Handlinger med kvadratrøtter. Modul

Egenskaper kvadratrøtter

Så langt har vi utført fem aritmetiske operasjoner på tall: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og eksponentiering, og i beregningene ble ulike egenskaper ved disse operasjonene aktivt brukt, for eksempel a + b = b + a, an-bn = (ab)n, etc.

Dette kapittelet introduserer en ny operasjon - utvinning kvadratrot fra et ikke-negativt tall. For å bruke den på en vellykket måte, må du bli kjent med egenskapene til denne operasjonen, noe vi vil gjøre i denne delen.

Bevis. La oss introdusere følgende notasjon: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="Equality" width="120" height="25 id=">!}.

Det er akkurat slik vi skal formulere neste teorem.

(En kort formulering som er mer praktisk å bruke i praksis: roten til brøken lik en brøkdel fra røttene eller roten til kvotienten er lik kvotienten til røttene.)

Denne gangen vil vi bare gi kort notat bevis, og du prøver å komme med passende kommentarer, lignende emner, som dannet essensen av beviset for teorem 1.

Merknad 3. Selvfølgelig kan dette eksemplet løses annerledes, spesielt hvis du har en mikrokalkulator for hånden: multipliser tallene 36, 64, 9, og ta kvadratroten av det resulterende produktet. Du vil imidlertid være enig i at løsningen foreslått ovenfor ser mer kulturell ut.

Merknad 4. I den første metoden utførte vi beregninger "front-on". Den andre måten er mer elegant:
vi søkte formel a2 - b2 = (a - b) (a + b) og brukte egenskapen til kvadratrøtter.

Merknad 5. Noen "hot heads" tilbyr noen ganger denne "løsningen" til eksempel 3:

Dette er selvfølgelig ikke sant: du skjønner - resultatet er ikke det samme som i eksempel 3. Faktum er at det ikke er noen eiendom https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Task" width="148" height="26 id=">!} Det er kun egenskaper knyttet til multiplikasjon og divisjon av kvadratrøtter. Vær forsiktig og forsiktig, ikke ta ønsketenkning.

La oss avslutte dette avsnittet, la oss merke en ting til som er ganske enkel og samtidig viktig eiendom:
hvis a > 0 og n - naturlig tall , Det

Konvertering av uttrykk som inneholder en kvadratrotoperasjon

Til nå har vi kun utført transformasjoner rasjonelle uttrykk, bruker for dette reglene for handlinger på polynomer og algebraiske brøker, forkortede multiplikasjonsformler osv. I dette kapittelet introduserte vi en ny operasjon - kvadratrotoperasjonen; det har vi slått fast

hvor, husk, a, b er ikke-negative tall.

Bruker disse formler, kan du utføre ulike transformasjoner på uttrykk som inneholder en kvadratrotoperasjon. La oss se på flere eksempler, og i alle eksemplene vil vi anta at variablene kun tar ikke-negative verdier.

Eksempel 3. Skriv inn multiplikatoren under kvadratrottegnet:

Eksempel 6. Forenkle uttrykket Løsning. La oss utføre sekvensielle transformasjoner:

Arealet til en kvadratisk tomt er 81 dm². Finn hans side. Anta at sidelengden på kvadratet er X desimeter. Da er arealet av tomten X² kvadratdesimeter. Siden, i henhold til betingelsen, er dette arealet lik 81 dm², da X² = 81. Lengden på en side av et kvadrat er et positivt tall. Et positivt tall hvis kvadrat er 81 er tallet 9. Ved løsning av oppgaven var det nødvendig å finne tallet x hvis kvadrat er 81, dvs. løse likningen X² = 81. Denne ligningen har to røtter: x 1 = 9 og x 2 = - 9, siden 9² = 81 og (- 9)² = 81. Både tallene 9 og - 9 kalles kvadratrøttene av 81.

Legg merke til at en av kvadratrøttene X= 9 er positivt tall. Det kalles den aritmetiske kvadratroten av 81 og er betegnet √81, så √81 = 9.

Aritmetisk kvadratrot av et tall EN er et ikke-negativt tall hvis kvadrat er lik EN.

For eksempel er tallene 6 og - 6 kvadratrøtter av tallet 36. Tallet 6 er imidlertid en aritmetisk kvadratrot av 36, siden 6 er et ikke-negativt tall og 6² = 36. Tallet - 6 er ikke en aritmetisk rot.

Aritmetisk kvadratrot av et tall EN angitt som følger: √ EN.

Tegnet kalles det aritmetiske kvadratrottegnet; EN– kalt et radikalt uttrykk. Uttrykk √ EN lese slik: aritmetisk kvadratrot av et tall EN. For eksempel, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. I tilfeller hvor det er klart at vi snakker om om en aritmetisk rot sier de kort: «kvadratroten av EN«.

Handlingen med å finne kvadratroten av et tall kalles kvadratroting. Denne handlingen er det motsatte av kvadrating.

Du kan kvadrere et hvilket som helst tall, men du kan ikke trekke ut kvadratrøtter fra et hvilket som helst tall. For eksempel er det umulig å trekke ut kvadratroten av tallet - 4. Hvis en slik rot eksisterte, angir den med bokstaven X, vil vi få den feilaktige likheten x² = - 4, siden det er et ikke-negativt tall til venstre og et negativt tall til høyre.

Uttrykk √ EN gir bare mening når a ≥ 0. Definisjonen av kvadratrot kan kort skrives slik: √ a ≥ 0, (√EN)² = EN. Likestilling (√ EN)² = EN gyldig for a ≥ 0. Dermed for å sikre at kvadratroten av et ikke-negativt tall EN lik b, dvs. i det faktum at √ EN =b, må du kontrollere at følgende to betingelser er oppfylt: b ≥ 0, b² = EN.

Kvadratroten av en brøk

La oss beregne. Legg merke til at √25 = 5, √36 = 6, og la oss sjekke om likheten holder.

Fordi og , da er likheten sann. Så, .

Teorem: Hvis EN≥ 0 og b> 0, det vil si at roten av brøken er lik roten av telleren delt på roten av nevneren. Det kreves å bevise at: og .

Siden √ EN≥0 og √ b> 0, da.

Om egenskapen til å heve en brøk til en potens og definisjonen av en kvadratrot teoremet er bevist. La oss se på noen få eksempler.

Regn ut ved å bruke det påviste teoremet .

Andre eksempel: Bevis det , Hvis EN ≤ 0, b < 0. .

Et annet eksempel: Beregn .

.

Konvertering av kvadratrot

Fjerne multiplikatoren under rottegnet. La uttrykket bli gitt. Hvis EN≥ 0 og b≥ 0, så kan vi ved å bruke produktrotsetningen skrive:

Denne transformasjonen kalles å fjerne faktoren fra rottegnet. La oss se på et eksempel;

Beregn kl X= 2. Direkte substitusjon X= 2 i det radikale uttrykket fører til komplekse beregninger. Disse beregningene kan forenkles hvis du først fjerner faktorene under rottegnet: . Ved å erstatte x = 2 nå får vi:.

Så når du fjerner faktoren fra rottegnet, er det radikale uttrykket representert i form av et produkt der en eller flere faktorer er kvadrater av ikke-negative tall. Bruk deretter produktrotsetningen og ta roten til hver faktor. La oss se på et eksempel: Forenkle uttrykket A = √8 + √18 - 4√2 ved å ta ut faktorene i de to første leddene under rottegnet, vi får:. La oss understreke den likestillingen gyldig kun når EN≥ 0 og b≥ 0. hvis EN < 0, то .

Leksjon og presentasjon om emnet:
"Kvadratrotens egenskaper. Formler. Eksempler på løsninger, problemer med svar"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Pedagogiske hjelpemidler og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 8
Interaktiv lærebok "Geometri på 10 minutter" for 8. klasse
Utdanningskompleks "1C: Skole. Geometri, 8. klasse"

Egenskaper til kvadratrot

Vi fortsetter å studere kvadratrøtter. I dag skal vi se på grunnleggende egenskaper røtter. Alle de grunnleggende egenskapene er intuitive og konsistente med alle operasjonene vi har gjort før.

Egenskap 1. Kvadratroten av produktet av to ikke-negative tall lik produktet kvadratrøtter av disse tallene: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Det er vanlig å bevise alle egenskaper, la oss gjøre det.
La $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Da må vi bevise at $x=y*z$.
La oss kvadrere hvert uttrykk.
Hvis $\sqrt(a*b)=x$, så $a*b=x^2$.
Hvis $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, og deretter kvadrerer begge uttrykkene, får vi: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, det vil si $x^2=(y*z)^2$. Hvis kvadratene til to ikke-negative tall er like, så er tallene i seg selv like, som er det som måtte bevises.

Fra egenskapen vår følger det at for eksempel $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Merknad 1. Egenskapen gjelder også for tilfellet når det er mer enn to ikke-negative faktorer under roten.
Eiendom 2. Hvis $a≥0$ og $b>0$, gjelder følgende likhet: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Det vil si at roten til kvotienten er lik kvotienten til røttene.
Bevis.
La oss bruke tabellen og kort bevise vår eiendom.

Eksempler på bruk av egenskapene til kvadratrøtter

Eksempel 1.
Beregn: $\sqrt(81*25*121)$.

Løsning.
Selvfølgelig kan vi ta en kalkulator, multiplisere alle tallene under roten og utføre operasjonen med å trekke ut kvadratroten. Og hvis du ikke har en kalkulator for hånden, hva bør du gjøre da?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=$495.
Svar: 495.

Eksempel 2. Regn ut: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Løsning.
La oss representere det radikale tallet som en uekte brøk: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
La oss bruke egenskap 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= $3,4.
Svar: 3.4.

Eksempel 3.
Beregn: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Løsning.
Vi kan vurdere uttrykket vårt direkte, men det kan nesten alltid forenkles. La oss prøve å gjøre dette.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Så $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Svar: 32.

Gutter, vær oppmerksom på at det ikke er noen formler for operasjonene for addisjon og subtraksjon av radikale uttrykk, og uttrykkene som presenteres nedenfor er ikke korrekte.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Eksempel 4.
Beregn: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Løsning.
Eiendommene presentert ovenfor fungerer både fra venstre til høyre og inn omvendt rekkefølge, det vil si:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Ved å bruke dette, la oss løse vårt eksempel.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Svar: a) 16; b) 2.

Eiendom 3. Hvis $а≥0$ og n er et naturlig tall, gjelder likheten: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

For eksempel. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ og så videre.

Eksempel 5.
Beregn: $\sqrt(129600)$.

Løsning.
Antallet som presenteres for oss er ganske stort, la oss dele det ned i hovedfaktorer.
Vi mottok: $129600=5^2*2^6*3^4$ eller $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=$360.
Svar: 360.

Problemer å løse selvstendig

1. Beregn: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Beregn: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Beregn: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Beregn:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Matematikk oppsto da mennesket ble bevisst seg selv og begynte å posisjonere seg som en autonom enhet av verden. Ønsket om å måle, sammenligne, telle det som omgir deg - det er dette som ligger til grunn for en av grunnleggende vitenskaper våre dager. Til å begynne med var dette partikler av elementær matematikk, som gjorde det mulig å koble tall med deres fysiske uttrykk, senere begynte konklusjonene å bli presentert bare teoretisk (på grunn av deres abstrakthet), men etter en stund, som en forsker sa det, " matematikken nådde taket av kompleksitet da de forsvant fra alle tallene." Konseptet "kvadratrot" dukket opp på et tidspunkt da det lett kunne støttes av empiriske data, og gikk utover beregningsplanet.

Der det hele begynte

Den første omtale av roten, som er for øyeblikket betegnet som √, ble registrert i verkene til babylonske matematikere, som la grunnlaget for moderne aritmetikk. Selvfølgelig lignet de lite på den nåværende formen - forskere fra disse årene brukte først klumpete tabletter. Men i det andre årtusen f.Kr. e. De utledet en omtrentlig regneformel som viste hvordan man trekker ut kvadratroten. Bildet nedenfor viser en stein som babylonske forskere hugget prosessen for å utlede √2 på, og den viste seg å være så korrekt at avviket i svaret bare ble funnet i tiende desimal.

I tillegg ble roten brukt hvis det var nødvendig å finne en side av en trekant, forutsatt at de to andre var kjent. Vel, når man løser andregradsligninger, er det ingen unnslippe fra å trekke ut roten.

Sammen med de babylonske verkene ble gjenstanden for artikkelen også studert i det kinesiske verket "Matematikk i ni bøker", og de gamle grekerne kom til den konklusjon at ethvert tall som roten ikke kan trekkes ut fra uten en rest gir et irrasjonelt resultat .

Opprinnelse dette begrepet assosiert med den arabiske representasjonen av tall: gamle forskere trodde at kvadratet til et vilkårlig tall vokser fra en rot, som en plante. På latin høres dette ordet ut som radix (du kan spore et mønster - alt som har en "rot" betydning er konsonant, enten det er reddik eller radikulitt).

Forskere fra påfølgende generasjoner plukket opp denne ideen og utpekte den som Rx. For eksempel, på 1400-tallet, for å indikere at kvadratroten av et vilkårlig tall a ble tatt, skrev de R 2 a. Vanlig moderne utsikt"tick" √ dukket opp først på 1600-tallet takket være Rene Descartes.

Dagene våre

I matematiske termer er kvadratroten av et tall y tallet z hvis kvadrat er lik y. Med andre ord er z 2 =y ekvivalent med √y=z. Imidlertid denne definisjonen kun relevant for aritmetisk rot, siden det innebærer en ikke-negativ verdi av uttrykket. Med andre ord, √y=z, der z er større enn eller lik 0.

I generell sak, som fungerer for å bestemme den algebraiske roten, kan verdien av uttrykket enten være positiv eller negativ. På grunn av det faktum at z 2 =y og (-z) 2 =y, har vi: √y=±z eller √y=|z|.

På grunn av det faktum at kjærligheten til matematikk bare har økt med utviklingen av vitenskapen, er det forskjellige manifestasjoner av kjærlighet til det som ikke kommer til uttrykk i tørre beregninger. For eksempel, sammen med slike interessante fenomener som Pi Day, feires også kvadratrotferier. De feires ni ganger hvert hundre år, og bestemmes av til følgende prinsipp: tall som angir i rekkefølge dag og måned, må være kvadratroten av året. Så neste gang vi skal feire denne høytiden er 4. april 2016.

Egenskaper til kvadratroten på feltet R

Nesten alt matematiske uttrykk har en geometrisk basis, denne skjebnen unnslapp ikke √y, som er definert som siden av et kvadrat med området y.

Hvordan finne roten til et tall?

Det finnes flere beregningsalgoritmer. Den enkleste, men samtidig ganske tungvinte, er den vanlige aritmetiske beregningen, som er som følger:

1) fra tallet hvis rot vi trenger, trekkes oddetall etter tur - til resten ved utgangen er mindre enn den subtraherte eller til og med lik null. Antall trekk vil til slutt bli ønsket antall. For eksempel beregne kvadratroten av 25:

Følgende oddetall- dette er 11, resten er som følger: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

For slike tilfeller er det en utvidelse av Taylor-serien:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , hvor n tar verdier fra 0 til

+∞, og |y|≤1.

Grafisk representasjon av funksjonen z=√y

Tenk på den elementære funksjonen z=√y i feltet til reelle tall R, der y er større enn eller lik null. Tidsplanen ser slik ut:

Kurven vokser fra origo og skjærer nødvendigvis punktet (1; 1).

Egenskaper til funksjonen z=√y på feltet til reelle tall R

1. Definisjonsdomenet til funksjonen som vurderes er intervallet fra null til pluss uendelig (null er inkludert).

2. Verdiområdet for funksjonen som vurderes er intervallet fra null til pluss uendelig (null er igjen inkludert).

3. Funksjonen tar sin minimumsverdi (0) kun ved punktet (0; 0). Det er ingen maksimumsverdi.

4. Funksjonen z=√y er verken partall eller oddetall.

5. Funksjonen z=√y er ikke periodisk.

6. Det er bare ett skjæringspunkt for grafen til funksjonen z=√y med koordinataksene: (0; 0).

7. Skjæringspunktet til grafen til funksjonen z=√y er også nullpunktet til denne funksjonen.

8. Funksjonen z=√y vokser kontinuerlig.

9. Funksjonen z=√y tar kun positive verdier, derfor opptar grafen dens første koordinatvinkel.

Alternativer for å vise funksjonen z=√y

I matematikk, for å lette beregningen av komplekse uttrykk, brukes noen ganger kraftformen for å skrive kvadratroten: √y=y 1/2. Dette alternativet er praktisk, for eksempel ved å heve en funksjon til en potens: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Denne metoden er også en god representasjon for differensiering med integrasjon, siden kvadratroten takket være den representeres som en vanlig potensfunksjon.

Og i programmering er det å erstatte symbolet √ kombinasjonen av bokstaver sqrt.

Det er verdt å merke seg at i dette området er kvadratroten etterspurt, da den er en del av de fleste geometriske formler som er nødvendige for beregninger. Selve tellealgoritmen er ganske kompleks og er basert på rekursjon (en funksjon som kaller seg selv).

Kvadratrot i komplekst felt C

I det store og hele var det emnet for denne artikkelen som stimulerte oppdagelsen av feltet komplekse tall C, siden matematikere ble hjemsøkt av spørsmålet om å få en jevn rot av et negativt tall. Slik så den imaginære enheten i ut, som er preget av en veldig interessant egenskap: kvadratet er -1. Takket være dette ble kvadratiske ligninger løst selv med en negativ diskriminant. I C er de samme egenskapene relevante for kvadratroten som i R, det eneste er at restriksjonene på det radikale uttrykket fjernes.

Rotformler. Egenskaper til kvadratrøtter.

Oppmerksomhet!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

I forrige leksjon fant vi ut hva en kvadratrot er. Det er på tide å finne ut hvilke som finnes formler for røtter hva er egenskaper til røttene, og hva kan gjøres med alt dette.

Formler for røtter, egenskaper til røtter og regler for arbeid med røtter- Dette er i hovedsak det samme. Det er overraskende få formler for kvadratrøtter. Noe som absolutt gjør meg glad! Eller rettere sagt, du kan skrive mange forskjellige formler, men for praktisk og selvsikkert arbeid med røtter er bare tre nok. Alt annet kommer fra disse tre. Selv om mange mennesker blir forvirret i de tre rotformlene, ja...

La oss starte med den enkleste. Her er det:

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.