Hvis rekkene til matrisene er like da. Matriserangering og matrisegrunnlag minor

Definisjon. Matriserangering er det maksimale antallet lineært uavhengige rader som anses som vektorer.

Teorem 1 om rangeringen av matrisen. Matriserangering kalles den maksimale rekkefølgen av en moll som ikke er null i en matrise.

Vi har allerede diskutert begrepet en minor i leksjonen om determinanter, og nå skal vi generalisere det. La oss ta et visst antall rader og et visst antall kolonner i matrisen, og dette "hvor mange" skal være mindre antall rader og kolonner i matrisen, og for rader og kolonner må dette "hvor mye" være det samme tallet. Så i skjæringspunktet mellom hvor mange rader og hvor mange kolonner vil det være en matrise av lavere orden enn vår opprinnelige matrise. Determinanten er en matrise og vil være en moll av kth orden hvis nevnte "noen" (antall rader og kolonner) er merket med k.

Definisjon. Mindre ( r+1) orden, innenfor hvilken den valgte mindreårige ligger r-te orden kalles grense for et gitt biår.

De to mest brukte metodene er finne rangeringen av matrisen. Dette måte å grense mindreårige på Og metode for elementære transformasjoner(Gauss-metoden).

Ved bruk av grensende mollmetoden brukes følgende teorem.

Teorem 2 om rangeringen av matrisen. Hvis en moll kan komponeres fra matriseelementer r orden, ikke lik null, så er rangeringen av matrisen lik r.

Når du bruker den elementære transformasjonsmetoden, brukes følgende egenskap:

Hvis det gjennom elementære transformasjoner oppnås en trapesformet matrise som tilsvarer den opprinnelige, så rangering av denne matrisen er antall linjer i den bortsett fra linjer som utelukkende består av nuller.

Finne rangeringen til en matrise ved å bruke metoden for å grense til mindreårige

En omsluttende moll er en moll av høyere orden i forhold til den gitte hvis denne moll av høyere orden inneholder den gitte moll.

For eksempel gitt matrisen

La oss ta en mindreårig

De grensende mindreårige vil være:

Algoritme for å finne rangeringen til en matrise neste.

1. Finn mindreårige av andre orden som ikke er lik null. Hvis alle andre-ordens mindreårige er lik null, vil rangeringen av matrisen være lik en (r =1 ).

2. Hvis det er minst en moll av andre orden som ikke er lik null, så komponerer vi grensende moll av tredje orden. Hvis alle grensende mindreårige av tredje orden er lik null, er rangeringen av matrisen lik to ( r =2 ).

3. Hvis minst en av de grensende mindreårige av tredje orden ikke er lik null, så komponerer vi de grensende mindreårige. Hvis alle de grensende mindreårige av den fjerde orden er lik null, er rangeringen av matrisen lik tre ( r =2 ).

4. Fortsett på denne måten så lenge matrisestørrelsen tillater det.

Eksempel 1. Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Mindre av andre orden .

La oss avgrense det. Det vil være fire grensende mindreårige:

Dermed er alle grensende mindreårige av tredje orden lik null, derfor er rangeringen til denne matrisen lik to ( r =2 ).

Eksempel 2. Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Rangeringen av denne matrisen er lik 1, siden alle andreordens mindreårige i denne matrisen er lik null (i dette, som i tilfellene med grensende mindreårige i de to følgende eksemplene, inviteres kjære studenter til å bekrefte for seg selv, kanskje ved å bruke reglene for beregning av determinanter), og blant førsteordens mindreårige, det vil si blant elementene i matrisen, er det ikke-null.

Eksempel 3. Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Andre ordens moll av denne matrisen er, og alle tredje ordens moll av denne matrisen er lik null. Derfor er rangeringen av denne matrisen to.

Eksempel 4. Finn rangeringen til en matrise

Løsning. Rangeringen til denne matrisen er 3, siden den eneste tredjeordens mindreårige i denne matrisen er 3.

Finne rangeringen til en matrise ved å bruke metoden for elementære transformasjoner (Gauss-metoden)

Allerede i eksempel 1 er det klart at oppgaven med å bestemme rangeringen til en matrise ved å bruke metoden for å grense til mindreårige krever beregning stort antall determinanter. Det er imidlertid en måte å redusere mengden beregning til et minimum. Denne metoden er basert på bruk av elementære matrisetransformasjoner og kalles også Gauss-metoden.

Følgende operasjoner forstås som elementære matrisetransformasjoner:

1) multiplisere en hvilken som helst rad eller kolonne i en matrise med et annet tall enn null;

2) å legge til elementene i en hvilken som helst rad eller kolonne i matrisen de tilsvarende elementene i en annen rad eller kolonne, multiplisert med samme tall;

3) bytte to rader eller kolonner i matrisen;

4) fjerning av "null" rader, det vil si de hvis elementer alle er lik null;

5) sletting av alle proporsjonale linjer unntatt én.

Teorem. Under en elementær transformasjon endres ikke rangeringen av matrisen. Med andre ord, hvis vi bruker elementære transformasjoner fra matrisen EN gikk til matrisen B, Det.

Rangeringen av matrisen er viktig numerisk karakteristikk. Det mest typiske problemet som krever å finne rangeringen til en matrise er å sjekke kompatibiliteten til et lineært system algebraiske ligninger. I denne artikkelen vil vi gi konseptet matriserangering og vurdere metoder for å finne den. For bedre å forstå materialet, vil vi analysere i detalj løsningene på flere eksempler.

Sidenavigering.

Bestemmelse av rangeringen til en matrise og nødvendige tilleggsbegreper.

Før du gir uttrykk for definisjonen av rangeringen til en matrise, bør du ha en god forståelse av begrepet en mindreårig, og å finne de mindreårige i en matrise innebærer evnen til å beregne determinanten. Så om nødvendig anbefaler vi at du husker artikkelens teori, metoder for å finne determinanten til en matrise og egenskapene til determinanten.

La oss ta en matrise A av rekkefølge . La k være noen naturlig tall, som ikke overstiger det minste av tallene m og n, det vil si, .

Definisjon.

Mindre kth ordre matrise A er determinanten for en kvadratisk matrise av orden, sammensatt av elementer av matrise A, som er plassert i forhåndsvalgte k rader og k kolonner, og arrangementet av elementene i matrise A er bevart.

Med andre ord, hvis vi i matrisen A sletter (p–k) rader og (n–k) kolonner, og fra de gjenværende elementene lager vi en matrise, og bevarer arrangementet av elementene i matrisen A, så er determinanten av den resulterende matrisen er en moll av størrelsesorden k av matrisen A.

La oss se på definisjonen av en matrise-minor ved å bruke et eksempel.

Vurder matrisen .

La oss skrive ned flere førsteordens mindreårige av denne matrisen. For eksempel, hvis vi velger den tredje raden og den andre kolonnen i matrise A, tilsvarer valget vårt en førsteordens moll . Med andre ord, for å få denne mindre, krysset vi ut første og andre rad, samt første, tredje og fjerde kolonne fra matrisen A, og laget en determinant fra det gjenværende elementet. Hvis vi velger første rad og tredje kolonne i matrise A, får vi en moll .

La oss illustrere fremgangsmåten for å skaffe de vurderte førsteordens mindreårige
Og .

Dermed er førsteordens mindreårige i en matrise selve matriseelementene.

La oss vise flere andreordens mindreårige. Velg to rader og to kolonner. Ta for eksempel den første og andre raden og den tredje og fjerde kolonnen. Med dette valget har vi en annenordens mindreårig . Denne mindre kan også opprettes ved å slette den tredje raden, første og andre kolonne fra matrise A.

En annen annenordens moll av matrisen A er .

La oss illustrere konstruksjonen av disse andreordens mindreårige
Og .

På samme måte kan tredjeordens mindreårige av matrisen A bli funnet. Siden det bare er tre rader i matrise A, velger vi dem alle. Hvis vi velger de tre første kolonnene i disse radene, får vi en tredjeordens moll

Den kan også konstrueres ved å krysse ut den siste kolonnen i matrisen A.

En annen tredje ordens mindreårig er

oppnådd ved å slette den tredje kolonnen i matrise A.

Her er et bilde som viser konstruksjonen av disse tredjeordens mindreårige
Og .

For en gitt matrise A er det ingen mindreårige av orden høyere enn tredje, siden .

Hvor mange mindreårige av kth orden er det av en matrise A av orden?

Antall mindreårige av orden k kan beregnes som , hvor Og - antall kombinasjoner fra henholdsvis p til k og fra n til k.

Hvordan kan vi konstruere alle minorer av orden k av matrise A av orden p ved n?

Vi vil trenge mange matriseradnummer og mange kolonnenummer. Vi skriver ned alt kombinasjoner av p elementer ved k(de vil tilsvare de valgte radene i matrise A når du konstruerer en moll av orden k). Til hver kombinasjon av radnummer legger vi sekvensielt til alle kombinasjoner av n elementer av k kolonnetall. Disse settene med kombinasjoner av radnummer og kolonnenummer i matrise A vil bidra til å komponere alle mindreårige av orden k.

La oss se på det med et eksempel.

Eksempel.

Finn alle andre ordens mindreårige i matrisen.

Løsning.

Siden rekkefølgen til den opprinnelige matrisen er 3 x 3, vil summen av andre ordens mindreårige være .

La oss skrive ned alle kombinasjoner av 3 til 2 radnummer i matrise A: 1, 2; 1, 3 og 2, 3. Alle kombinasjoner av 3 til 2 kolonnenummer er 1, 2; 1, 3 og 2, 3.

La oss ta den første og andre raden av matrise A. Ved å velge første og andre kolonne, første og tredje kolonne, andre og tredje kolonne for disse radene, får vi hhv.

For den første og tredje raden, med et lignende valg av kolonner, har vi

Det gjenstår å legge til den første og andre, første og tredje, andre og tredje kolonnen til den andre og tredje raden:

Så alle ni andre-ordens mindreårige av matrise A er funnet.

Nå kan vi fortsette med å bestemme rangeringen av matrisen.

Definisjon.

Matrix rangering- Dette høyeste orden matrise moll, forskjellig fra null.

Rangeringen av matrise A er betegnet som Rang(A) . Du kan også finne betegnelsene Rg(A) eller Rang(A) .

Fra definisjonene av matriserangering og matriseminor, kan vi konkludere med at rangeringen av en nullmatrise er lik null, og rangeringen til en ikke-nullmatrise er ikke mindre enn én.

Finne rangeringen til en matrise per definisjon.

Så den første metoden for å finne rangeringen til en matrise er metode for å telle opp mindreårige. Denne metoden er basert på å bestemme rangeringen av matrisen.

La oss finne rangeringen til en matrise A av orden.

La oss kort beskrive algoritme løse dette problemet ved å telle opp mindreårige.

Hvis det er minst ett element i matrisen som er forskjellig fra null, er rangeringen av matrisen minst lik én (siden det er en førsteordens moll som ikke er lik null).

Deretter ser vi på andre ordens mindreårige. Hvis alle andre-ordens mindreårige er lik null, er rangeringen av matrisen lik én. Hvis det er minst en ikke-null moll av andre orden, fortsetter vi med å telle opp mindreårige av tredje orden, og rangeringen av matrisen er minst lik to.

Tilsvarende, hvis alle tredje-ordens mindreårige er null, er rangeringen av matrisen to. Hvis det er minst en tredje-ordens moll annet enn null, så er rangeringen av matrisen minst tre, og vi går videre til å telle fjerde-ordens mindreårige.

Merk at rangeringen til matrisen ikke kan overstige det minste av tallene p og n.

Eksempel.

Finn rangeringen til matrisen .

Løsning.

Siden matrisen ikke er null, er rangeringen ikke mindre enn én.

Mindre av andre orden er forskjellig fra null, derfor er rangeringen av matrise A minst to. Vi går videre til å telle opp mindreårige av tredje orden. Totalt av dem ting.

Alle tredje ordens mindreårige er lik null. Derfor er rangeringen av matrisen to.

Svare:

Rangering(A) = 2.

Finne rangeringen til en matrise ved å bruke metoden for å grense til mindreårige.

Det finnes andre metoder for å finne rangeringen til en matrise som lar deg oppnå resultatet med mindre beregningsarbeid.

En slik metode er edge minor metode.

La oss håndtere begrepet kantmoll.

Det sies at en moll M ok av (k+1)te orden av matrisen A grenser til en moll M av størrelsesorden k av matrisen A hvis matrisen som tilsvarer den moll M ok "inneholder" matrisen som tilsvarer den moll. M .

Med andre ord, matrisen som tilsvarer den grensende moll M er hentet fra matrisen som tilsvarer den grensende moll M ok ved å slette elementene i en rad og en kolonne.

Tenk for eksempel på matrisen og ta en andre orden mindreårig. La oss skrive ned alle de tilgrensende mindreårige:

Metoden for å grense til mindreårige er begrunnet med følgende teorem (vi presenterer formuleringen uten bevis).

Teorem.

Hvis alle moll som grenser til den k-te ordens moll av en matrise A av orden p til n er lik null, så er alle moll av orden (k+1) i matrisen A lik null.

For å finne rangeringen til en matrise er det derfor ikke nødvendig å gå gjennom alle de mindreårige som er tilstrekkelig grensende. Antallet mindreårige som grenser til moll i den k. orden av en matrise A av orden, er funnet av formelen . Legg merke til at det ikke er flere moll som grenser til kth ordens moll av matrisen A enn det er (k + 1) ordens moll av matrisen A. Derfor er det i de fleste tilfeller mer lønnsomt å bruke metoden for å grense til mindreårige enn bare å telle opp alle de mindreårige.

La oss gå videre til å finne rangeringen av matrisen ved å bruke metoden for å grense til mindreårige. La oss kort beskrive algoritme denne metoden.

Hvis matrisen A ikke er null, tar vi som førsteordens moll ethvert element i matrisen A som er forskjellig fra null. La oss se på dens grensende mindreårige. Hvis de alle er lik null, er rangeringen av matrisen lik en. Hvis det er minst en mindreårig som ikke er null (rekkefølgen er to), fortsetter vi med å vurdere dens grensende mindreårige. Hvis alle er null, er Rang(A) = 2. Hvis minst én grensende mindreårig er ikke-null (rekkefølgen er tre), så vurderer vi dens grensende mindreårige. Og så videre. Som et resultat, Rang(A) = k hvis alle grensende molorer av (k + 1). orden i matrisen A er lik null, eller Rang(A) = min(p, n) hvis det er en ikke- null moll som grenser til en moll av orden (min( p, n) – 1) .

La oss se på metoden for å grense til mindreårige for å finne rangeringen til en matrise ved å bruke et eksempel.

Eksempel.

Finn rangeringen til matrisen ved å grense mindreårige.

Løsning.

Siden element a 1 1 av matrise A ikke er null, tar vi det som en førsteordens moll. La oss begynne å søke etter en mindreårig som er forskjellig fra null:

En kantmoll av andre orden, forskjellig fra null, er funnet. La oss se på de tilgrensende mindreårige (deres ting):

Alle mindreårige som grenser til andreordens moll er lik null, derfor er rangeringen av matrise A lik to.

Svare:

Rangering(A) = 2.

Eksempel.

Finn rangeringen til matrisen ved bruk av grensende mindreårige.

Løsning.

Som en moll som ikke er null av første orden, tar vi elementet a 1 1 = 1 av matrisen A. Den omkringliggende moll av andre orden ikke lik null. Denne mindreårige er avgrenset av en tredjeordens mindreårig
. Siden den ikke er lik null og det ikke er en eneste grensende moll for den, er rangeringen av matrise A lik tre.

Svare:

Rangering(A) = 3.

Finne rangeringen ved hjelp av elementære matrisetransformasjoner (Gauss-metoden).

La oss vurdere en annen måte å finne rangeringen til en matrise.

Følgende matrisetransformasjoner kalles elementære:

omorganisere rader (eller kolonner) i en matrise;
å multiplisere alle elementene i en hvilken som helst rad (kolonne) i en matrise med et vilkårlig tall k, forskjellig fra null;
legge til elementene i en rad (kolonne) de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne) i matrisen, multiplisert med et vilkårlig tall k.

Matrise B kalles ekvivalent med matrise A, hvis B er hentet fra A ved bruk av endelig antall elementære transformasjoner. Ekvivalensen av matriser er angitt med symbolet "~", det vil si skrevet A ~ B.

Å finne rangeringen til en matrise ved å bruke elementære matrisetransformasjoner er basert på utsagnet: hvis matrise B er hentet fra matrise A ved å bruke et begrenset antall elementære transformasjoner, så er Rank(A) = Rank(B) .

Gyldigheten av denne setningen følger av egenskapene til determinanten til matrisen:

Når du omorganiserer radene (eller kolonnene) i en matrise, endrer dens determinant fortegn. Hvis den er lik null, forblir den lik null når radene (kolonnene) omorganiseres.
Når du multipliserer alle elementene i en rad (kolonne) i en matrise med et vilkårlig tall k annet enn null, er determinanten til den resulterende matrisen lik determinanten til den opprinnelige matrisen multiplisert med k. Hvis determinanten til den opprinnelige matrisen er lik null, etter å ha multiplisert alle elementene i en hvilken som helst rad eller kolonne med tallet k, vil determinanten til den resulterende matrisen også være lik null.
Å legge til elementene i en bestemt rad (kolonne) i en matrise de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne) i matrisen, multiplisert med et visst tall k, endrer ikke dens determinant.

Essensen av metoden for elementære transformasjoner består i å redusere matrisen hvis rang vi må finne til en trapesformet (i et spesielt tilfelle til en øvre trekantet) ved å bruke elementære transformasjoner.

Hvorfor gjøres dette? Rangeringen av matriser av denne typen er veldig lett å finne. Det er lik antall linjer som inneholder minst ett element som ikke er null. Og siden rangeringen av matrisen ikke endres når du utfører elementære transformasjoner, vil den resulterende verdien være rangeringen til den opprinnelige matrisen.

Vi gir illustrasjoner av matriser, hvorav en skal fås etter transformasjoner. Utseendet deres avhenger av rekkefølgen på matrisen.

Disse illustrasjonene er maler som vi vil transformere matrisen A til.

La oss beskrive metode algoritme.

La oss finne rangeringen til en ikke-null matrise A av orden (p kan være lik n).

Så, . La oss multiplisere alle elementene i den første raden i matrise A med . I dette tilfellet får vi en ekvivalent matrise, som betegner den A (1):

Til elementene i den andre raden i den resulterende matrisen A (1) legger vi til de tilsvarende elementene i den første raden, multiplisert med . Til elementene i den tredje linjen legger vi til de tilsvarende elementene i den første linjen, multiplisert med . Og så videre til p-te linje. La oss få en ekvivalent matrise, angi den A (2):

Hvis alle elementene i den resulterende matrisen plassert i rader fra andre til p-te er lik null, er rangeringen til denne matrisen lik én, og følgelig er rangeringen til den opprinnelige matrisen lik til en.

Hvis det i linjene fra den andre til p-th er minst ett ikke-null element, fortsetter vi å utføre transformasjoner. Dessuten handler vi på absolutt samme måte, men bare med den delen av matrise A (2) markert i figuren.

Hvis , så omorganiserer vi radene og (eller) kolonnene i matrise A (2) slik at det "nye" elementet blir ikke-null.

Bestemme rangeringen av en matrise

Tenk på en matrise \(A\) av typen \((m,n)\). La, for bestemthetens skyld, \(m \leq n\). La oss ta \(m\) rader og velge \(m\) kolonner i matrisen \(A\), i skjæringspunktet mellom disse radene og kolonnene får vi kvadratisk matrise orden \(m\), hvis determinant kalles mindre ordre \(m\) matriser \(A\). Hvis denne minor er forskjellig fra 0, kalles den grunnleggende bifag og de sier at rangeringen av matrisen \(A\) er lik \(m\). Hvis denne determinanten er lik 0, velges andre \(m\) kolonner, i skjæringspunktet deres er det elementer som danner en annen minor av orden \(m\). Hvis mindretallet er 0, fortsetter vi prosedyren. Hvis det blant alle mulige mindreårige av orden \(m\) ikke er nuller, velger vi \(m-1\) rader og kolonner fra matrisen \(A\), ved deres skjæringspunkt en kvadratisk matrise av orden \(m- 1\) vises, dens determinant kalles en minor av orden \(m-1\) av den opprinnelige matrisen. Ved å fortsette prosedyren ser vi etter en mindreårig som ikke er null, går gjennom alle mulige mindreårige og senker rekkefølgen deres.

Definisjon.

Den ikke-null moll av en gitt matrise av høyeste orden kalles grunnleggende bifag av den opprinnelige matrisen kalles dens rekkefølge rang matriser \(A\), rader og kolonner, i skjæringspunktet mellom hvilke er grunnleggende bifag, kalles grunnleggende rader og kolonner. Rangeringen til en matrise er angitt med \(rang(A)\).

Fra denne definisjonen følger enkle egenskaper for rangeringen til en matrise: den er et heltall, og rangeringen til en matrise som ikke er null tilfredsstiller ulikhetene: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\ ).

Hvordan vil rangeringen av matrisen endres hvis en rad slettes? Legge til en linje?

Sjekk svaret

1) Rangeringen kan reduseres med 1.

2) Rangeringen kan øke med 1.

Lineær avhengighet og lineær uavhengighet av matrisekolonner

La \(A\) være en matrise av typen \((m,n)\). Tenk på kolonnene i matrisen \(A\) - disse er kolonner med \(m\) tall hver. La oss betegne dem \(A_1,A_2,...,A_n\). La \(c_1,c_2,...,c_n\) være noen tall.

Definisjon.

Kolonne \[ D=c_1A_1+c_2A_2+...+c_nA_n = \sum _(m=1)^nc_mA_m \] kalles en lineær kombinasjon av kolonner \(A_1,A_2,...,A_n\), tall \( c_1,c_2 ,...,c_n\) kalles koeffisientene til denne lineære kombinasjonen.

Definisjon.

La \(p\) kolonner \(A_1, A_2, ..., A_p\) gis. Hvis det er tall \(c_1,c_2,...,c_p\) slik at

1. ikke alle disse tallene er lik null,

2. lineær kombinasjon \(c_1A_1+c_2A_2+...+c_pA_p =\sum _(m=1)^pc_mA_m\) er lik nullkolonnen (dvs. en kolonne der alle elementene er null), da sier vi at kolonnene \( A_1, A_2, ..., A_p\) er lineært avhengige. Hvis for dette settet Det er ingen kolonner med slike tall \(c_1,c_2,...,c_n\), kolonnene kalles lineært uavhengige.

Eksempel. Tenk på 2-kolonner

\[ A_1=\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right), A_2=\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right), \] så for alle tall \(c_1,c_2\) har vi: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left(\begin(array)(c) 1 \\ 0 \end(array) \right) + c_2\left(\begin(array)(c) 0 \\ 1 \end(array) \right)=\left(\begin(array)(c) c_1 \\ c_2 \end(array) \right). \]

Denne lineære kombinasjonen er lik nullkolonnen hvis og bare hvis begge tallene \(c_1,c_2\) er lik null. Dermed er disse kolonnene lineært uavhengige.

Uttalelse. For at kolonnene skal være lineært avhengige, er det nødvendig og tilstrekkelig at en av dem er en lineær kombinasjon av de andre.

La kolonnene \(A_1,A_2,...,A_m\) være lineært avhengige, dvs. for noen konstanter \(\lambda _1, \lambda _2,...,\lambda _m\), som ikke alle er lik 0, gjelder følgende: \[ \sum _(k=1)^m\lambda _kA_k=0 \ ] (på høyre side er nullkolonnen). La for eksempel \(\lambda _1 \neq 0\). Deretter \[ A_1=\sum _(k=2)^mc_kA_k, \quad c_k=-\lambda _k/\lambda _1, \quad \quad (15) \] dvs. den første kolonnen er en lineær kombinasjon av de andre.

Basis-molteoremet

Teorem.

For enhver matrise som ikke er null \(A\) gjelder følgende:

1. Basiskolonnene er lineært uavhengige.

2. Enhver matrisekolonne er en lineær kombinasjon av basiskolonnene.

(Det samme gjelder for strenger).

La, for bestemthetens skyld, \((m,n)\) være typen matrise \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) og basis-moll er plassert i den første \(r) \) rader og kolonner matriser \(A\). La \(s\) være et hvilket som helst tall mellom 1 og \(m\), \(k\) være et hvilket som helst tall mellom 1 og \(n\). La oss vurdere mindre følgende type: \[ D=\venstre| \begin(array)(ccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & a_(1s) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2r) & a_(2s) \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(r1) & a_(r2) & \ldots & a_(rr) & a_(rs) \\ a_(k1) & a_(k2) & \ldots & a_(kr) & a_(ks) \\ \end(array) \right| , \] dvs. Vi tildelte \(s-\)th kolonne og \(k-\)th rad til basis-moll. Ved definisjon av rangeringen til en matrise er denne determinanten lik null (hvis vi velger \(s\leq r\) eller \(k \leq r\), så har denne minor 2 identiske kolonner eller 2 identiske rader, hvis \(s>r\) og \(k>r\) - per definisjon av rang, blir en moll med størrelse større enn \(r\) null). La oss utvide denne determinanten langs den siste linjen, vi får: \[ a_(k1)A_(k1)+a_(k2)A_(k2)+....+a_(kr)A_(kr)+a_(ks) A_(ks )=0. \quad \quad(16) \]

Her er tallene \(A_(kp)\) - algebraiske tillegg elementer fra den nederste raden \(D\). Verdiene deres avhenger ikke av \(k\), fordi dannes ved hjelp av elementer fra de første \(r\) linjene. I dette tilfellet er verdien \(A_(ks)\) en grunnleggende moll, forskjellig fra 0. La oss betegne \(A_(k1)=c_1,A_(k2)=c_2,...,A_(ks) =c_s \nev 0 \). La oss omskrive (16) i ny notasjon: \[ c_1a_(k1)+c_2a_(k2)+...+c_ra_(kr)+c_sa_(ks)=0, \] eller, dividere med \(c_s\), \[ a_(ks)=\lambda_1a_(k1)+\lambda_2a_(k2)+...+\lambda_ra_(kr), \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Denne likheten er gyldig for enhver verdi av \(k\), så \[ a_(1s)=\lambda_1a_(11)+\lambda_2a_(12)+...+\lambda_ra_(1r), \] \[ a_ (2s)=\lambda_1a_(21)+\lambda_2a_(22)+...+\lambda_ra_(2r), \] \[ ................... .. .................................... \] \[ a_(ms)=\lambda_1a_( m1) +\lambda_2a_(m2)+...+\lambda_ra_(mr). \] Så den \(s-\)te kolonnen er en lineær kombinasjon av de første \(r\) kolonnene. Teoremet er bevist.

Kommentar.

Fra basis-molteoremet følger det at rangeringen av matrisen lik tallet dens lineært uavhengige kolonner (som er lik antall lineært uavhengige rader).

Konsekvens 1.

Hvis determinanten er null, har den en kolonne som er en lineær kombinasjon av de andre kolonnene.

Konsekvens 2.

Hvis rangeringen til en matrise er mindre enn antall kolonner, er kolonnene i matrisen lineært avhengige.

Beregne rangeringen av en matrise og finne basis-moll

Noen matrisetransformasjoner endrer ikke rangeringen. Slike transformasjoner kan kalles elementære. De tilsvarende fakta kan enkelt verifiseres ved å bruke egenskapene til determinanter og bestemme rangeringen av en matrise.

1. Omorganisering av kolonner.

2. Multiplisere elementene i en kolonne med en faktor som ikke er null.

3. Legge til en hvilken som helst annen kolonne til en kolonne, multiplisert med et vilkårlig tall.

4. Kryss av nullkolonnen.

Det samme gjelder for strenger.

Ved å bruke disse transformasjonene kan matrisen transformeres til den såkalte "trapesformen" - en matrise med bare nuller under hoveddiagonalen. For en "trapesformet" matrise er rangeringen antall ikke-null-elementer på hoveddiagonalen, og basis-moll er den moll hvis diagonal sammenfaller med settet av ikke-null-elementer på hoveddiagonalen til den transformerte matrisen.

Eksempel. Vurder matrisen

\[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right).

\] Vi vil transformere den ved å bruke transformasjonene ovenfor. \[ A=\left(\begin(array)(cccc) 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & - 6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end(array) \right) \mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end(array) \right) \mapsto \] \[ \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & - 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)\mapsto \left(\begin(array)(cccc) 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end(array)\right).\] Her gjør vi sekvensielt følgende trinn: 1) omarranger den andre linjen til toppen, 2) trekk den første linjen fra resten med en passende faktor, 3) trekk den andre linjen fra den tredje 4 ganger, legg den andre linjen til fjerde, 4) kryss ut nulllinjene - den tredje og fjerde . Vår endelige matrise har fått den ønskede formen: det er tall som ikke er null på hoveddiagonalen, og nuller under hoveddiagonalen. Etter dette stopper prosedyren og antallet ikke-null-elementer på hoveddiagonalen er lik rangeringen av matrisen. Den grunnleggende mindre er de to første radene og de to første kolonnene. I skjæringspunktet deres er det en matrise av orden 2 med en determinant som ikke er null. Samtidig går tilbake langs kjeden av transformasjoner til baksiden

, kan du spore hvor denne eller den raden (denne eller den kolonnen) kom fra i den endelige matrisen, dvs. bestemme basisrader og kolonner i den opprinnelige matrisen. I i dette tilfellet. de to første radene og de to første kolonnene danner basis-moll. matrise A er determinanten for en matrise av k-te orden dannet av elementene i skjæringspunktet mellom vilkårlig valgte k rader og k kolonner i matrisen A. Når vi betegner mindreårige, vil vi indikere tallene på de valgte radene som øvre indekser, og tallene på de valgte kolonnene som nedre indekser, og ordne dem i stigende rekkefølge.

Eksempel 3.4. Skriv bifag av forskjellige rekkefølger av matrisen

A=\begin(pmatrix)1&2&1&0\\ 0&2&2&3\\ 1&4&3&3\end(pmatrix)\!.

Løsning. Matrise A har dimensjoner 3\ ganger 4 . Den har: 12 mindreårige av 1. orden, for eksempel mindreårige M_(()_2)^(()_3)=\det(a_(32))=4; 18 2. ordens mindreårige, for eksempel, M_(()_(23))^(()^(12))=\begin(vmatrix)2&1\\2&2\end(vmatrix)=2; 4 3. ordens mindreårige, for eksempel,

M_(()_(134))^(()^(123))= \begin(vmatrix)1&1&0\\0&2&3\\ 1&3&3 \end(vmatrix)=0.

I en matrise A av størrelsen m\ ganger n kalles r-te ordens moll grunnleggende, hvis det ikke er null og alle molorer av (r+1)-ro rekkefølge er lik null eller ikke eksisterer i det hele tatt.

Matrix rangering kalles rekkefølgen av basis-moll. Det er ingen basis-moll i en nullmatrise. Derfor er rangeringen av nullmatrisen per definisjon lik null. Rangeringen av matrise A er angitt med \operatørnavn(rg)A.

Eksempel 3.5. Finn alle basis mindreårige og matriserangering

A=\begin(pmatrix)1&2&2&0\\0&2&2&3\\0&0&0&0\end(pmatrix)\!.

Løsning. Alle tredjeordens mindreårige i denne matrisen er lik null, siden disse determinantene har null tredje rad. Derfor kan bare en annenordens moll plassert i de to første radene i matrisen være grunnleggende. Når vi går gjennom 6 mulige mindreårige, velger vi ikke-null

M_(()_(12))^(()^(12))= M_(()_(13))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&2\\0&2 \end( vmatrix)\!,\quad M_(()_(24))^(()^(12))= M_(()_(34))^(()^(12))= \begin(vmatrix) 2&0\\2&3\end(vmatrix)\!,\quad M_(()_(14))^(()^(12))= \begin(vmatrix)1&0\\0&3\end(vmatrix)\!.

Hver av disse fem mindreårige er grunnleggende. Derfor er rangeringen av matrisen 2.

Merknader 3.2

1. Hvis i en matrise alle moll av k. orden er lik null, så er også moll av høyere orden lik null. Hvis vi utvider minor-en til (k+1)-ro-rekkefølgen over en hvilken som helst rad, får vi summen av produktene til elementene i denne raden med minor i kth-ordenen, og de er lik null.

2. Rangeringen til en matrise er lik den høyeste rekkefølgen av moll som ikke er null i denne matrisen.

3. Hvis en kvadratisk matrise er ikke-singular, er rangeringen lik rekkefølgen. Hvis en kvadratisk matrise er entall, er rangeringen mindre enn rekkefølgen.

4. Betegnelser brukes også for rangering \operatørnavn(Rg)A,~ \operatørnavn(rang)A,~ \operatørnavn(rang)A.

5. Blokkmatriserangering er definert som rangeringen av en vanlig (numerisk) matrise, dvs. uavhengig av blokkstrukturen. I dette tilfellet er rangeringen til en blokkmatrise ikke mindre enn rekkene til blokkene: \operatørnavn(rg)(A\midt B)\geqslant\operatørnavn(rg)A Og \operatørnavn(rg)(A\midt B)\geqslant\operatørnavn(rg)B, siden alle minorer av matrisen A (eller B ) også er minorer av blokkmatrisen (A\midt B).

Teoremer om basis-moll og rangeringen av matrisen

La oss vurdere hovedsetningene som uttrykker egenskapene til lineær avhengighet og lineær uavhengighet til kolonner (rader) i en matrise.

Teorem 3.1 på basis moll. I en vilkårlig matrise A er hver kolonne (rad) en lineær kombinasjon av kolonnene (radene) der basismoll ligger.

Faktisk, uten tap av generalitet, antar vi at i en matrise A med størrelse m\ ganger n er basis-minor plassert i de første r radene og første r kolonner. Vurder determinanten

D=\begin(vmatrix)~ a_(11)&\cdots&a_(1r)\!\!&\vline\!\!&a_(1k)~\\ ~\vdots&\ddots &\vdots\!\!&\ vline\!\!&\vdots~\\ ~a_(r1)&\cdots&a_(rr)\!\!&\vline\!\!&a_(rk)~\\\hline ~a_(s1)&\cdots&a_ (sr)\!\!&\vline\!\!&a_(sk)~\end(vmatrise),

som oppnås ved å tilordne de tilsvarende elementene til basis-moll av matrisen A ste rad og kth kolonne. Merk at for evt 1\leqslant s\leqslant m og denne determinanten er lik null. Hvis s\leqslant r eller k\leqslant r , så inneholder determinanten D to identiske rader eller to identiske kolonner. Hvis s>r og k>r, så er determinanten D lik null, siden den er en moll av (r+l)-ro orden. Utvider determinanten langs den siste linjen, får vi

a_(s1)\cdot D_(r+11)+\ldots+ a_(sr)\cdot D_(r+1r)+a_(sk)\cdot D_(r+1\,r+1)=0,

hvor D_(r+1\,j) er de algebraiske komplementene til elementene i den siste raden. Merk at D_(r+1\,r+1)\ne0 siden dette er en basis-moll. Det er derfor

a_(sk)=\lambda_1\cdot a_(s1)+\ldots+\lambda_r\cdot a_(sr), Hvor \lambda_j=-\frac(D_(r+1\,j))(D_(r+1\,r+1)),~j=1,2,\ldots,r.

Ved å skrive den siste likheten for s=1,2,\ldots,m får vi

\begin(pmatrix)a_(1k)\\\vdots\\a_(mk)\end(pmatrix)= \lambda_1\cdot\! \begin(pmatrix)a_(11)\\\vdots\\a_(m1)\end(pmatrix)+\ldots \lambda_r\cdot\! \begin(pmatrix)a_(1r)\\\vdots\\a_(mr)\end(pmatrix)\!.

de. kth kolonne (for enhver 1\leqslant k\leqslant n) er en lineær kombinasjon av kolonnene i basis-moll, som er det vi trengte å bevise.

Basis-molteoremet tjener til å bevise følgende viktige teoremer.

Betingelse for at determinanten skal være null

Teorem 3.2 (nødvendig og tilstrekkelig tilstand determinanten er lik null). For at en determinant skal være lik null, er det nødvendig og tilstrekkelig at en av dens kolonner (en av dens rader) er en lineær kombinasjon av de resterende kolonnene (radene).

Nødvendighet følger faktisk av det grunnleggende mindre teoremet. Hvis determinanten til en kvadratisk matrise av orden n er lik null, er rangeringen mindre enn n, dvs. minst én kolonne er ikke inkludert i basis minor. Da er denne valgte kolonnen, ved setning 3.1, en lineær kombinasjon av kolonnene der basismoll ligger. Ved å legge til, om nødvendig, til denne kombinasjonen andre kolonner med null koeffisienter, får vi at den valgte kolonnen er en lineær kombinasjon av de resterende kolonnene i matrisen. Tilstrekkelighet følger av egenskapene til determinanten. Hvis for eksempel den siste kolonnen A_n av determinanten \det(A_1~A_2~\cdots~A_n) lineært uttrykt gjennom resten

A_n=\lambda_1\cdot A_1+\lambda_2\cdot A_2+\ldots+\lambda_(n-1)\cdot A_(n-1),

deretter legge til A_n kolonne A_1 multiplisert med (-\lambda_1), deretter kolonne A_2 multiplisert med (-\lambda_2), osv. kolonne A_(n-1) multiplisert med (-\lambda_(n-1)) får vi determinanten \det(A_1~\cdots~A_(n-1)~o) med en nullkolonne som er lik null (egenskap 2 av determinanten).

Invarians av matriserangering under elementære transformasjoner

Teorem 3.3 (om invariansen av rang under elementære transformasjoner). Under elementære transformasjoner av kolonnene (radene) i en matrise, endres ikke rangeringen.

Faktisk, la det være. La oss anta at som et resultat av en elementær transformasjon av kolonnene i matrise A oppnådde vi matrise A". Hvis en type I-transformasjon ble utført (permutasjon av to kolonner), vil enhver mindre (r+l)-ro av ordenen av matrise A" er enten lik den tilsvarende mindre (r+l )-ro i rekkefølgen til matrisen A, eller skiller seg fra den i fortegn (egenskap 3 til determinanten). Hvis en type II-transformasjon ble utført (multipliser kolonnen med tallet \lambda\ne0 ), så er enhver mindre (r+l)-ro av rekkefølgen til matrisen A" enten lik den tilsvarende moll (r+l) -ro av rekkefølgen til matrisen A eller forskjellig fra den multiplikator \lambda\ne0 (egenskap 6 av determinanten) Hvis en transformasjon er utført. III type(legger til en kolonne en annen kolonne multiplisert med tallet \Lambda), så er enhver moll av (r+1)te rekkefølgen av matrisen A" enten lik den tilsvarende moll av (r+1)te rekkefølgen av matrise A (egenskap 9 av determinanten), eller lik summen to minor (r+l)-ro av rekkefølgen til matrisen A (egenskap 8 til determinanten). Derfor, under en elementær transformasjon av en hvilken som helst type, er alle moll (r+l)-ro av rekkefølgen til matrisen A" lik null, siden alle moll (r+l)-ro i rekkefølgen til matrisen A er lik null Dermed er det bevist at under elementære transformasjoner av kolonner ikke kan øke rangeringsmatrisen Siden transformasjoner inverse til elementære er elementære, kan ikke rangeringen av matrisen reduseres under elementære transformasjoner av kolonnene, dvs. bevist at rangeringen av matrisen ikke endres under elementære transformasjoner av radene.

Konsekvens 1. Hvis en rad (kolonne) i en matrise er en lineær kombinasjon av de andre radene (kolonnene), kan denne raden (kolonnen) slettes fra matrisen uten å endre rangeringen.

Faktisk kan en slik streng gjøres null ved å bruke elementære transformasjoner, og en nullstreng kan ikke inkluderes i basis-minor.

Konsekvens 2. Hvis matrisen er redusert til den enkleste formen (1.7), da

\operatørnavn(rg)A=\operatørnavn(rg)\Lambda=r\,.

Faktisk har matrisen til den enkleste formen (1.7) en basis-moll av rth orden.

Konsekvens 3. Enhver ikke-singular kvadratisk matrise er elementær, med andre ord, enhver ikke-singular kvadratisk matrise er ekvivalent med en identitetsmatrise av samme rekkefølge.

Faktisk, hvis A er en ikke-singular kvadratisk matrise av n-te orden, da \operatørnavn(rg)A=n(se avsnitt 3 i kommentar 3.2). Derfor, å bringe matrisen A til den enkleste formen (1.7) ved elementære transformasjoner, får vi identitetsmatrise\Lambda=E_n , siden \operatørnavn(rg)A=\operatørnavn(rg)\Lambda=n(se konsekvens 2). Derfor er matrise A ekvivalent med identitetsmatrisen E_n og kan oppnås fra den som et resultat av et begrenset antall elementære transformasjoner. Dette betyr at matrise A er elementær.

Teorem 3.4 (om rangeringen av matrisen). Rangeringen til en matrise er lik det maksimale antallet lineært uavhengige rader i denne matrisen.

Faktisk la \operatørnavn(rg)A=r. Da har matrisen A r lineært uavhengige rader. Dette er linjene der grunnmoll ligger. Hvis de var lineært avhengige, ville denne moll være lik null ved setning 3.2, og rangeringen av matrisen A ville ikke være lik r. La oss vise at r er det maksimale antallet lineært uavhengige rader, dvs. eventuelle p-rader er lineært avhengige for p>r. Faktisk danner vi matrisen B fra disse p radene. Siden matrise B er en del av matrise A, da \operatørnavn(rg)B\leqslant \operatørnavn(rg)A=r

Dette betyr at minst én rad av matrise B ikke er inkludert i basis-minoren til denne matrisen. Så, ved basis-mollsetningen, er det lik en lineær kombinasjon av radene der basis-moll er plassert. Derfor er radene i matrise B lineært avhengige. Dermed har matrisen A høyst r lineært uavhengige rader.

Konsekvens 1. Maksimalt antall lineært uavhengige rader i en matrise er lik det maksimale antallet lineært uavhengige kolonner:

\operatørnavn(rg)A=\operatørnavn(rg)A^T.

Dette utsagnet følger av setning 3.4 hvis vi anvender det på radene i en transponert matrise og tar hensyn til at minorene ikke endres under transponering (egenskap 1 til determinanten).

Konsekvens 2. For elementære transformasjoner av matriserader lineær avhengighet(eller lineær uavhengighet) av ethvert system av kolonner i denne matrisen er bevart.

Faktisk, la oss velge hvilke som helst k kolonner i en gitt matrise A og komponere matrisen B fra dem. La matrisen A" bli oppnådd som et resultat av elementære transformasjoner av radene i matrise A, og matrisen B" oppnås som et resultat av de samme transformasjonene av radene i matrise B. Ved teorem 3.3 \operatørnavn(rg)B"=\operatørnavn(rg)B. Derfor, hvis kolonnene i matrise B var lineært uavhengige, dvs. k=\operatørnavn(rg)B(se konsekvens 1), da er kolonnene i matrisen B" også lineært uavhengige, siden k=\operatørnavn(rg)B". Hvis kolonnene i matrise B var lineært avhengige (k>\operatørnavn(rg)B), så er kolonnene til matrise B" også lineært avhengige (k>\operatørnavn(rg)B"). Følgelig, for alle kolonner av matrise A, er lineær avhengighet eller lineær uavhengighet bevart under elementære radtransformasjoner.

Merknader 3.3

1. I kraft av konsekvens 1 til setning 3.4, er egenskapen til kolonner indikert i konsekvens 2 også sann for ethvert system av matriserader hvis elementære transformasjoner bare utføres på kolonnene.

2. Konsekvens 3 av teorem 3.3 kan foredles som følger: En hvilken som helst ikke-singular kvadratisk matrise, ved å bruke elementære transformasjoner av bare radene (eller bare kolonnene), kan reduseres til en identitetsmatrise av samme rekkefølge.

Faktisk, ved å bruke bare elementære radtransformasjoner, kan enhver matrise A reduseres til den forenklede formen \Lambda (fig. 1.5) (se teorem 1.1). Siden matrisen A er ikke-singular (\det(A)\ne0), er kolonnene lineært uavhengige. Dette betyr at kolonnene i matrisen \Lambda også er lineært uavhengige (konsekvens 2 av setning 3.4). Derfor en forenklet form for \Lambda ikke-singular matrise A faller sammen med sin enkleste form (fig. 1.6) og er identitetsmatrisen \Lambda=E (se konsekvens 3 av setning 3.3). Ved å transformere bare radene i en ikke-singular matrise, kan den således reduseres til identitetsmatrisen. Lignende resonnement er gyldig for elementære transformasjoner av kolonnene i en ikke-singular matrise.

Rangering av produkt og sum av matriser

Teorem 3.5 (om rangeringen av produktet av matriser). Rangeringen av produktet av matriser overskrider ikke rangeringen av faktorer:

\operatørnavn(rg)(A\cdot B)\leqslant \min\(\operatørnavn(rg)A,\operatørnavn(rg)B\).

Faktisk, la matrisene A og B ha størrelsene m\ ganger p og p\ ganger n . La oss tilordne matrisen A matrisen C=AB\kolon\,(A\midt C). Selvfølgelig det \operatørnavn(rg)C\leqslant\operatørnavn(rg)(A\midt C), siden C er en del av matrisen (A\midt C) (se avsnitt 5 i merknad 3.2). Merk at hver kolonne C_j, i henhold tiln, er en lineær kombinasjon av kolonner A_1,A_2,\ldots,A_p matriser A=(A_1~\cdots~A_p):

C_(j)=A_1\cdot b_(1j)+A_2\cdot b_(2j)+\ldots+A_(p)\cdot b_pj),\quad j=1,2,\ldots,n.

En slik kolonne kan slettes fra matrisen (A\midt C) uten å endre rangeringen (konsekvens 1 av setning 3.3). Ved å krysse ut alle kolonnene i matrise C får vi: \operatørnavn(rg)(A\midt C)=\operatørnavn(rg)A. Herfra, \operatørnavn(rg)C\leqslant\operatørnavn(rg)(A\midt C)=\operatørnavn(rg)A. På samme måte kan vi bevise at betingelsen samtidig er oppfylt \operatørnavn(rg)C\leqslant\operatørnavn(rg)B, og trekke en konklusjon om gyldigheten av teoremet.

Konsekvens. Hvis A er altså en ikke-singular kvadratisk matrise \operatørnavn(rg)(AB)= \operatørnavn(rg)B Og \operatørnavn(rg)(CA)=\operatørnavn(rg)C, dvs. rangeringen til en matrise endres ikke når den multipliseres fra venstre eller høyre med en ikke-singular kvadratisk matrise.

Teorem 3.6 om rangeringen av summene av matriser. Rangeringen av summen av matriser overstiger ikke summen av rekkene av leddene:

\operatørnavn(rg)(A+B)\leqslant \operatørnavn(rg)A+\operatørnavn(rg)B.

Faktisk, la oss lage en matrise (A+B\midt A\midt B). Merk at hver kolonne av matrise A+B er en lineær kombinasjon av kolonner av matriser A og B. Det er derfor \operatørnavn(rg)(A+B\midt A\midt B)= \operatørnavn(rg)(A\midt B). Tatt i betraktning at antall lineært uavhengige kolonner i matrisen (A\midt B) ikke overstiger \operatørnavn(rg)A+\operatørnavn(rg)B, a \operatørnavn(rg)(A+B)\leqslant \operatørnavn(rg)(A+B\midt A\midt B)(se avsnitt 5 i merknad 3.2), oppnår vi at ulikheten blir bevist.

La det gis en matrise:

La oss velge i denne matrisen vilkårlige strenger og vilkårlige kolonner
. Så determinanten orden, sammensatt av matriseelementer
, som ligger i skjæringspunktet mellom utvalgte rader og kolonner, kalles en minor ordensmatrise
.

Definisjon 1.13. Matrix rangering
ringte høyeste orden minor av denne matrisen, forskjellig fra null.

For å beregne rangeringen til en matrise, bør man vurdere alle dens mindreårige av laveste orden, og hvis minst en av dem er forskjellig fra null, fortsette til å vurdere de mindreårige av høyeste orden. Denne tilnærmingen til å bestemme rangeringen til en matrise kalles grensemetoden (eller metoden for å grense til mindreårige).

Oppgave 1.4. Bruk metoden for å grense til mindreårige, bestem rangeringen av matrisen
.

Vurder for eksempel førsteordens kanter,
. Deretter går vi videre til å vurdere andre-ordens kanter.

For eksempel
.

Til slutt, la oss analysere tredjeordens grenser.

Så den høyeste rekkefølgen av en moll som ikke er null er 2, derfor
.

Når du løser oppgave 1.4, kan du legge merke til at en rekke andre-ordens mindreårige på grensen ikke er null. I denne forbindelse gjelder følgende konsept.

Definisjon 1.14. En basis moll av en matrise er enhver ikke-null moll hvis rekkefølge er lik rangeringen av matrisen.

Teorem 1.2.(Basis-molteorem). Basisradene (basiskolonnene) er lineært uavhengige.

Merk at radene (kolonnene) i en matrise er lineært avhengige hvis og bare hvis minst én av dem kan representeres som en lineær kombinasjon av de andre.

Teorem 1.3. Antall lineært uavhengige matriserader er lik antall lineært uavhengige matrisekolonner og er lik rangeringen av matrisen.

Teorem 1.4.(Nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at determinanten skal være lik null). For determinanten -te orden var lik null, er det nødvendig og tilstrekkelig at radene (kolonnene) er lineært avhengige.

Å beregne rangeringen til en matrise basert på dens definisjon er for tungvint. Dette blir spesielt viktig for matriser med høye ordener. I denne forbindelse, i praksis, beregnes rangeringen av en matrise basert på anvendelsen av teoremer 10.2 - 10.4, samt bruken av begrepene matriseekvivalens og elementære transformasjoner.

Definisjon 1.15. To matriser
Og kalles ekvivalente hvis deres rekker er like, dvs.
.

Hvis matriser
Og er likeverdige, merk deretter
 .

Teorem 1.5. Rangeringen av matrisen endres ikke på grunn av elementære transformasjoner.

Vi vil kalle elementære matrisetransformasjoner
noen av følgende operasjoner på en matrise:

Erstatte rader med kolonner og kolonner med tilsvarende rader;

Omorganisere matriserader;

Krysser ut en linje der alle elementene er null;

Multiplisere en streng med et annet tall enn null;

Legge til elementene på en linje de tilsvarende elementene i en annen linje multiplisert med samme tall
.

Konsekvens av teorem 1.5. Hvis matrise
hentet fra matrisen ved å bruke et begrenset antall elementære transformasjoner, deretter matrisen
Og er likeverdige.

Når man beregner rangeringen av en matrise, bør den reduseres til en trapesformet form ved å bruke et begrenset antall elementære transformasjoner.

Definisjon 1.16. Vi vil kalle trapesformet en form for representasjon av en matrise når, i grensende moll av høyeste orden bortsett fra null, forsvinner alle elementene under de diagonale. For eksempel:

Her
, matriseelementer
gå til null. Da vil representasjonsformen til en slik matrise være trapesformet.

Som regel reduseres matriser til en trapesform ved hjelp av Gauss-algoritmen. Ideen med Gauss-algoritmen er at ved å multiplisere elementene i den første raden i matrisen med de tilsvarende faktorene, oppnås det at alle elementene i den første kolonnen ligger under elementet
, ville bli null. Deretter, multipliserer vi elementene i den andre kolonnen med de tilsvarende faktorene, sikrer vi at alle elementene i den andre kolonnen ligger under elementet
, ville bli null. Fortsett deretter på samme måte.