Empiriske formler for å beregne arealene til enkle figurer. Hvordan finne området til geometriske former

Alle formler for arealet av flyfigurer

Arealet av en likebenet trapes

1. Formel for arealet av en likebenet trapes ved hjelp av sider og vinkler

a - nedre base

b - øvre base

c - like sider

α - vinkel ved den nedre basen

Formel for arealet av en likebenet trapes gjennom sidene, (S):

Formel for arealet til en likebenet trapes ved bruk av sider og vinkler, (S):

2. Formel for arealet av en likebenet trapes i form av radiusen til den innskrevne sirkelen

R - radius av den innskrevne sirkelen

D - diameteren til den innskrevne sirkelen

O - sentrum av innskrevet sirkel

H- trapeshøyde

α, β - trapesvinkler

Formel for arealet til en likebenet trapes i form av radiusen til den innskrevne sirkelen, (S):

FAIR, for en innskrevet sirkel i en likebenet trapes:

3. Formel for arealet av en likebenet trapes gjennom diagonalene og vinkelen mellom dem

d- diagonal av trapes

α,β- vinkler mellom diagonaler

Formel for arealet til en likebenet trapes gjennom diagonalene og vinkelen mellom dem, (S):

4. Formel for arealet av en likebenet trapes gjennom midtlinje, side og hjørne ved basen

c-siden

m - midtlinje av trapes

α, β - vinkler ved basen

Formel for arealet av en likebenet trapes ved hjelp av midtlinjen, sidesiden og grunnvinkelen,

(S):

5. Formel for arealet av en likebenet trapes ved hjelp av baser og høyde

a - nedre base

b - øvre base

h - høyden på trapesen

Formel for arealet til en likebenet trapes ved bruk av baser og høyde, (S):

Arealet av en trekant basert på en side og to vinkler, formel.

a, b, c - sider av trekanten

α, β, γ - motsatte vinkler

Arealet av en trekant gjennom en side og to vinkler (S):

Formel for arealet til en vanlig polygon

a - side av polygonet

n - antall sider

Arealet av en vanlig polygon, (S):

Formel (Heron) for arealet av en trekant gjennom halvperimeteren (S):

Arealet av en likesidet trekant er:

Formler for å beregne arealet av en likesidet trekant.

a - side av trekanten

h – høyde

Hvordan beregne arealet til en likebenet trekant?

b - base av trekanten

a - like sider

h – høyde

3. Formel for arealet til en trapes med fire sider

a - nedre base

b - øvre base

c, d - sider

Radius av den omskrevne sirkelen til en trapes langs sidene og diagonalene

a - laterale sider av trapes

c - nedre base

b - øvre base

d - diagonal

h - høyde

Trapesformel circumradius, (R)

finn omkretsen til en likebenet trekant ved hjelp av sidene

Når du kjenner sidene til en likebenet trekant, kan du bruke formelen til å finne radiusen til den omskrevne sirkelen rundt denne trekanten.

a, b - sider av trekanten

Circumradius av en likebenet trekant (R):

Radius av den innskrevne sirkelen i en sekskant

a - side av sekskanten

Radius av den innskrevne sirkelen i en sekskant, (r):

Radius av den innskrevne sirkelen i en rombe

r - radius av den innskrevne sirkelen

a - side av romben

D, d - diagonaler

h - høyde på rhombus

Radius av den innskrevne sirkelen i en likesidet trapes

c - nedre base

b - øvre base

a - sider

h - høyde

Radius av den innskrevne sirkelen i en rettvinklet trekant

a, b - trekantens ben

c - hypotenuse

Radius av den innskrevne sirkelen i en likebenet trekant

a, b - sider av trekanten

Bevis at arealet til en innskrevet firkant er

\/(р - а)(р - b) (р - с) (р - d),

hvor p er halvperimeteren og a, b, c og d er sidene av firkanten.

Bevis at arealet til en firkant innskrevet i en sirkel er lik

1/2 (ab + cb) · sin α, der a, b, c og d er sidene til firkanten og α er vinkelen mellom sidene a og b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Les mer på FB.ru:

Arealet til en vilkårlig firkant (fig. 1.13) kan uttrykkes gjennom sidene a, b, c og summen av et par motsatte vinkler:

hvor p er halvperimeteren til firkanten.

Arealet av en firkant innskrevet i en sirkel () (fig. 1.14, a) beregnes ved å bruke Brahmaguptas formel

og beskrevet (Fig. 1.14, b) () - i henhold til formelen

Hvis firkanten er innskrevet og beskrevet samtidig (fig. 1.14, c), blir formelen veldig enkel:

Picks formel

For å anslå arealet til en polygon på rutete papir, er det nok å telle hvor mange celler denne polygonen dekker (vi tar arealet til en celle som en). Mer presist, hvis S er arealet av polygonet, er antallet celler som ligger helt inne i polygonet, og er antallet celler som har minst ett felles punkt med det indre av polygonet.

Nedenfor vil vi kun vurdere de polygonene hvis toppunkter ligger i nodene til det rutete papiret - de der rutenettlinjene krysser hverandre. Det viser seg at for slike polygoner kan man spesifisere følgende formel:

hvor er arealet, r er antall noder som ligger strengt inne i polygonet.

Denne formelen kalles "Pick-formelen" - etter matematikeren som oppdaget den i 1899.

For å løse geometriproblemer, må du kjenne formler - for eksempel arealet av en trekant eller arealet av et parallellogram - samt enkle teknikker, som vi skal snakke om.

La oss først lære formlene for figurenes områder. Vi har spesielt samlet dem i et praktisk bord. Skriv ut, lær og bruk!

Selvfølgelig er ikke alle geometriformler i tabellen vår. For eksempel å løse problemer innen geometri og stereometri i andre del profil Unified State Examination I matematikk brukes også andre formler for arealet av en trekant. Vi vil definitivt fortelle deg om dem.

Hva du skal gjøre hvis du ikke trenger å finne arealet til en trapes eller trekant, men arealet til noen kompleks figur? Spise universelle metoder! Vi vil vise dem ved hjelp av eksempler fra FIPI-oppgavebanken.

1. Hvordan finne arealet til en ikke-standard figur? For eksempel en vilkårlig firkant? En enkel teknikk - la oss dele denne figuren inn i de vi vet alt om, og finne arealet - som summen av arealene til disse figurene.

Del denne firkanten med en horisontal linje i to trekanter med felles grunn, lik . Høydene til disse trekantene er lik og . Da er arealet av firkanten lik summen av arealene til de to trekantene: .

Svar: .

2. I noen tilfeller kan arealet til en figur representeres som forskjellen til noen områder.

Det er ikke så lett å regne ut hva basen og høyden til denne trekanten er lik! Men vi kan si at arealet er lik forskjellen mellom arealene til et kvadrat med en side og tre rette trekanter. Ser du dem på bildet? Vi får:.

Svar: .

3. Noen ganger i en oppgave må du finne arealet av ikke hele figuren, men en del av den. Vanligvis snakker vi om arealet av en sektor - en del av en sirkel Finn arealet av en sektor av en sirkel med radius hvis buelengde er lik .

På dette bildet ser vi en del av en sirkel. Arealet av hele sirkelen er lik . Det gjenstår å finne ut hvilken del av sirkelen som er avbildet. Siden lengden på hele sirkelen er lik (siden), og lengden på buen til en gitt sektor er lik, er derfor lengden på buen en faktor som er mindre enn lengden på hele sirkelen. Vinkelen som denne buen hviler i er også en faktor på mindre enn en full sirkel (det vil si grader). Dette betyr at arealet av sektoren vil være flere ganger mindre enn arealet av hele sirkelen.

Hva er areal?

Arealet er en karakteristikk av en lukket geometrisk figur (sirkel, firkant, trekant, etc.), som viser størrelsen. Arealet måles i kvadratcentimeter, meter osv. Angitt med bokstaven S(kvadrat).

Hvordan finne arealet av en trekant?

S= en h

Hvor en– baselengde, h– høyden på trekanten trukket til basen.

Dessuten trenger ikke basen å være i bunnen. Det gjør det også.

Hvis en trekant stump, så senkes høyden til fortsettelsen av basen:

Hvis en trekant rektangulær, så er basen og høyden dens ben:

2. En annen formel, som ikke er mindre nyttig, men som av en eller annen grunn alltid blir glemt:

S= a b sinα

Hvor en Og b- to sider av trekanten, sinα er sinusen til vinkelen mellom disse sidene.

Hovedbetingelsen er at vinkelen tas mellom to kjente sider.

3. Formel for areal på tre sider (Herons formel):

S=

Hvor en, b Og Med er sidene av trekanten, og r – semi-perimeter s = (a+b+c)/2.

4. Formel for arealet av en trekant i form av radiusen til den omskrevne sirkelen:

S=

Hvor en, b Og Med er sidene av trekanten, og R – radius av den omskrevne sirkelen.

5. Formel for arealet av en trekant i form av radiusen til den innskrevne sirkelen:

S= p · r

Hvor r – semiperimeter av en trekant, og r – radius av den innskrevne sirkelen.

Hvordan finne arealet til et rektangel?

1. Arealet til et rektangel er ganske enkelt funnet:

S=en b

Ingen triks.

Hvordan finne arealet til en firkant?

1. Siden et kvadrat er et rektangel med alle sider like, gjelder den samme formelen for det:

S=en · a = a 2

2. Arealet til en firkant kan også bli funnet gjennom diagonalen:

S= d 2

Hvordan finne arealet til et parallellogram?

1. Arealet til et parallellogram er funnet av formelen:

S=en h

Dette skyldes det faktum at hvis du kutter den av rettvinklet trekant til høyre og plasser den til venstre, får du et rektangel:

2. Arealet til et parallellogram kan også finnes gjennom vinkelen mellom to sider:

S=en · b · sinα

Hvordan finne området til en rombe?

En rombe er i hovedsak et parallellogram med alle sider like. Derfor gjelder de samme arealformlene for den.

1. Areal av en rombe gjennom høyde:

S=en h