gjennom midten av sfæren, som faller sammen med midten av ballen, da vil akkorden kalles kulens diameter.

Hvis vi tegner en rett linje som berører sfæren på bare ett punkt, vil denne linjen bli kalt en tangent. I tillegg vil denne tangenten til sfæren på dette punktet være vinkelrett på radiusen til sfæren trukket til kontaktpunktet.

Hvis vi utvider akkorden til en rett linje i den ene eller den andre retningen fra sfæren, vil denne akkorden bli kalt en sekant. Eller vi kan si det annerledes - sekanten til sfæren inneholder dens akkord.

Ballvolum

Formelen for å beregne volumet til en ball er:

hvor R er kulens radius.

Hvis du trenger å finne volumet til et sfærisk segment, bruk formelen:

V seg =πh 2 (R-h/3), h er høyden på det sfæriske segmentet.

Overflateareal av en ball eller kule

For å beregne arealet til en kule eller overflatearealet til en ball (de er det samme):

der R er radiusen til kulen.

Archimedes var veldig glad i ballen og sfæren, han ba til og med om å legge igjen en tegning på graven hans der en ball var innskrevet i en sylinder. Arkimedes mente at volumet til en kule og dens overflate er lik to tredjedeler av volumet og overflaten til sylinderen der kulen er innskrevet."