Elementer av en sekvens av punkter som monotont øker i verdi. Weierstrass sin teorem om grensen for en monoton sekvens

Weierstrass grensesetning monoton sekvens

Enhver monoton avgrenset sekvens (xn) har endelig grense, lik den eksakte øvre grensen, sup(xn) for en ikke-avtagende og nøyaktig nedre grense, inf(xn) for en ikke-økende sekvens.
Enhver monoton ubegrenset sekvens har en uendelig grense, lik pluss uendelig for en ikke-minkende sekvens og minus uendelig for en ikke-økende sekvens.

Bevis

1) ikke-minkende avgrenset sekvens.

(1.1) .

Siden sekvensen er avgrenset, har den en stram øvre grense
.
Dette betyr at:

• for alle n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Her brukte vi også (1.3). Ved å kombinere med (1.2), finner vi:
kl.
Siden da
,
eller
kl.
Den første delen av teoremet er bevist.

2) La nå rekkefølgen være ikke-økende avgrenset sekvens:
(2.1) for alle n.

Siden sekvensen er avgrenset, har den en tett nedre grense
.
Dette betyr følgende:

• for alle n gjelder følgende ulikheter:
  (2.2) ;
• for hvem som helst positivt tall, er det et tall, avhengig av ε, for hvilket
  (2.3) .

.
Her brukte vi også (2.3). Med hensyn til (2.2), finner vi:
kl.
Siden da
,
eller
kl.
Dette betyr at tallet er grensen for sekvensen.
Den andre delen av teoremet er bevist.

Vurder nå ubegrensede sekvenser.
3) La sekvensen være ubegrenset ikke-minkende sekvens.

Siden sekvensen ikke er avtagende, gjelder følgende ulikheter for alle n:
(3.1) .

Siden sekvensen er ikke-avtagende og ubegrenset, er den ubegrenset på høyre side. Så for et hvilket som helst tall M er det et tall, avhengig av M, for hvilket
(3.2) .

Siden sekvensen ikke er avtagende, så når vi har:
.
Her brukte vi også (3.2).

.
Dette betyr at grensen for sekvensen er pluss uendelig:
.
Den tredje delen av teoremet er bevist.

4) Til slutt vurdere saken når ubegrenset ikke-økende sekvens.

I likhet med den forrige, siden sekvensen er ikke-økende, altså
(4.1) for alle n.

Siden sekvensen er ikke-økende og ubegrenset, er den ubegrenset på venstre side. Så for et hvilket som helst tall M er det et tall, avhengig av M, for hvilket
(4.2) .

Siden sekvensen ikke øker, så når vi har:
.

Så for et hvilket som helst tall M er det et naturlig tall avhengig av M, slik at for alle tall gjelder følgende ulikheter:
.
Dette betyr at grensen for sekvensen er minus uendelig:
.
Teoremet er bevist.

Eksempel på problemløsning

Bruk Weierstrass sin teorem, bevis sekvenskonvergens:
, , . . . , , . . .
Finn deretter grensen.

La oss representere sekvensen i form av tilbakevendende formler:
,
.

La oss bevise det gitt sekvens begrenset ovenfor av verdien
(P1) .
Vi utfører beviset ved hjelp av metoden matematisk induksjon.
.
La .
.
Da

Ulikhet (A1) er bevist.
;
La oss bevise at sekvensen øker monotont. .
(P2)
.
Siden , da er nevneren til brøken og den første faktoren i telleren positive. På grunn av begrensning av vilkårene i sekvensen av ulikhet (A1), er den andre faktoren også positiv. Det er derfor

Det vil si at sekvensen er strengt økende.

Siden sekvensen øker og avgrenses over, er det en avgrenset sekvens. Derfor har den, ifølge Weierstrass sin teorem, en grense.
.
La oss finne denne grensen. La oss betegne det med en:
.
La oss bruke det faktum at
.
La oss bruke dette på (A2), ved å bruke de aritmetiske egenskapene til grenser for konvergerende sekvenser:

Tilstanden er tilfredsstilt ved roten. Definisjon 1. Sekvensen kalles (avtagende ikke økende
), hvis for alle
.

Tilstanden er tilfredsstilt ved roten. ulikhet holder
2. Konsistens ringte (økende ikke økende
), hvis for alle
.

Tilstanden er tilfredsstilt ved roten. ikke synkende 3. Avtagende, ikke-økende, økende og ikke-minkende sekvenser kalles monotont sekvenser, avtagende og økende sekvenser kalles også strengt tatt monotont

sekvenser.

Åpenbart er en ikke-minkende sekvens avgrenset nedenfra, og en ikke-økende sekvens er avgrenset ovenfra. Derfor er enhver monoton sekvens åpenbart begrenset på den ene siden. Eksempel
1. Konsistens
øker, minker ikke,
avtar
øker ikke

– ikke-monotonisk sekvens.

For monotone sekvenser spiller følgende en viktig rolle: Teorem

1. Hvis en ikke-minskende (ikke-økende) sekvens er avgrenset over (under), så konvergerer den. Bevis
. La sekvensen
avtar ikke og er avgrenset ovenfra, dvs.
og mange
. La oss bevise det
.

La oss ta
vilkårlig. Fordi EN– eksakt øvre grense, det er et tall N slik at
. Siden sekvensen ikke er avtagende, da for alle
vi har, dvs.
, Det er derfor
for alle
, og dette betyr det
.

For en ikke-økende sekvens avgrenset nedenfor, ligner beviset på ( studenter kan bevise denne påstanden hjemme på egen hånd). Teoremet er bevist.

Kommentar. Teorem 1 kan formuleres annerledes.

For monotone sekvenser spiller følgende en viktig rolle: 2. For at en monoton sekvens skal konvergere, er det nødvendig og tilstrekkelig at den avgrenses.

Tilstrekkelighet fastslås i setning 1, nødvendighet – i setning 2 i § 5.

Monotonisitetsbetingelsen er ikke nødvendig for konvergens av en sekvens, siden en konvergent sekvens ikke nødvendigvis er monoton. For eksempel sekvensen
ikke monotont, men konvergerer til null.

Konsekvens. Hvis sekvensen
øker (minker) og begrenses ovenfra (nedenfra), da
(
).

Faktisk ved teorem 1
(
).

Tilstanden er tilfredsstilt ved roten. 4. Hvis
på
, så kalles sekvensen kontraherende system av nestede segmenter .

For monotone sekvenser spiller følgende en viktig rolle: 3 (prinsippet om nestede segmenter). Hvert kontraherende system av nestede segmenter har, og dessuten, et unikt poeng Med, som tilhører alle segmenter av dette systemet.

1. Hvis en ikke-minskende (ikke-økende) sekvens er avgrenset over (under), så konvergerer den.. La oss bevise at poenget Med finnes. Fordi
, Det
og derfor rekkefølgen
reduseres ikke, men rekkefølgen
øker ikke. Samtidig
Og
begrenset pga. Så, ved teorem 1, eksisterer det
Og
, men siden
, Det
=
. Fant poeng Med tilhører alle segmenter av systemet, siden av konsekvensen av teorem 1
,
, dvs.
for alle verdier n.

La oss nå vise det poenget Med- den eneste. La oss anta at det er to slike punkter: Med Og d og la for sikkerhet
. Deretter segmentet
tilhører alle segmenter
, dvs.
for alle n, som er umulig, siden
og derfor, med utgangspunkt i et visst antall,
. Teoremet er bevist.

Merk at det vesentlige her er at lukkede intervaller vurderes, dvs. segmenter. Hvis vi vurderer et system med kontraherende intervaller, så er prinsippet generelt sett feil. For eksempel intervaller
, åpenbart kontrakt til et punkt
, men poeng
tilhører ikke noe intervall i dette systemet.

La oss nå vurdere eksempler på konvergerende monotone sekvenser.

1) Antall e.

La oss nå vurdere sekvensen
. Hvordan oppfører hun seg? Base

grader
, Det er derfor
? På den andre siden,
, A
, Det er derfor
? Eller er det ingen grense?

For å svare på disse spørsmålene, vurder hjelpesekvensen
. La oss bevise at den avtar og er avgrenset nedenfor. Samtidig vil vi trenge

Lemma. Hvis
, da for alle naturverdier n vi har

(Bernoullis ulikhet).

1. Hvis en ikke-minskende (ikke-økende) sekvens er avgrenset over (under), så konvergerer den.. La oss bruke metoden for matematisk induksjon.

Hvis
, Det
, dvs. ulikheten er sann.

La oss anta at det er sant for
og bevise dens gyldighet for
+1.

Høyre
. La oss multiplisere denne ulikheten med
:

Dermed,. Dette betyr, i henhold til prinsippet om matematisk induksjon, er Bernoullis ulikhet sann for alle naturverdier n. Lemmaet er bevist.

La oss vise at sekvensen
avtar. Vi har

‌‌‌׀Bernoullis ulikhet׀
, og dette betyr at sekvensen
avtar.

Avgrensethet nedenfra følger av ulikheten
‌‌‌׀Bernoullis ulikhet׀
for alle naturverdier n.

Ved setning 1 er det
, som er betegnet med bokstaven e. Det er derfor
.

Tall e irrasjonelle og transcendentale, e= 2,718281828… . Det er, som kjent, grunnlaget for naturlige logaritmer.

Notater. 1) Bernoullis ulikhet kan brukes til å bevise det
på
. Faktisk, hvis
, Det
. Deretter, ifølge Bernoullis ulikhet, med
. Derfor, kl
vi har
, altså
på
.

2) I eksemplet diskutert ovenfor, grunnlaget for graden har en tendens til 1, og eksponenten n- Til , det vil si at det er usikkerhet i formen . Usikkerhet av denne typen, som vi har vist, avsløres av den bemerkelsesverdige grensen
.

2)
(*)

La oss bevise at denne sekvensen konvergerer. For å gjøre dette viser vi at den er avgrenset nedenfra og ikke øker. I dette tilfellet bruker vi ulikheten
for alle
, som er en konsekvens av ulikheten
.

Vi har
 se ulikheten er høyere
, dvs. sekvensen er avgrenset under av tallet
.

Neste,
 siden

, dvs. sekvensen øker ikke.

Ved setning 1 er det
, som vi betegner X. Passering i likhet (*) til grensen kl
, får vi

, dvs.
, hvor
(vi tar plusstegnet, siden alle ledd i sekvensen er positive).

Sekvensen (*) brukes i beregningen
omtrent. Til ta et hvilket som helst positivt tall. For eksempel, la oss finne
. La
. Da
,. Slik,
.

3)
.

Vi har
. Fordi
på
, det er et tall N, slik at for alle
), hvis for alle
. Så sekvensen
, med utgangspunkt i et tall N, avtar og er avgrenset nedenfor, siden
for alle verdier n. Dette betyr at ved teorem 1 er det
. Fordi
, vi har
.

Så,
.

4)
, rett – n røtter.

Ved å bruke metoden for matematisk induksjon vil vi vise det
for alle verdier n. Vi har
. La
. Herfra får vi en uttalelse basert på prinsippet om matematisk induksjon. Ved å bruke dette faktum finner vi, dvs. etterfølge
øker og avgrenses ovenfra. Derfor eksisterer den fordi
.

Slik,
.

Monotonien i sekvensen

Monotonisk sekvens- sekvens som tilfredsstiller en av følgende forhold:

Blant de monotone sekvensene skiller følgende seg ut: strengt tatt monotont sekvenser som tilfredsstiller en av følgende betingelser:

Noen ganger brukes en variant av terminologi der begrepet "økende sekvens" betraktes som et synonym for begrepet "ikke-avtagende sekvens", og begrepet "avtagende sekvens" betraktes som et synonym for begrepet "ikke-økende sekvens". ". I et slikt tilfelle kalles de økende og avtagende sekvensene fra definisjonen ovenfor henholdsvis "strengt økende" og "strengt avtagende".

Noen generaliseringer

Det kan vise seg at vilkårene ovenfor ikke er oppfylt for alle tall, men kun for tall fra et bestemt område

(her er det lov å snu høyre kant N+ til det uendelige). I dette tilfellet kalles sekvensen monotont på intervallet jeg , og selve området jeg ringte et intervall av monotoni sekvenser.

Eksempler

Se også

Wikimedia Foundation.

2010.

Se hva "Monotonicity of a sequence" er i andre ordbøker: En gren av matematikken som studerer egenskapene til ulike funksjoner. Funksjonsteorien faller inn i to områder: teorien om funksjoner til en reell variabel og teorien om funksjoner til en kompleks variabel, forskjellen mellom disse er så stor at... ...

Colliers leksikon

Testing av pseudo-tilfeldige sekvenser er et sett med metoder for å bestemme graden av nærhet av en gitt pseudo-tilfeldig sekvens til en tilfeldig. Et slikt mål er vanligvis tilstedeværelsen av en enhetlig fordeling, stor... ... Wikipedia Dette begrepet har andre betydninger, se Mål. Målet til et sett er en ikke-negativ størrelse, intuitivt tolket som størrelsen (volum) av settet. Egentlig er dette et mål numerisk funksjon

, setter hver i korrespondanse... ... Wikipedia Kjent forfatter. Slekt. i Orel i 1871; faren hans var landmåler. Han studerte ved Oryol gymnasium og ved universitetene i St. Petersburg og Moskva, iht. Det juridiske fakultet . Eleven var i stor nød. Det var da han skrev sin første historie "om ... ...

Stort biografisk leksikon Numeriske metoder for å løse metoder som erstatter løsningen av et grenseverdiproblem med en løsning diskret problem (se problem med lineær grenseverdi; numeriske løsningsmetoder og ikke-lineære ligninger; numeriske løsningsmetoder). I mange tilfeller, spesielt når man vurderer... ...

Matematisk leksikon Voynich-manuskriptet ble skrevet ved hjelp av ukjent system

Skrevet med et ukjent skriftsystem Voynich-manuskriptet er en mystisk bok skrevet for rundt 500 år siden av en ukjent forfatter, på et ukjent språk, ved å bruke et ukjent alfabet. Voynich-manuskript... ...Wikipedia

Sigismondo d'India (italiensk: Sigismondo d India, ca. 1582, Palermo? til 19. april 1629, Modena) italiensk komponist. Innhold 1 Biografi 2 Kreativitet ... Wikipedia

Modernisering- (Modernisering) Modernisering er prosessen med å endre noe i samsvar med modernitetens krav, overgangen til mer avanserte forhold, gjennom innføring av ulike nye oppdateringer Teori om modernisering, typer modernisering, organisk... ... Investor Encyclopedia

En av de viktigste matematiske begreper, hvis betydning har vært gjenstand for en rekke generaliseringer med utviklingen av matematikken. I. Selv i Euklids "Elementer" (3. århundre f.Kr.) ble egenskapene til V., nå kalt, tydelig formulert for å skille dem fra ... ... Stor sovjetisk leksikon

Hvis alle naturlig tall n er tilordnet noen reelt tall x n , så sier de at det er gitt nummerrekkefølge

x 1 , x 2 , … x n , …

Tall x 1 kalles et medlem av sekvensen med nummer 1 eller første ledd i sekvensen, nummer x 2 - medlem av sekvensen med nummer 2 eller det andre medlemmet av sekvensen osv. Tallet x n kalles medlem av sekvensen med nummer n.

Det er to måter å spesifisere tallsekvenser - med og med tilbakevendende formel.

Sekvens ved hjelp av formler for den generelle termen i en sekvens– Dette er en sekvensoppgave

x 1 , x 2 , … x n , …

ved å bruke en formel som uttrykker avhengigheten av begrepet x n av tallet n.

Eksempel 1. Nummerrekkefølge

1, 4, 9, … n 2 , …

gitt ved bruk av fellesbegrepsformelen

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, …

Å spesifisere en sekvens ved hjelp av en formel som uttrykker et sekvensmedlem x n gjennom sekvensmedlemmene med foregående tall kalles å spesifisere en sekvens ved å bruke tilbakevendende formel.

x 1 , x 2 , … x n , …

ringte i økende rekkefølge, flere tidligere medlem.

Med andre ord for alle n

x n + 1 >x n

Eksempel 3. Sekvens av naturlige tall

1, 2, 3, … n, …

er stigende sekvens.

Definisjon 2. Tallrekkefølge

x 1 , x 2 , … x n , …

ringte synkende sekvens hvis hvert medlem av denne sekvensen mindre tidligere medlem.

Med andre ord for alle n= 1, 2, 3, … ulikheten er oppfylt

x n + 1 < x n

Eksempel 4. Etterfølge

gitt av formelen

er synkende sekvens.

Eksempel 5. Nummerrekkefølge

1, - 1, 1, - 1, …

gitt av formelen

x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, …

er ikke verken økende eller avtagende sekvens.

Definisjon 3. Økende og minkende tallsekvenser kalles monotone sekvenser.

Avgrensede og ubegrensede sekvenser

Definisjon 4. Tallrekkefølge

x 1 , x 2 , … x n , …

ringte begrenset ovenfra, hvis det er et tall M slik at hvert medlem av denne sekvensen mindre tall M.

Med andre ord for alle n= 1, 2, 3, … ulikheten er oppfylt

Definisjon 5. Tallrekkefølge

x 1 , x 2 , … x n , …

ringte avgrenset nedenfor, hvis det er et tall m slik at hvert medlem av denne sekvensen flere tall m.

Med andre ord for alle n= 1, 2, 3, … ulikheten er oppfylt

Definisjon 6. Tallrekkefølge

x 1 , x 2 , … x n , …

kalles begrenset hvis det begrenset både over og under.

Med andre ord, det er tall M og m slik at for alle n= 1, 2, 3, … ulikheten er oppfylt

m< x n < M

Definisjon 7. Numeriske sekvenser som er ikke begrenset, kalt ubegrensede sekvenser.

Eksempel 6. Nummerrekkefølge

1, 4, 9, … n 2 , …

gitt av formelen

x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … ,

avgrenset nedenfor, for eksempel tallet 0. Men denne sekvensen ubegrenset ovenfra.

Eksempel 7. Etterfølge

gitt av formelen

er begrenset rekkefølge, fordi for alle n= 1, 2, 3, … ulikheten er oppfylt

På nettsiden vår kan du også gjøre deg kjent med undervisningsmateriell utviklet av lærere ved Resolventa opplæringssenter for å forberede deg til Unified State Exam og Unified State Exam i matematikk.

For skoleelever som ønsker å forberede seg godt og bestå Unified State Examination i matematikk eller russisk språk på høy poengsum, treningssenter«Resolventa» dirigerer

Noen ganger kalles slike sekvenser strengt økende og, og begrepet "V. p." gjelder sekvenser som tilfredsstiller alle betingelser. Slike sekvenser kalles. også ikke-minkende. Hver ikke-minkende sekvens avgrenset over har en endelig grense, og hver sekvens som ikke er avgrenset over har en uendelig grense lik +uendelig. L. D. Kudryavtsev.

Matematisk leksikon. - M.: Sovjetisk leksikon.

I. M. Vinogradov.

1977-1985. Se hva "INCURING SEQUENCE" er i andre ordbøker: økende sekvens- - [L.G. Sumenko. Engelsk-russisk ordbok om informasjonsteknologi. M.: Statsforetak TsNIIS, 2003.] Emner informasjonsteknologi

generelt EN stigende sekvens...

En monoton funksjon er en funksjon hvis inkrement ikke endrer fortegn, det vil si at den enten alltid er ikke-negativ eller alltid ikke-positiv. Hvis inkrementet i tillegg ikke er null, sies funksjonen å være strengt monotonisk. Innhold 1 Definisjoner 2 ... ... Wikipedia

Rekkefølge En tallsekvens er en sekvens av elementer i tallrom. Numeriske tall... Wikipedia

Dette er en sekvens hvis elementer ikke reduseres når antallet øker, eller omvendt ikke øker. Slike sekvenser støter man ofte på i forskning og har en rekke særegne trekk og tilleggsegenskaper.... ... Wikipedia

En monoton sekvens er en sekvens som tilfredsstiller en av følgende betingelser: for et hvilket som helst tall gjelder ulikheten (ikke-avtagende sekvens), for et hvilket som helst tall gjelder ulikheten (ikke-økende... ... Wikipedia

En gren av tallteori der tallsett som har visse aritmetiske egenskaper studeres og karakteriseres metrisk (det vil si på grunnlag av målteori). eiendommer. M. t.h. er nært knyttet til sannsynlighetsteori, som noen ganger gjør det mulig... ... (se problem med lineær grenseverdi; numeriske løsningsmetoder og ikke-lineære ligninger; numeriske løsningsmetoder). I mange tilfeller, spesielt når man vurderer... ...

Angir at enhver avgrenset økende sekvens har en grense, og denne grensen er lik dens eksakte øverste kant. Til tross for enkelheten i beviset, viser denne teoremet seg å være veldig praktisk for å finne grensene for mange... ... Wikipedia

Et teorem som gir et estimat for tettheten av summen av to sekvenser. La A=(0, a 1, a.2,..., a i, ...) være en økende sekvens av heltall og tettheten til sekvensen er Anaz. mengde er den aritmetiske summen av to... ... (se problem med lineær grenseverdi; numeriske løsningsmetoder og ikke-lineære ligninger; numeriske løsningsmetoder). I mange tilfeller, spesielt når man vurderer... ...

Rommet konjugerer til rommet med grunnleggende (bra nok) funksjoner. Viktig rolle Frechet-mellomrom (av type FS) og sterkt konjugerte mellomrom (av type DFS) spiller her. Et rom av typen FS er den prosjektive grensen for en kompakt... ... (se problem med lineær grenseverdi; numeriske løsningsmetoder og ikke-lineære ligninger; numeriske løsningsmetoder). I mange tilfeller, spesielt når man vurderer... ...