Beviset for Fermats teorem er elementært, enkelt og forståelig. Historien om Fermats siste teorem

Ivliev Yu.A.

Artikkelen er viet beskrivelsen av en grunnleggende matematisk feil som ble gjort i prosessen med å bevise Fermats siste teorem på slutten av det tjuende århundre. Den oppdagede feilen forvrenger ikke bare den sanne betydningen av teoremet, men hindrer også utviklingen av en ny aksiomatisk tilnærming til studiet av potenser av tall og den naturlige tallrekke.

I 1995 ble det publisert en artikkel, tilsvarende i størrelse som en bok, og som rapporterte om beviset for den berømte Fermats store (siste) teorem (WTF) (for historien til teoremet og forsøk på å bevise det, se f.eks. ). Etter denne hendelsen dukket det opp mange vitenskapelige artikler og populærvitenskapelige bøker som fremmet dette beviset, men ingen av disse verkene avslørte den grunnleggende matematiske feilen i det, som snek seg inn ikke engang på grunn av forfatterens feil, men på grunn av en merkelig optimisme som grep sinn matematikere som studerte dette problemet og relaterte problemstillinger. De psykologiske aspektene ved dette fenomenet har blitt studert i. Her gir vi en detaljert analyse av feilen som skjedde, som ikke er av privat karakter, men er en konsekvens av en feil forståelse av egenskapene til potenser av heltall. Som vist i, er Fermats problem forankret i en ny aksiomatisk tilnærming til studiet av disse egenskapene, som ennå ikke har blitt brukt i moderne vitenskap. Men et feilaktig bevis sto i veien for ham, og ga tallteorispesialister falske retningslinjer og ledende forskere av Fermats problem bort fra dets direkte og tilstrekkelige løsning. Dette arbeidet er viet til å eliminere denne hindringen.

1. Anatomi av en feil gjort under WTF-beviset

I prosessen med svært lange og kjedelige resonnementer ble Fermats opprinnelige utsagn omformulert i form av en sammenligning av en diofantisk ligning av pth-graden med elliptiske kurver av 3. orden (se teoremer 0,4 og 0,5 in). Denne sammenligningen tvang forfatterne av det praktisk talt kollektive beviset til å kunngjøre at deres metode og resonnement førte til en endelig løsning på Fermats problem (husk at WTF ikke hadde anerkjente bevis for tilfellet med vilkårlige heltallskrefter av heltall før på 90-tallet av sist århundre). Hensikten med denne vurderingen er å fastslå den matematiske feilen til sammenligningen ovenfor og, som et resultat av analysen, å finne en grunnleggende feil i beviset presentert i.

a) Hvor og hva er feilen?

Så vi vil følge teksten, hvor det på s. 448 sies at etter den "vittige ideen" til G. Frey åpnet muligheten for å bevise WTF. I 1984 foreslo G. Frey og

K. Ribet beviste senere at den antatte elliptiske kurven som representerer den hypotetiske heltallsløsningen til Fermats ligning

y 2 = x(x + u p)(x - v p) (1)

kan ikke være modulært. Imidlertid beviste A. Wiles og R. Taylor at hver semistabel elliptisk kurve definert over feltet av rasjonelle tall er modulær. Dette førte til konklusjonen om umuligheten av heltallsløsninger av Fermats ligning og følgelig om gyldigheten av Fermats utsagn, som i notasjonen til A. Wiles ble skrevet som teorem 0.5: la det være en likhet

u p+ v p+ w p = 0 (2)

Hvor u, v, w- rasjonelle tall, heltallseksponent p ≥ 3; da (2) er tilfredsstilt bare hvis uvw = 0 .

Nå bør vi tilsynelatende gå tilbake og kritisk tenke på hvorfor kurve (1) a priori ble oppfattet som elliptisk og hva som er dens virkelige sammenheng med Fermats ligning. For å forutse dette spørsmålet, refererer A. Wiles til arbeidet til Y. Hellegouarch, der han fant en måte å assosiere Fermats ligning (antagelig løst i heltall) med en hypotetisk tredjeordenskurve. I motsetning til G. Frey, koblet ikke I. Elleguarche sin kurve med modulære former, men metoden hans for å oppnå ligning (1) ble brukt for ytterligere å fremme beviset til A. Wiles.

La oss se nærmere på jobben. Forfatteren fører sine resonnementer i form av projektiv geometri. Ved å forenkle noen av notasjonene og bringe dem i tråd med , finner vi at den abelianske kurven

Y 2 = X(X - β p)(X + γ p) (3)

den diofantiske ligningen sammenlignes

x p+ y p+ z p = 0 (4)

Hvor x, y, z er ukjente heltall, p er heltallseksponenten fra (2), og løsningene av den diofantiske ligningen (4) α p , β p , γ p brukes til å skrive den abelske kurven (3).

Nå, for å være sikker på at dette er en elliptisk kurve av 3. orden, er det nødvendig å vurdere variablene X og Y i (3) i det euklidiske planet. For å gjøre dette bruker vi den velkjente aritmetikkregelen for elliptiske kurver: hvis det er to rasjonelle punkter på en kubisk algebraisk kurve og en linje som går gjennom disse punktene skjærer denne kurven på et annet punkt, så er sistnevnte også et rasjonelt punkt . Hypotetisk ligning (4) representerer formelt loven om å legge til punkter på en rett linje. Hvis vi gjør en endring av variabler x p = A, y p = B, z p = C og rett den resulterende rette linjen langs X-aksen i (3), så vil den skjære 3. gradskurven i tre punkter: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), noe som gjenspeiles i notasjonen til den abelske kurven (3) og i en lignende notasjon (1). Men er kurve (3) eller (1) faktisk elliptisk? Åpenbart, nei, fordi segmentene av den euklidiske linjen, når du legger til punkter på den, er tatt på en ikke-lineær skala.

Når vi går tilbake til de lineære koordinatsystemene i det euklidiske rom, får vi i stedet for (1) og (3) formler som er svært forskjellige fra formlene for elliptiske kurver. For eksempel kan (1) ha følgende form:

η 2p = ξ p (ξ p + u p)(ξ p - v p) (5)

hvor ξ p = x, η p = y, og appellen til (1) i dette tilfellet for å utlede WTF virker illegitim. Til tross for at (1) tilfredsstiller noen kriterier for klassen av elliptiske kurver, tilfredsstiller den likevel ikke det viktigste kriteriet om å være en likning av 3. grad i et lineært koordinatsystem.

b) Feilklassifisering

Så la oss igjen gå tilbake til begynnelsen av betraktningen og se hvordan konklusjonen om sannheten til WTF er nådd. For det første antas det at det finnes en eller annen løsning på Fermats ligning i positive heltall. For det andre settes denne løsningen vilkårlig inn i en algebraisk form av en kjent form (en plan kurve av grad 3) under forutsetning av at de elliptiske kurvene som er oppnådd på denne måten eksisterer (den andre ubekreftede antakelsen). For det tredje, siden andre metoder beviser at den spesielle kurven som er konstruert er ikke-modulær, betyr det at den ikke eksisterer. Dette fører til konklusjonen: det er ingen heltallsløsning på Fermats ligning, og derfor er WTF riktig.

Det er en svak lenke i disse argumentene, som etter detaljert verifisering viser seg å være en feil. Denne feilen gjøres på andre trinn av bevisprosessen, når det antas at den hypotetiske løsningen til Fermats ligning også er løsningen på en algebraisk ligning av 3. grad som beskriver en elliptisk kurve av kjent form. I seg selv ville en slik antagelse være berettiget dersom den angitte kurven virkelig var elliptisk. Imidlertid, som det fremgår av punkt 1a), er denne kurven presentert i ikke-lineære koordinater, noe som gjør den "illusorisk", dvs. ikke egentlig eksisterer i lineært topologisk rom.

Nå må vi tydelig klassifisere den funnet feilen. Det ligger i at det som skal bevises presenteres som et bevisargument. I klassisk logikk er denne feilen kjent som en "ond sirkel". I dette tilfellet sammenlignes heltallsløsningen til Fermats ligning (tilsynelatende, antagelig unikt) med en fiktiv, ikke-eksisterende elliptisk kurve, og deretter brukes all patosen til videre resonnement på å bevise at en spesifikk elliptisk kurve av denne typen, oppnådd fra hypotetiske løsninger av Fermats ligning, eksisterer ikke.

Hvordan skjedde det at en slik elementær feil ble savnet i seriøst matematisk arbeid? Dette skjedde sannsynligvis på grunn av det faktum at "illusoriske" geometriske figurer av denne typen ikke tidligere hadde blitt studert i matematikk. Ja, hvem kan for eksempel være interessert i en fiktiv sirkel hentet fra Fermats ligning ved å erstatte variablene x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? Tross alt har ikke ligningen C 2 = A 2 + B 2 heltallsløsninger for heltall x, y, z og n ≥ 3. I ikke-lineære koordinatakser X og Y, vil en slik sirkel bli beskrevet av en ligning som i utseende ligner veldig på standardformen:

Y 2 = - (X - A)(X + B),

hvor A og B ikke lenger er variabler, men spesifikke tall bestemt av substitusjonen ovenfor. Men hvis tallene A og B får sin opprinnelige form, som består i deres potenskarakter, så fanger notasjonens heterogenitet i faktorene på høyre side av ligningen umiddelbart øyet. Denne funksjonen hjelper til med å skille illusjon fra virkeligheten og flytte fra ikke-lineære til lineære koordinater. På den annen side, hvis vi ser på tall som operatorer når vi sammenligner dem med variabler, som for eksempel i (1), så må begge være homogene størrelser, dvs. må ha samme grader.

Denne forståelsen av tallkrefter som operatorer lar oss også se at sammenligningen av Fermat-ligningen med en illusorisk elliptisk kurve ikke er entydig. Ta for eksempel en av faktorene på høyre side av (5) og dekomponer den til p lineære faktorer, introduser et komplekst tall r slik at r p = 1 (se for eksempel):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + r u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Da kan form (5) representeres som en dekomponering til primfaktorer av komplekse tall i henhold til typen algebraisk identitet (6), men det er imidlertid spørsmål om det unike ved en slik dekomponering i det generelle tilfellet, som en gang ble vist av Kummer .

2. Konklusjoner

Fra forrige analyse følger det at den såkalte aritmetikken til elliptiske kurver ikke er i stand til å belyse hvor man skal lete etter et bevis på WTF. Etter arbeidet begynte Fermats uttalelse, forresten, tatt som epigrafen til denne artikkelen, å bli oppfattet som en historisk spøk eller bløff. Men i virkeligheten viser det seg at det ikke var Fermat som kom med vitsen, men spesialistene som samlet seg til et matematisk symposium i Oberwolfach i Tyskland i 1984, hvor G. Frey ga uttrykk for sin vittige idé. Konsekvensene av en slik uforsiktig uttalelse brakte matematikken som helhet på randen av å miste offentlig tillit, noe som er beskrevet i detalj i og som nødvendigvis reiser spørsmålet om vitenskapelige institusjoners ansvar overfor samfunnet. Sammenligningen av Fermat-ligningen med Frey-kurven (1) er "låsen" av hele Wiles' bevis angående Fermats teorem, og hvis det ikke er samsvar mellom Fermat-kurven og modulære elliptiske kurver, er det ikke noe bevis.

Nylig har det dukket opp forskjellige internettrapporter om at noen fremtredende matematikere endelig har funnet ut Wiles sitt bevis på Fermats teorem, etter å ha kommet med en begrunnelse for det i form av en "minimal" omberegning av heltallspunkter i det euklidiske rom. Imidlertid kan ingen nyvinninger kansellere de klassiske resultatene som allerede er oppnådd av menneskeheten i matematikk, spesielt det faktum at selv om et hvilket som helst ordinært tall sammenfaller med dets kvantitative analog, kan det ikke være en erstatning for det i operasjoner med å sammenligne tall med hverandre, og dermed med den uunngåelige konklusjonen følger at Frey-kurven (1) i utgangspunktet ikke er elliptisk, dvs. er det ikke per definisjon.

REFERANSER:

Ivliev Yu.A. Rekonstruksjon av det opprinnelige beviset på Fermats siste teorem - United Scientific Journal (seksjon "Matematikk"). April 2006 nr. 7 (167) s. 3-9, se også Praci Lugansk Branch of the International Academy of Informatization. Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Ukraina. Skhidnoukransky National University oppkalt etter. V.Dal. 2006 nr. 2 (13) s.19-25.
Ivliev Yu.A. Den største vitenskapelige svindelen på 1900-tallet: "beviset" på Fermats siste teorem - Natur- og ingeniørvitenskap (avsnittet "Matematikkens historie og metodikk"). august 2007 nr. 4 (30) s.34-48.
Edwards G. (Edwards H.M.) Fermats siste teorem. Genetisk innføring i algebraisk tallteori. Per. fra engelsk redigert av B.F. Skubenko. M.: Mir 1980, 484 s.
Hellegouarch Y. Points d´ordre 2p h sur les courbes elliptiske - Acta Arithmetica. 1975 XXVI s.253-263.
Wiles A. Modulære elliptiske kurver og Fermats siste teorem - Annals of Mathematics. Mai 1995 v.141 Andre serie nr. 3 s.443-551.

Bibliografisk lenke

Ivliev Yu.A. WILLES' FALSKE BEVIS PÅ FERMAS SISTE TEOREM // Fundamental Research. – 2008. – nr. 3. – S. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (tilgangsdato: 03/03/2020). Vi gjør deg oppmerksom på magasiner utgitt av forlaget "Academy of Natural Sciences"

FERMAS STORE TEOREM - en uttalelse av Pierre Fermat (en fransk advokat og deltidsmatematiker) om at den diofantiske ligningen X n + Y n = Z n , med eksponent n>2, hvor n = heltall, ikke har noen løsninger i positive heltall . Forfatterens tekst: "Det er umulig å dekomponere en terning i to terninger, eller en biquadrate til to biquadrate, eller generelt en potens større enn to til to potenser med samme eksponent."

"Fermat og hans teorem", Amadeo Modigliani, 1920

Pierre kom med denne teoremet 29. mars 1636. Og rundt 29 år senere døde han. Men det var der det hele startet. Tross alt testamenterte en velstående tysk elsker av matematikk ved navn Wolfskehl hundre tusen mark til den som ville presentere et fullstendig bevis på Fermats teorem! Men spenningen rundt teoremet var ikke bare forbundet med dette, men også med profesjonell matematisk lidenskap. Fermat antydet selv til det matematiske samfunnet at han kjente beviset - kort før sin død, i 1665, la han følgende notat i margen av Diophantus av Alexandrias bok "Arithmetica": "Jeg har et veldig slående bevis, men det er også stor for å plasseres på jorder."

Det var dette hintet (pluss selvfølgelig en kontantbonus) som tvang matematikere til å bruke sine beste år på uten hell på å søke etter et bevis (ifølge amerikanske forskere brukte profesjonelle matematikere alene totalt 543 år på dette).

På et tidspunkt (i 1901) fikk arbeidet med Fermats teorem det tvilsomme ryktet om "arbeid i likhet med søket etter en evighetsmaskin" (selv et nedsettende begrep dukket opp - "Fermatister"). Og plutselig, den 23. juni 1993, på en matematisk konferanse om tallteori i Cambridge, annonserte en engelsk professor i matematikk fra Princeton University (New Jersey, USA), Andrew Wiles, at han endelig hadde bevist Fermat!

Beviset var imidlertid ikke bare vanskelig, men også åpenbart feil, som Wiles ble påpekt av sine kolleger. Men professor Wiles drømte hele livet om å bevise teoremet, så det er ikke overraskende at han i mai 1994 presenterte en ny, revidert versjon av beviset for det vitenskapelige samfunnet. Det var ingen harmoni eller skjønnhet i det, og det var fortsatt veldig komplekst - det faktum at matematikere brukte et helt år (!) på å analysere dette beviset for å forstå om det var feil, taler for seg selv!

Men til slutt ble Wiles bevis funnet å være riktig. Men matematikere tilga ikke Pierre Fermat for selve hintet hans i "Aritmetikk", og begynte faktisk å betrakte ham som en løgner. Faktisk var den første personen som stilte spørsmål ved Fermats moralske integritet, Andrew Wiles selv, som bemerket at "Fermat kunne ikke ha hatt slike bevis." Så, blant andre forskere, ble oppfatningen sterkere om at Fermat "ikke kunne bevise teoremet sitt på en annen måte, og Fermat kunne ikke bevise det slik Wiles tok av objektive grunner."

Faktisk kunne Fermat selvfølgelig bevise det, og litt senere vil dette beviset bli gjenskapt av analytikerne i New Analytical Encyclopedia. Men hva er disse "objektive grunnene"?
Det er faktisk bare én slik grunn: i de årene da Fermat levde, kunne ikke Taniyama-formodningen, som Andrew Wiles baserte sitt bevis på, vises, fordi de modulære funksjonene som Taniyama-formodningen opererer med ble oppdaget først på slutten av det 19. århundre.

Hvordan beviste Wiles selv teoremet? Spørsmålet er ikke tomt – det er viktig for å forstå hvordan Fermat selv kunne bevise teoremet sitt. Wiles baserte beviset sitt på beviset for Taniyama-formodningen, fremsatt i 1955 av den 28 år gamle japanske matematikeren Yutaka Taniyama.

Hypotesen lyder slik: "hver elliptisk kurve tilsvarer en viss modulær form." Elliptiske kurver, kjent i lang tid, har en todimensjonal form (plassert på et plan), mens modulære funksjoner har en firedimensjonal form. Det vil si at Taniyamas hypotese kombinerte helt andre konsepter – enkle flate kurver og ufattelige firdimensjonale former. Selve det faktum å kombinere forskjellige dimensjonale figurer i hypotesen virket absurd for forskere, og det er grunnen til at det i 1955 ikke ble gitt noen betydning.

Men høsten 1984 ble "Taniyama-formodningen" plutselig husket igjen, og ikke bare husket, men dens mulige bevis var forbundet med beviset for Fermats teorem! Dette ble gjort av Saarbrücken-matematikeren Gerhard Frey, som informerte det vitenskapelige miljøet om at "hvis noen klarte å bevise Taniyama-formodningen, ville Fermats siste teorem også bli bevist."

Hva gjorde Frey? Han transformerte Fermats ligning til en kubikk, og la deretter merke til at den elliptiske kurven oppnådd ved å bruke Fermats ligning transformert til en kubikk ikke kan være modulær. Taniyamas formodning sa imidlertid at enhver elliptisk kurve kan være modulær! Følgelig kan en elliptisk kurve konstruert fra Fermats ligning ikke eksistere, noe som betyr at det ikke kan være hele løsninger og Fermats teorem, som betyr at det er sant. Vel, i 1993 beviste Andrew Wiles ganske enkelt Taniyamas formodning, og derfor Fermats teorem.

Fermats teorem kan imidlertid bevises mye enklere, på grunnlag av den samme flerdimensjonaliteten som både Taniyama og Frey opererte på.

Til å begynne med, la oss ta hensyn til tilstanden spesifisert av Pierre Fermat selv - n>2. Hvorfor var denne tilstanden nødvendig? Ja, bare for det faktum at med n=2 blir et spesialtilfelle av Fermats teorem det vanlige Pythagoras teorem X 2 +Y 2 =Z 2, som har et uendelig antall heltallsløsninger - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51 140 149 og så videre. Dermed er Pythagoras' teorem et unntak fra Fermats teorem.

Men hvorfor oppstår et slikt unntak i tilfelle n=2? Alt faller på plass hvis du ser sammenhengen mellom graden (n=2) og dimensjonen på selve figuren. Den pytagoreiske trekanten er en todimensjonal figur. Ikke overraskende kan Z (det vil si hypotenusen) uttrykkes i form av ben (X og Y), som kan være heltall. Størrelsen på vinkelen (90) gjør det mulig å betrakte hypotenusen som en vektor, og bena er vektorer som ligger på aksene og kommer fra origo. Følgelig er det mulig å uttrykke en todimensjonal vektor som ikke ligger på noen av aksene i form av vektorene som ligger på dem.

Nå, hvis vi går til den tredje dimensjonen, og derfor til n=3, for å uttrykke en tredimensjonal vektor, vil det ikke være nok informasjon om to vektorer, og derfor vil det være mulig å uttrykke Z i Fermats ligning gjennom minst tre ledd (tre vektorer som ligger henholdsvis på tre akser i koordinatsystemet).

Hvis n=4, så skal det være 4 ledd, hvis n=5, så skal det være 5 ledd, og så videre. I dette tilfellet vil det være mer enn nok løsninger. For eksempel, 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 og så videre (du kan velge andre eksempler for n=3, n=4 og så videre selv).

Hva følger av alt dette? Det følger av dette at Fermats teorem egentlig ikke har heltallsløsninger for n>2 - men bare fordi selve ligningen er feil! Med samme suksess kan man prøve å uttrykke volumet til et parallellepiped i form av lengdene på dets to kanter - selvfølgelig er dette umulig (hele løsninger vil aldri bli funnet), men bare fordi å finne volumet til et parallellepiped du må vite lengden på alle tre kantene.

Da den berømte matematikeren David Gilbert ble spurt om hva det viktigste problemet for vitenskapen er nå, svarte han «å fange en flue på den andre siden av månen». Til det rimelige spørsmålet "Hvem trenger dette?" Han svarte: "Ingen trenger dette, men tenk på hvor mange viktige, komplekse problemer som må løses for å implementere dette."

Fermat (først og fremst advokat!) spilte med andre ord en vittig juridisk spøk på hele den matematiske verden, basert på en feil formulering av problemet. Han foreslo faktisk at matematikere skulle finne svaret på hvorfor en flue på den andre siden av månen ikke kan leve, og i margen av "aritmetikk" ville han bare skrive at det rett og slett ikke er luft på månen, dvs. Det kan ikke finnes hele løsninger på teoremet hans for n>2 bare fordi hver verdi av n må tilsvare et visst antall ledd på venstre side av ligningen hans.

Men var det bare en spøk? Ikke i det hele tatt. Fermats geni ligger nettopp i det faktum at han faktisk var den første som så forholdet mellom graden og dimensjonen til en matematisk figur – det vil si, som er helt ekvivalent, antall ledd på venstre side av ligningen. Betydningen av hans berømte teorem var nettopp å ikke bare presse den matematiske verden til ideen om dette forholdet, men også å sette i gang bevis på eksistensen av dette forholdet - intuitivt forståelig, men ennå ikke matematisk underbygget.

Fermat, som ingen andre, forsto at det å etablere forhold mellom tilsynelatende forskjellige objekter er ekstremt fruktbart, ikke bare i matematikk, men i enhver vitenskap. Dette forholdet peker på et dypt prinsipp som ligger til grunn for begge objektene og tillater en dypere forståelse av dem.

For eksempel så fysikere i utgangspunktet på elektrisitet og magnetisme som fullstendig urelaterte fenomener, men på 1800-tallet innså teoretikere og eksperimenter at elektrisitet og magnetisme var nært beslektet. Som et resultat ble en større forståelse av både elektrisitet og magnetisme oppnådd. Elektriske strømmer produserer magnetiske felt, og magneter kan indusere elektrisitet i ledere nær magneter. Dette førte til oppfinnelsen av dynamoer og elektriske motorer. Det ble til slutt oppdaget at lys var et resultat av koordinerte harmoniske svingninger av magnetiske og elektriske felt.

Matematikken på Fermats tid besto av øyer av kunnskap i et hav av uvitenhet. På en øy bodde det geometre som studerte former, på en annen øy studerte sannsynlighetslære matematikere risiko og tilfeldighet. Geometrispråket var veldig forskjellig fra sannsynlighetsteoriens språk, og algebraisk terminologi var fremmed for de som bare snakket om statistikk. Dessverre består vår tids matematikk av omtrent de samme øyene.

Fermat var den første som innså at alle disse øyene var sammenkoblet. Og hans berømte teorem – Fermats siste teorem – er en utmerket bekreftelse på dette.

Å dømme etter populariteten til spørringen "Fermats teorem - kort bevis" dette matematiske problemet interesserer virkelig mange mennesker. Denne teoremet ble først uttalt av Pierre de Fermat i 1637 på kanten av en kopi av Arithmetic, hvor han hevdet at han hadde en løsning som var for stor til å passe på kanten.

Det første vellykkede beviset ble publisert i 1995, et fullstendig bevis på Fermats teorem av Andrew Wiles. Det ble beskrevet som "fantastisk fremgang" og førte til at Wiles mottok Abelprisen i 2016. Selv om det ble beskrevet relativt kort, beviste beviset for Fermats teorem også mye av modularitetsteoremet og åpnet for nye tilnærminger til en rekke andre problemer og effektive metoder for å øke modulariteten. Disse prestasjonene avanserte matematikken med 100 år. Beviset for Fermats lille teorem er ikke noe utenom det vanlige i dag.

Det uløste problemet stimulerte utviklingen av algebraisk tallteori på 1800-tallet og søket etter et bevis på modularitetsteoremet på 1900-tallet. Det er en av de mest bemerkelsesverdige teoremene i matematikkens historie, og før det fullstendige beviset for Fermats siste teorem ved divisjon, var det i Guinness Book of Records som det "vanskeligste matematiske problemet", et av funksjonene som er at den har det største antallet mislykkede bevis.

Historisk bakgrunn

Pythagoras ligning x 2 + y 2 = z 2 har et uendelig antall positive heltallsløsninger for x, y og z. Disse løsningene er kjent som Pythagoras treenigheter. Rundt 1637 skrev Fermat på kanten av en bok at den mer generelle ligningen a n + b n = c n ikke hadde noen løsninger i naturlige tall hvis n var et heltall større enn 2. Selv om Fermat selv hevdet å ha en løsning på problemet sitt, gjorde han det. ikke gi noen detaljer om beviset hennes. Det elementære beviset på Fermats teorem, uttalt av dens skaper, var snarere hans skrytende oppfinnelse. Boken til den store franske matematikeren ble oppdaget 30 år etter hans død. Denne ligningen, kalt Fermats siste teorem, forble uløst i matematikk i tre og et halvt århundre.

Teoremet ble til slutt et av de mest bemerkelsesverdige uløste problemene i matematikk. Forsøk på å bevise dette utløste betydelig utvikling innen tallteori, og over tid ble Fermats siste teorem kjent som et uløst problem i matematikk.

Kort historie med bevis

Hvis n = 4, som Fermat selv beviste, er det nok å bevise teoremet for indeksene n, som er primtall. I løpet av de neste to århundrene (1637-1839) ble formodningen bare bevist for primtallene 3, 5 og 7, selv om Sophie Germain oppdaterte og beviste en tilnærming som gjaldt hele klassen av primtall. På midten av 1800-tallet utvidet Ernst Kummer dette og beviste teoremet for alle regulære primtall, noe som førte til at uregelmessige primtall ble analysert individuelt. Ved å bygge på Kummers arbeid og bruke sofistikert dataforskning, var andre matematikere i stand til å utvide løsningen til teoremet, med sikte på å dekke alle hovedeksponenter opp til fire millioner, men beviset for alle eksponenter var fortsatt utilgjengelig (som betyr at matematikere generelt vurderte løsningen til teoremet umulig, ekstremt vanskelig eller uoppnåelig med dagens kunnskap).

Verk av Shimura og Taniyama

I 1955 mistenkte de japanske matematikerne Goro Shimura og Yutaka Taniyama at det var en sammenheng mellom elliptiske kurver og modulære former, to helt forskjellige områder av matematikken. Kjent på den tiden som Taniyama-Shimura-Weil-formodningen og (etter hvert) som modularitetsteoremet, sto den på egen hånd, uten noen åpenbar forbindelse til Fermats siste teorem. Det ble ansett som et viktig matematisk teorem i seg selv, men ble ansett (som Fermats teorem) umulig å bevise. Samtidig ble beviset på Fermats store teorem (ved divisjonsmetoden og bruk av komplekse matematiske formler) utført bare et halvt århundre senere.

I 1984 la Gerhard Frey merke til en åpenbar sammenheng mellom disse to tidligere ikke-relaterte og uløste problemene. Fullstendig bevis på at de to teoremene var nært beslektet ble publisert i 1986 av Ken Ribet, som bygde på et delvis bevis av Jean-Pierre Serres, som beviste alle unntatt én del, kjent som "epsilon-formodningen". Enkelt sagt, disse verkene av Frey, Serres og Ribe viste at hvis modularitetsteoremet kunne bevises for minst en semistabel klasse av elliptiske kurver, så ville beviset for Fermats siste teorem også bli oppdaget før eller siden. Enhver løsning som kan motsi Fermats siste teorem kan også brukes til å motsi modularitetsteoremet. Derfor, hvis modularitetsteoremet viste seg å være sant, så kan det per definisjon ikke være en løsning som motsier Fermats siste teorem, noe som betyr at det burde vært bevist snart.

Selv om begge teoremene var vanskelige problemer i matematikk, ansett som uløselige, var arbeidet til de to japanerne det første forslaget til hvordan Fermats siste teorem kunne utvides og bevises for alle tall, ikke bare noen. Viktig for forskerne som valgte forskningstemaet var det faktum at, i motsetning til Fermats siste teorem, var modularitetsteoremet et stort aktivt forskningsområde som det var utviklet et bevis for, og ikke bare en historisk merkelighet, så tiden brukt å jobbe med det kan være berettiget fra et faglig synspunkt. Imidlertid var den generelle konsensus at det ikke var praktisk å løse Taniyama-Shimura-formodningen.

Fermats siste teorem: Wiles' bevis

Etter å ha fått vite at Ribet hadde bevist at Freys teori var riktig, bestemte den engelske matematikeren Andrew Wiles, som hadde vært interessert i Fermats siste teorem siden barndommen og hadde erfaring med å jobbe med elliptiske kurver og relaterte felt, å prøve å bevise Taniyama-Shimura-formodningen som en måte å bevis Fermats siste teorem. I 1993, seks år etter at han kunngjorde målet sitt, mens han i hemmelighet jobbet med problemet med å løse teoremet, klarte Wiles å bevise en beslektet formodning, som igjen ville hjelpe ham med å bevise Fermats siste teorem. Wiles' dokument var enormt i størrelse og omfang.

Feilen ble oppdaget i en del av den originale artikkelen hans under fagfellevurdering og krevde et nytt års samarbeid med Richard Taylor for å løse teoremet i fellesskap. Som et resultat lot ikke Wiles' endelige bevis på Fermats siste teorem vente på seg. I 1995 ble den publisert i mye mindre skala enn Wiles sitt tidligere matematiske arbeid, og viste tydelig at han ikke tok feil i sine tidligere konklusjoner om muligheten for å bevise teoremet. Wiles 'prestasjon ble mye omtalt i populærpressen og popularisert i bøker og TV-programmer. De resterende delene av Taniyama-Shimura-Weil-formodningen, som nå er bevist og er kjent som modularitetsteoremet, ble senere bevist av andre matematikere som bygde på Wiles' arbeid mellom 1996 og 2001. For sin prestasjon ble Wiles hedret og mottatt en rekke priser, inkludert Abelprisen 2016.

Wiles sitt bevis på Fermats siste teorem er et spesialtilfelle av en løsning på modularitetsteoremet for elliptiske kurver. Dette er imidlertid det mest kjente tilfellet av en så storstilt matematisk operasjon. Sammen med å løse Ribets teorem fikk den britiske matematikeren også et bevis på Fermats siste teorem. Fermats siste teorem og modularitetsteorem ble nesten universelt ansett som ubeviselige av moderne matematikere, men Andrew Wiles var i stand til å bevise for hele den vitenskapelige verden at selv forståsegpåere kan ta feil.

Wiles kunngjorde først oppdagelsen sin onsdag 23. juni 1993 i et foredrag i Cambridge med tittelen "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". I september 1993 ble det imidlertid fastslått at beregningene hans inneholdt en feil. Et år senere, den 19. september 1994, i det han ville kalle «det viktigste øyeblikket i sitt arbeidsliv», snublet Wiles over en åpenbaring som tillot ham å korrigere løsningen på problemet til et punkt hvor den kunne tilfredsstille den matematiske fellesskap.

Kjennetegn på arbeidet

Andrew Wiles sitt bevis på Fermats teorem bruker mange teknikker fra algebraisk geometri og tallteori og har mange forgreninger i disse områdene av matematikk. Han bruker også standardkonstruksjoner av moderne algebraisk geometri, som kategorien skjemaer og Iwasawa-teori, samt andre metoder fra det 20. århundre som ikke var tilgjengelige for Pierre Fermat.

De to artiklene som inneholder bevisene er på totalt 129 sider og ble skrevet over syv år. John Coates beskrev denne oppdagelsen som en av tallteoriens største prestasjoner, og John Conway kalte den den viktigste matematiske prestasjonen på 1900-tallet. Wiles, for å bevise Fermats siste teorem ved å bevise modularitetsteoremet for det spesielle tilfellet med semistable elliptiske kurver, utviklet kraftige metoder for å løfte modularitet og oppdaget nye tilnærminger til en rekke andre problemer. For å løse Fermats siste teorem ble han slått til ridder og mottok andre priser. Da nyheten kom om at Wiles hadde vunnet Abelprisen, beskrev Det Norske Videnskaps-Akademi sin prestasjon som «et fantastisk og elementært bevis på Fermats siste teorem».

Hvordan det var

En av personene som gjennomgikk Wiles originale manuskript av teoremet var Nick Katz. Under sin anmeldelse stilte han briten en rekke oppklarende spørsmål, som tvang Wiles til å innrømme at arbeidet hans tydelig inneholdt et gap. Det var en feil i en kritisk del av beviset som ga et estimat for rekkefølgen til en bestemt gruppe: Euler-systemet som ble brukt til å utvide Kolyvagin og Flach-metoden var ufullstendig. Feilen gjorde imidlertid ikke arbeidet hans ubrukelig - hver del av Wiles' arbeid var svært betydningsfull og nyskapende i seg selv, i likhet med mange av utviklingene og metodene han skapte i løpet av arbeidet som bare påvirket én del av arbeidet. manuskript. Imidlertid ga dette originale verket, utgitt i 1993, ikke et bevis på Fermats siste teorem.

Wiles brukte nesten et år på å prøve å gjenoppdage løsningen på teoremet, først alene og deretter i samarbeid med sin tidligere student Richard Taylor, men alt så ut til å være forgjeves. Ved slutten av 1993 hadde rykter spredt seg om at Wiles' bevis hadde feilet i testingen, men hvor alvorlig feilen var var ikke kjent. Matematikere begynte å legge press på Wiles for å avsløre detaljene i arbeidet hans, enten det var fullført eller ikke, slik at det bredere fellesskapet av matematikere kunne utforske og bruke alt han hadde oppnådd. I stedet for raskt å rette feilen sin, oppdaget Wiles bare ytterligere kompleksitet i beviset på Fermats siste teorem, og innså til slutt hvor vanskelig det var.

Wiles opplyser at han om morgenen 19. september 1994 var på nippet til å gi opp og gi opp, og nærmest resignerte med at han hadde mislyktes. Han var villig til å publisere sitt uferdige verk slik at andre kunne bygge videre på det og finne ut hvor han hadde tatt feil. Den engelske matematikeren bestemte seg for å gi seg selv en siste sjanse og analyserte teoremet en siste gang for å prøve å forstå hovedårsakene til at tilnærmingen hans ikke fungerte, da han plutselig innså at Kolyvagin-Flac-tilnærmingen ikke ville fungere før han også inkluderte bevis i prosessen Iwasawas teori, får det til å fungere.

Den 6. oktober ba Wiles tre kolleger (inkludert Faltins) om å gjennomgå det nye arbeidet hans, og 24. oktober 1994 sendte han inn to manuskripter, "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem" og "Theoretical properties of the ring of some Hecke algebras" ", den andre som Wiles skrev sammen med Taylor og argumenterte for at visse betingelser som er nødvendige for å rettferdiggjøre det korrigerte trinnet i hovedartikkelen var oppfylt.

Disse to papirene ble gjennomgått og til slutt publisert som en fulltekstutgave i mai 1995-utgaven av Annals of Mathematics. Andrews nye beregninger ble mye analysert og til slutt akseptert av det vitenskapelige samfunnet. Disse arbeidene etablerte modularitetsteoremet for semistable elliptiske kurver, det siste steget mot å bevise Fermats siste teorem, 358 år etter at den ble opprettet.

Historien om det store problemet

Å løse denne teoremet har blitt ansett som det største problemet i matematikk i mange århundrer. I 1816 og igjen i 1850 tilbød det franske vitenskapsakademiet en pris for det generelle beviset på Fermats siste teorem. I 1857 tildelte akademiet 3000 franc og en gullmedalje til Kummer for hans forskning på ideelle tall, selv om han ikke søkte om prisen. En annen pris ble tilbudt ham i 1883 av Brussel Academy.

Wolfskehl-prisen

I 1908 testamenterte den tyske industrimannen og amatørmatematikeren Paul Wolfskehl 100 000 gullmark (en stor sum for den tiden) til Göttingen Academy of Sciences som en pris for et fullstendig bevis på Fermats siste teorem. Den 27. juni 1908 publiserte Akademiet ni utmerkelsesregler. Disse reglene krevde blant annet publisering av bevisene i et fagfellevurdert tidsskrift. Prisen skulle ikke deles ut før to år etter publisering. Konkurransen skulle utløpe 13. september 2007 - omtrent et århundre etter at den startet. Den 27. juni 1997 mottok Wiles Wolfschels premiepenger og deretter ytterligere 50 000 dollar. I mars 2016 mottok han € 600 000 fra den norske regjeringen som en del av Abelprisen for hans "forbløffende bevis på Fermats siste teorem ved bruk av modularitetsformodning for semistable elliptiske kurver, og åpnet en ny æra innen tallteori." Det var en verdenstriumf for den ydmyke engelskmannen.

Før Wiles' bevis ble Fermats teorem, som nevnt tidligere, ansett som absolutt uløselig i århundrer. Tusenvis av uriktige bevis ble presentert for Wolfskehls komité på forskjellige tidspunkter, som tilsvarer omtrent 3 meter med korrespondanse. Bare i det første året av prisens eksistens (1907-1908) ble det sendt inn 621 søknader som hevdet å løse teoremet, selv om dette tallet på 1970-tallet hadde sunket til omtrent 3-4 søknader per måned. I følge F. Schlichting, Wolfschels anmelder, var det meste av bevisene basert på rudimentære metoder som ble undervist på skoler, og ble ofte presentert av «folk med teknisk bakgrunn, men en mislykket karriere». Ifølge matematikkhistorikeren Howard Aves satte Fermats siste teorem en slags rekord – det er teoremet med flest uriktige bevis.

Fermat laurbær gikk til japanerne

Som nevnt tidligere, rundt 1955, oppdaget de japanske matematikerne Goro Shimura og Yutaka Taniyama en mulig sammenheng mellom to tilsynelatende helt forskjellige grener av matematikken - elliptiske kurver og modulære former. Det resulterende modularitetsteoremet (den gang kjent som Taniyama-Shimura-formodningen) fra forskningen deres sier at hver elliptisk kurve er modulær, noe som betyr at den kan assosieres med en unik modulær form.

Teorien ble opprinnelig avvist som usannsynlig eller svært spekulativ, men ble tatt mer alvorlig da tallteoretikeren Andre Weyl fant bevis for å støtte japanernes funn. Som et resultat ble formodningen ofte kalt Taniyama-Shimura-Weil-formodningen. Det ble en del av Langlands-programmet, som er en liste over viktige hypoteser som krever bevis i fremtiden.

Selv etter seriøs oppmerksomhet ble formodningen anerkjent av moderne matematikere som ekstremt vanskelig eller kanskje umulig å bevise. Nå er det denne teoremet som venter på Andrew Wiles, som kan overraske hele verden med sin løsning.

Fermats teorem: Perelmans bevis

Til tross for den populære myten, har den russiske matematikeren Grigory Perelman, til tross for all hans geni, ingenting med Fermats teorem å gjøre. Noe som imidlertid ikke på noen måte forringer hans tallrike tjenester til det vitenskapelige samfunnet.

Misunnelige mennesker hevder at den franske matematikeren Pierre Fermat skrev navnet sitt i historien med bare én frase. I margen på manuskriptet med formuleringen av det berømte teoremet i 1637, noterte han: "Jeg har funnet en fantastisk løsning, men det er ikke nok plass til å sette den her." Så begynte et fantastisk matematisk løp, der en hær av amatører ble med sammen med fremragende forskere.

Hva er det lumske med Fermats problem? Ved første øyekast er det forståelig selv for et skolebarn.

Den er basert på Pythagoras teorem, kjent for alle: i en rettvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena: x 2 + y 2 = z 2. Fermat hevdet: ligningen for potenser større enn to har ingen løsning i heltall.

Det ville virke enkelt. Nå ut og her er svaret. Det er ikke overraskende at akademier i forskjellige land, vitenskapelige institutter, til og med avisredaksjoner ble oversvømmet med titusenvis av bevis. Antallet deres er enestående, nest etter «evig bevegelse»-prosjekter. Men hvis seriøs vitenskap ikke har vurdert disse gale ideene på lenge, blir arbeidet til "bøndene" studert ærlig og med interesse. Og dessverre finner den feil. De sier at det over mer enn tre århundrer har dannet seg en hel matematisk kirkegård av løsninger til teoremet.

Det er ikke for ingenting de sier: albuen er nær, men du vil ikke bite. År, tiår, århundrer gikk, og Fermats oppgave virket stadig mer overraskende og fristende. Tilsynelatende enkelt viste det seg å være for tøft for den raskt voksende muskelfremgangen. Mennesket hadde allerede splittet atomet, nådd genet, satt sin fot på månen, men Fermat ga seg ikke, og fortsatte å lokke sine etterkommere med falske forhåpninger.

Forsøk på å overvinne den vitenskapelige toppen var imidlertid ikke forgjeves. Den store Euler tok det første skrittet ved å bevise teoremet for fjerde grad, deretter for tredje. På slutten av 1800-tallet brakte tyskeren Ernst Kummer antallet grader til hundre. Til slutt, bevæpnet med datamaskiner, økte forskere dette tallet til 100 tusen. Men Fermat snakket om noen grader. Det var hele poenget.

Naturligvis bekymret ikke forskere seg over problemet av sportslig interesse. Den kjente matematikeren David Hilbert sa at teoremet er et eksempel på hvordan et tilsynelatende ubetydelig problem kan ha en enorm innvirkning på vitenskapen. Ved å jobbe med det åpnet forskerne helt nye matematiske horisonter, for eksempel ble grunnlaget for tallteori, algebra og funksjonsteori lagt.

Og likevel ble den store teoremet erobret i 1995. Løsningen hennes ble presentert av en amerikaner fra Princeton University, Andrew Wiles, og den er offisielt anerkjent av det vitenskapelige miljøet. Han ga mer enn syv år av livet sitt for å finne bevis. Ifølge forskere samlet dette enestående arbeidet arbeidet til mange matematikere, og gjenopprettet tapte forbindelser mellom de forskjellige seksjonene.

Så toppen er tatt, og vitenskapen har mottatt svaret, sa Yuri Vishnyakov, vitenskapelig sekretær ved Institutt for matematikk ved det russiske vitenskapsakademiet, doktor i tekniske vitenskaper, til en RG-korrespondent. – Teoremet er bevist, om enn ikke på den enkleste måten, slik Fermat selv insisterte. Og nå kan de som ønsker det trykke sine egne versjoner.

Familien til "bønder" kommer imidlertid ikke til å akseptere Wiles' bevis i det hele tatt. Nei, de tilbakeviser ikke amerikanerens avgjørelse, fordi den er veldig kompleks og derfor forståelig bare for en smal krets av spesialister. Men det går ikke en uke uten at en ny åpenbaring fra en annen entusiast dukker opp på Internett, «endelig setter en stopper for det langsiktige eposet».

Forresten, i går ringte en av de eldste "fermistene" i landet vårt, Vsevolod Yarosh, til redaksjonen til "RG": "Og du vet at jeg beviste Fermats teorem selv før Wiles. Dessuten fant jeg en feil ham, som jeg skrev om til vår fremragende matematiker akademiker Arnold med en forespørsel om å publisere dette i et vitenskapelig tidsskrift. Nå venter jeg på svar.

Og akkurat nå, som rapportert i en rekke medier, avslørte han med "lett nåde" matematikkens store hemmelighet," en annen entusiast - tidligere generell designer av Polyot-programvaren fra Omsk, doktor i tekniske vitenskaper Alexander Ilyin. Løsningen viste seg å være så enkel og kort at den passet på en liten del av avisplassen til en av de sentrale publikasjonene.

Redaksjonen av RG henvendte seg til landets ledende matematiske institutt oppkalt etter. Steklov RAS med en forespørsel om å vurdere denne beslutningen. Forskerne var kategoriske: man kan ikke kommentere avispublikasjonen. Men etter mye overtalelse og tatt i betraktning den økte interessen for det berømte problemet, ble de enige. Ifølge dem ble det gjort flere grunnleggende feil i det siste beviset som ble publisert. Forresten, selv en student ved det matematiske fakultet kunne lett legge merke til dem.

Likevel ønsket redaksjonen å få førstehåndsinformasjon. Dessuten skulle Ilyin i går på Academy of Aviation and Aeronautics presentere sitt bevis. Det viste seg imidlertid at få mennesker vet om et slikt akademi, selv blant spesialister. Og da vi med de største vanskeligheter klarte å finne telefonnummeret til denne organisasjonens vitenskapelige sekretær, viste det seg at han ikke en gang mistenkte at en slik historisk begivenhet var i ferd med å finne sted der. Kort sagt klarte ikke RG-korrespondenten å være vitne til verdenssensasjonen.