Enhet kvadratisk matrise. (35)84.Hva er rektangulære og kvadratiske matriser? Eksempler

ODA. Et rektangulært bord bestående av T linjer og n kolonner reelle tall ringte matrise størrelse t×p. Matriser er merket med store latinske bokstaver: A, B,..., og en rekke tall er atskilt med runde eller firkantede parenteser.

Tallene som er inkludert i tabellen kalles matriseelementer og er angitt med små latinske bokstaver med dobbel indeks, der jeg– linjenummer, j– nummeret på kolonnen i skjæringspunktet for elementet. I generelt syn matrisen er skrevet slik:

To matriser vurderes lik, hvis deres tilsvarende elementer er like.

Hvis antall matriserader T lik antall kolonner n, da kalles matrisen kvadrat(ellers – rektangulær).

Størrelse Matrix
kalt en radmatrise. Størrelse Matrix

kalt en kolonnematrise.

Matriseelementer som har like indekser (
etc.), form hoveddiagonal matriser. Den andre diagonalen kalles sidediagonalen.

Firkantet matrise ringte diagonal, hvis alle dens elementer plassert utenfor hoveddiagonalen er lik null.

En diagonal matrise hvis diagonale elementer er lik én kalles enkelt matrise og har standardnotasjonen E:

Hvis alle matriseelementer plassert over (eller under) hoveddiagonalen er lik null, sies matrisen å ha en trekantet form:

§2. Operasjoner på matriser

1. Matrisetransposisjon - en transformasjon der radene i matrisen skrives som kolonner mens rekkefølgen opprettholdes. For en kvadratisk matrise tilsvarer denne transformasjonen en symmetrisk kartlegging om hoveddiagonalen:

2. Matriser av samme dimensjon kan summeres (trekkes fra). Summen (forskjellen) av matriser er en matrise med samme dimensjon, hvor hvert element lik summen(forskjeller) av de tilsvarende elementene i de opprinnelige matrisene:

3. Enhver matrise kan multipliseres med et tall. Produktet av en matrise med et tall er en matrise av samme rekkefølge, hvor hvert element er lik produktet av det tilsvarende elementet i den opprinnelige matrisen med dette tallet:

4. Hvis antall kolonner i en matrise er lik antall rader i en annen, kan du multiplisere den første matrisen med den andre. Produktet av slike matriser er en matrise, hvor hvert element er lik summen av parvise produkter av elementene i den tilsvarende raden i den første matrisen og elementene i den tilsvarende kolonnen i den andre matrisen.

Konsekvens. Matriseeksponentiering Til>1 er produktet av matrise A Til en gang. Definert kun for kvadratiske matriser.

Eksempel.

Egenskaper for operasjoner på matriser.

(A+B)+C=A+(B+C);
k(A+B)=kA+kV;
A(B+C)=AB+AC;
(A+B)C=AC+BC;
k(AB)=(kA)B=A(kV);
A(BC)=(AB)C;
(kA) T = kAT;
(A+B) T=AT+BT;
(AB) T = B T A T;

Egenskapene oppført ovenfor ligner egenskapene til operasjoner på tall. Det er også spesifikke egenskaper til matriser. Disse inkluderer for eksempel den særegne egenskapen til matrisemultiplikasjon. Hvis produktet AB eksisterer, så produktet BA

Kan ikke eksistere

Kan avvike fra AB.

Eksempel. Selskapet produserer produkter av to typer A og B og bruker tre typer råvarer S 1, S 2 og S 3. Råvareforbruksrater er spesifisert av matrisen N=
, Hvor n ij– mengde råvarer j, brukt på produksjon av en produksjonsenhet jeg. Produksjonsplanen er gitt av matrisen C=(100 200), og enhetskostnaden for hver type råvare er gitt av matrisen . Bestem råvarekostnadene som kreves for planlagt produksjon og den totale kostnaden for råvarer.

Løsning. Vi definerer råvarekostnader som produktet av matrisene C og N:

Vi beregner den totale kostnaden for råvarer som produktet av S og P.

I dette emnet vil vi vurdere konseptet med en matrise, samt typer matriser. Siden det er mange begreper i dette emnet, vil jeg legge til sammendrag for å gjøre det lettere å navigere i materialet.

Definisjon av en matrise og dens element. Notasjon.

Matrise er en tabell med $m$ rader og $n$ kolonner. Elementene i en matrise kan være objekter av en helt annen karakter: tall, variabler eller for eksempel andre matriser. For eksempel inneholder matrisen $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ 3 rader og 2 kolonner; dens elementer er heltall. Matrisen $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ inneholder 2 rader og 4 kolonner.

Ulike måter å skrive matriser på: vis\skjul

Matrisen kan skrives ikke bare i runde, men også i firkantede eller doble rette parenteser. Det vil si at oppføringene nedenfor betyr den samme matrisen:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Produktet $m\ ganger n$ kalles matrisestørrelse. For eksempel, hvis en matrise inneholder 5 rader og 3 kolonner, snakker vi om en matrise med størrelse $5\ ganger 3$. Matrisen $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ har størrelse $3 \ ganger 2$.

Matriser er vanligvis merket med store bokstaver latinske alfabetet: $A$, $B$, $C$ og så videre. For eksempel, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Linjenummerering går fra topp til bunn; kolonner - fra venstre til høyre. For eksempel inneholder den første raden i matrisen $B$ elementene 5 og 3, og den andre kolonnen inneholder elementene 3, -87, 0.

Elementer i matriser er vanligvis angitt med små bokstaver. For eksempel er elementene i matrisen $A$ betegnet med $a_(ij)$. Den doble indeksen $ij$ inneholder informasjon om posisjonen til elementet i matrisen. Tallet $i$ er radnummeret, og tallet $j$ er kolonnenummeret, i skjæringspunktet mellom elementet $a_(ij)$. For eksempel, i skjæringspunktet mellom den andre raden og den femte kolonnen i matrisen $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25)= $59:

På samme måte, i skjæringspunktet mellom den første raden og den første kolonnen, har vi elementet $a_(11)=51$; i skjæringspunktet mellom den tredje raden og den andre kolonnen - elementet $a_(32)=-15$ og så videre. Legg merke til at oppføringen $a_(32)$ lyder "en tre to", men ikke "en trettito".

For å forkorte matrisen $A$, hvis størrelse er $m\ ganger n$, brukes notasjonen $A_(m\ ganger n)$. Du kan skrive det litt mer detaljert:

$$ A_(m\ ganger n)=(a_(ij)) $$

hvor notasjonen $(a_(ij))$ angir elementene i matrisen $A$. I sin fullstendig utvidede form kan matrisen $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ skrives som følger:

$$ A_(m\ ganger n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

La oss introdusere et annet begrep - like matriser.

To matriser av samme størrelse $A_(m\ ganger n)=(a_(ij))$ og $B_(m\ ganger n)=(b_(ij))$ kalles lik, hvis deres tilsvarende elementer er like, dvs. $a_(ij)=b_(ij)$ for alle $i=\overline(1,m)$ og $j=\overline(1,n)$.

Forklaring på oppføringen $i=\overline(1,m)$: show\hide

Notasjonen "$i=\overline(1,m)$" betyr at parameteren $i$ varierer fra 1 til m. For eksempel, oppføringen $i=\overline(1,5)$ indikerer at parameteren $i$ tar verdiene 1, 2, 3, 4, 5.

Så for at matriser skal være like, må to betingelser være oppfylt: sammenfall av størrelser og likhet mellom de tilsvarende elementene. For eksempel er matrisen $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ikke lik matrisen $B=\left(\ begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ fordi matrise $A$ har størrelse $3\ ganger 2$ og matrise $B$ har størrelse $2\ ganger $2. Dessuten er ikke matrise $A$ lik matrise $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , siden $a_( 21)\neq c_(21)$ (dvs. $0\neq 98$). Men for matrisen $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ kan vi trygt skrive $A= F$ fordi både størrelsene og de tilsvarende elementene i matrisene $A$ og $F$ er sammenfallende.

Eksempel nr. 1

Bestem størrelsen på matrisen $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Angi hva elementene $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$ er lik.

Denne matrisen inneholder 5 rader og 3 kolonner, så størrelsen er $5\ ganger 3$. Du kan også bruke notasjonen $A_(5\ ganger 3)$ for denne matrisen.

Elementet $a_(12)$ er i skjæringspunktet mellom den første raden og den andre kolonnen, så $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ er i skjæringspunktet mellom tredje rad og tredje kolonne, så $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ er i skjæringspunktet mellom fjerde rad og tredje kolonne, så $a_(43)=-5$.

Svare: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Typer matriser avhengig av størrelse. Hoved- og sekundærdiagonaler. Matrisespor.

La en viss matrise $A_(m\ ganger n)$ gis. Hvis $m=1$ (matrisen består av én rad), så til denne matrisen ringte matrise-rad. Hvis $n=1$ (matrisen består av én kolonne), kalles en slik matrise matrise-kolonne. For eksempel er $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ en radmatrise, og $\left(\begin(array) ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ er en kolonnematrise.

Hvis for matrisen $A_(m\ ganger n)$ betingelsen $m\neq n$ er sann (dvs. antall rader er ikke lik antall kolonner), så sies det ofte at $A$ - rektangulær matrise. For eksempel har matrisen $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ størrelse $2\ ganger 4 $, de. inneholder 2 rader og 4 kolonner. Siden antall rader ikke er lik antall kolonner, er denne matrisen rektangulær.

Hvis matrisen $A_(m\ ganger n)$ tilfredsstiller betingelsen $m=n$ (dvs. antall rader er lik antall kolonner), så sies $A$ å være en kvadratisk matrise av orden $ n$. For eksempel er $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ en andreordens kvadratmatrise; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ er en tredjeordens kvadratmatrise. Generelt kan kvadratmatrisen $A_(n\ ganger n)$ skrives som følger:

$$ A_(n\ ganger n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Elementene $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ sies å være på hoveddiagonal matriser $A_(n\ ganger n)$. Disse elementene kalles diagonale hovedelementer(eller bare diagonale elementer). Elementene $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ er på side (mindre) diagonal; de kalles side diagonale elementer. For eksempel, for matrisen $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ vi har:

Elementene $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ er de viktigste diagonale elementene; elementene $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ er diagonale sideelementer.

Summen av de viktigste diagonale elementene kalles etterfulgt av matrisen og er betegnet med $\Tr A$ (eller $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

For eksempel, for matrisen $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ har vi:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Konseptet med diagonale elementer brukes også for ikke-kvadratiske matriser. For eksempel, for matrisen $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ de diagonale hovedelementene vil være $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Typer matriser avhengig av verdiene til elementene deres.

Hvis alle elementene i matrisen $A_(m\ ganger n)$ er lik null, kalles en slik matrise null og er vanligvis betegnet med bokstaven $O$. For eksempel, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - null matriser.

La matrisen $A_(m\ ganger n)$ ha følgende form:

Da kalles denne matrisen trapesformet. Den inneholder kanskje ikke nullrader, men hvis de finnes, er de plassert nederst i matrisen. I en mer generell form kan en trapesformet matrise skrives som følger:

Igjen, etterfølgende null-linjer er ikke nødvendig. De. Formelt sett kan vi skille mellom følgende forhold for en trapesformet matrise:

Alle elementer under hoveddiagonalen er null.
Alle elementer fra $a_(11)$ til $a_(rr)$ som ligger på hoveddiagonalen er ikke lik null: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
Enten er alle elementene i de siste $m-r$-radene null, eller $m=r$ (dvs. det er ingen null-rader i det hele tatt).

Eksempler på trapesformede matriser:

La oss gå videre til neste definisjon. Matrisen $A_(m\ ganger n)$ kalles tråkket, hvis den oppfyller følgende betingelser:

For eksempel trinnmatriser vil være:

Til sammenligning, matrisen $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ er ikke echelon fordi den tredje raden har samme nulldel som den andre raden. Det vil si at prinsippet "jo lavere linjen er, jo større nulldelen" brytes. La meg legge til at det er en trapesformet matrise spesielt tilfelle trinnmatrise.

La oss gå videre til neste definisjon. Hvis alle elementene i en kvadratisk matrise som ligger under hoveddiagonalen er lik null, kalles en slik matrise øvre trekantet matrise. For eksempel, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ er en øvre trekantet matrise. Merk at i definisjonen av toppen trekantet matrise ingenting er sagt om verdiene til elementer plassert over hoveddiagonalen eller på hoveddiagonalen. De kan være null eller ikke - det spiller ingen rolle. For eksempel er $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ også en øvre trekantet matrise.

Hvis alle elementene i en kvadratisk matrise plassert over hoveddiagonalen er lik null, kalles en slik matrise nedre trekantmatrise. For eksempel, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - nedre trekantmatrise. Merk at definisjonen av en lavere trekantet matrise ikke sier noe om verdiene til elementene som ligger under eller på hoveddiagonalen. De kan være null eller ikke - det spiller ingen rolle. For eksempel, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ og $\left(\ begynne (matrise) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(matrise) \right)$ er også lavere trekantede matriser.

Den kvadratiske matrisen kalles diagonal, hvis alle elementene i denne matrisen som ikke ligger på hoveddiagonalen er lik null. Eksempel: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\right)$. Elementene på hoveddiagonalen kan være hva som helst (lik null eller ikke) - det spiller ingen rolle.

Den diagonale matrisen kalles enkelt, hvis alle elementene i denne matrisen på hoveddiagonalen er lik 1. For eksempel $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - fjerdeordens identitetsmatrise; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ er andreordens identitetsmatrise.

Matriser i matematikk er en av de viktigste objektene som har anvendt verdi. Ofte begynner en ekskursjon inn i teorien om matriser med ordene: "En matrise er et rektangulært bord ...". Vi starter denne ekskursjonen fra en litt annen retning.

Telefonbøker av enhver størrelse og med hvilken som helst mengde abonnentdata er ikke annet enn matriser. Slike matriser ser omtrent slik ut:

Det er tydelig at vi alle bruker slike matriser nesten hver dag. Disse matrisene kommer med varierende antall rader (like forskjellige som en telefonkatalog, som kan ha tusenvis, hundretusener eller til og med millioner av linjer, og en ny notatbok du nettopp startet, som har færre enn ti linjer) og kolonner ( katalogen tjenestemenn en organisasjon der det kan være kolonner som stilling og kontornummer og din samme adressebok, der det kanskje ikke er noen data bortsett fra navnet, og det er derfor bare to kolonner i den - navn og telefonnummer).

Alle slags matriser kan legges til og multipliseres, så vel som andre operasjoner kan utføres på dem, men det er ikke nødvendig å legge til og multiplisere telefonkataloger, det er ingen fordel med dette, og dessuten kan du bruke tankene dine.

Men mange matriser kan og bør legges til og multipliseres og dermed løse ulike presserende problemer. Nedenfor er eksempler på slike matriser.

Matriser der kolonnene er produksjonen av enheter av en bestemt type produkt, og radene er årene hvor produksjonen av dette produktet er registrert:

Du kan legge til matriser av denne typen, som tar hensyn til produksjonen av lignende produkter fra forskjellige foretak, for å få sammendragsdata for bransjen.

Eller matriser som for eksempel består av én kolonne, der radene er gjennomsnittskostnaden for en bestemt type produkt:

Matriser på to siste arten kan multipliseres, og resultatet er en radmatrise som inneholder kostnadene for alle typer produkter etter år.

Matriser, grunnleggende definisjoner

En rektangulær tabell som består av tall arrangert i m linjer og n kolonner kalles mn-matrise (eller bare matrise ) og er skrevet slik:

(1)

I matrise (1) kalles tallene sine elementer (som i determinanten, betyr den første indeksen nummeret på raden, den andre - kolonnen i skjæringspunktet som elementet er plassert; jeg = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrisen kalles rektangulær , hvis .

Hvis m = n, da kalles matrisen kvadrat , og tallet n er dens i rekkefølge .

Determinant for en kvadratisk matrise A kalles en determinant hvis elementer er elementene i matrisen EN. Det er indikert med symbolet | EN|.

Den kvadratiske matrisen kalles ikke spesielt (eller ikke-degenerert , ikke-entall ), hvis determinanten ikke er null, og spesiell (eller degenerert , entall ) hvis determinanten er null.

Matrisene kalles lik , hvis de har samme antall rader og kolonner og alle tilsvarende elementer samsvarer.

Matrisen kalles null , hvis alle dens elementer er lik null. Vi vil betegne nullmatrisen med symbolet 0 eller .

For eksempel

Matrise-rad (eller små bokstaver ) kalles 1 n-matrise, og matrise-kolonne (eller søyleformet ) – m 1-matrise.

Matrise EN", som er hentet fra matrisen EN bytte rader og kolonner i den kalles transponert i forhold til matrisen EN. For matrise (1) er således den transponerte matrisen

Matriseovergangsoperasjon EN" transponert med hensyn til matrisen EN, kalles matrisetransposisjon EN. Til mn-matrise transponert er nm-matrise.

Matrisen transponert med hensyn til matrisen er EN, altså

(EN")" = EN .

Eksempel 1. Finn matrise EN" , transponert med hensyn til matrisen

og finn ut om determinantene til den opprinnelige og transponerte matrisen er like.

Hoveddiagonal En kvadratisk matrise er en tenkt linje som forbinder elementene, der begge indeksene er like. Disse elementene kalles diagonal .

En kvadratisk matrise der alle elementene utenfor hoveddiagonalen er lik null kalles diagonal . Ikke alle diagonale elementer i en diagonal matrise er ikke nødvendigvis null. Blant dem kan det være lik null.

En kvadratisk matrise der elementene på hoveddiagonalen er lik samme tall, ikke-null, og alle andre er lik null, kalles skalar matrise .

Identitetsmatrise kalles en diagonal matrise der alle diagonale elementer er lik en. For eksempel er tredjeordens identitetsmatrisen matrisen

Eksempel 2. Oppgitte matriser:

Løsning. La oss beregne determinantene til disse matrisene. Ved å bruke trekantregelen finner vi

Matrisedeterminant B la oss beregne ved å bruke formelen

Det får vi lett til

Derfor matrisene EN og er ikke-entall (ikke-degenerert, ikke-entall), og matrisen B– spesiell (degenerert, entall).

Determinanten for identitetsmatrisen av enhver rekkefølge er åpenbart lik en.

Løs matriseproblemet selv, og se deretter på løsningen

Eksempel 3. Gitt matriser

Bestem hvilke av dem som er ikke-entall (ikke-degenerert, ikke-entall).

Anvendelse av matriser i matematisk og økonomisk modellering

Strukturerte data om et bestemt objekt registreres enkelt og praktisk i form av matriser. Matrisemodeller lages ikke bare for å lagre disse strukturerte dataene, men også for å løse ulike problemer med disse dataene ved hjelp av lineær algebra.

Dermed er en velkjent matrisemodell av økonomien input-output-modellen, introdusert av den amerikanske økonomen av russisk opprinnelse Vasily Leontiev. Denne modellen er basert på antakelsen om at hele produksjonssektoren i økonomien er delt inn i n rene næringer. Hver industri produserer bare én type produkt, og ulike bransjer produserer ulike produkter. På grunn av denne arbeidsdelingen mellom næringer er det bransjesammenhenger, hvor betydningen er at en del av produksjonen til hver næring overføres til andre næringer som en produksjonsressurs.

Produktvolum jeg-th industri (målt ved en spesifikk måleenhet), som ble produsert i løpet av rapporteringsperioden, er betegnet med og kalles full produksjon jeg- industrien. Problemer kan enkelt plasseres i n-komponentrad i matrisen.

Antall enheter jeg-industri som må brukes j-industri for produksjon av en enhet av produksjonen er utpekt og kalt den direkte kostnadskoeffisienten.

Punkter i rommet, produkt Rv gir en annen vektor som bestemmer posisjonen til punktet etter rotasjon. Hvis v er en radvektor, kan samme transformasjon oppnås ved å bruke vR T, hvor R T - transponert til R matrise.

Encyklopedisk YouTube

1 / 5

C# - Konsoll - Olympiade - Firkantet spiral

Matrise: definisjon og grunnleggende begreper

Hvor kan du hente styrke og inspirasjon Lade opp den 4 kvadratiske matrisen

Sum og forskjell av matriser, multiplikasjon av en matrise med et tall

Transponert matrise / Transponert matrise

Undertekster

Hoveddiagonal

Elementer en ii (jeg = 1, ..., n) danner hoveddiagonalen til en kvadratisk matrise. Disse elementene ligger på en tenkt rett linje fra venstre øverste hjørne til nedre høyre hjørne av matrisen. For eksempel inneholder hoveddiagonalen til 4x4-matrisen i figuren elementene en 11 = 9, en 22 = 11, en 33 = 4, en 44 = 10.

Diagonalen til en kvadratisk matrise som går gjennom nedre venstre og øvre høyre hjørne kalles side.

Spesielle typer

Navn	Eksempel med n = 3
Diagonal matrise	[ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\0&a_(22)&0\\0&0&a_(33)\end(bmatrix)))
Nedre triangulær matrise	[ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&0&0\\a_(21)&a_(22)&0\\a_(31)&a_( 32)&a_(33)\end(bmatrise)))
Øvre triangulær matrise	[ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] (\displaystyle (\begin(bmatrix)a_(11)&a_(12)&a_(13)\\0&a_(22)&a_(23)\\ 0&0&a_(33)\end(bmatrise)))

Diagonale og trekantede matriser

Hvis alle elementer utenfor hoveddiagonalen er null, EN kalt diagonal. Hvis alle elementene over (under) hoveddiagonalen er null, EN kalt den nedre (øvre) trekantede matrisen.

Identitetsmatrise

Q(x) = x T Øks

aksepterer kun positive verdier(henholdsvis negative verdier eller begge deler). Hvis kvadratisk form tar bare ikke-negative (henholdsvis bare ikke-positive) verdier, en symmetrisk matrise kalles positivt semibestemt (henholdsvis negativ semibestemt). En matrise vil være ubestemt hvis den verken er positiv eller negativ semibestemt.

En symmetrisk matrise er positiv bestemt hvis og bare hvis alt er egenverdier er positive. Tabellen til høyre viser to mulige tilfeller for 2x2 matriser.

Hvis vi bruker to forskjellige vektorer får vi en bilineær form assosiert med EN:

B EN (x, y) = x T Ja.

Ortogonal matrise

Ortogonal matrise er en kvadratisk matrise med reelle elementer hvis kolonner og rader er ortogonale enhetsvektorer (dvs. ortonormale). Du kan også definere en ortogonal matrise som en matrise hvis invers er lik transponeringen:

A T = A − 1 , (\displaystyle A^(\mathrm (T) )=A^(-1),)

hvor kommer det fra

A T A = A A T = E (\displaystyle A^(T)A=AA^(T)=E),

Ortogonal matrise EN alltid reversibel ( EN −1 = EN T), enhetlig ( EN −1 = EN*), og normal ( EN*EN = A.A.*). Determinanten for enhver ortonormal matrise er enten +1 eller -1. Som en lineær kartlegging er enhver ortonormal matrise med determinant +1 en enkel rotasjon, mens enhver ortonormal matrise med determinant −1 enten er en enkel refleksjon eller en sammensetning av refleksjon og rotasjon.

Drift

Spor

Determinant det( EN) eller | EN| kvadratisk matrise EN er et tall som bestemmer noen egenskaper til matrisen. En matrise er inverterbar hvis og bare hvis determinanten ikke er null.

DEFINISJON AV MATRIKSE. TYPER MATRISKER

Matrise av størrelse m× n kalt et sett m·n tall ordnet i en rektangulær tabell av m linjer og n kolonner. Denne tabellen er vanligvis vedlagt i parentes. For eksempel kan matrisen se slik ut:

For korthets skyld kan en matrise betegnes med én stor bokstav, for eksempel EN eller I.

Generelt en matrise av størrelse m× n skriv det slik

Tallene som utgjør matrisen kalles matriseelementer. Det er praktisk å gi matriseelementer med to indekser en ij: Den første angir radnummeret og den andre angir kolonnenummeret. For eksempel en 23– elementet er i 2. rad, 3. kolonne.

Hvis en matrise har samme antall rader som antall kolonner, kalles matrisen kvadrat, og antallet rader eller kolonner kalles i rekkefølge matriser. I eksemplene ovenfor er den andre matrisen kvadratisk - rekkefølgen er 3, og den fjerde matrisen er rekkefølgen 1.

En matrise der antall rader ikke er lik antall kolonner kalles rektangulær. I eksemplene er dette den første matrisen og den tredje.

Det finnes også matriser som bare har én rad eller én kolonne.

En matrise med bare én rad kalles matrise - rad(eller streng), og en matrise med bare én kolonne matrise - kolonne.

En matrise der alle elementene er null kalles null og er betegnet med (0), eller ganske enkelt 0. For eksempel,

Hoveddiagonal av en kvadratisk matrise kaller vi diagonalen som går fra øvre venstre til nedre høyre hjørne.

En kvadratisk matrise der alle elementene under hoveddiagonalen er lik null kalles trekantet matrise.

En kvadratisk matrise der alle elementene, kanskje unntatt de på hoveddiagonalen, er lik null, kalles diagonal matrise. For eksempel eller.

En diagonal matrise der alle diagonale elementer er lik én kalles enkelt matrise og er betegnet med bokstaven E. For eksempel har 3. ordens identitetsmatrisen formen .

HANDLINGER PÅ MATRISKER

Matrise-likhet. To matriser EN Og B sies å være like hvis de har samme antall rader og kolonner og deres tilsvarende elementer er like en ij = b ij. Så hvis Og , Det A=B, Hvis a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Og a 22 = b 22.

Transponer. Tenk på en vilkårlig matrise EN fra m linjer og n kolonner. Det kan assosieres med følgende matrise B fra n linjer og m kolonner, der hver rad er en matrisekolonne EN med samme tall (derfor er hver kolonne en rad i matrisen EN med samme nummer). Så hvis , Det .

Denne matrisen B ringte transponert matrise EN, og overgangen fra EN Til B transponering.

Transponering er således en reversering av rollene til radene og kolonnene i en matrise. Matrise transponert til matrise EN, vanligvis betegnet En T.

Kommunikasjon mellom matrise EN og transponeringen kan skrives i formen .

For eksempel. Finn matrisen som er transponert av den gitte.

Matrisetillegg. La matrisene EN Og B bestå av samme antall linjer og samme nummer kolonner, dvs. ha samme størrelser. Deretter for å legge til matriser EN Og B nødvendig for matriseelementer EN legge til matriseelementer B står på de samme stedene. Altså summen av to matriser EN Og B kalt en matrise C, som bestemmes av regelen, for eksempel,

Eksempler. Finn summen av matriser:

Det er lett å verifisere at matriseaddisjon overholder følgende lover: kommutativ A+B=B+A og assosiativ ( A+B)+C=EN+(B+C).

Multiplisere en matrise med et tall.Å multiplisere en matrise EN per nummer k hvert element i matrisen er nødvendig EN gange med dette tallet. Dermed matriseproduktet EN per nummer k det er en ny matrise, som bestemmes av regelen eller .

For alle tall en Og b og matriser EN Og B følgende likheter gjelder:

Eksempler.

Matrisemultiplikasjon. Denne operasjonen utføres i henhold til en særegen lov. Først og fremst merker vi at størrelsen på faktormatrisene må være konsistente. Du kan bare multiplisere de matrisene der antall kolonner i den første matrisen sammenfaller med antall rader i den andre matrisen (dvs. lengden på den første raden er lik høyden på den andre kolonnen). Arbeidet matriser EN ikke en matrise B kalt den nye matrisen C=AB, hvis elementer er sammensatt som følger:

Således, for eksempel, for å oppnå produktet (dvs. i matrisen C) element plassert i 1. rad og 3. kolonne fra 13, må du ta den første raden i den første matrisen, den tredje kolonnen i den andre, og deretter multiplisere radelementene med de tilsvarende kolonneelementene og legge til de resulterende produktene. Og andre elementer i produktmatrisen oppnås ved å bruke et lignende produkt av radene i den første matrisen og kolonnene i den andre matrisen.

Generelt, hvis vi multipliserer en matrise A = (a ij) størrelse m× n til matrisen B = (b ij) størrelse n× s, så får vi matrisen C størrelse m× s, hvis elementer beregnes som følger: element c ij oppnås som et resultat av produktet av elementer jeg raden i matrisen EN til de tilsvarende elementene j matrisekolonnen B og deres tillegg.

Av denne regelen følger det at du alltid kan multiplisere to kvadratiske matriser av samme rekkefølge, og som et resultat får vi en kvadratisk matrise av samme rekkefølge. Spesielt kan en kvadratisk matrise alltid multipliseres med seg selv, dvs. kvadrat det.

Et annet viktig tilfelle er multiplikasjonen av en radmatrise med en kolonnematrise, og bredden på den første må være lik høyden på den andre, noe som resulterer i en førsteordens matrise (dvs. ett element). Virkelig,

Eksempler.

Så disse enkle eksempler vise at matrisene generelt sett ikke pendler med hverandre, dvs. A∙B ≠ B∙A . Derfor, når du multipliserer matriser, må du nøye overvåke rekkefølgen på faktorene.

Det kan verifiseres at matrisemultiplikasjon følger assosiative og distributive lover, dvs. (AB)C=A(BC) Og (A+B)C=AC+BC.

Det er også enkelt å sjekke det når man multipliserer en kvadratisk matrise EN på identitetsmatrise E av samme rekkefølge får vi igjen en matrise EN, og AE=EA=A.

Følgende interessante faktum kan bemerkes. Som du vet er ikke produktet av 2 tall som ikke er null lik 0. For matriser er dette kanskje ikke tilfellet, dvs. produktet av 2 matriser som ikke er null kan vise seg å være lik nullmatrisen.

For eksempel, Hvis , Det

KONSEPTET BESTEMMENDE

La det gis en annenordens matrise - en kvadratisk matrise som består av to rader og to kolonner .

Andre ordens determinant som tilsvarer en gitt matrise er tallet oppnådd som følger: a 11 a 22 – a 12 a 21.

Determinanten er angitt med symbolet .

Så, for å finne andreordens determinanten, må du trekke produktet av elementene langs den andre diagonalen fra produktet av elementene i hoveddiagonalen.

Eksempler. Beregn andreordens determinanter.

På samme måte kan vi vurdere en tredjeordens matrise og dens tilsvarende determinant.

Tredje ordens determinant, som tilsvarer en gitt tredjeordens kvadratmatrise, er et tall angitt og oppnådd som følger:

Dermed gir denne formelen utvidelsen av tredjeordens determinanten når det gjelder elementene i den første raden en 11, en 12, en 13 og reduserer beregningen av tredjeordens determinanten til beregningen av andreordens determinantene.

Eksempler. Regn ut tredjeordens determinant.

På samme måte kan man introdusere begrepene determinanter for den fjerde, femte, etc. bestillinger, redusere rekkefølgen ved å utvide inn i elementene i den første raden, med "+" og "–" tegnene til begrepene vekslende.

Så, i motsetning til en matrise, som er en talltabell, er en determinant et tall som er tilordnet matrisen på en bestemt måte.