Bevis at ulikheten er sann. Bevis og løsning på ulikheter

MOU Grishino - Slobodskaya ungdomsskole

Modulprogram

"Metoder for å bevise ulikheter"

innenfor valgfaget

"Bak sidene i en lærebok i matematikk"

for elever på 10.-11

Sammensatt av:

matematikklærer

Pankova E.Yu.

Forklarende merknad

"Matematikk kalles en tautologisk vitenskap: med andre ord, matematikere sies å bruke tid på å bevise at ting er lik dem selv. Denne uttalelsen er svært unøyaktig av to grunner. For det første matematikk, til tross for dens karakteristikk vitenskapelig språk, er ikke en vitenskap; snarere kan det kalles kunst. for det andre de grunnleggende resultatene av matematikk uttrykkes oftere ved ulikheter enn ved likheter.»

Ulikheter brukes i praktisk jobb matte hele tiden. De brukes til å oppnå en rekke interessante og viktige ekstreme egenskaper til "symmetriske" figurer: en firkant, en kube, en likesidet trekant, samt for å bevise konvergensen av iterative prosesser og beregne noen grenser. Ulikhetenes rolle er også viktig i ulike naturvitenskapelige og teknologiske spørsmål.

Problemer med å bevise ulikheter er de vanskeligste og mest interessante av de tradisjonelle. Å bevise ulikheter krever ekte oppfinnsomhet, kreativitet som gjør matematikk til det spennende faget det er.

Evidensundervisning spiller en stor rolle i utviklingen av deduktiv-matematisk tenkning og generelle tenkeevner til elever. Hvordan lære elevene å selvstendig utføre bevis på ulikheter? Svaret er: bare ved å vurdere mange teknikker og bevismetoder og bruke dem regelmessig.

Ideene som brukes for å bevise ulikheter er nesten like forskjellige som ulikhetene i seg selv. I spesifikke situasjoner fører generiske metoder ofte til stygge løsninger. Men den ikke-åpenbare kombinasjonen av flere "grunnleggende" ulikheter er bare mulig for noen få skolebarn. Og dessuten er det ingenting som hindrer studenten i å se etter en bedre løsning enn den som oppnås ved den generelle metoden. Av denne grunn blir det å bevise ulikheter ofte henvist til kunstens rike. Og som all kunst, det er det teknikk, hvis sett er veldig bredt og det er veldig vanskelig å mestre dem alle, men hver lærer bør strebe etter å utvide det matematiske verktøyet som er tilgjengelig i lageret hans.

Denne modulen anbefales for elever i klasse 10-11. Ikke alle mulige metoder for å bevise ulikheter er vurdert her (metoden for å endre en variabel, bevise ulikheter ved å bruke en derivat, metoden for forskning og generalisering, og bestillingsteknikken påvirkes ikke). Du kan tilby å vurdere andre metoder på andre trinn (for eksempel i klasse 11), hvis denne modulen i kurset vekker interesse blant studentene, samt fokusere på å lykkes med å mestre første del av kurset.


		Ligninger og ulikheter med en parameter.
		Metoder for å bevise ulikheter.
		Ligninger og ulikheter som inneholder det ukjente under modultegnet.
		Systemer av ulikheter med to variabler.

Innholdet i valgfaget

"Bak sidene i en lærebok i matematikk"

"Metoder for å bevise ulikheter"


		Introduksjon.
		Bevis for ulikheter basert på definisjonen.
		Metode matematisk induksjon.
		Anvendelse av klassiske ulikheter.
		Grafisk metode.
		Den motsatte metoden.
		En teknikk for å vurdere ulikheter med hensyn til en av variablene.
		Forsterkningsidé.
		Leksjon - kontroll.

Leksjon 1. Introduksjon.

Å bevise ulikheter er et fascinerende og utfordrende tema i grunnleggende matematikk. Fravær enhetlig tilnærming til problemet med å bevise ulikheter, fører til leting etter en rekke teknikker egnet for å bevise ulikheter visse typer. Dette valgfaget vil undersøke følgende metoder bevis på ulikheter:

Gjentakelse:

Utfør bevis på noen egenskaper.

Klassiske ulikheter:

1)
(Cauchys ulikhet)

Historisk referanse:

Ulikhet (1) er oppkalt etter fransk matematiker August Cauchy. Antall
kalt aritmetisk gjennomsnitt tallene a og b;

Antall
kalt geometrisk gjennomsnitt tallene a og b. Dermed betyr ulikheten at det aritmetiske gjennomsnittet av to positive tall ikke er mindre enn deres geometriske gjennomsnitt.

I tillegg:

Tenk på flere matematiske sofismer med ulikheter.

Matematisk sofisme- en fantastisk uttalelse, i beviset på hvilken umerkelige og noen ganger ganske subtile feil er skjult.

Sofismer er falske resultater oppnådd ved hjelp av resonnementer som bare ser ut til å være riktige, men som nødvendigvis inneholder en eller annen feil.

Eksempel:

fire over tolv

Leksjon 2. Bevis for ulikheter basert på definisjonen.

Essensen av denne metoden er som følger: for å fastslå gyldigheten av ulikhetene F(x,y,z)>S(x,y,z) utgjør forskjellen F(x,y,z)-S( x,y,z) og bevis at den er positiv. Ved å bruke denne metoden skiller man ofte ut en kvadrat, en kube av en sum eller forskjell, en ufullstendig kvadrat av en sum eller forskjell. Dette hjelper til med å bestemme tegnet på forskjellen.

Eksempel. Bevis ulikheten (x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin 2x

Bevis:

Tenk på forskjellen (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx) ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Bevis ulikheten:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

4.
>2x-20

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

Leksjon 3. Metoden for matematisk induksjon.

Når man beviser ulikheter som inkluderer naturlige tall, tyr man ofte til metoden for matematisk induksjon. Metoden er som følger:

1) sjekk sannheten av teoremet for n=1;

2) vi antar at teoremet er sant for noen n=k, og basert på denne antakelsen beviser vi sannheten til teoremet for n=k+1;

3) basert på de to første trinnene og prinsippet om matematisk induksjon, konkluderer vi med at teoremet er sant for enhver n.

Eksempel.

Bevis ulikheten

Bevis:

1) for n=2 er ulikheten sann:

2) La ulikheten være sann for n=k dvs.
(*)

La oss bevise at ulikheten er sann for n=k+1, dvs.
. La oss multiplisere begge deler av ulikheten (*) med
vi får 3) Fra punkt 1. og punkt 2 konkluderer vi med at ulikheten er sann for enhver n.

Oppgaver til klasserom og hjemmearbeid

Bevis ulikheten:

6)
.

Leksjon 4 Anvendelse av klassiske ulikheter.

Essensen av denne metoden er som følger: ved å bruke en serie transformasjoner, utledes den nødvendige ulikheten ved å bruke noen klassiske ulikheter.

Eksempel.

Bevis ulikheten:

Bevis:

Som referanseulikhet bruker vi .

Vi reduserer denne ulikheten til neste type:

, Deretter

Men =
, Deretter

Bevis ulikheten:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq(for bevis bruker vi ulikheten
)

2)
(til dokumentasjon brukes ulikheten)

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (ulikheten brukes som bevis)

4) (til beviset brukes ulikheten).

Leksjon 5 Grafisk metode.

Bevis på ulikheter grafisk metode er som følger: hvis vi beviser ulikheten f(x)>g(x)(f(x)

1) bygge grafer av funksjonene y=f(x) og y=g(x);

2) hvis grafen til funksjonen y=f(x) er plassert over (under) grafen til funksjonen y=g(x), så er ulikheten som bevises sann.

Eksempel.

Bevis ulikheten:

cosx
,x0

Bevis:

La oss konstruere i ett koordinatsystem grafene til funksjonene y=cosx og

Det kan sees av grafen at ved x0 ligger grafen til funksjonen y=cosx over grafen til funksjonen y=.

Arbeidsoppgaver i klasserommet og hjemme.

Bevis ulikheten:

4)
.

Leksjon 6

Essensen av denne metoden er som følger: la det være nødvendig å bevise sannheten av ulikheten F(x,y,z) S(x,y,z)(1). Det motsatte antas, dvs. at ulikheten F(x,y,z) S(x,y,z) (2) er gyldig for minst ett sett med variabler. Ved å bruke egenskapene til ulikheter utføres transformasjoner av ulikhet (2). Hvis det oppnås en falsk ulikhet som et resultat av disse transformasjonene, betyr dette at antakelsen om gyldigheten av ulikhet (2) er falsk, og derfor er ulikhet (1) sann.

Eksempel.

Bevis ulikheten:

Bevis:

Anta det motsatte, dvs.

La oss kvadre begge deler av ulikheten, vi får , hvorfra
og utover

. Men dette motsier Cauchy-ulikheten. Så vår antagelse er feil, dvs. ulikheten Oppgaver for arbeid i klasserommet og hjemme er sanne.

Leksjon 9 Leksjon - kontroll av elevenes kunnskap.

Denne leksjonen kan gjøres i par eller hvis store tall klasse i grupper. På slutten av timen skal hver elev vurderes. Dette er karakterutskriften for dette kurset. Det anbefales ikke å utføre kontrollarbeid på dette temaet. beviset på ulikheter, som allerede nevnt i forklaringen, tilhører kunstfeltet. I begynnelsen blir studentene bedt om å bestemme metoden for å bevise de foreslåtte ulikhetene selv. Hvis elevene har vanskeligheter, forteller læreren dem den rasjonelle metoden, og advarer gruppen om at dette selvfølgelig vil påvirke vurderingen deres.

Arbeid i par.

Eksempler på oppgaver.

________________________________________________________________

Bevis ulikheten:

1.
(metode for matematisk induksjon)

2.
(a-priory)

Modul . Ligninger og ulikheter med parametere. ... egenskaper, ordlyd og bevis teoremer, utledning av formler ... det enkleste ulikheter. 7. Vet hvordan du bruker metode intervaller...

Programmet til Åpen Olympiad og kravene til forberedelse i matematikk for elever i 9. klasse

Program

konsept modul ekte nummer. Aritmetikk og geometriske definisjoner modul. Formidling moduler. ... ulikheter. Bevis ulikheter. Løsning av lineær, kvadratisk, brøk-rasjonell ulikheter med én variabel. Løsning ulikheter ...

Valgfag i matematikk for klasse 8

Program

Demonstrere metoder bevis litt mer kompleks ulikheter med dette enkle ulikheter? Så i dette ministermøtet program ...

transkripsjon

1 FGBOU VO "PETROZAVODSK STATE UNIVERSITY" FAKULTET FOR MATEMATIKK OG INFORMASJONSTEKNOLOGI Institutt for geometri og topologi Khalzenen Elizaveta Sergeevna Avgangsoppgave for en bachelorgrad Metoder for bevis på ulikheter Retning: "0.03.0" Supervisor Professor, Dr. Ph.D. -m. Sciences, Platonov S.S. (hodets signatur) Petrozavodsk

2 Innhold Innledning ... 3. Jensens ulikhet Permutasjonsulikhet Karamatas ulikhet Løse problemer for å bevise ulikheter ... 3 Referanser

3 Vedlikehold En metode er et sett med sekvensielle handlinger rettet mot å løse en bestemt type problem. Metoder for å bevise ulikheter i denne artikkelen er rettet mot å finne tilpasset løsning ulikheter av en viss form. Ved å bruke slike metoder reduseres løsningen til tider. Resultatet er det samme, men arbeidsmengden er mindre. mål sluttarbeid var studiet av tre typer ulikheter ved hjelp av hvilke mange andre lett kan bevises. Dette er Jensens ulikhet, permutasjonsulikhet, Karamatas ulikhet. Alle disse ulikhetene er matematisk vakre, ved hjelp av disse ulikhetene er det mulig å løse skoleulikhetene. Dette emnet er oppdatert. Etter min mening kan det være nyttig for skoleelever, blant annet for å heve kunnskapsnivået innen matematikk. Siden metodene ikke er standard, ser det ut til at for elever med en matematisk skjevhet vil de være nyttige og spennende. Oppgaven er å søke etter og løse tematiske ulikheter fra den foreslåtte litteraturen. Arbeidet består av fire avsnitt. I dette avsnittet beskrives Jensens ulikhet, dens bevis og hjelpedefinisjoner er gitt. I paragraf 2, permutasjonsulikheten, dens spesielle tilfeller og den generelle permutasjonsulikheten. I seksjon 3 er Karamatas ulikhet uten bevis. Paragraf 4 er det endelige arbeidets hovedverk, d.v.s. bevis på ulikheter ved å bruke Jensens ulikhet, permutasjonsulikhet og Karamatas ulikhet

4. Jensens ulikhet Definisjon. En delmengde av et plan kalles konveks hvis noen to punkter gitt sett kan kobles sammen med et segment som vil ligge helt i dette settet. Definisjon 2. La f(x) være definert på et eller annet intervall. Settet av alle punkter (x,y) som y f(x) kalles en epigraf for, hvor x tilhører det gitte intervallet. Settet med punkter (x,y) som y f(x) kalles et delplott for. Definisjon 3. Tenk på en funksjon på et eller annet intervall. En funksjon kalles konveks hvis epigrafen er et konveks sett på dette intervallet. En funksjon kalles konkav hvis subgrafen er en konveks mengde. Kriterium for konveksitet (konkavitet) til en funksjon. For at en funksjon y = f(x) som kontinuerlig kan differensieres på intervallet (a, b) skal være konveks (konkav) på (a, b), er det nødvendig og tilstrekkelig at dens deriverte f øker (minker) på intervallet (a) , b). Kriterium 2 for konveksiteten (konkavitet) til funksjonen. For at en funksjon y = f(x) skal være to ganger differensierbar på intervallet (a, b) for å være konveks (konkav) på (a, b), er det nødvendig og tilstrekkelig at f (x) 0(f (x) 0 ) i alle punktene x (a, b) Definisjon 4. Massesenteret til punktene A(x, y) og B(x 2, y 2) er punktet C(x, y) som tilhører segmentet AB , slik at AC = m B, der m BC m B er massen A til punkt B og m A er massen til punkt A. På vektorform finnes massesenteret som følger: radiusvektoren til sentrum av masse: der r i er radiusvektoren til punktene A og B, i =,2. I koordinater: r = m r +m 2 r 2 m +m 2 () x = m x +m 2 x 2 m +m 2, y = m y +m 2 y 2 m +m 2-4 -

5 La С AB være massesenteret til punktene A og B. Hvis U er en konveks delmengde av planet og punktene A og B tilhører U, så tilhører С AB U, siden С AB tilhører segment AB. La A, A 2 A være vilkårlige punkter på planet med massene m, m 2, m. Massesenteret C A,A 2 A til systemet av punkt A, A 2 A bestemmes ved induksjon på:) Ved = 2 er massesenteret C A A 2 til systemet av punkt A, A 2 allerede definert. Vi vil anta at punktet C A A 2 har en masse m + m 2 2) Anta at for systemet med punkt A, A 2 A er massesenteret A, A 2 A allerede definert. La oss betegne massesenteret til punktene A, A 2 A ved B og anta at massen til punkt B er lik m B = m + m m. Per definisjon setter vi C A,A 2 A = C BA, dvs. massesenteret til systemet med punkt A, A 2 A, A er lik massesenteret til to punkter B og A. Vi antar at massen til punktet C A,A 2 A er lik m B + m = m + m m. Det følger av definisjonen av massesenteret at hvis alle punktene A, A 2 A tilhører en konveks mengde U, så tilhører massesenteret deres også U. Lemma. La A, A 2 A være punkter på planet med massene m, m 2, m og la r i være radiusvektoren til punktet A i, i =,. Hvis C er massesenteret til et system av punkt A, A 2 A, kan radiusvektoren r C til punkt C beregnes med formelen Bevis. r C = m r +m 2 r 2 + +m r m +m 2 + +m (2) Vi vil bevise formel (2) ved induksjon på. For = 2 er formelen allerede bevist (se formel ()). La oss anta at formel (2) allerede er bevist for (). La B være massesenteret til systemet med punkt A, A 2 A. Så - 5 -

6 r B = m r + m 2 r m r m + m m, massen til punkt B er m B = m + m m. Per definisjon faller massesenteret C til et system av punkt A, A 2 A sammen med massesenteret til et par av punktene B og A. Radiusvektoren til punkt C beregnes med formelen () r C = m Br B + m r m B + m = m r + m 2 r m r m + m m som beviser formel (2) for poeng. I koordinater har formel (2) formen: x C = m x + m 2 x m k x k m + m m k y C = m y + m 2 y m k y k m + m m k Jensens teorem. La y = f(x) være en konveks funksjon på et eller annet intervall, x, x 2, x - tall fra dette intervallet; m, m 2, m - positive tall, som tilfredsstiller betingelsen m + m m =. Da gjelder Jensen-ulikheten: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) Hvis funksjonen y = f(x) er konkav på et eller annet intervall, x, x 2, x - tall fra dette intervallet; m, m 2, m -positive tall som også tilfredsstiller betingelsen m + m m =. Da har Jensens ulikhet formen: f(m x + m 2 x m x) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x)" Bevis: Betrakt en funksjon f(x) konveks på intervallet (a, b) . Tenk på punktene A, A 2, A på grafen og la A i = (xi, y i), y i = f(x i). La oss ta vilkårlige masser m, m 2, m for punktene A, A 2, A, slik at m + m m =. Fra det faktum at f(x) er en konveks funksjon følger det at - 6 -

7 at epigrafen til funksjonen er et konveks sett. Derfor tilhører massesenteret til punktene A, A 2, A epigrafen. Finn koordinatene til massesenteret: x c = m x + m 2 x m x m + m m = m x + m 2 x m x y c = m y + m 2 y m y m + m m = m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x ) Siden C tilhører epigrafen, så får vi en p.t.d. y c f(x c) m f(x) + m 2 f(x 2) + + m f(x) f(m x + m 2 x m x) (a + a a) a a 2 a Vi tar logaritmen til ulikhet (3), vi får den ekvivalente ulikheten (3) l (a + a 2 + +a) l(a a 2 a) (4) Ved å bruke egenskapene til logaritmene omskriver vi ulikheten (4) i formen : l (a +a 2 + +a ) l a + l a l a (5) Den resulterende ulikheten er et spesielt tilfelle av Jensens ulikhet for tilfellet når f(x) = l(x), m = m 2 = = m =. Merk at funksjonen y = l(x) er konkav på intervallet (0, +), siden y =< 0, поэтому неравенство (5) есть spesielt tilfelle ulikheter x2-7 -

8 Jensen for en konkav funksjon f(x) = l(x). Siden ulikhet (5) er gyldig, er ekvivalent ulikhet (3) også gyldig 2. Permutasjonsulikhet Definisjon. En en-til-en-korrespondanse av et sett med tall (,2,3, ) i seg selv kalles en permutasjon av elementer. La oss betegne permutasjonen med σ slik at σ(), σ(2), σ(3) σ() er tall,2,3, i en annen rekkefølge. Tenk på to sett med tall a, a 2, a og b, b 2, b. Settene a, a 2, a og b, b 2, b kalles identisk ordnet hvis for noen tall i og j fra det faktum at a i a j innebærer at b i b j. Spesielt, det største antallet fra mengden a, a 2, a tilsvarer det største tallet fra mengden b, b 2, b, for det nest største tallet fra det første settet er det det nest største tallet fra det andre settet, og så videre. Settene a, a 2, a og b, b 2, b sies å være omvendt rekkefølge hvis, for noen tall i og j, det faktum at a i a j innebærer at b i b j. Det følger av dette at det største tallet fra mengden a, a 2, a tilsvarer minste antall fra mengden b, b 2, b, tilsvarer det nest største tallet fra mengden a, a 2, a det nest minste tallet fra slutten av mengden b, b 2, b og så videre. Eksempel.) La to samlinger gis, slik at a a 2 a og b b 2 b, så i henhold til definisjonene gitt av oss, er disse samlingene likt ordnet. 2) La to sett gis, slik at a a 2 a og b b 2 b, i dette tilfellet settene med tallene a, a 2, a og b, b 2, b vil være i omvendt rekkefølge. Overalt under a, a 2 , a og b, b 2 , b - positive reelle tall «Setning. (Permutasjonsulikhet) La det være to sett med tall a, a 2, a og b, b 2, b. Vurder settet med deres mulige permutasjoner. Da er verdien av uttrykket 8 -

9 S = a b σ + a 2 b σ2 + + a b σ () vil være størst når mengdene a, a 2, a og b, b 2, b er likt ordnet, og minst når a, a 2, a og b , b 2, b er i omvendt rekkefølge. For alle andre permutasjoner vil summen S være mellom den minste og største verdien. Eksempel. I følge teoremet a b + b c + c a 3, siden mengden a, b, c og a, b, c er i omvendt rekkefølge og verdien a a + b b + c c = 3 vil være den minste. Bevis for teoremet. Tenk på to sett med tall: det første er a, a 2, a og det andre er b, b 2, b. Anta at disse settene ikke er bestilt på samme måte, de. Det er indekser i og k slik at a i > a k og b k > bi. La oss bytte tallene b k og bi i det andre settet (en slik transformasjon kalles "sortering"). Da i summen S vil begrepene a i b i og a k b k bli erstattet av a i b k og a k b i, og alle andre ledd vil forbli uendret. Merk at a i b i + a k b k< a i b k + a k b i, так как (a i b i + a k b k) (a i b k + a k b i) = a i (b i b k) a k (b i b k) = (a i a k)(b i b k) < 0 Поэтому сумма Sувеличится. Выполняем сортировку пока это возможно. Если процесс прекратился, то это означает, что мы получили правильный порядок, а это и есть høyeste verdi. Den minste verdien oppnås på samme måte, bare vi sorterer til settene er i omvendt rekkefølge. Som et resultat vil vi komme til den minste verdien. «Setning 2. Tenk på to positive sett a, a 2, a 3 a og b, b 2, b 3 b og alle mulige permutasjoner. Da vil verdien av produktet (a i + b σ(i)) være størst når settene a, a 2, a 3 a og b, b 2, b 3 b er likt ordnet, og minst når de er omvendt rekkefølge

10 Teorem 3. Betrakt to sett a, a 2, a 3 a og b, b 2, b 3 b elementene i denne mengden er positive. Da vil verdien av () a i + b σ(i) være størst når mengdene a, a 2, a 3 a og b, b 2, b 3 b er likt ordnet og minst når de er omvendt rekkefølge." Teoremer 2,3 er spesielle tilfeller av flere generell teorem, som er omtalt nedenfor. Generell permutasjonsulikhet «Setning 4 (Generell permutasjonsulikhet). La funksjonen f være kontinuerlig og konveks på et eller annet intervall i R. Så for alle sett med tall a, a 2, a 3 a og b, b 2, b 3 b fra intervallet, verdien av uttrykket f (a + b σ()) + f ( a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) vil være størst når mengdene er i samme rekkefølge og minst når mengdene er i omvendt rekkefølge. Teorem 5. La funksjonen f være kontinuerlig og konkav på et eller annet intervall i R Da: verdien av uttrykket f (a + b σ()) + f (a 2 + b σ(2)) + f (a + b σ()) vil være størst når tallene er i omvendt rekkefølge og minst når mengdene a, a 2, a 3 a og b, b 2, b 3 b er likt ordnet. Bevis.") Tenk på tilfellet = 2. La funksjonen f være konveks og det er to sett a > a 2 og b > b 2. Vi må bevise at La f(a + b) + f(a 2 + b) 2) f(a + b 2) + f(a 2 + b) (2) x = a + b 2, k = a a 2, m = b b 2. Så - 0 -

11 a + b 2 = x + k, a 2 + b = x + m, a + b = x + k + m, så ulikhet (2) har formen f(x + k + m) + f(x + k ) f(x + k) + f(x + m) (3) For å bevise ulikheten bruker vi figuren Figuren viser en graf av en konveks funksjon y = f(x) punktene A(x, f( x)), C(x + k, f(x + k)), D(x + m, f(x + m)), B (x + k + m, f(x + k + m)). og på Konveksiteten til funksjonen f innebærer at akkorden CD ligger under akkorden AB. La K være midtpunktet til CD, M3 midtpunktet til AB. Merk at abscissen til punktene K og M er de samme, siden x k = 2 ((x + k) + (x + m)) = (2x + k + m) 2 x m = 2 (x + (x + k) + m) ) = (2x + k + m) 2 Derfor ligger punktene K og M på samme vertikale linje, noe som innebærer at y m y k. --

12 Siden y m = (f(x) + f(x + k + m)) 2 y k = (f(x + k) + f(x + m)) 2 Dette innebærer ulikheter (3) og (2). Q.E.D. 2) La > 2. Anta at mengdene a, a 2, a 3 a og b, b 2, b 3 b ikke er ordnet på samme måte, dvs. det er indekser i og k slik at a i > a k og b i< b k. Поменяем во втором наборе числа b i и b k местами. Тогда в сумме S слагаемые f(a i + b i) и f(a k + b k) заменятся на f(a i + b k) и f(a k + b i), а все остальные слагаемые останутся без изменений. Из неравенства (2) вытекает, что поэтому сумма S увеличится. f(a i + b k) + f(a k + b i) f(a i + b i) + f(a k + b k) Аналогично можно продолжать сортировку до тех пор, пока не получим одинаково упорядоченные наборы. Полученное значение суммы S будет наибольшим, что и требовалось доказать. Теорема 5 доказывается аналогично. 3. Неравенство Караматы Определение. Невозрастающий набор чисел X = (x, x 2, x) мажорирует невозрастающий набор чисел Y = (y, y 2, y) если выполнены условия x + x x k y + y y k и x + x x = y + y y. Для k =,2 и положительных чисел x, x 2, x и y, y 2, y. Обозначение X Y, если X можарирует Y и X Y, если Y можарирует X. Например. (,0,0,0, 0) (2, 2, 0,0,0, 0) (,) - 2 -

13 Hvis x, x 2, x er positive tall, i= x i =, så (,) (x, x 2, x) (,0,0,0, 0) “Setning (Karamatas ulikhet) La f: (a , b) R, f er en konveks funksjon x, x 2, x, y, y 2, y (a, b) og (x, x 2, x) (y, y 2, y), deretter f(x) ) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y2) + f(y). Hvis f er en konkav funksjon, så f(x) + f(x 2) + f(x) f(y) + f(y 2) + f(y)." Se beviset i. 4. Løse problemer for å bevise ulikheter. I denne delen tar vi for oss ulike ulikhetssikre problemer som kan løses ved å bruke Jensens ulikhet, permutasjonsulikheter eller Karamatas ulikhet. Trening. Bevis ulikheten der x, x 2, x > 0 La x + x 2 + x + x x 2 x, f(x) = +x, m i = f(x) = (+ x) f(x) = (+ x ) 2 f(x) = 2(+ x) 3 > 0, x Da tilsier Jensens ulikhet at - 3 -

14 La oss bevise at i= + x i + x x 2 x + x + x 2 + +x Dette er sant hvis og bare hvis + x x 2 x + x + x x + x x 2 x x + x x x x 2 x Og den siste ulikheten sammenfaller med ulikheten Cauchy. Oppgave 2. Bevis at for enhver a, b > 0 er ulikheten sann: 2 a + b ab Oppgave 3. Bevis at for enhver a, a 2, a > 0 er ulikheten sann: a a 2 a a a 2 a Ulikheten kan omskrives som: - 4 -

15 () (a a a 2 a a 2 a) dette er Cauchy-ulikheten. Oppgave 4. Bevis at for enhver a, a 2, a > 0 er ulikheten sann: Betrakt ulikheten for =3. a + a a + a a 2 a 3 a a a a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 3 -sann Betegn x = a a 2,x 2 = a 2 a 3,x = a a, Så x x 2 x =. Da får ulikheten formen: x + x x Denne ulikheten følger av Cauchys ulikhet: q.t.d. Oppgave 5. Bevis at (x + x x) x x 2 x = si x + si x si x si x + x x, hvor 0 x i π - 5 -

16 Ulikheten følger av Jensens ulikhet for funksjonen y = si x. Funksjonen y = si x er konkav på intervallet (0, π), siden y = si x< 0при x (0, π), Гдеm i =. ч.т.д. Задание 6. si x + si x si x si(x + x x) Доказать,что для любых a, a 2, a >0 ulikheten er sann: (a + a 2+ +a)(a + a a) 2 Ulikheten kan omskrives som: dette tilsvarer (a + a a) a + a a 2 a +a 2 + +a a + a 2+ +a Vi tar for oss Jensens funksjon f(x) = x og får denne likheten. og bruk ulikheten Oppgave 7. Bevis at for enhver x, y, z > 0 er ulikheten x 5 + y 5 + z 5 x 3 y 2 + y 3 x 2 + z 3 x 2 sann La oss bruke permutasjonsulikheten. La det første settet se ut som Second x 3, y 3, z 3, x 2, y 2, z 2 verdien av uttrykket på venstre side av x 5 + y 5 + z 5 er sammensatt av identisk ordnede sett med tall. Det følger av dette at verdien oppnådd - 6 -

17 for alle andre permutasjoner mer verdi oppnådd med det "mest korrekte" arrangementet av variabler. Oppgave 8. Bevis at for enhver x, y, z > 0 er ulikheten sann: x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2 Vi kan anta at x y z. La a = x, a 2 = y, a 3 = z, b = + x 2, b 2 = + y 2, b 3 = + z 2 Setter a, a 2, a 3 og b, b 2, b 3 er motsatt ordnet, derfor, ved permutasjonsulikheten, er summen a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 den minste blant summene. Spesielt, som tilsvarer a b σ + a 2 b σ2 + a 3 b σ3. a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b 2 + a 2 b 3 + a 3 b, x + x 2 + y + y 2 + z + z 2 x + y 2 + y + z 2 + z + x 2. Oppgave 9. Bevis at for enhver a, a 2, a > 0 er ulikheten sann: (+ a 2) (+ a 2 2) (+ a 2) (+ a a 2 a 3 a)(+ a 2) ) (+ a) Multipliser med a a 2 a, vi får (a 2 + a 2)(a 3 + a 2 2) (a + a 2) (a + a 2)(a 2 + a 2 2) (a) + a 2) - 7 -

18 La oss ta logaritmen til ulikheten og få en ekvivalent ulikhet. l(a 2 + a 2) + l(a a 3) + + l(a 2 + a) l(a 2 + a) + l(a a 2) + + l(a 2 + a) (9.) Vi bruk den generelle permutasjonsulikheten for den konkave funksjonen y = l x. La a i = a i, b i = a i 2. Da er mengdene b, b 2, b og a, a 2, a identisk ordnet, så l(b + a) + l(b 2 + a 2) + + l( b + a ) l(b + a 2) + l(b 2 + a 3) + + l(b + a), som beviser ulikhet (9.). Oppgave 0. Bevis at for alle positive a, b, c a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ac (0.) La a b c.. Siden mengdene (a, b, c) og (a, b , c) er identisk ordnet, men mengdene (a, b, c) og (b, c, a) er ikke identisk ordnet, da følger ulikheten (0.) av permutasjonsulikheten. Trening. Bevis at hvis xy + yz + zx =, så følger Ulikhet (.) av oppgave 0. Oppgave 2. Bevis at hvis a, b, c > 0, så x 2 + y 2 + z 2 (.). (a + c)(b + d) ab + cd Siden kvadratroten er større enn eller lik null, kan vi kvadrere høyre og venstre side. Vi får: (a + c)(b + d) ab + 2 abcd + cd ab + ad + cb + cd ab + 2 abcd + cd ab + cd 2 abcd - 8 -

19 a 2 d 2 + 2abcd + c 2 d 2 4abcd a 2 d 2 + c 2 d 2 2abcd 0 (ad cd) 2 0 -True oppgave 3, 4. Bevis at for enhver a, a 2, a > 0 følgende ulikhet gjelder: 3) a 2 + a a 2 (a + a 2 + a) 2 4) a 2 + a a 2 (3.) (4.) hvor a + a 2 + a = Ulikhet (4.) følger av ( 3.) for a + a 2 + a =. Vi vil bevise ulikhet (3.). Det kan konverteres til Eller a 2 + a a 2 (a + a 2 + a) 2 2 a 2 + a a 2 (a + a a) La oss bruke Jensens ulikhet for en konveks funksjon f(x): f(q x + q 2 x 2 + q x) q f(x) + q 2 f(x 2) + q f(x), hvor 0 q i, q + q 2 + q =. Hvis vi tar f(x) = x 2, q i =, i =,2, får vi ulikhet (3.), osv. Oppgave 5. Bevis at for et hvilket som helst naturlig tall og for enhver p, q, er ulikheten () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + (5.) - 9 -

20 La oss transformere ulikheten (5.) til ekvivalent form: () 2 pq + ()(p + q) + ()pq + () 2 pq + ()(p + q) + ()pq 0 )[ ()pq + (p + q) pq] + 0 () () 0 () 0 () 0 alltid siden -naturlig La oss bevise at Merk at 0 (5.2) p + q pq = p(q ) (q) = (p)(q) Siden p, q, så p 0, q 0, er derfor ulikhet (5.2) gyldig. Oppgave 6. For alle positive tall x, y, z er ulikheten sann: La x y z xyz (y + z x)(z + x y)(x + y z) (6.)) Hvis y + z x< 0, то неравенство (6.) выполнено 2) Пусть все множители в правой части >0. Da er ulikhet (6.) ekvivalent med l x + l y + l z l(y + z x) + l(z + x y) + l(x + y z) La f(x) = l x. Siden f(x)`` = x 2< 0то функция f(x) = l x вогнутая на интервале (0, +) Проверим, что набор (y + z x, x + z y, x + y z) мажорирует набор (x, y, z). Действительно:

21 x + y z x (fordi y z 0); (x + y z) + (x + z y) = 2x x + y (x + y z) + (x + z y) + (y + z x) = x + y + z Siden funksjonen f(x) = l x er konkav , så følger det av Karamata-ulikheten at l(x + y z) + l(x + z y) + l(y + z x) = l x + l y + l z, som beviser ulikhet (6.). Oppgave 7. Bevis at for enhver a, b og c > 0 er ulikheten sann: a 2 + b 2 + c ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab Dette tilsvarer La a b c. a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc ac + b, ab + ac + b) (7.) (a 2 + 2bc, b 2 + 2ac, c 2 + 2ab) (7.2) Vi må bevise at (7.) majoriserer (7.2). La oss bruke definisjonen på majorisering :) a 2 + b 2 + c 2 a 2 + 2bc (b c) 2 0-riktig 2) a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc a 2 + 2bc + b 2 + 2ac c 2 bc ac + ab 0 c(c b) a(c b) 0 (c b)(c a) 0-2 -

22 (c b) 0 og (c a) 0, deretter (c b)(c a) 0 3) 3)a 2 + b 2 + c 2 + ab + ac + bc + ab + ac + bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = a 2 + 2bc + b 2 + 2ac + c 2 + 2ab Riktig. Dermed majoriserer tallsettet (7.) settet med tall (7.2). Ved å bruke Karamata-ulikheten for en konveks funksjon f(x) = x, får vi den korrekte opprinnelige ulikheten. Oppgave 8. For a, b, c, d > 0 bevis at ulikheten a 4 + b 4 + c 4 + d 4 a 2 b 2 + a 2 c 2 + a 2 d 2 + b 2 c 2 + b 2 d 2 + c 2 d 2 La a b c d y+z+w + e x+y+z+w e 2x+2y + e 2x+2z + e 2x+2w + e 2y+2z + e 2y+2w + e 2z+ 2w Vurder to sett med tall: (4x, 4y, 4z, 4w, x + y + z + w, x + y + z + w) og (2x + 2y, 2x + 2z, 2x + 2w, 2y + 2z, 2y + 2w, 2z + 2w) sett: (4x, 4y, 4z, x + y + z + w, x + y + z + w, 4w) og (8.) Det andre forblir uendret: ( 2x + 2y, 2x + 2z, 2x + 2w, 2y + 2z, 2y + 2w, 2z + 2w) (8.2) La oss bevise at (8.) majoriserer (8.2)

23 ) 4x 2x + 2y, x y er riktig 2) 4x + 4y 4x + 2y + 2z,y z er riktig 3) 4x + 4y + 4z 4x + 2y + 2z + 2x + 2w y + z x + w at 2x + 2w 2 + 2z x + w y + z, deretter tilfelle 3) er bare mulig for x + w = y + z 4) 4x + 4y + 4z + x + y + z + w 4x + 2y + 2z + 2x + 2w + 2y + 2z x + y + z w 0 y + z x + w I likhet med forrige tilfelle er denne ulikheten gyldig for x + w = y + z 5) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w 2z + 2y + 2w z w er riktig 6) 4x + 4y + 4z + 2x + 2y + 2z + 2w + 4w , settet (8.) majoriserer tallsettet (8.2). Ved å bruke Karamata-ulikheten for funksjonen f(x) = e x, får vi riktig ulikhet. Oppgave 9. For a, b, c > 0, vis at ulikheten a 3 + b 3 + c 3 + abc 2 3 (a2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) er sann

24 La a b c Multipliser begge sider av ulikheten med 3, vi får 3a 3 + 3b 3 + 3c 3 + 3abc 2(a 2 b + b 2 c + c 2 a + ab 2 + bc 2 + ca) 2 (9. ) Vi gjør endringen : Og skriv ulikheten (9.) på formen: x = la a, y = l b, z = l c e 3x + e 3x + e 3x + e 3y + e 3y + e 3y + e 3z + e 3z + e 3z + e x +y+z + e x+y+z + e x+y+z e 2x+y + e 2x+y + e 2y+z + e 2y+z + e 2z+x + e 2z +x + e x+ 2y + e x+2y + e y+2z + e y+2z + e z+2x + e z+2x + y + z, x + y + z, x + y + z) og ( 9.2) (2x + y, 2x + y, 2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, x + 2y, x + 2y, y + 2z, y + 2z, z + 2x , z + 2x) (9.3) z, x + y + z, 3z, 3z, 3z,) og (9.2) Bestill det andre settet: 2x + y z + 2x y z sant y + 2z 2z + x y x sant. Dermed får vi settet: (2x + y, 2x + y, z + 2x, z + 2x, 2y + z, x + 2y, x + 2y,2y + z, 2y + z, 2z + x, 2z + x, y + 2z, y + 2z) (9.3) bevis at settet med tall (9.2) majoriserer settet med tall (9.3)) 3x 2x + y, x y 2) 6x 4x + 2y, x y 3) 9x 6x+ 2y + z, 3x 2y + z

25 4) 9x + 3y 4x + 2y + 2z + 4x, x + y 2z, for x = y får vi y z 5) 9x + 6y 4x + 2y + 2z + 4x + 2y + x, y z 6) 9x + 9y 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x, x + 3y 2z 0 For x = y får vi y z 7) 9x + 9y + x + y + z , vi får y z 8) 9x + 9y + 2x + 2y + 2z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z, x + y + 3z 0 + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 2z + x, x + 2y + 3z 0 0) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 3z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x, y z) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 6z 4x + 2y4x +z 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + 2x + 2z + y, 5y z 2) 9x + 9y + 3x + 3y + 3z + 9z 4x + 2y + 2z + 4x + 4y + 2x + 4y + 2z + 4z + + 4z + 2y 2x + 2y + 2z = 2x + 2y + 2z majoriserer settet med tall (9.3) og ved Karamata-ulikheten for funksjonen f(x) = e x oppnår vi riktig ulikhet

26 referanser) Yu.P. Soloviev. Ulikheter. M.: Publishing House of the Moscow Center for Continuous Mathematical Education, 2005. 6s. 2) I.Kh. Sivashinsky. Ulikheter i oppgaver M.: Nauka, s. 3) A.I. Khrabrov. Rundt den mongolske ulikheten, Mat. opplysning, ser. 3, 7, MTsNMO, M., 2003, s. 4) L. V. Radzivilovskii, Generalisering av permutasjonsulikhet og den mongolske ulikheten, Mat. opplysning, ser. 3, 0, MCNMO Publishing House, M., 2006, s. 5) V.A.ch Krechmar. Algebra bok. Femte utgave M., vitenskap, s. 6) D. Nomirovsky Karamatas ulikhet /D. Nomirovsky // (Quantum)-S

Konvekse sett og funksjoner R n sett med n reelle tall. Videre vil dette settet bli kalt et mellomrom, dets elementer vil bli kalt punkter, punktet med koordinater (x 1,..., x n) vil bli betegnet

Oppgavebetingelser 1 kommunal scene Karakter 8 1. To tall er skrevet på tavlen. En av dem ble økt med 6 ganger, og den andre ble redusert innen 2015, mens summen av tallene ikke endret seg. Finn minst ett par

Kapittel IX. Euklidiske og enhetlige rom 35. Skalært produkt i Ural vektorrom føderalt universitet, Institutt for matematikk og informatikk, Institutt for algebra og diskret

Ural Federal University, Institutt for matematikk og informatikk, Institutt for algebra og diskret matematikk

Løsning av problemene i heltidsrunden av den niende Euler-olympiade 1. Alle løsninger av systemet x yz 1, x y z x, x y z vurderes. Finn alle verdiene som x kan ta. Svar: 1; 1; 1. Løsning 1. Siden x y

Forelesning 4 1. VEKTORER Vektorrettet segment. Like vektorer: har samme lengder og sammenfallende retninger (parallell og peker i samme retning) Motsatte vektorer: har samme lengde

Emne 1-8: Komplekse tall A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science Department of Algebra and Discrete Mathematics Algebra and Geometry for Mechanics (1 semester)

Penza State University Fakultet for fysikk og matematikk "Deltids fysikk- og matematikkskole" MATEMATIKK Identitetstransformasjoner. Løsning av ligninger. Trekanter Oppgave 1 for

Moskva institutt for fysikk og teknologi logaritmiske ligninger og ulikheter, metoden for potensering og logaritme for å løse problemer. Verktøysett som forberedelse til olympiadene.

98 MATEMATIKK: ALGEBRA OG BEGYNNELSEN PÅ ANALYSEGEOMETRI Løsninger av ligninger basert på egenskapene til en konveks funksjon Lipatov SV Kaluga MBOU "Lyceum 9 oppkalt etter KE Tsiolkovsky" 0 "A" klasse Veileder:

Algebraisk form av et komplekst tall. Pedagogisk presentasjon A. V. Likhatsky Leder: E. A. Maksimenko Southern Federal University 14. april 2008 A. V. Likhatsky (SFedU) Algebr. skjemasett tall

Moskva statsuniversitet teknisk universitet oppkalt etter N.E. Bauman-fakultetet" Grunnleggende vitenskaper» Stol « Matematisk modellering» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

72 Kapittel 2 Polynomer Eksempler og kommentarer Algoritmer A-01 Skriv et polynom i standard skjema A-02 Operasjoner på polynomer A-03 Orale transformasjoner A-04 Formler for redusert multiplikasjon A-05 Newton binomial

Løsninger på problemene i korrespondanserunden til den 6. Euler Olympiad I Matematisk blokk Finn ut for hvilke verdier av parameteren det er reelle tall x og y som tilfredsstiller ligningen xy + x + y + 7 Svar: 89 Løsning

Forelesning 8 Kapittel Vektor algebra Vektorer Mengder som kun bestemmes av deres numerisk verdi, kalles skalareksempler skalarer: lengde, areal, volum, temperatur, arbeid, masse

Interregional Olympiade skolebarn " Høyeste standard”, 2017 MATEMATIKK, trinn 2 s. 1/10 Løsninger og kriterier for å evaluere oppgavene til Olympiaden 10-1 I en bedrift på 6 personer gikk noen bedrifter til tre

7. Ekstrema av funksjoner av flere variabler 7.. Lokale ekstremer La funksjonen f(x,..., x n) være definert på et åpent sett D R n. Punktet M D kalles punktet lokalt maksimum(lokal

Den åttende Euler-olympiade for matematikklærere Løse problemer i korrespondanserunden Løs likningen a b c b a c c a b a b c, der a, b og c er positive tall Løsning Det er klart at a b c løsninger gitt ligning

Jeg selvfølgelig, oppgave. Bevis at Riemann-funksjonen, hvis 0, m m R(), if, m, m 0, og brøken er irreduserbar, 0, hvis irrasjonell, er diskontinuerlig i hver rasjonelt poeng og er kontinuerlig i alle irrasjonelle. Løsning.

Byolympiade i matematikk, Khabarovsk, 1997 Oppgave 1. Finn løsninger på ligning 9 KLASSE (x + 2) 4 + x 4 = 82. (1) Løsning. Etter å ha endret variabelen x = y 1, kan ligning (1) skrives som

Ural Federal University, Institutt for matematikk og informatikk, Institutt for algebra og diskret matematikk

Emne 2-14: Euklidiske og enhetlige rom A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science Department of Algebra and Discrete Mathematics Algebra and Geometry for

Den niende Euler-olympiade for lærere i matematikk Løsninger av korrespondanserundeoppgaver 1. Løs likningen x(x ab) a b for x. Løsning. Det er tydelig at x a b er roten til denne ligningen. Deling av polynomet x abx

1. Lineære ligninger med to variabler I den første oppgaven tok vi for oss lineære ligninger med én variabel. For eksempel er ligningene 2x+ 5= 0, 3x+ (8x 1) + 9= 0 lineære ligninger med variabel

Kapittel 6 Vektoralgebra 6.1. Vektorer på flyet og i verdensrommet geometrisk vektor, eller ganske enkelt en vektor, kalles et rettet segment, dvs. et segment der ett av grensepunktene er navngitt

Oppgaver av Åpen olympiade for skoleelever i matematikk (54 av Liste over olympiade for skolebarn, studieåret 2015/2016) Innhold I. Oppgaver siste trinn Olympiader for klasse 11... 2 II. Oppgaver i 1. runde i kvalifiseringen

3. Løsningsmetoder rasjonelle ulikheter 3..1. Numeriske ulikheter La oss først definere hva vi mener med utsagnet a > b. Definisjon 3...1. Nummer a flere tall b hvis forskjellen mellom dem er positiv.

Forelesning 13. Konvekse funksjoner og Taylorformel 1 Konvekse og konkave C -glatte funksjoner. Definisjon 1 En funksjon kalles konveks (konkav) hvis epigrafen (undergrafen) er et konveks område. Eksempel 1x

Workshop: "Differensiabilitet og differensial av en funksjon" Hvis funksjonen y f () har en endelig derivert i et punkt, kan inkrementet til funksjonen på dette punktet representeres som: y (,) f () () (), hvor () kl

Forelesning 2 Vektorer Determinanter av andre og tredje orden 1 VEKTORER Vektorrettet segment Like vektorer: har samme lengde og samme retning (parallell og rettet i samme retning)

Løse oppgavene til korrespondanserunden 0 I Matematisk blokk Oppgave Finn antall naturlige røtter til ligningen Svar: 00 0 løsninger Løsning av oppgaven La oss representere tallet på formen Da er høyresiden av denne likningen lik

Forelesningsoppsummering 11 euklidiske rom 0. Forelesningsoversikt 1. Punktprodukt. 1.1. Definisjon av skalarproduktet. 1.2. Ekvivalent notasjon når det gjelder projeksjoner. 1.3. Bevis på linearitet i

Olympiade "Fremtidsforskere vitenskapens fremtid" Matematikk. Utvalgsrunde 4.0.0 PROBLEM OG LØSNINGER 8 9 grad 8-9.. Hvilket tall er størst: 0 0 0 0 eller 0 0 0 0? Svar. Det første tallet er større enn det andre. Løsning. Betegn

Karakter 0 Første runde (0 minutter; hver oppgave 6 poeng)... Det er kjent at tg + tg = p, ctg + ctg = q. Finn tg(+). pq Svar: tg. q p Fra betingelsen p tg q tg tg tg tg p og likhet ctg ctg q, får vi

Matematisk analyse 2.5 Forelesning: Ekstrema av en funksjon av flere variabler Vladimir Feliksovich Zalmezh, førsteamanuensis ved VMMF-avdelingen La oss vurdere funksjonen w = f (x) definert i regionen D R n. Punktet x 0 D kalles

Emne 1-4: Algebraiske operasjoner A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal University Institute of Mathematics and Computer Science Department of Algebra and Discrete Mathematics Algebra and Geometry for Mechanics (1

Innhold I. V. Yakovlev Materialer om matematikk MathUs.ru Systems algebraiske ligninger Dobbel erstatning ........................................Symmetriske systemer ...... ..................................

føderalt byrå etter utdanning føderal stat utdanningsinstitusjon høyere yrkesopplæring SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya

Forelesning 10 1 Euklidisk rom 11 Definisjon La V (R) være en LP over feltet av reelle tall Skalarproduktet på V er vilkårlig funksjon V V R som assosierer et ordnet vektorpar

1 Komplekse funksjoner 1.1 Komplekse tall Husk at komplekse tall kan defineres som settet med ordnede par av reelle tall C = ((x, y): x, y R), z = x + iy, der i er den imaginære enheten (i

Kapittel 4 Grunnsetninger differensialregning Avsløring av usikkerheter Grunnsetninger for differensialregning Fermats teorem (Pierre Fermat (6-665) fransk matematiker) Hvis funksjonen y f

Forelesningssammendrag 10 affine mellomrom 0. Forelesningsoversikt Forelesning Affine mellomrom. 1. Affint grunnlag. 2. Affine koordinater poeng. 3. Vektorligning av en rett linje. 4. Vektorligning av planet. 5.

8 KLASSE 1. Bevis at for et hvilket som helst naturlig tall n kan man velge et naturlig tall a slik at tallet a(n + 1) (+ n+1) er jevnt delelig med. 2. To

Ural Federal University, Institutt for matematikk og informatikk, Institutt for algebra og diskret matematikk Innledende bemerkninger I denne forelesningen studerer vi en annen andreordenskurve, hyperbelen.

Hjemmelekser i algebra for karakter 0 til læreboka "Algebra og begynnelsen av analyse karakter 0" Alimov Sh.A. og andre, -M .: "Oplysning", 00g. www.balls.ru Innhold Kapittel I. Reelle tall Kapittel II. Makt

Vektoralgebra Konsept av vektorrom. Lineær avhengighet vektorer. Egenskaper. Konseptet med et grunnlag. Vektorkoordinater. Lineære transformasjoner vektorrom. Egenverdier og egen

Federal Agency for Education Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics Department høyere matematikk(VM) Prikhodovsky M.A. LINEÆRE OPERATORER OG KVADRATISKE FORMER Praktisk

Ural Federal University, Institutt for matematikk og informatikk, Institutt for algebra og diskret matematikk

Moscow Institute of Physics and Technology Cauchy-Bunyakovsky ulikhet. Metodeveiledning for forberedelse til olympiadene. Sammensatt av: Parkevich Egor Vadimovich Moskva 014 Teoretisk materiale. I denne jobben

LABORATORIEARBEID 1 SETT. DISPLAYER. SETNINGSSYSTEMER 1. GRUNNLEGGENDE KONSEPT OG TEOREM La X være en mengde og la (x) være en egenskap

Seminar 2. Kjegler på det projektive planet 1. Definisjon av en kjegle i P 2. Første egenskaper til kjegle. Som før jobber vi i k = R eller C. Definisjon av en kjegle i P 2. Betrakt et prosjektivt kart f: l

5 Elementer i funksjonsanalyse 5.1 Lineære, normerte og Banach-rom 5.1.1 Definisjon av rom En ikke-tom mengde X av elementene x, y, z,... kalles et lineært (vektor) rom,

LD Lappo, AV Morozov Algebra lekser for klasse 0 til læreboka "Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok for 0-cl generelle utdanningsinstitusjoner / SHA Alimov og andre utg. M: Education, 00" Kapittel I Gyldig

Kapittel 8 Linjer og fly 8.1. Ligninger av linjer og flater 8.1.1. Linjer på flyet Anta at planet er gitt affint system koordinater. La l være en kurve i planet og f(x, y) være noen

Kunnskapsdepartementet Den russiske føderasjonen Federal Agency for Education Penza State University Rudenko AK, Rudenko MN, Semerich YUS SAMLING AV OPPGAVER MED LØSNINGER FOR FORBEREDELSE

Ligninger I algebra vurderes to typer likheter - identiteter og ligninger. Identitet er en likhet som gjelder for alle tillatte) verdier av bokstavene som er inkludert i den. For identiteter brukes tegn

Oppgaver til korrespondanseturen i matematikk for klasse 9 2014/2015 ac. år, første vanskelighetsgrad Oppgave 1 Løs ligningen: (x+3) 63 + (x+3) 62 (x-1) + (x+3) 61 (x-1) 2 + + (x-1) 63 = 0 Svar: -1 Oppgave 2 Sum

Skoleleir 57. juli 06 Ulikheter (kompendium) Dmitrieva A, Ionov K Leksjon én Enkle ulikheter Gjennomsnittlige ulikheter Problem Bevis ulikheten x + 4y + 9z 4xy + 6yz + 6zx Løsning: x + 4y + 9z

Utdanningsdepartementet i Moskva-regionen Statsbudsjettmessige utdanningsinstitusjon for høyere profesjonsutdanning i Moskva-regionen " Internasjonalt universitet natur, samfunn og

Interregional Olympiade for skolebarn "Vysshaya Proba", 2017 MATEMATIKK, trinn 2 s. 1/11 Løsninger og kriterier for evaluering av oppgaver til Olympiaden 8-1

Ministry of Education and Science of the Russian Federation Moscow Institute of Physics and Technology (State University) Korrespondanse School of Physics and Technology MATEMATIKK Identitetstransformasjoner. Løsning

Forelesning 7 Kapittel. Systemer lineære ulikheter.. Grunnleggende begreper Systemer med lineære ulikheter brukes til å løse ulike matematiske problemer. Et system med lineære ulikheter fra ukjente

MOU Grishino - Slobodskaya ungdomsskole

Modulprogram

"Metoder for å bevise ulikheter"

innenfor valgfaget

"Bak sidene i en lærebok i matematikk"

for elever på 10.-11

Sammensatt av:

matematikklærer

Pankova E.Yu.

Forklarende merknad

"Matematikk kalles en tautologisk vitenskap: med andre ord, matematikere sies å bruke tid på å bevise at ting er lik dem selv. Denne uttalelsen er svært unøyaktig av to grunner. For det første er matematikk, til tross for sitt vitenskapelige språk, ikke en vitenskap; snarere kan det kalles kunst. For det andre uttrykkes hovedresultatene av matematikk oftere ved ulikheter enn ved likheter.»

Ulikheter brukes konstant i det praktiske arbeidet til en matematiker. De brukes til å oppnå en rekke interessante og viktige ekstreme egenskaper til "symmetriske" figurer: en firkant, en kube, likesidet trekant, samt å bevise konvergensen av iterative prosesser og beregne noen grenser. Ulikhetenes rolle er også viktig i ulike naturvitenskapelige og teknologiske spørsmål.

Ideene som brukes for å bevise ulikheter er nesten like forskjellige som ulikhetene i seg selv. I spesifikke situasjoner fører generiske metoder ofte til stygge løsninger. Men den ikke-åpenbare kombinasjonen av flere "grunnleggende" ulikheter er bare mulig for noen få skolebarn. Og dessuten er det ingenting som hindrer studenten i å se etter en bedre løsning enn den som oppnås ved den generelle metoden. Av denne grunn blir det å bevise ulikheter ofte henvist til kunstens rike. Og som i enhver kunst, har den sine egne tekniske teknikker, hvis sett er veldig bredt og det er veldig vanskelig å mestre dem alle, men hver lærer bør strebe etter å utvide det matematiske verktøyet som er tilgjengelig i lageret hans.


		Ligninger og ulikheter med en parameter.
		Metoder for å bevise ulikheter.
		Ligninger og ulikheter som inneholder det ukjente under modultegnet.
		Systemer av ulikheter med to variabler.

"Bak sidene i en lærebok i matematikk"

"Metoder for å bevise ulikheter"


		Introduksjon.
		Bevis for ulikheter basert på definisjonen.
		Metode for matematisk induksjon.
		Anvendelse av klassiske ulikheter.
		Grafisk metode.
		Den motsatte metoden.
		En teknikk for å vurdere ulikheter med hensyn til en av variablene.
		Forsterkningsidé.
		Leksjon - kontroll.

Leksjon 1. Introduksjon.

Å bevise ulikheter er et fascinerende og utfordrende tema i grunnleggende matematikk. Mangelen på en enhetlig tilnærming til problemet med å bevise ulikheter fører til leting etter en rekke teknikker som er egnet for å bevise visse typer ulikheter. I dette valgfaget vil følgende metoder for å bevise ulikheter bli vurdert:

Gjentakelse:

Utfør bevis på noen egenskaper.

Klassiske ulikheter:

1)
(Cauchys ulikhet)

Historisk referanse:

Ulikhet (1) er oppkalt etter den franske matematikeren Auguste Cauchy. Antall
kalt aritmetisk gjennomsnitt tallene a og b;

Antall
kalt geometrisk gjennomsnitt tallene a og b. Dermed betyr ulikheten at det aritmetiske gjennomsnittet av to positive tall ikke er mindre enn deres geometriske gjennomsnitt.

I tillegg:

Tenk på flere matematiske sofismer med ulikheter.

Matematisk sofisme- en fantastisk uttalelse, i beviset på hvilken umerkelige og noen ganger ganske subtile feil er skjult.

Sofismer er falske resultater oppnådd ved hjelp av resonnementer som bare ser ut til å være riktige, men som nødvendigvis inneholder en eller annen feil.

Eksempel:

fire over tolv

Leksjon 2. Bevis for ulikheter basert på definisjonen.

Essensen av denne metoden er som følger: for å fastslå gyldigheten av ulikhetene F(x,y,z)>S(x,y,z) utgjør forskjellen F(x,y,z)-S( x,y,z) og bevis at den er positiv. Ved å bruke denne metoden skiller man ofte ut kvadratet, kuben av summen eller differansen, ikke full firkant summer eller forskjeller. Dette hjelper til med å bestemme tegnet på forskjellen.

Eksempel. Bevis ulikheten (x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin 2x

Bevis:

Tenk på forskjellen (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx) ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Bevis ulikheten:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

4.
>2x-20

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

Leksjon 3. Metoden for matematisk induksjon.

Når man beviser ulikheter som inkluderer naturlige tall, tyr man ofte til metoden for matematisk induksjon. Metoden er som følger:

1) sjekk sannheten av teoremet for n=1;

2) vi antar at teoremet er sant for noen n=k, og basert på denne antakelsen beviser vi sannheten til teoremet for n=k+1;

3) basert på de to første trinnene og prinsippet om matematisk induksjon, konkluderer vi med at teoremet er sant for enhver n.

Eksempel.

Bevis ulikheten

Bevis:

1) for n=2 er ulikheten sann:

2) La ulikheten være sann for n=k dvs.
(*)

La oss bevise at ulikheten er sann for n=k+1, dvs.
. La oss multiplisere begge deler av ulikheten (*) med
vi får 3) Fra punkt 1. og punkt 2 konkluderer vi med at ulikheten er sann for enhver n.

Oppgaver til klasserom og hjemmearbeid

Bevis ulikheten:

6)
.

Leksjon 4 Anvendelse av klassiske ulikheter.

Essensen av denne metoden er som følger: ved å bruke en serie transformasjoner, utledes den nødvendige ulikheten ved å bruke noen klassiske ulikheter.

Eksempel.

Bevis ulikheten:

Bevis:

Som referanseulikhet bruker vi
.

Vi bringer denne ulikheten til følgende form:

, Deretter

Men =
, Deretter

Bevis ulikheten:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq(for bevis bruker vi ulikheten
)

2)
(til dokumentasjon brukes ulikheten)

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (ulikheten brukes som bevis)

4)
(for doc-va brukes ulikheten).

Leksjon 5 Grafisk metode.

Beviset for ulikhetene med den grafiske metoden er som følger: hvis vi beviser ulikheten f(x)>g(x)(f(x)

1) bygge grafer av funksjonene y=f(x) og y=g(x);

2) hvis grafen til funksjonen y=f(x) er plassert over (under) grafen til funksjonen y=g(x), så er ulikheten som bevises sann.

Eksempel.

Bevis ulikheten:

cosx
,x0

Bevis:

La oss konstruere i ett koordinatsystem grafene til funksjonene y=cosx og

Det kan sees av grafen at ved x0 ligger grafen til funksjonen y=cosx over grafen til funksjonen y=.

Arbeidsoppgaver i klasserommet og hjemme.

Bevis ulikheten:

3)ln(1+x) 0

4)
.

Leksjon 6

Eksempel.

Bevis ulikheten:

Bevis:

Anta det motsatte, dvs.

La oss kvadre begge deler av ulikheten, vi får , hvorfra
og utover

. Men dette motsier Cauchy-ulikheten. Så vår antagelse er feil, dvs. ulikheten er sann

Arbeidsoppgaver i klasserommet og hjemme.

Bevis ulikheten:

Leksjon 7 En teknikk for å vurdere ulikheter med hensyn til en av variablene.

Essensen av metoden er å vurdere ulikheten og dens løsning med hensyn til én variabel.

Eksempel.

Bevis ulikheten:

Eksempel.

Bevis ulikheten:

Bevis:

Arbeidsoppgaver i klasserommet og hjemme.

Bevis ulikheten:

Leksjon 9 Leksjon - kontroll av elevenes kunnskap.

Arbeidet i denne leksjonen kan organiseres i par eller hvis det er stor klassestørrelse i grupper. På slutten av timen skal hver elev vurderes. Dette er karakterutskriften for dette kurset. Det anbefales ikke å utføre kontrollarbeid på dette temaet. beviset på ulikheter, som allerede nevnt i forklaringen, tilhører kunstfeltet. I begynnelsen blir studentene bedt om å bestemme metoden for å bevise de foreslåtte ulikhetene selv. Hvis elevene har vanskeligheter, forteller læreren dem den rasjonelle metoden, og advarer gruppen om at dette selvfølgelig vil påvirke vurderingen deres.

metoder bevisulikheter. Dette metodebevisulikheter ved å introdusere hjelpefunksjoner...

Valgfag i matematikk av ulikhetsbevismetoder

Valgfag

ukjent, annerledes metoderbevisulikheter, samt søknaden ulikheter ulikheter ved bruk av metode metode Til bevisulikheter, for å løse problemer...

Valgfag i matematikk Ulikheter Bevismetoder Forklaring

Valgfag

ukjent, annerledes metoderbevisulikheter, samt søknaden ulikheter ved løsning av oppgaver av ulike ... Kunne: vurdere ulikheter ved bruk av metode Sturm, søke vurdert metode Til bevisulikheter, for å løse problemer...

Valgfag i matematikk Ulikheter Bevismetoder Forklaring (1)

Valgfag

En sjelden olympiade klarer seg uten problemer der det kreves å bevise en viss ulikhet. Algebraiske ulikheter er bevist ved hjelp av forskjellige metoder, som er basert på ekvivalente transformasjoner og egenskaper til numeriske ulikheter:

1) hvis a – b > 0, så a > b; hvis a - b

2) hvis a > b, så b a;

3) hvis a

4) hvis a

5) hvis a 0, så ac

6) hvis a bc; a / c > b / c;

7) hvis en 1

8) hvis 0

La oss huske noen grunnleggende ulikheter som ofte brukes for å bevise andre ulikheter:

1) a2 > 0;

2) aх 2 + bx + c > 0, med a > 0, b 2 - 4ac

3) x + 1 / x > 2, for x > 0, og x + 1 / x –2, for x

4) |a + b| |a| + |b|, |a – b| > |a| – |b|;

5) hvis a > b > 0, så 1 / a

6) hvis a > b > 0 og x > 0, så a x > b x, spesielt, for naturlig n > 2

a 2 > b 2 og n √ a > n √ b;

7) hvis a > b > 0 og x

8) hvis x > 0, da synd x

Mange problemer på olympiadenivået, og disse er ikke bare ulikheter, løses effektivt ved hjelp av noen spesielle ulikheter, som skoleelever ofte ikke er kjent med. Først av alt bør de inkludere:

ulikhet mellom det aritmetiske gjennomsnittet og det geometriske gjennomsnittet av positive tall (Cauchys ulikhet):

Bernoullis ulikhet:

(1 + α) n ≥ 1 + nα, hvor α > -1, n er et naturlig tall;

Cauchy-Bunyakovsky ulikhet:

(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2)(b 1 2 + b 2 2 + . . . + b n 2 );

De mest "populære" metodene for å bevise ulikheter inkluderer:

bevis på ulikheter basert på definisjon;
kvadrat utvalg metode;
metode for suksessive vurderinger;
metode for matematisk induksjon;
bruk av spesielle og klassiske ulikheter;
bruk av elementer fra matematisk analyse;
bruk av geometriske betraktninger;
ideen om forsterkning osv.

Problemer med løsninger

1. Bevis ulikheten:

a) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 (a + b + c);

b) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;

c) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 for x > 0, y > 0.

a) Vi har

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 - 2a - 2b - 2c = (a - 1) 2 + (b - 1) 2 + (c - 1) 2 > 0,

som er åpenbart.

b) Ulikheten som skal bevises, etter å ha multiplisert begge deler med 2, tar formen

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

eller

(a 2 - 2ab + b 2) + (a 2 - 2a + 1) + (b 2 - 2b + 1) > 0,

eller

(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,

som er åpenbart. Likhet finner sted bare når a = b = 1.

c) Vi har

x 5 + y 5 - x 4 y - x 4 y = x 5 - x 4 y - (x 4 y - y 5) = x 4 (x - y) - y 4 (x - y) =

\u003d (x - y) (x 4 - y 4) \u003d (x - y) (x - y) (x + y) (x 2 + y 2) \u003d (x - y) 2 (x + y ) (x 2 + y 2) > 0.

2. Bevis ulikheten:

EN)	en	+	b		>	2 for a > 0, b > 0;
	b		en

b)	R	+	R	+	R		> 9, hvor a, b, c er sidene og P er omkretsen av trekanten;
	en		b		c

c) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, hvor a > 0, b > 0, c > 0.

a) Vi har:

en	+	b	– 2 =	a 2 + b 2 - 2ab	=	(a – b) 2		> 0.
b		en		ab		ab

b ) Beviset for denne ulikheten følger elementært av følgende anslag:

b+c	+	a+c	+	a+b	=
en		b		c

= (

) + (

) > 6,

Likhet oppnås for en likesidet trekant.

c) Vi har:

ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ac(a + c - 2b) =

= abc (

– 2 +

– 2 ) =

= abc ((

– 2) + (

– 2) ) > 0,

fordi summen av to positive gjensidige tall er større enn eller lik 2.

3. Bevis at hvis a + b = 1, så holder ulikheten a 8 + b 8 > 1 / 128.

Fra betingelsen at a + b = 1, følger det at

a 2 + 2ab + b 2 = 1.

La oss legge til denne likheten med den åpenbare ulikheten

a 2 - 2ab + b 2 > 0.

Vi får:

2a 2 + 2b 2 > 1, eller 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

vi får:

8a 4 + 8b 4 > 1, hvorav 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Å legge denne ulikheten til den åpenbare ulikheten

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

vi får:

128a8 + 128b8 > 1 eller a 8 + b 8 > 1/128 .

4. Hva mer e e π π eller e 2 pi?

Vurder funksjonen f(x) = x – π log x . Fordi det f'(x) = 1 – π / x , og til venstre for prikken X = π f'(x) 0 , og til høyre - f'(x) > 0, At f(x) Det har minste verdi på punktet X = π . Dermed f(e) > f(π), det er

e – π ln e = e – π > π – π ln π

eller

e + π logg π > 2π .

Derfor får vi det

e e+ π logg π > e 2 pi,

henne· e π logg π > e 2 π ,

e e π π > e 2 pi.

5. Bevis det

log(n + 1) >	lg 1 + lg 2 + . . . + logg n	.
	n

Ved å bruke egenskapene til logaritmer er det lett å redusere denne ulikheten til en ekvivalent ulikhet:

(n + 1) n > n!,

hvor n! = 1 2 3 . . . · n (n-faktor). I tillegg er det et system med åpenbare ulikheter:

n + 1 > 1,

n + 1 > 2,

n + 1 > 3,

. . . . .

n + 1 > n

etter ledd-for-ledd multiplikasjon, får vi umiddelbart at (n + 1) n > n!.

6. Bevis at 2013 2015 2015 2013

Vi har:

2013 2015 2015 2013 = 2013 2 2013 2013 2015 2013 =

2013 2 (2014 - 1) 2013 (2014 + 1) 2013

Selvfølgelig kan man også få en generell uttalelse: for enhver naturlig n, ulikheten

(n – 1) n +1 (n + 1) n –1

7. Bevis at for ethvert naturlig tall n gjelder følgende ulikhet:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1		2n - 1	.
1!		2!		3!		n!		n

La oss anslå venstre side av ulikheten:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
1!		2!		3!		n!

= 1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1
	12		1 2 3		1 2 3 4		1 2 3 . . . n

1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
	12		2 3		3 4		(n – 1) n

= 1 + (1 –	1	) + (	1	–	1	) + (	1	–	1	) + . . . + (	1	–	1	) = 2 –	1	,
	2		2		3		3		4		n - 1		n		n

Q.E.D.

8. La a 1 2 , a 2 2 , a 3 2 , . . . , og n 2 er kvadratene til n forskjellige naturlige tall. Bevis det

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >	1	.
	en 1 2			en 2 2			en 3 2			en n 2		2

La det største av disse tallene være lik m. Deretter

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >
	en 1 2			en 2 2			en 3 2			en n 2

> ( 1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) ,
	2 2			3 2			4 2			m2

siden faktorer mindre enn 1 legges til på høyre side.Vi beregner høyre side ved å faktorisere hver parentes:

2 3 2 4 2 . . . (m - 1) 2 (m + 1)

m + 1

2 2 3 2 4 2 . . . m2

Ved å åpne parentesene på venstre side får vi summen

1 + (a 1 + . . . + a n) + (a 1 a 2 + . . . + a n –1 a n) + (a 1 a 2 a 3 + . . . + a n –2 a n –1 a n) + . . . + a 1 a 2. . . en n .

Summen av tallene i den andre parentesen overstiger ikke (a 1 + . . . + a n) 2 , summen i den tredje parentesen overskrider ikke (a 1 + . . . + a n) 3 , og så videre. Derfor overskrider ikke hele produktet

1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + . . . + 1/2n = 2 – 1/2n

Metode 2.

La oss bevise ved metoden for matematisk induksjon at for alle naturlige tall n er følgende ulikhet sann:

(1 + a1). . . (1 + an)

For n = 1 har vi: 1 + a 1 1 .

La for n = k vi har:(1 + a 1). . . (1 + a k ) 1 + . . . + a k).

Tenk på tilfellet n = k +1:(1 + a 1). . . (1 + a k )(1 + a k +1 )

(1 + 2(a 1 + . . . + a k ) )(1 + a k+1 ) ≤ 1 + 2(a 1 + . . . + a k ) + a k +1 (1 + 2 1 / 2) =

1 + 2 (a 1 + ... + a k + a k + 1 ).

I kraft av prinsippet om matematisk induksjon bevises ulikheten.

10. Bevis Bernoulli-ulikheten:

(1 + α) n ≥ 1 + nα,

hvor α > -1, n er et naturlig tall.

La oss bruke metoden for matematisk induksjon.

For n = 1 får vi den sanne ulikheten:

1 + α ≥ 1 + α.

La oss anta at følgende ulikhet gjelder:

(1 + α) n ≥ 1 + nα.

La oss vise at da har vi det

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α.

Faktisk, siden α > –1 innebærer α + 1 > 0, så multipliseres begge sider av ulikheten

(1 + α) n ≥ 1 + nα

på (a + 1), får vi

(1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α)

eller

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2

Siden nα 2 ≥ 0, derfor,

(1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α.

I henhold til prinsippet om matematisk induksjon er altså Bernoullis ulikhet sann.

Problemer uten løsninger

1. Bevis ulikheten for positive verdier variabler

a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c).

2. Bevis at for enhver a ulikheten

3(1 + a 2 + a 4) ≥ (1 + a + a 2) 2 .

3. Bevis at polynomet x 12 – x 9 + x 4 – x+ 1 er positivt for alle verdier av x.

4. For 0 e bevis ulikheten

(e+ x) e– x > ( e– x) e+ x .

5. La a, b, c være positive tall. Bevis det

a+b

b+c

a+c

≤

Målet ditt:kjenne metodene for å bevise ulikheter og kunne anvende dem.

Praktisk del

Konseptet med bevis for ulikhet . Noen ulikheter blir til sanne numerisk ulikhet for alle tillatte verdier variabler eller på et gitt sett med variabelverdier. For eksempel ulikhetene EN 2 ³0, ( EN–b) 2 ³ 0 , a 2 +b 2 +c 2 " ³ 0 er sanne for alle reelle verdier av variablene, og ulikheten ³ 0 – for eventuelle reelle ikke-negative verdier EN. Noen ganger oppstår problemet med å bevise en ulikhet.

Å bevise en ulikhet betyr å vise at en gitt ulikhet blir til en sann numerisk ulikhet for alle tillatte verdier av variablene eller på et gitt sett med verdier av disse variablene.

Metoder for å bevise ulikheter. Legg merke til det generell metode det er ingen bevis for ulikhet. Noen av dem kan imidlertid spesifiseres.

1. En metode for å estimere tegnet på forskjellen mellom venstre og høyre del av en ulikhet. Forskjellen mellom venstre og riktige deler ulikheter og det fastslås om denne forskjellen er positiv eller negativ for de vurderte verdiene til variablene (for ikke-strenge ulikheter er det nødvendig å fastslå om denne forskjellen er ikke-negativ eller ikke-positiv).

Eksempel 1. For evt reelle tall EN Og b det er en ulikhet

en 2 +b 2³2 ab. (1)

Bevis. Komponer forskjellen mellom venstre og høyre del av ulikheten:

en 2 +b 2 – 2ab = a 2 – 2ab+b 2 = (a-b) 2 .

Siden kvadratet av et reelt tall er et ikke-negativt tall, så ( a-b) 2 ³ 0, som betyr at en 2 +b 2³2 ab for eventuelle reelle tall EN Og b. Likhet i (1) gjelder hvis og bare hvis a = b.

Eksempel 2. Bevis at hvis EN³ 0 og b³ 0, deretter ³ , dvs. aritmetisk gjennomsnitt av ikke-negative reelle tall EN Og b mindre enn deres geometriske gjennomsnitt.

Bevis. Hvis EN³ 0 og b³ 0, da

³ 0. Derfor ³ .

2. deduktiv metode bevis på ulikheter. Essensen av denne metoden er som følger: ved å bruke en serie transformasjoner, er den nødvendige ulikheten avledet fra noen kjente (referanse)ulikheter. For eksempel kan følgende ulikheter brukes som referanse: EN 2 ³ 0 for enhver enÎ R ; (a-b) 2 ³ 0 for enhver EN Og bÎ R ; (EN 2 + b 2) ³ 2 ab for noen a, bÎ R ; ³ kl EN ³ 0, b ³ 0.

Eksempel 3. Bevis det for alle reelle tall EN Og b det er en ulikhet

EN 2 + b 2 + Med 2³ ab + bc + ac.

Bevis. Fra de riktige ulikhetene ( a-b) 2 ³ 0, ( b – c) 2 ³ 0 og ( c – en) 2 ³ 0 følger det EN 2 + b 2³2 ab, b 2 + c 2³2 f.Kr, c 2 + en 2³2 ac. Ved å legge til alle tre ulikhetene termin for ledd og dele begge deler av den nye med 2, får vi den nødvendige ulikheten.

Den opprinnelige ulikheten kan også bevises ved den første metoden. Faktisk, EN 2 + b 2 + Med 2 –ab-bc-ac= 0,5(2EN 2 + 2b 2 + 2Med 2 – 2ab- 2f.Kr.- 2ac) = = 0,5((a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2)³ 0.

forskjell mellom EN 2 + b 2 + Med 2 og ab + bc + ac større enn eller lik null, som betyr at EN 2 + b 2 + Med 2³ ab + bc + ac(likhet er sant hvis og bare hvis a = b = c).

3. Metode for estimater i beviset på ulikheter.

Eksempel 4. Bevis ulikheten

+ + + … + >

Bevis. Det er lett å se at venstre side av ulikheten inneholder 100 ledd, som hver ikke er mindre enn. I dette tilfellet sier vi at venstre side av ulikheten kan estimeres nedenfra som følger:

+ + + … + > = 100 = .

4. Full induksjonsmetode. Essensen av metoden er å vurdere alle spesielle tilfeller som dekker tilstanden til problemet som helhet.

Eksempel 5. Bevis at hvis x > ï påï , At x > y.

Bevis. To tilfeller er mulige:

EN) på³ 0 ; så jeg påï = y, og etter tilstand x >ï påï . Midler, x > y;

b) på< 0; så jeg påï > y og etter tilstand x >ï på Jeg mener x > y.

Praktisk del

Oppgave 0. Ta Blanke ark papir og skriv ned svarene på alle de muntlige øvelsene nedenfor. Sjekk så svarene dine mot svarene eller korte instruksjoner på slutten av denne læringselement under overskriften "Din assistent".

muntlige øvelser

1. Sammenlign summen av kvadratene til to ulike tall og med deres doble produkt.

2. Bevis ulikheten:

EN) ;

b) ;

V) ;

3. Det er kjent at . Bevis det .

4. Det er kjent at . Bevis det .

Øvelse 1. Det mer:

a) 2 + 11 eller 9; d) + eller;

b) eller +; e) - eller;

c) + eller 2; e) + 2 eller + ?

Oppgave 2. Bevis det for ekte x det er en ulikhet:

a) 3( x+ 1) + x– 4(2 + x) < 0; г) 4x 2 + 1 ³ 4 x;

b) ( x+ 2)(x+ 4) > (x+ 1)(x+ 5); e) ³ 2 x;

V) ( x– 2) 2 > x(x- 4); f) l + 2 x 4 > x 2 + 2x 3 .

Oppgave 3. Bevis det:

EN) x 3+1³ x 2 + x, Hvis x³ –1;

b) x 3 + 1 £ x 2 + x, Hvis x£ -1 .

Oppgave 4. Bevis at hvis en ³ 0, b³ 0, Med³ 0, d³ 0, da

(en 2 + b 2)(c 2 + d 2) ³ ( ac + bd) 2 .

Oppgave 5. Bevis ulikheten ved å velge en hel firkant:

EN) x 2 – 2xy + 9y 2 ³ 0;

b) x 2 +y 2 + 2³2( x+y);

klokken 10 x 2 + 10xy + 5y 2 + 1 > 0;

G) x 2 – xy + y 2³0 ;

e) x 2 +y 2 +z 2 + 3³ 2( x + y + z);

e)( x + l)( x- 2y + l) + y 2³0 .

Oppgave 6. Bevis det:

EN) x 2 + 2y 2 + 2xy + 6y+ l0 > 0 ;

b) x 2 +y 2 – 2xy + 2x – 2på + 1 > 0;

klokken 3 x 2 +y 2 + 8x + 4y- 2xy + 22 ³ 0;

G) x 2 + 2xy+ 3y 2 + 2x + 6y + 3 > 0.

Oppgave 7. Bevis at hvis n³ k³ 1, da k(n–k+ 1) ³ n.

Oppgave 8. Bevis at hvis 4 EN + 2b= 1, da en 2 + b 2³ .

Bestem verdiene EN Og b, hvor likestilling finner sted.

Oppgave 9. Bevis ulikheten:

EN) X 3 + på 3³ X 2 på + hu 2 kl x³ 0 og y ³ 0;

b) X 4 + på 4³ X 3 på + hu 3 for noen x Og på;

V) X 5 + på 5³ X 4 på + hu 4 kl x³ 0 og y ³ 0;

G) x n + på n ³ x n-1 år + xy n-1 kl x³ 0 og y ³ 0.