Elementære utfall er den klassiske definisjonen av sannsynlighet. Typiske feil ved løsning av problemer som involverer klassisk sannsynlighetsbestemmelse

Grunnleggende om sannsynlighetsteori

Plan:

1. Tilfeldige hendelser

2. Klassisk definisjon av sannsynlighet

3. Beregning av hendelsessannsynligheter og kombinatorikk

4. Geometrisk sannsynlighet

Teoretisk informasjon

Tilfeldige hendelser.

Tilfeldig fenomen- et fenomen hvis utfall ikke er klart definert. Dette konseptet kan tolkes ganske i vid forstand. Nemlig: alt i naturen er ganske tilfeldig, utseendet og fødselen til et individ er et tilfeldig fenomen, å velge et produkt i en butikk er også et tilfeldig fenomen, å få karakter på en eksamen er et tilfeldig fenomen, sykdom og bedring er tilfeldige fenomener , osv.

Eksempler på tilfeldige fenomener:

~ Skyting utføres fra en pistol installert under gitt vinkel til horisonten. Å treffe målet er tilfeldig, men prosjektilet som treffer en bestemt "gaffel" er et mønster. Du kan spesifisere avstanden nærmere hvilken og lenger enn prosjektilet ikke vil fly. Du vil få en slags "prosjektil dispersjonsgaffel"

~ Den samme kroppen veies flere ganger. Strengt tatt vil du hver gang få forskjellige resultater, selv om de avviker med en ubetydelig mengde, men de vil være forskjellige.

~ Et fly som flyr langs samme rute, har en bestemt flykorridor som flyet kan manøvrere innenfor, men det vil aldri ha en strengt identisk rute

~ En idrettsutøver vil aldri kunne løpe samme distanse på samme tid. Resultatene vil også være innenfor et visst numerisk område.

Erfaring, eksperiment, observasjon er tester

Rettssak– observasjon eller oppfyllelse av et bestemt sett med betingelser som er oppfylt gjentatte ganger, og regelmessig gjentatt i samme sekvens, varighet og i samsvar med andre identiske parametere.

La oss vurdere en idrettsutøver som skyter mot et mål. For at det skal kunne utføres, er det nødvendig å oppfylle slike betingelser som å forberede atleten, laste våpenet, sikte, etc. "Truffet" og "bommet" – hendelser som følge av et skudd.

Hendelse– testresultat av høy kvalitet.

En hendelse kan skje eller ikke. Hendelser er angitt med store bokstaver. med latinske bokstaver. For eksempel: D = "Skytteren traff målet." S="Den hvite ballen er tegnet." K="Tatt tilfeldig lodd ingen seier."

Å kaste en mynt er en test. Fallet til hennes "våpenskjold" er én begivenhet, fallet til hennes "digitale" er den andre hendelsen.

Enhver test involverer forekomsten av flere hendelser. Noen av dem kan være nødvendige i for øyeblikket tid for forskeren, andre er unødvendige.

Hendelsen kalles tilfeldig, hvis, når et visst sett med vilkår er oppfylt S det kan enten skje eller ikke skje. I det følgende, i stedet for å si "settet med vilkår S er oppfylt", vil vi si kort: "testen er utført." Dermed vil hendelsen bli vurdert som resultatet av testen.

~ Skytteren skyter mot en skive delt inn i fire områder. Skuddet er en test. Å treffe et bestemt område av målet er en hendelse.

~ Det er fargede kuler i urnen. En ball tas tilfeldig fra urnen. Å hente en ball fra en urne er en test. Utseendet til ballen en viss farge- arrangement.

Typer tilfeldige hendelser

1. Hendelser kalles inkompatible dersom forekomsten av en av dem utelukker forekomsten av andre hendelser i samme rettssak.

~ En del fjernes tilfeldig fra en deleboks. Utseendet til en standard del eliminerer utseendet til en ikke-standard del. Events € en standard del dukket opp" og en ikke-standard del dukket opp" - inkompatibel.

~ En mynt kastes. Utseendet til "våpenskjoldet" utelukker utseendet til inskripsjonen. Begivenhetene "et våpenskjold dukket opp" og "en inskripsjon dukket opp" er uforenlige.

Det dannes flere arrangementer hele gruppen, hvis minst en av dem dukker opp som et resultat av testen. Med andre ord er forekomsten av minst én av hendelsene i hele gruppen en pålitelig hendelse.

Spesielt hvis hendelsene som utgjør en komplett gruppe er parvis inkonsistente, vil resultatet av forsøket være én og bare én av disse hendelsene spesielt tilfelle representerer for oss størst interesse, siden den brukes videre.

~ To kontanter og kleslodd ble kjøpt. Én og bare én av følgende hendelser vil garantert inntreffe:

1. "gevinsten falt på den første billetten og falt ikke på den andre,"

2. "gevinsten falt ikke på den første billetten og falt på den andre,"

3. "gevinsten falt på begge billettene",

4. "begge billettene vant ikke."

Disse arrangementene utgjør en komplett gruppe i par Ikke felles arrangementer,

~ Skytteren skjøt mot skiven. En av følgende to hendelser vil definitivt skje: hit, miss. Disse to uforenlige hendelsene utgjør også en komplett gruppe.

2. Arrangementer kalles like mulig, hvis det er grunn til å tro at ingen av dem er mer mulig enn den andre.

~ Utseendet til et "våpenskjold" og utseendet til en inskripsjon når du kaster en mynt er like mulige hendelser. Det antas faktisk at mynten er laget av et homogent materiale, har en vanlig sylindrisk form, og tilstedeværelsen av preging påvirker ikke tapet av en eller annen side av mynten.

~ Utseendet til et eller annet antall poeng på en kastet terning er like mulige hendelser. Det antas faktisk at formen er laget av et homogent materiale og har formen vanlig polyeder, og tilstedeværelsen av poeng påvirker ikke tapet av noen side.

3. Arrangementet kalles pålitelig, hvis det ikke kan unngå å skje

4. Arrangementet kalles upålitelig, hvis det ikke kan skje.

5. Arrangementet kalles motsatt til en eller annen hendelse hvis den består av at denne hendelsen ikke oppstår. Motsatte hendelser er ikke kompatible, men en av dem må nødvendigvis skje. Motsatte hendelser betegnes vanligvis som negasjoner, dvs. En strek er skrevet over bokstaven. Motsatte hendelser: A og Ā; U og Ū osv. .

Klassisk definisjon av sannsynlighet

Sannsynlighet er et av de grunnleggende begrepene i sannsynlighetsteori.

Det er flere definisjoner av dette konseptet. La oss gi en definisjon som kalles klassisk. Deretter indikerer vi svakheter denne definisjonen og gi andre definisjoner som lar oss overvinne manglene ved den klassiske definisjonen.

Tenk på situasjonen: En boks inneholder 6 identiske kuler, 2 er røde, 3 er blå og 1 er hvit. Åpenbart er muligheten for å tegne en farget (dvs. rød eller blå) ball fra en urne tilfeldig større enn muligheten for å tegne en hvit ball. Denne muligheten kan karakteriseres av et tall, som kalles sannsynligheten for en hendelse (utseendet til en farget ball).

Sannsynlighet- et tall som karakteriserer graden av mulighet for at en hendelse inntreffer.

I den aktuelle situasjonen betegner vi:

Hendelse A = "Trekker ut en farget ball."

Hvert av de mulige resultatene av testen (testen består i å fjerne en ball fra en urne) vil bli kalt elementært (mulig) utfall og hendelse. Elementære utfall kan betegnes med bokstaver med indekser under, for eksempel: k 1, k 2.

I vårt eksempel er det 6 baller, så det er 6 mulige utfall: en hvit ball vises; en rød ball dukket opp; en blå ball dukket opp osv. Det er lett å se at disse utfallene danner en komplett gruppe av parvise inkompatible hendelser (bare én ball vil vises) og de er like mulige (ballen trekkes tilfeldig, ballene er identiske og grundig blandet).

La oss kalle elementære utfall der hendelsen av interesse for oss inntreffer gunstige resultater denne hendelsen. I vårt eksempel er arrangementet foretrukket EN(utseendet til en farget ball) følgende 5 utfall:

Så arrangementet EN observeres hvis et av de elementære utfallene som er gunstige for testen inntreffer, uansett hvilket. EN. Dette er utseendet til enhver farget ball, hvorav det er 5 i boksen

I eksemplet under vurdering er det 6 elementære utfall; 5 av dem favoriserer arrangementet EN. Derfor, P(A)= 5/6. Dette tallet gir en kvantitativ vurdering av graden av mulighet for utseendet til en farget ball.

Definisjon av sannsynlighet:

Sannsynlighet for hendelse A er forholdet mellom antall utfall som er gunstige for denne hendelsen og det totale antallet av alle like mulige inkompatible elementære utfall som utgjør hele gruppen.

P(A)=m/n eller P(A)=m: n, hvor:

m er antall gunstige elementære utfall EN;

n- antall mulige elementære testresultater.

Her antas det at de elementære utfallene er inkompatible, like mulige og utgjør en komplett gruppe.

Følgende egenskaper følger av definisjonen av sannsynlighet:

1. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én.

Faktisk, hvis hendelsen er pålitelig, favoriserer hvert elementært resultat av testen hendelsen. I dette tilfellet m = n derfor p=1

2. Sannsynligheten for en umulig hendelse er null.

Faktisk, hvis en hendelse er umulig, favoriserer ingen av de elementære resultatene av testen hendelsen. I dette tilfellet er m=0, derfor p=0.

3.Sannsynlighet tilfeldig hendelse Det er det positivt tall, innelukket mellom null og én. 0totalt antall elementære testresultater. I dette tilfellet 0< T< n.

I påfølgende emner vil det bli gitt teoremer som gjør at kjente sannsynligheter for noen hendelser kan brukes til å finne sannsynlighetene for andre hendelser.

Mål. Det er 6 jenter og 4 gutter i elevgruppen. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt student blir en jente? blir det en ung mann?

p dev = 6/10 =0,6 p yun = 4/10 = 0,4

Konseptet "sannsynlighet" i moderne strenge sannsynlighetsteoretiske kurs er bygget på et sett-teoretisk grunnlag. La oss se på noen aspekter ved denne tilnærmingen.

La én og bare én av hendelsene oppstå som et resultat av testen: w i(i=1, 2, .... p). Hendelser w i- ringte elementære hendelser (elementære utfall). OM det følger at elementære hendelser er parvis uforenlige. Settet med alle elementære hendelser som kan oppstå i en test kalles rom for elementære begivenheterΩ (gresk stor bokstav omega), og selve de elementære hendelsene er poeng av dette rommet..

Hendelse EN identifisert med en delmengde (av rom Ω), hvis elementer er gunstige elementære utfall EN; hendelse I er en delmengde Ω hvis elementer er gunstige utfall I, osv. Dermed er settet av alle hendelser som kan oppstå i en test settet av alle delmengder av Ω selv som oppstår for ethvert utfall av testen, derfor er Ω en pålitelig hendelse. en tom delmengde av rom Ω - er en umulig hendelse (den forekommer ikke under noe utfall av testen).

Elementære hendelser skilles fra alle emnebegivenheter, "hver av dem inneholder bare ett element Ω

Hvert elementært resultat w i samsvarer med et positivt tall p i- sannsynligheten for dette utfallet, og summen av alle p i lik 1 eller med et sumtegn, vil dette faktum bli skrevet i form av et uttrykk:

Per definisjon, sannsynlighet P(A) hendelser EN lik summen av sannsynlighetene for gunstige elementære utfall EN. Derfor er sannsynligheten for en pålitelig hendelse lik én, en umulig hendelse er null, og en vilkårlig hendelse er mellom null og én.

La oss vurdere et viktig spesialtilfelle når alle utfall er like mulige. Antall utfall er n, summen av sannsynlighetene for alle utfall er lik én. derfor er sannsynligheten for hvert utfall 1/p. La arrangementet EN favoriserer m utfall.

Sannsynlighet for hendelse EN lik summen av sannsynlighetene for gunstige utfall EN:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Mottatt klassisk definisjon sannsynligheter.

Det er også aksiomatisk tilnærming til begrepet "sannsynlighet". I systemet av aksiomer foreslått. Kolmogorov A.N., udefinerte konsepter er en elementær hendelse og sannsynlighet. Konstruksjonen av en logisk fullstendig sannsynlighetsteori er basert på den aksiomatiske definisjonen av en tilfeldig hendelse og dens sannsynlighet.

Her er aksiomene som definerer sannsynlighet:

1. Hvert arrangement EN tildelt et ikke-negativt reelt tall R(A). Dette tallet kalles sannsynligheten for hendelsen EN.

2. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én:

3. Sannsynligheten for at minst én av de parvise inkompatible hendelsene skal inntreffe er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene.

Basert på disse aksiomene er egenskapene til sannsynligheter og avhengigheten mellom dem utledet som teoremer.

Sannsynlighet hendelse er forholdet mellom antall elementære utfall som er gunstige for en gitt hendelse og antallet av alle like mulige utfall av opplevelsen der denne hendelsen kan vises. Sannsynligheten for hendelse A er betegnet med P(A) (her er P første bokstav i det franske ordet sannsynlighet - sannsynlighet). I følge definisjonen
(1.2.1)
hvor er antallet elementære utfall som er gunstige for hendelse A; - Antallet av alle like mulige elementære utfall av eksperimentet, som danner en komplett gruppe hendelser.
Denne definisjonen av sannsynlighet kalles klassisk. Det oppsto i det innledende stadiet av utviklingen av sannsynlighetsteori.

Sannsynligheten for hendelsen er følgende egenskaper:
1. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én. La oss betegne en pålitelig hendelse med bokstaven. For en bestemt hendelse altså
(1.2.2)
2. Sannsynligheten for en umulig hendelse er null. La oss betegne en umulig hendelse med bokstaven. For en umulig hendelse altså
(1.2.3)
3. Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse uttrykkes som et positivt tall mindre enn én. Siden for en tilfeldig hendelse er ulikhetene , eller , oppfylt, da
(1.2.4)
4. Sannsynligheten for enhver hendelse tilfredsstiller ulikhetene
(1.2.5)
Dette følger av relasjoner (1.2.2) - (1.2.4).

Eksempel 1. En urne inneholder 10 kuler av samme størrelse og vekt, hvorav 4 er røde og 6 er blå. En ball trekkes fra urnen. Hva er sannsynligheten for at den trukket ballen blir blå?

Løsning. Vi betegner hendelsen "den trukket ballen viste seg å være blå" med bokstaven A. Denne testen har 10 like mulige elementære utfall, hvorav 6 favoriserer hendelse A. I samsvar med formel (1.2.1) får vi

Eksempel 2. Alle naturlige tall fra 1 til 30 skrives på identiske kort og legges i en urne. Etter å ha blandet kortene grundig, fjernes ett kort fra urnen. Hva er sannsynligheten for at tallet på kortet er et multiplum av 5?

Løsning. La oss betegne med A hendelsen "tallet på det tatt er et multiplum av 5." I denne testen er det 30 like mulige elementære utfall, hvorav hendelse A favoriseres av 6 utfall (tallene 5, 10, 15, 20, 25, 30). Derfor,

Eksempel 3. To terninger kastes og det totale poenget beregnes. øvre ansikter. Finn sannsynligheten for hendelse B slik at de øverste flatene på terningen har totalt 9 poeng.

Løsning. I denne testen er det bare 6 2 = 36 like mulige elementære utfall. Hendelse B favoriseres av 4 utfall: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), derfor

Eksempel 4. Valgt tilfeldig naturlig tall, ikke over 10. Hva er sannsynligheten for at dette tallet er primtall?

Løsning. La oss betegne med bokstaven C hendelsen "det valgte tallet er primtall". I dette tilfellet er n = 10, m = 4 (primtall 2, 3, 5, 7). Derfor den nødvendige sannsynligheten

Eksempel 5. To symmetriske mynter kastes. Hva er sannsynligheten for at det er tall på oversiden av begge myntene?

Løsning. La oss betegne hendelsen med bokstaven D "det er et tall på oversiden av hver mynt." I denne testen er det 4 like mulige elementære utfall: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notasjonen (G, C) betyr at den første mynten har et våpenskjold, den andre har et nummer). Hendelse D favoriseres av ett elementært utfall (C, C). Siden m = 1, n = 4, da

Eksempel 6. Hva er sannsynligheten for at et tosifret tall valgt tilfeldig har de samme sifrene?

Løsning. Tosifrede tall er tall fra 10 til 99; Det er 90 slike tall totalt 9 tall har identiske sifre (disse er tallene 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Siden i dette tilfellet m = 9, n = 90, da
,
hvor A er hendelsen "nummer med identiske sifre".

Eksempel 7. Fra bokstavene i ordet differensial En bokstav er valgt tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at denne bokstaven vil være: a) en vokal, b) en konsonant, c) en bokstav h?

Løsning. Ordet differensial har 12 bokstaver, hvorav 5 er vokaler og 7 er konsonanter. Bokstaver h det er ingen i dette ordet. La oss betegne hendelsene: A - "vokalbokstav", B - "konsonantbokstav", C - "bokstav h". Antall gunstige elementære utfall: - for hendelse A, - for hendelse B, - for hendelse C. Siden n = 12, da
, Og .

Eksempel 8. To terninger kastes og antall poeng på toppen av hver terning noteres. Finn sannsynligheten for at begge terningene viser like mange poeng.

Løsning. La oss betegne denne hendelsen med bokstaven A. Hendelse A favoriseres av 6 elementære utfall: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6) ;6). Det totale antallet like mulige elementære utfall som utgjør en komplett gruppe av hendelser, i dette tilfellet n=6 2 =36. Dette betyr at den nødvendige sannsynligheten

Eksempel 9. Boken har 300 sider. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig åpnet side vil ha et serienummer som er delelig med 5?

Løsning. Av betingelsene for oppgaven følger det at alle like mulige elementære utfall som danner en komplett gruppe av hendelser vil være n = 300. Av disse favoriserer m = 60 forekomsten av den spesifiserte hendelsen. Faktisk, et tall som er et multiplum av 5 har formen 5k, der k er et naturlig tall, og hvorfra . Derfor,
, hvor A - «side»-hendelsen har et sekvensnummer som er et multiplum av 5".

Eksempel 10. To terninger kastes og summen av poeng på toppflatene beregnes. Hva er mer sannsynlig - å få totalt 7 eller 8?

Løsning. La oss betegne hendelsene: A - "7 poeng kastes", B - "8 poeng kastes". Hendelse A favoriseres av 6 elementære utfall: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), og hendelse B er favorisert med 5 utfall: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Alle like mulige elementære utfall er n = 6 2 = 36. Derfor, Og .

Så P(A)>P(B), det vil si å få totalt 7 poeng er en mer sannsynlig hendelse enn å få totalt 8 poeng.

Oppgaver

1. Et naturlig tall som ikke overstiger 30 velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at dette tallet er et multiplum av 3?
2. I urnen en rød og b blå kuler, identiske i størrelse og vekt. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig trukket ball fra denne urnen blir blå?
3. Et tall som ikke overstiger 30 velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at dette tallet er en deler av 30?
4. I urnen EN blå og b røde kuler, identiske i størrelse og vekt. En ball tas fra denne urnen og settes til side. Denne ballen viste seg å være rød. Etter dette trekkes en ny ball fra urnen. Finn sannsynligheten for at den andre ballen også er rød.
5. Et nasjonalt tall som ikke overstiger 50 velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at dette tallet er primtall?
6. Tre terninger kastes og summen av poeng på toppflatene beregnes. Hva er mer sannsynlig - å få totalt 9 eller 10 poeng?
7. Tre terninger kastes og summen av poengene som kastes beregnes. Hva er mer sannsynlig - å få totalt 11 (hendelse A) eller 12 poeng (hendelse B)?

Svar

1. 1/3. 2 . b/(en+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(en+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - sannsynlighet for å få 9 poeng totalt; p 2 = 27/216 - sannsynlighet for å få 10 poeng totalt; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Spørsmål

1. Hva kalles sannsynligheten for en hendelse?
2. Hva er sannsynligheten for en pålitelig hendelse?
3. Hva er sannsynligheten for en umulig hendelse?
4. Hva er grensene for sannsynligheten for en tilfeldig hendelse?
5. Hva er grensene for sannsynligheten for en hendelse?
6. Hvilken definisjon av sannsynlighet kalles klassisk?

Innen økonomi, så vel som på andre områder menneskelig aktivitet eller i naturen må vi hele tiden forholde oss til hendelser som ikke kan forutsies nøyaktig. Salgsvolumet til et produkt avhenger således av etterspørselen, som kan variere betydelig, og av en rekke andre faktorer som er nesten umulig å ta hensyn til. Derfor, når du organiserer produksjon og gjennomfører salg, må du forutsi resultatet av slike aktiviteter på grunnlag av enten din egen tidligere erfaring, eller lignende erfaring fra andre mennesker, eller intuisjon, som i stor grad også er avhengig av eksperimentelle data.

For på en eller annen måte å evaluere den aktuelle hendelsen, er det nødvendig å ta hensyn til eller spesielt organisere forholdene der denne hendelsen er registrert.

Implementeringen av visse betingelser eller handlinger for å identifisere den aktuelle hendelsen kalles erfaring eller eksperiment.

Arrangementet kalles tilfeldig, hvis det som et resultat av erfaring kan forekomme eller ikke.

Arrangementet kalles pålitelig, hvis det nødvendigvis vises som et resultat denne opplevelsen, Og umulig, hvis det ikke kan vises i denne opplevelsen.

For eksempel er snøfall i Moskva 30. november en tilfeldig hendelse. Den daglige soloppgangen kan betraktes som en pålitelig begivenhet. Snøfall ved ekvator kan betraktes som en umulig hendelse.

Et av hovedproblemene i sannsynlighetsteori er problemet med å bestemme kvantitativt mål muligheten for at en hendelse inntreffer.

Algebra av hendelser

Hendelser kalles uforenlige hvis de ikke kan observeres sammen i samme opplevelse. Dermed er tilstedeværelsen av to og tre biler i en butikk for salg på samme tid to uforenlige hendelser.

Beløp hendelser er en hendelse som består av forekomsten av minst én av disse hendelsene

Et eksempel på summen av hendelser er tilstedeværelsen av minst ett av to produkter i butikken.

Arbeidet hendelser er en hendelse som består av den samtidige forekomsten av alle disse hendelsene

En hendelse som består av utseendet til to varer i en butikk samtidig er et produkt av hendelser: - utseendet til ett produkt, - utseendet til et annet produkt.

Hendelser utgjør en komplett gruppe av begivenheter hvis minst en av dem er sikker på å finne sted i erfaring.

Eksempel. Havnen har to båtplasser for mottak av skip. Tre hendelser kan vurderes: - fravær av skip ved kai, - tilstedeværelse av ett skip ved en av kai, - tilstedeværelse av to skip ved to kaier. Disse tre arrangementene utgjør en komplett gruppe av arrangementer.

Motsatt to unike mulige hendelser som utgjør en komplett gruppe kalles.

Hvis en av hendelsene som er motsatt er angitt med , da motsatt hendelse vanligvis betegnet med .

Klassiske og statistiske definisjoner av hendelsessannsynlighet

Hvert av de like mulige resultatene av tester (eksperimenter) kalles et elementært utfall. De er vanligvis betegnet med bokstaver. For eksempel kastes en terning. Det kan være totalt seks elementære utfall basert på antall poeng på sidene.

Fra elementære utfall kan du lage en mer kompleks hendelse. Dermed bestemmes hendelsen med et partall poeng av tre utfall: 2, 4, 6.

Et kvantitativt mål på muligheten for at den aktuelle hendelsen skal inntreffe er sannsynlighet.

De fleste utbredt mottatt to definisjoner av sannsynligheten for en hendelse: klassisk Og statistisk.

Den klassiske definisjonen av sannsynlighet er assosiert med konseptet om et gunstig resultat.

Utfallet kalles gunstig til en gitt hendelse hvis forekomsten medfører at denne hendelsen inntreffer.

I eksemplet som er gitt, er den aktuelle hendelsen partall poeng på den tapte siden har tre gunstige utfall. I dette tilfellet er det generelle
antall mulige utfall. Dette betyr at den klassiske definisjonen av sannsynligheten for en hendelse kan brukes her.

Klassisk definisjon er lik forholdet mellom antall gunstige utfall og det totale antallet mulige utfall

hvor er sannsynligheten for hendelsen, er antall utfall som er gunstige for hendelsen, er det totale antallet mulige utfall.

I det betraktede eksemplet

Den statistiske definisjonen av sannsynlighet er assosiert med konseptet om den relative hyppigheten av forekomst av en hendelse i eksperimenter.

Den relative hyppigheten av forekomst av en hendelse beregnes ved hjelp av formelen

hvor er antall forekomster av en hendelse i en serie eksperimenter (tester).

Statistisk definisjon. Sannsynligheten for en hendelse er tallet som den relative frekvensen stabiliserer (sett) rundt med en ubegrenset økning i antall eksperimenter.

I praktiske problemer anses sannsynligheten for en hendelse for å være den relative frekvensen ved tilstrekkelig stort antall tester.

Fra disse definisjonene av sannsynligheten for en hendelse er det klart at ulikheten alltid er oppfylt

For å bestemme sannsynligheten for en hendelse basert på formel (1.1), brukes ofte kombinatoriske formler, som brukes for å finne antall gunstige utfall og totalt antall mulige utfall.

Kort teori

For å kvantitativt sammenligne hendelser i henhold til graden av mulighet for at de inntreffer, introduseres et numerisk mål, som kalles sannsynligheten for en hendelse. Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er et tall som uttrykker mål på den objektive muligheten for at en hendelse inntreffer.

Størrelsene som bestemmer hvor betydelige de objektive årsakene er til å forvente at en hendelse inntreffer, er preget av sannsynligheten for hendelsen. Det må understrekes at sannsynlighet er en objektiv størrelse som eksisterer uavhengig av den som vet og er betinget av hele settet av forhold som bidrar til at en hendelse inntreffer.

Forklaringene vi har gitt for begrepet sannsynlighet er det ikke matematisk definisjon, siden de ikke definerer dette konseptet kvantitativt. Det er flere definisjoner av sannsynligheten for en tilfeldig hendelse, som er mye brukt for å løse spesifikke problemer (klassisk, aksiomatisk, statistisk, etc.).

Klassisk definisjon av hendelsessannsynlighet reduserer dette konseptet til det mer elementære konseptet om like mulige hendelser, som ikke lenger er underlagt definisjon og antas å være intuitivt klart. For eksempel, hvis en terning er en homogen kube, vil tapet av noen av flatene til denne kuben være like mulige hendelser.

La en pålitelig hendelse deles inn i like mulige tilfeller, summen av disse gir hendelsen. Det vil si at tilfellene som det bryter ned fra kalles gunstige for hendelsen, siden utseendet til en av dem sikrer forekomsten.

Sannsynligheten for en hendelse vil bli angitt med symbolet.

Sannsynligheten for en hendelse er lik forholdet mellom antall tilfeller som er gunstige for den, av det totale antallet unikt mulige, like mulige og inkompatible tilfeller, og antallet, dvs.

Dette er den klassiske definisjonen av sannsynlighet. For å finne sannsynligheten for en hendelse, er det derfor nødvendig, etter å ha vurdert de ulike resultatene av testen, å finne et sett med unikt mulige, like mulige og inkompatible tilfeller, beregne deres totale antall n, antall tilfeller m gunstig for en gitt hendelse, og utfør deretter beregningen ved å bruke formelen ovenfor.

Sannsynligheten for en hendelse lik forholdet mellom tallet gunstig arrangement utfall av eksperimentet til det totale antallet utfall av eksperimentet kalles klassisk sannsynlighet tilfeldig hendelse.

Følgende egenskaper ved sannsynlighet følger av definisjonen:

Egenskap 1. Sannsynligheten for en pålitelig hendelse er lik én.

Egenskap 2. Sannsynligheten for en umulig hendelse er null.

Egenskap 3. Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er et positivt tall mellom null og én.

Egenskap 4. Sannsynligheten for forekomst av hendelser som danner en komplett gruppe er lik én.

Egenskap 5. Sannsynligheten for at den motsatte hendelsen skal inntreffe bestemmes på samme måte som sannsynligheten for at hendelse A skal inntreffe.

Antall tilfeller som favoriserer forekomsten av en motsatt hendelse. Derfor er sannsynligheten for forekomsten av den motsatte hendelsen lik forskjellen mellom enhet og sannsynligheten for forekomsten av hendelse A:

En viktig fordel med den klassiske definisjonen av sannsynligheten for en hendelse er at med dens hjelp kan sannsynligheten for en hendelse bestemmes uten å ty til erfaring, men basert på logiske resonnementer.

Når et sett med betingelser er oppfylt, vil en pålitelig hendelse definitivt skje, men en umulig hendelse vil definitivt ikke skje. Blant hendelsene som kan eller ikke kan inntreffe når et sett med forhold skapes, kan forekomsten av noen med god grunn regne med, og forekomsten av andre med mindre grunn. Hvis det for eksempel er flere hvite kuler i urnen enn svarte, så håp på utseendet til hvit ball når du trekker fra en urne tilfeldig, er det flere grunner enn for utseendet til en svart ball.

Eksempel på problemløsning

Eksempel 1

En boks inneholder 8 hvite, 4 svarte og 7 røde kuler. 3 kuler trekkes tilfeldig. Finn sannsynlighetene for følgende hendelser: – minst 1 rød kule trekkes, – det er minst 2 kuler av samme farge, – det er minst 1 rød og 1 hvit ball.

Problemløsning

Vi finner det totale antallet testresultater som antall kombinasjoner av 19 (8+4+7) elementer av 3:

La oss finne sannsynligheten for hendelsen– minst 1 rød ball trekkes (1,2 eller 3 røde baller)

Påkrevd sannsynlighet:

La arrangementet– det er minst 2 kuler av samme farge (2 eller 3 hvite kuler, 2 eller 3 svarte kuler og 2 eller 3 røde kuler)

Antall gunstige utfall for arrangementet:

Påkrevd sannsynlighet:

La arrangementet– det er minst én rød og én hvit ball

(1 rød, 1 hvit, 1 svart eller 1 rød, 2 hvit eller 2 rød, 1 hvit)

Antall gunstige utfall for arrangementet:

Påkrevd sannsynlighet:

Svare: P(A)=0,773; P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Eksempel 2

To terninger kastes. Finn sannsynligheten for at summen av poeng er minst 5.

Løsning

La arrangementet ha en poengsum på minst 5

La oss bruke den klassiske definisjonen av sannsynlighet:

Totalt antall mulige testresultater

Antall forsøk som favoriserer begivenheten av interesse

På den droppede siden av den første terningen, kan ett poeng, to poeng..., seks poeng vises. på samme måte er seks utfall mulig når du kaster den andre terningen. Hvert av utfallene ved å kaste den første terningen kan kombineres med hvert av utfallene fra den andre. Dermed er det totale antallet mulige elementære testresultater lik antall plasseringer med repetisjoner (valg med plasseringer av 2 elementer fra et sett med volum 6):

La oss finne sannsynligheten for den motsatte hendelsen - summen av poeng er mindre enn 5

Følgende kombinasjoner av tapte poeng vil favorisere arrangementet:

№

1. bein

2. bein

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Den geometriske definisjonen av sannsynlighet presenteres og løsningen på det velkjente møteproblemet er gitt.

I utgangspunktet, som bare en samling av informasjon og empiriske observasjoner om terningspillet, ble sannsynlighetsteorien en grundig vitenskap. De første som ga det et matematisk rammeverk var Fermat og Pascal.

Fra å tenke på det evige til sannsynlighetsteorien

De to personene som sannsynlighetsteorien skylder mange av dens grunnleggende formler, Blaise Pascal og Thomas Bayes, er kjent som dypt religiøse mennesker, sistnevnte er en presbyteriansk minister. Tilsynelatende ga ønsket fra disse to forskerne om å bevise feilslutningen i oppfatningen om en viss Fortune, som gir lykke til favorittene hennes, drivkraft til forskning på dette området. Tross alt, faktisk, noen gambling med sine seire og tap er det bare en symfoni av matematiske prinsipper.

Takket være lidenskapen til gentleman de Mere, som likt som en gambler og en person som ikke var likegyldig til vitenskap, ble Pascal tvunget til å finne en måte å beregne sannsynlighet på. De Mere var interessert i følgende spørsmål: "Hvor mange ganger trenger du å kaste to terninger i par slik at sannsynligheten for å få 12 poeng overstiger 50%?" Det andre spørsmålet, som var av stor interesse for mannen: "Hvordan dele innsatsen mellom deltakerne i det uferdige spillet?" Selvfølgelig svarte Pascal vellykket på begge spørsmålene til de Mere, som ble den uvitende initiativtakeren til utviklingen av sannsynlighetsteori. Det er interessant at personen til de Mere forble kjent i dette området, og ikke i litteraturen.

Tidligere hadde ingen matematiker noen gang forsøkt å beregne sannsynlighetene for hendelser, siden man trodde at dette bare var en gjetteløsning. Blaise Pascal ga den første definisjonen av sannsynligheten for en hendelse og viste at det er en spesifikk figur som kan rettferdiggjøres matematisk. Sannsynlighetsteori har blitt grunnlaget for statistikk og er mye brukt i moderne vitenskap.

Hva er tilfeldighet

Hvis vi vurderer en test som kan gjentas et uendelig antall ganger, så kan vi definere en tilfeldig hendelse. Dette er et av de sannsynlige resultatene av eksperimentet.

Erfaring er gjennomføring av spesifikke handlinger under konstante forhold.

For å kunne arbeide med resultatene av eksperimentet, er hendelser vanligvis betegnet med bokstavene A, B, C, D, E...

Sannsynlighet for en tilfeldig hendelse

For å begynne den matematiske delen av sannsynlighet, er det nødvendig å definere alle komponentene.

Sannsynligheten for en hendelse uttrykkes i numerisk form et mål på muligheten for at en hendelse (A eller B) inntreffer som et resultat av en opplevelse. Sannsynligheten er betegnet som P(A) eller P(B).

I sannsynlighetsteori skiller de:

• pålitelig hendelsen vil garantert oppstå som et resultat av opplevelsen P(Ω) = 1;
• umulig hendelsen kan aldri skje P(Ø) = 0;
• tilfeldig en hendelse ligger mellom pålitelig og umulig, det vil si at sannsynligheten for at den inntreffer er mulig, men ikke garantert (sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er alltid innenfor området 0≤Р(А)≤ 1).

Forhold mellom hendelser

Både én og summen av hendelser A+B blir vurdert når hendelsen telles når minst en av komponentene, A eller B, eller begge, A og B, er oppfylt.

I forhold til hverandre kan hendelser være:

• Like mulig.
• Kompatibel.
• Uforenlig.
• Motsatt (gjensidig utelukkende).
• Avhengig.

Hvis to hendelser kan skje med lik sannsynlighet, så de like mulig.

Hvis forekomsten av hendelse A ikke reduserer sannsynligheten for forekomsten av hendelse B til null, så kompatibel.

Hvis hendelser A og B aldri skjer samtidig i samme opplevelse, kalles de uforenlig. Myntkast - godt eksempel: utseendet til hoder er automatisk at hoder ikke vises.

Sannsynligheten for summen av slike uforenlige hendelser består av summen av sannsynlighetene for hver hendelse:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Hvis forekomsten av en hendelse gjør forekomsten av en annen umulig, kalles de motsatte. Så er en av dem utpekt som A, og den andre - Ā (leses som "ikke A"). Forekomsten av hendelse A betyr at  ikke skjedde. Disse to hendelsene danner en komplett gruppe med en sum av sannsynligheter lik 1.

Avhengige hendelser har gjensidig påvirkning, redusere eller øke sannsynligheten for hverandre.

Forhold mellom hendelser. Eksempler

Ved å bruke eksempler er det mye lettere å forstå prinsippene for sannsynlighetsteori og kombinasjoner av hendelser.

Eksperimentet som skal gjennomføres består i å ta baller ut av en boks, og resultatet av hvert forsøk er et elementært utfall.

En hendelse er et av de mulige utfallene av et eksperiment - en rød ball, en blå ball, en ball med nummer seks, etc.

Test nr. 1. Det er 6 baller involvert, hvorav tre er blå med oddetall på, og de tre andre er røde med partall.

Test nr. 2. 6 baller involvert blå med tall fra én til seks.

Basert på dette eksemplet kan vi navngi kombinasjoner:

• Pålitelig arrangement. På spansk Nr. 2 hendelsen "få den blå ballen" er pålitelig, siden sannsynligheten for at den inntreffer er lik 1, siden alle ballene er blå og det kan ikke være noen glipp. Mens hendelsen "få ballen med tallet 1" er tilfeldig.
• Umulig hendelse. På spansk Nr. 1 med blå og røde kuler, hendelsen "å få den lilla ballen" er umulig, siden sannsynligheten for at den inntreffer er 0.
• Like mulige hendelser. På spansk nr. 1, hendelsene "få ballen med tallet 2" og "få ballen med tallet 3" er like mulige, og hendelsene "få ballen med et partall" og "få ballen med tallet 2 " har forskjellige sannsynligheter.
• Kompatible hendelser.Å få en sekser to ganger på rad mens du kaster en terning er en kompatibel begivenhet.
• Inkompatible hendelser. På samme spansk nr. 1 kan ikke hendelsene "få en rød ball" og "få en ball med et oddetall" kombineres i samme opplevelse.
• Motsatte hendelser. De fleste lysende eksempel Dette er myntkasting, der tegning av hoder tilsvarer å ikke tegne haler, og summen av sannsynlighetene deres er alltid 1 (full gruppe).
• Avhengige hendelser. Så på spansk nr. 1 kan du sette som mål å trekke den røde ballen to ganger på rad. Hvorvidt det blir hentet første gang eller ikke, påvirker sannsynligheten for å bli hentet andre gang.

Det kan sees at den første hendelsen påvirker sannsynligheten for den andre betydelig (40% og 60%).

Formel for hendelsessannsynlighet

Overgangen fra spådom til presise data skjer gjennom oversettelse av emnet til et matematisk plan. Det vil si at vurderinger om en tilfeldig hendelse som «høy sannsynlighet» eller «minimal sannsynlighet» kan oversettes til spesifikke numeriske data. Det er allerede tillatt å vurdere, sammenligne og legge inn slikt materiale i mer komplekse beregninger.

Fra et beregningssynspunkt er å bestemme sannsynligheten for en hendelse forholdet mellom antall elementære positive utfall og antallet av alle mulige utfall av erfaring angående en spesifikk hendelse. Sannsynlighet er betegnet med P(A), hvor P står for ordet "sannsynlighet", som er oversatt fra fransk med "sannsynlighet".

Så formelen for sannsynligheten for en hendelse er:

Der m er antall gunstige utfall for hendelse A, n er summen av alle mulige utfall for denne opplevelsen. I dette tilfellet ligger sannsynligheten for en hendelse alltid mellom 0 og 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Beregning av sannsynligheten for en hendelse. Eksempel

La oss ta spansk. nr. 1 med kuler, som ble beskrevet tidligere: 3 blå kuler med tallene 1/3/5 og 3 røde kuler med tallene 2/4/6.

Basert på denne testen kan flere ulike problemer vurderes:

• En rød ball faller ut. Det er 3 røde baller, og det er 6 alternativer totalt enkleste eksempelet, der sannsynligheten for hendelsen er lik P(A)=3/6=0,5.
• B - rulle et partall. Det er 3 partall (2,4,6), og det totale antallet mulige numeriske alternativer er 6. Sannsynligheten for denne hendelsen er P(B)=3/6=0,5.
• C - rulle ut et tall større enn 2. Det er 4 slike alternativer (3,4,5,6) av totalt antall mulige utfall 6. Sannsynligheten for hendelse C er lik P(C)=4/6=0,67.

Som det fremgår av beregningene, har hendelse C høyere sannsynlighet, siden antall sannsynlige positive utfall er høyere enn i A og B.

Inkompatible hendelser

Slike hendelser kan ikke dukke opp samtidig i samme opplevelse. Som på spansk nr. 1 er det umulig å få en blå og en rød ball samtidig. Det vil si at du kan få enten en blå eller en rød ball. På samme måte kan ikke et partall og et oddetall vises i en terning samtidig.

Sannsynligheten for to hendelser betraktes som sannsynligheten for summen eller produktet deres. Summen av slike hendelser A+B anses å være en hendelse som består av forekomsten av hendelse A eller B, og produktet av dem AB er forekomsten av begge. For eksempel utseendet til to seksere samtidig på ansiktene til to terninger i ett kast.

Summen av flere hendelser er en hendelse som forutsetter at minst én av dem inntreffer. Produksjonen av flere arrangementer er den felles forekomsten av dem alle.

I sannsynlighetsteori, som regel, betegner bruken av konjunksjonen "og" en sum, og konjunksjonen "eller" - multiplikasjon. Formler med eksempler vil hjelpe deg å forstå logikken til addisjon og multiplikasjon i sannsynlighetsteori.

Sannsynlighet for summen av uforenlige hendelser

Hvis sannsynligheten for uforenlige hendelser vurderes, er sannsynligheten for summen av hendelser lik tillegget av sannsynlighetene deres:

P(A+B)=P(A)+P(B)

For eksempel: la oss beregne sannsynligheten for at på spansk. nr. 1 med blå og røde kuler, vil et tall mellom 1 og 4 dukke opp. Så i et slikt eksperiment er det bare 6 baller eller 6 av alle mulige utfall. Tallene som tilfredsstiller betingelsen er 2 og 3. Sannsynligheten for å få tallet 2 er 1/6, sannsynligheten for å få tallet 3 er også 1/6. Sannsynligheten for å få et tall mellom 1 og 4 er:

Sannsynligheten for summen av uforenlige hendelser i en komplett gruppe er 1.

Så hvis vi i et eksperiment med en terning legger sammen sannsynlighetene for at alle tall vises, vil resultatet være ett.

Dette gjelder også for motsatte hendelser, for eksempel i eksperimentet med en mynt, der den ene siden er hendelsen A, og den andre er den motsatte hendelsen Ā, som kjent,

P(A) + P(Ā) = 1

Sannsynlighet for uforenlige hendelser

Sannsynlighetsmultiplikasjon brukes når man vurderer forekomsten av to eller flere uforenlige hendelser i en observasjon. Sannsynligheten for at hendelser A og B vil vises i den samtidig er lik produktet av deres sannsynligheter, eller:

P(A*B)=P(A)*P(B)

For eksempel sannsynligheten for at på spansk nr. 1, som følge av to forsøk, vil en blå ball vises to ganger, lik

Det vil si at sannsynligheten for at en hendelse inntreffer når, som et resultat av to forsøk på å trekke ut kuler, kun blå kuler trekkes ut er 25 %. Det er veldig enkelt å gjøre praktiske eksperimenter på dette problemet og se om dette faktisk er tilfelle.

Felles arrangementer

Hendelser regnes som felles når forekomsten av en av dem kan falle sammen med forekomsten av en annen. Til tross for at de er felles, vurderes sannsynligheten Ikke avhengige hendelser. For eksempel kan det å kaste to terninger gi et resultat når tallet 6 vises på dem begge. Selv om hendelsene falt sammen og dukket opp samtidig, er de uavhengige av hverandre - bare en sekser kan falle ut, den andre terningen har ingen. innflytelse på det.

Sannsynligheten for felles hendelser betraktes som sannsynligheten for summen deres.

Sannsynlighet for summen av felles hendelser. Eksempel

Sannsynligheten for summen av hendelser A og B, som er felles i forhold til hverandre, er lik summen av sannsynlighetene for hendelsen minus sannsynligheten for at de inntreffer (det vil si deres felles forekomst):

R ledd (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

La oss anta at sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,4. Så treffer hendelse A målet i det første forsøket, B - i det andre. Disse hendelsene er felles, siden det er mulig at du kan treffe målet med både første og andre skudd. Men hendelser er ikke avhengige. Hva er sannsynligheten for at hendelsen treffer målet med to skudd (minst med ett)? I henhold til formelen:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Svaret på spørsmålet er: "Sannsynligheten for å treffe målet med to skudd er 64 %."

Denne formelen for sannsynligheten for en hendelse kan også brukes på inkompatible hendelser, hvor sannsynligheten for felles forekomst av en hendelse P(AB) = 0. Dette betyr at sannsynligheten for summen av uforenlige hendelser kan betraktes som et spesialtilfelle av den foreslåtte formelen.

Sannsynlighetsgeometri for klarhet

Interessant nok kan sannsynligheten for summen av felles hendelser representeres som to områder A og B, som krysser hverandre. Som det kan sees fra bildet, er arealet av deres forening lik det totale arealet minus arealet av deres skjæringspunkt. Denne geometriske forklaringen gjør den tilsynelatende ulogiske formelen mer forståelig. Merk at geometriske løsninger- ikke uvanlig i sannsynlighetsteori.

Å bestemme sannsynligheten for summen av mange (mer enn to) felles hendelser er ganske tungvint. For å beregne det, må du bruke formlene som er gitt for disse tilfellene.

Avhengige hendelser

Hendelser kalles avhengige hvis forekomsten av en (A) av dem påvirker sannsynligheten for at en annen (B) inntreffer. Dessuten er påvirkningen av både forekomsten av hendelse A og dens ikke-forekomst tatt i betraktning. Selv om hendelser per definisjon kalles avhengige, er bare én av dem avhengig (B). Vanlig sannsynlighet ble betegnet som P(B) eller sannsynligheten for uavhengige hendelser. Når det gjelder avhengige hendelser, introduseres et nytt konsept - betinget sannsynlighet P A (B), som er sannsynligheten for en avhengig hendelse B, med forbehold om forekomsten av hendelse A (hypotese), som den avhenger av.

Men hendelse A er også tilfeldig, så den har også en sannsynlighet for at behov og kan tas med i beregningene som utføres. Følgende eksempel vil vise hvordan man arbeider med avhengige hendelser og en hypotese.

Et eksempel på beregning av sannsynligheten for avhengige hendelser

Et godt eksempel for å beregne avhengige hendelser vil være en standard kortstokk.

Ved å bruke en kortstokk med 36 kort som eksempel, la oss se på avhengige hendelser. Vi må bestemme sannsynligheten for at det andre kortet som trekkes fra bunken vil være av ruter hvis det første kortet som trekkes er:

1. Bubnovaya.
2. En annen farge.

Sannsynligheten for den andre hendelsen B avhenger selvsagt av den første A. Så hvis det første alternativet er sant, at det er 1 kort (35) og 1 ruter (8) mindre i kortstokken, er sannsynligheten for hendelse B:

RA (B) = 8/35 = 0,23

Hvis det andre alternativet er sant, har kortstokken nå 35 kort, og fullt antall tamburin (9), deretter sannsynligheten for neste hendelse B:

RA (B) = 9/35 = 0,26.

Det kan ses at hvis hendelse A er betinget av at det første kortet er en ruter, så reduseres sannsynligheten for hendelse B, og omvendt.

Multiplisere avhengige hendelser

Guidet av forrige kapittel aksepterer vi den første hendelsen (A) som et faktum, men i hovedsak har den det tilfeldig natur. Sannsynligheten for denne hendelsen, nemlig å trekke en diamant fra en kortstokk, er lik:

P(A) = 9/36=1/4

Siden teori ikke eksisterer alene, men er ment å tjene inn praktiske formål, så er det rimelig å merke seg at det som oftest trengs er sannsynligheten for å produsere avhengige hendelser.

I følge teoremet om produktet av sannsynligheter for avhengige hendelser, er sannsynligheten for forekomst av felles avhengige hendelser A og B lik sannsynligheten for en hendelse A, multiplisert med den betingede sannsynligheten for hendelse B (avhengig av A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Så, i kortstokkeksemplet, er sannsynligheten for å trekke to kort med ruter:

9/36*8/35=0,0571, eller 5,7 %

Og sannsynligheten for å trekke ut ikke diamanter først, og deretter diamanter, er lik:

27/36*9/35=0,19, eller 19 %

Det kan sees at sannsynligheten for at hendelse B inntreffer er større forutsatt at det første kortet som trekkes er av en annen farge enn ruter. Dette resultatet er ganske logisk og forståelig.

Total sannsynlighet for en hendelse

Når et problem med betingede sannsynligheter blir mangefasettert, kan det ikke beregnes ved bruk av konvensjonelle metoder. Når det er mer enn to hypoteser, nemlig A1, A2,..., A n, .. danner en komplett gruppe hendelser gitt:

• P(A i)>0, i=1,2,...
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Så formelen full sannsynlighet for hendelse B med en komplett gruppe av tilfeldige hendelser A1, A2,..., Og n er lik:

Ser mot fremtiden

Sannsynligheten for en tilfeldig hendelse er ekstremt nødvendig på mange områder av vitenskapen: økonometri, statistikk, fysikk osv. Siden noen prosesser ikke kan beskrives deterministisk, siden de i seg selv er sannsynlige i naturen, kreves det spesielle arbeidsmetoder. Teorien om hendelsessannsynlighet kan brukes innen et hvilket som helst teknologisk felt som en måte å bestemme muligheten for en feil eller funksjonsfeil.

Vi kan si at ved å gjenkjenne sannsynlighet tar vi på en eller annen måte et teoretisk skritt inn i fremtiden, og ser på det gjennom prisme av formler.