Hvorfor trengs differensieringsformler? Finn den deriverte: Algoritme og eksempler på løsninger

La funksjonen y = f(x) være definert i intervallet X. Derivat funksjon y = f(x) i punkt x o kalles grensen

= .

Hvis denne grensen avgrenset, da kalles funksjonen f(x). differensierbar på punktet x o; Dessuten viser det seg nødvendigvis å være kontinuerlig på dette tidspunktet.

Hvis grensen under vurdering er lik  (eller - ), forutsatt at funksjonen i punktet X o er kontinuerlig, vil vi si at funksjonen f(x) har ved punktet X o uendelig avledet.

Den deriverte er merket med symbolene

y , f (x o), , .

Å finne den deriverte kalles differensiering funksjoner. Geometrisk betydning av derivat er at den deriverte er helningen til tangenten til kurven y=f(x) i et gitt punkt X o ; fysisk mening - er at den deriverte av banen med hensyn til tid er øyeblikkelig hastighet bevegelsespunkt kl rett bevegelse s = s(t) på tidspunktet t o .

Hvis Med - konstant antall, og u = u(x), v = v(x) er noen differensierbare funksjoner, da er følgende differensieringsregler gyldige:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) hvis y = f(u), u = (x), dvs. y = f((x)) - kompleks funksjon eller superposisjon, sammensatt av differensierbare funksjoner  og f, deretter , eller

6) hvis det for en funksjon y = f(x) er en invers differensierbar funksjon x = g(y), og  0, så .

Basert på definisjonen av den deriverte og reglene for differensiering, er det mulig å kompilere en liste over tabellformede deriverte av de viktigste elementære funksjonene.

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (log a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / sin 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

La oss beregne den deriverte av potenseksponentialuttrykket y=u v , (u>0), hvor u Og v essensen av funksjonen fra X, som har derivater på et gitt punkt u",v".

Ved å ta logaritmer av likheten y=u v, får vi ln y = v ln u.

Sette likhetstegn mellom derivater mht X fra begge sider av den resulterende likheten ved å bruke regler 3, 5 og formelen for den deriverte logaritmisk funksjon, vil ha:

y"/y = vu"/u +v" ln u, hvorfra y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

For eksempel, hvis y = x sin x, så er y" = x sin x (sin x/x + cos x ln x).

Hvis funksjonen y = f(x) er differensierbar i punktet x, dvs. har en endelig derivert på dette punktet y", da = y"+, hvor 0 ved х 0; derav  y = y" х +  x.

Hoveddelen av funksjonen inkrement, lineær i forhold til x, kalles differensial funksjoner og er betegnet med dy: dy = y" х. Hvis vi setter y=x i denne formelen, får vi dx = x"х = 1х =х, derfor dy=y"dx, dvs. symbolet for Den deriverte notasjonen kan betraktes som en brøk.

Funksjonsøkning  y er inkrementet til ordinaten til kurven, og differensialen d y er ordinatøkningen til tangenten.

La oss finne for funksjonen y=f(x) dens deriverte y = f (x). Den deriverte av denne deriverten kalles andreordens derivat funksjoner f(x), eller andrederiverte, og er utpekt .

Følgende er definert og utpekt på samme måte:

tredje ordens derivat - ,

fjerde ordens deriverte -

og generelt sett n. ordens deriverte - .

Eksempel 3.15. Regn ut den deriverte av funksjonen y=(3x 3 -2x+1)sin x.

Løsning. Etter regel 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(sin x)" = = (9x 2 -2)sin x + (3x 3 -2x +1)cos x.

Eksempel 3.16 . Finn y", y = tan x + .

Løsning. Ved å bruke reglene for å skille summen og kvotienten får vi: y"=(tgx + )" = (tgx)" + ()" = + = .

Eksempel 3.17. Finn den deriverte kompleks funksjon y= , u=x 4 +1.

Løsning. I henhold til regelen for differensiering av en kompleks funksjon får vi: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Siden u=x 4 +1, da (2 x 4 + 2+ .

2. Grunnleggende regler for differensiering

Hvis Med er et konstant tall, og u = u(x), v = v(x) er noen differensierbare funksjoner, så er følgende differensieringsregler gyldige:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. Bruk av regler (5) og (8) og differensieringsformel (4) strømfunksjon vi får

Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon

Løsning. La oss bruke regelen (7) for å differensiere produktet, og deretter finne de deriverte av faktorene på samme måte som i eksempel 4. Da får vi

Eksempel 3. Finn den deriverte av funksjonen y =

Løsning. La oss bruke regel (10) for å differensiere kvotienter:

Deretter, som ovenfor, beregner vi de deriverte i telleren. Vi har

Oppgavetekst:

valg 1

1. Finn den deriverte av funksjonen .

2. Finn den deriverte av funksjonen .

ved abscissen , .

t

Alternativ 2

1. Finn den deriverte av funksjonen .

2. Finn den deriverte av funksjonen .

3. Skriv likningen av tangenten til grafen til funksjonen ved abscissen , .

4. Materialpunkt beveger seg etter loven . Finn hastigheten og akselerasjonen i øyeblikket t=5 s. (Forskyvning måles i meter.)

Alternativ 3

1. Finn den deriverte av funksjonen .

2. Finn den deriverte av funksjonen .

3. Skriv likningen av tangenten til grafen til funksjonen ved abscissen , .

4. Et materiell punkt beveger seg i henhold til loven . Finn hastigheten og akselerasjonen i øyeblikket t=5 s. (Forskyvning måles i meter.)

Alternativ 4

1. Finn den deriverte av funksjonen .

2. Finn den deriverte av funksjonen .

3. Skriv likningen av tangenten til grafen til funksjonen ved abscissen , .

4. Et materiell punkt beveger seg i henhold til loven . Finn hastigheten og akselerasjonen i øyeblikket t=5 s. (Forskyvning måles i meter.)

Alternativ 5

1. Finn den deriverte av funksjonen .

2. Finn den deriverte av funksjonen .

3. Skriv likningen av tangenten til grafen til funksjonen ved abscissen , .

4. Et materiell punkt beveger seg i henhold til loven . Finn hastigheten og akselerasjonen i øyeblikket t=5 s. (Forskyvning måles i meter.)

Alternativ 6

1. Finn den deriverte av funksjonen .

2. Finn den deriverte av funksjonen .

3. Skriv likningen av tangenten til grafen til funksjonen ved abscissen , .

4. Et materiell punkt beveger seg i henhold til loven . Finn hastigheten og akselerasjonen i øyeblikket t=5 s. (Forskyvning måles i meter.)

Praktisk jobb № 16

Emne: Bruk av derivatet på funksjonsstudier og grafer

Målet med arbeidet: konsolidere kunnskapen og ferdighetene til studentene i å mestre emnet, utvikle ferdigheter i anvendt bruk av det avledede apparatet.

Teoretisk bakgrunn:

Opplegg for å studere en funksjon og konstruere dens graf

I. Finn definisjonsdomenet til funksjonen.
II. Finn skjæringspunktene til grafen til funksjonen med koordinataksene.
III. Finn asymptoter.
IV. Finn mulige ekstremumpunkter.
V. Finn kritiske punkter.
VI. Bruk hjelpefiguren og utforsk tegnet til de første deriverte. Bestem områder med økende og avtagende funksjon, ekstreme punkter.
VII. Konstruer en graf, ta hensyn til forskningen utført i avsnitt 1-6.

Videokurset "Få en A" inkluderer alle emnene som er nødvendige for å lykkes bestått Unified State-eksamenen i matematikk for 60-65 poeng. Helt alle oppgaver 1-13 Profil Unified State Examination matematikk. Også egnet for å bestå Basic Unified State Examination i matematikk. Hvis du vil bestå Unified State-eksamenen med 90-100 poeng, må du løse del 1 på 30 minutter og uten feil!

Forberedelseskurs til Unified State Exam for klasse 10-11, samt for lærere. Alt du trenger for å løse del 1 av Unified State Exam i matematikk (de første 12 oppgavene) og oppgave 13 (trigonometri). Og dette er mer enn 70 poeng på Unified State Exam, og verken en 100-poengs student eller en humaniorastudent kan klare seg uten dem.

All nødvendig teori. Raske måter løsninger, fallgruver og hemmelighetene til Unified State-eksamenen. Alle gjeldende oppgaver i del 1 fra FIPI Task Bank er analysert. Kurset oppfyller fullt ut kravene til Unified State Exam 2018.

Kurset inneholder 5 store temaer, 2,5 timer hver. Hvert emne er gitt fra bunnen av, enkelt og tydelig.

Hundrevis av Unified State Exam-oppgaver. Ordproblemer og sannsynlighetsteori. Enkle og lett å huske algoritmer for å løse problemer. Geometri. Teori, referansemateriale, analyse av alle typer Unified State Examination oppgaver. Stereometri. Vanskelige løsninger, nyttige jukseark, utvikling romlig fantasi. Trigonometri fra scratch til problem 13. Forståelse i stedet for propp. Tydelige forklaringer av komplekse begreper. Algebra. Røtter, potenser og logaritmer, funksjon og derivert. Grunnlag for løsning komplekse oppgaver 2 deler av Unified State-eksamenen.

Differensiering er beregningen av den deriverte.

1. Differensieringsformler.

De viktigste differensieringsformlene er i tabellen. De trenger ikke å bli utenat. Etter å ha forstått noen mønstre, vil du selvstendig kunne utlede andre fra noen formler.

1) La oss starte med formelen (k x+ m)′ = k.
Dens spesielle tilfeller er formlene x′ = 1 og C′ = 0.

I enhver funksjon av formen y = kx + m, er den deriverte lik skråningen k.

For eksempel gitt funksjonen y = 2 X+ 4. Dens deriverte vil til enhver tid være lik 2:

(2 x + 4)′ = 2 .

Derivert av en funksjon på = 9 X+ 5 til enhver tid er lik 9 . Etc.

La oss finne den deriverte av funksjonen y = 5 X. For å gjøre dette, la oss forestille oss 5 X i formen (5 X+ 0). Vi fikk et uttrykk som ligner det forrige. Midler:

(5X)′ = (5 X+ 0)′ = 5.

Til slutt, la oss finne ut hva det er lik x′.
La oss bruke teknikken fra forrige eksempel: forestill deg X som 1 X+ 0. Da får vi:

x′ = (1 X+ 0)′ = 1.

Dermed utledet vi formelen uavhengig fra tabellen:

(0 · x+ m)′ = 0.

Men så viser det seg at m′ også er lik 0. La m = C, hvor C er en vilkårlig konstant. Så kommer vi til en annen sannhet: den deriverte av en konstant er lik null. Det vil si at vi får en annen formel fra tabellen.