Bernoulli formel for tre uforenlige hendelser. Uavhengig re-testing og Bernoulli-formelen

Definisjon av gjentatte uavhengige tester. Bernoulli formler for beregning av sannsynlighet og det mest sannsynlige tallet. Asymptotiske formler for Bernoullis formel (lokal og integral, Laplaces teoremer). Ved å bruke integralsetningen. Poissons formel for usannsynlige tilfeldige hendelser.

Gjentatte uavhengige tester

I praksis må vi forholde oss til oppgaver som kan representeres i form av gjentatte gjentatte tester, som følge av at hendelsen A kan eller ikke vises. I dette tilfellet er ikke resultatet av interessen resultatet av hver enkelt test, men total mengde forekomster av hendelse A som følge av et visst antall forsøk. I slike problemer må du kunne bestemme sannsynligheten for et hvilket som helst antall m forekomster av hendelse A som et resultat av n forsøk. Tenk på tilfellet når forsøkene er uavhengige og sannsynligheten for at hendelse A inntreffer i hver prøve er konstant. Slike tester kalles gjentatt uavhengig.

Et eksempel på uavhengig testing er å sjekke egnetheten til produkter tatt fra en rekke batcher. Hvis prosentandelen av feil i disse partiene er den samme, er sannsynligheten for at det valgte produktet er defekt et konstant tall i hvert tilfelle.

Bernoullis formel

La oss bruke konseptet kompleks hendelse, som betyr kombinasjonen av flere elementære hendelser, bestående av forekomst eller ikke-opptreden av hendelse A i den i-te rettssaken. La det utføres n uavhengige forsøk, i hver av disse kan A enten vises med sannsynlighet p eller ikke vises med sannsynlighet q=1-p. Tenk på hendelsen B_m, som er at hendelsen A vil inntreffe nøyaktig m ganger i disse n forsøkene og derfor ikke vil inntreffe nøyaktig (n-m) ganger. La oss betegne A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) forekomst av hendelse A, en \overline(A)_i - ikke-forekomst av hendelse A i den i-te prøven. På grunn av konstansen i testforholdene har vi

Hendelse A kan vises m ganger i forskjellige sekvenser eller kombinasjoner, alternerende med den motsatte hendelsen \overline(A) . Tall mulige kombinasjoner denne typen er lik antall kombinasjoner av n elementer med m, dvs. C_n^m. Følgelig kan hendelsen B_m representeres som en sum av komplekse hendelser som er inkonsistente med hverandre, og antall ledd er lik C_n^m:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

der hvert produkt inneholder hendelsen A m ganger, og \overline(A) - (n-m) ganger.

Sannsynligheten for hver kompleks hendelse inkludert i formel (3.1), i henhold til sannsyfor uavhengige arrangementer er lik p^(m)q^(n-m) . Siden det totale antallet slike hendelser er lik C_n^m, bruker du sannsynlighetsaddisjonsteoremet for uforenlige hendelser, får vi sannsynligheten for hendelsen B_m (vi betegner den P_(m,n) )

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \tekst(eller)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Formel (3.2) kalles Bernoullis formel, og gjentatte forsøk som tilfredsstiller betingelsen om uavhengighet og konstanthet av sannsynlighetene for forekomsten av hendelse A i hver av dem kalles Bernoulli tester, eller Bernoulli-ordningen.

Eksempel 1. Sannsynligheten for å gå utover toleransesonen ved bearbeiding av deler på dreiebenk er 0,07. Bestem sannsynligheten for at av fem deler valgt tilfeldig under et skift, har en diameterdimensjoner som ikke samsvarer med den angitte toleransen.

Løsning. Tilstanden til problemet tilfredsstiller kravene i Bernoulli-ordningen. Derfor, forutsatt n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, ved å bruke formel (3.2) får vi

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\ca.0,\!262.

Eksempel 2. Observasjoner har slått fast at i et bestemt område er det 12 regnværsdager i september. Hva er sannsynligheten for at av 8 dager valgt tilfeldig denne måneden, vil 3 dager være regnfulle?

Løsning.

P_(3;8)=C_8^3(\venstre(\frac(12)(30)\høyre)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Mest sannsynlig antall forekomster av en hendelse

Mest sannsynlig dato for forekomsten hendelse A i n uavhengige forsøk kalles et slikt tall m_0 der sannsynligheten som tilsvarer dette tallet overstiger eller i det minste ikke er mindre enn sannsynligheten for hvert av de andre mulige tallene for forekomst av hendelse A. For å bestemme det mest sannsynlige antallet, er det ikke nødvendig å beregne sannsynlighetene for det mulige antallet forekomster av en hendelse, det er nok å vite antall forsøk n og sannsynligheten for forekomsten av hendelse A i en separat prøvelse. La oss betegne P_(m_0,n) sannsynligheten som tilsvarer det mest sannsynlige tallet m_0. Ved å bruke formel (3.2) skriver vi

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

I følge definisjonen av det mest sannsynlige tallet skal sannsynlighetene for at hendelse A skal inntreffe, henholdsvis m_0+1 og m_0-1 ganger, minst ikke overstige sannsynligheten P_(m_0,n), dvs.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Ved å erstatte verdien P_(m_0,n) og sannsynlighetsuttrykkene P_(m_0+1,n) og P_(m_0-1,n) i ulikhetene får vi

Å løse disse ulikhetene for m_0, får vi

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Ved å kombinere de siste ulikhetene får vi dobbel ulikhet, som brukes til å bestemme det mest sannsynlige tallet:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Siden lengden på intervallet definert av ulikhet (3.4) er lik én, dvs.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

og hendelsen kan bare forekomme i n forsøk et helt antall ganger, så bør det tas i betraktning at:

1) hvis np-q er et heltall, så er det to verdier av det mest sannsynlige tallet, nemlig: m_0=np-q og m"_0=np-q+1=np+p ;

2) hvis np-q er et brøktall, så er det ett mest sannsynlig tall, nemlig: det eneste heltall som finnes mellom brøktall, hentet fra ulikhet (3,4);

3) hvis np er et heltall, så er det ett mest sannsynlig tall, nemlig: m_0=np.

På store verdier n det er upraktisk å bruke formel (3.3) for å beregne sannsynligheten som tilsvarer det mest sannsynlige tallet. Hvis vi erstatter Stirling-formelen med likhet (3.3)

N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

gyldig for tilstrekkelig stor n, og ta det mest sannsynlige tallet m_0=np, så får vi en formel for omtrentlig beregning av sannsynligheten som tilsvarer det mest sannsynlige tallet:

P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Eksempel 2. Det er kjent at \frac(1)(15) en del av produktene som leveres av anlegget til handelsbasen ikke oppfyller alle kravene i standarden. Et parti på 250 produkter ble levert til basen. Finn det mest sannsynlige antallet produkter som oppfyller kravene i standarden og beregn sannsynligheten for at denne batchen vil inneholde det mest sannsynlige antallet produkter.

Løsning. Etter tilstand n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). I følge ulikhet (3.4) har vi

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

hvor 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Følgelig er det mest sannsynlige antallet produkter som oppfyller kravene i standarden i et parti på 250 stk. tilsvarer 234. Ved å erstatte dataene i formel (3.5), beregner vi sannsynligheten for å ha det mest sannsynlige antallet produkter i partiet:

P_(234 250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101

Lokalt Laplace-teorem

Det er veldig vanskelig å bruke Bernoullis formel for store verdier av n. For eksempel hvis n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, så for å finne sannsynligheten P_(30.50) er det nødvendig å beregne verdien av uttrykket

P_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Naturligvis oppstår spørsmålet: er det mulig å beregne sannsynligheten for interesse uten å bruke Bernoullis formel? Det viser seg at det er mulig. Lokal teorem Laplace gir en asymptotisk formel som lar oss tilnærmet finne sannsynligheten for at hendelser inntreffer nøyaktig m ganger i n forsøk, dersom antallet forsøk er stort nok.

Teorem 3.1.

Hvis sannsynligheten p for forekomsten av hendelse A i hvert forsøk er konstant og forskjellig fra null og én, så er sannsynligheten P_(m,n) for at hendelse A vil vises nøyaktig m ganger i n forsøk tilnærmet lik (jo mer presist, jo større n) til verdien av funksjonen Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq))

kl. Det er tabeller som inneholder funksjonsverdier\varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)) , tilsvarende positive verdier av argumentet x. Til negative verdier argumenter bruker de samme tabellene, siden funksjonen \varphi(x) er partall, dvs..

\varphi(-x)=\varphi(x)

Så omtrentlig er sannsynligheten for at hendelse A vil vises nøyaktig m ganger i n forsøk P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Hvor.

x=\frac(m-np)(\sqrt(npq))

Løsning. Etter tilstand Eksempel 3. Finn sannsynligheten for at hendelse A vil inntreffe nøyaktig 80 ganger i 400 forsøk hvis sannsynligheten for at hendelse A inntreffer i hvert forsøk er 0,2. n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8

. La oss bruke den asymptotiske Laplace-formelen:

P_(80 400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).

La oss beregne verdien x bestemt av oppgavedataene:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0. I følge tabellen adj. 1 finner vi\varphi(0)=0,\!3989

. Påkrevd sannsynlighet

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

Bernoullis formel fører til omtrent det samme resultatet (beregninger er utelatt på grunn av deres besværlighet):

P_(80,100)=0,\!0498.

Anta at det utføres n uavhengige forsøk, hvor sannsynligheten for at hendelse A inntreffer er konstant og lik p. Det er nødvendig å beregne sannsynligheten P_((m_1,m_2),n) for at hendelse A vil vises i n forsøk minst m_1 og maksimalt m_2 ganger (for korthets skyld vil vi si "fra m_1 til m_2 ganger"). Dette kan gjøres ved å bruke Laplaces integralsetning.

Teorem 3.2.

Hvis sannsynligheten p for forekomsten av hendelse A i hvert forsøk er konstant og forskjellig fra null og én, så omtrentlig sannsynligheten P_((m_1,m_2),n) for at hendelse A vil vises i forsøk fra m_1 til m_2 ganger, P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx,

Hvor . Når du løser problemer som krever anvendelse av Laplaces integralsetning, brukes spesielle tabeller, siden ubestemt integral\int(e^(-x^2/2)\,dx) ikke uttrykt gjennom elementære funksjoner . Integrert bord\Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz gitt i vedlegg. 2, hvor verdiene til funksjonen \Phi(x) er gitt for positive verdier<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>x, for x

5 kan vi ta \Phi(x)=0,\!5 .

Så omtrentlig sannsynligheten for at hendelse A vil dukke opp i n uavhengige forsøk fra m_1 til m_2 ganger er P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), P_((m_1,m_2),n)\approx\Phi(x"")-\Phi(x"),.

x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))

Løsning. Etter tilstand Eksempel 4. Sannsynligheten for at en del er produsert i strid med standarder er p=0,\!2. Finn sannsynligheten for at det blant 400 tilfeldig valgte ikke-standarddeler vil være fra 70 til 100 deler. p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100

. La oss bruke Laplaces integralsetning:

P_((70,100),400)\approx\Phi(x")-\Phi(x").

La oss beregne grensene for integrasjon:

senke

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

øverste

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

Slik

P_((70,100),400)\approx\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

I følge tabellen adj. 2 finner vi

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Påkrevd sannsynlighet

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Anvendelse av Laplaces integralteorem Hvis tallet m (antall forekomster av hendelse A i n uavhengige forsøk) endres fra m_1 til m_2, vil brøkdelen\frac(m-np)(\sqrt(npq)) vil variere fra\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" til\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"" . Derfor, integralteorem

P\venstre$x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right$=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

La oss sette oppgaven med å finne sannsynligheten for at avviket til den relative frekvensen \frac(m)(n) fra den konstante sannsynligheten p med absolutt verdi ikke overskrider det angitte tallet \varepsilon>0 . Med andre ord finner vi sannsynligheten for ulikheten \venstre|\frac(m)(n)-p\høyre|\leqslant\varepsilon, som er det samme -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Vi vil betegne denne sannsynligheten som følger: P\venstre$\venstre|\frac(m)(n)-p\høyre|\leqslant\varepsilon\høyre$. Ved å ta hensyn til formel (3.6) for denne sannsynligheten får vi

P\venstre$\venstre|\frac(m)(n)-p\høyre|\leqslant\varepsilon\høyre$\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\høyre).

Eksempel 5. Sannsynligheten for at delen er ikke-standard er p=0,\!1. Finn sannsynligheten for at blant tilfeldig valgte 400 deler vil den relative frekvensen av forekomst av ikke-standarddeler avvike fra sannsynligheten p=0,\!1 i absolutt verdi med ikke mer enn 0,03.

Løsning. Etter tilstand n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Vi må finne sannsynligheten P\venstre$\venstre|\frac(m)(400)-0,\!1\høyre|\leqslant0,\!03\høyre$. Ved å bruke formel (3.7) får vi

P\venstre$\venstre|\frac(m)(400)-0,\!1\høyre|\leqslant0,\!03\høyre$\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

I følge tabellen adj. 2 finner vi \Phi(2)=0,\!4772, derfor 2\Phi(2)=0,\!9544 . Så den ønskede sannsynligheten er omtrent 0,9544. Betydningen av resultatet er som følger: hvis du tar et tilstrekkelig stort antall prøver på 400 deler hver, vil i omtrent 95,44 % av disse prøvene avviket til den relative frekvensen fra den konstante sannsynligheten p=0.\!1 i absolutt verdien vil ikke overstige 0,03.

Poissons formel for usannsynlige hendelser

Hvis sannsynligheten p for forekomsten av en hendelse i en enkelt prøvelse er nær null, så selv med et stort antall forsøk n, men med en liten verdi av produktet np, vil sannsynlighetsverdiene P_(m,n) hentet fra Laplace-formelen er ikke nøyaktige nok og behovet for en annen omtrentlig formel oppstår.

Teorem 3.3.

Hvis sannsynligheten p for forekomsten av hendelse A i hvert forsøk er konstant, men liten, er antallet uavhengige forsøk n tilstrekkelig stort, men verdien av produktet np=\lambda forblir liten (ikke mer enn ti), så er sannsynligheten at hendelse A vil inntreffe m ganger i disse forsøkene er\,e^{-\lambda}. !}

For å forenkle beregninger ved hjelp av Poisson-formelen, er det satt sammen en tabell med Poisson-funksjonsverdier \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(se vedlegg 3).

Eksempel 6. La sannsynligheten for å produsere en ikke-standard del være 0,004. Finn sannsynligheten for at det blant 1000 deler vil være 5 ikke-standardiserte.

Løsning. Her n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Alle tre tallene tilfredsstiller kravene i teorem 3.3, derfor bruker vi Poisson-formelen for å finne sannsynligheten for den ønskede hendelsen P_(5,1000). Fra verditabellen til Poisson-funksjonen (vedlegg 3) med \lambda=4;m=5 får vi P_(51000)\ca.0,\!1563.

La oss finne sannsynligheten for samme hendelse ved å bruke Laplaces formel. For å gjøre dette, beregner vi først verdien av x som tilsvarer m=5:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.

Derfor, i henhold til Laplaces formel, ønsket sannsynlighet

P_(5,1000)\approx\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763

og i henhold til Bernoullis formel er dens eksakte verdi

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\ca.0,\!1552.

Slik, relativ feil beregne sannsynlighetene P_(5,1000) ved å bruke den omtrentlige Laplace-formelen er

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!196, eller 13.\!6\%

og i henhold til Poisson-formelen -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!007, eller 0.\!7\%

Det vil si mange ganger mindre.
Gå til neste seksjon
Endimensjonal tilfeldige variabler JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!

På praktisk anvendelse Sannsynlighetsteori kommer ofte over problemer der samme eksperiment eller lignende eksperimenter gjentas gjentatte ganger. Som et resultat av hver opplevelse kan det hende at en hendelse vises eller ikke EN, og vi er ikke interessert i resultatet av hvert enkelt eksperiment, men totalt antall opptredener hendelser EN som et resultat av en rekke eksperimenter. For eksempel, hvis en gruppe skudd skytes mot samme skive, er vi ikke interessert i resultatet av hvert skudd, men i det totale antallet treff. Slike problemer kan løses ganske enkelt hvis eksperimentene er det selvstendig.

Definisjon. Forsøk uavhengig av hendelse A er de der sannsynligheten for hendelse A i hver prøve ikke avhenger av resultatene av andre forsøk.

Eksempel. Flere påfølgende fjerning av et kort fra bunken utgjør uavhengige eksperimenter, forutsatt at det fjernede kortet returneres til bunken hver gang og kortene stokkes; ellers er dette avhengige erfaringer.

Eksempel. Flere skudd utgjør uavhengige eksperimenter bare hvis siktingen gjøres på nytt før hvert skudd; i tilfelle når sikting utføres én gang før hele skytingen eller utføres kontinuerlig under skyteprosessen (skyting i en støt, bombing i en serie), representerer skuddene avhengige eksperimenter.

Uavhengige tester kan utføres i samme eller ulike forhold. I det første tilfellet, sannsynligheten for en hendelse EN i alle eksperimenter den samme, i det andre tilfellet sannsynligheten for hendelsen EN endringer fra erfaring til opplevelse. Det første tilfellet er forbundet med mange problemer innen pålitelighetsteori, skyteteori og fører til den s.k. Bernoulli-opplegg, som er som følger:

1) sekvensen er utført n uavhengige forsøk, i hver av hendelsen EN kan eller kanskje ikke vises;

2) sannsynligheten for at en hendelse inntreffer EN i hver rettssak er konstant og lik, og det samme er sannsynligheten for at den ikke forekommer .

Bernoullis formel, som brukes til å finne sannsynligheten for at en hendelse inntreffer A k en gang hver n uavhengige forsøk, i hver av hendelsen EN vises med sannsynlighet s:

. (1)

Merknad 1. Med økende n Og k bruken av Bernoullis formel er assosiert med beregningsvansker, derfor brukes formel (1) hovedsakelig hvis k ikke overstiger 5 og n ikke bra.

Merknad 2. På grunn av det faktum at sannsynlighetene i form representerer termer for den binomiale ekspansjonen, kalles sannsynlighetsfordelingen til formen (1) binomial distribusjon.

Eksempel. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,8. Finn sannsynligheten for fem treff med seks skudd.

Løsning. Siden da , dessuten og . Ved å bruke Bernoullis formel får vi:

Eksempel. Fire uavhengige skudd skytes mot samme skive fra forskjellige avstander. Treffsannsynlighetene for disse skuddene er lik, henholdsvis:

Finn sannsynlighetene for ingen, ett, to, tre og fire treff:

Løsning. Vi komponerer genereringsfunksjonen:

Eksempel. Fem uavhengige skudd skytes mot et mål, sannsynligheten for å treffe er 0,2. Tre treff er nok til å ødelegge målet. Finn sannsynligheten for at målet vil bli ødelagt.

Løsning. Sannsynligheten for målødeleggelse beregnes ved å bruke formelen:

Eksempel. Ti uavhengige skudd skytes mot et mål, sannsynligheten for å treffe som med ett skudd er 0,1. Ett treff er nok til å treffe målet. Finn sannsynligheten for å treffe målet.

Løsning. Sannsynligheten for minst ett treff beregnes ved hjelp av formelen:

3. Lokal teorem av Moivre-Laplace

I applikasjoner er det ofte nødvendig å beregne sannsynlighetene for ulike hendelser knyttet til antall forekomster av hendelsen i n tester av Bernoulli-kretsen ved store verdier n. I dette tilfellet blir beregninger ved hjelp av formel (1) vanskelige. Vanskelighetene øker når vi skal legge sammen disse sannsynlighetene. Vanskeligheter med beregninger oppstår også ved små verdier s eller q.

Laplace oppnådde en viktig omtrentlig formel for sannsynligheten for at en hendelse inntreffer EN nøyaktig m ganger, hvis er et tilstrekkelig stort antall, det vil si ved .

Lokal teorem fra Moivre – Laplace. Hvis sannsynligheten p for forekomsten av hendelse A i hvert forsøk er konstant og forskjellig fra null og én, , er verdien begrenset jevnt i m og n, da er sannsynligheten for at hendelse A skal inntreffe nøyaktig m ganger i n uavhengige forsøk omtrent lik

Kort teori

Sannsynlighetsteori omhandler eksperimenter som kan gjentas (i hvert fall teoretisk) et ubegrenset antall ganger. La noen eksperimenter gjentas en gang, og resultatene av hver repetisjon avhenger ikke av resultatene fra tidligere repetisjoner. Slike serier av repetisjoner kalles uavhengige forsøk. Et spesielt tilfelle av slike tester er uavhengige Bernoulli-tester, som er preget av to forhold:

1) resultatet av hver test er ett av to mulige utfall, kalt henholdsvis "suksess" eller "fiasko".

2) sannsynligheten for "suksess" i hver påfølgende test avhenger ikke av resultatene fra tidligere tester og forblir konstant.

Bernoullis teorem

Hvis det utføres en serie uavhengige Bernoulli-forsøk, hvor "suksess" vises med sannsynlighet , så er sannsynligheten for at "suksess" vises nøyaktig én gang i forsøkene, uttrykt med formelen:

hvor er sannsynligheten for "feil".

– antall kombinasjoner av elementer etter (se grunnleggende kombinatoriske formler)

Denne formelen kalles Bernoullis formel.

Bernoullis formel lar deg bli kvitt stort antall beregninger - addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter - med tilstrekkelig store mengder tester.

Bernoulli-testskjemaet kalles også et binomialskjema, og de tilsvarende sannsynlighetene kalles binomialt, som er assosiert med bruk av binomiale koeffisienter.

Fordelingen i henhold til Bernoulli-skjemaet gjør det spesielt mulig å finne det mest sannsynlige antallet forekomster av en hendelse.

Hvis antall tester n er stor, bruk deretter:

Eksempel på problemløsning

Problemtilstand

Spirehastigheten til noen plantefrø er 70 %. Hva er sannsynligheten for at av 10 frø sådd: 8, minst 8; minst 8?

Problemløsning

La oss bruke Bernoullis formel:

I vårt tilfelle

La hendelsen være at av 10 frø spirer 8:

La hendelsen være minst 8 (det betyr 8, 9 eller 10)

La hendelsen stige minst 8 (dette betyr 8, 9 eller 10)

Svare

Gjennomsnittlig løsningskostnad prøvearbeid 700 - 1200 rubler (men ikke mindre enn 300 rubler for hele bestillingen). Prisen er sterkt påvirket av det haster med avgjørelsen (fra en dag til flere timer). Kostnaden for online hjelp for en eksamen/test er fra 1000 rubler. for å løse billetten.

Du kan legge igjen en forespørsel direkte i chatten, etter å ha sendt vilkårene for oppgavene tidligere og informert deg om fristene for løsningen du trenger. Responstiden er noen få minutter.

La n tester utføres angående hendelse A. La oss introdusere hendelsene: Ak - hendelse A skjedde under den kth prøven, $ k=1,2,\dots , n$. Da er $\bar(A)_(k) $ den motsatte hendelsen (hendelse A skjedde ikke under den kth prøven, $k=1,2,\dots , n$).

Hva er homogene og uavhengige tester?

Definisjon

Tester sies å være av samme type med hensyn til hendelse A hvis sannsynlighetene for hendelser $A1, A2, \dots , Аn$ sammenfaller: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (dvs. sannsynligheten for forekomst av hendelser A i ett forsøk er konstant i alle forsøk).

Selvfølgelig, i dette tilfellet sannsynlighetene motstridende hendelser også sammenfallende: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A)_(n))$.

Definisjon

Tester kalles uavhengige med hensyn til hendelse A hvis hendelsene $A1, A2, \dots, Аn$ er uavhengige.

I dette tilfellet

I dette tilfellet bevares likhet når enhver hendelse Аk erstattes med $\bar(A)_(k) $.

La en serie på n uavhengige tester av samme type utføres i forhold til hendelse A. Vi bruker følgende notasjon: p—sannsynligheten for at hendelse A inntreffer i ett forsøk; q er sannsynligheten for den motsatte hendelsen. Dermed er P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ for enhver k og p+q=1.

Sannsynligheten for at hendelse A i en serie med n forsøk vil inntreffe nøyaktig k ganger (0 ≤ k ≤ n) beregnes med formelen:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Likhet (1) kalles Bernoullis formel.

Sannsynligheten for at hendelse A i en serie på n identiske uavhengige forsøk vil inntreffe minst k1 ganger og ikke mer enn k2 ganger, beregnes ved hjelp av formelen:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Bruken av Bernoullis formel for store verdier av n fører til tungvinte beregninger, så i disse tilfellene er det bedre å bruke andre formler - asymptotiske.

Generalisering av Bernoullis opplegg

La oss vurdere en generalisering av Bernoullis opplegg. Hvis i en serie på n uavhengige forsøk, som hver har m parvis inkompatible og mulige resultater Ak med tilsvarende sannsynligheter Pk = pk(Ak). Da er polynomfordelingsformelen gyldig:

Eksempel 1

Sannsynligheten for å få influensa under en epidemi er 0,4. Finn sannsynligheten for at av 6 ansatte i bedriften blir syke

nøyaktig 4 ansatte;
ikke mer enn 4 ansatte.

Løsning. 1) Selvfølgelig er Bernoulli-formelen anvendelig for å løse dette problemet, hvor n=6; k=4; p=0,4; q=1-р=0,6. Ved å bruke formel (1), får vi: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ca. 0.138$.

For å løse dette problemet er formel (2) anvendelig, der k1=0 og k2=4. Vi har:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ ca. 0,959.) \end(array)\]

Det skal bemerkes at dette problemet er lettere å løse ved å bruke den motsatte hendelsen - mer enn 4 ansatte ble syke. Deretter, med tanke på formel (7) om sannsynlighetene for motsatte hendelser, får vi:

Svar: $\$0,959.

Eksempel 2

Det er 20 hvite og 10 svarte kuler i en urne. 4 kuler tas ut, og hver fjernet kule settes tilbake i urnen før neste tas ut og kulene i urnen blandes. Finn sannsynligheten for at av fire trukket kuler vil det være 2 hvite (Figur 1).

Figur 1.

Løsning. La hendelse A være det - fikk hvit ball. Da er sannsynlighetene $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

I følge Bernoullis formel er den nødvendige sannsynligheten lik $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

Svar: $\frac(8)(27) $.

Eksempel 3

Bestem sannsynligheten for at en familie med 5 barn ikke vil ha mer enn tre jenter. Sannsynligheten for å få en gutt og en jente antas å være den samme.

Løsning. Sannsynligheten for å få en jente $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ er sannsynligheten for å få en gutt. Det er ikke mer enn tre jenter i en familie, noe som betyr at enten en, to eller tre jenter ble født, eller familien er alle gutter.

La oss finne sannsynlighetene for at det ikke er noen jenter i familien, en, to eller tre jenter ble født: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Derfor vil den ønskede sannsynligheten $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $.

Svar: $\frac(13)(16) $.

Eksempel 4

Den første skytteren med ett skudd kan treffe de ti beste med en sannsynlighet på 0,6, de ni med en sannsynlighet på 0,3 og de åtte med en sannsynlighet på 0,1. Hva er sannsynligheten for at han med 10 skudd treffer de ti beste seks ganger, de ni tre ganger og de åtte en gang?

Bernoulli testopplegg. Bernoullis formel

La flere tester utføres. Dessuten avhenger ikke sannsynligheten for forekomst av hendelse $A$ i hver prøvelse av resultatene av andre forsøk. Slike forsøk kalles uavhengige med hensyn til hendelse A. I forskjellige uavhengige forsøk kan hendelse A ha enten forskjellige sannsynligheter, eller en og samme. Vi vil bare vurdere slike uavhengige tester, i hvilket tilfelle $A$ har samme sannsynlighet.

Med en kompleks hendelse mener vi en kombinasjon enkle hendelser. La n-tester utføres. På hver prøveversjon kan hendelsen $A$ vises eller ikke. Vi vil anta at sannsynligheten for at hendelsen $A$ inntreffer i hver prøve er den samme og lik $p$. Da er sannsynligheten for $\overline A $ (eller ikke-forekomst av A) lik $P(( \overline A ))=q=1-p$.

Anta at vi må beregne sannsynligheten for at n-tester hendelsen $A$ vil skje k- en gang og $n-k$ ganger - vil ikke skje. Vi vil betegne denne sannsynligheten med $P_n (k)$. Dessuten er sekvensen av forekomsten av hendelsen $A$ ikke viktig. For eksempel: $(( AAA\overlinje A , AA\overlinje A A, A\overlinje A AA, \overlinje A AAA ))$

$P_5 (3)-$ i fem forsøk dukket hendelsen $A$ opp 3 ganger og ikke 2 ganger. Denne sannsynligheten kan bli funnet ved å bruke Bernoullis formel.

Avledning av Bernoullis formel

I følge teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for uavhengige hendelser, vil sannsynligheten for at hendelsen $A$ vil inntreffe $k$ ganger og ikke inntreffe $n-k$ ganger være lik $p^k\cdot q^ ( n-k ) $ . Og det kan være så mange slike komplekse hendelser som $C_n^k $ kan komponeres. Siden komplekse hendelser er inkompatible, må vi ifølge teoremet om summen av sannsynligheter for inkompatible hendelser legge sammen sannsynlighetene for alle komplekse hendelser, og det er nøyaktig $C_n^k $ av dem. Da er sannsynligheten for at hendelsen $A$ inntreffer nøyaktig k en gang hver n tester, det er $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ Bernoullis formel.

Eksempel. Terning kastet 4 ganger. Finn sannsynligheten for at en dukker opp halvparten av tiden.

Løsning. $A=$ (utseende på én)

$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6 ) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $ $ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=0,115 $

Det er lett å se det for store verdier n Det er ganske vanskelig å beregne sannsynligheten på grunn av de enorme tallene. Det viser seg at denne sannsynligheten ikke bare kan beregnes ved å bruke Bernoullis formel.