Den fysiske betydningen av bølgefunksjonen.

bølgefunksjon
bølgefunksjon

bølgefunksjon (eller tilstandsvektor) er en kompleks funksjon som beskriver tilstanden til et kvantemekanisk system. Kunnskapen gjør det mulig å få den mest komplette informasjonen om systemet, som er grunnleggende oppnåelig i mikroverdenen. Så med dens hjelp kan du beregne alle de målbare fysiske egenskapene til systemet, sannsynligheten for at det er på et bestemt sted i rommet og evolusjon i tid. Bølgefunksjonen kan bli funnet ved å løse Schrödinger-bølgeligningen.
Bølgefunksjonen ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) til en punktstrukturløs partikkel er en kompleks funksjon av koordinatene til denne partikkelen og tiden. Det enkleste eksemplet på en slik funksjon er bølgefunksjonen til en fri partikkel med momentum og total energi E (plan bølge)

.

Bølgefunksjonen til systemet A av partikler inneholder koordinatene til alle partikler: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Kvadratisk modul for bølgefunksjonen til en individuell partikkel | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) gir sannsynligheten for å oppdage en partikkel på tidspunktet t på et punkt i rommet beskrevet av koordinater , nemlig | ψ (,t)| 2dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz er sannsynligheten for å finne en partikkel i et område av rommet med et volum på dv = dxdydz rundt et punkt x, y, z. Tilsvarende er sannsynligheten for å finne ved tidspunktet t et system A av partikler med koordinatene 1 , 2 ,..., A i et volumelement i et flerdimensjonalt rom gitt av | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Bølgefunksjonen bestemmer fullstendig alle de fysiske egenskapene til et kvantesystem. Så den gjennomsnittlige observerte verdien av den fysiske mengden F for systemet er gitt av uttrykket

,

hvor er operatøren av denne mengden og integrasjonen utføres over hele regionen av flerdimensjonalt rom.
I stedet for partikkelkoordinater x, y, z, kan deres momenta p x , p y , p z eller andre sett med fysiske størrelser velges som uavhengige variabler for bølgefunksjonen. Dette valget avhenger av representasjonen (koordinat, momentum eller annet).
Bølgefunksjonen ψ (,t) til en partikkel tar ikke hensyn til dens indre egenskaper og frihetsgrader, det vil si at den beskriver dens bevegelse som et helt strukturløst (punkt)objekt langs en bestemt bane (bane) i rommet. Disse interne egenskapene til en partikkel kan være dens spinn, helicitet, isospin (for sterkt interagerende partikler), farge (for kvarker og gluoner) og noen andre. De indre egenskapene til en partikkel er gitt av en spesiell bølgefunksjon av dens indre tilstand φ. I dette tilfellet kan den totale bølgefunksjonen til partikkelen Ψ representeres som produktet av orbitalbevegelsesfunksjonen ψ og den interne funksjonen φ:

fordi vanligvis ikke de indre egenskapene til en partikkel og dens frihetsgrader, som beskriver banebevegelsen, avhenger av hverandre.
Som et eksempel begrenser vi oss til tilfellet når den eneste interne karakteristikken som tas i betraktning av funksjonen er partikkelspinnet, og dette spinnet er lik 1/2. En partikkel med et slikt spinn kan være i en av to tilstander - med spinnprojeksjonen på z-aksen lik +1/2 (spinn opp), og med spinnprojeksjonen på z-aksen lik -1/2 (spinn ned). Denne dualiteten er beskrevet av en spinnfunksjon tatt som en to-komponent spinor:

Da vil bølgefunksjonen Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ beskrive bevegelsen til en partikkel med spinn 1/2 rettet oppover langs banen bestemt av funksjonen ψ , og bølgefunksjonen Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ vil beskrive bevegelsen langs den samme banen til den samme partikkelen, men med spinnet rettet nedover.
Avslutningsvis bemerker vi at i kvantemekanikk er slike tilstander mulige som ikke kan beskrives ved hjelp av bølgefunksjonen. Slike tilstander kalles blandede tilstander og de er beskrevet i form av en mer kompleks tilnærming ved å bruke konseptet med en tetthetsmatrise. Tilstandene til et kvantesystem beskrevet av bølgefunksjonen kalles rene.

Diffraksjonsmønsteret observert for mikropartikler er preget av en ulik fordeling av mikropartikkelflukser i forskjellige retninger - det er minima og maksima i andre retninger. Tilstedeværelsen av maksima i diffraksjonsmønsteret betyr at de Broglie-bølger er fordelt i disse retningene med høyest intensitet. Og intensiteten vil være maksimal hvis maksimalt antall partikler forplanter seg i denne retningen. De. Diffraksjonsmønsteret for mikropartikler er en manifestasjon av en statistisk (sannsynlig) regularitet i fordelingen av partikler: der intensiteten til de Broglie-bølgen er maksimal, er det flere partikler.

De Broglie-bølger i kvantemekanikk vurderes som bølger sannsynlighet, de. sannsynligheten for å oppdage en partikkel på forskjellige punkter i rommet varierer i henhold til bølgeloven (dvs.  e - iωt). Men for noen punkter i rommet vil denne sannsynligheten være negativ (dvs. partikkelen faller ikke inn i denne regionen). M. Born (tysk fysiker) antydet at det ikke er sannsynligheten i seg selv som endres i henhold til bølgeloven, og sannsynlighetsamplituden, som også kalles bølgefunksjonen eller -funksjonen (psi-funksjonen).

Bølgefunksjonen er en funksjon av koordinater og tid.

Kvadraten av modulen til psi-funksjonen bestemmer sannsynligheten for at partikkelen vil bli funnet innenfor rammendV - det er ikke psi-funksjonen i seg selv som har fysisk betydning, men kvadratet på dens modul.

Ψ * - kompleks konjugert funksjon av Ψ

(z= en +ib, z * =a-ib, z * - komplekst konjugat)

Hvis partikkelen er i et begrenset volum V, da er muligheten for å oppdage det i dette volumet lik 1, (en viss hendelse)

R= 1 

I kvantemekanikk antas det at Ψ og AΨ, hvor A = konst, beskriv den samme tilstanden til partikkelen. Derfor,

Normaliseringstilstand

integral over , betyr at det beregnes over et uendelig volum (mellomrom).

 - funksjonen må være

1) finale (fordi R kan ikke være mer enn 1)

2) entydig (det er umulig å oppdage en partikkel under uendrede forhold med en sannsynlighet på for eksempel 0,01 og 0,9, siden sannsynligheten må være entydig).

kontinuerlig (følger av kontinuiteten i rommet. Det er alltid en sjanse til å finne en partikkel på forskjellige punkter i rommet, men for forskjellige punkter vil det være annerledes),

Bølgefunksjonen tilfredsstiller prinsipp superposisjoner: hvis systemet kan være i forskjellige tilstander beskrevet av bølgefunksjonene  1 , 2 ... n , så kan det være i tilstanden  beskrevet av en lineær kombinasjon av disse funksjonene:

Med n (n=1,2...) - alle tall.

Ved hjelp av bølgefunksjonen beregnes gjennomsnittsverdiene for enhver fysisk mengde av partikkelen

§5 Schrödinger-ligning

Schrödinger-ligningen, som andre grunnleggende fysikkligninger (Newtons, Maxwells ligninger), er ikke utledet, men postulert. Det bør betraktes som den innledende grunnleggende antagelsen, hvis gyldighet bevises av det faktum at alle konsekvensene som følger av den stemmer nøyaktig overens med de eksperimentelle dataene.

(1)

Tid Schrödinger-ligning.

Nabla - Laplace-operatør

Potensiell funksjon av en partikkel i et kraftfelt,

Ψ(y,z,t) - ønsket funksjon

Hvis kraftfeltet som partikkelen beveger seg i er stasjonært (dvs. ikke endres over tid), så er funksjonen U er ikke avhengig av tid og har betydningen potensiell energi. I dette tilfellet kan løsningen til Schrödinger-ligningen (dvs. Ψ er en funksjon) representeres som et produkt av to faktorer - den ene avhenger bare av koordinatene, den andre bare på tid:

(2)

E er den totale energien til partikkelen, som er konstant i tilfelle av et stasjonært felt.

Erstatter (2)  (1):

(3)

Schrödinger-ligningen for stasjonære tilstander.

Det finnes uendelig mange løsninger. Ved å pålegge grensebetingelser velges løsninger som har en fysisk betydning.

Grenseforhold:

bølgefunksjoner skal være regelmessig, dvs.

1) endelig;

2) entydig;

3) kontinuerlig.

Løsninger som tilfredsstiller Schrödinger-ligningen kalles egen funksjoner, og energiverdiene som tilsvarer dem - energiegenverdier. Settet med egenverdier kalles spektrum mengder. Hvis E n tar diskrete verdier, så spekteret - diskret, hvis kontinuerlig - solid eller kontinuerlig.

BØLGEFUNKSJON, i KVANTEMEKANIKK, en funksjon som lar deg finne sannsynligheten for at et kvantesystem er i noen tilstand s til tiden t. Vanligvis skrevet: (s) eller (s, t). Bølgefunksjonen brukes i SCHROEDINGER-ligningen... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok

BØLGEFUNKSJON Moderne leksikon

bølgefunksjon- BØLGEFUNKSJON, i kvantemekanikk, hovedmengden (i det generelle tilfellet kompleks), som beskriver tilstanden til systemet og lar deg finne sannsynlighetene og gjennomsnittsverdiene til de fysiske mengdene som karakteriserer dette systemet. Firkanten til bølgemodulen ... ... Illustrert encyklopedisk ordbok

BØLGEFUNKSJON- (tilstandsvektor) i kvantemekanikk, hovedmengden som beskriver tilstanden til systemet og lar deg finne sannsynlighetene og gjennomsnittsverdiene til de fysiske størrelsene som karakteriserer det. Kvadraten av modulen til bølgefunksjonen er lik sannsynligheten for en gitt ... ... Stor encyklopedisk ordbok

BØLGEFUNKSJON- i kvantemekanikk (sannsynlighetsamplitude, tilstandsvektor), en størrelse som fullstendig beskriver tilstanden til et mikroobjekt (elektron, proton, atom, molekyl) og generelt et hvilket som helst kvante. systemer. Beskrivelse av tilstanden til et mikroobjekt ved hjelp av V. f. Det har… … Fysisk leksikon

bølgefunksjon- - [L.G. Sumenko. Engelsk russisk ordbok for informasjonsteknologi. M .: GP TsNIIS, 2003.] Emner informasjonsteknologi generelt EN bølgefunksjon ... Teknisk oversetterhåndbok

bølgefunksjon- (sannsynlighetsamplitude, tilstandsvektor), i kvantemekanikk, hovedmengden som beskriver tilstanden til systemet og lar deg finne sannsynlighetene og gjennomsnittsverdiene til de fysiske størrelsene som karakteriserer det. Kvadraten på modulen til bølgefunksjonen er ... ... encyklopedisk ordbok

bølgefunksjon- banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. bølgefunksjon vok. Wellenfunksjon, f rus. bølgefunksjon, f; bølgefunksjon, f pranc. fonction d’onde, f … Fizikos terminų žodynas

bølgefunksjon- banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių og jų sistemų fizikinę būseną. atitikmenys: engl. bølgefunksjon. bølgefunksjon... Chemijos terminų aiskinamasis žodynas

BØLGEFUNKSJON er en kompleks funksjon som beskriver tilstanden til kvantemekanikken. systemer og tillate å finne sannsynligheter og jfr. verdiene til de fysiske egenskapene som er preget av det. mengder. Firkantet modul V. f. er lik sannsynligheten for den gitte tilstanden, derfor V.f. kalt også amplitude ... ... Naturvitenskap. encyklopedisk ordbok

Bøker

• , B.K. Novosadov. Monografien er viet til en konsekvent presentasjon av kvanteteorien til molekylære systemer, samt løsningen av bølgeligninger i ikke-relativistisk og relativistisk kvantemekanikk av molekyler.… Kjøp for 882 UAH (kun Ukraina)
• Metoder for matematisk fysikk av molekylære systemer, Novosadov B.K.. Monografien er viet til en konsekvent presentasjon av kvanteteorien til molekylære systemer, samt løsningen av bølgeligninger i ikke-relativistisk og relativistisk kvantemekanikk av molekyler.…

Basert på ideen om at et elektron har bølgeegenskaper. Schrodinger i 1925 foreslo at tilstanden til et elektron som beveger seg i et atom skulle beskrives ved ligningen av en stående elektromagnetisk bølge kjent i fysikk. Ved å erstatte verdien av denne ligningen i stedet for bølgelengden fra de Broglie-ligningen, fikk han en ny ligning som relaterer energien til et elektron med romlige koordinater og den såkalte bølgefunksjonen som i denne ligningen tilsvarer amplituden til en tredimensjonal bølge prosess.

Av spesiell betydning for å karakterisere tilstanden til et elektron er bølgefunksjonen. Som amplituden til enhver bølgeprosess, kan den ta både positive og negative verdier. Men verdien er alltid positiv. Samtidig har det en bemerkelsesverdig egenskap: jo større verdi i et gitt område av rommet, jo større er sannsynligheten for at elektronet vil vise sin handling her, det vil si at dets eksistens vil bli oppdaget i en eller annen fysisk prosess.

Følgende utsagn vil være mer nøyaktig: sannsynligheten for å finne et elektron i et lite volum uttrykkes av produktet . Dermed uttrykker verdien i seg selv sannsynlighetstettheten for å finne et elektron i det tilsvarende området i rommet.

Ris. 5. Elektronsky av hydrogenatomet.

For å forstå den fysiske betydningen av kvadratet til bølgefunksjonen, vurder fig. 5, som viser et visst volum nær kjernen til et hydrogenatom. Tettheten av plassering av punkter i fig. 5 er proporsjonal med verdien på det tilsvarende stedet: jo større verdien er, jo tettere er punktene. Hvis elektronet hadde egenskapene til et materialpunkt, så fig. 5 kan oppnås ved gjentatte ganger å observere hydrogenatomet og hver gang notere plasseringen av elektronet: tettheten av prikker i figuren vil være større, jo oftere et elektron finnes i det tilsvarende området i rommet, eller i andre ord, jo større er sannsynligheten for å finne den i denne regionen.

Vi vet imidlertid at ideen om et elektron som et materiell punkt ikke samsvarer med dets sanne fysiske natur. Derfor fig. Det er mer riktig å betrakte 5 som en skjematisk representasjon av et elektron "smurt ut" over hele volumet av et atom i form av en såkalt elektronsky: jo tettere punktene er plassert på ett eller annet sted, jo større er tettheten til elektronskyen her. Med andre ord er tettheten til elektronskyen proporsjonal med kvadratet på bølgefunksjonen.

Ideen om tilstanden til et elektron som en viss sky av elektrisk ladning viser seg å være veldig praktisk, den formidler godt hovedtrekkene i oppførselen til et elektron i atomer og molekyler og vil ofte bli brukt i den påfølgende presentasjonen. I dette tilfellet bør man imidlertid huske på at elektronskyen ikke har bestemte, skarpt definerte grenser: selv i stor avstand fra kjernen er det en viss, om enn veldig liten, sannsynlighet for å finne et elektron. Derfor, med en elektronsky, vil vi betinget forstå et område i rommet nær kjernen til et atom, der den dominerende delen (for eksempel ) av ladningen og massen til et elektron er konsentrert. En mer presis definisjon av denne delen av rommet er gitt på side 75.

4.4.1. De Broglies hypotese

Et viktig skritt i etableringen av kvantemekanikk var oppdagelsen av bølgeegenskapene til mikropartikler. Ideen om bølgeegenskaper ble opprinnelig fremsatt som en hypotese av den franske fysikeren Louis de Broglie.

I fysikk i mange år dominerte teorien, ifølge hvilken lys er en elektromagnetisk bølge. Etter arbeidet til Planck (termisk stråling), Einstein (fotoelektrisk effekt) og andre ble det imidlertid åpenbart at lys har korpuskulære egenskaper.

For å forklare noen fysiske fenomener, er det nødvendig å betrakte lys som en strøm av fotonpartikler. De korpuskulære egenskapene til lys avviser ikke, men utfyller dets bølgeegenskaper.

Så, foton er en elementær partikkel av lys med bølgeegenskaper.

Formel for fotonmomentum

.

(4.4.3)

I følge de Broglie ligner bevegelsen til en partikkel, for eksempel et elektron, en bølgeprosess med en bølgelengde λ definert av formel (4.4.3). Disse bølgene kalles de Broglie bølger. Derfor kan partikler (elektroner, nøytroner, protoner, ioner, atomer, molekyler) vise diffraktive egenskaper.

K. Davisson og L. Germer var de første som observerte elektrondiffraksjon på en enkelt krystall av nikkel.

Spørsmålet kan oppstå: hva skjer med individuelle partikler, hvordan dannes maksima og minima under diffraksjonen av individuelle partikler?

Eksperimenter med diffraksjon av elektronstråler med svært lav intensitet, det vil si som om individuelle partikler, viste at i dette tilfellet "smøres" elektronet ikke i forskjellige retninger, men oppfører seg som en hel partikkel. Imidlertid er sannsynligheten for elektronavbøyning i separate retninger som følge av interaksjon med diffraksjonsobjektet forskjellig. Det er mest sannsynlig at elektronene treffer de stedene som ifølge beregningen tilsvarer diffraksjonsmaksima, deres treff til minima er mindre sannsynlig. Dermed er bølgeegenskaper iboende ikke bare for kollektivet av elektroner, men også for hvert elektron individuelt.

4.4.2. Bølgefunksjon og dens fysiske betydning

Siden en bølgeprosess er assosiert med en mikropartikkel, som tilsvarer dens bevegelse, er tilstanden til partikler i kvantemekanikk beskrevet av en bølgefunksjon som avhenger av koordinater og tid: .

Hvis kraftfeltet som virker på partikkelen er stasjonært, det vil si ikke er avhengig av tid, kan ψ-funksjonen representeres som et produkt av to faktorer, hvorav den ene avhenger av tid og den andre av koordinater:

Dette innebærer den fysiske betydningen av bølgefunksjonen:

4.4.3. Usikkerhetsforhold

En av de viktige bestemmelsene i kvantemekanikken er usikkerhetsrelasjonene foreslått av W. Heisenberg.

La posisjonen og bevegelsesmengden til partikkelen måles samtidig, mens unøyaktighetene i definisjonene av abscissen og projeksjonen av bevegelsesmengden på abscissens akse er henholdsvis Δx og Δр x .

I klassisk fysikk er det ingen begrensninger som forbyr samtidig måling av både den ene og den andre mengden med noen grad av nøyaktighet, det vil si Δx→0 og Δр x→0.

I kvantemekanikk er situasjonen fundamentalt forskjellig: Δx og Δр x , tilsvarende den samtidige bestemmelsen av x og р x , er relatert av avhengigheten

Formler (4.4.8), (4.4.9) kalles usikkerhetsforhold.

La oss forklare dem med ett modelleksperiment.

Når man studerte fenomenet diffraksjon, ble oppmerksomheten trukket på det faktum at en reduksjon i spaltens bredde under diffraksjon fører til en økning i bredden på det sentrale maksimum. Et lignende fenomen vil også forekomme ved elektrondiffraksjon ved en spalte i et modelleksperiment. Redusering av spaltens bredde betyr en reduksjon i Δ x (Fig. 4.4.1), dette fører til en større «utsmøring» av elektronstrålen, det vil si til en større usikkerhet i partiklenes momentum og hastighet.

Ris. 4.4.1 Forklaring av usikkerhetsrelasjonen.

Usikkerhetsrelasjonen kan representeres som

,

(4.4.10)

hvor ΔE er energiusikkerheten til en eller annen tilstand av systemet; Δt er tidsperioden den eksisterer. Relasjon (4.4.10) betyr at jo kortere levetid for en tilstand i systemet er, desto mer usikker er dens energiverdi. Energinivåer E 1 , E 2 etc. ha en viss bredde (fig. 4.4.2)), avhengig av tiden systemet er i tilstanden som tilsvarer dette nivået.

Ris. 4.4.2 Energinivåer E 1, E 2, etc. ha litt bredde.

"Uskarpheten" av nivåene fører til usikkerheten til energien ΔE til det utsendte fotonet og dets frekvens Δν under overgangen til systemet fra ett energinivå til et annet:

,

hvor m er massen til partikkelen; ; E og E n er dens totale og potensielle energier (potensiell energi bestemmes av kraftfeltet som partikkelen befinner seg i, og for det stasjonære tilfellet er ikke avhengig av tid)

Hvis partikkelen bare beveger seg langs en bestemt linje, for eksempel langs OX-aksen (en-dimensjonalt tilfelle), blir Schrödinger-ligningen vesentlig forenklet og tar formen

(4.4.13)

Et av de enkleste eksemplene på bruken av Schrödinger-ligningen er løsningen av problemet med bevegelsen til en partikkel i en endimensjonal potensiell brønn.

4.4.5. Anvendelse av Schrödinger-ligningen på hydrogenatomet. kvantetall

Å beskrive tilstandene til atomer og molekyler ved hjelp av Schrödinger-ligningen er en ganske vanskelig oppgave. Det er enklest løst for ett elektron som befinner seg i feltet til kjernen. Slike systemer tilsvarer hydrogenatomet og hydrogenlignende ioner (enkelt ionisert heliumatom, dobbeltionisert litiumatom, etc.). Men i dette tilfellet er løsningen av problemet også komplisert, så vi begrenser oss til en kvalitativ presentasjon av problemet.

Først og fremst bør den potensielle energien erstattes med Schrödinger-ligningen (4.4.12), som for to samvirkende punktladninger - e (elektron) og Ze (kjerne), - plassert i en avstand r i vakuum, uttrykkes som følger :

Dette uttrykket er en løsning av Schrödinger-ligningen og faller fullstendig sammen med den tilsvarende formelen til Bohr-teorien (4.2.30)

Figur 4.4.3 viser nivåene av mulige verdier av den totale energien til hydrogenatomet (E 1 , E 2 , E 3 , etc.) og et plott av den potensielle energien E n kontra avstanden r mellom elektronet og kjernen. Når hovedkvantetallet n øker, øker r (se 4.2.26), og den totale (4.4.15) og potensielle energien har en tendens til null. Den kinetiske energien har også en tendens til null. Det skraverte området (E>0) tilsvarer tilstanden til et fritt elektron.

Ris. 4.4.3. Nivåene av mulige verdier av den totale energien til hydrogenatomet er vist
og et plott av potensiell energi mot avstand r mellom elektronet og kjernen.

Andre kvantenummer - orbital l, som for en gitt n kan ta verdiene 0, 1, 2, ...., n-1. Dette tallet karakteriserer det orbitale vinkelmomentet Li til elektronet i forhold til kjernen:

Fjerde kvantenummer - spinn m s. Den kan bare ta to verdier (±1/2) og karakteriserer de mulige verdiene for elektronspinnprojeksjonen:

.(4.4.18)

Tilstanden til et elektron i et atom med gitt n og l er betegnet som følger: 1s, 2s, 2p, 3s, etc. Her indikerer tallet verdien av hovedkvantetallet, og bokstaven - orbitalkvantetallet: symbolene s, p, d, f, tilsvarer verdiene l=0, 1, 2.3, etc.