Identitetsmatrise av 2. orden. Matematikk for dummies

Over slike matriser ulike aktiviteter: multipliser hverandre, finn determinanter osv. Matrise - spesielt tilfelle matrise: hvis en matrise kan ha et hvilket som helst antall dimensjoner, er det bare en todimensjonal matrise som kalles en matrise.

I programmering kalles en matrise også en todimensjonal matrise. Enhver av matrisene i programmet er navngitt som om det var en enkelt variabel. For å avklare hvilken av matrisecellene som menes, når den er nevnt i programmet, sammen med variabelen, brukes cellenummeret i den. Både en todimensjonal matrise og en n-dimensjonal matrise i programmet kan inneholde ikke bare numerisk, men også symbolsk, streng, boolsk og annen informasjon, men alltid den samme innenfor hele matrisen.

Matriser er angitt store bokstaver A:MxN, hvor A er navnet på matrisen, M er antall rader i matrisen, og N er antall kolonner. Varer - Relevant små bokstaver med indekser som indikerer antallet i raden og i kolonnen a (m, n).

De vanligste matrisene rektangulær form, selv om matematikere i en fjern fortid også vurderte trekantede. Hvis antallet rader og kolonner i en matrise er det samme, kalles det kvadrat. I dette tilfellet har M=N allerede navnet på matriseordren. En matrise med bare én rad kalles en rad. En matrise med bare én kolonne kalles en kolonne. En diagonal matrise er en kvadratisk matrise der bare elementene langs diagonalen ikke er null. Hvis alle elementer er lik ett, kalles matrisen identitet, hvis null - null.

Hvis du bytter rader og kolonner i en matrise, blir den transponert. Hvis alle elementer erstattes av komplekse konjugater, blir det komplekst konjugat. I tillegg finnes det andre typer matriser, bestemt av betingelsene som er pålagt matriseelementene. Men de fleste av disse forholdene gjelder bare for firkantede.

Relaterte videoer

La det være en kvadratisk matrise av n-te orden

Matrise A -1 kalles invers matrise med hensyn til matrisen A, hvis A * A -1 = E, hvor E er identitetsmatrisen av n-te orden.

Identitetsmatrise- en slik firkantet matrise, der alle elementer langs hoveddiagonalen, som går fra øvre venstre hjørne til nedre høyre hjørne, er enere, og resten er null, for eksempel:

invers matrise kan eksistere bare for kvadratiske matriser de. for de matrisene som har samme antall rader og kolonner.

Invers matrise-eksistensbetingelse teorem

For at en matrise skal ha en invers matrise, er det nødvendig og tilstrekkelig at den er ikke-degenerert.

Matrisen A = (A1, A2,...A n) kalles ikke-degenerert hvis kolonnevektorene er lineært uavhengige. Antallet lineært uavhengige kolonnevektorer i en matrise kalles rangeringen av matrisen. Derfor kan vi si at for å eksistere invers matrise, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen av matrisen er lik dens dimensjon, dvs. r = n.

Algoritme for å finne den inverse matrisen

1. Skriv matrisen A i tabellen for å løse ligningssystemer ved Gauss-metoden og til høyre (i stedet for de høyre delene av ligningene) tilordne matrise E til den.
2. Bruk Jordan-transformasjoner, bring matrise A til en matrise som består av enkeltkolonner; i dette tilfellet er det nødvendig å transformere matrisen E samtidig.
3. Om nødvendig, omorganiser radene (ligningene) i den siste tabellen slik at identitetsmatrisen E oppnås under matrisen A til den opprinnelige tabellen.
4. Skriv den inverse matrisen A -1, som er i siste tabell under matrisen E i den opprinnelige tabellen.

Eksempel 1

For matrise A, finn den inverse matrisen A -1

Løsning: Vi skriver ned matrisen A og til høyre tildeler vi identitetsmatrisen E. Ved hjelp av Jordan-transformasjonene reduserer vi matrisen A til identitetsmatrisen E. Beregningene er vist i Tabell 31.1.

La oss sjekke riktigheten av beregningene ved å multiplisere den opprinnelige matrisen A og den inverse matrisen A -1.

Som et resultat av matrisemultiplikasjon oppnås identitetsmatrisen. Derfor er beregningene riktige.

Svar:

Løsning av matriseligninger

Matriseligninger kan se slik ut:

AX = B, XA = B, AXB = C,

hvor A, B, C er gitt matriser, er X den ønskede matrisen.

Matriseligninger løses ved å multiplisere ligningen med inverse matriser.

For å finne matrisen fra en ligning, må du for eksempel gange denne ligningen med til venstre.

Derfor, for å finne en løsning på ligningen, må du finne den inverse matrisen og multiplisere den med matrisen på høyre side av ligningen.

Andre ligninger løses på samme måte.

Eksempel 2

Løs ligningen AX = B if

Løsning: Siden inversen av matrisen er lik (se eksempel 1)

Matrisemetode i økonomisk analyse

Sammen med andre finner de også anvendelse matrisemetoder . Disse metodene er basert på lineær og vektormatrisealgebra. Slike metoder brukes med det formål å analysere komplekse og flerdimensjonale økonomiske fenomener. Oftest brukes disse metodene når det er nødvendig å sammenligne funksjonen til organisasjoner og deres strukturelle inndelinger.

I prosessen med å anvende matriseanalysemetoder kan flere stadier skilles.

På det første stadiet systemet dannes økonomiske indikatorer og på grunnlag av den kompileres en matrise med innledende data, som er en tabell der systemnumre vises i de individuelle linjene (i = 1,2,....,n), og langs de vertikale grafene - antall indikatorer (j = 1,2,...,m).

På andre trinn for hver vertikal kolonne avsløres den største av de tilgjengelige verdiene av indikatorene, som tas som en enhet.

Etter det deles alle beløpene som vises i denne kolonnen på høyeste verdi og en matrise dannes standardiserte koeffisienter.

På det tredje stadiet alle komponentene i matrisen er kvadratisk. Hvis de har forskjellig betydning, er hver indikator på matrisen tildelt en viss vektingskoeffisient k. Verdien av sistnevnte bestemmes av en ekspert.

På den siste fjerde trinn funnet verdier av rangeringer Rj gruppert i rekkefølge økende eller avtagende.

Ovennevnte matrisemetoder bør brukes, for eksempel når komparativ analyse ulike investeringsprosjekter, samt ved evaluering av andre økonomiske resultatindikatorer for organisasjoner.

Matriser i matematikk er en av de viktigste objektene som har anvendt verdi. Ofte begynner en ekskursjon inn i teorien om matriser med ordene: "En matrise er et rektangulært bord ...". Vi starter denne ekskursjonen fra en litt annen vinkel.

Telefonbøker av alle størrelser og med et hvilket som helst antall abonnentdata er ingenting annet enn matriser. Disse matrisene ser slik ut:

Det er tydelig at vi alle bruker slike matriser nesten hver dag. Disse matrisene kommer i forskjellige antall rader (utmerkes som en katalog utstedt av telefonselskapet, som kan inneholde tusenvis, hundretusener eller til og med millioner av linjer, og en ny notatbok du nettopp startet, som har mindre enn ti linjer) og kolonner (en katalog tjenestemenn en eller annen organisasjon der det kan være kolonner som stilling og kontornummer og det samme som din notatbok, der det kanskje ikke finnes andre data enn navnet, og dermed har den bare to kolonner - navn og telefonnummer).

Alle slags matriser kan legges til og multipliseres, og andre operasjoner kan utføres på dem, men det er ikke nødvendig å legge til og multiplisere telefonkataloger, det er ingen fordel med dette, og dessuten kan du bevege tankene dine.

Men veldig mange matriser kan og bør legges til og multipliseres og ulike hasteoppgaver kan løses på denne måten. Nedenfor er eksempler på slike matriser.

Matriser der kolonnene er produksjonen av enheter av en bestemt type produkt, og radene er årene hvor produksjonen av dette produktet er registrert:

Du kan legge til matriser av denne typen, som tar hensyn til produksjon av lignende produkter fra ulike foretak, for å få sammendragsdata for industrien.

Eller matriser, for eksempel bestående av én kolonne, der radene er gjennomsnittskostnaden for en bestemt type produkt:

Matriser på to siste arten kan multipliseres, og resultatet er en matrise-rad som inneholder kostnadene for alle typer produkter etter år.

Matriser, grunnleggende definisjoner

Rektangulær tabell som består av tall arrangert i m linjer og n kolonner kalles mn-matrise (eller ganske enkelt matrise ) og skrevet slik:

(1)

I matrise (1) kalles tallene sine elementer (som i determinanten, betyr den første indeksen nummeret på raden, den andre - kolonnen, i skjæringspunktet der det er et element; Jeg = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Matrisen kalles rektangulær , hvis .

Hvis m = n, da kalles matrisen torget , og tallet n er dens i rekkefølge .

Determinanten til kvadratmatrisen A kalles determinanten hvis elementer er elementene i matrisen EN. Det er merket med symbolet | EN|.

Den kvadratiske matrisen kalles ikke-spesiell (eller ikke-degenerert , ikke-entall ) hvis determinanten ikke er lik null, og spesiell (eller degenerert , entall ) hvis determinanten er null.

Matrisene kalles lik hvis de har samme nummer rader og kolonner og alle samsvarende elementer samsvarer.

Matrisen kalles null hvis alle dens elementer er lik null. Nullmatrisen vil bli merket med symbolet 0 eller .

For eksempel,

radmatrise (eller små bokstaver ) kalles 1 n-matrise, og kolonnematrise (eller søyleformet ) – m 1-matrise.

Matrise EN" , som er hentet fra matrisen ENå bytte rader og kolonner i det kalles transponert med hensyn til matrisen EN. For matrise (1) er således den transponerte matrisen

Overgang til matrisedrift EN" , transponert med hensyn til matrisen EN, kalles transposisjonen av matrisen EN. Til mn-matrise transponert er nm-matrise.

Matrisen transponert med hensyn til matrisen er EN, det er

(EN")" = EN .

Eksempel 1 Finn Matrix EN" , transponert med hensyn til matrisen

og finn ut om determinantene til den opprinnelige og transponerte matrisen er like.

hoveddiagonal En kvadratisk matrise er en tenkt linje som forbinder elementene, der begge indeksene er de samme. Disse elementene kalles diagonal .

En kvadratisk matrise der alle elementer utenfor hoveddiagonalen er lik null kalles diagonal . Ikke alle diagonale elementer i en diagonal matrise er ikke nødvendigvis null. Noen av dem kan være lik null.

En kvadratisk matrise der elementene på hoveddiagonalen er lik samme tall som ikke er null, og alle andre er lik null, kalles skalar matrise .

identitetsmatrise kalles en diagonal matrise der alle diagonale elementer er lik en. For eksempel er identitetsmatrisen av tredje orden matrisen

Eksempel 2 Matrisedata:

Løsning. La oss beregne determinantene til disse matrisene. Ved å bruke trekanters regel finner vi

Matrisedeterminant B beregne etter formelen

Det får vi lett til

Derfor matrisene EN og er ikke-entall (ikke-degenerert, ikke-entall), og matrisen B- spesiell (degenerert, entall).

Avgjørende faktor identitetsmatrise hvilken som helst rekkefølge, selvsagt lik en.

Løs matriseproblemet selv, og se deretter løsningen

Eksempel 3 Matrisedata

,

,

Bestem hvilke av dem som er ikke-entall (ikke-degenerert, ikke-entall).

Anvendelse av matriser i matematisk og økonomisk modellering

I form av matriser er strukturerte data om et bestemt objekt enkelt og praktisk skrevet. Matrisemodeller lages ikke bare for å lagre disse strukturerte dataene, men også for å løse ulike problemer med disse dataene ved hjelp av lineær algebra.

Dermed er den velkjente matrisemodellen for økonomien input-output-modellen introdusert av den amerikanske økonomen av russisk opprinnelse Wassily Leontiev. Denne modellen er basert på antakelsen om at hele industrisektoren i økonomien er delt inn i n rene industrier. Hver av næringene produserer kun én type produkt, og ulike næringer produserer ulike produkter. På grunn av denne arbeidsdelingen mellom næringer er det inter-industrielle relasjoner, hvis betydning er at en del av produksjonen til hver industri overføres til andre næringer som en produksjonsressurs.

Produksjonsvolum Jeg-th industri (målt ved en bestemt måleenhet) som ble produsert i løpet av rapporteringsperioden, betegnet med og kalles total produksjon Jeg industrien. Utgaver er beleilig plassert i n-komponentrad i matrisen.

Antall produktenheter Jeg industrien som skal brukes j-th industri for produksjon av en enhet av sin produksjon, betegnes og kalles koeffisienten for direkte kostnader.

Matriser. Typer matriser. Operasjoner på matriser og deres egenskaper.

Determinant for matrisen av n-te orden. N, Z, Q, R, C,

En matrise av orden m*n er en rektangulær talltabell som inneholder m-rader og n-kolonner.

Matriselikhet:

To matriser kalles like hvis antall rader og kolonner i en av dem er lik henholdsvis antall rader og kolonner i den andre og hhv. elementene i disse matrisene er like.

Merk: Elementer med samme indekser matches.

Typer matriser:

Kvadratmatrise: En matrise sies å være kvadratisk hvis antall rader er lik antall kolonner.

Rektangulær: En matrise sies å være rektangulær hvis antall rader ikke er lik antall kolonner.

Radmatrise: en matrise av orden 1*n (m=1) har formen a11,a12,a13 og kalles en radmatrise.

Matrisekolonne:………….

Diagonal: diagonalen til en kvadratisk matrise, som går fra øvre venstre hjørne til nedre høyre hjørne, det vil si som består av elementene a11, a22 ...... - kalles hoveddiagonalen. (definisjon: en kvadratisk matrise, hvis alle elementer er lik null, bortsett fra de som ligger på hoveddiagonalen, kalles en diagonal matrise.

Identitet: En diagonalmatrise kalles identitet hvis alle elementene er plassert på hoveddiagonalen og er lik 1.

Øvre trekant: A=||aij|| kalt toppen trekantet matrise hvis aij=0. Forutsatt i>j.

Nedre trekant: aij=0. Jeg

Null: Dette er en matrise hvis Els er 0.

Operasjoner på matriser.

1. Transponering.

2. Multiplikasjon av en matrise med et tall.

3. Matriseaddisjon.

4. Matrisemultiplikasjon.

Grunnleggende sv-va handling på matriser.

1.A+B=B+A (kommutativitet)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (assosiativitet)

3.a(A+B)=aA+aB (fordelingsevne)

4.(a+b)A=aA+bA (distributiv)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (ingen kommunikasjon)

7.A(BC)=(AB)C (assosiativ) – utføres hvis def. Matriseprodukter utføres.

8.A(B+C)=AB+AC (distributiv)

(B+C)A=BA+CA (distributiv)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Determinant for en kvadratisk matrise - definisjon og dens egenskaper. Dekomponering av determinanten i rader og kolonner. Metoder for beregning av determinanter.

Hvis matrise A har orden m>1, så er determinanten for denne matrisen et tall.

Det algebraiske komplementet Aij til elementet aij i matrise A er minor Mij multiplisert med tallet

TEOREM1: Determinant for matrise A er lik summen produkter av alle elementene i en vilkårlig rad (kolonne) og deres algebraiske komplementer.

Grunnleggende egenskaper til determinanter.

1. Determinanten til en matrise vil ikke endre seg når den transponeres.

2. Ved permutering av to rader (kolonner), endrer determinanten fortegn, men dens absolutte verdi endres ikke.

3. Determinanten for en matrise som har to identiske rader (kolonner) er 0.

4. Når du multipliserer en rad (kolonne) i en matrise med et tall, multipliseres dens determinant med dette tallet.

5. Hvis en av radene (kolonnene) i matrisen består av 0, så er determinanten for denne matrisen 0.

6. Hvis alle elementene i den i-te raden (kolonnen) i en matrise presenteres som en sum av to ledd, kan dens determinant representeres som en sum av determinanter av to matriser.

7. Determinanten vil ikke endres hvis henholdsvis elementene i en kolonne (rad) legges til elementene i en annen kolonne (rad) ved å forhåndsmultipisere. for samme nummer.

8.Sum vilkårlige elementer hvilken som helst kolonne (rad) av determinanten til den tilsvarende algebraisk tillegg elementer i en annen kolonne (rad) er 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Metoder for å beregne determinanten:

1. Per definisjon eller teorem 1.

2. Reduksjon til en trekantet form.

Definisjon og egenskaper for den inverse matrisen. Beregning av den inverse matrisen. Matriseligninger.

Definisjon: En kvadratisk matrise av orden n kalles den inverse av en matrise A av samme orden og betegnes

For at matrisen A skal ha en invers matrise, er det nødvendig og tilstrekkelig at determinanten til matrisen A er forskjellig fra 0.

Invers matriseegenskaper:

1. Unikhet: for en gitt matrise A er dens inverse unik.

2. matrisedeterminant

3. Operasjonen med å ta transposisjonen og ta den inverse matrisen.

Matriseligninger:

La A og B være to kvadratiske matriser samme rekkefølge.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Konseptet med lineær avhengighet og uavhengighet av matrisekolonner. Lineære avhengighetsegenskaper og lineær uavhengighet kolonnesystemer.

Kolonner А1,А2...An kalles lineært avhengige hvis det er en ikke-triviell lineær kombinasjon av dem lik den 0. kolonnen.

Kolonnene А1,А2...An kalles lineært uavhengige hvis det er en ikke-triviell lineær kombinasjon av dem lik den 0. kolonnen.

En lineær kombinasjon kalles triviell hvis alle koeffisientene С(l) er lik 0 og ikke-trivielle ellers.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. For at kolonnene skal være lineært avhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at noen kolonne er en lineær kombinasjon av andre kolonner.

La 1 av kolonnene https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> være en lineær kombinasjon av andre kolonner.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> er lineært avhengige, så er alle kolonner lineært avhengige.

4. Hvis et system av kolonner er lineært uavhengig, så er hvilket som helst av dets undersystemer også lineært uavhengig.

(Alt som sies om kolonner er også sant for rader).

Matrix mindreårige. Basis mindreårige. Matrix rangering. Metoden for å frynse mindreårige for å beregne rangeringen til en matrise.

Rekkefølgen minor av matrise A er determinanten hvis elementer er plassert i skjæringspunktet mellom k-rader og k-rader av matrise A.

Hvis alle moll av størrelsesorden k i matrisen A = 0, er en hvilken som helst moll av orden k + 1 også lik 0.

Grunnleggende mindre.

Rangeringen til en matrise A er rekkefølgen på dens basis-moll.

Metoden for å grense til mindreårige: - Vi velger et element som ikke er null i matrisen A (hvis et slikt element ikke eksisterer, er rangeringen av A \u003d 0)

Vi avgrenser forrige moll av 1. orden med moll av 2. orden. (Hvis denne moll ikke er lik 0, så er rangen >=2) Hvis rangeringen til denne moll =0, så grenser vi den valgte 1. ordens moll med andre 2. ordens moll. (Hvis alle mindreårige av 2. orden = 0, så er rangeringen av matrisen 1).

Matriserangering. Metoder for å finne rangeringen til en matrise.

Rangeringen til en matrise A er rekkefølgen på dens basis-moll.

Beregningsmetoder:

1) Metoden for å avgrense mindreårige: -Velg et element som ikke er null i matrisen A (hvis det ikke er et slikt element, så rangerer du = 0) - Begrens forrige 1. ordens moll med 2. ordens moll..gif" width= "40" height="22" >r+1 Mr+1=0.

2) Å bringe matrisen til trinnvis utsikt: Denne metoden er basert på elementære transformasjoner. Under elementære transformasjoner endres ikke rangeringen av matrisen.

Følgende transformasjoner kalles elementære transformasjoner:

Permutering av to rader (kolonner).

Multiplikasjon av alle elementene i en kolonne (rad) med et tall som ikke er =0.

Tillegg til alle elementer i en bestemt kolonne (rad) av elementer i en annen kolonne (rad), tidligere multiplisert med samme tall.

Basis-molteorem. Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at determinanten skal være lik null.

Basismoll av matrisen A er moll av største k-te orden forskjellig fra 0.

Grunnleggende liten teorem:

Grunnleggende rader (kolonner) er lineært uavhengige. Enhver rad (kolonne) i matrise A er en lineær kombinasjon av grunnleggende rader (kolonner).

Merknader: Rader og kolonner i skjæringspunktet er grunnleggende bifag kalles henholdsvis grunnrader og kolonner.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Nødvendige og tilstrekkelige betingelser for at determinanten skal være lik null:

For at determinanten av n-te orden = 0, er det nødvendig og tilstrekkelig at radene (kolonnene) er lineært avhengige.

Systemer lineære ligninger, deres klassifisering og opptaksformer. Cramers regel.

Tenk på et system med 3 lineære ligninger med tre ukjente:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}

kalles systemets determinant.

Vi komponerer ytterligere tre determinanter som følger: vi erstatter suksessivt 1, 2 og 3 kolonner i determinanten D med en kolonne med frie termer

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Bevis. Så, tenk på et system med 3 ligninger med tre ukjente. Vi multipliserer den første ligningen til systemet med det algebraiske komplementet A11 til elementet a11, den andre ligningen med A21 og den tredje med A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Vurder hver av parentesene og høyre side denne ligningen. Ved teoremet om utvidelse av determinanten når det gjelder elementene i 1. kolonne

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}

På samme måte kan det vises at og .

Til slutt er det lett å se det

Dermed får vi likheten: .

Følgelig.

Likhetene og er avledet på samme måte, hvorfra påstanden om teoremet følger.

Systemer av lineære ligninger. Kompatibilitetsbetingelse for lineære ligninger. Kronecker-Capelli-teoremet.

Systemløsning algebraiske ligninger er en slik samling av n tall C1,C2,C3……Cn, som, når den erstattes i det opprinnelige systemet i stedet for x1,x2,x3…..xn, gjør alle systemets ligninger til identiteter.

Et system med lineære algebraiske ligninger kalles konsistent hvis det har minst én løsning.

Et fellessystem kalles bestemt hvis det har en unik løsning, og ubestemt hvis det har uendelig mange løsninger.

Betingelser for kompatibilitet av systemer med lineære algebraiske ligninger.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

TEOREM: For at et system med m lineære ligninger med n ukjente skal være konsistent, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen til den utvidede matrisen er lik rangering matriser A.

Merk: Denne teoremet gir kun kriterier for eksistensen av en løsning, men indikerer ikke en måte å finne en løsning på.

10 spørsmål.

Systemer av lineære ligninger. Basis mindre metode - generell metode finne alle løsninger på systemer av lineære ligninger.

A=a21 a22…..a2n

Basis mindre metode:

La systemet være konsistent og RgA=RgA’=r. La grunnmoll males i øvre venstre hjørne av matrisen A.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Merknader: Hvis rangeringen til hovedmatrisen og vurdert er lik r=n, så har dj=bj og systemet en unik løsning i dette tilfellet.

Homogene systemer av lineære ligninger.

Et system med lineære algebraiske ligninger kalles homogent hvis alle dets frie ledd er lik null.

AX=0 er et homogent system.

AX = B er et inhomogent system.

Homogene systemer er alltid konsistente.

X1 =x2 =..=xn =0

Teorem 1.

Homogene systemer har inhomogene løsninger når rangeringen av systemmatrisen mindre enn antall ukjent.

Teorem 2.

homogent system n-lineære ligninger med n-ukjente har en løsning som ikke er null når determinanten til matrisen A er lik null. (detA=0)

Egenskaper til løsninger av homogene systemer.

Enhver lineær kombinasjon av en løsning til et homogent system er i seg selv en løsning på dette systemet.

a1C1 +a2C2; α1 og α2 er noen tall.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, dvs. k. (A Cl) = 0; (AC2) = 0

Til heterogent system denne eiendommen har ingen plass.

Grunnleggende beslutningssystem.

Teorem 3.

Hvis rang matrisesystem ligning med n-ukjente er lik r, så har dette systemet n-r lineært uavhengig løsninger.

La den grunnleggende minor i venstre øvre hjørne. Hvis r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1, 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Et system av n-r lineært uavhengige løsninger av et homogent system av lineære ligninger med n-ukjente av rang r kalles et fundamentalt system av løsninger.

Teorem 4.

Enhver løsning til et system av lineære ligninger er en lineær kombinasjon av en løsning til det grunnleggende systemet.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Hvis r

12 spørsmål.

Generell løsning av et inhomogent system.

Søvn (gener. ikke-uniform) \u003d COO + SCH (privat)

AX=B (heterogent system); AX=0

(ASoo) + ASch = ASch = B, fordi (ASoo) = 0

Søvn \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Midt

Gauss metode.

Dette er en metode for suksessiv eliminering av ukjente (variabler) - den består i det faktum at ved hjelp av elementære transformasjoner reduseres det opprinnelige likningssystemet til et ekvivalent system av en trinnvis form, hvorfra alle andre variabler finnes sekvensielt. , med utgangspunkt i de siste variablene.

La a≠0 (hvis dette ikke er tilfelle, oppnås dette ved å omorganisere ligningene).

1) vi ekskluderer variabelen x1 fra den andre, tredje ... n-te likningen, multipliserer den første likningen med passende tall og legger til resultatene som er oppnådd til 2., 3. ... n-te likning, så får vi:

Vi får et system tilsvarende det originale.

2) ekskluder variabelen x2

3) vi ekskluderer variabelen x3 osv.

Ved å fortsette prosessen med sekvensiell eliminering av variablene x4;x5...xr-1 får vi for (r-1)-te trinn.

Tallet null på den siste n-r i ligningene betyr at venstre side ser slik ut: 0x1 +0x2+..+0xn

Hvis minst ett av tallene вr+1, вr+2… ikke er lik null, så er den tilsvarende likheten inkonsistent og system (1) er ikke konsistent. Derfor, for ethvert konsistent system, er denne vr+1 … vm lik null.

De siste n-r-ligningene i systemet (1;r-1) er identiteter og kan ignoreres.

To tilfeller er mulige:

a) antall ligninger for systemet (1; r-1) er lik antall ukjente, dvs. r \u003d n (i dette tilfellet har systemet en trekantet form).

b)r

Overgangen fra system (1) til et ekvivalent system (1; r-1) kalles Gauss-metodens direkte bevegelse.

Om å finne en variabel fra systemet (1; r-1) - ved omvendt kurs av Gauss-metoden.

Gaussiske transformasjoner utføres praktisk ved å implementere dem ikke med ligninger, men med en utvidet matrise av koeffisientene deres.

13 spørsmål.

lignende matriser.

Vi vil kun vurdere kvadratiske matriser av orden n/

En matrise A sies å være lik matrise B (A~B) hvis det eksisterer en ikke-singular matrise S slik at A=S-1BS.

Egenskaper til lignende matriser.

1) Matrise A ligner seg selv. (A~A)

Hvis S=E så EAE=E-1AE=A

2) Hvis A~B, så B~A

Hvis A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) Hvis A~B og samtidig B~C, så A~C

Gitt at A=S1-1BS1, og B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, hvor S3 = S2S1

4) Determinantene til like matriser er like.

Gitt at A~B, er det nødvendig å bevise at detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (reduser) = detB.

5) Rekkene til lignende matriser er de samme.

Egenvektorer og egenverdier matriser.

Tallet λ kalles en egenverdi til matrisen A hvis det er en vektor X (matrisekolonne) som ikke er null, slik at AX = λ X, vektoren X kalles egenvektoren til matrisen A, og settet med alle egenverdier ​kalles spekteret til matrisen A.

Eiendommer egenvektorer.

1) Når vi multipliserer en egenvektor med et tall, får vi en egenvektor med samme egenverdi.

AX \u003d λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) Egenvektorer med parvis forskjellige egenverdier er lineært uavhengige λ1, λ2,.. λk.

La systemet bestå av den første vektoren, la oss ta et induktivt trinn:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - multipliser med A.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn = 0

Multipliser med λn+1 og trekk fra

C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Det er nødvendig at C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Karakteristisk ligning.

A-λE kalles karakteristisk matrise for matrise A.

For at en ikke-null vektor X skal være en egenvektor til matrisen A, tilsvarende egenverdien λ, er det nødvendig at den er en løsning på et homogent system av lineære algebraiske ligninger (A - λE)X = 0

Systemet har en ikke-triviell løsning når det (A - XE) = 0 - dette er en karakteristisk ligning.

Uttalelse!

De karakteristiske ligningene til lignende matriser faller sammen.

det(S-1AS - λЕ) = det(S-1AS - λ S-1ЕS) = det(S-1 (A - λЕ)S) = det S-1 det(A - λЕ) detS= det(A - λЕ)

Karakteristisk polynom.

det(A – λЕ) - funksjon med hensyn til parameteren λ

det(A – λЕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Dette polynomet kalles det karakteristiske polynomet til matrisen A.

Konsekvens:

1) Hvis matrisene er A~B, er summen av deres diagonale elementer den samme.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Settet med egenverdier til lignende matriser faller sammen.

Hvis en karakteristiske ligninger matriser er like, de er ikke nødvendigvis like.

For matrise A

For matrise B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)...(λnn – λ)= 0

For at en matrise A av orden n skal være diagonaliserbar, er det nødvendig at det eksisterer lineært uavhengige egenvektorer til matrisen A.

Konsekvens.

Hvis alle egenverdiene til matrisen A er forskjellige, er den diagonaliserbar.

Algoritme for å finne egenvektorer og egenverdier.

1) komponer den karakteristiske ligningen

2) finn røttene til ligningene

3) komponer et ligningssystem for å bestemme egenvektoren.

λi (A-λi E)X = 0

4) finne grunnleggende system beslutninger

x1,x2..xn-r, hvor r er rangeringen til den karakteristiske matrisen.

r = Rg(A - λi E)

5) egenvektor, egenverdier λi skrives som:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, hvor C12 + C22 + ... C2n ≠0

6) vi sjekker om matrisen kan reduseres til en diagonal form.

7) finn Ag

Ag = S-1AS S=

15 spørsmål.

Grunnlaget for en linje, et plan, et rom.

DIV_ADBLOCK371">

Modulen til en vektor er dens lengde, det vil si avstanden mellom A og B (││, ││). Modulen til en vektor er lik null, når denne vektoren er null (│ō│=0)

4.Orth vektor.

Ortom gitt vektor kalles en vektor som har samme retning som den gitte vektoren og har en modul lik én.

Like vektorer har like orts.

5. Vinkel mellom to vektorer.

Dette er den mindre delen av området, avgrenset av to stråler som kommer fra samme punkt og rettet i samme retning som de gitte vektorene.

Addisjon av vektorer. Multiplisere en vektor med et tall.

1) Addisjon av to vektorer

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Multiplikasjon av en vektor med en skalar.

Produktet av en vektor og en skalar er en ny vektor som har:

a) = produkter av modulen til den multipliserte vektoren med absolutt verdi skalar.

b) retningen er den samme som den multipliserte vektoren hvis skalaren er positiv, og motsatt hvis skalaren er negativ.

λ a(vektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Eiendommer linjedrift over vektorer.

1. Loven om kommunitativitet.

2. Assosiativitetsloven.

3. Addisjon med null.

a(vektor)+ō= a(vektor)

4. Addisjon med det motsatte.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Lov om distributivitet.

Uttrykk av en vektor i form av dens modul og enhetsvektor.

Maksimalt antall lineært uavhengige vektorer kalt grunnlaget.

Et grunnlag på en linje er en hvilken som helst vektor som ikke er null.

Et grunnlag på planet er to ikke-kalenære vektorer.

En basis i rommet er et system av tre ikke-koplanare vektorer.

Ekspansjonskoeffisienten til en vektor på en eller annen basis kalles komponentene eller koordinatene til vektoren i det gitte grunnlaget.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> utfør addisjon og multiplikasjon med en skalar, deretter som en resultere i et hvilket som helst antall slike handlinger vi får:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> kalles lineært avhengige hvis det er en ikke-triviell lineær kombinasjon av dem lik ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> kalles lineært uavhengige hvis det ikke er noen ikke-triviell lineær kombinasjon av dem.

Egenskaper til lineært avhengige og uavhengige vektorer:

1) systemet av vektorer som inneholder nullvektoren er lineært avhengig.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> er lineært avhengige, noen vektorer må være en lineær kombinasjon av andre vektorer.

3) hvis noen av vektorene fra systemet a1 (vektor), a2 (vektor) ... ak (vektor) er lineært avhengige, så er alle vektorer lineært avhengige.

4)hvis alle vektorer https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Lineære operasjoner i koordinater.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λа3)DIV_ADBLOCK374">

Skalarproduktet av 2 vektorer er tallet lik produktet vektorer ved cosinus til vinkelen mellom dem.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0 hvis og bare hvis vektorene er ortogonale eller noen av vektorene er lik 0.

4. Fordelingsevne (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Uttrykk prikkprodukt a og b gjennom deres koordinater

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Når betingelsen () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> og den tredje vektoren kalles som tilfredsstiller følgende ligninger:

3. - høyre

Vektor produktegenskaper:

4. Vektorprodukt av koordinatvektorer

ortonormalt grunnlag.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Ofte brukes 3 symboler for å angi ortene til en ortonormal basis

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Hvis er en ortonormal basis, da

DIV_ADBLOCK375">

Rett linje på et fly. Gjensidig ordning 2 rette linjer. Avstanden fra et punkt til en rett linje. Vinkel mellom to linjer. Tilstand for parallellitet og perpendikularitet av 2 rette linjer.

1. Et spesielt tilfelle av plassering av 2 rette linjer på et plan.

1) - ligningen til en rett parallell akse OX

2) - ligningen til en rett linje parallelt med OS-aksen

2. Innbyrdes arrangement av 2 rette linjer.

Teorem 1 La relativt affint system koordinater er gitt likninger av linjer

A) Da er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen når de krysser hverandre:

B) Da er den nødvendige og tilstrekkelige betingelsen for at linjene er parallelle betingelsen:

B) Da nødvendig og tilstrekkelig tilstand det faktum at linjene smelter sammen til en er betingelsen:

3. Avstand fra et punkt til en linje.

Teorem. Avstand fra et punkt til en linje i forhold til Kartesisk system koordinater:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Vinkel mellom to rette linjer. Vinkelrett tilstand.

La 2 rette linjer gis med hensyn til det kartesiske koordinatsystemet ved generelle ligninger.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Hvis , så er linjene vinkelrette.

24 spørsmål.

fly i rommet. Komplonaritetsbetingelse for en vektor og et plan. Avstanden fra et punkt til et fly. Tilstand for parallellitet og perpendikularitet av to plan.

1. Komplonaritetsbetingelse for en vektor og et plan.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Vinkel mellom 2 plan. Vinkelrett tilstand.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Hvis , så er planene vinkelrette.

25 spørsmål.

Rett linje i rommet. Forskjellige typer ligninger av en rett linje i rommet.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Vektorligning av en rett linje i rommet.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Den kanoniske ligningen er direkte.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Untitled3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 spørsmål.

Ellipse. Konklusjon Kanonisk ligning ellipse. Formen. Eiendommer

Ellipse - geometrisk sted punkter som summen av avstander fra to faste avstander, kalt foci, er gitt nummer 2a større enn avstanden 2c mellom foci.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="bilde043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

i fig. 2 r1=a+ex r2=a-eks

Ur-e tangent til ellipse

DIV_ADBLOCK378">

Kanonisk ligning for en hyperbel

Form og St.

y=±b/a multipliser med roten av (x2-a2)

Symmetriaksen til en hyperbel er dens akser

Segment 2a - den virkelige aksen til hyperbelen

Eksentrisitet e=2c/2a=c/a

Hvis b=a får vi en likebenet hyperbel

En asymptote er en rett linje hvis, med en ubegrenset fjerning av punktet M1 langs kurven, avstanden fra punktet til den rette linjen har en tendens til null.

lim d=0 for x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

tangens av hyperbel

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

parabel - stedet for punkter like langt fra et punkt som kalles fokus og en gitt linje kalt retningslinjen

Kanonisk parabelligning

eiendommer

symmetriaksen til parabelen går gjennom fokuset og er vinkelrett på retningslinjen

hvis du roterer parabelen, får du en elliptisk paraboloid

alle parablene er like

Spørsmål 30. Undersøkelse av ligningen av den generelle formen til en kurve av andre orden.

Kurvetype def. med ledende ledd A1, B1, C1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->kurve av parabolsk type

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Hvis E=0 => Ax2+2Dx+F=0

så går x1=x2 - sammen til ett

x1≠x2 - linjer er parallelle Oy

x1≠x2 og imaginære røtter, har ikke noe geometrisk bilde

C≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Konklusjon: en parabolsk kurve er enten en parabel, eller 2 parallelle linjer, eller imaginær, eller smelter sammen til en.

2.AC>0 -> elliptisk kurve

Ved å komplettere den opprinnelige ligningen til hele kvadratet, transformerer vi den til den kanoniske, så får vi tilfellene

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - ellipse

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - imaginær ellipse

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - punkt med koordinat x0 y0

Konklusjon: kurve el. typen er enten en ellipse, eller imaginær, eller et punkt

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 hyperbel, reell akse er parallell

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 hyperbel, reell akse parallell med Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ur-e av to linjer

Konklusjon: en kurve av hyperbolsk type er enten en hyperbel eller to rette linjer

Denne veiledningen vil hjelpe deg å lære hvordan matriseoperasjoner: addisjon (subtraksjon) av matriser, transponering av en matrise, multiplikasjon av matriser, finne inversen til en matrise. Alt materiale presenteres i en enkel og tilgjengelig form, relevante eksempler er gitt, slik at selv en uforberedt person kan lære å utføre handlinger med matriser. For selvkontroll og selvtest kan du laste ned en matrisekalkulator gratis >>>.

Jeg vil prøve å minimere teoretiske beregninger, noen steder er forklaringer "på fingrene" og bruk av uvitenskapelige termer mulig. Elskere av solid teori, vennligst ikke delta i kritikk, vår oppgave er lære å jobbe med matriser.

For SUPERRASK forberedelse til temaet (hvem "brenner") er det et intensivt pdf-kurs Matrise, determinant og offset!

En matrise er en rektangulær tabell av noen elementer. Som elementer vi vil vurdere tall, det vil si numeriske matriser. ELEMENT er et begrep. Det er ønskelig å huske begrepet, det vil ofte forekomme, det er ikke tilfeldig at jeg brukte fet skrift for å fremheve det.

Betegnelse: matriser er vanligvis merket med store latinske bokstaver

Eksempel: Tenk på en to-av-tre-matrise:

Denne matrisen består av seks elementer:

Alle tall (elementer) inne i matrisen eksisterer på egen hånd, det vil si at det ikke er snakk om noen subtraksjon:

Det er bare en tabell (sett) med tall!

Vi er også enige ikke omorganiser nummer, med mindre annet er angitt i forklaringen. Hvert nummer har sin egen plassering, og du kan ikke blande dem!

Den aktuelle matrisen har to rader:

og tre kolonner:

STANDARD: når man snakker om dimensjonene til matrisen, da først angi antall rader, og bare da - antall kolonner. Vi har nettopp brutt ned to-av-tre-matrisen.

Hvis antall rader og kolonner i en matrise er det samme, kalles matrisen torget, for eksempel: er en tre-til-tre-matrise.

Hvis matrisen har én kolonne eller én rad, kalles også slike matriser vektorer.

Faktisk kjenner vi konseptet med en matrise siden skolen, tenk på for eksempel et punkt med koordinatene "x" og "y": . I hovedsak er koordinatene til et punkt skrevet inn i en en-og-to-matrise. Forresten, her er et eksempel for deg hvorfor rekkefølgen av tall betyr noe: og er to helt forskjellige punkter på flyet.

La oss nå gå videre til studiet. matriseoperasjoner:

1) Handling én. Fjerne et minus fra en matrise (introdusere et minus i en matrise).

Tilbake til matrisen vår . Som du sikkert har lagt merke til, er det for mange negative tall i denne matrisen. Dette er veldig upraktisk med tanke på å utføre ulike handlinger med matrisen, det er upraktisk å skrive så mange minuser, og det ser bare stygt ut i designet.

La oss flytte minus utenfor matrisen ved å endre fortegnet til HVERT element i matrisen:

Ved null, som du forstår, endres ikke tegnet, null - det er også null i Afrika.

Omvendt eksempel: . Ser stygg ut.

Vi introduserer et minus i matrisen ved å endre tegnet til HVERT element i matrisen:

Vel, det er mye penere. Og viktigst av alt, det vil være LETTERE å utføre alle handlinger med matrisen. Fordi det er et slikt matematisk folketegn: jo flere minuser - jo mer forvirring og feil.

2) Handling to. Multiplisere en matrise med et tall.

Eksempel:

Det er enkelt, for å multiplisere en matrise med et tall, trenger du Hver multipliser matriseelementet med det gitte tallet. I dette tilfellet tre.

Et annet nyttig eksempel:

– multiplikasjon av en matrise med en brøk

La oss først se på hva vi skal gjøre INGEN BEHOV:

Det er IKKE NØDVENDIG å legge inn en brøk i matrisen, for det første gjør det bare ytterligere handlinger med matrisen vanskelig, og for det andre gjør det det vanskelig for læreren å sjekke løsningen (spesielt hvis - det endelige svaret på oppgaven).

Og spesielt, INGEN BEHOV del hvert element i matrisen med minus syv:

Fra artikkelen Matematikk for dummies eller hvor du skal begynne, husker vi at desimalbrøker med komma i høyere matematikk prøver å unngå på alle mulige måter.

Den eneste tingen ønskeligå gjøre i dette eksemplet er å sette inn et minus i matrisen:

Men hvis ALLE matriseelementer ble delt på 7 uten et spor, da ville det vært mulig (og nødvendig!) å dele.

Eksempel:

I dette tilfellet kan du TRENGE multipliser alle elementene i matrisen med , siden alle tallene i matrisen er delbare med 2 uten et spor.

Merk: i teorien om høyere matematikk er det ikke noe skolebegrep om "divisjon". I stedet for uttrykket "dette er delt med dette", kan du alltid si "dette er multiplisert med en brøk." Det vil si at divisjon er et spesielt tilfelle av multiplikasjon.

3) Handling tre. Matrisetransponering.

For å transponere en matrise, må du skrive dens rader inn i kolonnene i den transponerte matrisen.

Eksempel:

Transponer matrise

Det er bare én linje her, og i henhold til regelen må den skrives i en kolonne:

er den transponerte matrisen.

Den transponerte matrisen er vanligvis betegnet med en hevet skrift eller et slag øverst til høyre.

Eksempel trinn for trinn:

Transponer matrise

Først omskriver vi den første raden til den første kolonnen:

Deretter skriver vi om den andre raden til den andre kolonnen:

Og til slutt, omskriver vi den tredje raden til den tredje kolonnen:

Klar. Grovt sett betyr å transponere å snu matrisen på siden.

4) Handling fire. Sum (forskjell) av matriser.

Summen av matriser er en enkel operasjon.
IKKE ALLE MATRIKSER KAN BETES. For å utføre addisjon (subtraksjon) av matriser, er det nødvendig at de har SAMME STØRRELSE.

For eksempel, hvis en to-til-to-matrise er gitt, kan den bare legges til en to-til-to-matrise og ingen andre!

Eksempel:

Legg til matriser og

For å legge til matriser, må du legge til de tilsvarende elementene:

For forskjellen på matriser er regelen lik, det er nødvendig å finne forskjellen mellom de tilsvarende elementene.

Eksempel:

Finn forskjell på matriser ,

Og hvordan løser du dette eksemplet lettere, for ikke å bli forvirret? Det er tilrådelig å kvitte seg med unødvendige minuser, for dette vil vi legge til et minus til matrisen:

Merk: i teorien om høyere matematikk er det ikke noe skolebegrep om "subtraksjon". I stedet for uttrykket "trekk dette fra dette", kan du alltid si "legg til et negativt tall til dette". Det vil si at subtraksjon er et spesielt tilfelle av addisjon.

5) Aksjon fem. Matrisemultiplikasjon.

Hvilke matriser kan multipliseres?

For at en matrise skal multipliseres med en matrise, slik at antall kolonner i matrisen er lik antall rader i matrisen.

Eksempel:
Er det mulig å multiplisere en matrise med en matrise?

Så du kan multiplisere dataene til matrisen.

Men hvis matrisene omorganiseres, er multiplikasjon i dette tilfellet ikke lenger mulig!

Derfor er multiplikasjon umulig:

Det er ikke uvanlig med oppgaver med et triks, når en elev blir bedt om å multiplisere matriser, hvis multiplikasjon åpenbart er umulig.

Det skal bemerkes at det i noen tilfeller er mulig å multiplisere matriser på begge måter.
For eksempel for matriser, og både multiplikasjon og multiplikasjon er mulig