Bevis på ulikheter fra geometriske betraktninger. Bevis og løsning på ulikheter

Ditt mål:kjenne metodene for å bevise ulikheter og kunne anvende dem.

Praktisk del

Konseptet med bevis for ulikhet . Noen ulikheter blir til sanne numerisk ulikhet for alle tillatte verdier variabler eller på et gitt sett med variabelverdier. For eksempel ulikhetene en 2 ³0, ( en–b) 2 ³ 0 , a 2 +b 2 +c 2 " ³ 0 er sanne for alle reelle verdier av variablene, og ulikheten ³ 0 – for eventuelle reelle ikke-negative verdier en. Noen ganger oppstår problemet med å bevise en ulikhet.

Å bevise en ulikhet betyr å vise at en gitt ulikhet blir til en sann numerisk ulikhet for alle tillatte verdier av variablene eller på et gitt sett med verdier av disse variablene.

Metoder for å bevise ulikheter. Merk at det ikke finnes noen generell metode for å bevise ulikheter. Noen av dem kan imidlertid spesifiseres.

1. En metode for å estimere tegnet på forskjellen mellom venstre og høyre del av en ulikhet. Forskjellen mellom venstre og høyre del av ulikheten kompileres og det fastslås om denne forskjellen er positiv eller negativ for de vurderte verdiene av variablene (for ikke-strenge ulikheter er det nødvendig å fastslå om denne forskjellen er ikke -negativ eller ikke-positiv).

Eksempel 1. For evt reelle tall en og b det er en ulikhet

en 2 +b 2³2 ab. (1)

Bevis. Komponer forskjellen mellom venstre og høyre del av ulikheten:

en 2 +b 2 – 2ab = a 2 – 2ab+b 2 = (a-b) 2 .

Siden kvadratet av et reelt tall er et ikke-negativt tall, så ( a-b) 2 ³ 0, som betyr at en 2 +b 2³2 ab for eventuelle reelle tall en og b. Likhet i (1) gjelder hvis og bare hvis a = b.

Eksempel 2. Bevis at hvis en³ 0 og b³ 0, deretter ³ , dvs. aritmetisk gjennomsnitt av ikke-negative reelle tall en og b mindre enn deres geometriske gjennomsnitt.

Bevis. Hvis en en³ 0 og b³ 0, da

³ 0. Derfor ³ .

2. deduktiv metode bevis på ulikheter. Essensen av denne metoden er som følger: ved å bruke en serie transformasjoner, er den nødvendige ulikheten avledet fra noen kjente (referanse)ulikheter. For eksempel kan følgende ulikheter brukes som referanse: en 2 ³ 0 for enhver enÎ R ; (a-b) 2 ³ 0 for enhver en og bÎ R ; (en 2 + b 2) ³ 2 ab for noen a, bÎ R ; ³ kl en ³ 0, b ³ 0.

Eksempel 3. Bevis det for alle reelle tall en og b det er en ulikhet

en 2 + b 2 + Med 2³ ab + bc + ac.

Bevis. Fra de riktige ulikhetene ( a-b) 2 ³ 0, ( b – c) 2 ³ 0 og ( c – en) 2 ³ 0 følger det en 2 + b 2³2 ab, b 2 + c 2³2 f.Kr, c 2 + en 2³2 ac. Ved å legge til alle tre ulikhetene termin for ledd og dele begge deler av den nye med 2, får vi den nødvendige ulikheten.

Den opprinnelige ulikheten kan også bevises ved den første metoden. Faktisk, en 2 + b 2 + Med 2 –ab-bc-ac= 0,5(2en 2 + 2b 2 + 2Med 2 – 2ab- 2f.Kr.- 2ac) = = 0,5((a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2)³ 0.

forskjell mellom en 2 + b 2 + Med 2 og ab + bc + ac større enn eller lik null, som betyr at en 2 + b 2 + Med 2³ ab + bc + ac(likhet er sant hvis og bare hvis a = b = c).

3. Metode for estimater i beviset på ulikheter.

Eksempel 4. Bevis ulikheten

+ + + … + >

Bevis. Det er lett å se at venstre side av ulikheten inneholder 100 ledd, som hver ikke er mindre enn. I dette tilfellet sier vi at venstre side av ulikheten kan estimeres nedenfra som følger:

+ + + … + > = 100 = .

4. Full induksjonsmetode. Essensen av metoden er å vurdere alle spesielle tilfeller som dekker tilstanden til problemet som helhet.

Eksempel 5. Bevis at hvis x > ï påï , deretter x > y.

Bevis. To tilfeller er mulige:

en) på³ 0 ; så jeg påï = y, og etter tilstand x >ï påï . Midler, x > y;

b) på< 0; så jeg påï > y og etter tilstand x >ï på Jeg mener x > y.

Praktisk del

Oppgave 0. Ta Blanke ark papir og skriv ned svarene på alle de muntlige øvelsene nedenfor. Sjekk så svarene dine mot svarene eller korte instruksjoner på slutten av denne læringselement under overskriften "Din assistent".

muntlige øvelser

1. Sammenlign summen av kvadratene til to ulike tall og med deres doble produkt.

2. Bevis ulikheten:

en) ;

b) ;

i) ;

3. Det er kjent at . Bevis det .

4. Det er kjent at . Bevis det .

Øvelse 1. Det mer:

a) 2 + 11 eller 9; d) + eller;

b) eller +; e) - eller;

c) + eller 2; e) + 2 eller + ?

Oppgave 2. Bevis det for ekte x det er en ulikhet:

a) 3( x+ 1) + x– 4(2 + x) < 0; г) 4x 2 + 1 ³ 4 x;

b) ( x+ 2)(x+ 4) > (x+ 1)(x+ 5); e) ³ 2 x;

i) ( x– 2) 2 > x(x- fire); f) l + 2 x 4 > x 2 + 2x 3 .

Oppgave 3. Bevis det:

en) x 3+1³ x 2 + x, hvis x³ –1;

b) x 3 + 1 £ x 2 + x, hvis x£ -1 .

Oppgave 4. Bevis at hvis en ³ 0, b³ 0, Med³ 0, d³ 0, da

(en 2 + b 2)(c 2 + d 2) ³ ( ac + bd) 2 .

Oppgave 5. Bevis ulikheten ved å fremheve full firkant:

en) x 2 – 2xy + 9y 2 ³ 0;

b) x 2 +y 2 + 2³2( x+y);

klokken 10 x 2 + 10xy + 5y 2 + 1 > 0;

G) x 2 – xy + y 2³0 ;

e) x 2 +y 2 +z 2 + 3³ 2( x + y + z);

e)( x + l)( x- 2y + l) + y 2³0 .

Oppgave 6. Bevis det:

en) x 2 + 2y 2 + 2xy + 6y+ l0 > 0 ;

b) x 2 +y 2 – 2xy + 2x – 2på + 1 > 0;

klokken 3 x 2 +y 2 + 8x + 4y- 2xy + 22 ³ 0;

G) x 2 + 2xy+ 3y 2 + 2x + 6y + 3 > 0.

Oppgave 7. Bevis at hvis n³ k³ 1, da k(n–k+ 1) ³ n.

Oppgave 8. Bevis at hvis 4 en + 2b= 1, da en 2 + b 2³ .

Bestem verdiene en og b, hvor likestilling finner sted.

Oppgave 9. Bevis ulikheten:

en) X 3 + på 3³ X 2 på + hu 2 kl x³ 0 og y ³ 0;

b) X 4 + på 4³ X 3 på + hu 3 for noen x og på;

i) X 5 + på 5³ X 4 på + hu 4 kl x³ 0 og y ³ 0;

G) x n + på n ³ x n-1 år + xy n-1 kl x³ 0 og y ³ 0.

Utdanningsinstitusjon: MOU Lyceum nr. 1, Komsomolsk-on-Amur

Leder: Budlyanskaya Natalya Leonidovna

Hvis du har lyst til å delta stort liv så fyll hodet med matematikk mens du kan. Det vil da være til stor hjelp for deg i alt ditt arbeid. (M.I. Kalinin)

Representasjon av venstre side av ulikheten som en sum av ikke-negative termer (høyre side er lik 0) ved bruk av identiteter.

Eksempel 1. Bevis det for enhver xϵR

Bevis . 1 vei.

2-veis.

for en kvadratisk funksjon

som betyr at det er positivt for enhver ekte X.

Eksempel 2. Bevis det for alle x og y

Bevis.

Eksempel 3. Bevis det

Bevis.

Eksempel 4. Bevis det for alle a og b

Bevis.

2. Metode ved selvmotsigelse

Her er et godt eksempel på denne metoden.

Bevis at for a, b ϵ R.

Bevis.

La oss late som det.

Men, som tydelig beviser at vår antagelse er feil.

C.T.D.

Eksempel 5.Bevis at for alle tall A, B, C, ulikheten

Bevis.Åpenbart er det tilstrekkelig å etablere denne ulikheten for ikke-negative A, B og FRA, siden vi vil ha følgende forhold:

, som er begrunnelsen for den opprinnelige ulikheten .

La nå det er slike ikke-negative tall A, B og FRA, som ulikheten for

, som er umulig for noen ekte A, B og FRA. Antakelsen ovenfor er tilbakevist, noe som beviser den opprinnelige ulikheten som studeres.

Bruke egenskapene til et kvadratisk trinomium

Metoden er basert på ikke-negativitetsegenskapen til et kvadratisk trinomium if

og.

Eksempel 6. Bevis det

Bevis.

La, a=2, 2>0

=>

Eksempel 7. Bevis at ulikheten gjelder for alle reelle x og y

Bevis. Betrakt venstre side av ulikheten som et kvadratisk trinomium mht X:

, a>0, D

D= => P(x)>0 og

sant for alle reelle verdier X og y.

Eksempel 8. Bevis det

for alle reelle verdier av x og y.

Bevis. La ,

Dette betyr at for enhver ekte på og ulikhet

utført for enhver gyldig X og y.

Metoden for å introdusere nye variabler eller substitusjonsmetoden

Eksempel 9. Bevis at for alle ikke-negative tall x, y, z

Bevis. Vi bruker riktig ulikhet for,

.

Vi får ulikheten under utredning

Bruke funksjonsegenskaper.

Eksempel 10. La oss bevise ulikheten

for alle a og b.

Bevis. Vurder 2 tilfeller:

• Hvis a=b så er det sant

og likhet oppnås kun når a=b=0.

2) Hvis

, på R =>

()* ()>0, som beviser ulikheten

Eksempel 11. La oss bevise det for enhver

Bevis.

på R.

Hvis, så er tallenes tegn og sammenfallende, noe som betyr at forskjellen som studeres er positiv =>

Anvendelse av metoden for matematisk induksjon

Denne metoden brukes til å bevise ulikheter med hensyn til naturlige tall.

Eksempel 12. Bevis det for alle nϵN

• La oss sjekke sannheten i utsagnet for

- (Ikke sant)

2) Anta at utsagnet er sant for

(k>1)

3) La oss bevise sannheten til utsagnet for n=k+1.

Sammenlign og:

Vi har:

Konklusjon: utsagnet er sant for alle nϵN.

Bruke bemerkelsesverdige ulikheter

• Gjennomsnittsteorem (Cauchys ulikhet)

• Cauchy – Bunyakovsky ulikhet

• Bernoullis ulikhet

La oss vurdere hver av de listede ulikhetene separat.

Anvendelse av gjennomsnittsteoremet (Cauchys ulikheter)

Det aritmetiske gjennomsnittet av flere ikke-negative tall er større enn eller lik deres geometriske gjennomsnitt

, hvor

Likhetstegnet nås hvis og bare hvis

Tenk på spesielle tilfeller av denne teoremet:

• La da n=2

• La n=2, a>0, så

• La da n=3

Eksempel 13. Bevis at for alle ikke-negative a,b,c ulikheten

Bevis.

Cauchy-Bunyakovsky ulikhet

Cauchy-Bunyakovsky ulikheten sier at for enhver; forholdet

Den påviste ulikheten har en geometrisk tolkning. For n=2,3 uttrykker det det kjente faktum at skalarproduktet av to vektorer i planet og i rommet ikke overstiger produktet av deres lengder. For n=2 ser ulikheten slik ut: . For n=3 får vi

Eksempel 14

Bevis. Vi skriver ulikheten som studeres i følgende form:

Dette er absolutt en sann ulikhet, siden det er et spesielt tilfelle av Cauchy-Bunyakovsky-ulikheten.

Eksempel 15 Bevis at for enhver a,b,c ϵ R ulikheten

Bevis. Det er nok å skrive denne ulikheten i skjemaet

og refererer til Cauchy-Bunyakovsky-ulikheten.

Bernoullis ulikhet

Bernoullis ulikhet sier at hvis x>-1, så for alle naturverdier av n, ulikheten

Ulikheten kan brukes på uttrykk for formen

Dessuten kan en veldig stor gruppe ulikheter enkelt bevises ved å bruke Bernoullis teorem.

Eksempel 16.

Bevis. Sette x=0,5 ogå bruke Bernoulli-teoremet på uttrykket

Vi oppnår den nødvendige ulikheten.

Eksempel 17. Bevis at for enhver n ϵ N

Bevis.

etter Bernoullis teorem, etter behov.

David Hilbert ble spurt om en av hans tidligere studenter. «Å, så og så?» husket Hilbert. «Han ble en poet. Han hadde for lite fantasi til matematikk.

: Utvid kunnskapen din om å bevise ulikheter. Lær om Cauchys ulikhet. Lær å bruke de lærte metodene for å bevise ulikheter.

Nedlasting:

Forhåndsvisning:

Statlig budsjettutdanningsinstitusjon

gjennomsnitt omfattende skole №655

Primorsky-distriktet i St. Petersburg

«Bevis på ulikheter. Cauchys ulikhet

2014

Li Nina Yurievna

8. klasse

Sammendrag……………………………………………………………………………………………….3

Introduksjon ………………………………………………………………………………………………….. 4

Historisk referanse………………………………………………………………………………..4

Ulik ulikhet………………………………………………………………………………………5

Bevis på ulikheter…………………………………………………………………………………..7

Forskningsfunn………………………………………………………………………………..10

Referanser……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………

Lee Nina

St. Petersburg, GBOU ungdomsskole nr. 655, 8. klasse

«Bevis på ulikheter. Cauchys ulikhet.

veileder: Moroz Yulia Vladimirovna, lærer i matematikk

Mål vitenskapelig arbeid: Utvid kunnskapen din om å bevise ulikheter. Lær om Cauchys ulikhet. Lær å bruke de lærte metodene for å bevise ulikheter.

INTRODUKSJON

"... hovedresultatene av matematikk er oftere uttrykt ikke av likheter, men av ulikheter."

E. Beckenbach

Vi håndterer ulikheter gjennom hele skoleløpet. Ulikheter kan løses grafisk og analytisk. For å løse enhver ulikhet eksisterer bestemt algoritme handling, altså gitt oppgave er heller mekanisk handling som ikke krever kreativitet.

Tvert imot, beviset på ulikheter krever en uformell, variant tilnærming. Derfor er beviset på ulikheter det mest interessante.

Imidlertid, i skolekurs I matematikk gis det svært lite oppmerksomhet til beviset på ulikheter. Beviset for ulikhetene er redusert til én teknikk - estimeringen av forskjellen mellom delene av ulikheten.I mellomtiden, ved matematiske olympiader, er det ofte problemer med å bevise ulikheter ved å bruke andre metoder og teknikker (bruk av støtteulikheter, estimeringsmetode).Olympiader for skolebarn i matematikk byr også ofte på ulikheter, hvis bevis bedre avslører evnene og evnene til elevene, graden av deres intellektuell utvikling. I tillegg mange oppgaver økt kompleksitet(fra ulike grener av matematikken) løses effektivt ved å bruke ulikheter.

Relevansen av emnet "Bevis for ulikheter" er udiskutabel, siden ulikheter spiller en grunnleggende rolle i de fleste deler av moderne matematikk; verken fysikk, astronomi eller kjemi kan klare seg uten dem. Sannsynlighetsteori, mattestatistikk, finansiell matematikk, økonomi - alle disse sammenkoblede og generaliserende vitenskapene bruker konstant ulikheter både i formuleringen av deres grunnleggende lover, og i metodene for deres utledning, og i applikasjoner.

Bevis på ulikheter bidrar til å utvikle ferdighetene til å forstå og anvende teknikkene for å bevise ulikheter; evnen til å bruke dem når du utfører ulike oppgaver; evne til å analysere, generalisere og trekke konklusjoner; logisk uttrykke tanker; blir kreativ med jobben.

Formålet med dette arbeidet er å utvide kunnskapen innen metoder og teknikker for å bevise ulikheter.

For å nå dette målet med studien satte vi oss følgende oppgaver:

• innsamling av informasjon fra ulike kilder om teknikker og metoder for å bevise ulikheter;
• bli kjent med Cauchy-ulikheten;
• Lær å bruke støttende ulikheter til beviset på mer komplekse ulikheter.

HISTORIEREFERANSE

Begrepene "mer" og "mindre" sammen med begrepet "likhet" oppsto i forbindelse med telling av objekter og behovet for å sammenligne ulike mengder. De gamle grekerne brukte begrepet ulikhet. Arkimedes (III århundre f.Kr.), mens han beregnet omkretsen til en sirkel, fant han at "omkretsen til enhver sirkel er lik tre ganger diameteren med et overskudd som er mindre enn en syvendedel av diameteren, men mer enn ti syttien ." Arkimedes indikerte med andre ord grensene for tallet π.

I 1557, da Robert Record først introduserte likhetstegnet, motiverte han sin innovasjon som følger: ingen to objekter kan være mer like hverandre enn to parallelt segment. Basert på Records likhetstegn introduserte en annen engelsk vitenskapsmann Harriot ulikhetstegnene som fortsatt brukes i dag, og rettferdiggjorde innovasjonen som følger: hvis to størrelser ikke er like, så er ikke segmentene som vises i likhetstegnet lenger parallelle, men krysser hverandre. Krysset kan foregå til høyre (>) eller til venstre (

Til tross for at ulikhetstegnene ble foreslått 74 år etter likhetstegnet foreslått av Record, kom de i bruk mye tidligere enn sistnevnte. En av årsakene til dette fenomenet er forankret i det faktum at skrivere på den tiden brukte den latinske bokstaven de allerede hadde for ulikhetstegn. V, mens de ikke hadde et typesettende likhetstegn (=), og det var ikke lett å lage det da.

Tegnene ≤ og ≥ ble introdusert av den franske matematikeren P. Bouguet.

CAUCHY ULIKHET

Ideene som brukes for å bevise ulikheter er nesten like forskjellige som ulikhetene i seg selv. I spesifikke situasjoner fører generiske metoder ofte til stygge løsninger. Men den ikke-åpenbare kombinasjonen av flere "grunnleggende" ulikheter er bare mulig for noen få. Og dessuten er det ingenting som hindrer oss i hvert enkelt tilfelle fra å se etter en mer praktisk og bedre løsning enn den som ble oppnådd generell metode. Av denne grunn blir det å bevise ulikheter ofte henvist til kunstens rike. Og som all kunst, det er det teknikk, hvis sett er veldig bredt og det er veldig vanskelig å mestre dem alle.

En av disse "grunnleggende" ulikhetene er Cauchy-ulikheten, som indikerer forholdet mellom to gjennomsnitt - det aritmetiske gjennomsnittet og det geometriske gjennomsnittet. Det aritmetiske gjennomsnittet studeres i skolekurset i femte klasse og ser slik utDet geometriske gjennomsnittet vises først i geometrikurset i åttende klasse -. PÅ høyre trekant tre segmenter har denne egenskapen: to ben og en vinkelrett droppet fra toppen rett vinkel til hypotenusen.

Mellom disse to disse mengdene er det et utrolig forhold som forskere har studert. O. Cauchy, en fransk matematiker, kom til den konklusjon at det aritmetiske gjennomsnittet av n ikke-negative tall alltid ikke er mindre enn det geometriske gjennomsnittet av disse tallene.

Sammen med Cauchy-ulikheten er det nyttig å vite konsekvensene av den:

Likhet oppnås når a = b.

Ulikhetene er sanne dersom betingelsene a > 0, b > 0 er oppfylt.

Det algebraiske beviset på denne ulikheten er ganske enkelt:

(a – c)² ≥ 0;

Vi bruker formelen "kvadratforskjell":

a² - 2av + c² ≥0;

La oss legge til begge sider av ulikheten 4av:

a² + 2av + v² ≥4av;

Vi bruker formelen "kvadrat av summen":

(a + c)² ≥4av;

Vi deler begge sider av ulikheten med 4 :

Siden a og b er positive av betingelsen, trekker vi ut kvadratroten fra begge deler av ulikheten:

Vi fikk ønsket uttrykk.

Tenk på det geometriske beviset:

Gitt: ABCD er rektangulær, AD = a, AB = b, AK er halveringslinjen til vinkelen BAD.

Bevise:

Bevis:

1. AK er en halveringslinje, derfor BAL = LAD. LAD og BLA - innvendige tverrliggende vinkler med parallelle BC og AD og sekant AL, altså BLA=LAD.
2. B \u003d 90 °, derfor, BAL = LAD = 45°, men BLA = LAD, så ∆ ABL - likebenet, BL = AB = b.
3. ∆AKD likebenet, siden KD┴AD, DAL = 45°, så AD = KD = a.

Det er åpenbart at, likhet oppnås når

a = b , så ABCD er et kvadrat.

erstatte i ulikhet a² per m, b² per n, får vi

eller ,

det vil si at det geometriske gjennomsnittet ikke er større enn det aritmetiske gjennomsnittet.

BEVIS PÅ ULIKHETER

Syntesemetode.

Dette er en metode basert på å oppnå (syntetisere) ulikheten (som må begrunnes) fra referansen (grunnleggende) ulikheter og metoder for etablering av dem.

La oss løse problemet ved å bruke syntesemetoden

Oppgave 1. Bevis det for alle ikke-negative a, b, c ulikheten

Løsning. La oss skrive ned tre ulikheter som fastslår forholdet mellom det aritmetiske gjennomsnittet og det geometriske gjennomsnittet av to ikke-negative tall

Vi multipliserer de oppnådde ulikhetene ledd for ledd, siden deres venstre og høyre del er ikke-negative

Oppgave 2. Bruk Cauchy-ulikheten på beviset for denne ulikheten:

Metode for bruk av identiteter.

Essensen i metoden er at den gitte ulikheten reduseres til en åpenbar identitet ved hjelp av ekvivalente transformasjoner.

Vurder å løse problemet med denne metoden.

En oppgave. Bevis det for alle reelle tall a og b ulikheten.

Løsning. La oss skille ut hele firkanten på venstre side av ulikheten

For enhver gyldig a og b dette uttrykket er ikke-negativt, noe som betyr at denne ulikheten også er mulig, dvs..

KONKLUSJON

Dette forskningsarbeidet var rettet mot å løse følgende problemer:

• innsamling av informasjon og studier ulike metoder og teknikker for å bevise ulikheter;
• kjennskap til den bemerkelsesverdige Cauchy-ulikheten, dens bevis på en algebraisk og geometrisk måte;
• bruke den ervervede kunnskapen for å bevise ulikheter;
• kjennskap til syntesemetoden og bruk av identiteter i problemløsning.

I prosessen med å løse problemer, nådde vi målet vårt forskningsarbeid– finne optimal effektiv metode bevis på ulikheter.

BIBLIOGRAFI

1. Algebra. Klasse 8: lærebok. for allmennstudenter Institusjon/ Yu.N. Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, I.E.Feoktistov.-13. utg.

1. Algebra. 8. klasse. Didaktisk materiale. Retningslinjer/ I.E. Feoktistov.-3. utg., Ster.-M.: Mnemozina, 2013.-173 s.

1. Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Kl. 14. Del 1. Elevens lærebok utdanningsinstitusjoner/ A.G. Mordkovich. - 10. utg., slettet. – M.: Mnemosyne, 2008. - 215s., s. 185-200.

1. Berkolaiko S.T. Å bruke Cauchy-ulikheten til å løse problemer.- M.: Kvant, 1975.- Nr. 4.

En sjelden olympiade klarer seg uten problemer der det kreves å bevise en viss ulikhet. Algebraiske ulikheter er bevist ved hjelp av ulike metoder, som er basert på tilsvarende transformasjoner og egenskapene til numeriske ulikheter:

1) hvis a – b > 0, så a > b; hvis a - b

2) hvis a > b, så b a;

3) hvis a

4) hvis a

5) hvis a 0, så ac

6) hvis a bc; a / c > b / c;

7) hvis en 1

8) hvis 0

La oss huske noen grunnleggende ulikheter som ofte brukes for å bevise andre ulikheter:

1) a2 > 0;

2) aх 2 + bx + c > 0, med a > 0, b 2 - 4ac

3) x + 1 / x > 2, for x > 0, og x + 1 / x –2, for x

4) |a + b| |a| + |b|, |a – b| > |a| – |b|;

5) hvis a > b > 0, så 1 / a

6) hvis a > b > 0 og x > 0, så a x > b x, spesielt, for naturlig n > 2

a 2 > b 2 og n √ a > n √ b;

7) hvis a > b > 0 og x

8) hvis x > 0, da synd x

Mange problemer på olympiadenivået, og dette er ikke bare ulikheter, løses effektivt ved hjelp av noen spesielle ulikheter, som skoleelever ofte ikke er kjent med. Først av alt bør de inkludere:

• ulikhet mellom aritmetisk gjennomsnitt og geometrisk gjennomsnitt positive tall(Cauchys ulikhet):

• Bernoullis ulikhet:

(1 + α) n ≥ 1 + nα, hvor α > -1, n er et naturlig tall;

• Cauchy-Bunyakovsky ulikhet:

(a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n) 2 ≤ (a 1 2 + a 2 2 + . . . + a n 2)(b 1 2 + b 2 2 + . . . + b n 2 );

De mest "populære" metodene for å bevise ulikheter inkluderer:

• bevis på ulikheter basert på definisjon;
• kvadrat utvalg metode;
• metode for suksessive vurderinger;
• metode matematisk induksjon;
• bruk av spesielle og klassiske ulikheter;
• bruk av elementer fra matematisk analyse;
• bruk av geometriske betraktninger;
• ideen om forsterkning osv.

Problemer med løsninger

1. Bevis ulikheten:

a) a 2 + b 2 + c 2 + 3 > 2 (a + b + c);

b) a 2 + b 2 + 1 > ab + a + b;

c) x 5 + y 5 – x 4 y – x 4 y > 0 for x > 0, y > 0.

a) Vi har

a 2 + b 2 + c 2 + 1 + 1 + 1 - 2a - 2b - 2c = (a - 1) 2 + (b - 1) 2 + (c - 1) 2 > 0,

som er åpenbart.

b) Ulikheten som skal bevises, etter å ha multiplisert begge deler med 2, tar formen

2a 2 + 2b 2 + 2 > 2ab + 2a + 2b,

eller

(a 2 - 2ab + b 2) + (a 2 - 2a + 1) + (b 2 - 2b + 1) > 0,

eller

(a – b) 2 + (a – 1) 2 + (b – 1) 2 > 0,

som er åpenbart. Likhet finner sted bare når a = b = 1.

c) Vi har

x 5 + y 5 - x 4 y - x 4 y = x 5 - x 4 y - (x 4 y - y 5) = x 4 (x - y) - y 4 (x - y) =

\u003d (x - y) (x 4 - y 4) \u003d (x - y) (x - y) (x + y) (x 2 + y 2) \u003d (x - y) 2 (x + y ) (x 2 + y 2) > 0.

2. Bevis ulikheten:

en)	en	+	b		>	2 for a > 0, b > 0;
	b		en

b)	R	+	R	+	R		> 9, hvor a, b, c er sidene og P er omkretsen av trekanten;
	en		b		c

c) ab(a + b – 2c) + bc(b + c – 2a) + ac(a + c – 2b) > 0, hvor a > 0, b > 0, c > 0.

a) Vi har:

en	+	b	– 2 =	a 2 + b 2 - 2ab	=	(a – b) 2		> 0.
b		en		ab		ab

b ) Beviset for denne ulikheten følger elementært av følgende anslag:

b+c	+	a+c	+	a+b	=
en		b		c

=

b

+

c

+

en

+

c

+

en

+

b

=

en

en

b

b

c

c

= (

b

+

en

) + (

c

+

en

) + (

c

+

b

) > 6,

en

b

en

c

b

c

Likhet oppnås for likesidet trekant.

c) Vi har:

ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ac(a + c - 2b) =

= abc (

en

+

b

– 2 +

b

+

c

– 2 +

en

+

c

– 2 ) =

c

c

en

en

b

b

= abc ((

en

+

b

– 2) + (

en

+

c

– 2) + (

b

+

c

– 2) ) > 0,

b

en

c

en

c

b

fordi summen av to positive gjensidige tall er større enn eller lik 2.

3. Bevis at hvis a + b = 1, så holder ulikheten a 8 + b 8 > 1 / 128.

Fra betingelsen at a + b = 1, følger det at

a 2 + 2ab + b 2 = 1.

La oss legge til denne likheten med den åpenbare ulikheten

a 2 - 2ab + b 2 > 0.

Vi får:

2a 2 + 2b 2 > 1, eller 4a 4 + 8a 2 b 2 + 4b 2 > 1.

4a 4 – 8a 2 b 2 + 4b 2 > 0,

vi får:

8a 4 + 8b 4 > 1, hvorav 64a 8 + 128a 4 b 4 + 64b 4 > 1.

Å legge denne ulikheten til den åpenbare ulikheten

64a 8 – 128a 4 b 4 + 64b 4 > 0,

vi får:

128a8 + 128b8 > 1 eller a 8 + b 8 > 1/128 .

4. Hva mer e e π π eller e 2 π?

Vurder funksjonen f(x) = x – π log x . Fordi det f'(x) = 1 – π / x , og til venstre for prikken X = π f'(x) 0 , og til høyre - f'(x) > 0, deretter f(x) Det har minste verdi på punktet X = π . På denne måten f(e) > f(π), det er

e – π ln e = e – π > π – π ln π

eller

e + π logg π > 2π .

Derfor får vi det

e e+ π logg π > e 2 π,

henne· e π logg π > e 2 π ,

e e π π > e 2 π.

5. Bevis det

log(n + 1) >	lg 1 + lg 2 + . . . + logg n	.
	n

Ved å bruke egenskapene til logaritmer er det lett å redusere denne ulikheten til en ekvivalent ulikhet:

(n + 1) n > n!,

hvor n! = 1 2 3 . . . · n (n-faktor). I tillegg er det et system med åpenbare ulikheter:

n + 1 > 1,

n + 1 > 2,

n + 1 > 3,

. . . . .

n + 1 > n

etter ledd-for-ledd multiplikasjon, får vi umiddelbart at (n + 1) n > n!.

6. Bevis at 2013 2015 2015 2013

Vi har:

2013 2015 2015 2013 = 2013 2 2013 2013 2015 2013 =

2013 2 (2014 - 1) 2013 (2014 + 1) 2013

Selvfølgelig kan man også få en generell uttalelse: for enhver naturlig n, ulikheten

(n – 1) n +1 (n + 1) n –1

7. Bevis at for ethvert naturlig tall n gjelder følgende ulikhet:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1		2n - 1	.
1!		2!		3!		n!		n

La oss anslå venstre side av ulikheten:

1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
1!		2!		3!		n!

= 1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1
	12		1 2 3		1 2 3 4		1 2 3 . . . n

1 +	1	+	1	+	1	+ . . . +	1	=
	12		2 3		3 4		(n – 1) n

= 1 + (1 –	1	) + (	1	–	1	) + (	1	–	1	) + . . . + (	1	–	1	) = 2 –	1	,
	2		2		3		3		4		n - 1		n		n

Q.E.D.

8. La a 1 2 , a 2 2 , a 3 2 , . . . , og n 2 er kvadratene til n forskjellige naturlige tall. Bevis det

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >	1	.
	en 1 2			en 2 2			en 3 2			en n 2		2

La det største av disse tallene være lik m. Deretter

(1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) >
	en 1 2			en 2 2			en 3 2			en n 2

> ( 1 –	1	) (1	–	1	) (1	–	1	) . . . (1	–	1	) ,
	2 2			3 2			4 2			m2

siden i høyre side lagt til multiplikatorer mindre enn 1.Vi beregner høyre side ved å faktorisere hver parentes:

=	2 3 2 4 2 . . . (m - 1) 2 (m + 1)	=	m + 1	=	1	+	1	>	1	.
	2 2 3 2 4 2 . . . m2 Ved å åpne parentesene på venstre side får vi summen 1 + (a 1 + . . . + a n) + (a 1 a 2 + . . . + a n –1 a n) + (a 1 a 2 a 3 + . . . + a n –2 a n –1 a n) + . . . + a 1 a 2. . . en n . Summen av tallene i den andre parentesen overskrider ikke (a 1 + . . . + a n) 2 , summen i den tredje parentesen overskrider ikke (a 1 + . . . + a n) 3 , og så videre. Derfor overskrider ikke hele produktet 1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + . . . + 1/2n = 2 – 1/2n Metode 2. La oss bevise ved metoden for matematisk induksjon at for alle naturlige tall n er følgende ulikhet sann: (1 + a1). . . (1 + an) For n = 1 har vi: 1 + a 1 1 . La for n = k vi har:(1 + a 1). . . (1 + a k ) 1 + . . . + a k). Tenk på tilfellet n = k +1:(1 + a 1). . . (1 + a k )(1 + a k +1 ) (1 + 2(a 1 + . . . + a k ) )(1 + a k+1 ) ≤ 1 + 2(a 1 + . . . + a k ) + a k +1 (1 + 2 1 / 2) = 1 + 2 (a 1 + ... + a k + a k + 1 ). I kraft av prinsippet om matematisk induksjon bevises ulikheten. 10. Bevis Bernoulli-ulikheten: (1 + α) n ≥ 1 + nα, hvor α > -1, n er et naturlig tall. La oss bruke metoden for matematisk induksjon. For n = 1 får vi den sanne ulikheten: 1 + α ≥ 1 + α. La oss anta at følgende ulikhet gjelder: (1 + α) n ≥ 1 + nα. La oss vise at da har vi det (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α. Faktisk, siden α > –1 innebærer α + 1 > 0, så multipliseres begge sider av ulikheten (1 + α) n ≥ 1 + nα på (a + 1), får vi (1 + α) n (1 + α) ≥ (1 + nα)(1 + α) eller (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 Siden nα 2 ≥ 0, derfor, (1 + α) n + 1 ≥ 1 + (n + 1)α + nα 2 ≥ 1 + (n + 1)α. I henhold til prinsippet om matematisk induksjon er altså Bernoullis ulikhet sann. Problemer uten løsninger 1. Bevis ulikheten for positive verdier variabler a 2 b 2 + b 2 c 2 + a 2 c 2 ≥ abc(a + b + c). 2. Bevis at for enhver a ulikheten 3(1 + a 2 + a 4) ≥ (1 + a + a 2) 2 . 3. Bevis at polynomet x 12 – x 9 + x 4 – x+ 1 er positivt for alle verdier av x. 4. For 0 e bevis ulikheten (e+ x) e– x > ( e– x) e+ x . 5. La a, b, c være positive tall. Bevis det a+b + b+c + a+c ≤ 1 + 1 +

MOU Grishino - Slobodskaya ungdomsskole

Modulprogram

"Metoder for å bevise ulikheter"

innenfor valgfaget

"Bak sidene i en lærebok i matematikk"

for elever på 10.-11

Sammensatt av:

matematikklærer

Pankova E.Yu.

Forklarende merknad

"Matematikk kalles en tautologisk vitenskap: med andre ord, matematikere sies å bruke tid på å bevise at ting er lik dem selv. Denne uttalelsen er svært unøyaktig av to grunner. For det første matematikk, til tross for dens karakteristikk vitenskapelig språk, er ikke en vitenskap; snarere kan det kalles kunst. for det andre de grunnleggende resultatene av matematikk uttrykkes oftere ved ulikheter enn ved likheter.»

Ulikheter brukes i praktisk jobb matte hele tiden. De brukes til å oppnå en rekke interessante og viktige ekstreme egenskaper til "symmetriske" figurer: en firkant, en kube, en likesidet trekant, samt for å bevise konvergensen av iterative prosesser og beregne noen grenser. Ulikhetenes rolle er også viktig i ulike naturvitenskapelige og teknologiske spørsmål.

Problemer med å bevise ulikheter er de vanskeligste og mest interessante av de tradisjonelle. Å bevise ulikheter krever ekte oppfinnsomhet, kreativitet som gjør matematikk til det spennende faget det er.

Evidensundervisning spiller en stor rolle i utviklingen av deduktiv-matematisk tenkning og generelle tenkeevner til elever. Hvordan lære elevene å selvstendig utføre bevis på ulikheter? Svaret er: bare ved å vurdere mange teknikker og bevismetoder og bruke dem regelmessig.

Ideene som brukes for å bevise ulikheter er nesten like forskjellige som ulikhetene i seg selv. I spesifikke situasjoner fører generiske metoder ofte til stygge løsninger. Men den ikke-åpenbare kombinasjonen av flere "grunnleggende" ulikheter er bare mulig for noen få skolebarn. Og dessuten er det ingenting som hindrer studenten i å se etter en bedre løsning enn den som oppnås ved den generelle metoden. Av denne grunn blir det å bevise ulikheter ofte henvist til kunstens rike. Og som i enhver kunst, har den sine egne tekniske teknikker, hvis sett er veldig bredt og det er veldig vanskelig å mestre dem alle, men hver lærer bør strebe etter å utvide det matematiske verktøyet som er tilgjengelig i lageret hans.

Denne modulen anbefales for elever i klasse 10-11. Ikke alle mulige metoder for å bevise ulikheter er vurdert her (metoden for å endre en variabel, bevise ulikheter ved å bruke en derivat, metoden for forskning og generalisering, og bestillingsteknikken påvirkes ikke). Du kan tilby å vurdere andre metoder på andre trinn (for eksempel i klasse 11), hvis denne modulen i kurset vekker interesse blant studentene, samt fokusere på å lykkes med å mestre første del av kurset.

		Ligninger og ulikheter med en parameter.
		Metoder for å bevise ulikheter.
		Ligninger og ulikheter som inneholder det ukjente under modultegnet.
		Systemer av ulikheter med to variabler.

"Bak sidene i en lærebok i matematikk"

"Metoder for å bevise ulikheter"

		Introduksjon.
		Bevis for ulikheter basert på definisjonen.
		Metode for matematisk induksjon.
		Anvendelse av klassiske ulikheter.
		Grafisk metode.
		Den motsatte metoden.
		En teknikk for å vurdere ulikheter med hensyn til en av variablene.
		Forsterkningsidé.
		Leksjon - kontroll.

Leksjon 1. Introduksjon.

Å bevise ulikheter er et fascinerende og utfordrende tema i grunnleggende matematikk. Fravær enhetlig tilnærming til problemet med å bevise ulikheter, fører til leting etter en rekke teknikker egnet for å bevise ulikheter visse typer. Dette valgfaget vil undersøke følgende metoder bevis på ulikheter:

Gjentakelse:

Utfør bevis på noen egenskaper.

Klassiske ulikheter:

1)
(Cauchys ulikhet)

2)

3)

4)

Historiereferanse:

Ulikhet (1) er oppkalt etter fransk matematiker August Cauchy. Antall
kalt aritmetisk gjennomsnitt tallene a og b;

Antall
kalt geometrisk gjennomsnitt tallene a og b. Dermed betyr ulikheten at det aritmetiske gjennomsnittet av to positive tall ikke er mindre enn deres geometriske gjennomsnitt.

I tillegg:

Tenk på flere matematiske sofismer med ulikheter.

Matematisk sofisme- en fantastisk uttalelse, i beviset på hvilken umerkelige og noen ganger ganske subtile feil er skjult.

Sofismer er falske resultater oppnådd ved hjelp av resonnementer som bare ser ut til å være riktige, men som nødvendigvis inneholder en eller annen feil.

Eksempel:

fire over tolv

Leksjon 2. Bevis for ulikheter basert på definisjonen.

Essensen av denne metoden er som følger: for å fastslå gyldigheten av ulikhetene F(x,y,z)>S(x,y,z) utgjør forskjellen F(x,y,z)-S( x,y,z) og bevis at den er positiv. Ved å bruke denne metoden skiller man ofte ut en kvadrat, en kube av en sum eller forskjell, en ufullstendig kvadrat av en sum eller forskjell. Dette hjelper til med å bestemme tegnet på forskjellen.

Eksempel. Bevis ulikheten (x+y)(x+y+2cosx)+2 2sin 2x

Bevis:

Tenk på forskjellen (x+y)(x+y+2cosx)+2- 2sin 2 x =(x+y)(x+y+2cosx)+2cos 2 x=(x+y)(x+y+2cosx) ) + cos 2 x +cos 2 x= (x+y) 2 +2(x+y)cosx+ cos 2 x +cos 2 x=((x+y)+cosx) 2 + cos 2 x 0.

Bevis ulikheten:

1.ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c) 6abc

3.

4.
>2x-20

5.

6.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc

7.

Leksjon 3. Metoden for matematisk induksjon.

Når man beviser ulikheter som inkluderer heltall tyr ofte til metoden for matematisk induksjon. Metoden er som følger:

1) sjekk sannheten av teoremet for n=1;

2) vi antar at teoremet er sant for noen n=k, og basert på denne antakelsen beviser vi sannheten til teoremet for n=k+1;

3) basert på de to første trinnene og prinsippet om matematisk induksjon, konkluderer vi med at teoremet er sant for enhver n.

Eksempel.

Bevis ulikheten

Bevis:

1) for n=2 er ulikheten sann:

2) La ulikheten være sann for n=k dvs.
(*)

La oss bevise at ulikheten er sann for n=k+1, dvs.
. La oss multiplisere begge deler av ulikheten (*) med
vi får 3) Fra punkt 1. og punkt 2 konkluderer vi med at ulikheten er sann for enhver n.

Oppgaver til klasserom og hjemmearbeid

Bevis ulikheten:

1)

2)

3)

4)

5)

6)
.

Leksjon 4 Anvendelse av klassiske ulikheter.

Essensen av denne metoden er som følger: ved å bruke en serie transformasjoner, utledes den nødvendige ulikheten ved å bruke noen klassiske ulikheter.

Eksempel.

Bevis ulikheten:

Bevis:

Som referanseulikhet bruker vi
.

Vi reduserer denne ulikheten til neste type:

, deretter

Men =
, deretter

Bevis ulikheten:

1)(p+2)(q+2)(p+q)16pq(for bevis bruker vi ulikheten
)

2)
(til dokumentasjon brukes ulikheten)

3) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (ulikheten brukes som bevis)

4)
(for doc-va brukes ulikheten).

Leksjon 5 Grafisk metode.

Bevis på ulikheter grafisk metode er som følger: hvis vi beviser ulikheten f(x)>g(x)(f(x)

1) bygge grafer av funksjonene y=f(x) og y=g(x);

2) hvis grafen til funksjonen y=f(x) er plassert over (under) grafen til funksjonen y=g(x), så er ulikheten som bevises sann.

Eksempel.

Bevis ulikheten:

cosx
,x0

Bevis:

La oss konstruere i ett koordinatsystem grafene til funksjonene y=cosx og

Det kan sees av grafen at ved x0 ligger grafen til funksjonen y=cosx over grafen til funksjonen y=.

Arbeidsoppgaver i klasserommet og hjemme.

Bevis ulikheten:

1)

3)ln(1+x) 0

4)
.

5)

Leksjon 6

Essensen av denne metoden er som følger: la det være nødvendig å bevise sannheten av ulikheten F(x,y,z) S(x,y,z)(1). Det motsatte antas, dvs. at ulikheten F(x,y,z) S(x,y,z) (2) er gyldig for minst ett sett med variabler. Ved å bruke egenskapene til ulikheter utføres transformasjoner av ulikhet (2). Hvis det oppnås en falsk ulikhet som et resultat av disse transformasjonene, betyr dette at antakelsen om gyldigheten av ulikhet (2) er falsk, og derfor er ulikhet (1) sann.

Eksempel.

Bevis ulikheten:

Bevis:

Anta det motsatte, dvs.

La oss kvadre begge deler av ulikheten, vi får , hvorfra
og utover

. Men dette motsier Cauchy-ulikheten. Så vår antagelse er feil, dvs. ulikheten er sann

Arbeidsoppgaver i klasserommet og hjemme.

Bevis ulikheten:

Leksjon 7 En teknikk for å vurdere ulikheter med hensyn til en av variablene.

Essensen av metoden er å vurdere ulikheten og dens løsning med hensyn til én variabel.

Eksempel.

Bevis ulikheten:

Eksempel.

Bevis ulikheten:

Bevis:

Arbeidsoppgaver i klasserommet og hjemme.

Bevis ulikheten:

1)

2)

3)

Leksjon 9 Leksjon - kontroll av elevenes kunnskap.

Arbeidet i denne leksjonen kan organiseres i par eller hvis det er stor klassestørrelse i grupper. På slutten av timen skal hver elev vurderes. Dette er karakterutskriften for dette kurset. Det anbefales ikke å utføre kontrollarbeid på dette temaet. beviset på ulikheter, som allerede nevnt i forklaringen, tilhører kunstfeltet. I begynnelsen blir studentene bedt om å bestemme metoden for å bevise de foreslåtte ulikhetene selv. Hvis elevene har vanskeligheter, forteller læreren dem den rasjonelle metoden, og advarer gruppen om at dette selvfølgelig vil påvirke vurderingen deres.

metoder bevisulikheter. den metodebevis påulikheter ved å introdusere hjelpefunksjoner...

Valgfag i matematikk av ulikhetsbevismetoder

Valgfag

ukjent, annerledes metoderbevis påulikheter, samt søknaden ulikheter ulikheter ved bruk av metode metode til bevis påulikheter, for å løse problemer...

Valgfag i matematikk Ulikheter Bevismetoder Forklaring

Valgfag

ukjent, annerledes metoderbevis påulikheter, samt søknaden ulikheter ved løsning av oppgaver av ulike ... Kunne: vurdere ulikheter ved bruk av metode Sturm, søke vurdert metode til bevis påulikheter, for å løse problemer...

Valgfag i matematikk Ulikheter Bevismetoder Forklaring (1)

Valgfag

ukjent, annerledes metoderbevis påulikheter, samt søknaden ulikheter ved løsning av oppgaver av ulike ... Kunne: vurdere ulikheter ved bruk av metode Sturm, søke vurdert metode til bevis påulikheter, for å løse problemer...